期末复习立体几何（推荐8篇）
教学目的
1.复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用
2.掌握典型题型及其处理方法
教学重点、难点
《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法
知识分析
1.多面体的结构特征
对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。
2.旋转体的结构特征
旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。
3.表面积与体积的计算
有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。
4.三视图与直观图的画法
三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。
5.直线和平面平行的判定方法
（1）定义：aa//；
（2）判定定理：a//b，a，ba//；
（3）线面垂直的性质：ba，b，a，a//；
（4）面面平行的性质：//，aa//。
6.线线平行的判定方法
（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；
（2）公理4：a//b，b//c，a//c；
（3）平面几何中判定两直线平行的方法；
（4）线面平行的性质：a//，a，ba//b；
（5）线面垂直的性质：a，ba//b；
（6）面面平行的性质：//，a，a//b。
7.证明线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义：a与内任何直线垂直a；
m、n，mnAl
（2）判定定理1：lm，ln；
（3）判定定理2：a//b，aab；
（4）面面平行的性质：//，aa；
（5）面面垂直的性质：，l，a，ala。
8.证明线线垂直的方法
（1）定义：两条直线所成的角为90°；（2）平面几何中证明线线垂直的方法；
（3）线面垂直的性质：a，bab；（4）线面垂直的性质：a，b//ab。
9.判定两个平面平行的方法
（1）依定义采用反证法；
（2）利用判定定理：
//，b//，a，b，abA//；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
a，a//；
（4）平行于同一平面的两个平面平行；
//，//。
10.平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。
11.判定两个平面垂直的方法
（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。
（2）判定定理：a，a
12.垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。
【典型例题】
例1.图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图。
例2.在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积和体积。
解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面半径为r，球心到截面距离为d，球半径为R，则R2r2d2。
例3.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离。
例4.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点。
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD。
例5.正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB1BC1，求证：AB1A1C。
例6.已知正方体ABCD一A1BlC1D1的棱长为a，O为面A1BlC1D1的中心，求点O到平面C1BD的距离。
【模拟试题】
一.选择题（每小题5分，共60分）
1.给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（）
A.0
2.下列四个命题： B.1
C.2
D.3
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个
A.1
B.2
C.3
D.4
3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（）
A.12 B.24
C.214
D.414
4.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（）
A.8cm B.12cm
C.13cm
D.82cm
5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）
12
A.2 14B.4
12C.
14D.2
6.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：
①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。
其中正确的两个命题是（）
A.①②
B.③④
C.②④
D.①③
7.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）
A.63cm B.6cm
C.218
D.312
38.设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）
A.6cm3 32cm3B.3 8cm3C.3
4cm3D.3
9.对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（）
A.mn，m//，n//
C.m//n，n，m
B.mn，m，n D.m//n，m，n
10.如果直线l、m与平面、、满足：l，l//，m，m，那么必有（）
A.和lm
B.//，和m// D.且
C.m//，且lm
11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）
A.1：3 B.1：2
C.2：3
D.1：3
12.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
二.填空题（每小题4分，共16分）
13.正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。
15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16.已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②，③n，④m。
关键词：数学思想,几何,复习效率
立体几何中蕴含了丰富的数学思想, 数学思想是数学的灵魂, 它在解题中的运用应引起高度重视.在复习时, 若能注意数学思想和方法的提练、总结, 必将加快解题速度、提高复习效率.下面就立体几何中常见的数学思想举例作一介绍, 供同学们参考.
一、转化思想
化归与转化思想是解决立体几何问题的最基本、最常用的数学思想, 学习时要注意强化转化的解题意识.在立体几何中, 常见的转化有:位置关系 (线线、线面、面面) 间的转化, 空间问题平面化 (如空间角转化为平面角、空间距离转化为平面距离) , 几何问题代数化, 文字、图形与符号语言的转化, 变式图形与基本图形的转化.
例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点, O为AC与BD的交点 (如图1) ,
求证: (1) EG∥
平面BB1D1D;A
(2) 平面BDF∥平面B1D1H;
(3) A1O⊥平面BDF;
(4) 平面BDF⊥平面AA1C.
分析:本题考查的是立体几何中常见的平行和垂直问题, 解决这类问题的基本策略便是:高维与低维互相转化.下面给出各小题的“转化”思路, 具体步骤请同学们自行完成.
(1) 欲证EG∥平面BB1D1D, 须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线, 构造辅助平面BEGO'及辅助直线BO', 显然BO'即是.
(2) 按线线平行圯线面平行圯面面平行的思路.
在平面B1D1H内寻找B1D1和O'H两条关键的相交直线.
转化为证明:B1D1∥平面BDF, O'H∥平面BDF.
(3) 为证A1O⊥平面BDF, 由三垂线定理, 易得BD⊥A1O,
再寻找A1O垂直于平面BDF内的另一条直线.
