二次函数利润问题教案

二次函数利润问题教案（通用11篇）

二次函数利润问题教案 篇1

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

解：（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4×），即；

（2）由题意，得

整理，得x2-300x+20000=0，解这个方程，得x1=100，x2=200，要使百姓得到实惠，取x=200，所以，每台冰箱应降价200元；

（3）对于 当时，y最大值=（2400-2000-150）（8+4×）=250×20=5000，所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元。

．

2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0≤x≤15且x为整数）；

（2）配方法，有y=-10（x-5.5）2+2402.5∵a=-10<0

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5

∵0≤x≤15，且x为整数

当x=5时，50+x=55，y=2400

当x=6时，50+x=56，y=2400

∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

（3）当y=2200时，-l0x2+110x+2100=2200

解得x1=1，x2=10。

∴当x=1时，50+x=5

1当x=10时，50+x=60

∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润恰为2200元

当51元≤售价≤60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价为51，52，53，54，55，56，57，58，59或60元时，每个月的利润不低于2200元）。

3、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售

经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是______________________个；（用含x的代数式表示）（4分）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）

解：（1）.(10+x)（500-10x）

（2）.500-10x

（3）.由(10+x)（500-10x）=-10x2+400x+5000=-10（x-20）2+9000得最大利润9000

此时售价604、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上

涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

(1)y=(210-10x）(50+x-40)=-10x^2+110x+2100=-10(x-5.5)^2+2402.5(0≤x≤15)

(2)∵X为正整数∴最大利润代入X=5（或者6），y=2400

(3)根据题意，得（210-10x）（10+x）=2200．

整理，得x2-11x+10=0，解这个方程，得x1=1，x2=10

∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．

二次函数利润问题教案 篇2

例1 (2015·南京) 某企业生产并销售某种产品, 假设销售量与产量相等.如图1中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1 (单位:元) 、销售价y2 (单位:元) 与产量x (单位:kg) 之间的函数关系.

(1) 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;

(2) 求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;

(3) 当该产品产量为多少时, 获得的利润最大?最大利润是多少?

【分析】 (1) 点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时, 该产品每千克生产成本与销售价相等, 都为42元;

(2) 根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可;

(3) 利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数, 求得最值即可.

解: (1) 点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时, 该产品每千克生产成本与销售价相等, 都为42元.

(2) 设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,

∵y=k1x+b1的图像过点 (0, 60) 与 (90, 42) ,

∴这个一次函数的表达式为:y=-0.2x+60 (0≤x≤90) .

(3) 设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,

∵y =k2x +b2的图像经过点 (0, 120) 与 (130, 42) ,

∴这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120 (0≤x≤130) .

设产量为x kg时, 获得的利润为W元,

当0≤x≤90时, W=x[ (-0.6x+120) - (-0.2x+60) ]=-0.4 (x-75) 2+2 250,

∴当x=75时, W的值最大, 最大值为2 250;

当90≤x≤130时, W=x[ (-0.6x+120) -42]=-0.6 (x-65) 2+2 535,

∴当x=90时, W=-0.6 (90-65) 2+2 535=2 160,

由-0.6<0知, 当x>65时, W随x的增大而减小, ∴当90≤x≤130时, W≤2 160.

因此当该产品产量为75 kg时, 获得的利润最大, 最大值为2 250.

【点评】此题考查了二次函数的应用, 解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型, 在自变量不同取值范围内, 求出每段的最大值, 最后进行比较, 得出结论.

例2 (2015·济宁) 如图2, ⊙E的圆心E (3, 0) , 半径为5, ⊙E与y轴相交于A、B两点 (点A在点B的上方) , 与x轴的正半轴交于点C, 直线l的解析式为, 与x轴相交于点D, 以点C为顶点的抛物线过点B.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 判断直线l与⊙E的位置关系, 并说明理由;

(3) 动点P在抛物线上, 当点P到直线l的距离最小时, 求出点P的坐标及最小距离.

【分析】 (1) 连接AE, 由已知得:AE=CE=5, OE=3, 利用勾股定理求出OA的长, 结合垂径定理求出OC的长, 从而得到C点坐标, 进而得到抛物线的解析式;

(2) 求出点D的坐标为, 根据△AOE∽△DOA, 求出∠DAE=90°, 判断出直线l与⊙E相切于A.

