3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案（精选11篇）

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇1

教学目标：

1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间；

2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间；

3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系；教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学教学过程：

一、复习回顾：

我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得问题1：函数yfx在区间x1,x2上平均变化率的数学表达式吗？

fx2fx1生1：（教师板书），x2x1师：那你能给出这个二次函数fxx4x3在x1,x2上的平均变化率吗？

2问题2：导数的概念和它的几何意义？

生2：x2x1时，fx2fx1fx1（教师板书）

x2x1师：这个导数又有什么几何意义？

生2：曲线yfx在点x1,fx1处切线的斜率

师：这个二次函数fxx4x3，它对应的fx1又是什么？

2生3：fx12x14

师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，（板书“导数在研究函数中的应用”）

二、建构数学师：观察二次函数fxx24x3图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势生：对称轴x2左边下降趋势，对称轴x2右边上升趋势，师：也就是在,2为减函数，在2,为增函数，这也是函数的单调性师：你是怎样判断函数单调性的？生：图象法（教师板书）

师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法？生：定义法（教师板书）问题3：那函数单调性定义又是什么？

生：函数yfx的定义域为A，区间IA，任取x1,x2I，当x1x2时，fx1fx2，则yfx在区间I上是单调增函数； fx1fx2，则yfx在区间I上是单调减函数。

师：回答的非常好！请大家用定义法证明二次函数fxx4x3在2, 为增函数

2生： x1,x22,，不妨设x1x2，则fx2fx1x2x1x1x240，所以fx1fx2，所以函数在2,为增函数。

问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗？

f(x2)f(x1)x1x24，f(x2)f(x1)x2x1x1x24

x2x1生：有关系

师：说的很好！我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系

问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么？

生：导数与单调性之间可能也有关系

师：说的太好了！同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。（教师补全课题）

问题6：导数与单调性之间究竟什么关系？

师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数fxx4x3在对称轴左右两侧导数值有

2什么不同特点？切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。

yfxx24x3x

生：在区间,2上，fx0函数在该区间为减函数；

在区间2,上，fx0函数在该区间为增函数。（教师板书）师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，o2fx2fx1不妨假设x1x2，x2x1时，fx12x14

x2x1问题7：你能从“数”的角度解释为什么在2,上，fx0得到在该区间为增函数？

生：小组交流讨论教师点评归纳：

不妨设x1x2，当x2x1时，fx2fx1x1x24fx12x14，x2x1fx2fx10，所以 fx2fx1，x2x1若fx10，得到x12，x1x240，得到在2,为增函数。

师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗？生：对于函数yfx，在某个区间上fx0函数在该区间上为增函数；在某个区间上fx0函数在该区间上为减函数

师：归纳的很好！这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法——导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法（板书）。

三、数学运用：

例1：用导数法确定函数fxx2x3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？

2解：fx2x2，令fx0，解得x1，即在区间,1上为增函数

令fx0，解得x1，即在区间1,上为减函数（教师板书）师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗？生：回答教师点评步骤：

（1）求导数fx；（2）解fx0和fx0；（3）写出单调区间。最后不忘函数定义域

四、课堂练习：

例2：用导数法确定函数fx2x6x7在哪些区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

32（请学生板演）

解：fx6x12x6x(x2)2令fx0，解得x0或x2，令fx0，解得0x2，因此函数在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数

教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数fx2x36x27单调性变化趋势的简图吗？（实物投影学生演练纸）

生：解释怎样做出函数简图：（1）找导函数零点；（2）分区间；（3）由单调性作图

师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：

问题8：若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上必有fx0吗？大家请结合函数fxx3来思考

生：fx3x2，发现 f00

师：由此看来若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有fx0。师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识？体会了哪些数学思想？

五、回顾小结：

生1：学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间；生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。

师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法—导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数求解函数单调区间时把握三个主要步骤“一求，二解，三写”最后不忘定义域，利用导数研究函数单调性是非常重要的，为后面用导数研究函数的极值、最值打下基础，对后续学习非常重要。

六、课外作业：

1、课本29页第1题（必做题）

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇2

一、对整体把握高中数学课程的认识

所谓整体把握高中数学课程,是指在感知过程中要把高中数学课程当作一个整体来对待和处理.具体指教师与学生在教与学的过程中,不仅要关注每个微观的数学知识点和思想方法的掌握,更要从宏观角度,把高中数学看成是由各个内在相互联系的要素构成的有机统一体,科学合理地处理好局部与整体的关系,并注重学生数学能力和情感态度的培养,努力遵循学生终身数学教育、终身发展的理念来认识、建设和处理高中数学课程.

把握高中数学的整体结构,其纵向维度,需要在每一个局部数学知识模块的教学中,努力体现其在整个高中阶段的地位和作用,从历史的角度,让学生真实感知其发现或发生、论证或发展、应用等全部过程;其横向维度,需要上升到课程的高度,把高中数学作为一个整体,让学生站在整个高中数学课程的高度,理解和认识每一知识模块,进而对高中数学获得全方位的认知与感悟.

二、基于整体把握高中数学课程理念的教学设计课例

以笔者2015年12月在江苏省青年数学教师优秀课观摩与评比活动中应邀开设的研讨课“导数在研究函数中的应用”(苏教版)为例,通过简要介绍教学过程,谈谈笔者所在课题组在教学设计和实践中对整体把握高中数学课程理念的探索和体会.

(一)教材分析

函数的单调性是高中学生研究函数的第一个重要性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,在“必修一”学生已学会运用定义法和图象法等初等方法研究函数的单调性.本章学生是在掌握基本初等函数的性质和学习导数的概念与运算的基础上,特别是在了解导数的几何意义的前提下,学习运用导数法去研究函数的单调性,为进一步研究较为复杂的复合函数的极值、最值,进而画出函数的草图,讨论“恒成立问题”“存在性问题”“零点问题”等打下基础,同时,也有利于帮助学生了解函数整体的平均变化率与某点处的瞬时变化率的关系,进一步加深对函数单调性的理解.

