一元二次方程测试题

一元二次方程测试题（精选8篇）

一元二次方程测试题 篇1

时间：45分钟分数：100分

一、选择题（每小题分，共分）

1.若方程(m2)x|m|3mx10是关于x的一元二次方程，则（）A．m2B．m=2C．m= —2D．m2 2.若方程x42

a有解，则a的取值范围是（）

A．a0B．a0C．a0D．无法确定

3.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1＝

3、x2＝1，那么这个一元二次方程是（）

A.x2+3x+4=0B.x2+4x-3=0C.x2-4x+3=0D.x2

+3x-4=0

4．一元二次方程(m2)x4mx2m60有两个相等的实数根，则m等于（）A.6B.1C.2D.6或1

5．对于任意实数x,多项式x2－5x+8的值是一个（）

A．非负数B．正数C．负数D．无法确定 6．已知代数式3x与x23x的值互为相反数，则x的值是（）A．－1或3B．1或－3C．1或3D．－1和－3

7．如果关于x的方程ax 2+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是（）

A．a＞–14B．a≥–111

4C．a≥–4 且a≠0D．a＞–4

且a≠0

8．（2005·浙江杭州）若t是一元二次方程ax2

bxc0(a0)的根，则判别式b24ac和完全平方式M(2atb)2的关系是（）

A.△=MB.△>MC.△

－x－a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．3

10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2

16x600的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A．24B．24或85C．48D．85

二、填空题（每小题分，共分）

11．一元二次方程（x+1）(3x－2)=10。12．当时，关于x的方程(m3)xm2

7

x5是一元二次方程；当m时，此方程是

一元一次方程。

13．如果一元二次方程ax2－bx+c=0有一个根为0，则c=;关于x的一元二次方程2x2－ax－a2

=0有一个根为－1，则。

14．把一元二次方程3x2

－2x－3=0化成3（x+m）2

=n的形式是 若多项式x2

－ax+2a－3是一个完全平方式，则a=。

15．（2005·江西）若方程x2m0有整数根，则m。16．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

17．已知(x2y21)(x2y23)5，则x2y2的值等于18．已知x2

3x20，那么代数式(x1)3x

21的值为。

19．当时，x2

3x与x15既是最简二次根式，被开方数又相同。x1

三、解答题

20．用配方法证明x24x5的值不小于1。

21．已知a、b、c均为实数，且a1|b1|(c3)20，求方程ax2bxc0的根。

四、应用题

22．（2004·合肥）合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？

五、综合题

23．设m为整数，且4

2(2m3)x4m2

一元二次方程测试题 篇2

一、一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想就是降次, 一元二次方程的常见解法有四种:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法.其中公式法是解一元二次方程的通法, 配方法是公式法的基础,直接开平方法、因式分解法解某些特殊的一元二次方程方程非常简单,掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.

(1)直接开平方法 :形如 (x±m)2=n(n≥0)的一元二次方程就用直接开平方法求解.

(2)因式分解法 :可化为a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的方程用因式分解法求解.

(2012·兰州·第21题·6分 ) 已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根 ,求代数式

的值.

(3)公式法:求根公式为

(2014·兰州·第21题(2)·5分)当x为何值时,代数式x2-x的值等于1.

(2013·兰州·第21题(2)·4分)解方程:x2-3x-1=0.

(4)配方法:若ax2+bx+c=0(a≠0)不易因式分解 ,可考虑配方为a(x+h)2=k(a≠0)再用直接开平方法求解.

(2013·兰州·第8题·4分 ) 用配方法解方程x2-2x-1=0时 ,配方后所得方程为()

(2011·兰州·第10题·4分 ) 用配方法解方程x2-x-5=0时 ,原方程应变形为()

(2009·兰州·第21题 (2)·5分 )用配方法解一元二次方程 :2x2+1=3x.

备考指导:解一元二次方程时,首先要观察分析方程的特点 ,然后选择 合适的方 法解题 ,有些方程 解法不唯 一时 ,一般按照 “直接开平 方法 ,因式分解 法 ,公式法 ,配方法”的顺 序选择.值得注意 的是解形 如 (x-2)(2x+1)=3(x-2)一元二次方 程时易丢 根 ,有些同学 同时除以x-2,走进了失 根的误区, 最后需牢记一元二次方程的求根公式和配方法的一般步骤.

二、一元二次方程的根的判别式

(2014·兰州·第10题·4分 )一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ,则b2-4ac满足的条件是 (%%)

(2013·兰州·第17题·4分 )若,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根 ,则k的取值范围是__.

(2010·兰州·第16题·4分)已知关于x的一元二次方程(m1)x2+x+1=0有实数根 ,则m的取值范围是%%

备考指导:这类问题往往是与一元二次方程的定义相结合考查的, 而考生易把二次项系数不为零这一隐含条件忽略,所以在牢记一元二次方程ax2+bx+c=(a≠0) 根的情况与根的判别式b2-4ac的关系b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实数根;b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数根 ;b2-4ac<0一元二次方程没有实数根)的基础上,必须考虑二次项系数不为零.

三、一元二次方程根与系数的关系

(2012·兰州·第27题·10分 ) 若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根 ,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:

参考以上定理和结论,解答下列问题:

设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的两个交点A(x1,0)、B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.

(1)当△ABC为直角三角形时,求b2-4ac的值 ;

(2)当△ABC为等边三角形时 ,求b2-4ac的值.

