排列与组合教学设计（精选10篇）
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册p99-100第八单元的排列与组合
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数,经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
2、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
3、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同 教具准备：教学课件
学具准备：每组准备3张数字卡片，一张记录单，学具人民币，教学过程
一·情境导入，展开教学
师：同学们，你们喜欢去公园吗？为什么？ 生1：我喜欢去公园，因为公园里空气新鲜。生2：我喜欢去公园，因为公园里有许多动物。生3：我喜欢去公园，因为有许多好玩的东西。
师：今天老师也要带你们去一个更好玩而且充满智慧的地方-----“数学广角”你们想去吗？不过数学广角可不是那么好进的，每位同学不仅需要买门票，还要找到开门的密码才能进去，大家带钱了吗？大家看，儿童票多少钱一张，你准备怎样拿5角钱买门票？（生展示，师课件显示）
生1：我拿一张5角的纸币。生2：。。。。。生3：。。。。。
师：5角钱有这么多的拿法，真棒！既然钱都准备好了，我们就赶快买票去找密码吧！
二·多种活动，体验新知
（一）感知排列
师：.注意听:开门密码是由１、２、3三个数中的任意两个数组成的两位数．那么你能写出几个不同的两位数？（板书划线部分）
（1）请同学们三人合作，用数字卡摆一摆，其中两人摆数，组长记录，比一比看哪组摆出的两位数最多，注意不要重复。（分组完成）
（2）学生汇报交流：谁能告诉大家你们找到了哪几个密码？（展示学生记录单：有摆4个不同的两位数的，也有摆出6个不同的两位数的）
（3）小组讨论：你有什么好的方法能保证摆数时既不漏掉数，也不重复呢？把你的想法说给组内的同学听。（分组讨论）
（4）汇报交流：学生总结方法，生说师用课件演示。也可让生边说边用课件演示（如果方法2、3说不出，师可说：“我也有一种方法，小朋友们想听吗？”）
方法一：每次拿出两张数字卡片调换位置能摆出两个不同的两位数；
方法二：固定十位上的数字，交换个位数字得到不同的两位数；
方法三：固定个位上的数字，交换十位数字得到不同的两位数．
师小结：虽然这几种方法不同，但都能正确有序地摆出６个不同的两位数。可是这六个两位数哪一个才是密码呢？仔细听提示：密码的十位上是2，找到了吗？再听：密码不是21，找到了吗？密码是多少？同学们可真了不起，通过团结合作终于找到了密码。
（二）感知组合
师：你们的合作非常成功，互相握手祝贺一下！注意：每两个人只能握一次手，看一看你们一共握了几次手？
生分组活动，老师指导 生：（合作成功，合作愉快，和你合作真是太愉快了，你的想法太棒了，我们都是最棒的）
小组汇报结果，并表演给大家看，可多找两组汇报
组长（我先跟你握一次手，我再跟你握一次手，你们俩再握一次手，我们三人一共握了三次手）
（三）比较异同：
师：为什么刚才这三位同学握手只握了了3次，而前面的三个数字却组成了6个不同的两位数？(学生独立思考后组内交流：把你的想法说给组内的同学听)师小结：排数时两个不同的数字交换位置可以组成一个新的两位数，握手时两人交换位置还是他们两个人，所以3个数字可以摆出6个不同的两位数，而三个人握手只能握3次。
这就是我们今天学习的简单的排列组合。板书课题：简单的排列组合，这种排列组合的方法在今后的学习和生活中我们还会经常用到。三·反馈练习，加深理解
1.师：刚才同学们通过自己的努力找到了“数学广角”开门的密码，现在我们就到“数学广角” 的“数字宫”里去走一走，看一看，“数字宫”里比赛的题目可真不少，请看。
（1）你能用0、1、2组成几个不同的两位数？（看谁写的又对又快）（2）你能用5、6、7、8组成几个不同的两位数？（板书划线部分 2.“数字宫”里的摆数游戏大家玩得开心吗？下面我们再到“游艺宫”里去看一看，看一场乒乓球比赛，你们高兴吗？快来，乒乓球比赛马上就要开始了，三位运动员正等着我们去给他们搭配衣服呢！（课件。）