利用导数研究函数的单调性,学生的认知困难主要有两个方面.(1)导数与函数单调性关系的探索发现.高等数学是用极限思想给予严格的证明,而高中阶段只能利用导数的几何意义,由特殊函数在同一单调区间内导数值的特征来观察、分析、归纳和总结规律.如何联想到运用导数来判断单调性,以及如何发现这一规律对学生而言是非常困难的.(2)由于导数法是由特殊函数的图象结合导数值观察发现的,是否具有一般性,学生还存有疑问,如何进行理论分析、如何处理是一大难点.根据以上的分析和高中数学课程标准的教学要求,确定了本节课的重点和难点.

教学重点:导数在研究函数单调性中的应用;教学难点:导数与函数单调性关系的探究和发现以及理论分析.

(二)教学过程简录

1. 复习回顾引入课题

引例:试确定函数f(x)=x2-4x+3的单调增区间和减区间.

问题:函数单调性是如何定义的?如何判断函数的单调性?

教师小结:图象法(依性作图、以图识性),定义法(取值、作差、变形、断号、定论).

【设计意图】以实际数学问题为载体,通过解决问题引导学生复习回顾已掌握的证明函数单调性的初等方法.

问题:能利用这些初等方法讨论研究所有函数的单调性吗?大家能否找出一些反例?

学生:不能.例如,含有三次以上幂函数,或含有对数函数,或含有三角函数等的函数.

教师:根据同学们的意见,列举其中三个函数:

【设计意图】引导学生针对在学习过程中遇到的困难,培养好奇心,探究新方法,导入新课.由学生随意推荐函数,既可以激发学生学习的兴趣,又可以初步感受新的方法研究函数单调性更具有一般性和有效性.

2. 探索归纳发现结论

问题:运用现代多媒体技术,通过几何画板可以试着画出上述函数的图象,根据上述函数的图象,能判断函数的单调性吗?

学生:从图1可以发现,函数(1)可以,而从图2、图3不能确定函数(2)(3)的单调性,因为难以确定单调区间之间的“分点”.

【设计意图】由于还未学习极值点的判断,那么对于连续函数,学生的困难是难以确定单调区间之间的分界点———极值点的确切位置,这里激起学生的疑问,为后面进一步研究极值点埋下伏笔.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,还需要寻找其他方法进行严密化、精确化的研究和严格的代数逻辑推理.

问题:除了初等方法,还有其他更为有效的方法研究这些复合函数的单调性吗?函数单调性是对函数变化趋势的一种刻画,高中数学还有什么知识也可以刻画函数变化的趋势?又是如何刻画的?

学生:导数.函数的导数主要刻画了函数在每一点处的瞬时变化率,反映了函数上升或下降的陡峭程度.

问题:能利用导数去研究函数的单调性吗?导数的几何意义是什么?函数在不同的单调区间内,伴随着函数图象上每一点处切线的变化,其导数值具有什么相应特征?

学生活动:利用几何画板,对上述三个函数的图象不断变化切线的位置,师生共同探究,分组讨论,猜想出导数法的一般结论,板书结论.

猜想:对于函数y=f(x)在某区间I上,

(1)如果f'(x)>0,那么f(x)为区间I上的增函数.

(2)如果f'(x)<0,那么f(x)为区间I上的减函数.

【设计意图】通过实例,借助几何图形的直观,观察特殊函数图象切线的变化,引导学生观察、分析、猜想和提炼出导数与函数单调性的密切关系,从而发现研究函数单调性的又一种方法———导数法,培养学生由特殊到一般的归纳总结能力.

问题:虽然上述三个函数是由大家随意找出的,但能代表所有连续可导函数吗?也就是说上述结论具有一般性吗?

教师指出:上述结论是由上述三个特殊的函数图象得到的,只是一种猜想,是否具有一般性,还需要严格的数学证明.

问题:对任意连续可导函数y=f(x)在区间I上f'(x)>0恒成立,几何意义是什么?

学生:函数图象在区间I上任意一点处切线的斜率都大于零.

问题:要证明函数y=f(x)在区间I上单调递增,根据定义就是要证明什么?

学生1:任取x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)成立.或任取x1,x2∈I,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)成立.

学生2:任取x1,x2∈I,都有成立.

学生3:函数图象在区间I上联结任意两点割线的斜率都大于零.

问题:如果图象连续的函数y=f(x)在区间I上f'(x)>0恒成立,则函数y=f(x)在区间I上单调递增,你能简单说明理由吗?

学生活动:分组讨论.从图4发现,让经过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的割线平行移动,当函数图象平滑、连续不间断时,则必然有一直线与函数图象相切,设切点为(x0,f(x0)),因此得到

教师指出:虽然上述证明过程还不是十分的严密,但已非常接近于严格的数学证明了,大家发现了连续可导函数在区间上整体平均变化率与区间内某点处局部瞬时变化率的关系.等式就是高等数学中的拉格朗日中值定理.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该结论,并进行证明,感兴趣的同学课后可以做进一步的研究.上述结论就是导数在研究函数中的重要应用.

【设计意图】使学生明确猜想只是一种合情推理,判断是否正确还必须经过严格的推理证明.对证明上述结论的高等数学中的拉格朗日中值定理,采用中学生能够接受的方式,用直观的方法来分析和说明,培养学生严密的逻辑思维能力和意识,激发学生进一步学习高等数学的兴趣和欲望.

问题:该结论反之成立吗?能举反例吗?

学生1:成立;学生2:不成立.

对于学生错误的回答,引导学生举反例说明.