(3) 过点P作直线l的垂线段PQ, 垂足为Q, 过点P作直线PM垂直于x轴, 交直线l于点M.

设, 得到, 根据△PQM的三个内角固定不变, 得到, 从而得到最小距离.

解: (1) 如图3, 连接AE, 由已知得:

AE =CE =5, OE=3,

在Rt △AOE中, 由勾股定理得,

∵OC⊥AB, ∴由垂径定理得, OB=OA=4,

OC=OE+CE=3+5=8,

∴A (0, 4) , B (0, -4) , C (8, 0) ,

∵抛物线的顶点为C,

∴设抛物线的解析式为y=a (x-8) 2,

将点B的坐标代入上解析的式, 得64a=-4, 故

∴抛物线的解析式为

(2) 在直线l的解析式中, 令y=0, 得, 解得

∴点D的坐标为

当x=0时, y=4,

∴点A在直线l上,

在Rt△AOE和Rt△DOA中,

∵∠AOE=∠DOA=90°,

∴△AOE∽△DOA,

∴∠AEO=∠DAO,

∵∠AEO+∠EAO=90°,

∴∠DAO+∠EAO=90°, 即∠DAE=90°, 因此, 直线l与⊙E相切于A.

(3) 如图4, 过点P作直线l的垂线段PQ, 垂足为Q, 过点P作直线PM垂直于x轴, 交直线l于点M.

当m=2时, PM取得最小值为31/4,

此时, P点坐标为

∵PM⊥x轴,

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO,

又∠PQM=90°,

∴△PQM的三个内角固定不变,

∴在动点P运动的过程中, △PQM的三边的比例关系不变,

∴当PM取得最小值时, PQ也取得最小值,

∴当抛物线上的动点P的坐标为时, 点P到直线l的距离最小, 其最小距离为31/5.

【点评】此题是二次函数综合题, 涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识, 在解答 (3) 时要注意点P、点M坐标的设法, 以便利用二次函数的最值求解.

例3 (2015·东莞) 如图5, 在同一平面上, 两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt △ADC拼在一起, 使斜边AC完全重合, 且顶点B, D分别在AC的两旁, ∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD=30°, AB=BC=4 cm.

(1) 填空:AD =_______ (cm) , DC =_______ (cm) ;

(2) 点M, N分别从A点, C点同时以每秒1 cm的速度等速出发, 且分别在AD, CB上沿A→D, C→B方向运动, 求当M, N点运动了x秒时, 点N到AD的距离 (用含x的式子表示) ;

(3) 在 (2) 的条件下, 取DC中点P, 连接MP, NP, 设△PMN的面积为y (cm2) , 在整个运动过程中, △PMN的面积y存在最大值, 请求出y的最大值.

【分析】 (1) 由勾股定理求出AC, 由∠CAD=30°, 得出, 由三角函数求出AD即可;

(2) 过N作NE⊥AD于E, 作NF⊥DC, 交DC的延长线于F, 则NE=DF, 求出∠NCF=75°, ∠FNC=15°, 由三角函数求出FC, 得, 即可得出结果;

(3) 由三角函数求出FN, 得出PF, 由△PMN的面积=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积, 得出y关于x的二次函数, 即可得出y的最大值.

解: (1) ∵∠ABC=90°, AB=BC=4 cm,

故答案为:

(2) 过点N作NE⊥AD于E, 作NF⊥DC, 交DC的延长线于F, 如图6所示:

则NE=DF,

∵∠ABC=∠ADC=90° , AB=BC, ∠CAD=30°, ∴∠ACB=45°, ∠ACD=60°,

∴∠NCF=180°-45°-60°=75°, ∠FNC=15°,

∵sin∠FNC=FC/NC, NC=x,

∴点N到AD的距离为

(3) ∵sin∠NCF=FN/NC,

∵P为DC的中点, ∴

∵△PMN的面积=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积,

由此可知y是x的二次函数,

二次函数典型问题难点突破 篇3

二次函数作为中学数学学习的核心版块之一，需要同学们熟练地掌握基本性质，能够灵活应用.二次函数的图像，给大家提供了解决问题的工具，熟练应用不仅能掌握本块知识，也能在学习中自然获得逻辑推理、数形结合、函数变化等思想，从而为进一步学习奠定扎实的基础.本文就二次函数图像问题进行分类讨论，以期找到解决这类问题的一般方法.