师：同学们请看，为运动员搭配衣服，有两件上衣和两条裤子，一件上衣和一条裤子搭配算一种穿法，你能帮老师算清楚一共有几种穿法吗？请同学们翻到课本第101页。101页，第一题，用连线的方法完成好吗？那就开始吧。（生独立完成）
谁愿意到前面来展示展示到底有多少种穿法呢？
生1.。。。。。生2.。。。。。（如果生说的没有顺序，师再提示：感觉有点乱，怎样才能做到有序搭配？）师引导观察：
第一种方案(按上衣搭配裤子)有几种穿法？（４种）
第二种方案(按裤子搭配上衣)有几种穿法?（４种）
师小结：不管是用上衣搭配裤子，还是用裤子搭配上衣，只要按照一定的顺序搭配就能够不重复、不遗漏。
同学们搭配出了4种衣服的穿法，三位运动员每人一套，另一套给老师作为候补队员，全体同学作裁判同意吗？如果每两位运动员只打一场比赛，那么三位运动员可以打几场比赛？同学们，你们有答案了吗？为什么那么快？（三个运动员打比赛和三个人握手的题是一个道理的）师：你也是这样想的吗？
比赛结束了，三位运动员为我们奉献了三场精彩的比赛，为了感谢他们，让我们把最美丽的鲜花献给他们。老师这里有四种花，每两种颜色的花插成一束，我们可以有多少种搭配方法呢？（课件）
学生分组讨论，然后汇报结果教师用课件演示。
下面就让我们把这些美丽的鲜花送给你心目中最优秀的运动员。让我们以最热烈的掌声感谢他们的精彩比赛！四·课后总结，畅谈感想
师：在数学广角中还有许多地方如：“艺术创想”，“科学殿堂”都等着我们去游玩，由于时间关系，今天我们就游玩到这里。说一说，今天你有什么收获？
生1：我学会了排列数 生2：我学会了搭配衣服
生3：我学会了按顺序思考问题。
一、两个计数原理的教学
两个计数原理分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 它们看起来很简单,却是排列与组合的基础和核心,牢固掌握加法原理和乘法原理是学好排列与组合的基础和关键.
教学中可通过日常生活中具体生动的事例逐步引入这两个计数原理,然后着重补充讲解它们的区别及应用条件: 做一件事,如果有几类互相排斥的完成方法,那么就应用分类加法计数原理,把每一类的做法种数相加; 如果需要分几个互相独立的步骤,只有把每一步骤都完成,才能完成这件事,就应用分步乘法计数原理把每一步骤的做法种数相乘. 抓住这一特点,可更简单地归结为:
分步———相乘 分类———相加
如何区分分步与分类呢? 简单地说,如果每次得到的是中间结果,则为分步; 如果每次得到的都是最后结果,则为分类. 这样教学对学生来说更容易理解及掌握. 当然,问题并非都这么简单,如果在某个步骤中又分好几类,或在某一类中又要分好几个步骤,就需要综合运用这两个计数原理.
二、排列与组合概念的教学
排列与组合的概念是比较抽象的,教学中首先应结合教材上的例题,列出各种不同的排列( 组合) 结果,然后总结出各例子共有的特点,最后概括、抽象出问题的本质属性, 从而给出排列( 组合) 的一般定义.
排列与组合的概念,从二者的一般定义上看好像很相似,都是从n个不同的元素中取出m( m≤n) 个元素,这是它们的共同点; 而对取出的m个元素是否进行排序,是判断属于排列问题还是属于组合问题的关键. 抓住这个特点,可以简单地归结为:
既取又排———排列只取不排———组合
排列与组合的概念教学的关键就是让学生了解二者之间本质的区别.
三、排列数与组合数的教学
引入排列、组合的概念之后,应训练学生会具体写出某些个数不太多的所有排列( 或组合) ,这对巩固概念和推导排列数( 或组合数) 公式,起到承前启后的作用,也是培养学生逻辑思维能力的好机会,因此它是教学过程中不可缺少的一环,应引起足够的重视. 在推导出排列数Am n、组合数Cm n 的公式后,应引导学生观察公式的特点,掌握公式的各种变形,并通过做一定数量的习题强化,以达到理解概念熟悉公式,能灵活运用的目的.
四、关于应用题的教学
这部分是教学中的难点. 排列与组合问题由于条件不同,要求不同,因而解题的方法变化多端; 思维的方式不同, 就会有不同的解题方法. 教材例题一般都是典型的例子,应讲深讲透. 在讲解例题过程中,要穿插介绍分类及分步的原则. 分类原则: 分类必须用统一标准,无遗漏,每类之间互相排斥; 分步原则: 分步必须每一步互相衔接,不重复,每步完成一个内容,所有步骤衔接起来就是完成事件的全过程. 这两个原则对解决复杂问题非常有帮助.