猜想A1O⊥OF, 借助于正方体棱长及有关线段的关系,
计算得:A1O2+OF2=A1F2圯A1O⊥OF
(4) ∵CC1⊥平面AC, ∴CC1⊥BD
又BD⊥AC, ∴BD⊥平面AA1C.
又BD奂平面BDF,
∴平面BDF⊥平面AA1C.
评注:论证空间位置关系的基本策略是利用以下两个关系链反复转化: (1) 线线平行⇔线面平行⇔面面平行; (2) 线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.
二、方程思想
根据题意适当引进未知量, 列出等式, 由所引进的未知量沟通其他各量之间的关系, 从而解决问题的思想方法称为方程思想.应用方程思想解决立体几何问题的关键, 就是要合理恰当地选用未知量, 并从复杂的图形关系中挖掘出等量关系列方程 (组) .
例2正四棱柱的体对角线的长是9cm, 全面积是1 44cm2, 求这个四棱柱的底面边长和侧棱长.
分析:设出底面边长和侧棱长, 再根据正四棱柱的性质及全面积公式, 列出方程组求解即可.
解:设底面正方形边长为a, 侧棱长为l, 由已知得:
即底面边长和侧棱长分别为4cm, 7cm或6cm, 3cm.
评注:对于多面体和旋转体相关元素 (如棱长、高、表面积与体积等) 的计算问题, 常用方程的思想方法解决.
三、类比思想
立体几何中, 类比的思想方法被广泛采用, 常见的有:平面图形与立体图形的类比 (如由圆的性质类比得到球的性质) 、一维与多维的类比 (如线线垂直与面面垂直的类比) .通过类比, 可以架起平面与空间的桥梁, 从而发现解题的“入口”, 使问题获解.同时, 以类比为切入点的立体几何创新题也是近几年高考的热门题型, 须重点关注.
例3由图2有面积关则由图3有体积关系:
分析:本题是道很好的类比创新试题, 由体积公式和比例性质容易得出答案.
评注:类比是学习上不可或缺的能力, 立体几何更是如此, 有了它, 学习就像插上了翅膀, 同学们一定要在这方面多下功夫.
四、特殊与一般的思想
高考全国试卷由国家教育中心组织专家根据同一份考试说明来命制多份试题，可能有几个省份会使用同一份试题.从前些年的全国卷可以看出，有大纲卷和新课标卷之分，新课标卷又分为新课标Ⅰ卷和新课标Ⅱ卷.大纲卷主要针对那些还没有全面推进新课程改革的地区而命制的，2013年和2014年仅有广西省在使用，其余省市已经陆续进入全国新课标卷的主流阵营.广东省推进新课程标准和自主命题已经多年，形成了独特的高考命题风格.在即将迈入全国课标卷的阵营之际，我们有必要对三份试卷（广东卷、全国新课标Ⅰ卷和新课标Ⅱ卷）在命题内容、命题形式、命题方向等方面进行比较研究，切实把握命题规律和趋势，找准应对策略，扎扎实实备考，做到有的放矢，争取获得突破.
立体几何既是高中数学的重要部分，也是高考命题的必备内容.虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上不时有些出人意料之处，但总体上还是保持了稳定.下面，笔者就结合近年来三份试题中的立体几何部分内容进行比较分析，希望能够把握命题的规律和命题趋势，找准备考策略和措施，努力提升学生解决立体几何问题的思维和能力.1研究命题规律，把握命题趋势表1
年份
试卷类型
考查知识点
分值
试卷类型
考查知识点
分值
2010
2011
2012
2013
2014
2015
广东卷
（理）
6、多面体的三视图；
18、线线垂直、求二面角
19
7、由三视图求几何体的体积
18、线面垂直、二面角
18
6、由三视图求几何体的体积
18、线面垂直、求二面角
18
5、由三视图求棱台的体积
6、立体几何命题的判定
18、线面垂直、求二面角
23
7、直线位置关系的判定
18、线面垂直、求二面角
18
18、异面直线垂直、二面角、
异面直线所成角的大小
14
广东卷
（文）
9、同理6
18、线线垂直、点到面的距离
19
7、求几何体的对角线的条数
9、由三视图求几何体的体积
18、证明四点共面、线面垂直
23
7、由三视图求几何体的体积
18、线面垂直、三棱锥的体积
18
6、由三视图求三棱锥的体积
8、立体几何命题的判定
18、线面平行、线面垂直的证明、三棱锥的体积
23
9、同理7
19、线面垂直、三棱锥的体积
18
6、空间直线位置关系的判定
18、线面平行、异面直线垂直、
点到面的距离
19
