反比例函数测试题

反比例函数测试题（通用15篇）

反比例函数测试题 篇1

例1(2014·滨州）如图1，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数(x<0）的图像经过顶点C，则k的值为_____.

【分析】先根据菱形的性质求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值.

解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4,

∴C(-3,2).

∵点C在反比例函数的图像上，

∴，解得k=-6.

例2(2014·安顺）如果点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3）都在反比例函数(k>0）的图像上，那么y1,y2,y3的大小关系是（）.

A.y1<y3<y2B.y2<y1<y3

C.y1<y2<y3D.y3<y2<y1

方法一：分别把各点的横坐标代入反比例函数(k>0）中，求出y1,y2,y3的值，再比较其大小即可.

方法二：反比例函数(k>0）的图像在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.A(-2,y1),B(-1,y2）在第三象限，因为-2<-1，所以y2<y1<0，因为点C(2,y3）在第一象限，所以y3>0，所以y3>y1>y2.

【点评】比较反比例函数值的大小，在同一个象限内，根据反比例函数的性质比较；在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定.

例3(2014·湘潭）如图2,A,B两点在双曲线上，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=().

A.3 B.4

C.5 D.6

【分析】欲求S1+S2，只要求出过A,B两点向x轴、y轴作的垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出S1+S2.

解：∵A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,

∴S1+S2=4+4-1×2=6.

故选D.

【点评】利用反比例函数中k的几何意义解决有关面积问题时，要注意点的坐标与线段长之间的转化.

例4(2014·广东）如图3，已知A(-4,),B(-1,2）是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0）图像的两个交点，AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.

(1）根据图像直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

(2）求一次函数的解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标.

【分析】（1）根据一次函数图像在反比例函数图像上方的部分是不等式的解，观察图像，可得答案；

(2）根据待定系数法，可得函数解析式；

(3）根据三角形面积相等，可得答案.

解：（1）由图像得一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的x的取值范围是-4<x<-1，即当-4<x<-1时，一次函数的值大于反比例函数的值.

(2）设一次函数的解析式为y=kx+b.

因为一次函数y=kx+b的图像过点（-4,),(-1,2),

所以一次函数的解析式为.

因为反比例函数的图像过点(-1,2),

所以m=-1×2=-2.

(3）连接PC,PD，如图4,

设点P的坐标为.

由△PCA和△PDB的面积相等，得

∴点P的坐标是.

查漏补缺之一次函数和反比例函数 篇2

基础知识回顾

1. 正比例函数和一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，称为一次函数，其中k叫做比例系数. 当b=0时，一次函数y=kx+b变形为y=kx（k是常数，k≠0），此时函数称为正比例函数.

（1）一次函数y=kx+b必须具备的两个条件是：①k≠0，b为常数；②自变量x的次数为1次.

（2）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才是正比例函数.

2. 反比例函数的定义

一般地，形如y=■（k≠0）的函数称为反比例函数，其中k叫做比例系数.

（1）反比例函数y=■（k≠0）还可以写成y=kx-1和xy=k的形式.

（2）在反比例函数y=■（k≠0）中，由于k≠0，所以反比例函数的函数值不等于0，并且反比例函数的自变量是在分母的位置上，所以反比例函数自变量x的取值范围一般是非零的数.

3. 性质和图象

一次函数的图象是一条倾斜的直线，而反比例函数的图象则是双曲线.

4. 反比例函数中比例系数的几何意义

反比例函数y=■的本质特征是：两个变量y与x的乘积是一个常数k. 由此不难得出反比例函数的一个重要性质：如图1，点P（x，y）是反比例函数y=■上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，则四边形PAOB的面积S=k，S■=■k.

5. 一次函数与方程（组）、不等式的关系

（1）由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标.

（2）由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看做当一次函数值大于或小于0时，求自变量相应的取值范围. 从图象上看，kx+b＞0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应的x的取值范围；kx+b＜0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应的x的取值范围.

反比例函数教案 篇3

1.能运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题。

2.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻

画现实世界中数量关系的一种数学模型。

教学重点运用反比例函数解决实际问题

教学难点运用反比例函数解决实际问题

教学过程：

一、情景创设

引例：小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己的眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距为x(m)成反比例，并请教师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的.函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢?

反比例函数在生活、生产实际中也有着广泛的应用。

例如：在矩形中S一定，a和b之间的关系?你能举例吗?

