四边形课件（推荐14篇）
1.在实际情景中丰富学生对四边形的认识。(来源于生活)
2.关注学生的学习过程。(通过学生自己的活动来体现)
3.培养动手操作能力以及合作与交流的能力，发展空间观念和创新意识。
4.培养对数学学习的兴趣。(用于生活中)
教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》三年级上册第34～36页的内容。
教学目标：
1.直观感知四边形，能区分和辨认四边形。进一步认识长方形和正方形，知道它们的角都是直角。
2.通过围一围、涂一涂、剪一剪、说一说、找一找等系列活动，培养学生的观察比较和概括抽象的能力。
3.通过情境图和生活中的事物，使学生感受生活中的四边形无处不在，进一步激发学生的学习兴趣，并将数学知识用于生活中。
教学重点：
能直观感知四边形，能区分和辨认四边形。
教具学具：
多媒体课件，不规则形状纸若干，剪刀，三角板，直尺，钉子板，水彩笔，学具袋(各种形状的学具)。
教学过程：
一、导入部分
多媒体课件播放同学们放学时的情景(主题图)。
师：这是我们熟悉的场景，你都发现了什么?(小组讨论)小组反馈，汇报结果。(学生说的同时，课件闪出各种图形)
师：你能将这些图形进行分类吗?
各组拿出准备好的学具袋(各种形状的学具)，分一分，看哪组分得合理。(小组合作，分一分)
(注：教师参与小组合作，了解情况)
小组反馈，汇报结果。(课件同步显示分类情况)
二、讨论、抽象出四边形的概念
1.课件隐去其他图形(三角形，圆形)，抽象出四边形。
问：这些图形是一类的，叫什么名字呢?(四边形)(板书课题)为什么叫四边形?它们有什么特征?(小组讨论)
反馈：有四条直直的边，有四个角的图形就是四边形。(课件在图形下闪现相应文字)
2.引申。
师出示长方形和正方形，再出示两个不规则四边形。
师：它们都叫四边形，有什么地方不一样呢?
师：用三角板和直尺比一比它们的角，量一量它们的边，你们能发现什么?
小组汇报：长方形和正方形的角都是直角，正方形的四条边都相等，它们是特殊的四边形。
三、动手实践，寻找四边形(活动中配以音乐)
1.围一围。
活动内容：请学生在钉子板上围出自己想象的四边形，教师参与活动。
反馈展示。(有长方形、正方形、梯形、平行四边形以及不规则四边形)
(注：不同的四边形各展示一个，让学生全面感知四边形。)
2.涂一涂(教材35页例1)。
活动内容：(课件)把你认为是四边形的图形涂上你喜欢的颜色。
反馈展示，适当评价。
3.剪一剪。
活动内容：拿出准备好的纸、剪刀，每个学生剪出自己喜欢的四边形。(1分钟，看谁剪得又快又好又多)
反馈展示，教师评价。(边要求直直的)
4.说一说。
活动内容;现实生活中，在哪儿见过四边形?
5.找一找。
活动内容：在我们的教室，你能找到四边形吗?(允许下位寻找)
四、生活中的四边形
师小结：同学们活动得开心吗?你们和四边形成为好朋友了吗?(配以主题图放学场景)，今天放学后，请你们在回家的路上和家中，找出我们的好朋友——四边形，并请爸爸、妈妈一起认识它，好吗?
【教材分析】
本课件是对课程知识与信息技术的有机融合。
◇利用几何画板的静态演示和动态展示的强大功能, 在几分钟内就能完成一个积件元素的制作。
◇将积件元素组合在一个界面内, 实现元件的有机组合, 形成一个可供教师随机调用和学生操作验证的实验平台。
◇由直观认识到验证推理, 符合学生的认知规律和学习习惯。
●教学内容分析与教学策略
我设计的是鲁教版《数学》七年级下册第九章《四边形性质探索》的课件, 本章学习内容繁多复杂, 单就平行四边形的判定方法就有5种。这对理性思维能力还不够强、逻辑思维能力还不够高的初二学生来说是一个难度不小的挑战。
针对初中学生好奇心强、直觉思维好的特点, 尤其是对课件这种多媒体技术的关注和新型学习方式的热情, 设计了本积件。目的是为学生创设一个自主探究、动手操作的实验平台。我将积件题目定为《四边形探索实验室》, 重点突出“实验”二字, 让学生试一试、验一验, 体会我也可以“做”数学, 能够很好地辅助学生进行超前、自主、探究学习, 进而为课上的学习做铺垫。让学生享受探索的乐趣、“超强”的学习效率感和学习成就感, 从而培养学生学数学的信心和兴趣。
●设计思路及表现手法
1. 模型设计:即模块化设计
⑴满足一个条件的模型 (8个:AB=CD, AD=BC, AB∥CD, AD∥BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D, OA=OC, OB=OD) 即对边相等, 对边平行, 对角相等, 对角线平分。
⑵满足两个条件的模型 (28个:AB=CD, AD=BC;AB=CD, AB∥CD;AB=CD, AD∥BC;AB=CD, ∠A=∠C;AB=CD, OA=OC;……) 即两组对边相等;一组对边相等且平行;一组对边相等, 另一组对边平行;一组对边相等, 一组对角相等;一组对边相等, 一条对角线平分等。
所有的数学模型不仅涵盖了课本上的定义、定理, 而且还包括课本以外的判定方法和直观的反例说明, 从而打破了课本神话, 让学生站在更高的角度审视学习, 敢于质疑, 勇于挑战, 开拓视野, 有利于培养学生富有个性、开放、独特的思维方式。
2. 模板设计
模板, 就像我们厨房里做饭的案板一样, 你可以在案板上切菜, 也可以在案板上切肉, 模版设计很好地实现了积件元素摆放的随意性, 解决了传统课件总体流程固定、束缚使用者自主性发挥的问题, 从而保证了教与学的生成性和实验的可操作性。
所谓模板设计, 即设计一个可调 (感知平行四边形的任意性) 的平行四边形作为基座, 将满足条件的四边形摆放于基座上, 符合不一定成立, 尚须注意反例图形是否存在;不符合则一定不成立。
而基座设计最大的优点在于“变”, 在学生学完平行四边形的性质和判定之后, 便可以将基座自由调整为矩形、菱形或正方形, 进而可以帮助学生继续系统地学习矩形、菱形和正方形的有关性质和判定, 并且可以辅助学生轻松地明晰一般平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系和区别, 从而实现了对全章课程的整体建构, 让教师教起来“轻松”, 学生学起来“快捷”。