如表1，从近年的广东高考试题来看，不论文科还是理科，立体几何部分基本上都是一大一小2个题目，分值在18分左右（其中2013年文理科和2011年的文科数学是一大两小，2015年理科数学仅有1道大题）.其中小题均为选择题，考查的主要内容是识别三视图，以及利用所给三视图求几何体的体积，个别年份考查了空间中的点、线、面的位置关系（2013年和2014年）.解答题方面，分步设问，第1问主要考查空间几何体中直线与平面、平面与平面的位置关系（平行和垂直），主要考查线面垂直的证明，第2问往往体现出文理科的差异性，理科数学主要考查空间角（主要是二面角）的计算，文科数学主要考查三棱锥的体积、点到面的距离.文理科数学同题的现象很少，只是个别年份的小题相同，有些年份解答题的背景设置相似或者相同，但是在设问上还是会体现出差异.这也体现了广东卷命制的过程中充分预计了文理科学生在数学思维和能力上的差别.表2
年份
试卷类型
考查知识点
分值
试卷类型
考查知识点
分值
2010
2011
2012
2013
2014
2015
全国新课标Ⅰ卷
（理）
10.三棱柱外接球的表面积
14、三视图（开放式）
18、线线垂直、线面角
22
6、三视图的识别（侧视图）
7、与球有关的棱锥的体积
18、线线垂直、二面角
22
7、由三视图求几何体的体积
11、球的内接三棱锥的体积
18、线线垂直、二面角
22
6、球的体积
8、由三视图求体积
18、线线垂直、求线面角
22
12、由三视图求几何体的棱长
19、证明棱长相等、求二面角
17
6、圆锥体积有关的应用题
11、三视图
18、面面垂直、求异面直线所成角
22
全国新课标Ⅰ卷
（文）
7.长方体外接球的表面积
15、三视图（选择式）
18、面面垂直、四棱锥的体积
22
8、同理6
16、球的内接圆锥体积
21、线线垂直、棱锥的高
22
7、同理7
8、球的体积
19、面面垂直、几何体体积
22
11、同理8
15、球的表面积
19、线线垂直、三棱锥的体积
22
8、由三视图识别几何体
19、面面垂直、求三棱锥的高
17
6、同理6
11、同理11
18、面面垂直、求三棱锥的侧面积
22
如表2，近年的全国高考新课标Ⅰ卷（2010至2012年为全国新课标卷，2013至2015年全国新课标Ⅰ卷）中，立体几何内容基本保持着一大两小3个题目（2014年为一大一小2个题目）的格局，分值22分左右，削减了与球有关的问题（2010年至2013年均有考查）.两道小题中，其一为三视图，其考查内容与广东卷类似；文理科试卷在该题的命制上基本一样，只是题目的位置略有不同，而另外的一道小题则往往完全不同，难度上有所差别，体现出文理差异.解答题方面，文理科数学考查的几何体、所给条件以及第1个设问基本上是相同的，这体现了命题上的统一性.在第2个问题的设置上又体现出文理科的差异性：理科数学主要求解空间角（主要是二面角，2010和2013年考查线面角）；文科数学主要是求几何体的体积或高.
命题的背景没有设置障碍，都是学生比较熟悉的几何体，让考生都能够入手，并且得到相应的分数.命题的形式相对稳定，没有大的变化或者创新.但是对几何体的认识和建系求坐标的要求较高.表3
年份
试卷类型
考查知识点
分值
试卷类型
考查知识点
分值
2013
2014
2015
全国新课标Ⅱ卷（理）
4、线面位置关系的判定
7、三视图（正视图）的判定
18、线面平行、求二面角
22
8、由三视图求体积之比
11、求异面直线所成角
18、已知二面角求三棱锥体积
22
6、三视图
9、三棱锥外接球的表面积
19、作图（截面）；求线面角
22
全国新课标Ⅱ卷（文）
9、同理7
15、球的表面积
19、线面平行、三棱锥的体积
22
6.同理8
7、三棱锥的体积
18、线面平行、点到面的距离
22
6、同理6
10、同理9
19、（1）同理19（1）；
求截面所分两个几何体的体积之比
22
如表3，2013年以前全国高考课标卷只有一套试题，而2013年开始出现了全国高考新课标Ⅱ卷，主要面向贵州、云南等10个省市.立体几何内容为一大两小3个题目，分值为22分.与解答题的考查互为补充，小题会考查常见几何体中简单的空间角、距离（三棱锥的体积）的求解，空间中线面位置关系的判定，三视图以及与球有关的问题；解答题的考查与广东卷和全国高考Ⅰ卷基本相同.2把握考试内容，找准应对策略
综上所述，全国新课标卷的命题趋势会以一大两小3道题目的形式为主，文理科的命题上还是会体现统一性和差异性.核心考点将还会以三视图和空间位置关系的考查为主，理科数学要注重空间角（尤其是二面角）的计算，文科数学要注重高或者体积（点到面的距离）的计算.同时需要重视与球有关的知识的复习和掌握.出题的背景还会以常见的经典几何体为主，因此在复习备考中要注重基础，重视基本几何体的定义、性质及不同视角下经典几何体的线面关系.