1.二次函数图像的识图

例1 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，则点M（a，bc）在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】先讨论a、c的符号情况，判断直线的位置特征；再结合b的符号，考虑抛物线的位置特征.答案：D.

【点拨】一次函数与二次函数的系数用相同字母表示，意味着一次函数的直线图像的倾斜方向与二次函数的开口方向有关联，两个图像的横纵轴的截距有了联系，进而使二次函数对称轴、顶点坐标有了确定的性质，从而能够确定图像.

二、求解二次函数中的面积最值问题的策略

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，使解题具有一定难度.本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考.

例3 如图2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.

[图2][图3]

【解析】（1）抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）Q（-1，2）.

下面着重探讨求第（3）小题中面积最大值的几种方法.

1.补形、割形法.

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快.此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形.

方法一：如图4，

2.“铅垂高，水平宽”面积法.

如图6，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h），我们可得出计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=[12]ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；

（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标.

【点拨】本题着重考查一元二次方程和二次函数之间的联系，同学们要学会运用函数和方程之间的联系来解决问题.

当然二次函数的典型问题很多，在这里介绍了几种典型问题的解题策略，供同学们参考.如果我们能掌握一定的方法，做到举一反三，那就可以得到事半功倍的效果.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）

二次函数利润问题教案 篇4

设计意图: 同学们学习了二次函数以后，有一类问题就是讨论二次函数在闭区间上的最值问题，同学们可能感觉不太好做。这节课就这样一类问题进行讨论。教学目标：

希望通过这节课的讨论，同学们能够对这一类问题有一个清晰的认识，以后再碰到类似的问题会思考，从而会解题。教学重难点：

让学生通过仔细观察二次函数图像，体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对参数进行讨论的意识和习惯。教学方法：

借助多媒体进行教学。

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)axbxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。2b4acb2b分析：将f(x)配方，得顶点为、对称轴为 x，2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bm，n时，f(x)的最小值是（1）当2a2b4acbf，f(x)的最大值是2a4af(m)、f(n)中的较大者。

bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。（2）当例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

第1页（共4页）区间上的最值”。

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：画出函数图像如下不难求出最值。2图1 练习.已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

22图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

2图1图2图8 2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习.已知

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

第2页（共4页）

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知对称轴x22a1即可得最值。2

图3 练习.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

2第3页（共4页）二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例4.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。分析：分三种情况：最大值是在-3,2，还是在顶点处取得，求出a，然后再检验即可。

练习.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3求实数,2上的最大值为3，2a的值。

三．作业

21．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C） ,3

（D）, 3

424

2已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)xax

小结与反思：

这节课学习了二次函数在闭区间上的最值得求法。课后了解到并没有达到预期的目的。这样设计的优点是：这类问题讨论得比较全面。不足是：内容太多，讲解不够仔细，学生并不能掌握。如何改进：我想针对以上不足，可以把以上内容分两个课时来上，或者选择例题更简单些，让学生易于接受，同时，如果借助多媒体教学，会更直观形象一些，效果可能会更好一些。

二次函数复习教案 篇5

18课时 二次函数(二)

1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2.结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点 二次函数性质的综合运用 教学难点 二次函数性质的综合运用 教法 讲练结合 教学过程

一、知识梳理: 1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y为0时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）①当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，△>0；

②当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，△=0；

③当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，△<0.2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决优化问题，这类问题实际上就是求函数最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；

二、经典考题剖析: 例题1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2-6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．∴与x轴交点为（2,0）和（4，0）；当x=0时，y=8．∴抛物线与y轴交点为（0，8）；（2）抛物线解析式可化为y=x2－6x+8=(x-3)2-1；

∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）

（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．

②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0． 例题

2、已知二次函数yx2(m2)xm1，(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

分析：(1)要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即△＞0．

(2)两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①△＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可求得m的值的范围．

三、合作交流：

1、若二次函数y=-x+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x+2x+k=0的一个解x1 = 3,则另一个解x2 = _____。

2、抛物线y=kx-7x-7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是。

四、中考压轴题赏析：（分组合作）

已知：二次函数yx2(m1)xm的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点，2交y轴正半轴于点C，且x12x210。2（1）求此二次函数的解析式；