3. 生本设计
素质教育的今天, 教学理念的重心已由“教师如何教”变为“学生如何学”, 那么课件设计必然要由“教件”变为“学件”, 即从有利于教师的教变为有利于学生的学。从学生学习的角度考虑, 则是必然要增强课件的可操作性、实验性和互动性, 单纯的演示功能显然已不符合“学件”的要求。
积件制作从始至终, 坚持以生为本的理念, 注重学生的探索实验。《四边形探索实验室》为学生设计了自动演示和手动操作两套功能, 自动演示“直观”, 手动操作“入微” (如图1) 。
自动演示和手动操作相结合, 互为补充, 学生在不断试验中, 得到猜想, 并及时做好实验记录, 以便最后结论的形成。为方便学生的学习, 在积件中辅以详细的使用说明和反例的特别示范 (如图2) 。
实验记录表可以很好地帮助学生进行归纳总结和理论提升。让学生在探索的过程中, 见证知识的生成、结论的提炼, 实现在“做中学”、在“学中做”的最佳学习效果, 从而激发学生的发散性思维。
●内容结构与艺术布局
针对探究学习过程中的疑难点, 设置反例分析。既有利于澄清疑点、突破难点, 又有利于辅助探究, 起到了很好的示范效果 (如图3) 。
考虑积件短小精悍的特点, 我将积件的8个基本元件存放于几何画板的一个页面中, 学生不用页面转换, 就可整体把握、全面操控, 构成一个完整的实验平台。调整按钮的设置实现了探究学习的自然拓展, 并增强了实验平台的灵活性、延伸性和可操作性 (如图4) 。
主页面导入课题、基本技术透析及反例分析按钮。底色设为令人安静并放松的天蓝色, 并配以象征和谐、合作、团结的荷花, 引导学生迅速静神、静气, 为即将开始的探究学习做好心理准备。
为了增强界面对学生的视觉冲击力, 所有的静态演示、动态展示均采用闪烁的细、中、粗三种彩线, 以增加色彩的对比度和线型的区分度。底色则设为象征严肃、深邃的黑色, 以体现数学学习的严谨性。
●元件要素与技术处理
几何画板以入门容易、操作简单、资源节省及强大的图形、图像功能、动画功能等优点, 被众多数学教师赞赏, 并已成为制作中学数学课件的主要创作平台。对几何画板, 我也是不断探索、学习。在《四边形探索实验室》中, 加入了一个“基本技术透析”, 以帮助学生更好地理解积件的使用。无论是线段长度, 还是角度大小, 让学生在操作中认识到线段相等, 颜色相同;角度相等, 颜色相同。反过来, 颜色相同, 则线段相等、角度相同 (如图5) 。
这样的设置无形中省却了大量琐碎的测量和度量工作, 让学生把时间和精力专注于图形的直观, 从而保证了学生探索的兴趣和学习的热情, 使学生从心底迸发出“我要学”的呐喊。
●课件评价及反思
原先课件是“只为他人做嫁衣”, 现在NOC优秀课件评选为众多的课件发烧友或课件爱好者提供了展示、交流、学习的平台。参赛即收获, 归来, 似乎让我更明白了:课件制作, 既然利于教师教、辅于学生学, 那么它完全值得我们“衣带渐宽终不悔, 为伊消得人憔悴”。我们更应乐在其中, 享受创作的乐趣和成功的喜悦。
《四边形探索实验室》的不足:遵循学生年龄特点和认知规律, 应在积件互动性的设计上加以改进, 使其能够对学生的操作做出及时评价和恰当建议, 增强实验操作的趣味性。
“路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索”。最后, 我想用在此次比赛中的感悟作结束语:思路决定出路, 而思路是在不断探寻出路的历练中“悟”出的。
点评
《四边形性质探索》选自鲁教版初中数学七年级下册第九章, 李浩诗老师借助于几何画板系统的辅助设计, 立足于学生已有的数学活动经验, 为学生搭建了一个主动探究四边形性质的平台, 让学生在实验和探究的过程中, 自己去体验知识生成结论。通过课件的应用, 使学生交互式、探究式、自主性、研究性的学习方式成为可能, 激发学生展示的冲动与学习的激情, 发展了学生的探究性学习。
本课件有以下特点。
具有丰富的教学资源库。《四边形探索实验室》提供了丰富的实验对象和研究模型 (元件) , 利用几何画板的静态演示和动态展示的强大功能, 为学生和教师提供随意调用组合研究实验和验证性平台, 引导学生完成从直观认识到验证推理的探究过程, 解决了传统课件总体流程固定、束缚使用者自主性发挥的问题, 从而保证了教与学的生成性和实验的可操作性。
在“做中学”, 在“学中做”。本课件是一个数学的实验室, 通过课件的自动演示与学生的手动操作相结合, 探索并掌握平行四边形及菱形、矩形、正方形等特殊四边形的性质和判定方法以及它们之间的相互关系, 让学生在直观操作中不断观察、发现、验证, 并及时做好实验记录, 在探究的过程中见证知识的生成、结论的总结和提升。为学生创设了一个理想的“做”数学的环境。让学生从“听”数学转变到“做”数学, 即以研究者的身份, 参与探索获得知识, 从而实现了在“做”中学, 在“学”中做的最佳效果。
引导学生实现数学的发现和展示数学美。本章学习内容繁多, 单就平行四边形的判定方法就有5种, 这无疑对于理性思维能力还不够强、逻辑思维能力还不够高的初二的学生来说是一个难度不小的挑战, 如果采用常规教学, 学生必然是索然无味, 对数学美的感知荡然无存。《四边形探索实验室》, 重点突出“实验”二字, 让学生体会试一试、验一验, 我也可以“做”数学。让学生享受探索的乐趣和“超强”的学习效率感和学习成就感, 从而培养学生学数学的信心和兴趣。
重庆市李家沱小学曾祥富
第一张：教材版本册次，课题，授课人
第二张：通过美丽的画面，创设意境，图中有两个花坛，一个长方形，一个平行四边形。
第三张：把上一幅图中的长方形和平行四边形放入方格纸中，比较大小。
第四、五张：通过方格纸，数出长4米，宽2米的长方形面积是8平方米，而底是4米，高是2米平行四边形的面积也是8平方米，并填写在方格中。
第六张：探究通过割补法等把平行四边形转化成长方形。
第七张：小组讨论把平行四边形转化成长方形后他们底和高与长方形的长和宽有什么关系。
第八张：通过长方形面积公式推导出平行四边形面积的公式。第九张：推导出用字母表示平行四边形面积的公式。