二、例题精析

例1、见课本73页

例2、见课本74页

例3、某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(米3)的反比例函数(1)写出这个函数解析式(2)当气球的体积为0.8m3时，气球的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积不小于多少立方米?

四、课堂练习课本P74练习1、2题

五、课堂小结反比例函数的应用

六、课堂作业课本P75习题9.3第1、2题

七、教学反思

反比例函数的性质 篇4

单调性

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小;

当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的.平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=|k|。

图像表达

反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x;反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。

《反比例函数》教学反思 篇5

这节课是义务教育九年级数学下第26章反比例函数的第一节课，要求学生理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数，会根据已知条件用待定系数法求反比例函数解析式。在此之前，学生已经学过了一次函数和二次函数，相比前二种函数，反比例函数较为容易，对学生而言，函数的学习方法和套路都是不难掌握的，而这一节课也主要是引入反比例函数的概念，讲透这个概念就OK了。

首先，我来谈一下对自己这节课比较满意的地方。

新课引入部分。这个设想源自于女儿和她的小伙伴们出的一份份报纸，报纸上孩子们用她们特有的漫画手法，描述了身边的人与事，非常形象，虽然简单，但很有质感。因此，就故事《贪婪的财主》，我拜托女儿根据这个故事的情景，把这个故事用漫画的形式（如下图）勾勒出来，并且配上女儿稚嫩的童音来讲述这个故事，在课堂上，以这个为引入，大大的吸引了全班同学的兴趣。之后，又通过大量的生活中的实例，让同学们轻松的接收了反比例函数的概念。

二、展示学生成果部分。考虑到这节课在时间上还是有些紧张，但我又想让所有同学都

能达到一定的训练，因此在我出示例题后，让全班同学每人都把答案写在一张白纸上，我下位进行检查后，适当的选取部分同学的答案用手机

拍下来（如下图），通过网络传送到我的空间里，

即时在教室的电脑大屏幕上展示，并讲解，大大节省

了时间，效果也是不错的，而且还能看到大多数同学

的课堂练习情况，这个方式也得到许多老师的一致好评。

教态得体，语速适中。记得自己刚刚参加工作的时候，也有许多老师听过我的课，都反映语速较快，讲话就象剥豆子一样，通过这的磨炼，我对我这节课的语速还是比较满意的，而且在讲课期间，语言也比较精炼，教态方面个人感觉还是比较自然大方。

其次，我再来谈一下这节课的不足之处。

一、例题的设计。在例题的选取上，我也是反复进行了筛选，总希望不要太难，也不要太容易，通过在另一个班的教学，最后还是删掉了一道中考题，也是希望在时间上能够掌控，但后来还是发现，例题在整合方面还是有所欠缺，确实一节好课，一节好的数学课，不在乎例题有多少，关键是例题要精选，要能够涵盖或辐射出数学中的思想方法，太板的例题势必也会影响同学们学习的热情。

二、例题的讲解。上完课后，总觉得自己哪里没有讲好，在例题的讲解上，有些地方过于自信化，有些地方又过于啰嗦，有些知识点又没有更好的给学生解释到位，比如判断这个函数，是不是表示是的反比例函数？如果是，求出成果比例系数。在讲这个点时，应该将写成的形式，就能更好的确定比例系数。在这一点上，没有注意细节上的处理，而细节的处理往往在数学教学中是非常重要的，运用的好的话，也会产生事半功倍的教学效果。

三、数学思想的渗透不到位。我们说，数学的学习不在于你做了多少题目，而是在于你学到了多少数学思想，这节课上我虽然也提到了类比思想和整体思想，但不够系统，不够具体，没有体现过程与思想的有机结合，这点要向杨颖老师学习，在她的课上，她给学生整体呈现了函数学习中大家会接触的各类数学思想，而且在讲课过程中，也做了必要的渗透，希望在下次课上能在这方面有所进步。

反比例函数图像的美 篇6

一次函数的图像是刚劲、挺拔的,而反比例函数 的图像具 有独特的 气质———优雅、温柔,她比一次函数的图像多了一份柔性和清新的美.

她,从不会孤单,总是成双成对地出现在直角坐标系中,要么在第一、三象限,要么在第二、四象限. 她,就像美丽的花蝴蝶在空中飞舞,胆大却不失细心,从不碰触象限的边缘,她的两个分支都无限地接近坐标轴,但从不与坐标轴相交.

在生活中,我们会用美来形容人美、景美、物美,在我们的数学世界中,我们也可以用美来形容图形的美.