总结各类排列、组合问题,可以发现,应用题大致分为三种类型:
1. 没有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“基 本题”;
2. 有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“变 化题”;
3. 排列与组合结合起来的综合性题———称之为“综 合题”.
“基本题”可以帮助学生巩固排列与组合的概念,建立“有序与无序”的思维; “变化题”与“综合题”可以培养、提高学生灵活运用知识的能力.
正确解题的前提是准确理解题意,尤其是对“变化题”和“综合题”. 教学中应特别注意引导学生考虑以下三点:
一是区分问题的性质,是排列问题还是组合问题.
二是明确共有多少元素,每次取几个.
三是考虑有什么限制条件,特别是有无隐含的限制条件.
尤其对第三点,应给予特别的重视,分析清楚所有限制条件,是解决复杂问题的关键. 解题的基本思路是: 特殊元素和特殊位置给予特殊安排( 称之为“三特思路”) . 下面举例说明:
例1从数字0,1,2,3,4,5中任取五个数字,问:
( 1) 可以组成多少个没有重复数字的五位数?
( 2) 没有重复数字的五位数中,1在首位、5在末位的数有多少个?
( 3) 没有重复数字的五位数中,有多少个是偶数?
分析与解答这是一个与“顺序”有关的问题,属于排列问题,并且每个问题都含有隐含条件或附加条件.
( 1) 这个问题有一个隐含条件,即0不能排在首位( 数字0为特殊元素,首位为特殊位置) . 需分两步完成: 第一步确定首位,从1,2,3,4,5中任选一个数字来排,有A1 5种排法; 第二步确定其余四位,从除首位数字以外的五个数字中任选四个数字来排,有A4 5种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A1 5A4 5= 600.
( 2) 这个问题有两个明确的附加条件: 1在首位,5在末位,数字1,5为特殊元素,首位、末位为特殊位置. 特殊元素及特殊位置优先确定之后,中间的三个位置从剩下的0,2, 3,4这四个数字中任取三个数字进行排列,有A3 4种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A3 4= 24.
( 3) 这个问题显然要复杂些,既含有隐含条件“0不能排在首位”,又含有附加条件“偶数”. 所以,首位数字不能是0,而末位数字必须从0,2,4( 特殊元素) 中任选一个,而0与2,4又有区别. 可把符合题意的五位数分为两类:
一类: 末位数字为0,这样其余位置上的数字可从除0以外剩下的五个数字中任选四个进行排列,共有A4 5种排法. 即末位数字为0的五位数的个数是A4 5.
另一类: 末位数字为2或4. 确定这样的五位数可分三步进行: 第一步,确定末位数字,可从2,4中任选一个,有A1 2 种排法; 第二步,确定首位数字,由于首位不能为0( 隐含条件) ,首位数字只能从除去0和末位数字后剩下的四个数字中任选1个,共A1 4种排法; 第三步,确定中间的三位数字, 从除去首位数字和末位数字后剩下的四个数字中( 包括0) 任取三个排在中间的三个位置上,共A3 4种排法. 根据分步乘法计数原理知,末位数字为2或4的五位数的个数是A1 2A1 4A3 4.
根据分类计数原理得,符合题意的五位数的个数是
例2四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,问: 恰有一个空盒的放法共有多少种?
分析与解答首先,由“四个不同的小球放入编号为1, 2,3,4的四个盒子中”知道“元素”不同,且“位置”不同,故有排列因素.
其次,由条件“恰有一个空盒”得到这样的信息: ( 1) 有且仅有一个空盒; ( 2) 另三个盒子中有且仅有一个盒子装两个小球. 确定一个空盒,需选; 两个小球放在一个盒子中,无序,故有组合因素.
由以上分析知: 这是一道排列组合的“综合题”. 解题思路是“先选后排”,分步解决.
第一步,选取空盒,从四个盒子中任选一个,有C1 4种选法;
第二步,将四个小球分成三堆,有一堆必是两个小球, 从四个小球中任选两个放在一堆,有C2 4种方法; 当分好两个小球的一堆后,余下的两个小球自然分成两堆. 故分堆法有C2 4种.
第三步,把不同的三堆分别放入除空盒以外的另三个不同的盒子中,有A3 3种放法.
由分步计数原理知,不同的放法种数是C1 4C2 4A3 3= 144.