(2009·兰州·第19题·4分)阅读材料 :设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系:.根据该材料填空 :已知x1、x2是方程的两实数根,则的值为____.

备考指导:首先牢记一元二次方程根与系数的关系:若x1,x2是a2+bx+c=0(a≠0)的两根 ,则有其次在此基础上能对下列各代数式进行灵活变形:

四、一元二次方程的实际应用

随着新课程、新课标的实施,素质教育的不断深入,与我们生产、生活有关的应用问题不断渗透到数学中,从而出现了一些融入新理念,设计新颖,创设新情境的实际问题,加强了对学生实际应用能力的考查. 一元二次方程就是解决这类实际问题的一种有效模型, 列一元二次方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题, 然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决, 利用一元二次方程解决实际问题的关键是在透彻理解题意的基础上准确找出已知量与未知量的关系,这样才能恰当地设出未知数.分析等量关系时,应抓住问题的数学本质,尽量避免实际情境的干扰,剔除实际背景的文字叙述呈现数学化的形式,列出一元二次方程,求出一元二次方程的根后一定要根据具体情况进行检验, 把不符合实际意义的方程的解舍去,进而达到求解的目的.再者要善于将应用题分类,现把近几年一元二次方程常见题型列举如下:

(1)平均增长 (降低 )率型

(2013·兰州·第10题·4分 )据调查 ,2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2,2013年同期将达到8200元/m2, 假设这两年兰州市房价的平均增长率为,根据题意,所列方程为()

(2010·兰州·第12题·4分 ) 上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是()

(2009·兰州·第7题·4分 )2008年爆发的世界金融危机 ,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机. 受金融危机影响, 某商品原价为200元, 连续两次降价后售价为148元,下面所列方程正确的是()

备考指导:解决这类有关平均增长(降低)率的问题的关键是准确掌握基本关系式b=a(1±x)n,其中a为增长 (降低 )的基础数量,x为增长(降低)率,n为增长(降低)的次数,b为增长(降低 )后的数量 ,解这类一元二次方程适合用直接开平方法 ,最后注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

(2)几何型

(2014·兰州·第19题·4分)如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列出方程为____.

(2012·兰州·第10题·4分 ) 某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃,它的长比宽多10m,设花圃的宽为xm,则可列方程为()

备考指导:几何型问题多以面积为主,解决这类面积问题的关键是熟记特殊图形的面积公式, 其次会将不规则的图形分割或割补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出一元二次方程.

(3)送照片、握手型

(2011·兰州·第11题·4分 )某校九年级学生毕业时 ,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()

备考指导:每个人送照片的张数是总人数减1,所有人送照片的总张数是总人数乘以总人数减1,所有人握手的总次数恰是所有人送照片的总张数的一半.

(4)销售利润型

(2013·广东汕头澄海·第21题·7分 )“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件,每件盈利20元.“五一”期间,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件该商品每降价1元,商场平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:

(1)降价后每件商品盈利______元 ,商场日销售量增加___件 (用含x的代数式表示 );(2) 在上述条件不变的情况下,求每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2240元?

备考指导: 解决销售利润问题的关键是掌握利润问题中常用的关系式,特别是总利润=每件的利润*销售量.

以实际问题为背景的题目, 主要考查阅读能力和理解能力,此类题能够培养我们利用数学知识解决实际问题的能力,突出体现数学在现实生活中的应用价值,体会设未知数、列方程的代数方法,领略知识从实践中来到实践中去.以上例子都是近几年运用一元二次方程解决实际问题的中考试题, 综观上述各种问题的解法, 我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节:一是整体地、系统地审清问题;二是把握问题中的等量关系;三是正确求解一元二次方程并检验解的合理性.