反比例函数的图像 篇7

1. 回顾：正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是什么形状？画图像的一般步骤是什么？

2. 学习几何画板软件操作：

（1） 建立直角坐标系：“绘图”——“定义坐标系”.

（2） 描点：“绘图”——“绘制点”.

（3） 连线：“标识工具”.

3. 小组内练习“几何画板”的以上操作.

【活动说明】回忆正比例函数图像的画法，并认识到可以用描点法来画函数的图像，激活原有的认识. 另外，发现用几何画板软件作图，既能节省画图时间，又能提高画图精确度. 这都为探究反比例函数的图像奠定了基础.

二、 活动探究

活动1 初探图像

1. 如何画反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图像？

2. 以小组为单位，用几何画板软件画反比例函数y=的图像.

3. 你们小组描出了哪些点？你是如何连线的？作出的图像是什么形状？

4. 在作图过程中，你遇到哪些困难？

【活动说明】通过画反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图像，发现困难，激发了大家的好奇心与求知欲.

活动2 探讨——交流

1. 小组内探讨以下问题：

（1） 反比例函数y=中，x、y取值的符号有什么关系？x、y的值可以为0吗？当x>0时，随着x的增大，y怎样变化？当x<0时，随着x的增大，y怎样变化？

（2） 这个函数的图像会在哪几个象限？图像与x轴、y轴有交点吗？图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？

2. 小组内推荐代表在全班讲解交流：问题（1）、（2）你是如何思考的？这两个问题之间有什么联系？

【活动说明】安排此环节基于以下思考：从发现到表达交流是能力提升的过程，在倾听、思辨中统一认识，为继续探索图像提供基础. 此外，从问题（1）、（2）中感受数形结合思想.

活动3 再探图像

1. 已描出的点尚不能判断出函数图像走势，我们该怎么办？

2. 你描出了多少个点？能看出函数图像的走势了吗？

3. 它是什么形状？连线时需要注意什么？

4. 结合图像，小组内再讨论活动2中的第（2）个问题？

【活动说明】此环节的目的在于使学生感受并能真正理解反比例函数的图像是“平滑的曲线”，并且有两个分支，以及采用几何画板软件作图具有很强的优势.

活动4 猜想——验证

1. 猜想：反比例函数y=-的图像是什么样的？

2. 小组内验证猜想.

【活动说明】在积累基本活动经验的基础上进行巩固练习，为后面观察、分析、归纳反比例函数图像的性质增加感性认识，积累数学活动经验.

活动5 归纳、总结

1. 组内讨论：反比例函数y=与y=-的图像有什么共同特征？

2. 推荐代表在全班总结.

【活动说明】目的在于由感性认识上升到理性认识，提高抽象概括的能力.

三、 活动收获

在本节课的探究过程中，你有哪些感受与收获？回顾你的探究心路历程，请将你的探究感悟和发现写成数学小论文.

【活动说明】撰写数学小论文就是以“数学写作活动”来指导学习，也可称为“反思小文章”. 它是将所学知识、技能、经验、思想方法进行“内化”的一种过程，对数学学习起着很重要的作用.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）

反比例函数知识点 篇8

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的取值范围是： x≠0;

y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式

(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠0).

2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.

反比例函数解析式的特征

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数

⑶自变量的取值为一切非零实数。

《反比例函数的应用》教案范文 篇9

教学目标：

1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．

2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

3、通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力．

教学重点：

掌握从实际问题中建构反比例函数模型．

教学难点：

从实际问题中寻找变量之间的关系．

教学过程：

某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们

2这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么：

(1)含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

2(2)当木板面积为0．2m时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数国象． 课堂小结：

生活中的反比例函数 篇10

一、电路中的反比例函数

例1某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例,如图1表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()。

A.I= B.I=- C.I= D.I=

分析由于电源电压为定值,电流I与电阻R成反比例关系,因此可设其函数关系式为I=。

解设所求函数关系式为I=,由图1可知反比例函数的图像经过点B(3,2),因此有k=6,从而可得函数关系式为I=。故答案选A。

点评解答本题的关键是从图像中找到所需要的条件,把图像上的某一点作为切入点。

二、用电中的反比例函数

例2某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度。本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元)成反比例,又当x=0.65时,y=0.8。