例如,虽然函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(0)=0,所以逆命题不真.

【设计意图】把对导数法的认识由感性上升到理性的高度,第二次强化了导数法研究函数单调性的一般性,培养学生严密的逻辑思维能力.

3. 掌握方法适当延展

例讨论确定下列函数的单调区间:

针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.强调单调区间的区间形式、不能取并集等注意点.第(1)题教师板书规范解题过程;第(2)(3)题学生板书.

引导学生分组讨论,归纳导数法讨论函数单调性的基本步骤:确定定义域,求导数,解不等式,确定单调区间.

练习:1.利用导数法研究函数f(x)=x2-4x+3的单调性.

2.(1)讨论函数的单调性;(2)讨论函数的单调性.

【设计意图】掌握导数法研究函数单调性的方法和步骤,并与初等方法进行对比,研究对象从连续函数向不连续函数推广,让学生第三次感受导数法对研究函数单调性的易操作性、一般性和有效性.同时渗透极限的思想,为今后利用函数性质画出函数图象、研究函数的其他性质打下基础.

4. 归纳小结提高认识

问题:本节课你感受最深的是什么?

学生活动:交流本节课学习过程中的体会和收获.

课外探究:利用函数单调性,画出函数的草图.

三、几点体会

在整体把握高中数学课程的理念下进行教学设计,最直接、最基本的作用是有利于学生构建知识,在此基础上,进而可以促进学生达成三维目标,最终实现学生核心素养的培养和形成.

(一)有利于学生数学知识的建构

高中阶段的导数在研究函数单调性方面起承上启下的重要作用,考虑本节课在教学大纲中的地位和分量,结合教材特点以及学生认知水平,教师必须站在课程论的高度,运用整体把握的理念进行教学设计,以便于学生更容易自主地建构知识网络.

本节课建构的基本环节见图5.

皮亚杰认为,学习过程是学习者建构自己知识经验的过程,而建构在于学习者通过新旧经验的相互作用来发展自己的知识经验.教师的作用就是要为学生的建构提供载体和支撑,必要时还需加以引导和帮助.因此,教师需要在整体把握高中数学课程的理念下,充分尊重学生的认知规律、心理和生理发展特点,遵循高中数学内在的知识结构和逻辑思想体系,进而体现高中数学课程的整体性、规律性、结构性和连续性,抓住数学的内涵和外延,让学生增强对新旧知识的能动性思考,经历有趣的数学同化与顺应过程,使学生的数学知识和能力持续呈现螺旋式上升,从而让学生的知识结构更加有效和稳固.

(二)有利于学生三维整体目标的达成

数学课程的“三维目标”往往需要跨学期、跨学年的长期渗透和培养,不可能只通过一节课全部实现,但“三维目标”的实现又离不开课堂教学,教师必须对高中三年数学课程进行整体规划,并细化、分解、落实到每一学期、每一单元、每一节课,努力以每一节课为载体和主渠道,积极尝试,逐步积累,最终整体实现“三维目标”.

本节课通过引导学生研究自己遇到的实际数学问题和学习困难,利用几何画板借助函数图象直观地探索并了解函数的单调性与导数的关系,初步掌握研究函数单调性的导数方法.让学生逐步经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,感受和体验数学发现和创造的一般历程.通过对导数与函数单调性关系的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯.通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中不断的比较,先后完成对导数法研究函数单调性的三次层层递进式的认识,使得学生不断深入对函数和单调性概念的理解和认识,逐步体会到导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性,引起学生学习研究数学的兴趣,助推学生真正走进高中数学,感受数学的应用和文化价值,培养学生严格的逻辑思维能力、科学的思想和精神.

整体把握学校课程,日本学者石井英真提出了如图6所示的“认知系统三重圆模型”[2],即(1)知识的习得与巩固(知晓水准);(2)知识的意义理解(理解水准);(3)知识的有意义运用与创造(运用水准).与此相一致,《江苏省普通高等学校招生全国统一考试说明》对数学知识的考查所提的要求分为三个层次,依次为:(1)了解.对知识的含义有基本的认识,并能解决简单问题;(2)理解.对知识有较深刻的认识,并能解决基本综合性的问题;(3)掌握.系统地把握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.重点强调数学基本能力和综合能力考查的重要性,突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法以及数学应用意识和创新意识的培养考查.由于学生是课堂教学的主体,学生的发展才是教育的最终目标.因此,教师需要在整体把握高中数学课程的理念下进行教学设计.除了考虑上述数学知识层面,更应关注学生的情感、态度和价值观教育,努力发挥数学课堂的教育功能.

(三)有利于学生核心素养的培养

钟启泉教授认为,核心素养指的是同职业上的实力与人生的成功直接相关地涵盖了社会技能与动机、人格特征在内的整合能力,其核心在于重视运用知识技能、解决现实课题所必需的思考力、判断力与表达力及其人格品性[1]3.罗增儒教授则对具体的中学数学核心素养进行了界定:是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力,是数学课程目标的集中体现[3]5.基于核心素养的课程发展直面的第一个挑战是把握学校课程的整体结构,对数学教学进行整体设计.

数理学科群,应该聚焦认知方略与问题解决能力,这需要教师在问题情境中借助问题解决的实践培育起来[1]8.本节课,笔者对问题情境进行了整体的设计,由简单到复杂,层层递进,首先提出研究二次函数的单调性,让学生复习初等方法;其次引导学生寻找自己遇到的运用初等方法无法研究单调性的一些复合函数,启发学生探寻、发现、验证导数法;然后,再让学生尝试运用导数法研究连续函数的单调性;最后研究不连续函数的单调性.让学生在真实的数学情境中,在自己切身遇到问题时,学会努力地观察、归纳、发现、猜想和证明,使学生即使遇到的问题不是明显的或直接的数学问题,也能够从数学的角度去认识问题、以数学的态度去思考问题、用数学的方法去解决问题[3]5,落实培养即将颁布的《普通高中数学课程标准(修订稿)》中明确提出的高中阶段的六种核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析,从而有助于保障每一个学习者的知识建构与人格建构.