一元二次方程测试题 篇3

1． 若a＜b，则－a＋1－b＋1；ac2bc2．

2． 当m＿＿＿时，关于x的不等式mx＞4m的解集是x＜4．

3． 适合不等式－3≤x≤5且适合不等式－4≤x≤4的所有整数是．

4． 函数y1＝－5x＋，y2＝x＋1，使y1＜y2的最小整数解为．

5． 不等式组2x－3＜0，

x＞0的解集是．

6． 不等式组2x－3＜0，

3x＋2＞0的整数解是．

7． 如图1所示，数轴上表示的是一个不等式组的解集，则这个不等式组的整数解是．

8． 当x时，代数式的值小于1．

9． 已知关于x、y的方程组2x－y＝10，

3x＋y＝5m的解x、y都不大于3，则m的取值范围是．

10． 当m时，关于x的不等式（m－6）x＞2mx＋1的解集为x＞1．

二、选择题（每题3分，共24分）

11． 已知关于x的不等式2x＋m＞－5的解集如图2所示，则m的值为（）

A． 1 B． 0C． －1D． －2

12． 不等式组－2x＜0，

3－x≥0的正整数解的个数是（）

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

13． 不等式组2x＋7＞3x－1，

x－2≥0的解集为（）

A． 2＜x＜8B． 2≤x＜8C． x＜8D． x≥2

14． 实数m、n在数轴上的位置如图3所示，则下列不等式正确的是（）

A． n＜m B． n2＜m2 C． n0＜m0D． ｜n｜＜｜m｜

15． 不等式（2x＋5）（x－3）＞0的解集是（）

A． x＞3或x＜－ B． x＜－3或x＞ C． －＜x＜3 D． －3＜x＜

16． 已知实数a，b，c满足a＞b＞c ，则下列各式正确的是（）

A． ab＞bc B． a＋b＞b＋cC． a－b＞b－cD． ＞

17． 不等式组x＞－3，

x＜－4；x＜10，

x＞15；x＞10，

x＜10；x＞10，

x＞15 中，无解的有（）

A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个

18． 某种商品的价格在第一季度上升了10％，在第二季度又下降了（a－5）％（a＞5），但不低于原价，则a的取值范围是（）

A． 5＜a≤35 B． 5＜a≤C． 5＜a＜25D． a≥25

三、解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来（每题5分，共20分）

19． 3（2x＋5）＞2（4x＋3）； 20． 1－≤；

21．7－5x＜3x，

2x－1＜6；22． 3x－3≤

x－1，

4（2x－1）＞3x．

四、解答题（23题8分，24题10分，25题8分，共26分）

23． 有一个两位数，其个位数字比十位数字大3．已知这个两位数大于40而小于50，求这个两位数．

24． 解关于x的不等式ax－2＞x－3a．

25． 某次测验共有20道选择题．答对1道得5分，答错1道扣2分，不答不得分．某同学得48分，那么他答对的题目最多是多少道？

一元二次方程达标检测试题 篇4

1.下列方程中，一元二次方程共有( ).

① ② ③ ④ ⑤

A. 2个 B.3个 C.4个 D. 5个

2.方程 的根为( ).

A. B. C. D.

3.若方程 有解，则 的取值范围是( ).

A. B. C. D.无法确定

4.若分式 的值为零，则x的值为( ).

A.3 B.3或-3 C.0 D.-3

5.用配方法将二次三项式a2+ 4a +5变形，结果是( ).

A.(a2)2+1 B.(a +2)2+1

C.(a 2)2-1 D.(a +2)2-1

6.一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是( ).

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.无实数根 D.只有一个实数根

7.已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是( ).

A.y8 B.3

8.方程x2+4x=2的正根为( ).

A.2- B.2+ C.-2- D.-2+

9.有一个两位数，它们的.十位数字与个位数字之和 为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为( ).

A.62 B.44 C.53 D.35

10.王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为( ).

A.5% B.20% C.15% D.10%

二、填空题(每题3分，计3 0分)

11.把方程(2x+1)(x2)=5-3x整理成一般形式后，得 ，其中常数项是 .

12.方程 用 法较简便，方程的根为 .

13.方程 是一元二次方程，则 .

14.已知方程 的一个根是2，则 的值是 ，方程的另一个根为 .

15.当x=________时，代数式3x2-6x的值等于12.

16.请你给出一个c值, c= ，使方程x2-3x+c=0无解.

17.已知x2+4x-2=0，那么3x2+12x+的值为 .

18.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .

19.第二象限内一点A(x 1，x22)，关于x轴的对称点为B，且AB=6，则x=_________.

20.两个正方形，小的正方形的边长是大的正方形的边长一半多4cm，大的正方形的面积是小的正方形的面积2倍少32cm2.则大、小两正方形的边长分别为____________.

三、解答题(共40分)

21.(6分)用适当的方法解方程：

(1) ; (2) .

22.(5分)已知 ，且当 时， ,求 的值.

23.(5分)已知关于x的方程 x2+kx-2=0的一个解与方程 解相同.

(1)求k的值;(2)求方程x2+kx-2=0的另一个根.

24.(8分)我们知道：对于任何实数 ，①∵ 0， +1

②∵ 0， + 0.

模仿上述方法解答：

求证：(1)对于任何实数 ，均有：

(2)不论 为何实数，多项式 的值总大于 的值.

25.(8分)若把一个正方形的一边增加2 cm，把另一边增加1 cm，所得的矩形比正方形面积多14 cm2，求原来得正方形边长.

2 6.(8分)三个连续正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个正奇数.

四、拓广提高(共20分)

27.(10分)某校捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少?

28.(10分) 为了开阔学生视野，某校组织学生从学校 出发，步行6km到科技展览馆参观.返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时.求学生返回时步行的速度.

参考答案

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10. D

二、填空题

11. 12.因式分解法， 13.2 14. 15. 16.3等 17. 18.16 19. 20.16cm，12cm

三、解答题

22.把x=1,y=0代入得

23.(1)方程 的解为，x=2，把x=2代入方程x2+kx-2=0得：4+2k-2=0，k=

(2)x2x-2=0的根为 ,所以方程x2+kx-2=0的另一个根为1.

25.设原正方形的边长为x，则 .

所以，原来得正方形边长为4cm.

26.设中间一个正奇数为x，则

由于x为正奇数,x=1舍去，三个正奇数为5，7， 9

四、拓广提高

27.设该校捐款的平均年增长率是x，则

解得 ，所以，该校捐款的平均年增长率是50%.