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

分析在市场经济中,销量与价格是成反比例关系的。因此,可建立反比例函数关系式。

解(1)由y=,当x=0.65,y=0.8,得k=0.8×(0.65-0.4)=0.2。

故y与x之间的函数关系式是y=,即y=。

(2)设电价调至每度x元时,本年度的收益比上年度增加20%。

因为上年度的收益为1×(0.8-0.3)=0.5(亿元),所以本年度的收益为0.5(1+20%)=0.6(亿元)。

故(x-0.3)+1×(x-0.3)=0.6,

整理得10x2-11x+3=0,即(5x-3)(2x-1)=0,

故x1=0.6,x2=0.5,又0.55

答:电价调至每度0.6元可增加用电量0.1亿度,使收益比上一年度增加20%。

点评从本题可知,要想提高销售效益,可以通过提高价格来做到,但价格也不能提得太高,因为价格太高,销量又会减少,销量一减少,效益就会下降。

三、食品中的反比例函数

例3你吃过拉面吗?实际上做拉面的过程就渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数,其图像如图2所示。

(1)写出y与s之间的函数表达式;(2)求当面条粗1.6 mm2时,面条的总长度是多少米?

解析(1)因为y是s的反比例函数,可设y=k/s,把s=4、y=32代入得k=128,所以其函数表达式为y=128/s。

(2)当s=1.6时,y=128∕1.6=80,即当面条粗1.6 mm2时,面条的总长度是80米。

点评在反比例函数y=k/x中,只有一个待定系数,只需一组对应值就能确定其表达式。从本题可以看出,数学无处不在,这就要求我们关注身边的实际问题,能从实际生活中发现数学模型并用数学知识解决生产、生活中的实际问题。

四、产品销售中的反比例函数

例4水产公司有一种海产品,共2 104千克,为寻求合适的销售价格,进行了8天试销,试销情况如下:

观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系。现假定在这批海产品的销售中,每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系。

(1)写出这个反比例函数的解析式,并补全表格;

(2)在试销8天后,公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克,并且每天都按这个价格销售,那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出?

(3)在按(2)中定价继续销售15天后,公司发现剩余的海产品必须在不超过两天内全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新的价格销售,那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售计划?

分析借助待定系数法,选取一组已知数据代入,确定函数的解析式。

解(1)设函数解析式为y=(k≠0) ,将(400,30)代入,可得k=12 000,所以函数解析式为y=,然后分别将x=240,y=40代入函数解析式,得:x=300,y=50,填入相应的空中。

填表如下:

(2)2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600。

所以8天试销后,余下的海产品还有1 600千克。当x=150时,y==80。1600÷80=20,所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出。

(3)1600-80×15=400,400÷2=200,即如果正好用2天售完,那么每天需要售出200千克,当y=200时,x==60。所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售计划。

点评本题通过图表的形式给出题目的条件,要求同学们通过阅读材料和理解图表信息,寻找有用的信息,把这些信息转化为数学知识。

五、材料加工中的反比例函数

例5制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,再进行操作。设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为x(分钟)。据了解,设该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图3)。已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃。

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式;

(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?

分析本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法。(1)显然将材料加热时,当0≤x≤5时,y与x是一次函数关系,直线过点(0,15)、(5,60);停止加热时,当x≥5时,y与x是反比例函数关系,图像过点(5,60),易求得函数关系式;(2)当材料的温度低于15℃时,需停止操作,即令y=15,求对应的自变量的值。

解(1)将材料加热时,y与x是一次函数关系,可设y=kx+b(0≤x≤5),

∵当x=0时,y=15;当x=5时,y=60,

∴b=15,5k+b=60, 即b=15,k=9。 ∴当0≤x≤5时, y与x的函数关系是y=9x+15。

停止加热时, y与x成反比例函数关系,

设y=( x≥5), ∵当x=5时,y=60, ∴60=,∴ k=300。

∴当x≥5时, y与x的函数关系是y=。

(2)把y=15代入y=,得15=, ∴ x=20。

即从开始加热到停止操作,共经历了20分钟。

点评本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数,要注意分类讨论,分别写出函数关系式。

六、流感预防中的反比例函数

例6为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物在释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例关系;药物释放完毕后,y与x成反比例关系,如图4所示。根据图中提供的信息,解答下列问题:

(1)写出从药物释放开始,y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围;

(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时学生才能进入教室?