第十张：感受推导平行四边形面积的过程。
第十一张：通过公式计算，长和宽与底和高相等的长方形与平行四边形的面积相等。
第十二张：运用公式练习计算平行四边形的面积。
第十三张：找出面积相等的平行四边形和长方形。
第十四张：探究等底等高的平行四边形面积相等。
课题
认识四边形
课型
新授课
设计说明
四边形的认识是学生对“图形与几何”认识的扩展，由抽象思维发展到形象思维，通过实践探究，提高学生的感知能力和分辨能力。在教学本节课时，遵循知识的形成过程及学生的认知规律，使学生在师生互动、生生互动的活动中了解和掌握新知。
1.在实践互动中感受四边形的特征。
通过利用学具与生活中的四边形进行对比，使学生体会到四边形在生活中无处不在，培养了学生的合作意识、交流能力和动手操作能力，激发了学生的学习兴趣。
2.在操作中进一步了解四边形的特征。
通过“围一围”、“比一比”、“量一量”等熟悉实践活动，使学生既了解了四边形的特征，又发展了学生的空间观念，激发了学生学习的潜能，体现了新课标的理念。
学习目标
1.直观感知四边形，能区分和辨认四边形，进一步认识长方形和正方形的特征，知道它们的角都是直角。
2.通过“找一找”、“围一围”、“涂一涂”、“剪一剪”等活动，培养学生的观察、比较和抽象概括的能力。
3.通过情景图和生活的事物，感受生活中的四边形无处不在，激发学生的学习兴趣。
学习重点
认识四边形及其特征。
学习准备
教具准备：PPT课件。
学具准备：直尺、三角板、彩纸、剪刀。
课时
1课时
安排
教学环节
导案
学案
达标检测
一、创设情景，引入新课。（6分钟）
1.谈话：同学们发现了吗？我们的校园越来越美了。有花有草，还有各式各样的石头，这样的校园你们喜欢吗？尚市镇小学的校园也很美，让我们一起来看一下。（出示主题图）
2.大家观察得真仔细！找到了那么多的图形。有圆形、三角形，还有不少的四边形。听说过四边形吗？这节课我们就一起来和它交交朋友。（板书：认识四边形）
1.学生认真观察，仔细思考。
2.明确本节课的学习内容。
1.长方形和正方形都有几条边,几个角？
答案：它们都有四条边四个角。
2.判断。
（1）数学课本是四边形。（）
（2）课桌面是四边形。（）
（3）教室里的黑板面是四边形。（）
（4）每一个四边形都有四条边。（）
答案：√√√√
3.看图填空。
说说上图中有
（）个四边形。
答案：13
二、动手操作
1.初步感知：其实，刚才大家已经找到了很多四边形（课件出示）。试着说一说，你想象中的四边形是什么样子的？
2.引导学生观察四边
1.同桌互相说说心目中的四边形。
2.小组讨论交流，选代表汇报四边形的特征：有四条直的边和四个角。
探究新知。（25分钟）
形，在小组内讨论、交流、汇报四边形的特征。
3.动手操作，找出四边形。
围一围：引导学生在钉子板上围出自己心目中的四边形。
圈一圈：（教材第79页例1)把你认为是四边形的图形圈出来。
剪一剪：引导学生拿出准备好的彩纸、剪刀、剪出一个自己喜欢的四边形。
4.引导学生说说身边哪些物体的表面是四边形的。
3.动手操作。在钉子板上围出自己心目中的四边形。
学生动脑动口。强调：只要有四条直的边和四个角，这个图形就是四边形。
4.仔细观察，找出身边物体表面的四边形。如：教室的门窗的面、黑板的面书本的面等。
三、巩固练习。（5分钟）
完成教材第79页“做一做”。
学生独立完成，同桌互相检查，集体订正。
教学过程中老师的疑问：
四、课堂小结，拓展延伸。（4分钟）
1.通过今天的学习，你有什么收获？
2.布置作业。
1.交流自己本节课的收获。
2.独立完成作业。
五、教学板书
六、教学反思
《四边形》一课是一节概念课，同时这又是一节操作性很强的课，学生通过操作能进一步理解、巩固概念。这一教学内容是通过“说一说”、“找一找”、“圈一圈”等活动，让学生从众多的图形中区分出四边形，并感悟到四边形有四条直的边和四个角。在这节课中，我做得比较好的地方有：1.关注生活经验，提供感性材料。学生生活的世界和所接触的事物大都和数学中的“空间与图形”有关，生活经验是发展学生空间观念的宝贵资源。学生在生活中已经接触过很多图形，对四边形也不陌生。因此，本节课以学生熟悉的校园场景为教学素材，目的就是联系学生的生活经验，丰富他们对图形特别是四边形的感性认识，并从整体上感知自己生活中的四边形。既使学生感觉到数学来源于生活,又使他们对数学产生浓厚兴趣和亲切感。
四边形”教案
“四边形”教案 一、教学目的： 1、初步认识四边形，知道其特征。 2、了解长方形和正方形的意义，掌握它们的特征。 3、初步体会探究图形的意义和特征的.一般思路。 二、教学过程： 1、 创设情景，引入课题 出示课本34页情景图，让学生说一说认识的图形，教师有选择的展示。出示课题，让学生读课题，初步体会四边形的意义，并让学生做35页例题。 2、 探究四边形的意义 交流例题，根据学生的回答，引导学生观察四边形有什么共同的特点? 板书：四条直直的边，四个角 让学生试着给四边形下定义。并将上面的板书改为： 板书;有四条直直的边，四个角的图形叫做四边形。 3、 应用意义辨析问题 选五边形、三角形、圆、长方形和一般的四边形等，让学生说一说它们是四边形吗?为什么?让学生体会意义的作用。 4、 探究长方形的意义 出示一组长方形，观察它们的共同特点，板书：对边相等，四个角都是直角 (解释：对边和相等)。给出长方形纸片，验证特点。全班交流时，让一个学生展示。 让学生试着给长方形下定义。并将上面的板书改为： 板书;对边相等，四个角都是直角的图形叫做长方形。 5、 应用意义辨析问题 选几个图形，让学生说一说它们是长方形吗?为什么?让学生进一步体会意义的作用。 6、探究正方形的意义 出示一组正方形，观察它们的共同特点，板书：四条边都相等，四个角都是直角。给出正方形纸片，验证特点。全班交流时，让一个学生展示。 让学生试着给正方形下定义。并将上面的板书改为： 板书;四条边都相等，四个角都是直角的图形叫做正方形。 7、 用意义辨析问题 (1) 出示菱形和一个正方形，让学生说一说它们是正方形吗?为什么? (2) 出示长方形，让学生说一说它们是正方形吗?为什么?
