《选修2-1,几何证明选讲》习题

《选修2-1,几何证明选讲》习题（精选6篇）

《选修2-1,几何证明选讲》习题篇1

——《选修2-1，几何证明选讲》

以下公式或数据供参考

ybx;b⒈axynxyii

i

1x

i1n2inx2．

2、参考公式

3、K

2n(adbc)2

(a

b)(c

d)(ac)(bd)n=a+b+c+d

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．在复平面内，复数i(i1)对应的点在（）

A．第一象限

B．第二象限 C

．第三象限 D．第四象限

2．下面4个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）

Ａ．①②Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ．③④

3）

Ａ．2

2Ｂ．2

2Ｃ．22Ｄ．2(2

4．已知11，则下列命题：①2；②2；③120；④31．其中真命题的个数2是（）

A．1B．2C．3D．

45．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）

Ａ．有一个解Ｂ．有两个解

Ｃ．至少有三个解Ｄ．至少有两个解

6．利用独立性检验来考察两个变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X与Y有关系”的可信程度．如果5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为（）2

A．B．C．D．

7．复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别是23i，32i，23i，则D点对应的复数是（）

A．23iB．32iC．23iD．3

2i 8．下列推理正确的是（）

Ａ．如果不买彩票，那么就不能中奖；因为你买了彩票，所以你一定中奖Ｂ．因为ab，ac，所以abac Ｃ．若a，bR，则lgalgb≥Ｄ．若aR，ab0，则

abab≤2 baab9．如图，某人拨通了电话，准备手机充值须进行如下操作：

按照这个流程图，操作步骤是（）

Ａ．1511Ｂ．1515Ｃ．152110．若复数z满足z34i4，则z的最小值是（）A．

1B．2

C．

3D．4

Ｄ．523

二、填空题（每小题5分，共20分）(15选做题，若两题都做，则以第（1）题为准)

11．如右图所示的程序框图中，当输入的a值为0和4时，输出的值相等，则当输入的a值为3时，则输出的值为．

2根据以上数据，得2的值是，可以判断种子经过处理跟生病之间关（填“有”或“无”）． 13．用三段论证明f(x)x3sinx(xR)为奇函数的步骤是． 14．若z15，z234i且z1z2是纯虚数，则z1 15.（选作题：，请在下面两题中选作一题）

（1）.如图，在ABC中，DE//BC，EF//CD，若BC3,DE2,DF1，则AB的长为___________．

（2）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_____________.第1题图

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）16．已知z113i，z268i，若

17.在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn

1，求z的值． zz1z

211 an2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式；（3）求Sn

BNA45，18、如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，若⊙O的半径为，求MN的长为

ACO

19．(本小题16分)假设一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子的成长记录：

（1）作出这些数据的散点图；（2）求出这些数据的回归方程．

20．已知关于x的方程：x2(6i)x9ai0（aR）有实数根b．（1）求实数a，b的值；

（2）若复数z满足zabi2z0，求z为何值时，z有最小值，并求出z的最小值．

东方英文书院2011——2012学年高二数学测试卷（文科）

——《选修2-1，几何证明选讲》答案

一、选择题

二、填空题：

11． 3120.164无13．14． 43i或43i 15.1

3三、解答题：

16.解：由z113i，得

1113i13i． z113i(13i)(13i)1010

又由z268i，得

1168i34i． z268i(68i)(68i)5050

那么

1113143111211i，ii

zz2z15010501025550

4225050(211i)

i． 

55211i(211i)(211i)

得z

19.解：（1）数据的散点图如下：

（2）用y表示身高，x表示年龄，则数据的回归方程为y6.317x71.984．

20.解：（1）b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实根，(b26b9)(ab)i0，b26b90故，ab

解得ab3；

（2）设zxyi(x，yR)由z33i2z，得(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28，Z点的轨迹是以O1(11)，为圆心，如图，当Z点为直线OO1与O1的交点时，z有最大值或最小值．



OO1r

 当z1

《选修2-1,几何证明选讲》习题篇2

1.(本小题满分20分)

如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是

O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.第1题图

2、(本小题满分20分)如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线

交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE•PF．

3.(本小题满分20分)

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E． E 求证：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．

C 第2题图

第3题图

4.(本小题满分20分)

如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一

AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4,求PF的长度.点,

E F B 第4题图

5.(本小题满分20分)