分析由图4看到函数可以分为两段,前一段是正比例函数,后一段是反比例函数。并且都经过点(12,9)由待定系数法可以确定这两个函数的解析式,当药品释放完毕后经过一段时间降低到0.45毫克以下时,学生方可进入教室,将y=0.45代入可以得到时间。

解(1)设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x(k1≠0),由题意得:9=12k1,则k1=(0≤x<12)。∴此阶段函数解析式为y=x;设药物燃烧结束后的函数解析式为y=(k≠0),由题意得:9=,则k2=108。∴此阶段函数解析式为y=(x≥12)。

(2)将y=0.45代入y=,x=240,所以在240分钟后学生方可进入教室。

反比例函数解题方法教学探析 篇11

利用反比例函数图象和性质解题的题目很多,首先让学生熟练掌握反比例的解析式、图象和性质.反比例函数(k≠0)的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线常称为“双曲线”.画反比例函数图象时要注意:1.双曲线的两个分支不能够连接起来;2.两个分支无限靠近x轴和y轴,但是永远与它们不相交;3.图象既是轴对称图形,也是中心对称图形;4.画反比例函数图象时通常先画出一个分支,然后根据对称性画出另一个分支.反比例函数的图象是双曲线(两个分支),是中心对称图形,对称中心是坐标原点;也是轴对称图形,对称轴有两条,分别是直线y=x和y=-x.当k>0时,双曲线的两个分支分别在第一、三象限内,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两个分支分别在第二、四象限内,在每个象限内,y随x的增大而增大.利用反比例函数图象和性质解题的题目非常普遍.

例1已知函数是反比例函数.那么,(1)若函数图象在一、三象限,求m的值;(2)若在每个象限内,y随着x的增大而增大,求m的值.

分析:(1)原函数是反比例函数,根据函数的图象的分布情况,可以得出m-1>0,m2-m-3=-1,综合两式子可以得出m=2.(2)根据问题要求“y随着x的增大而增大”,可见这时候反比例函数图象应在第二、四象限,也就是需要m-1<0,m2-m-3=-1,综合两式子可以得出m=-1.这道题目就是结合反比例函数的概念、图象和性质解题,因此既要考虑x的指数是-1,还要考虑由反比例函数图象分布情况及增减性决定其比例系数的取值范围,二者缺一不可.

二、反比例函数与其他函数的综合

初中阶段学到的函数主要有一次函数、反比例函数、二次函数等,有些题目会把这几种函数结合在一起考查,甚至把方程组问题也结合在一起出题.

例2如图1,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.

分析:(1)因为两个函数的图象都经过点M、N,所以点M、N的坐标都适合这两个函数关系式,所以将N(-1,-4)代入中得k=4,反比例函数的解析式为,将M(2,m)代入解析式中,得m=2.将M(2,2),N(-1,-4)代入一次函数y=ax+b中,解得a=2,b=-2,所以一次函数的解析式是y=2x-2.(2)反比例函数的值大于一次函数的值在图象上看,就是反比例函数的图象在一次函数图象上方,因为在交点M、N处的函数值是相等的,因此反比例函数的图象在一次函数图象上方时x的取值范围分为两部分,即x<-1或0

三、反比例函数的应用题

近年来,无论是平时的模拟考试,还是中考数学,数学考试都有一些联系实际的应用题目,这些应用题有利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.

例3某地去年电价为0.8元,年用电量为1亿度,今年计划将电价调至0.55-0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则今年新增加用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例.当x=0.65元时,y=0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,今年电力部门的收益将比去年增加20%?(收益=用电量×实际电价-用电量×成本价)

解:略.

以上三种题型都是初中反比例函数中常见的题型,教师要让学生透彻理解反比例函数的概念,熟练掌握反比例函数的图象画法和性质,同时要结合其他知识,综合运用,掌握解答反比例函数的方法.

参考文献

[1]杨洪梅.深入挖掘教材,引导学生深刻理解反比例函数.学周刊,2011(8).

反比例函数的应用教案设计 篇12

教学目标：使学生对反比例函数和反比 例函数的图象意义加深理解。

教学重点：反比例函数 的应用

教学程序：

一、新授：

1、实例1：(1)用含S的代数式 表示P，P是 S的反比例函数吗?为什么?

答：P=600s (s0)，P 是S的反比例函数。

(2)、当木板面积为0.2 m2时，压强是多少?

答：P=3000Pa

(3)、如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少 要多少?

答：至少0.lm2。

(4)、在直角坐标系中，作出相应的函数 图象。

(5)、请利用图象(2)和(3)作出直观 解释，并与同伴进行交流。

二、做一做

1、(1)蓄电池的电 压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R之间的函数关系如图5-8 所示。

(2)蓄电池的电压是多少?你以写出这一函数的表达式吗?