一、顺次连接一般四边形的各边中点所得四边形 (中点四边形) 的形状与原四边形对角线的关系
(1) 如图1, 顺次连接四边形ABCD各边AB, BC, CD, DA的中点E, F, G, H, 得四边形EFGH是平行四边形.
证明连接对角线AC.
∵E, F分别是AB, BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2) 如图2, 在问题 (1) 中, 如果四边形ABCD的对角线AC, BD满足AC⊥BD时, 四边形EFGH会是什么四边形呢?
探究:同 (1) 可证:EF∥AC,
∴∠1=∠2=90°.
同 (1) 可证:FG∥BD,
∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是矩形.
(3) 当对角线AC, BD满足AC=BD时, 易证四边形EFGH是菱形.
(4) 当对角线AC, BD满足AC⊥BD且AC=BD时, 易证四边形EFGH是正方形.
从上述 (1) , (2) 探究中, 反应了从一般到特殊的数学认知方法; (3) 和 (4) 的证明请读者自己完成.
二、中点四边形的面积与原四边形面积的关系
(5) 如图3, 顺次连接四边形ABCD各边AB, BC, CD, DA的中点E, F, G, H, 得四边形EFGH的面积S1与原四边形的面积S有什么关系呢?
探究:由前面 (1) 的探究我们已经知道EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC,
上面我们研究了中点四边形的面积与原四边形面积的关系, 同时讨论了四边形对边中点连线分原四边形得四个“小四边形”之间的面积关系.其实中点四边形的周长与原四边形的对角线也有特殊的关系:C中点四边形=原四边形对角线之和;其证明方法比较简单, 请读者去完成证明.
三、一般四边形的面积等分
(5) 如图4, 请你用一条折线将四边形的面积等分.
探究:根据三角形的中线将三角形面积等分的性质, 我们可以像图5那样连接对角线AC, 将四边形分割成两个三角形, 然后取AC的中点E, 连接DE、BE, 移得折线BED为一条四边形ABCD的面积等分线.
(6) 在 (5) 中, 如果要求四边形ABCD的面积等分线是直线段, 那我们又该怎样画等分线呢?
探究:在图5中, 我们已经知道四边形ABED的面积等于凹四边形BEDC的面积, 要使四边形ABCD的面积等分线是直线段, 我们可以考虑这样的一条直线段, 它能从四边形ABED中划出一部分面B积给凹四边形BEDC, 同时它又能从凹四边形BEDC中划出相等面积给四边形ABCD, 这样进行“等积交换”来达到目的, 这等积交换的两部分面积就是图6中的△DOF和△BOE的面积, 图中的线段BF正是所需的一条直线段的面积等分线.具体画法如下:
1. 连接对角线AC, 取AC的中点E;
2. 连接DE, BE, BD;
3. 过E点作EF∥BD交DC于F;
4. 连接BF交DE于O点;
5. 线段BF为所作的四边形ABCD的面积等分线 (直线段)
证明 如图6, ∵EF∥BD, BE不平行DF,
∴四边形BDFE是梯形,
∴△DEF和△BEF同底等高,
即BF是满足问题中的四边形ABCD的面积等分线.
四、一般四边形拼折成特殊四边形问题
如图7, 怎样将一般四边形ABCD剪拼成一个矩形?请你画出分割线加以说明.
探究:如图8, 取各边中点E, G, F, H, 连接EF, 过H点作HN⊥EF, 过G点作GM⊥EF;将四边形ABCD分成a, b, c, d四个四边形, 可拼接成图11中的矩形.根据图8和图9中的角的编号及各顶点字母, 读者可以自行验证其正确性.