28.设返回的速度为xkm/h，则 (舍去)

一元二次方程测试题 篇5

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内)

1．在以下的式子中：x＋8＝3；12－x；x－y＝3；x＋1＝2x＋1；3x2＝10；2＋5＝7；

3其中是方程的个数为()．

A．3B．4C．5D．6

2．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为()．

A．5B．4C．3D．

23．下面四个方程中，与方程x－1＝2的解相同的一个是()．

A．2x＝6B．x＋2＝－

1C．2x＋1＝3D．－3x＝9

4．下列方程变形一定成立的是()．

A．如果S＝1Sab，那么b＝ 2a2

B．如果1x＝6，那么x＝3 2C．如果x－3＝2x－3，那么x＝0

5．若关于x的一元一次方程

A．D．如果mx＝my，那么x＝y 27 2xkx3k＝1的解是x＝－1，则k的值是()． 3213B．1C．D．0 11

6．甲比乙大15岁，5年前，甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是()．

A．10岁B．15岁

C．20岁D．30岁

7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(优惠10%)仍可获利10%(相对于进货价)，则该家具的进货价是()．

A．108元B．105元

C．106元D．118元

8．一架飞机飞行于两城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需要3小时，逆风飞行需要4小时，则两城市间的距离是多少？若设两城市间的距离为x千米，可列方程为()．

A．xx＋24＝－243

4C．3x＋24＝4x－24 xx－24 43xxD．2424 34B．

9．某出租车收费标准是：起步价6元(即行驶距离不超过3 km需付费6元)，超过3 km以后，每增加1 km加收1.5元(不足1 km按1 km计算)，小王乘出租车从甲地到乙地支付车费18元，那么他乘坐路程的最大距离是()．

A．7 kmB．9 km

C．10 kmD．11 km

10．元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．如图，圆桌半径为60 cm，每人离圆桌的距离均为10 cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程()．

2(6010)2(6010x)＝ 68

2(60x)260B． 86A．

C．2π(60＋10)×6＝2π(60＋π)×8

D．2π(60－x)×8＝2π(60＋x)×6

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．)

11.小李在解方程5a－x＝13(x为未知数)时误将－x看作＋x，得方程的解为x＝－2，则原方程的解为__________．

12．当x＝________时，2x11与x－1的差是.2

32413．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算，＝ad－bc，那么当＝(1x)5cd

18时，x＝__________.14．一个三位数的百位数字是1，若把百位数字移到个位，则新数比原数的2倍还多1，则原来的三位数是__________．

15．有一数列，按一定规律排成1，－2,3,2，－4,6,3，－6,9，接下来的三个数为__________．

16．用72厘米的铁丝做一个长方形，要使长是宽的2倍多6厘米，则这个长方形的长和宽各是__________．

17．某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为__________． 18．一件工作，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成，甲、乙合作2天后，剩下的由乙单独完成，还需__________天．

三、解答题(本大题共6小题，共46分)

19．解下列方程：(每小题4分，共12分)

(1)2(x－1)＋(3－x)＝－4.ab

2x110x11x.41

20.3x10.1x0.22.(3)0.20.5(2)

20．(6分)已知关于x的方程1(1x)1k的解与方程2

32k3(x1)(x1)(3x2)的解互为相反数，求k的值． 45102

21.(6分)为了节约开支和节约能源，某单位按以下规定收取每月的电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费，如果超过140度，超过的部分按每度0.57元收费，若某用户四月份的电费平均每度0.5元，则该用户四月份应交电费多少元？

22.(6分)小明离家去市中心的体育馆看球赛，进场时发现门票忘在家中，此时离比赛开始还有45分钟，于是他立即步行(匀速)回家取票．在家取票用时2分钟，取到票后，他急忙骑自行车(匀速)赶往体育馆，终于在比赛开始前3分钟赶到体育馆门口，已知小明步行的速度是80米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道小明家离体育馆多远吗？

23．(8分)某乳制品厂，现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸

奶销售，每吨可获利1 200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2 000元．本工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：

方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；

方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．

你认为哪种方案获利最多，为什么？

24．(8分)惠民超市第一天以每件10元的价格购进某品牌茶杯15个，由于此种品牌商品价格看涨，第二天又以每件12元的价格购进同种茶杯35个，然后以相同的价格卖出，商店在销售这些茶杯时，要想利润率不低于10%，你觉得该如何定价？

参考答案

1答案：B 点拨：关键在于抓住含有未知数的等式这个核心．

2答案：A 点拨：1个三角形＝1个正方形＋1个圆，1个圆＝2个正方形．方法：通过替代找出它们之间的关系．

3答案：A

4答案：C

5答案：B 点拨：把x＝－1代入原方程，解以k为未知数的一元一次方程．解得k＝1.6答案：C 点拨：设5年前乙的年龄是x岁，则甲的年龄是2x岁，都增加5岁，甲比乙大15岁，列出方程2x＋5－(x＋5)＝15，解得x＝15.故乙现在的年龄是20岁．

7答案：A 点拨：设进货价为x元，根据题意，得(1＋10%)x＝132×(1－10%)，解得x＝108.8答案：D 点拨：顺风速度－风速＝逆风速度＋风速．

9答案：D 点拨：支付18元，一定超过3 km，设乘坐路程为x km，所以6＋1.5(x－3)＝18，解得x＝11.故选D.10答案：A 点拨：首先理解题意找出题中存在的等量关系：8人之间的距离＝原来6人之间的距离，根据等量关系列方程即可．设每人向后挪动的距离为x，则这8个人之间的距离是：2(6010x)2(6010)，6人之间的距离是：，根据等量关系列方程得：86

2(6010x)2(6010)＝.故选A.86

12x111 点拨：根据题意列方程－(x－1)＝，解得x＝.222311答案：x＝2 点拨：x＝－2就是5a＋x＝13的解，求出a＝3，再代入原正确方程求出x＝2.12答案：