5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，2使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，说明理由。（2）是否存在过点D(0，-解：（1）∵x1+x2=10，∴（x1+x2）-2x1x2=10，根据根与系数的关系得：x1+x2=m+1, x1x2=m 222∴（m+1）2-2m=10，∴m=3，m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m = 3，∴所求抛物线的解析式为：y=x-4x+3；（2）假设过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN）两22点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

5设直线MN的解析式：y=kx-，2则有：yM+yN=0，（6分）由 得x-4x+3=kx-，并同类项得x2-（k+4）x+11=0，2移项后

合52∴xM+xN=k+4．

∴52yM+yN=kxM-+kxN-=k（xM+xN）-5=0，即k（k+4）-5=0，∴k=1或k=-5．

当k=-5时，方程x-（k+4）x+11=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，2522∴k = 1，3

∴直线MN的解析式为y=x-5，2∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；

∴存在过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E．使得

2M、N两点关于点E对称．

点评：此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系．在（2）中，将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系来解答，考查了同学们的整体思维能力．

五、反思与提高：

1、本节课主要复习了哪些知识，你印象最深的是什么？

2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？

六、备考训练：

二次函数利润问题教案 篇6

海洲初级中学 初三数学备课组

内容来源：初中九年级《数学（上册）》教科书 教学内容：二次函数图像与性质复习课时：两课时 教学目标：

1.根据二次函数的图象复习二次函数的性质，体会配方、平移的作用以及在解决相关问题的过程中进一步体会数形结合的数学思想。2.会利用二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。

3.在解决二次函数相关问题时，渗透解题的技巧和方法，培养学生的中考意识。教材分析：

二次函数是学生在中学阶段学习的第三种函数，是中考的重要考点之一，它与学生前面所学的一元二次方程有密切的联系，也是初中数学与高中数学的一个知识的交汇点。本节课通过二次函数的图象和性质的复习，从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题，加深学生对函数图象和性质之间的联系，构建知识网络体系，发展技能，归纳解题方法，让学生在练习中体会数形结合思想。学情分析

学生具有初步的、零散的关于二次函数的图象和性质的知识基础，但是还没有形成系统的知识体系，缺乏解决问题有效的、系统的方法，解决问题办法单一，较难想到运用函数的图象解决问题。本节课针对班级学生特点采取小组合作进行教学，通过小组的交流、讨论和展示，提高学生学习的积极性和有效性。通过本节课的学习使学生把函数的图象和性质紧密联系在一起，掌握解决一类问题的常用方法。教学过程

一、旧知回顾

1、已知关于x的函数y=

2、已知函数y=-2x-2,化为y=a

+3x-4是二次函数，则a的取值范围是.+k的形式：

此抛物线的开口向，对称轴为，顶点坐标 ； 当x= 时，抛物线有最 值，最值为 ；

当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减少。

3、二次函数y=-3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到

抛物线的解析式为

4、若二次函数y=2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是

5、抛物线的顶点在（-1，-2）且又过（-2，-1），求该抛物线的解析式。

6、抛物线经过三点（0，-1）、（1,0）、（-1,2），求该抛物线的解析式。

思维导图：

二、例题精讲：

1、（2016.新疆）已知二次函数y=

+bx+c(a)的图

象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、a＞0 B、c＜0 C、3是方程a+bx+c=0的一个根

D、当x<1时,y随x的增大而减小

2：二次函数图象过A,C,B三点，点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（4,0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC.(1)求C的坐标；

(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值。C

(3)一次函数的图象经过点C,B,求一次函数的解析式；

（4）根据图象，写出满足二次函数不小于一次函数值的x的取值范围；

（5）若该抛物线顶点为D,y轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

（6）若该抛物线顶点为D，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

例析二次函数应用的两类问题 篇7

新课程改革特别强调数学的应用性, 因此考察学生将实际问题转化为数学问题, 已经成为中考的热点, 这里结合中考试题, 谈谈二次函数应用的两类问题.

1 以蕴含二次函数关系为背景的应用问题

解决这类问题的关键是可根据待定系数法、经验公式、几何图形的特性等, 建立二次函数模型, 再利用二次函数的性质去解决问题。

例1 杭州体博会期间, 嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施, 若不记维修保养费用, 预计开放后每月可创收33万元, 而游乐设施开放后, 从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y (万元) , 且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益z (万元) , z也是关于x的二次函数.