参考文献

[1]钟启泉.基于核心素养的课程与发展:挑战与课题[J].全球教育展望,2016(1).

[2]石井英真.何谓新时代的学力和学习[M].东京:日本标准股份公司,2015:22.

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇3

本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.（）x0).例

1证明不等式：xln(x1证明

设f(x)xln(x1)(x0)，可得欲证结论即f(x)f(0)(x0)，所以只需证明函数f(x)是增函数.而这用导数易证：

f(x)1所以欲证结论成立.10(x0)x1注

欲证函数不等式f(x)g(x)(xa)(或f(x)g(x)(xa))，只需证明f(x)g(x)0(xa)(或f(x)g(x)0(xa)).设h(x)f(x)g(x)(xa)(或h(x)f(x)g(x)(xa))，即证h(x)0(xa)(或h(x)0(xa)).若h(a)0，则即证h(x)h(a)(xa)(或h(x)h(a)(xa)).接下来，若能证得函数h(x)是增函数即可，这往往用导数容易解决.例

2证明不等式：xln(x1).证明

设f(x)xln(x1)(x1)，可得欲证结论即f(x)0(x1).显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证f(x)xln(x1)(x1)的最小值是0，而这用导数易证：

f(x)11x(x1)x1x1

所以函数f(x)在(1,0],[0,)上分别是减函数、增函数，进而可得

f(x)minf(1)0(x1)

所以欲证结论成立.注

欲证函数不等式f(x)()g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)g(x)()0x.(I设h(x)f(x)g(x)(xI)，即证h(x)()0(xI)，也即证h(x)min()0(xI)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决.bex1例3

(2014年高考课标全国卷I理科第21题)设函数f(x)aelnx，曲线

xxyf(x)在点(1,f(1))处的切线为ye(x1)2．

(1)求a,b；

(2)证明：f(x)1．

x解

(1)f(x)aelnxaxbx1bx1e2ee． xxx题设即f(1)2,f(1)e，可求得a1,b2．

x(2)即证xlnxxe21(x0)，而这用导数可证(请注意1)： ee设g(x)xlnx(x0)，得g(x)ming．设h(x)xex1e1e12(x0)，得h(x)maxh(1)．

ee注

i)欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，而这用导数往往可以解决.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，或证明f(x)ming(x)max(xI)且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学

（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：

已知函数f(x)xlnx,g(x)xax3．(1)求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值；

(2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0,)，都有lnx212成立． xeexln x例4(2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．

x(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．解(1)(过程略)L的方程为y＝x－1.lnxx1(当且仅当x1时取等号).xx2－1＋ln xlnx(x0).设g(x)x1，得g′(x)＝

x2x(2)即证当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，得g(x)单调递增．

所以g(x)ming(1)0，得欲证结论成立.(2)的另解即证仅当x1时取等号).设g(x)xxlnx，可得g(x)2lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证x2xlnx0(当且x2x1(x1)(x0).x进而可得g(x)ming(1)0，所以欲证结论成立.(2)的再解即证lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证lnxx2x(当且仅当xx1时取等号).2如图1所示，可求得曲线ylnx与yxx(x0)在公共点(1,0)处的切线是yx1，所以接下来只需证明

lnxx1,x1x2x(x0)(均当且仅当x1时取等号)

前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.图1

例5

(2013年高考新课标全国卷II理21(2)的等价问题)求证：eln(x2)．分析

用前三种方法都不易解决本问题，下面介绍用导数证明函数不等式的第四种常用方法.设f(x)e(x2),g(x)ln(x2)(x2)，我们想办法寻找出一个函数h(x)，使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到.当然，函数h(x)越简洁越好.但h(x)不可能是常数(因为函数g(x)ln(x2)(x2)的值域是R)，所以我们可尝试h(x)能否为一次函数，当然应当考虑切线.如图2所示，可求得函数f(x)e(x2)在点A(0,1)处的切线是yx1，进而可得f(x)h(x)(x2)；还可求得函数g(x)ln(x2)(x2)在点B(1,0)处的切线也是yx1，进而可得h(x)g(x)(x2).xxx

图2 进而可用导数证得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立.当然，用例2的方法，也可给出该题的证明(设而不求)：

x设f(x)eln(x2)，得f(x)ex1(x2).x2可得f(x)是增函数(两个增函数之和是增函数)，且1fe20,f(1)e10，所以函数g(x)存在唯一的零点x0(得2(x02)ex01,x02ex0,ex01)，再由均值不等式可得 x02f(x)minf(x0)ex0ln(x02)11lnex0x0220x02x02

(因为可证x01)所以欲证结论成立.x例6 求证：elnx2.x证法1

(例5的证法)用导数可证得ex1(当且仅当x0时取等号)，x1lnx2(当且仅当x1时取等号)，所以欲证结论成立.x证法2

(例2的证法)设f(x)elnx，得f(x)ex1(x0).x可得f(x)是增函数且g11110,g(0)0，所以函数g(x)存在唯2e1.52一的零点x0(得ex01,x0ex0)，再由均值不等式可得 x011lnex0x02(因为可证x01)x0x0 f(x)minf(x0)ex0lnx0所以欲证结论成立.注

欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需寻找一个函数h(x)(可以考虑曲线yh(x)是函数yf(x),yg(x)的公切线)使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决.下面再给出例5和例6的联系.对于两个常用不等式exx1,lnxx1，笔者发现yex与ylnx互为反函数，yx1与yx1也互为反函数，进而得到了本文的几个结论.定理