13答案：3 点拨：由运算规律可列方程：10－4(1－x)＝18，解得x＝3.14答案：125 点拨：若设这个三位数的后两位数为x，原数为100＋x，新数为10x＋1，根据题意，得2(x＋100)＋1＝10x＋1，求得x＝25.15答案：4，－8,12 点拨：每三个数为一组，第一组分别是1，－2,3，第二组分别是2，－4,6，第三组分别是3，－6,9，则接下来的三个数为第四组，分别为4，－8,12.16答案：26厘米、10厘米 点拨：设宽为x厘米，那么长为(2x＋6)厘米，根据题意，得x＋(2x＋6)＝72÷2，解得x＝10.17答案：21元 点拨：设商品的进价为x元，那么28×0.9＝20%x＋x，解得x＝21.18答案：6 点拨：设还需x天完成，由题意，得

6天完成．

19解：(1)去括号，得2x－2＋3－x＝－4.移项，得2x－x＝－4＋2－3.合并同类项，得x＝－5.(2)去分母，得3(2x＋1)－12＝12x－(10x＋1)．

去括号，得6x＋3－12＝12x－10x－1.化简，得6x－9＝2x－1.移项，得6x－2x＝－1＋9.合并同类项，得4x＝8.系数化为1，得x＝2.(3)化为整数分母，得22x＝1，解得x＝6.所以还需612123x10x22.25

去分母，得5(3x－10)＝2(x－2)－20.去括号，得15x－50＝2x－4－20.移项，得15x－2x＝－24＋50.合并同类项，得13x＝26.系数化为1，得x＝2.1(1x)＝1＋k，2

11去括号得：x＝1＋k，2220解：

去分母得：1－x＝2＋2k，移项得：－x＝1＋2k，把x的系数化为1得：x＝－1－2k，32k3(x1)(x1)(3x2)，45102

去分母得：15(x－1)－8(3x＋2)＝2k－30(x－1)，去括号得：15x－15－24x－16＝2k－30x＋30，移项得：15x－24x＋30x＝2k＋30＋15＋16，合并同类项得：21x＝61＋2k，把x的系数化为1得：x＝612k，21

∵两个方程的解为相反数，∴－1－2k＋612k＝0，解得：k＝1.21

612k，再根据两个方程的解21点拨：首先分别解出两个方程的解为：x＝－1－2k，x＝

为相反数，可得－1－2k＋612k＝0，然后解出k的值即可． 21

21解：设四月份用电x度，根据题意，得

140×0.43＋(x－140)×0.57＝0.5x，解得x＝280，∴0.5x＝0.5×280＝140(元)．

答：该用户四月份应交电费140元．

点拨：平均每度0.5元，用电超过了140度．所以只有一种情况．

22解：设小明家离体育馆有x米，由题意，得xx＝(45－2－3)．解得x＝2 400.80803

答：小明家离体育馆2 400米．

点拨：回家时步行的用时＋去体育馆骑自行车的用时＋2＝45－3.解：方案一获利：000×4＋500×(10－4)＝8 000＋3 000＝11 000(元)．

设方案二将x吨鲜奶制成奶粉，(10－x)吨鲜奶制成酸奶，根据题意，得x＋10x＝4，3

解得x＝1.所以方案二获利为：2 000＋1 200×(10－1)＝2 000＋10 800＝12 800(元)．

因为11 000＜12 800，所以方案二获利最多．

点拨：因为制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨，所以方案一共可以将4吨鲜奶加工成奶粉，其余直接销售鲜奶，由此可算出方案一的获利；方案二需要先根据条件算出奶粉和酸奶的吨数，再算其获得的利润，比较结果可判断哪种方案获利最多．

23解：设每个茶杯的最低售价为x元，由题意，得15(x－10)＋35(x－12)＝(15×10＋35×12)×10%，解得x＝12.54.答：商店在销售这些茶杯时每个茶杯的售价不能低于12.54元．

点拨：虽进价不同，但可运用总利润除以总进价得到利润率，即分别用(售价－进价)×

二元一次方程组单元测试题 篇6

1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( ).

A.B.C.D.

2.将二元一次方程变形，正确的是( ).

A.B.C.D.

3.将方程x+2y=1中的x项的系数化为2，则下列结果中正确的是.

A、2x+6y=1B、2x+2y=6C、2x+6y=3D、2x+12y=6

4.若、满足，则的值等于().

A.-1B.1C.-2D.2

5.方程组的解是( ).

A B C D

6.若方程组的.解是，那么、的值是().

A.B.C.D.

7.在等式中，当时，，当时，，则这个等式是().

ABCD

8.已知是方程组的解，则间的关系是( ).

A.B.C.D.

9.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶元，乙种水每桶元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水桶，乙种水桶，则所列方程组中正确的是().

ABCD

10.已知甲、乙两人的收入比为，支出之比为，一年后，两人各余元，若设甲的收入为元，支出为元，可列出的方程组为( ).

A.B.C.D.

二、填空题(每空2分，共22分)

11.若方程是二元一次方程，则_____，____.

12.若方程的一个解是则_____.

13.在方程中，如果用含有的式子表示，则___.

14.已知是方程的一个解，那么__________.

15.已知二元一次方程，当互为相反数时，____，_____.