如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BFEF；

(2)求证:PA是O的切线；

(3)若FGBF,且

O的半径长为求BD和FG的长度.高中数学第十五单元测试题答案

选修4-1 几何证明选讲

1．【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得ABACCAD

第5题图

(180E)DCF673299

22、【解析】连结PC,易证PCPB,ABPACP

∵CF//AB ∴FABP,从而FACP 又EPC为CPE与FPC的公共角,CPPE

∴PC2PEPF 

FPPC

又PCPB, ∴PB2PEPF,命题得证.从而CPEFPC,∴

3．【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD∴DE:BD＝AE:CD，∴DE·DC＝AE·BD.4【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

AEAC可得结合题中条件

CDEAOC,又CDEPPFD, AOCPC,从而PFDPCO, PFPD

故PFDPCO,∴, 

PCPO

由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

E F B PCPD12

3.PO4

5．【解析】(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线，∴EBBC．又∵ADBC，∴易证△BFC∽△DGC，△FECBFCFEFCF

． ∴DGCGAGCGBFEF

． ∴

C DGAG∵G是AD的中点，∴DGAG． ∴BFEF．

(2)证明：连结AO，AB．∵BC是在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO． ∵BE是O的切线，∴EBO90°．

∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，∴PA是O的切线．

(3)解：过点F作FHAD于点H．∵BDAD，FHAD，∴FH∥BC．由(1)，知FBABAF，∴BFAF．

由已知，有BFFG，∴AFFG，即△AFG是等腰三角形．

HG1

． ∵FHAD，∴AHGH．∵DGAG，∴DG2HG，即

DG2

∵FH∥BD，BF∥AD，FBD90°，∴四边形BDHF是矩形，BDFH．

FHFGHG，即∵FH∥BC，易证△HF∽△GD．∴

CDCGDG

BDFG1HG

．

CDCG2DG

∵

O的半径长为

∴

BC∴

解

得

BD

．

BDBD1

． CDBCBD2

FGHG1

．∵，∴BDFH

CGDG2

∴FGCG．∴CF3FG．

222

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CFBFBC．

几何证明选讲答案篇3

1解.由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30, 故选B.2解.2个:ACD和CBD,故选C.3解.设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k0),由相交弦定理得3k8k1218,解得k3,故所求弦长为3k8k11k33cm.故选B.4解.利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.5解.设圆O半径为r,由割线定理有6(6

故选D.6解.设半径为r,则AD

r,BDr,由CD2ADBD得CD

7解.ADE

22)(12r)(12r),解得r8.3,从而



2,故tan



,选A.23

B.8解.一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.9解.6A360,从而A60,选A.222

10解.依题意得OAAMOM,从而OM故CM13121mm,选A.21

11解.如图,设AMAB,ANAC,55

ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案

则APAMAN.由平行四边形法则知NP//AB,所以同理可得

ABQ1ABP4．故,选B.ABC4ABQ5

1ABPAN

＝,5ABCAC

12解.用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30角,则离心率esin30.故选A.13解.圆;圆或椭圆.14解.由已知得BDADBC,BC2CDAC(ACBC)AC, 解得AC2.15解.连结AD,则sinAPD

AD,又CDPAP

BAP,12

CD1

,所以sinAPD.PABA330

16解.由图可得R2()2(180135R)2,解得R25.17解.连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得

ABACCAD(180E)DCF673299.2E

18解.连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角

从而cosAPD

之间的关系结合题中条件AEAC可得CDEAOC, 又CDEPPFD,AOCPC,从而PFDC,故PFD

PCO,∴

F B PFPD, PCPO

由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

PCPD12

3.PO4

19证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD，∴DE·DC＝AE·BD.20解.连结PC,易证PCPB,ABPACP

∵CF//AB ∴FABP,从而FACP 又EPC为CPE与FPC的公共角, 从而CPEFPC,∴

CPPE

FPPC

∴PC2PEPF 解答用图

又PCPB, ∴PB2PEPF,命题得证

21解.(1)证明：∵BC是O的直径，BE是∴EBBC．又∵ADBC，∴AD∥BE易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． ∴