已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x).(1)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f1(t)g1(t)恒成立；

11(2)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立； 11(3)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立； 11(4)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立.证明

下面只证明(1),(4)；(2),(3)同理可证.(1)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以

1tfAgA,x0A,tgx(0x),gt.()0由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0).由f(x)是增函数，得

f1(x)也是增函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t).得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立.(4)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以

1tfAgA,x0A,tgx(0x),t.()0g由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0).由f(x)是减函数，得

f1(x)也是减函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t).得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立.推论1

已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x).(1)若f(x),g(x)都是增函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立；(2)若f(x),g(x)都是减函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立.证明

(1)由定理(1)知“”成立.下证“”：

因为g(x)是增函数，g1(t)f1(t)恒成立，g1(x),f1(x)的反函数分别是g(x),f(x)，所以由“”的结论得g(s)f(s)恒成立，即f(s)g(s)恒成立.(2)同(1)可证.推论2

把定理和推论1中的“,”分别改为“,”后，得到的结论均成立.(证法也是把相应结论中的“,”分别改为“,”.)

在例5与例6这一对姊妹结论“eln(x2),lnxe2”中ye与ylnx互为

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇4

“作差法”构造

证明不等式或解决不等式恒成立问题都可以利用作差法将不等式右边转化为0，然后构造新函数[F（x）]，最后根据新函数[F（x）]的单调性转化为[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0来解决.]

例1 设函数[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求证：当[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上单调递减.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，当且仅当[x=1]时，等号成立.∴当[0

恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数转化为[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]为构造的新函数.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.设[h（x）=2lnx+x+3x]，则[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].当[x∈（0，1）]时，[h′（x）<0]，函数[h（x）]单调递减；

当[x∈（1，+∞）]时，[h′（x）>0]，函数[h（x）]单调递增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根据题干的“结构特征”猜想构造

1.根据运算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2来构造]

例3 已知函数[f（x）]的定义域是[R]，[f（0）=2]，对任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，则不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集为（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析构造函数[g（x）=ex?f（x）-ex]，因为[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]为[R]上的增函数.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式转化为[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 设函数[f（x）]满足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]则当[x>0]时，[f（x）]（）

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值又无极小值

解析构造函数[F（x）=x2?f（x）]

则[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），则h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上单调递减；在[（2，+∞）]上单调递增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.]

答案 D

2.根据已知条件等价转化后再以“形式”来构造

运用下列形式的等价变形构造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 绝对值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指对数形式[1×2×3×4×„×n≥en-sn.]

例5 设函数[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）当[m=e]（[e]为自然对数的底数）时，求[f（x）]的极小值；

（2）讨论函数[g（x）=f（x）-3x]零点的个数；

（3）若对任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范围.解析（1）当[m=e]时，[f（x）=lnx+ex]，则[f（x）=x-ex2].∴当[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上单调递减；

当[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上单调递增.∴[x=e]时，[f（x）]取得极小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的极小值为2.（2）由题设知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].设[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，则[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，当[x∈（0，1]）时，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上单调递增；

当[x∈（1，+∞）]时，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上单调递减.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一极值点，且是极大值点.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值点.∴[φ（x）]的最大值为[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，结合[y=φ（x）]的图象（如图）可知，①当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

②当[m=23]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

③当[0

④当[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点.综上所述，当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

当[m=23]或[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

当[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上单调递减.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（对m=14，h（x）=0仅在x=12时成立）.]

∴[m]的取值范围是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）[设a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范围.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①当a≥0时，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.②当-10时，f（x）在（0，-a+12a）上单调递增；当f（x）<0时，f（x）在（-a+12a，+∞）上单调递减.③当a≤-1时，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减.]

（2）不妨设[x1≤x2，]由（1）可知，当[a<-1]时，[f（x）]在[（0，+∞）上单调递减.]

[则有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[构造函数g（x）=f（x）+4x，则g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[设φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[则φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上单调递减；][在（12，+∞）上单调递增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

1.3.2函数的奇偶性教案篇5

1.3.2函数的奇偶性

教学目的：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

教学过程：

一、引入课题

1．实践操作：

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

②以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．

二、观察思考

象上面实践操作①中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作②中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）

联系电话：027—85789995

考试指南报——课堂网（）

么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2．奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

三、典型例题

1．判断函数的奇偶性例题课本例题

应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

2．利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）

规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

3．函数的奇偶性与单调性的关系

（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．

例已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）

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点对称的区间上单调性一致．

四、归纳小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五、作业布置

课本P46习题1．3（A组）第9、10题，B组第2题．补充作业：

判断下列函数的奇偶性：

x(1x)x0,2x22xf(x)f(x)x1；

②x(1x)x0.①

3f(x)x2x ；

④ f(x)a

（xR）③

课后思考：

已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)h(x)22，①试判断g(x)与h(x)的奇偶性； ②试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；

③由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．

编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）

浅议导数在解决函数问题中的应用篇6

导数是高中数学很重要的一个知识点, 也是解决许多问题的有力工具, 涉及的数学领域很广, 这里主要谈谈导数在解决函数问题时的应用.

一、求解函数的单调区间和判断单调性

1.由f′ (x) >0或f′ (x) <0, 求函数的增 (减) 区间

例1 已知函数f (x) =16lnx+x2-12x+11, 求函数f (x) 的单调区间.

解析 f (x) 定义域为 $\begin{array}{l} (0, + \infty) ‚ \\ f^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - 6 x + 8)}{x} = \frac{2 (x - 2) (x - 4)}{x} \end{array}$ ,

由f′ (x) >0, 得x∈ (0, 2) ∪ (4, +∞) .

由f′ (x) <0, 得x∈ (2, 4) .

∴f (x) 的单调增区间是 (0, 2) , (4, +∞) , f (x) 的单调减区间是 (2, 4) .