从近年的高考卷中可以看出，立体几何的考查内容和形式都比较固定.作为得分题，在复习备考过程中，我们应该注重基础，掌握好常见几何体的定义、性质以及其中经典的线面、面面关系，同时能够灵活地变换视角研究几何体.下面对高考题目进行梳理分析，尝试找到相应的备考策略，争取最大限度的过关.
2.1经典几何体的视角变换
“以能力立意”是高考命题的大方向，命题人往往会从经典几何体中的位置关系进行视角的变换、或者对图形的元素进行增减的变换，经过这种改头换面的变式，达到“源于教材，高于教材”的命题目标.现在的高考命题要照顾到不同层次的学生，往往都是分步设问，层次分明.在分步设问的过程中，前面的设问和证明往往为后续的问题做足了铺垫，指明方向.
经典例题1（2013全国Ⅰ文19）如图1，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
图1图2
经典例题2（2013全国Ⅰ理18）如图3，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.图3图4
备考策略两个题目在命题背景和第1问的设置上完全相同.通过变换视角，考查学生对三棱柱的定义和性质的认知.第1问考查垂直关系的证明，在复习中要注重通法的训练.如垂直关系的证明要熟悉以下两种常见的方法：（1）相交线的垂直往往要利用勾股定理（Rt△）或者三线合一（等腰△）；（2）异面直线的垂直关系往往要通过线面垂直去证得.而本题的第1问就结合了这两种通法的考查.
此外，要注意分层设问的导向性.上述典型例题中，第（1）问的解决过程对第（2）问处理有着很强的指向性：A1E⊥AB，只要证到A1E⊥CE，即可证明A1E⊥平面ABC，即可证明A1E即是三棱柱的高，从而轻松解决体积的求解.在理科卷中，学生亦能通过第1问的铺垫和指引，证明到两两垂直，找到建系的方向和标准，从而解决问题.
在复习备考中注重以上两个方面的训练，学生对于解决这类经典几何体的问题会更有心得和信心.
2.2经典几何体及其割补问题图5
经典例题1（2012全国Ⅰ文19）如图5，三棱柱ABC—A1B1C1中，
侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1[]2AA1，D是棱AA1的中点.
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
经典例题2（2010全国Ⅰ文6）直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）.
A.30°B.45°C.60°D.90°
备考策略2012年全国Ⅰ卷文理科卷在命题背景和第1个设问的设置上基本相同.理科数学的命题中规中矩，分别考查垂直关系的证明和二面角的求解.文科数学的命题在第2问上体现出差异性，主要考查常见几何体进行分割之后的体积之比.学生要对分割之后的几何体有清楚的认识，必须具备比较扎实的基本功.第2问具有较好的区分度，水平较好的同学能够通过三棱柱和四棱锥B—CDA1C1体积的求解，最终求出答案，当然也有同学求出三棱柱和四棱锥C1—A1DBB1体积，达成目标，很明显第1种方法更加直接，而水平较差的同学甚至难以观察出分割之后的几何体是什么，自然半途而废，无功而返.此种考法在新近出炉的2015全国新课标Ⅱ卷文科解答题第19题中再一次出现，值得大家注意.
对于2010全国Ⅰ卷文科数学第6题，观察发现，通过补形，将直三棱柱补成正方体，在正方体中可以轻松地解决问题.
因此，在复习备考中注重学生对于基本几何体的认知训练以及几何体割补和视角变换，只要训练到位，学生对于解决这类问题就会更有心得和信心.2.3创新性问题
比较而言，广东卷在立体几何的解答题上有着更多的创新和尝试.三视图与直观图问题（2009广东文18）、折叠与翻转问题（2013广东文理18），与函数有关的综合等问题（2007年广东理19）都曾在广东卷里出现过，充分体现了广东人的开放、活力与大胆.
此外，在以上三类高考试卷中尚未考查的创新性问题，如存在性与探索性问题，同样值得引起注意，在各种模拟考试和其他地区的高考题（2012高考北京文16）中已经屡见不鲜.3抓好双基规范，提升知识水平
在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，培养学生“转化”和“降维”的数学思想.在立体几何中既有位置关系之间的转化，又有数与形的转化.立体几何问题就是通过严密的推理论证，最终转化到平面中解决.
在平面上呈现出的立体图形必然与实际图形产生差异，容易造成错觉，而空间想象力就能克服这种错觉.因此在教学中应该着重培养学生空间想象力，正确认识经典几何体的空间结构以及元素的空间位置关系.在具体要求上，要把握好以下三点：（1）培养学生识图、想图、作图的能力（包括规范图形和非规范图形）；（2）培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；（3）培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等长考不衰的高考内容应重点关注.