．使学生熟练掌握四边形内角和定理，并能灵活应用．
二、教学重点、难点
三、教学过程
新课
1．四边形的有关概念
四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线，讲解这些概念时，(1)要结合图形；(2)要与三角形类比(渗透类比与扩展思想)；(3)讲清定义中的关键词语，如四边形定义中要说明为什么加上“同一平面内”，而三角形的定义中为什么不加“同一平面内”(三角形肯定是平面图形，四边形四个顶点有不共面的情况，即空间四边形，但限于我们现在只研究平面图形，故在定义中加上“在同一平面内”的限制)；(4)强调四边形对角线的作用：作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解(渗透化归思想)．要让学生动手作四边形的对角线，并观察用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系；(5)强调四边形的表示方法．一定要按顶点顺序书写四边形，如图2-1，记为四边形ABCD．
2．四边形内角和定理
四边形内角和等于360°．
这个定理的证明很容易，结合图2-1指出对角线AC分四边形所成的两个三角形的内角是哪些，四边形的内角是哪些，为什么四边形内角和等于两个三角形的内角和．
定理的应用．常用来解决与四边形或多边形内角有关的问题．
例1 已知：如图2-2，直线OB⊥AB，垂足为B，直线OC⊥AC，垂足为C．
求证：(1)∠A+∠1=180°；(2)∠A=∠2．
本例是四边形内角和定理的应用，实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系．何时用相等，何时用互补，如果需要可因题制宜．
补充例题
1．四边形的周长为42cm，且四边的比为2∶3∶4∶5，求各边的长．
2．若四边形内角的比为1∶2∶3∶4，求各角的度数．
小结
1．四边形的有关概念．
2．四边形对角线的作用．
3．四边形内角和定理．
练习：选用课本中的练习题．
作业：选用课本中的习题．
补充作业：四边形ABCD中，∠C和∠A互为补角，且∠A∶∠B∶∠D=6∶4∶5．求∠C的度数．
四、教学注意问题
1．讲清概念，揭示概念的本质属性．
2．本单元开始就要注意类比和扩展方法的使用，复杂问题化为简单问题，化未知为已知等数学思想方法的使用．
相 关 文 章
■四边形---教案(二)■平方根---教案(三)■平方根---教案(二)■平方根---教案(一)■几何引言课——教案■几何引言——教案■几何引言（第二课时）——教案■几何引言第一课时教案■直线的性质■直线■二元一次方程组---教案
（二）■二元一次方程组---教案
广州市番禺区沙湾镇德贤小学
梁桂棠
一、教材和学情分析
本节课是在学生学习了简单的平面图形、认识了长方形与正方形的基本特征的基础上进行教学的，也是以后进一步学习其它图形的基础。所以，要落实好这部分的教学任务，使学生在快乐、充实的课堂中得到一定层次的提高。因此，本教材安排了两个例题：例一是借助涂颜色的活动，让学生从众多的图形中区分出四边形，并感悟到四边形的特点；例二让学生对各种四边形进行分类，对不同的四边形各自的特征有所了解，特别是加深对长方形和正方形的认识。教材通过找一找、涂一涂、分一分等一系列的活动，加深学生对四边形的了解。我觉得教材这样的编排符合中低段儿童的心理特点。所以，为了进一步了解学生的起点，我作了课前调查，调查表明：大部分学生对于四边形并不是一无所知，但也并不十分清晰，而且不同学生的认识存在差异，学生只具有一定的生活经验。尤其是对于长方形和正方形的特征学生还只能在直观上理解，还不能概括长方形和正方形的特征。
二、教学内容：人教版数学第七册第七单元第79-80页例
1、例2
三、教学目标：
1、能区分和辨认四边形，知道四边形的特征，进一步认识长方形和正方形的特征。
2、通过学生动手操作、小组讨论，培养学生独立思考、合作交流的学习精神。
并使学生在交流学习的过程中培养他们文明、民主的行为。
3、通过主题图的教学，对学生进行热爱运动、积极参加体育锻炼的思想教育。
四、教学重难点：
掌握四边形的特征，通过对四边形的分类，进一步认识长方形与正方形的特征。突破重难点的关键是：创设适合学生的问题情境和探索氛围，使学生积极主动地参与到教学过程中来。
教具、学具准备: 长方形、正方形、彩色笔、课件 教学过程：
一、创设情景，引入课题
通过猜猜我是谁的游戏，引入：今天我们就来学习有关“四边形”的知识—板书课题。
（二）探究新知
1、探究学习例1（认识四边形）（1）把你认为是四边形的图形圈出来。（2）小组讨论。
你发现四边形有什么特点？ 学生汇报，教师根据回答板书： 四边形有四条直的边、四个角。
（3）联系生活实际，说说你身边哪些物体的表面是四边形的。（4）试练79页做一做第2题。
2、探究学习教学例2（1）独立探究长方形和正方形有什么特征？（2）小组交流：长方形和正方形有什么特征？ 学生汇报，并说理由
（三）巩固应用
1、教材第80页的“做一做”中的第1、2题。
2、书本81页第1-4题。
四、课堂总结。
这节课咱们初步认识了分数，通过这节课的学习，你懂得了什么？
板书设计： 四边形
4条直的边 长方形（对边相等 4个都是直角）
一、 与概念相关的问题
例1 已知四边形ABCD, 有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD. 从这四个条件中任选两个, 能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有 ( ) .
A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种
【 分析 】从四个条件可以知道, 条件中只涉及四边形的对边相等和平行. 根据对边关系判定平行四边形有以下3种方法:
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
满足 (1) 的有 ①③ , 满足 (2) 的有 ②④, 满足 (3) 的有①②或③④, 所以一共有4种选法.
【 点评】 当被研究的问题有可能出现多种情况时, 我们必须按可能出现的情况不重复不遗漏地进行分类讨论.
二、 与折叠相关的问题
例2 如图1, 矩形ABCD中, E是AD的中点, 将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE, 延长BG交CD于点F.若AB=6, , 求FD的长.
【 分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质, 我们有AE=DE=EG, 可以证得△EDF和△EGF全等, 根据全等三角形对应边相等可得DF=GF.设FD=x, 则可用x表示出FC、BF, 在Rt △BCF中, 利用勾股定理建立方程即可得其解.
解:∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴AE=EG, AB=BG,
∴ED=EG,
∵在矩形ABCD中,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠EGF=90°,
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中,
∴Rt△EDF≌Rt△EGF (HL) ,
∴DF=FG,
设DF=x, 则BF=6+x, CF=6-x,
在Rt△BCF中, ,
解得x=4.
∴DF=4.
【 点评 】由折叠对应得到对应角相等, 对应线段相等, 由此得到两个三角形全等, 再运用勾股定理建立方程, 是解决这类问题常用的方法.