(Ⅰ) 若维修保养费用第1个月为2万元, 第2个月为4万元, 求y关于x的解析式;

(Ⅱ) 求纯收益z关于x的解析式;

(Ⅲ) 设施开放几个月后, 游乐场的纯收益达到最大?几个月后, 能收回投资?

分析 由题意可确定函数y=ax2+bx中的待定系数a, b.根据公式:纯收益=创收额-投资-维修费用, 可得出z关于x的关系式, 进一步可求出符合提议的z的最大值以及何时z>0.

解 (Ⅰ) 由题意知, x=1时, y=2;x=2时, y=6.代入y=ax2+bx, 解得a=b=1.所以y=x2+x.

(Ⅲ) 将 (Ⅱ) 中函数z变形整理为:

z=- (x-16) 2+106.

所以设施开放16个月后, 游乐场的纯收益达到最大。

又由z=0, 得$x=16\pm \sqrt{106}$, 而$5＜16-\sqrt{106}＜6$, 且当0<x≤16时, z随x的增大而增大, 所以当x=6时起有z>0, 即设施开放6个月后, 游乐场能收回投资.

评析 本题用待定系数法求出了y与x的函数关系式, 用公式求出z关于x的解析式, 在解决 (Ⅲ) 中的实际问题时, 关键是将问题转化为不等式z>0的最小整数解的问题.

例2 王师傅有两块板材边角料, 其中一块是边长为60cm的正方形板子;另一块是上底为30cm, 下底为120cm, 高为60cm的直角梯形板子 (如图1) , 王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材, 他将两块板子叠放在一起, 使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合, 两块板子的重叠部分为五边形ABCFE (围成的区域如图2) .由于受板材纹理的限制, 要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.

(Ⅰ) 求FC的长;

(Ⅱ) 利用图2求出矩形顶点B所对的顶点P到BC边的距离x (cm) 为多少时, 矩形的面种y (cm2) 最大?最大面积是多少?

(Ⅲ) 若想使裁出的矩形为正方形, 试求出面积最大的正方形的边长.

分析 (Ⅰ) 只要利用△DEF∽△CGF即可求出FC.

(Ⅱ) 要想裁出的矩形面积最大, P点的位置有3种可能性;P与E重合;P与F重合;P在E, F之间.P与E或F重合时, 矩形的面积是确定的, 当P在E, F之间时, 矩形的面积y与x有关, 利用矩形面积公式可求得y与x的函数关系式, 再讨论.

(Ⅲ) 若要裁出面积最大的正方形, P点只能在E, F之间, 由y=x2求出x即可.

解 (Ⅰ) 由题意, 得

$\begin{array}{l}△DEF\sim △CGF‚\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{CG}‚\\ \frac{60-FC}{FC}=\frac{30}{60}‚FC=40(\text{c}\text{m}).\end{array}$

(Ⅱ) 设矩形顶点B所对顶点为P, 则:

(ⅰ) 当顶点P在AE上时, x=60, y的最大值为:60×30=1800 (cm2) .

(ⅱ) 当顶点P在EF上时, 过点P作PN⊥BG于点N, PM⊥AB于点M, 则

$△GFC\backsim △G{\rm P}{\rm N}‚\frac{{\rm P}{\rm N}}{{\rm N}G}=\frac{FC}{CG}.$

$\begin{array}{l}\text{即}{\rm N}G=\frac{3}{2}x‚B{\rm N}=120-\frac{3}{2}x‚\\ y=x\left(120-\frac{3}{2}x\right)\\ =-\frac{3}{2}(x-40){}^2+2400.\end{array}$

当x=40时, y的最大值为2400 (cm2) .

(ⅲ) 当顶点P在FC上时, y的最大值为:60×40=2400 (cm2) .

综上, 当x=40cm时, 矩形的面积最大, 最大面积为2400cm2.

(Ⅲ) 根据题意, 正方形的面积y与边长x满足的函数关系式为:

$y=-\frac{3}{2}x{}^2+120x.$

当y=x2时, 正方形的面积最大, 所以

解得 x1=0 (舍) , x2=48 (cm) .

所以面积最大的正方形的边长为48cm.