利用空间向量解决立体几何问题有许多优势，但仍有许多值得注意的地方：（1）建系问题；（2）注意要将几何问题向量化，向量的结论还原为几何结论；（3）利用向量运算解决空间角问题，要注意所求角的范围以及它与向量夹角之间的关系.
然而向量法不能包打天下.向量法首先要注意到建系的合理性和准确性，以便准确、快速地找出与问题相关的点（向量）的坐标，这些坐标中一旦有一个出错，就会让人陷入“棋差一招，满盘皆输”的悲惨境地，况且有时候总有个别点的坐标难以求解.
因此在复习备考的过程中，我们还是要扎扎实实地做好传统几何法和向量法的教学和训练，努力做到“两手抓，两手都要硬”，尽量不要有所偏废.多一种方法，也就多一种选择，多一份灵活.
关注立体几何的变化
传统教材与新课程标准在处理立体几何上有着明显的区别，所以如何进行立体几何的备考争议最多、迷茫最多，而这些焦点集中反映在点、线、面的位置关系上。首先我们要注意新旧教材的差异：
(1)传统教材侧重于空间点、线、面的关系以及有关的定理公理和相应的推理证明。
新课程标准将上述内容进行淡化，对能力的要求变为直观感知、操作确认、思辨论证，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。也就是说，新课程标准降低了推理与证明，将简单论证与数值计算有机结合在一起是考查的重点。
(2)文科数学在必修2中学习了空间直角坐标系，这可以认为是更倾向于立体几何的数值运算，而且是采用代数(建立空间直角坐标系)方法计算一些几何量(点到点的距离)。
在的立体几何备考中应该注意以下几点：
①空间的点、线、面的位置关系要把握好尺度，重点在基本的线面平行与垂直上，不应该学习向量办法。
②立体几何也有创新，广东将立体几何与函数结合在一起、体现三角函数在立体几何有关数值运算中的作用都是很好的尝试。
复习时要处理好的几个关系
1.基础与提高的关系
高考数学复习时，起点要适当降低，以符合自己的实际水平为主。回归基础知识，找到自己的不足，制订进一步训练的计划。对知识点进行拾遗补缺也是一种提高。提倡准备错题本，将每次训练的错误登记在册，时常提醒自己。回归教材复习的时候，要对照课本目录(资料目录)回忆和梳理知识，在自己头脑中应形成明晰的知识体系。对基本方法和技巧不能回忆出的，要及时补上。把重点放在掌握例题涵盖的知识以及解题方法上，选择一些针对性强的题目进行强化训练。
名师辅导高考数学：五招教你如何解除考场难题
高考数学考试中要注意的几个问题：(1)合理用时，科学排序。由于高考有时间的限定，因而合理用时就显得很重要，我的建议是客观题与主观题各控制在一小时左右，答题先易后难，先同后异，先熟后生，先高后低，立足中下题目，一次成功。(2)掌握窍门，增加得分。教师在阅卷中经常发现学生一道会做的题却得不到满分，一道未完成的题却得了不少分，这是值得考生思索的一个问题。每位学生都应树立必胜信心，能写则写，能得分就决不放弃，要知道高考是分段给分。
在高三数学立体几何复习中，我们从“以人为本，主动发展”的教学理念出发，将课堂教学设计为探究性学习组织教学，发挥了较好的效果。探究性学习主要分为两个过程：
一、问题引动，加强双基；
二、主动探究，培养能力。现以立体几何复习中的“角度、距离的计算”一节课的教学为例，分述如下。（限于篇幅，主要侧重于二面角）
一、问题引动，加强双基
加强双基，夯实基础是复习目标之一。对于基础知识的复习，由于学生已经有了第一次学习的经历，无论理解的程度如何，总是以为自己是知道的，若仍按照教师提问学生答，教师罗列学生抄，教师归纳学生听的复习方法，势必让学生感到乏味。时间花费多，学生收效少。我们采取“问题引动”法，即在教学过程中，围绕教学内容，设计问题组，引动学生主动复习基础知识，掌握基本方法。如在“角度、距离的计算”一节复习中，首先设计如下问题：
1．在边长为a的正三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPCa，则二面角PABC的余弦值为_______ 2．已知P为锐二面角l的棱上一点，PQ，PQ与l成45角，与成30角，则二面角l的大小为_______ 3．过二面角l内一点P，分别作两个面的垂线PA,PB，A,B为垂足，已知PA3,PB2,APB60，求二面角l的大小及P到l的距离（设计意图：回顾二面角的计算的常用方法：
1、定义法；
2、三垂线定理法；
3、垂面法）
学生独立完成后，口头回答结果，教师同学生一起反思解题过程，归纳方法及书写格式，通过具体的问题，让学生主动总结基础知识和基本方法。
二、主动探究，培养能力
提高素质，培养能力是复习的重要目标，而能力的培养要通过学生的主动探究来实现。我们的做法是：根据教学内容、目标、精选示例，让学生独立思考或通过与同学合作讨论解答，然后师生共同评价。
例