例2 函数 $y = \frac{x}{x - 2}$ 的单调区间是.

解析直接对f (x) 求导, 可以得到f′ (x) <0, 所以其定义域即为单调减区间: (-∞, 2) 和 (2, +∞) .

2.由导函数的图像分析原函数的单调区间

例3 已知函数f (x) 的定义域为R, 其导函数f′ (x) 的图像如图所示, 则函数f (x) 的单调增区间为, 单调减区间为.

解析由导函数图像可以看出, 在 (-∞, -1) 上f′ (x) <0, 在 (1, 3) 上f′ (x) >0, 在 (3, +∞) 上f′ (x) <0, 所以函数f (x) 的增区间为 (1, 3) , 减区间为 (-∞, -1) 和 (3, +∞) .由导函数图像分析函数单调区间, 主要根据导函数的符号来确定增减区间.

二、研究导函数和函数图像的大致形状

例4 函数y=f (x) 在定义域 $(- \frac{3}{2} ‚ 3)$ 内可导, 其图像如图所示, 记y=f (x) 的导函数为y=f′ (x) , 则不等式f′ (x) ≤0的解集为 ( ) .

$\begin{array}{l} A . [- \frac{1}{3}, 1] \cup [2, 3] \\ B . [- 1, \frac{1}{2}] \cup [\frac{4}{3} ‚ \frac{8}{3}] \\ C . [- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}] \cup [1, 2] \end{array}$

$D . (- \frac{3}{2}, - 1] \cup [\frac{1}{2} ‚ \frac{4}{3}] \cup [\frac{8}{3} ‚ 3)$

解析依题意, 当f′ (x) ≤0时, 函数y=f (x) 是减函数, 由图像知, $x \in [- \frac{1}{3}, 1] \cup [2, 3]$ .

总结根据导函数图像可以确定函数的单调区间以及极大值和极小值的符号, 根据函数图像的大致形状可以确定导数的符号, 体现数形结合的思想方法.

三、已知函数的单调性求解参数问题

例5 已知函数f (x) =x3-ax2-3x在区间[1, +∞) 上是增函数, 求实数a的取值范围.

解析一f′ (x) =3x2-2ax-3.

∵f (x) 在[1, +∞) 上是增函数,

∴f′ (x) 在[1, +∞) 上恒有f′ (x) ≥0,

即3x2-2ax-3≥0在[1, +∞) 上恒成立,

则必有 $\frac{a}{3} \leq 1$ 且f′ (1) =-2a≥0, ∴a≤0.

解析二 ∵f′ (x) =3x2-2ax-3,

由f′ (x) 得到其增区间为 $(- \infty, \frac{a - \sqrt{a^{2} + 9}}{3}), (\frac{a + \sqrt{a^{2} + 9}}{3}, + \infty)$ , 要在[1, +∞) 上是增函数, 即得到a≤0.

解决此类问题的基本方法: (1) 增函数得到f′ (x) ≥0, 减函数得到f′ (x) ≤0, 进而求解参数; (2) 直接求出函数标准的增 (减) 区间, 根据标准区间的子集进行求解.

四、解决不等式存在和恒成立问题

例6 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 3 m ‚ x \in R$ , 若f (x) +9≥0恒成立, 求实数m的取值范围.

解析由原题, 得 $\frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 3 m + 9 \geq 0$ ,

即 $3 m \geq - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} - 9$ .

再对函数 $g (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} - 9$ 求导,

得到其最大值为2, 即3m≥2, 解得 $m \geq \frac{3}{2}$ .

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇7

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇8

VirtuoZo 3.6在自动空三测量及加密中的应用研究

笔者基于多年从事VirtuoZo 3.6应用的相关工作经验,以其在自动空中三角测量和空三加密中的`应用为研究对象,深度探讨了基于VirtuoZo 3.6的空三三角测量的具体操作步骤,全文是笔者长期工作实践基础上的技术经验总结和理论升华,论文也证明了VirtuoZo3.6的引入大大的提高了空中三角测量的速度和精度.相信本文的研究对从事相关工作的同行有着重要的参考价值和借鉴意义.

作者：作者单位：刊名：科技资讯英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2009“”(28)分类号：P2关键词：空中三角测量影像配准 VirtuoZo3.6 空三加密

导数在函数问题上的应用篇9

一、函数切线问题

函数y = f ( x) 在点x0处的导数f' ( x) , 就是曲线y =f ( x) 在点P ( x0, f ( x0) ) 处的切线的斜率k, 即k = f' ( x0) . 当我们在求解过某点的切线问题时, 必须先讨论此点是否在切线上, 若切点坐标未知, 则应先设出切点坐标.

例已知函数f ( x) = ax3+ bx2- 3x ( a, b∈R) , 在点 ( 1, f ( 1) ) 处的切线方程为y + 2 = 0. 求函数f ( x) 的解析式.

分析函数的切点问题最主要是利用函数方程思想, 把切线的斜率和导函数的函数值联系起来, 切点坐标P (x0, f (x0) ) 满足三个方程:k=f' (x0) , 切点坐标P (x0, f (x0) ) 满足切线方程和曲线方程.

解∵ f' ( x) = 3ax2+ 2bx - 3,

二、函数单调性问题

函数的单调性与导数的关系: 在某个区间 ( a, b) 内, 如果f' ( x) > 0, 那么函数y = f ( x) 在这个区间内单调递增; 如果f' ( x) < 0, 那么函数y = f ( x) 在这个区间内单调递减. 注意在求解函数y = f ( x) 单调区间时, 容易忽视函数y = f ( x) 的定义域. 也要注意把握导函数图像与原函数图像之间对应关系.

例设函数f ( x) = xex.