评析 本题是以几何图形为背景的二次函数的应用问题, 矩形面积要最大, 点P的位置只能在五边形ABCFE的边AE, EF, FC上.P在边AE, FC上时, 矩形面积最大是P在E点与F点上;P在EF上时, 矩形面积最大的位置不能直接确定, 因而采用了将面积y用x表示, 转化成二次函数去讨论, 这是求几何问题最值的一种常用方法.

2 以抛物线为背景的应用问题

解决这类问题主要是建立合适的平面直角坐标系, 将一些实际问题中的量转化为抛物线上的点的坐标, 求出抛物线的解析式, 再利用抛物线的性质解决实际问题.

例3 连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的汉江三桥是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥, 它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江, 是江城武汉的一道亮丽景观, 桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分, 桥面 (视为水平的) 与拱肋用垂直于桥面的系杆连接, 相连系杆之间的间距为5米 (不考虑系杆的粗细) , 拱肋的跨度AB为280米, 距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米,

以AB所在直线为轴, 抛物线的对称轴为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ) 求抛物线的解析式;

(Ⅱ) 正中间系杆OC的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半?请说明理由.

分析 (Ⅰ) 由${\rm O}B=\frac{1}{2}AB=140$, 得B (140, 0) ;由EF=42, OF=70, 得E (70, 42) .根据所建立的坐标系, 可求出抛物线的解析式.

(Ⅱ) 由解析式可求出C点坐标, 从而求得OC的长, 当系杆的长是OC的一半时, 即y是OC的一半, 通过解析式可求出此时x的值, 由于OC是正中间的系杆, 这样若x是5的倍数, 则系杆存在, 否则不存在.

解 (Ⅰ) 设抛物线的解析式为y=ax2+c.又B (140, 0) , E (70, 42) , 所以

(Ⅱ) 当x=0时,

所以OC=56 (米) .

设存在一根系杆的长度是OC的一半, 即这根系杆的长度是28米, 则有

又相邻系杆之间的间距均为5米, 最中间系杆OC在y轴上, 所以每根系杆上的点的横坐标均为5的倍数, 得x=±70 2, 与实际不符.所以不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半.

评析本题是以抛物线拱肋为背景的实际问题, 题中已经建好坐标系了, 因而直接可求抛物线的解析式.否则应首先选择合适的位置建立坐标系, 建立坐标系要考虑易于求出解析式, 写出抛物线上的点的坐标.如本题若以C为坐标原点建立平面直角坐标系, 那就要设B (140, k) , 则E点为 (70, k+42) , 通过y=ax2得方程组求解.以抛物线为背景的实际问题还有:球在运动中的路线, 抛物线形的门, 喷出的水流等.

初中二次函数三角形面积问题透析 篇8

关键词：初中数学； 二次函数； 三角形面积问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-035-001

一、抛砖引玉

建模：已知直角坐标中点B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。

引导问题：在平面直角坐标系中画出BCD的图形。探索根据已知三点的坐标如何来求出BCD的面积。在求BCD时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。请你提出你的观点并大胆地尝试。

教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。

二、构建例题

例题：如图（7）已知抛物线图象过A（-1，0），C（0，3）且对称轴为直线x=1。

（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点D的坐标；（2）求DCB的面积。

引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求DCB面积时我们需要做些什么准备工作？B、C、D坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。

设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。

变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于C、B两点，D是直线BC上方的二次函数的一点动点，（点D与B、C不重合），点D运动到什么位置时DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：（1）从例题到变式题，两题都是求三角形面积，两者是否存在差别。（2）变式题中已知二次函数解析式能求出B、C的坐标并能求出BC的长，当点D与到直线BC距离最大时DBC面积最大？你会不会求出D与到BC最大距离，如不能，你用什么方法来解决你的问题？二次函数最值问题对你解决问题是否有帮助呢？如有帮助，那么如何建立DBC面积关于点D的坐标的函数关系式？建模中的三角形分割思想對你解决本题有什么启发？

变式题2：已知抛物线y=-x2+2x+3与直线y=-x+1交于C、B两点，D是直线上方BC的二次函数的一点动点，（点D与B、C不重合），点D运动到什么位置时三角形DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：变式题（2）与变式题（1）有什么区别与联系？它们有类同点吗？如有类同则上题几种解题方法能适应本题吗？在这几种方法中哪种方法比较简便，能不能用上面感悟的方法来解决本题？请你试试。