三、 与最值相关的问题
例3 如图2, 在正方形ABCD中, 点E在BC上, BE=3, CE=2, 点P在BD上, 求PE+PC的最小值.
【分析】由于PE、PC的值均不能直接求出, 要求PE+PC的最小值, 可考虑通过作辅助线将PE或PC转化为与其相等的线段, 利用相关定理找出PE+PC的最小值.
解:如图3, 连接AE、AP,
∵点C关于BD的对称点为点A,
∴PE+PC=PE+AP,
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,
∵正方形ABCD的边长为5, BE=3,
∴PE+PC的最小值是.
故答案为:.
【 点评】 正方形是轴对称图形, 借助其轴对称性可以巧妙地解决一些与正方形有关的问题. 当然这个题目的背景还可以换为菱形. 解决这类问题的一般思路是利用对称性, 借助转化, 建立“两点之间, 线段最短”的几何模型.
四、 与动点相关的问题
例4 如图4, 在矩形ABCD中, AB=4 cm, AD=12 cm, 点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动, 点Q在BC边上, 以每秒4 cm的速度从点C出发, 在CB间运动, 两点同时出发, 当点P到达点D时停止 (同时点Q也停止) 运动, 设运动的时间为t秒, 当t为何值时PQ∥AB.
【 分析 】点P从点A到达点D需12秒, 所以点Q需在B、C间往返两次, 而在每次的运动过程中都有一次PQ∥AB, 根据AD∥BC, PQ∥AB, 可知四边形APQB是平行四边形, 则PA=BQ, 列方程求解即可得到所需时间.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
若PQ∥AB,
则四边形APQB是平行四边形,
∴AP=BQ,
①当0≤t<3时,
设过了t秒, PQ∥AB, 则PA=t, BQ=12-4t,
∴t=12-4t,
解得:t=2.4 (s) ,
②当3≤t<6时,
PA=t, BQ=4t-12,
∴t=4t-12,
解得:t=4 (s) ,
③当6≤t<9时
PA=t, BQ=36-4t,
∴t=36-4t,
解得:t=7.2 (s) ,
④当9≤t≤12时,
PA=t, BQ=4t-36,
∴t=4t-36,
解得:t=12 (s) .
∴当t=2.4、4、7.2、12秒时PQ∥AB.
一、本单元的知识结构主要分为两大方块：一块是信息窗上的这些图形有什么共同特点，使学生认识对称现象、轴对称图形和对称轴；二块是通过抽象逐步认识轴对称图形和对称轴后要求学生画出长方形的对称轴。
二、本单元要完成的教学任务：使学生感知对称现象，认识对称轴和轴对称图形，学会用操作的方法确定轴对称图形的对称轴，能利用轴对称图形的一半画出另一半。
三、教学本单元采用的方法：
1、充分利用教材提出的信息图形，通过观察让学生去发现这些图形的左右两边的形状都是一样的这一现象，进而上升到“像这样的图形都是轴对称图形，折痕所在的直线是对称轴”这一抽象概念。
2、借助学生已有经验，引导学生通过观察、操作等活动去感知对称现象，加深对轴对称图形和对称轴的认识和理解。
3、为了拓宽学生的知识六十铺中小学教育网http://原文地址http:///showtopic-75181.aspx面，我采用了借鸡下蛋的教学方法，既使学生掌握巩固了已有知识，也把已有知识展现得淋漓尽致。如在教学“你能画出长方形的对称轴吗？”时，不是局限在只画一条对称轴上，在此基础上又紧随而来的是“正方形有几条对称轴？”“圆呢？”。。。又如教学对称轴时，把画完对称轴的图形的一半擦掉，提问：“你能画出另一半吗？”等等。
四、本单元的教学效果：本单元在整个教学活动中，始终遵循以学生为主体的教学原则，教学过程则奉行循序渐进的原则，努力借助学生已有经验，引导学生通过动眼观察、动手操作、动脑思考、动口交流等活动让学生去感知、理解、掌握。加深本单元所学知识，由于教法得当，学生乐学，整个教学过程是螺旋形上升趋势，学生学习兴趣浓厚，基本上完成了本单元的教学任务。所不足的是有第三单元《四边形》考后反思
《四边形的认识》这个单元的内容看起来好像不多，只有4个例题，所以只用了6课时就完成了。但是后来学生虽说已经掌握了求正方形和长方形周长的方法，可是学生对把求周长的知识运用到生活的实际问题时就好像无所适从，总是做得一塌糊涂。因此，一直都没进行这个单元的考测，还多花了两节课去复习，原以为应该没问题了吧，于是在星期五利用早上的时间再对这个知识点疏导了一下，下午就借了两节课进行考测。
这个单元的考测题的题量较多，所以足足用了两节课，但3班还是有几个学生没能完成，真是有点失望。昨晚11点多终于把两个班的卷子批改完了，成绩确实是在意料之中。我想这个成绩虽说是意料之中，但从这也反映出许多的问题，值得我反思自己的教学。
反思一：对这个年段的小孩子的心理特征了解不足。这几年一直都在低年级打拼的我，这个学期“升级”了，可是这个“升级”却使我总是心惊胆战，以致开学至今竟瘦了5斤。为什么？人人都说你跟班上，而且你两个班的成绩也非常好。可是现实并不是想像中那样，这帮可爱的“小祖宗”在一二年级时还是挺乖的，很多事都不用我去操心。但一上了三年级他们的思想转变确实比较大，自觉性也大大降低，总是要在老师的眼皮低下才表现出原来那种乖巧与自觉，尤其是学习积极性，是最让人头痛了，在课堂上明明都感觉他们都掌握得不错的，可是回到家的作业总是马虎应付，其中一个班就更明显，一些优生都是如此。这段时间都做了很多思想工作，但效六十铺中小学教育网http://原文地址http:///showtopic-75181.aspx果不明显，看来我还是对他们这个年段的心理特征了解不够，以致不能对症下药。真的要找一些这方面的资料来参考参考，想想办法才行。
反思二：好记性不如烂笔头。从这次的试卷分析中我发现很多中等生对一些概念题都掌握不好，这让我很郁闷。因为很多的概念在平时上课的提问中学生都能迅速且正确的回答，而且课前五钟也读了不少，可学生还是出现很多不应该出现的问题。如：长方形和正方形的周长的简单计算方法，每天都读，结果还有一部分学生写不出来。有一部分学生把“平行四边形”写成“平形四边形”，很多学生不会写“宽”字。我想这也许是我想错了，以为学生只要理解了就能做出来，平时没怎么让学生去写去练，看来真的是“好记性不如烂笔头”，该练的还得练，该写的还得写，是我对这点的认识不足所致。
反思三：在新课教学时，对学情分析不足。在教学《周长》时，自我感觉这几个知识很简单，于是把“周长的认识”、“长方形和正方形的周长”共3个例题合为一课时授完课，因此教学的时间较紧张，在教学长方形和正方形的周长时只是让学生去掌握图形（长方形和正方形）周长的计算方法，没让学生联系生活实际，对知识进行整理，利用所学的知识的解决生活中的实际问题，而导致学生不会学以致用。后来补充时总是觉得不那么到位了，学生掌握知识较被动。
1四边形解答证明题
1、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．