(1) 求f (x) 的单调区间与极值; (2) 是否存在实数a, 使得对任意的x1, x2∈ (a, +∞) , 当x1<x2时恒有成立.若存在, 求a的范围, 若不存在, 请说明理由.

解 ( 1) f' ( x) = ( 1 + x) ex. 令f' ( x) = 0, 得x = - 1. 列表如下:

单调递减区间是 (-∞, -1) , 单调递增区间是 (-1, +∞) ,

(2) 设, 由题意, 对任意的x1, x2∈ (a, +∞) , 当x1<x2时恒有g (x2) >g (x1) , 即y=g (x) 在 (a, +∞) 上是单调增函数.

①若a≥-2, 当x>a时, h' (x) >0, h (x) 为[a, +∞) 上的单调递增函数, ∴h (x) >h (a) =0, 不等式成立.

②若a<-2, 当x∈ (a, -2) 时, h' (x) <0, h (x) 为[a, -2]上的单调递减函数, ∴∃x0∈ (a, -2) , h (x0) <h (a) =0, 与x∈ (a, +∞) , h (x) ≥0矛盾.

所以, a的取值范围为[- 2, + ∞ ) .

通过导数研究函数单调性的方法比较大小, 证明不等式, 以及处理定参问题, 比一般的定义证明显得简单方便.

三、函数极值问题

函数极小值的定义: 设函数f ( x) 在点x = a的函数值为f ( a) 比它在x = a附近其他点的函数值都小, f' ( a) = 0, 而且在x = a附近的左侧f' ( x) < 0, 右侧f' ( x) > 0, 则点a叫做函数f ( x) 的一个极小值点, f ( a) 叫做函数f ( x) 的极小值. 类似的也定义极大值.

例方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是 () .

A.3 B.2 C.1 D.0

分析此题是一个三次方程, 不易猜根. 可先构造函数, 再通过求导数判断函数的单调性, 极值点, 画出其草图, 数形结合分析求解, 就显得直观易解.

解令f ( x) = x3- 6x2+ 9x - 10, 则f' ( x) = 3x2- 12x + 9.

∴ f' ( x) = 3 ( x - 1) ( x - 3) .

∴ 当x < 1 或x > 3 时, f' ( x) > 0, f ( x) 为增函数.

当1 < x < 3 时, f' ( x) < 0 f ( x) 为减函数.

∴ f ( x) 极大值= f ( 1) = - 6 < 0.

故f ( x) 的极大值在x轴的下方, 如图, 即f ( x) 的图像与x轴只有一个交点, 原方程只有一个实根. 选C.

四、函数最值问题

把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较, 就可以得出函数的最值.

例设函数f ( x) = 2lnx ( x - 1) - ( x - 1) 2. 若关于x的方程f ( x) + x2- 3x - a = 0 在区间[2, 4]内恰有两个相异的实根, 求实数a的取值范围.

分析利用导数来分析处理, 方程根的问题, 函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图像联系起来, 通过极值点和边界点求出函数的最值.当一个函数不能直接画出图像时, 要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图. 解题直观漂亮.

解∵ f ( x) = 2ln ( x - 1) - ( x- 1) 2,

∴f (x) +x2-3x-a=0x+a+1-2ln (x-1) =0.

即a = 2ln ( x - 1) - x - 1,

令h ( x) = 2ln ( x - 1) - x - 1,

∵, 且x>1,

由h' ( x) > 0, 得1 < x < 3, h' ( x) < 0, 得x > 3.

∴ h ( x) 在区间[2, 3]内单调递增, 在区间[3, 4]内单调递减.

∵ h ( 2 ) = - 3, h ( 3 ) = 2ln2 - 4, h ( 4 ) = 2ln3 - 5, 又h ( 2) < h ( 4) ,

故f ( x) + x2- 3x - a = 0 在区间[2, 4]内恰有两个相异实根h ( 4) ≤a < h ( 3) .

即2ln3 - 5≤a < 2ln2 - 4.

综上所述, a的取值范围是[2ln3 - 5, 2ln2 - 4) .

3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案篇10

摘要：本文从初中语文教学实际出发，结合笔者自身教学经验，分析了在初中语文阅读教学中，应用体验式教学模式的具体策略，以期为初中语文阅读教学提供一定参考。

关键词：体验式教学；初中语文；阅读教学

一、体验式教学的内涵

（一）、体验的内涵

体验是个人的一种亲身经历，是一个动态发展的过程，体验的目的是形成对事物的认识，也就是说体验是过程和结果的统一。体验从过程上讲，体验者要经历从观察、感受到思考和实践，是学生知情意行的全面感受的动态发展过程，从结果上将，体验是促使体验着通过新旧知识的主动链接，构建对事物的本质认识，引导学生由感性认识向理性认识的飞跃。可见，体验是体验者在情感体验和主动参与的基础上，主动形成对知识的理性和本质认识。

（二）、体验式教学的内涵

体验式教学的内涵在学术界并没有形成统一的认识，本文采取赵晓辉教授的观点。体验式教学指的是，教师通过设计与学生已有知识和生活经验相关的教学活动，引导学生构建新的情感体验或者对已有经验的重新体验，在这个过程中形成对新知识的一种感性认识，并在感性认识的基础上形成理性认识，构建新知识的结构体系。体验式教学提倡双主体教学，教学活动是通过教学的主体教师和学的主体学生的互动实现的。作为教师的主体要结合叫教学内容为学生创设情境，引导学生在情境中感受和体验，通过语言和动作引导学生感受的方向和程度，对学生的过程体验进行评价和督促；作为学的主体学生要在教师的引导下进行真实的情感体验，在体验过程中积极参与主动质疑，不断对新知识进行认识，努力构建自己的知识结合，对新知识进行同化和顺应的吸收。体验式教学是一种先行后知的教学，提倡学生在感受中主动的获取新的知识。