略解：过D作DE//y轴交BC于点E，∵DE//y轴，∴xp=xE，点D的坐标（x，-x2+2x+3），点E坐标（x，-x+1），

变式题3：已知抛物线y=-x2+2x+3与y=-x+1直线交于点C，与x轴于点B，D是直线BC上方抛物线上一个动点，（点D与交点不重合）点D运动到什么位置时△DBC的面积最大，求出此时点D坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：变式题（3）与变式题（2）有区别和联系吗？这两题的主要不同之处在哪里？能不能用相同的方法求解。

透析：随点D的运动位置不同，△DBC将出现以下三种不同的图形：

我们发现S△DBC=■DFxB-xC，当直线与二次函数的解析式确定，B、C的坐标也就确定，S△DBC面积与DF的长度有关，当DF有最大值时，S△PBC的面积也存在最大值。

略解：过D作DF//y轴，交直线BC于点F，∵DF//y轴，∴xD=xF，点D的坐标（x，-x+1），点F坐标（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。

三、教学反思

数学《二次函数》优秀教案 篇9

2.二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

3.学生有疑而问、质疑问难，是用心思考、自主学习、主动探究的可贵表现，理应得到老师的热情鼓励和赞扬。现在对学生的随时“插嘴”，提出的各种疑难问题，应抱欢迎、鼓励的态度给与肯定，并做出正确的解释。

初三复习二次函数教案(九) 篇10

教学目的:

1.掌握二次函数式的应用，理解并掌握二次函数 的

应用。

2、体会并理解掌握数形结合思想在解题中的作用 ；

教学分析：

重点：理解并掌握二次函数的定义以及应用。

难点： 数形结合思想在解题中的作用 ； 教学方法: 讲练结合，以练为主．

教学过程:

一、概念复习：1、2、3、二、例题分析： 例

1、选择与填空：

1、下列函数关系中，可以看作二次函数yaxbxc(a0)模型的是（）．（A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

（B）我国人口年自然增长率为1％，这样我国人口总数随年份的变化关系

（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

（D）圆的周长与圆的半径之间的关系

2、抛物线y＝－1x2－x+5的顶点坐标是。

222 A：（1,3）B：（1，－3）C：（－1，3）D：（－1，－3）

3、二次函数y=－2（x+1）2+2的图像大致是。

A： B： C: D:

2、若二次函数y=x2+bx+c的图像经过点（－4,0），（2,6），则这个二次函数的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例

2、已知抛物线y2x123xm（m为常数）与x轴交于A,B两点，且线段AB的长为2（1）求m的值；（2）若该抛物线的顶点为P，（3）求APB的面积。（天津市2002考）

例

3、已知二次函数yxaxa2．

（1）证明：不论a取何值，抛物线yxaxa2的顶点Q总在x轴的下方；（2）设抛物线yxaxa2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；

（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，2221则能使△ACD的面积等于4的抛物线有几条？请证明你的结论．

例

4、已知抛物线y=

14x2和直线y=ax+1（1）求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P为线段AB的中点，且点P的横坐标为P的纵坐标；（3）函数A、B两点的距离d2x1x22，试用a表示点a表示d。

1a|x1x2|，试用

例

5、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？

三、巩固训练：

1、如图在直角坐标系xoy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，3），且在x轴上截得的线段长为6。（1）二次函数的解析式。（2）x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似；如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。

2、一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米；（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（米）时，桥下水面的宽度为d（米）。试求出将d表示为h的函数解析式。（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？

3、已知二次函数（1）结合函数y1的图象，确定当x取什么值时，y1>0, y1<0;

y212(y1y1)y1x2x32y1=0,（2）根据（1）的结论，确定函数关于x的解析式；（3）若一次函数y=kx+b(k0)的图象与函数y2的图象交于三个不同（7）点，试确定实数k与b应满足的条件。（天津市2002)考）

四、课后训练：

6、已知二次函数y＝（m2－1）xm－2m－1+m－2，则m＝。

7、函数y＝x1在 时有意义。

2x－x2

2、二次函数的图象经过A4,0,B0,4,C2,4三点：

二次函数在闭区间上的最值问题 篇11

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）

A. [  [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}