求证：四边形DEBF是平行四边形
2、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
3、菱形周长是24㎝，其中一个内角60°，求菱形对角线的长和面积
4.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.5.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于
点F.求证：四边形AEDF是菱形.CB
C7、如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P.求证：AP＝AB.8、如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF.求证：AF=FG.9.菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm.⑴求菱形的每一个内角的度数.⑵求菱形另一条对角线的长.⑶求菱形的面积.10、已知：如图，⊿ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE平分 ∠ABC交AD于M，AN平分∠DAC，求证：平行四边形AMNE是菱形。
11.已知：平行四边形ABCD是，E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE交于G，BF，CE交于点H，求证：平行四边形EHFG是平形四边形。
E
D
E
12.已知：⊿ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，⊿ABD，⊿BCE均是在⊿ABC外的等边三角形，DE交AB于点F，求证：DF＝EF。
13.已知：⊿ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于G，P是AC的中点，求证：PE＝PF。
A
DN
14.已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点。（1）若∠MAN＝45°，求证：MB＋ND＝MN。（2）若MB＋ND＝MN，求证：∠MAN＝45°。
15、在16、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF。① 求证：ΔCEF是等腰三角形； ② 察图形，ΔCEF的哪两边之和恰好等于
ABCD的周长？并说明理由。
ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。
求证：四边形AFCE是平行四边形。
B
M
C
A
E
C
B
AF
B
DC17、如图所示，18、如图所示，在ΔABC中，AE平分∠BAC交BC于E，DE∥AC交AB于D，过D作DF∥BC交AC于F。求证： AD=FC
19..如图,20、如图所示，在21、如图所示，GH互相平分。
ABCD中，P是AC上任意一点，求证：SAPD＝SABP
A
F
B
D
G
C
ABCD中的对角线AC、BD相交于O，EF经过点O与AD延长线交于E，与CB延长线交于F。求证：OE=OF
ED
A
BA
ABCD 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,DGE100.E
CB
EF
C
(1)求证：DF=BG;(2)求AFD的度数.A
C
D
ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH。求证：EF、AF
ED22、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。
AB
F
例1 (2015·无锡) 如图1, 已知矩形ABCD的对角线长为8 cm, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点, 则四边形EFGH的周长等于_______cm.
【思路讲解】一般思路是连接AC、BD, 如图2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=8 (cm) ,
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
∴四边形EFGH的周长等于4+4+4+4=16 (cm) .
然而, 根据我们的教学经验, 常常发现不少优秀学生只要3秒就能搞定这样的考题.他们第1秒首先识别确认这是矩形的中点四边形问题, 则该中点四边形EFGH是菱形;第2秒连接对角线AC, BD, 确认AC=BD=8 cm;第3秒则利用三角形中位线性质得出EF=4 cm, 从而得出菱形EFGH周长为16 cm.
【回顾反思】上面我们讲解的“优秀学生的思路”你理解吗?你是否用的是这样的方法呢?事实上, 对于惜时如金的考场, 谁在这些基础题、熟悉题的解题速度上胜出, 谁就赢得了更多的时间去突破攻克把关题.
例2 (2015·南京) 如图3, AB∥CD, 点E, F分别在AB, C D上, 连接EF, ∠AEF、∠CFE的平分线交于点G, ∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1) 求证:四边形EGFH是矩形;
(2) 小明在完成 (1) 的证明后继续进行了探索, 过G作MN∥EF, 分别交AB, CD于点M, N, 过H作PQ∥EF, 分别交AB, CD于点P, Q, 得到四边形MNQP, 此时, 他猜想四边形MNQP是菱形, 请在下列框中补全他的证明思路.
由AB∥CD, MN∥EF, PQ∥EF, 易证四边形MNQP是平行四边形, 要证平行四边形MNQP是菱形, 只要证MN=NQ, 由已知条件______________, MN∥EF, 故只要证GM=FQ, 即证△MGE≌△QFH, 易证____________________, _________________, 故只要证∠MGE=∠QFH, 易证∠MGE=∠GEF, ∠QFH=∠EFH, _______________, 即可得证.
【思路讲解】
(1) 利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°, 进而得出∠GEH=90°, 进而求出四边形EGFH是矩形;
(2) 利用菱形的判定方法首先得出要证是菱形, 只要证MN=NQ, 再证∠MGE=∠QFH得出即可.
【规范解答】 (1) 证明:∵EH平分∠BEF,
∵FH平分∠DFE,
同理可得:∠EGF=90°.
∵点A、E、B在同一条直线上,
∴四边形EGFH是矩形.
(2) 解:答案不唯一:
由AB∥CD, MN∥EF, PQ∥EF, 易证四边形MNQP是平行四边形,
要证是菱形, 只要证MN=NQ, 由已知条件:FG平分∠CFE, MN∥EF,
故只要证GM=FQ, 即证△MGE≌△QFH, 易证GE=FH, ∠GME=∠FQH.