总之,在排列与组合的教学中,两个计数原理是基础, 排列与组合的概念是重点,灵活综合运用是难点. 教学中应紧密围绕这三个方面,通过深入细致的分析讲解,并配合一定数量的例题与练习,达到提高学生思维能力,培养学生良好的思维品质,拓展学生分析和解决问题能力的目的.
摘要：排列与组合是数学中两个重要概念,也是教与学的难点,作者结合多年教学实践,从分步与分类、有序与无序入手,对这两个概念的本质区别和各类应用进行了深入的研究,对如何开展教学给出了具体的方法和步骤,可以为学生学习和教师教学提供一定的理论指导.
一、直接法
依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念，直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.
例1：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，共有多少种不同的选法？
解：这是组合问题，分三步完成：
第一步，从10人中选出2人承担甲项任务，共有 种方法；
第二步，从剩下8人中选1人承担乙项任务，共有 种方法；
第三步，从另外7人中选1人承担丙项任务，共有 种方法.
因此，不同的选法种数共有C210·C18·C17 =2 520种.
【说明】用直接法解题时，捕捉信息，分清排列问题还是组合问题，进行分类或分步是解题的关键.
二、间接法（排除法）
在求解附加有限制条件的排列、组合问题时，可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数，再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法（排除法）.
例2：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，共有多少种不同的选法？
解：从10名学生中任选2名当代表有C210 种选法，其中不符合要求的有：两人都是男生的选法有C27种选法，因此，符合条件的选法有C210-C27=24 种.
【说明】本例是带有附加条件的组合问题，这里“至少有1名女生当选”，即为附加条件.先求出所有的组合数，再减去不符合条件的选法.
三、捆绑法
在研究某些排列、组合问题时，某些元素必须在一起，处理时把它们并成1组，或者作为一个整体，与其他元素进行排列、组合，然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.
例3：有7个人排成一排照相，甲、乙两人必须相邻的排法有多少种？
解：本例是排列问题，可分为两个步骤：
第一步，将甲、乙两人当作1个（保证他们相邻），6个人的全排列数为A66；
第二步，甲、乙两人的位置可以交换，排列数为A22；
因此，甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66 ·A22=1 440种.
四、插空法
在研究不相邻的排列问题时，可先安排无条件限制的元素，然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中，必要时包括前后两端的空位，这种解题方法称插空法.
例4：由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字，且数字1与2不相邻的5位数，那么这种5位数共有多少个？
解：本例是排列问题，分两步完成：
第一步，先让3、4、5这3个数作全排列，有A33种选法.排好后出现4个空位，如下图：
第二步，从这4个空位中任取两个让1、2去站位，则数字1与2均不相邻共有站法种数为A24 ，根据分步计数原理，这种5位数共有A33·A24=72个.
五、先选后排法
对于排列、组合的混合应用题，往往可以采用先选出来，然后再按要求进行排列的方法，这种方法称为先选后排法.
例5：从5男4女中，选出3男2女共5个人，分别参加5种不同的工作，有多少种不同的选法？
解：这是一个排列、组合的混合应用题，分两步完成：
第一步（先选），从5男4女中选出3男2女5個人，共有C35 ·C24种选法.
第二步（后排），选出的5个人分别参加5种不同的工作，有A55种选法.
依据分步计数原理，不同的选法共有（C35 ·C24）·A55=7 200种.
【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题，关键是如何先选，也就是把元素分成怎样的组合，要选得合理，解法才会正确.
六、特殊优先法
对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题，往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.
例6：用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数？
解：本例是一个带有特殊条件的排列问题，先排含特殊条件的数字，共分3步完成：
第一步（特殊优先），个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个，有A13种选法；
第二步（特殊优先），由于0不能是10万位数字，所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字，有A14种选法；
第三步，再把剩余的3个数字与0共4个数字，在万位数至10位数的4个位置上进行全排列，有A44种选法；
依据分步计数原理，共有A13·A14·A44=288种选法.