电压U=36V ， I=60k

2、完成下表，并 回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的`可变电阻应控制在什么范围内?

R() 3 4 5 6 7 8 9 10

I(A )

3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=60k 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(3 ，23 )

(1)分别写出这两个函 数的表达式;

(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流;

随堂练习：

P145~146 1、2、3、4、5

《反比例函数的应用》教学设计 篇13

宁夏海原县三河中学（黒城中学）邓永明 755200

一、教学目标

(一)教学知识点

1、经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。

2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。

（二）能力训练要求

1、激发学生在已有知识的基础上，进一步探索新知识的欲望。

2、在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高应用数学的能力。(三)情感与价值观要求

1、调动学生参与数学活动的积极性，体验数学活动充满着探索性和创造性。

2、培养学生在学习过程中良好的情感态度，主动参与、合作、交流的意识，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心。

教学重点 建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。

教学难点 经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。

二、教学过程分析

第一环节 复习回顾

活动目的：以提问的方式引导学生复习反比例函数的图象与性质

活动过程：反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而。

当k<0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而。第二环节 情境导入

活动目的： 多媒体给出情境材料，引起学生的兴趣，体现数学的现实性。活动过程：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143）

(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为0.2 m2 时，压强是多少

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。

活动效果及注意事项：在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一。第三环节 应用与拓展

活动目的：让学生利用图形上所提供的信息，正确写出反比例函数解析式；并通过综合运用表格，图象及关系式，形成对反比例函数较完整的认识

活动过程：做一做

1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R()之间 的函数关系如图所示。(书上P144)(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？

(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

2．如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数k2y=x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,23).(1)分别写出这两个函数的表达式：

(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.活动效果及注意事项：在这个活动中，逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用。第四环节 随堂练习

活动目的：用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识。活动过程：练习

1.某蓄水池的排水管每时排水8m3，6h可将满池水全部排空。(1)蓄水池的容积是多少？

(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？

(3)写出t与Q之间的关系；

(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？ 第五环节 知识小结

活动目的：通过老师小结，带领学生回顾反思本节课对知识的研究探索过程，提炼数学思想，掌握数学知识。

活动过程：今天这节课学习了什么？你掌握了什么？

生：这节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题今天学习了反比例函数的应用，讲了四个类型：

1.压力与压强、受力面积的关系2.电压、电流与电阻的关系3.已知点的坐标求相关的函数表达式

第六环节 作业布置

课本146页习题5.4 1,2

三、教学反思

如何求解反比例函数中的面积问题 篇14

一、直接利用面积公式求图形面积

例1如图1,两个反比例函数y =1 /x和y = -2/ x的图象分别是l1和l2. 设点P在l1上, PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为 ( )

A. 3 B. 4 C.9/ 2. D. 5

解析: 可设P( a,1/ a) ,∵P和A的纵坐标相同,又A在l2上,可得A点的纵坐标为 -2/ a,∴PA =3/ a. P点和B点的纵坐标相同,同理可得B点横坐标为 - 2a,即PB = 3a,所以三角形PAB的面积为1/ 2×3 /a×3a = 9/ 2. 故选C.

点评: 结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标是解题的关键,然后根据直角三角形的面积公式求出结论.

例2如图2,点A是反比例函数y = -6/ x ( x < 0) 的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为( )

A. 1 B. 3 C. 6 D. 12

解析: 平行四边形S = 底×高,由图可知,底为AD的长,即A点的横坐标的绝对值,高即为A点的纵坐标的绝对值,设故答案: C.

点评: 本题考查了反比例函数的性质及平行四边形面积的计算方法,是一道比较灵活的题目,要应用数形结合的思想解答.

二、利用和、差求图形面积

例3如图3,已知双曲线y =k /x和直线y = mx + n交于点A和B,B点的坐标是 ( 2,3) ,AC垂直y轴于点C,AC =3 /2;

( 1) 求双曲线和直线的解析式; ( 2) 求△AOB的面积 .

分析: ( 1) 已知双曲线与一次函数图像交点信息,确定两个函数的解析式问题,反比例函数解析式仅仅需要一个已知点,一次函数解析式的确定需要已知两个点的坐标,显然根据点C坐标,确定双曲线上点A坐标是解答一次函数解析式的关键,注意代入法的灵活运用; ( 2) 计算图象构造的三角形的面积,一般是取与坐标轴上的某边,或者是与坐标轴平行的一边为基础计算面积 .