故只要证∠MGE=∠QFH, 易证∠MGE=∠GEF, ∠QFH=∠EFH, ∠GEF=∠EFH, 即可得证.
【反思回顾】事实上, 这道考题是把同学们熟悉的中点四边形改编呈现, 原命题如果看作:菱形MNQP的中点四边形EGFH是矩形, 这道考题的本质就是要求同学们回答:中点四边形EGFH是矩形时, 原四边形 (易证平行四边形) 是菱形.搞清问题的本质后, 我们也可提出如下问题, 供同学们继续思考:
(3) 连接MQ, NP, 求证:MQ、NP互相垂直平分;
义务教育课程标准实验教科书第121-122页四边形
教学目标：
1、会判断四边形和平行四边形，知道长方形、正方形和平行四边形的区别和联系。
2、能正确计算长方形和正方形的周长，并学会初步的运用。
3、懂得“学无止境”的道理，激发他们对后继相关知识的学习兴趣。
学情分析：
学生在第三单元中已经初步认识了四边形和平行四边形，理解周长的概念，会计算长方形和正方形的周长，并初步有了估计意识和能力。本节课是对这些知识的复习和整理，考虑到大部分学生对这部分知识掌握得不错，而且复习的知识点不多，所以本节课特地设计了后面的拓展部分，不要求学生全部掌握。
教学过程：
一、引入：省公务员考试题引入,公务员招考这么火爆，而最后录取得人又那么少，考试题目一定很难吧，其实不然，我也摘了一题目，是让我们按规律填图，我发现我们同学真还可能会做
二、展开：(早上我们复习有按规律填数，这节课我们要来复习有关图形的知识，刚才这么图形，全部分解后，出示上题中所有的图形，)分类板书(引导立体图形平面图形)
平面图形――四边形――平行四边形、长方形、正方形
三、回顾、整理：
1、我们学习过四边形，四边形有什么特征?(四条边、四个角)
2、平行四边形、长方形、正方形四条边和四个角有什么异同点(板书)
根据边和角的特点，小结三个图形之间的联系(可让学生举例说明)
3、画一画
根据上面说的特点，在点子图中画一个平行四边形、一个正方形和一个长方形。
4、说一说
出示点子图中画的平行四边行、正方形和长方形，像这样的长方形、正方形在我们教室里很多，平形四边形较少，但他在生活利用它的特性，用处很大，在哪里用到?长方形和正方形还能知道它们的什么?
5、什么是周长，(板书：封闭图形一周的长度)
6、小结长方形和正方形周长的计算方法：
(1)点子图上长方形和正方形的周长一样吗?
(2)要算周长首先要知道什么?(标出各边的长)
(3)学生口算算周长的算式
7、根据这个方法求出刚才画在点子图上的两个图形的周长。(做完后同桌互改)
四、实践提炼
1、求老师长方形手机的周长：
(1)出示老师的手机，估计长方形的周长，怎么估计的，(引导先估计长和宽各是多少厘米)
(2)要准确求应怎么办，师量出长和宽的厘米数，学生计算
(3)把这个手机翻开求周长(有什么方法)
2、出示一长A4纸，介绍A4纸的长和宽，怎样在这张A4纸中折一个最大的正方形，学生拿生上的练习纸折一个最大的正方形，求出这个正方形的周长，(电脑也出示这长A4纸的长和宽
3、剩下长方形的周长
4、求剩下的长方形中还可能剪几个最大的正方形，(引导学生用有余数的除法进行解答)
一、通过学生已有的知识，以及比较的过程，让学生从众多的图形中区分出四边形，并感悟到四边形有四条直直的边和四个角。
二、让学生通过观察、量一量、画一画、比一比等数学活动把四边形进行分类，对不同的四边形各自的特性有所了解。
在这节课中，我做得比较好的地方有：
1、关注生活经验，提供感性材料。
学生生活的世界和所接触的事物大都和数学中的“空间与图形”有关，生活经验是发展学生空间观念的宝贵资源。学生在生活中已经接触过很多图形，对四边形也不陌生。因此，本节课以学生熟悉的校园场景为教学素材，目的就是联系学生的生活经验，丰富他们对图形特别是四边形的感性认识，并从整体上感知自己生活中的四边形。既使学生感觉到数学来源于生活,又使他们对数学产生浓厚兴趣和亲切感。
2.在小组合作的过程中发挥学生的集体智慧。
小组合作的优点之一就是学生之间能互相启发，从不同的角度来解决问题。在认识了四边形后，我安排的教学环节是小组讨论，让他们将图形分分类。在这里，学生的思维被充分的展开了，出现了许多情况：有根据角分的、有根据边分的、有根据是否是对称图形分的、还有根据对边是否相等来分的。尤其是有根据是否是对称图形分的情况，学生能将新知识与已有知识进行联系，这虽然是一位同学的想法，却给了更多同学一启示。在讨论的过程中，学生还培养了说的能力和听的能力，一举多得。
针对课堂上学生的实际反应，我觉得存在着以下几点不足，需要自己不断努力：
1、在这次教学中，前面几个环节的教学是教师引导学生去获取知识，但是在分类这一环节中没有给学生足够的思考时间和发表自己看法的空间，过多地牵制了学生的思维，使得有几种不错的分类方法没能在课堂上得到展示。
2、面对学生的生成，课堂的应对能力还不强。整节课学生的交流、发言都比较积极，可是在分类这一环节中，出现了学生与教师一对一的局面。当学生的分类方法正是我所期望时，似乎这个学生只是和我在交流，是不是学生之间也相互听懂了呢?这是一个值得思考的问题。
【四边形课件】推荐阅读：
四边形09-07
三上四边形教案03-02
中考数学四边形专题10-13
四边形教学设计12-28
四边形的典型习题01-15
四边形证明解答题02-04
《四边形与复习》说课稿02-18
三年级上册《四边形》说课稿09-30
《四边形的内角和》的教学反思09-30
初二学期下册知识点归纳：四边形07-18