1、在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱才长2a，底面边长为a，P是侧棱CC1上一点
（1）求证：BDAP
（2）若CC13C1P，求平面AB1P与面ABCD所成的二面角
（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在面B1AC上的射影是B1ACD1A1B1C1P的平分线
让学生独立思考3分钟左右，再口述思路
生1：第一小题用三垂线定理即可，第二小题用射影法可求解，但我没有计算出来，第三小题不会做
生2：第二小题我算出来了，答案是arccos3 7DCAB 生3：可以用三垂线定理法，作出二面角的平面角，做法是：延长再连结AM，然后过B作BHAM于H，连B1H即可，B1HBB1P与BC交点M点，就是二面角的平面角。
D1
A1B1C1师：讲的很好，思路很正确，第三小题呢？
P生4：是不是PB1PC就可以了，M可我说不上为什么
生5：错了，PB1PC只能说明P在面B1AC的 ADHBC射影到B1与C的距离相等，而我们需要的是P 的射影到AB1与AC的距离相等
师：太精彩了，一起想象吧，在书本上哪块知识有相关内容？ 生6：教科书（A本）P26例3与此类似
师：对了，如何把我们熟悉的类型与（3）联系
生7：老师，我是这样想的，设Q是P在平面B1AC上的射影，那么AQ就是AP在面B1AC上的射影，因为Q到AB1与AC的距离相等，所以由例3可以知道P到那么，只须过P作PRAB1于R，由PRPCAB1与P到AC的距离即PC相等，就可以知道PC的长度了
师：思路很清晰，请同学们按照生7的思想进行证明与解答（以下略）生8：用向量
（2）、以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设底面边长为3，则A3,0,0，B3,3,6，C0,3,4，易得平面ABCD和平面AB1P的法向量为n10,0,1，n21,3,1.5
cosn1n23 n1n27（3）、只需∠PAB1=∠PAC，设P0,3,z，则AB1APAB1APACAPACAP
解得z
153103103，所以PC1=PCz
22例
2、斜三棱柱ABCA1B1C1中底面是边长为23的正三角形，且点A1在底面ABC上的射影O恰好是BC的中点
（1）当侧棱AA1ACB的大小 1与底面成45角时，求二面角A（2）D为AA1上一点，当
A1D为何值时，有BDA1C1 DA（3）对于（2）中的D，若BD面A1ACC1，求异面直线BD与CC1的距离 A1C1DB1AFOBC
这一题我让学生前后四人一组讨论解答，然后将由某一位同学代表小组发言，5分钟后
生9：（1）可以用三垂线定理法作出二面角，然后由条件计算出答案是arctan2；（2）因为BDA1C1，所以BDAC，由三垂线定理知BD在面ABC的射影垂直AC，所以需要寻找D的射影，又因为AP面ABC，所以过D作A1D的平行线交AO于F，F就是D的射影。由上，BFAC，又AFBC，所以F是等边ABC的中心，则
A1DDF1，（3）我们没有完成 ADFA2师：好的，生9为我们详细的分析了（1）（2）小题的思路，接下去我们对（3）进行发言
生10：因为异面直线距离可以转化为线面，再转化为点面，在这小题中，CC1与BD的距离即CC1与面ADB的距离，即求C到面ADB的距离，可以用11VDABCVCADB，即SABCDFSDABh，而DF和AD的长度由（1）可以33计算出来
生11：他们的分析是对的，但是DF和AD的长度不能由（1）得到，因为（1）中AA1与底面成45不能作为（3）的条件
师：很好，这一点生10没有注意到 A1C1DB1AOBC
生11继续：我们发现DC就是BD与CC1的公垂线段，∵BD面ACC1A1，∴BDDC，又AA1BD，AA1BC，∴AA1面BCD，且CC1平行AA1，∴CC1面BCD，∴CC1CD，由DCBD和DCCC1可知CC1是公垂线段，但CD的长度好象条件不够
师：刚才生10和生11的方法是求异面直线距离的两种典型方法，但是他们都不能计算出距离，主要是他们还没有发现题目中的条件蕴涵的意义
生12：我发现了，这与刚才的例1类似，出于书本P26例3，因为A1的射影O在BAC的平分线上，同样的D也如此，所以有DB=DC，只要证明DBODCO即可，所以BDC中，BD=DC，BAC=90，BC23，马上可以求出CD6 教师进行总结
语文：以阅读为主
低年级的学生复习以拼音、认字为主，还要熟练背诵，多听多写汉字，这样一般题型学生都能够得心应手。中年级的学生复习除了要掌握基本的字词、课文以外，还要多做句子练习，例如：造句、仿写句子、修改病句等等。高年级的学生复习建议学会梳理与整合，按单元来复习。
数学：注重错题