解: ∵点B在反比例函数y =k /x图象上,∴ - 3 =k /2,k = - 6,

∴双曲线的解析式是y = -6 /x,当AC =3 /2时,由y = -6 /x,y = 4,所以点A坐标是( -3 /2, 4) .

∵点AB都在直线解得:

∴直线AB的解析式是y = - 2x + 1.

( 2) 设直线y = - 2x + 1与y轴的交点是点D( 图4) ,当x = 0时,由y = - 2x + 1得y = 1,所以点D坐标是( 0,1),

点评: 确定函数的解析式是待定系数法,一般解析式有几个待定系数法即需要已知几个点的坐标,注意先易后难,即是先确定反比例函数解析式,进而确定一个点中的未知的某种坐标,为一次函数( 或者是二次函数) 的解析式作准备,与函数图象有关的图形面积计算,注意图形的转化.

例4如图5,已知一次函数y1= x + m的图象与反比例函数y2= 6/ x的图象交于A、B两点,已知当x > 1时,y1> y2; 当时0 < x < 1时,y1< y2.

( 1) 求一次函数的解析式;

( 2) 已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.

分析: ( 1) 根据题意及图像可以确定点A坐标( 1,6) . 代入一次函数解析式即可求出m.

( 2) 过点B作直线BD平行于x轴,交AC的延长线于D. 把求△ABC的面积转化为求△ABD和△CBD的面积差.

解: ( 1) 根据题意,由图像可知点A的坐标为( 1,6) ,代入y1= x + m中,得,m = 5,∴一次函数的解析式为: y1= x + 5.

( 2) 如图6,过点B作直线BD平行于x轴,交AC的延长线于D.

∵点C到y轴的距离为3,∴C点的横坐标为3. 又C在双曲线上,∴y =6 /3= 2,即C( 3,2) .

∵直线y = x + 5和双曲线6/ x交于点A,B.

设AC的解析式为y = k1x + b1,把点A( 1,6) ,点C( 3,2) 代入得

解得k1= - 2,b1= 8,∴y = 2x + 8. 当y = - 1时 - 1 = - 2x + 8,x = 4. 5,即点D( 4. 5,- 1)

点评: 本题考查了反比例函数的综合运用. 关键是通过反比例函数的性质确定点A的坐标,从而求出一次函数的解析式,而求和图像相关的三角形的面积往往要把它分解成边在x轴或y轴上的三角形的面积和或差,或是有平行于x、y轴边的三角形的面积和或差来解决.

三、利用反比例函数中k的几何意义求图形面积

一般地,如图7,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN,所得矩形AMON的面积为:

这就是说,过双曲线上任一点,做X轴、Y轴的垂线,所得矩形的面积为| k | ,这是系数k的几何意义,明确了k的几何意义会给解题带来许多方便 .

例5如图8,A、B是函数y =2 /x的图像上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则( ) .

A. S = 2 B. S = 4

C. 2 < S < 4 D. S > 4

解析: 设点A的坐标为( x,y) 则xy = 2,由于A、B是关于原点对称的任意两点,得点B的坐标为( - x,- y) ,又因为BC∥x轴,AC∥y轴,所以点C的坐标为( x,- y) ; 所以AC = 2y,BC = 2x,△ABC的面积记S =1 /2×2x×2y = 2xy = 4. ( 也可由平行得相似,再由面积比等于相似比的平方得出答案) 故选B.

点评: 此题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义及关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数; 在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.

例6如图9,点A在双曲线y =1/ x上,点B在双曲线y =3/ x上,且AB∥x轴,点C和点D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则矩形ABCD的面积为____ .

解析: 根据双曲线的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系S = | k |即可判断. 过A点作AE⊥y轴,垂足为E,∵点A在双曲线y =1/ x上,∴四边形AEOD的面积为1,∵点B在双曲线y =3/ x上,且AB∥x轴,∴四边形BEOC的面积为3,∴四边形ABCD为矩形,则它的面积为3 - 1 = 2. 答案: 2.

点评: 本题主要考查了反比例函数y =k /x中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为| k | ,是经常考查的一个知识点; 这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

四、依据面积确定函数解析式

例7如图10,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行. 点P( 3a,a) 是反比例函数y =k/ x的图象与正方形的一个交点. 若图中阴影部分的面积为9,则这个反比例函数的解析式为_____ .