（三）、语文学科实行体验式教学的必要性

语文学科属于人文学科，语文知识是与生活情境密切相关的，知识的展示不能够独立与它所处的文化背景，而文化背景的建构依赖于教学情境的设置和学生身临其境的体验，通过学生的真实感受知识才能得以传播。同时，知识不是客观的，知识是一种心理表征，是与学习者的情感体验、认知图式密切相关的一种关系活动，知识的学习不是一种事实知识的记忆，而是在情境中加以运用的工具，即知识的本质是一种工具。学习者只有在体验中体会语文中词汇、语言的使用情景，只有在情境的体验中学生才能够理解作者寄予文章的情感。

二、体验式教学在初中语文阅读教学中应用的有效策略

（一）、立体分析文本，全面还原文本内容

阅读文本是人类文化中的一个部分，而相对于文本自身的字、词、句而言它又是一个整体。作为部分，我们要以体验式学习激活作者的生活经历和感情，作为整体，我们需要全面分析文本内容，在分段文本内容的理解基础上，综合理解阅读文本的中心思想，所树立的价值观，以及所透露的阅读能力，实现三维目标的全面发展。例如，《背影》是作者借助背影描写父亲待自己的许多好处，特别是背影这一回，教师引导学生以画背影、别背影为线索，回忆家中的变故，父亲打点出行，以及为自己买橘子送行，这样的片段，最终需要在教师的引导下，以背影为线索将全文的主线父爱结合起来，理解文章的中心思想，学会捉住细节描写事物特征的手法，体会父爱的伟大，并学会感恩父母。

（二）、注重体验式学习

体验式学习指的是，在语文阅读教学中，将文本信息、文本内容和文本语言还原与真实情境中，在了解文本时代背景、作者生活经历、思想情感以及语言特征的过程中，自主构建文本内容和真实情境的立体联系，身临其境的体会阅读文本的情感。例如，《社戏》是鲁迅在当时社会黑暗，农民生活疾苦的背景下，借平桥村这一片净土，那里有外祖母的慈爱，淳朴善良的农民和热情友爱的小伙伴，来表达自己对脱离封建教育和封建礼教的自由生活的期盼。在教学过程中，教师需要引领学生走进鲁迅当时的社会，还原鲁迅所看到的的社会，让学生在鲁迅先生的带领下展开对当下社会的思考和对未来社会的期盼，立体式的理解作者的思想感情。

（二）扩展语文课堂，开展多维阅读

不同的语文文本通常围绕着相同的情感进行表达，围绕着相似的线索进行写作，围绕着相同的社会现象进行描述。因此，教师要延续学生的体验，从课内对文本的体验向课外体验扩展，也就是说要以单元目标为核心，引导学生进行扩展

阅读。具体来说，在单元文本内容学习完成后，教师要引导学生结合课时阅读，提炼单元阅读的总体目标。明确了单元教学目标就确定了扩展阅读的主题，围绕主题可以选择多种类型的课外阅读，包括题材的多样化，包括记叙文、议论文以及说明文等，包括来源的多样化，包括国内和国外阅读，现代和古文阅读，诗词和现代文阅读等，通过这样培养学生更多的体验，包括内容的、情感的、思想的等等。例如，在《背影》、《甜甜的泥土》、《人琴俱亡》《我的母亲》和《父母的心》单元学习完后，教师围绕“学会表达至爱亲情”的单元目标，选择《孟母三迁》、《最美母亲》、《故乡》、《平凡的世界》、《感悟父爱母爱》等容括国内国外，古代现代的真实故事开展课外阅读，聚焦不同的情境感受同一样的坚持，促进学生对学习内容和学习情感的掌握，促进学生体验式学习的扩展练习。

参考文献：

二次函数的图像和性质3教学设计篇11

教学设计

知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；

过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。学情分析

学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。重点难点

教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。4教学过程

一、复习导入新课

师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。观察y＝－x2、y＝－x2－

1、y＝－(x＋1)2

这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。（指名学生回答）。

师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。

师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。（板书课题）

二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）

1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

x y＝－(x＋1)2－1 函数

… …

－4

－3

－2

－1

0 1 2 …

…

开口方向顶点对称轴最值增减性

y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）

2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。那也就可以说明抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间也具备这样的平移关系，那么我们是不是可以借此探究一下抛物线y＝a(x－h)2＋k的性质呢？（小组合探问题）

1．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________． 2.函数开口方向顶点对称轴最值增减性

y＝a(x－h)2＋k(板演展示，评价，教师点评归纳)如果掌握了上面这些内容，我们就可以快速准确的完成下面的练习了。（大屏幕）3.快速抢答

说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点（1）y＝2(x＋3)2+5；（2）y＝-3(x-1)2-2；（3）y＝4(x-3)2+7；（2）y＝-5(x+2)2-6；

师:像这种形式的抛物线我们可以直接确定他的顶点坐标，所以我们把它称为二次函数的顶点式。已知抛物线的解析式可以快速确定顶点坐标，反之，已知顶点坐标可以怎样确定解析式呢? 我们来看一道实际问题。探究二合探完成例4.(大屏幕)

例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？（小组合作探究完成）

教师巡视过程中注意发现不同的建立直角坐标系模型的方法，并指明不同建模方法的同学进行板演和评价。

重点探究实际问题的建模过程，引导学生用不同的方法建立直角坐标系。

教师点拨归纳：结合我们刚才解决这道题的过程，我们一起来归纳一下解决二次函数实际问题的一般方法。首先，我们要根据实际问题建立数学模型（建模），然后结合所建模型，选择恰当的解析式形式；接下来根据已知条件（已知点的坐标）求解析式，最后，找出实际问题的答案。

三、拓展运用

1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（）A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3 C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3 2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．

3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．

4．抛物线y＝－3(x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________． 5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）