把之前做错的题拿出来再看一遍，针对错题的错因对症下药，这样能够对知识点进行查漏补缺，有利于提高复习的效率;回归课本，把之前做的课堂笔记再大致浏览一遍，熟记知识点，把数学公式烂在心;考前一周适当做一些模拟试卷，找到答卷的感觉。
英语：听读写结合
低年级英语听力部分占比较大，因此，低年级的学生英语复习以听和读为主。高年级学生英语复习建议听、读、写结合，培养英语语感。
几何概念是反映现实世界空间形式本质属性的一种思维形式, 是人们对客观事物的“形”的科学抽象与概括, 同时也是发展学生空间观念的基本条件。小学阶段, 通过直观教学唤起学生的学习兴趣, 充分利用实物、模型、图形, 引导学生看一看、摸一摸、折一折等方式了解角、三角形、四边形、圆、正方体、长方体等基本几何形态, 形成几何初步概念, 培养空间观念。高中阶段的立体几何与初中阶段的空间与图形部分联系密切, 许多内容, 如空间几何体、三视图、投影等都在初中阶段有所接触, 学生对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都有了直观认识。初中阶段学生学习欧式几何, 注重严密的推理, 根据已知条件明确所要证明的问题, 然后从已知条件出发, 一步一步按照严格的逻辑关系, 最后得出结论。学生通过训练, 在推理的过程中, 培养了严密清晰的逻辑思维能力。
课标建议立体几何部分的教学, 可先让学生从空间几何体的整体观察入手, 认识空间图形, 再以长方体为载体, 直观认识和理解空间点、线、面的位置关系, 能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定, 并对其进行论证。所以在高中阶段, 立体几何是在必修2中分两个章节出现的, 内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积还有空间点、线、面的位置关系。这样的安排, 使得学生先认识了空间几何体的结构特征, 并且能够画出实物图, 同时也了解了空间点、线、面的位置关系, 学生的认知过程是由感性上升到理性认识, 由“直观”到“推理”, 更符合学生的认知规律。
学生进入高三复习阶段, 立体几何知识学习完毕, 学生已具有了一定的空间想象能力, 掌握了一定的立体几何的研究方法。但是对于比较抽象的问题, 不少学生还是不能很好地构造几何体, 借助直观图形解决问题。通过参与“高中数学课堂改进项目”, 在綦春霞教授带领的专家团队引导下, 针对这些问题, 我进行了“长方体在高中立体几何复习中的作用”研究。教学效果表明, 恰当处理长方体在立体几何复习课中的作用, 以学生的数学学习为中心, 长方体完全可以成为高中立体几何复习的绿色纽带, 提高复习效率和学生数学学习成绩。
一、在起始课中注意空间立体感的培养
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃, 要有一个过程, 所以要重视看图能力的培养。对一个几何体, 可以从不同的角度去观察, 可以是俯视、仰视、侧视、斜视等等, 体会不同的视角, 以开拓空间视野, 培养空间感。
案例1立体几何复习的第一节课, 我就要求学生共同完成一个任务。用一张纸亲手做一个长方体模型, 通过这个任务, 学生提高了学习的兴趣, 也感悟到数学世界的简洁美、和谐美。课后再留作业:做正三棱柱和正四面体的模型, 进一步帮助学生构建空间感。
二、利用长方体模型, 加强学生构图能力的培养
案例2判断下列命题是否正确:设a、b是两条直线, α, β为两个平面。
1. 若a、b与α所成角相等, 则α∥b
2. 若a∥α, b∥β, α∥β, 则α∥b
3. 若a∩α, b∩β, α∥b, 则α∥β
4. 若a⊥α, b⊥β, α⊥β, 则α⊥b
这类问题的传统做法是学生结合手中的笔、本作为线面进行判断, 教师引导完善点线面位置关系。但是这样的方式也有弊端, 学生只单纯利用手中工具, 对于出现多条线多个面的问题, 要么需要与他人合作, 要么容易手忙脚乱, 不能很好地构建空间结构。所以引入长方体, 在长方体模型中构造题目中的线、面位置关系, 帮助学生把抽象问题具体化, 这样使学生在面对题目的“实战”中, 可以独立完成。我所教的两个班级, 一个班基础较好, 一个班基础较弱。我曾经通过测试的方式进行对比, 强调构建长方体来解题之后, 基础较好班级学生正确率变化不大, 但是对于基础较弱班级的学生来说, 这类题目的正确率明显提高。可见, 对于程度好的学生来说由于空间立体感较强, 是否构建长方体, 做这类题目都没有什么难度, 但是对于程度稍弱的学生来说, 利用长方体的具体模型能够有效帮助解决抽象问题。
案例3判断命题的正确性:“在空间有三个角都是直角的四边形是矩形” (见图1) 。
学生分组, 利用手中的笔作为工具, 具体化提升空间想象能力。教师适时引导设问, 能否在长方体中找到相应的几何形态?