解析: 如图11,根据正方形是以点O为中心对称图形,将第三象限部分绕点O顺时针旋转180°,恰好与第一象限重合. 所以正方形的面积为9×4 = 36,所以正方形边长为6. 正方形又是轴对称图形,P( 3a,a) 是反比例函数y = k/ x( k > 0) 的图象的点,所以正方形边长为3a×2 = 6a,于是a = 1. 所以k = 3×1 = 3. 反比例函数解析式为y =3/ x.

点评: 本题借助正方形、反比例函数均为中心对称图象特点,化零为整的思想,把复杂问题巧妙地解决,是一道较新颖创新题.

例8如图12,正方形ABOC的边长为2,反比例函数y =k/ x的图象经过点A,则k的值是( ) .

A. 2 B. - 2 C. 4 D. - 4

解析: ∵正方形ABOC的边长为2,∴A的坐标( - 2,2) .

∴把A点坐标代入答案: D.

点评: 此题考查反比例函数系数k的几何意义,一般方法是求出一个点的坐标,代入y = k /x即可. 简单方法是反比例函数上的点与两坐标轴围成矩形的面积就是| k | ,图像在一、三象限,k取正; 在二、四象限,k取负.

例9如图13,双曲线y =k/ x( k≠0) 上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,则该双曲线的表达式为_____ .

分析: 先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号,再根据S△AOB= 2,求出k的值即可.

解: ∵反比例函数的图象在二、四象限,∴

∴k = - 4,即可得双曲线的表达式为: y = -4/ x,故答案为: y = -4/ x.

点评: 本题考查的是反比例系数k的几何意义,即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是,且保持不变.

五、依据面积求解其它问题

例10如图14,已知函数y = 2x和函数y =k /x的图象交于A、B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的P点坐标是 _____.

解析: 根据反比例函数中比例系数k的几何意义,得出等量关系1 /2 | k | = 4,求出k的值为8,然后结合函数y = 2x和函数y =8/ x可求出点A ( 2,4) ,再根据平行四边形的性质可求得P点坐标.

答案: P1( 0,- 4) ,P2( - 4,- 4) ,P3( 4,4) ( 对一个得2分,对二个得3分,对三个得4分. )

反比例函数中的数学思想 篇15

一、分类讨论思想

分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想，对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准，不重不漏。

已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y=的图像上，且x1＞x2，比较y1与y2的大小。

分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件：x在哪一象限内，而已知条件中点是否在同一象限不确定，所以要分类讨论。

解 （1）当两点在同一象限时，即当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2时，由于k＞0，所以y随x的增大而减小。因为x1＞x2，所以y1＜y2；

（2）当两点不在同一象限时，即当x1＞0＞x2时，因为k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。

点评 比较函数值的大小问题时，若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。

二、数形结合思想

数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

如图1，正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。

（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；

（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围。

分析 （1）因为S△BDO=4，由k的几何意义得y2=。由A点可得y1，由A、E两点可得y3。在第（2）问中，就是求y3＞y2＞y1时x的取值范围，要结合图像，通过观察直接写出结果。

解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；

（2）x＜-4或1＜x＜4。

点评 对第（2）问，以形助数观察出结果很重要，不要去解不等式，直接观察图像就可得出答案，这也是解这类题的通法。

三、方程思想

方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。

如图2，P1是反比例函数y=（k＞0）图像在第一象限的一点，点A1的坐标为（2，0）。

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？

（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。

分析 第（2）问中有正三角形，可想到作正三角形底边上的高：作P1C⊥OA1于C，作P2D⊥A1A2于D。先求出P1的坐标，则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标，则可代入函数解析式列方程求解。

解 （1）△P1OA1的面积将逐渐减小；

（2）作P1C⊥OA1于点C，因为△P1OA1为等边三角形，

所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。

把点P1的坐标代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=。

作P2D⊥A1A2于点D，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。

把点P2的坐标代入y=，得（2+a）a=，化简得a2+2a-1=0。

解得：a=-1±。

因为a＞0，所以a=-1+。

所以点A2的坐标为（2，0）。

点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。

四、转化思想

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。

如图3，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）

A.3B.

C.2D.4

分析 连接AO、BO，将S△ABC转化为S△ABO，然后运用k的几何意义求解。

解 因为AB∥x轴，所以△ABC与△ABO同底等高。

所以S△ABC=S△ABO=S△APO+S△PBO=+=，故答案选B。