16.对于x、y，规定一种新的运算：，其中、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则=______.

17.学校的篮球数比排球数的倍少个，篮球数与排球数的比是，求这两种各有多少个?若设篮球有个，排球有个，则依题意得到的方程组是_____.

18..蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是________、________.

三、解答题(本大题共4小题，共36分)：

19.用代入法解下列方程组(10分)：

(1)(2)

20.用加减法解下列方程组(10分)：

(1)(2)

21.(本题8分)若，求的值.

22.(本题8分)若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值.

四、应用题(列方程组求解;本大题共两小题，共22分)：

23.(10分)李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元;陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱.若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买在喝种桶装矿泉水更便宜一些?

24.(12分)某中学新建了一栋层的教学大楼，每层楼有间教室，进出这栋大楼共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，分钟内可以通过名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

一元二次方程测试题 篇7

铁与硝酸反应的试题是高中化学久考不衰的热点问题, 这是一个受多种因素影响较为复杂的反应, 因此, 命题者可以从硝酸的浓度、反应温度、硝酸与铁的用量不同等多种因素变化, 利用基本概念、氧化还原反应、离子反应、推理计算等原理而设计出许多考题.下面就解析一组有关铁与硝酸反应方程式的试题.

一、铁与浓硝酸反应环境条件变化的试题

铁与浓硝酸反应的产物依赖于硝酸的冷热程度、硝酸的浓稀程度等综合因素, 下面将从温度和浓度两个因素变化结合图形进行命题.

例1 铁在冷的稀硝酸中反应的主要还原产物为NO, 而在热的稀硝酸中反应其主要还原产物为N2O, 当溶液更稀主要还原产物为NH+4, 请分析图1回答问题 (假设在任一气体产生曲线段内只有一种还原产物) .

(1) 配平由b到c点时反应的化学方程式.

__Fe+__HNO3=__Fe (NO3) 3+__NH4NO3+__H2O

(2) 判断从b点到a点时的还原产物为__.

(3) 从a点到b点时产生的还原产物为__, 其原因是__.

(4) 已知到达d点时反应完全结束, 此时溶液中的主要阳离子为__, 分析投入金属铁的物质的量之比$\frac{n{}_c(\text{F}\text{e})}{n{}_d(\text{F}\text{e})}$为__.

解析:题给图象可分为两部分, 其一是H+浓度随n (Fe) 的改变情况;其二是产生气体的体积随n (Fe) 的改变情况.从题给条件知铁在冷稀硝酸中生成NO, 故从O点到a点时, 硝酸过量, 反应产物为Fe (NO3) 3和NO;随着反应的进行, 温度升高, 从a点到b点时, 反应产物为Fe (NO3) 3和N2O;由于硝酸的不断消耗, 使得硝酸更稀, 不再有气体生成.从b到c点时, 反应产物为Fe (NO3) 3和NH4NO3;到达c点时, H已消耗完毕, 进行的只是Fe (NO3) 3与Fe的反应, 从c点到d点时, 反应产物为

Fe (NO3) 2.

(1) 根据氧化还原反应电子得失守恒原理配平的反应式为

8Fe+30HNO38Fe (NO3) 3+3NH4NO3+9H2O

(2) 开始反应时稀硝酸主要还原产物为NO.

(3) 因为该反应放热反应, 当反应温度升高后, 则生成N2O.

(4) 到d点是反应的最后一个阶段, 因为不断加入铁, Fe与Fe3+作用生成Fe2+, 故此时溶液中的主要阳离于为Fe2+.又因Fe与Fe3+反应时的物质的量之比为1∶2, 所以

$\frac{n{}_c(\text{F}\text{e})}{n{}_d(\text{F}\text{e})}=\frac{2}{3}.$

答案: (1) 8 30 8 3 9; (2) NO.

(3) N2O 因为该反应放热反应, 当反应温度升高后, 则生成N2O.

$(4)\text{F}\text{e}{}^{2+}\frac{2}{3}.$

二、铁与浓硝酸反应铁的用量不同的试题

铁粉与过量浓硝酸反应时, 其反应过程如下;首先是Fe+6HNO3 (浓) =Fe (NO3) 3+3NO2↑+3H2O, 然后是Fe+4HNO3 ( (稀)

Fe (NO3) 3+NO↑+2H2O, 接着是

Fe+2Fe (NO3) 33Fe (NO3) 2.这样, 若过量铁粉与浓硝酸反应, 则有Fe+4HNO3 (浓)

Fe (NO3) 2+2NO2↑+2H2O.若铁粉与过量的稀硝酸反应, 则有Fe+4HNO3 (稀)

Fe (NO3) 3+NO↑+2H2O;过量的铁粉与稀硝酸反应, 则有3Fe+8HNO3 (稀) 3Fe (NO3) 2+2NO↑+4H2O.因此, 铁粉与硝酸反应时, 其生成物更为复杂.

例2 对单质铁溶于稀硝酸的过程如下分析:

(1) 当发生的反应为Fe+4HNO3 (稀)

Fe (NO3) 3+NO↑+2H2O, n (HNO3) 与n (Fe) 的大小关系为__ (n表示物质的量) .

(2) 当$n(\text{Η}\text{Ν}\text{Ο}{}_3)\le \frac{8}{3}n(\text{F}\text{e})$时, 发生反应的离子方程式为____.