BFCFEFCFBFEF

．∴． DGCGAGCGDGAG

∵G是AD的中点，∴DGAG．∴BFC

(2)证明：连结AO，AB．∵BC是O

在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO． ∵BE是O的切线，∴EBO90°．

∴PA是O的切∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，线．

(3)解：过点F作FHAD于点H．∵BDAD，FHAD，∴FH∥BC．

由(1)，知FBABAF，∴BFAF．

由已知，有BFFG，∴AFFG，即△AFG是等腰三角形．

∵FHAD，∴AHGH

．∵DGAG，∴DG2HG，即

HG1

． DG2

∵FH∥BD，BF∥AD，FBD90°BDFH．，∴四边形BDHF是矩形，FHFGHG

，即CDCGDG

∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．∴

H1G． D2G

CDFGCG

∵圆O的半径长为

∴∴

BC．

解

得

∴FG

BD

．

BDBD

CDBCBDFG

∴BDFH．∵CG1

．

2HG1

，DG2

CG．∴CF3FG． 2

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得

B．

CFBF

．∴FG3． ∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）

HG．易证△AFC≌△DHC，［或取CG的中点H，连结DH，则CG2∴FGHG，故CG2FG∥F，B易知，CF3FG．由GD△CD∽△G

C，B∴

CDCG2FG2

．

CBCF3FG3

由得

，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，3．］(3FG)2FG22，∴FG3（舍去负值）

22解.(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB

上的高为h．

SBDhSADh△ADC,△BDC,S△ABCABh,所以

222

BDS△ADCADS△BDC，S△ADCAD S△ABCAB

又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有

ADBD

．因此ABAD

S△ADCS△

S△ABCS△

BDC

．

ADC

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时

s1s21

s1s2s,即，所以三角形的中线不可能是该三角形

ss12的黄金分割线.(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DECS△FCE

设直线EF与CD交于点G．所以S△DGE

S△FGC．

所以S△ADCS四边形AFGDS△FGC

S四边形AFGDS△DGES△AEF，（第22题答图1）

（第22题答图2）

S△BDCS四边形BEFC．

S△AEFS四边形BEFCS△ADCS△BDC

又因为，所以S.SS△ABCS△ADC△ABC△AEF

因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．

(4)画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交

ABCD的黄金分割线． AB,DC于M,N点,则直线MN就是

画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作

ABCD的黄FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是

平面几何证明选讲结业考试篇4

命题：朱明英审核：杨秀宇

一填空题（10×4=40）如图1，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．如图2，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则

图（天津卷理14）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB1PC1BC=,=PA2PD3,则AD的值为如图4，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径．

C B

图3 图4

1二选择题（10×2=20）如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程x212x240的两根，则此圆的直径为()

A．82B．6C．42D．

2⌒6 如图，⊙O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四⌒⌒

个结论：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()

A．1B．2C．3D．

4三解答题（10×4=40）

7如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=30°，问AB与AP是否相等?请说明理由；

(2)求证：PD·PO=PC·PB；

(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．

8（全国Ⅰ新课标卷理）如图：已知圆上的弧AC等于弧BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD。

（Ⅱ）BC2BECD

9（辽宁卷理22）如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：ABE

ADC

S1ADAE

（II）若ABC的面积2，求BAC的大小。（2011全国新课标）（本小题满分10分）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

填空题、选择题答题卡

一填空题（10×4=40）2 3 4

《选修2-1,几何证明选讲》习题篇5

第二讲圆周角与弦切角

一．考纲要求

掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解圆周角定理及其推论；理解弦切角定理及其推论；

二．知识梳理

1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2.圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

4.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5.三角形的五心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。

(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。

(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线三等分点，到顶点距离为到对边中点距离2倍

(4)垂心：三条高所在直线的交点。

(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质：到三边的距离相等。

三．诊断练习

1、下列命题中错误的是()

（A）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（B）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A

（C）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径

（D）圆的切线垂直于半径

2、图1中圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．

3、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为．

4、如图3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为

O · B A P O

图3 C 图

2-1-

四．范例导析

例1 AE是半圆的一条弦，C是弧AE的中点，弦AE交PC、CB于D、F。

CPAB于P求证：AD

例

2AP2CDAB是⊙O的直径，MN 切⊙O的直径与P，ADMN于D,求证：ADAB

例3如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）若

ACAB25，求AFDF的值．

五.巩固练习

1.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB

得BC57，C是圆上一点使，BACAPB，则AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为.3.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点．如果E460，DCF320，则A的大小为_________．

4.（2009·辽宁卷）已知ABC中，ABACAC上的，D是ABC外接圆劣弧点（不与点A，C重合），延长BD至E（如图所示）．

（1）求证：AD的延长线平分CDE；