深入探究:三棱锥的四个面最多有几个直角三角形? (见图2)
这是复习课中的一道题目, 一开始学生无从下手, 小组讨论后, 学生们可以通过多人合作, 每人手里两只笔架起这个空间结构, 但是既不会画图, 又不能合理地说清这个几何模型的特点, 只是有一个比较模糊的直观感觉。于是我通过引导, 让学生在长方体中自己找一找刚才演示的图形。由于长方体的线面垂直关系非常明显, 学生能够比较轻松地验证这两个命题。
三、加强学生认图能力的培养
对于立体几何题, 既要由复杂的几何图形看出基本图形, 如点线面的位置关系, 又要想到未画出的部分。能实现这些, 学生就可以一眼看穿有些复杂的抽象问题。
案例4某几何体的三视图如图3所示, 则该几何体的体积为_____。
不规则几何体的三视图问题一直以来都是学生的薄弱之处, 单纯靠空间想象很难还原几何体的真实形态。例如此题, 是高二期末测试中的一道题目, 正确率不高, 学生的问题在于能否想象这是一个三棱锥的三视图, 但是对于相应的长度一头雾水, 不能精确识图。在高三复习课中, 重新拿来这道题, 引导学生在长方体中找到相关的几何体, 再精确长度的标准, 有效帮助学生解决不规则几何体的三视图问题 (见图4) 。
案例5已知某个几何体的三视图如图5所示, 根据图中标出的尺寸 (单位:c m) , 可得这个几何体的表面积是_____。
这道题目, 如果单靠空间想象能力, 学生在计算环节容易出错, 但是直接让学生还原几何体有一定的难度, 所以借助长方体模型 (见图6) , 在长方体中标注长度, 使得计算一目了然。
解析几何这部分知识在高考中所占比例比较大,而且是学生平时学习的难点。怎样才能更好的复习解析几何知识,为高考做好充分的准备呢?下面谈谈自己的看法。
1课标中对解析几何这部分知识的要求
1)能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直線的方程来研究与直线有关的问题了。2)理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方程的方法。3)掌握圆的标准方程:(r>0),明确方程中各字母的几何意义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径,掌握圆的一般方程:,知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程。
4)正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法。
209年各地高考题中解析几何题分析
高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。
2009年高考,各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值约为27.1分,约占18.1%;2001年以来,解析几何内容在全卷的平均分值约为29.3分,约占19.5%。因此,占全卷近1/5的分值的解析几何内容,值得我们在复习中引起足够的重视。高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容,对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及。
2.1选择、填空题
2.1.1 对解析几何基础知识的考查
例1.(09四川理)已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A.2B.3 C. D.
解析:直线为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离,故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小,最小值为到直线的距离,即,故选择A。
2.1.2 考查数形结合思想。
例2. (2009全国卷Ⅰ文)若直线被两平行线所截得的线段的长为,则的倾斜角可以是
① ② ③ ④⑤
其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)
解:两平行线间的距离为,由图知直线与t的夹角为,的倾斜角为,所以直线的倾斜角等于+=或-=。故填写①或⑤
评注:本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想。
2.2解答题
解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质。以中等难度题为主,通常设置两问,在问题的设置上有一定的梯度,第一问相对比较简单。
例3.(2009全国卷Ⅰ,21) 如图,已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
(I)求得取值范围; (II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标。
解:(I)将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得(*)
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可。由此得
,解得
(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点。
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由(I)根据韦达定理有,则
令,则 下面利用导数求的最大值。
令。
,
得,(舍去)。可判断当时,有最大值,即四边形ABCD的面积最大,故所求的点P的坐标为。
3理顺今年的复习思路
3.1根据学生的实际,有针对性地进行复习,提高复习的有效性
由于解析几何通常有2-3小题和1大题,约占28分左右,而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易,因此,对于全市的所有不同类型的学校,都要做好该专题的复习,千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习,并且根据生源状况有针对性地进行复习,提高复习的有效性。
3.2重视通性通法,加强解题指导,提高解题能力
在复习中,不能仅仅复习概念和性质,还应该以典型的例题和习题(可以选用09年的各地高考试题和近两年的各地高考模拟试题)为载体,在复习中强化各类问题的常规解法,使学生形成解决各种类型问题的操作范式。数学学习是学生自主学习的过程,解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握。所以,在复习中,教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评,只有这样,才能够实施有效复习。
3.3注意强化思维的严谨性,力求规范解题,尽可能少丢分