(3) 当$\frac{8}{3}n(\text{F}\text{e})<n(\text{Η}\text{Ν}\text{Ο}{}_3)<4n(\text{F}\text{e})$时, 发生的反应可表示为aFe+bHNO3 (稀) cNO↑+dFe (NO3) 2+eFe (NO3) 3+f H2O.

①现假设a=16, 且b、c、d、e、f均为正整数, 可得到多组化学计量数 (系数) 的配比, 请将它们填入下表 (可不填满, 也可以补充) :

②根据以上分析, 推理与计算总结a、b、c、d、e、f之间的函数关系式:b=f (c) ;

d=f (a, c) .

解析:此题围绕铁与稀硝酸的反应, 设计了许多问题, 但关键还必须根据恰好完全反应的点进行原理分析, 根据电子守恒利用数学知识即可解答.本题涉及铁与稀硝酸反应的两个反应方程式:Fe+4HNO3 (稀) Fe (NO3) 3+NO↑+2H2O和3Fe+8HNO3 (稀) 3Fe (NO3) 2+2NO↑+4H2O, 由这两个反应不难得到:

(1) 当发生反应Fe+4HNO3 (稀)

Fe (NO3) 3+NO↑+2H2O时, 硝酸要过量,

n (HNO3) 与n (Fe) 的大小关系为:

n (HNO3) ≥4n (Fe) .

(2) 当$n(\text{Η}\text{Ν}\text{Ο}{}_3)\le \frac{8}{3}n(\text{F}\text{e})$时, 铁要过量, 发生反应为:3Fe+8HNO3 (稀) 3Fe (NO3) 2+2NO↑+4H2O, 改为离于方程式为

3Fe+8H++2NO-33Fe2++2NO↑+4H2O.

(3) ①本题可采用极限思维法解题.根据电子得失守恒知, 生成NO时所得电子总数必为3c, 因为c为正整数, 故转移电子总数一定是3的整数倍.因a=16, 铁所失电子总数必在16×2～16×3之间, 其间属于3的整数倍的有33、36、39、42、45五种, 故还原产物NO的化学计量数c只可能为11、12、13、14、15五种取值.由原子守恒得如下关系式:d+e=a=16, b=c+2d+3c, b=2f, 由电子得失守恒得如下关系式:2d+3e=3c.由此不难推出b等其他计量数的值.可得下表数据:

②由b=c+2d+3e和2d+3e=3c得b=4c;由2d+3e=3c和d+e=a得d=3 (a-c) .

三、铁与硝酸反应出现多种产物的试题

铁与硝酸反应时铁可被氧化为Fe3+或Fe2+, 硝酸可被还原为多种氮的氧化物.它们可同时存在于一个体系中, 问题就会变得复杂.根据原子守恒、电荷守恒、电子得失守恒及极限的方法可以顺利解决这类问题.

例3 单质铁溶于一定浓度的硝酸中反应的化学方程式如:aFe+bNO-3+cH+dFe2++fFe3++gNO↑+hN2O↑+kH2O (化学计量数均为正整数) , 请你用已掌握的知识回答下列问题.

(1) ①b、c、d、f的关系式是____;②d、f、g、h的关系式是____;③c、g、h的关系式是____.

(2) 若a=12, 铁和硝酸全部完全反应, 则b的取值范围是____, c的取值范围是____.

解析:①若要求b、c、d、f的关系, 观察b、c, d、f恰好是反应方程式中各种离子的化学计量数, 根据电荷守恒得, c-b=2d+3f.

②若要求d、f、e、h的关系, 观察d、f、g、h恰好是与电子得失有关四种产物的化学计量数, 其中“dFe2+f Fe3+”决定失电子总数, “gNO+hN2O”决定得电子总数, 根据电子得失守恒得

2d+3f=3g+8h.

③若只从“cH+→gNO+hN2O”去分析, 似乎跟NO、N2O之间没有什么关系, 但抓住“反应中H+全部转化为H2O”、“NO和N2O全部由NO-3转化而来”, 必有“NO-3+4H+→NO+H2O”和“2NO-3+10H+→N2O+5H2O”, 进而总结出c=4g+10h.

(2) 该题可从极限思维方法来解决.这里要注意三个前提:一是a=12;二是铁和硝酸全部完全反应;三是每种物质的化学计量数均为正整数 (即产物中既要有Fe2+, 又要有Fe3+, 既要有NO, 又要有N2O) , 有12 mol Fe完全反应时, 只有当“Fe→Fe2+, NO-3→N2O”时消耗的NO-3最少. (计算可得需6mol) , 只有当“Fe→Fe3+, NO-3→NO”时消耗的NO-3最多 (计算可得需12 mol) , 所以有6<b<12.从分析问题 (1) (3) 的基础上可得出, 有12 mol Fe完全反应时, 只有当“Fe→Fe2+, NO-3→N2O”时消耗的H+最少 (计算可得需30 mol) , 只有当“Fe→Fe3+, NO-3→NO”时消耗的H+最多 (计算可得需48 mol) , 所以有

30<c<48.

“圆锥曲线与方程”单元测试 篇8

1. 椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2等于()

A. 32 B. 3

C. 72D. 4

2. P(x0,y0)是双曲线x2a2-y2b2=1右支上的一点, F为左焦点, e为离心率,则PF等于()

A. a+ex0B. a-ex0

C. -a+ex0D. -a-ex0

3. 抛物线y2=ax(a≠0)焦点的坐标是（）

A. a2,0B. a4,0

C. |a|4,0D. ±a4,0

4. 设F1，F2分别为双曲线x2sin2θ-y2b2=1(0＜θ≤π2,b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，如果AB=m，则△AF2B的周长的最大值是.

5. 学校操场上空飘着一个气球（球形），气球在太阳光的照射下，在地面上的阴影呈椭圆形，现测得椭圆的长轴长为43，太阳光线与地面成60°角，则气球内所充气体的体积为.

6. 设P是椭圆x216+y2m=1(0＜m＜16)上异于长轴端点的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1•PF2+OP2=25，则m的值为.

7. 若双曲线x2m-5+y2m=1的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则该双曲线的准线方程是．

8. 已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1，F2 ，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若ePF2=PF1，则e的值为 .

9. 椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,52)，若该椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为12，求该椭圆的方程.

10. 一动圆与圆x2+y2-2x=0外切，同时与y轴相切，动圆圆心的轨迹为曲线E．

（1） 求曲线E的方程；

（2） 若过定点P(4,0)的直线l与曲线E交于A,B两点，求证：以AB为直径的圆经过坐标原点.

B组

1. P为双曲线x29-y216=1的右支上的一点，M，N分别是圆 (x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则PM- PN 的最大值为（）

A. 6B. 7

C. 8D. 9

2. 如图1，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程为()

A. y2=9xB. y2=6x

C. y2=3xD. y2=3x

图1

图2

3. 如图2，椭圆的中心在坐标原点，离心率为35，F为椭圆的左焦点，A，B，C分别为椭圆的上、左、下顶点直线AB与FC交于点D，则∠BDC的正切值是()

A. 32B. -32

C. 8D. -8

4. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长之比为2∶1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于.

5. 已知M为双曲线x23-y2=1右支上的一个动点，F为双曲线的右焦点，定点A的坐标为（3，1），则MA+MF的最小值为.

6. 椭圆C1：x24+y23=1的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则PF2=.

7. 设点P是双曲线x2a2-y2b2=1上除顶点外的任意一点，F1，F2分别为其左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与直线F1F2切于点M，如图3，则F1M•F2M=.

图3

图4

8. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一条弦AB过其左焦点F且倾斜角为60°,若AF=2BF，则椭圆的离心率为.

9. A，B，C是我方的三个炮兵阵地，A在B的正东且距B6km，C在B的北偏西30°且距B4km，P为敌炮阵地.某时刻在A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，若A炮击P地，求炮击的方位角.

10. 如图4，已知A，B，C是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为（23，0），BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，BC=2AC.

（1） 求点C的坐标及椭圆E的方程；

（2） 若椭圆E上存在两点P，Q，使得直线PC与直线QC关于直线x=3对称，求直线PQ的斜率.

参 考 答 案

A组

1. C2. A3. B4. 4+2m5. 36π

6. 97. y=±558. 33

9. 设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1，则a2=b2+50,

由y2b2+50+x2b2=1，y=3x-2，

得（10b2+50）x2-12b2x-46b2-b4=0,由x1+x22=12b2=25,a2=75,

所以椭圆的方程为y275+x225=1.

10. （1） 设动圆圆心为M（x，y）（x≠0），则由题意得(x-1)2+y2=|x|+1，化简得y2-2x=2|x|，所以y2=4x(x＞0)或y=0(x<0)，

即曲线E的方程为y2=4x，x＞0，0,x＜0.

（2）设l：x=my+4，代入y2=4x(x＞0)，消去x，得y2-4my-16=0． 

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则y1y2=-16，则x1x2=y214•y224=16．

则OA•OB=x1x2+y1y2=16-16=0,所以 OA⊥OB．故以AB为直径的圆经过坐标原点．

B组

1. D2. C3. A4. 25. 26-23

6. 837. -b2 8. 23

图5

9. 如图5，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，设单位长度为1km,则B（-3，0），A（3，0），C（－5，23）.因为PB=PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上.

因为kBC=-3，BC的中点为D（-4，3），所以直线PD的方程为y-3=13（x+4）①，

又PB－PA=4，故点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上,而

双曲线右支的方程为x24- y25=1（x≥0）②，

联立①②，得x=8，y=53，所以P为（8，53）,因此kPA=538-3=3,故炮击的方位角为北偏东30° .

10. （1） 因为BC=2AC，且BC经过O（0，0），所以OC=AC.

又A(23，0），∠ACB=90°，

所以C(3,3),

将a=23及C点坐标代入椭圆方程，得312+3b2=1,所以b2=4,

所以椭圆E的方程为x212+y24=1.

（2）因为PC与CQ所在直线关于直线x=3对称，设PC的斜率为k，则CQ的斜率为－k，所以PC的方程为y-3=k(x-3),即y=k(x-3)+3①，

CQ的方程为y=-k(x-3)+3②.

将①代入x212+y24=1，得 (1+3k2)x2+63k(1-k)x+9k2-18k-3=0③,

因为C(3,3)在椭圆上，所以x=3是方程③的一个根，

所以3xP=9k2-18k-31+3k2,

所以xP=9k2-18k-33(1+3k2)，

同理可得xQ=9k2+18k-33(1+3k2)，

所以kPQ=yQ-yPxQ-xP=-k(xQ+xP)+23kxQ-xP=13.