同学们，能不能告诉老师你们星期天去哪玩了?（生回答）今天老师也要带你们去一个很有意思的地方，想知道是那里吗？（想）好，今天老师要带你们去数学广角玩闯关游戏。
同学们，请看，这就是数学广角的城堡，漂亮吗？行不想进去看一看？（想）但是城堡的墙上挂着一块牌子。（电脑出示：儿童票5角）谁知道牌子上写了什么？谁知道这是什么意思？（生回答）如果你们能从老师给你们的学具里正确的拿出5角钱，你们就可以免费进入城堡玩。想不想试一试（想）好！请同学们拿出学具动手试一试（学生动手摆）找学生说拿法。那对的请举手。真不错，你们都可以免费进入数学广角玩了。高兴吗？（高兴）城堡的主人看见老师教的学生这么聪明，所以也特别准许老师跟你们一起进去。那咱们就赶紧出发吧！
眼看就要到城堡门口了，同学们请看门上出现了什么？（一把大大的锁）对，这是一把密码锁，要想进去只有猜对密码才行，快看，门卫给我们提示了。谁来读一读？（指生读）谁来猜一猜密码可能是什么？（生猜）师出示正确答案，谁猜对了？你们真棒
同学们，请看这就是数学广角乐园，漂亮吗？数学广角里给我们准备了这么多的闯关游戏，敢不敢试一试？老师告诉同学们，这些题可都是很难的你们怕不怕？（不怕）（你们真是勇敢的好孩子）咱们先来创第一关。电脑展示第一关，指生读题，重点强调是两位数
那到底能摆出几个两位数呢？还是让我们来动手试一试吧！听清楚老师的要求，现在请同桌二人合作，一个人摆，一个人把摆的结果记录在练习本上。摆的人和记的人都要想一想，你们小组是用什么方法来摆数的，怎样才能摆得既不重复也不遗漏。你们自己分配好各自的任务，就可以开始了。
师：谁愿意起来告诉大家你们组摆出了哪几个两位数？说一说你们是用什么方法来摆数才做到不重复，也不遗漏。
找生汇报，教师板书不同方法的结果，并指导学生总结归纳方法： 方法一：先用2张数字卡片摆出一个两位数，再交换它们的位置； 方法二：先固定十位上的数字，搭配不同的个位数字得到不同的两位数；
方法三：先固定个位上的数字，搭配不同的十位数字得到不同的两位数。师：老师发现我们同学真有办法，摆数的时候能按一定的顺序来摆，这样既不会重复也不会遗漏了。
老师与表现最好的学生握手，表示祝贺。同学们不要小看了这个握手，握手里面也有大学问呢？请看第二关。出示第二关，生读题。猜一猜，你觉得三个人会握几次手？（生猜测）现在就请同学们以小组为单位，组长记录，其他3个同学互相握手试一试。
学生汇报，请一个小组的学生上台前表演。师电脑演示握手情况。
请同学们想一想，为什么3个数可以组成6个两位数，而三个人互相握手却只能握3次呢？
摆数与顺序有关，握手与顺序无关
摆数可以交换位置，而握手交换位置没用 师：摆数与顺序有关，2张卡片换一下位置就表示不同的两位数，像摆数这样与顺序有关就是排列；握手与顺序无关，位置交换一下握手的还是这两个人，像握手这样与顺序无关就是组合。也就是说排列与顺序有关，组合与顺序无关。
同学们真聪明，这么难的题目也被你们轻松克服，老师太佩服你们了。咱们就接着闯第三关，电脑展示。请同学们打开课本第 页，这个题就是练习二十三的第一题，请同学们直接在书上连一连。
展示学生作品。
你们真了不起，这么难的题被你们这么轻易地就攻克了，真是太棒了！
快来攻克第四关吧！电脑展示，生读题，把你想到的答案写在练习本上。展示。
眼看就要到城堡关门时间了，从城堡回家有几条路可以走，想一想有哪些不同的走法。
总结：这节课你有哪些收获？
设计思路：
《数学广角》是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）二年级上册的教学内容。这是新编实验教材新增的内容，其目的在于试图将重要的排列、组合教学思想以上及其方法，通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决问题，找出最简单的排列数和组合数，初步培养学生有顺序的、全面思考问题的意识。当然在“摆数”、“握手”等活动中，通过学生的合作交流、互相沟通，也促进知识的互补和互联，培养学生的合作意识。
简单的排列组合对二年级学生来说都早有不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，不少学生通过平时的奥数辅导都能做到不重复、不遗漏地排列。再如组合题中用钱买物品等，学生基本上都能准确地回答出结果。针对这些实际情况，在设计本节课时，教学的重点应该偏重于让学生说一说有序排列、巧妙组合的理由，体会到有顺序、全面思考问题的好处。并在设计“摆数”、“握手”这些活动时难度再稍微提升些，尽量做到让每个学生都能有事可做。同时，根据学生的年龄特点在设计教案时也要做到设计学生感兴趣的环节，灵活处理教材。
教学反思：
动手操作是学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过度的必要手段，是尝试开启智慧的钥匙，给学生更多的动手机会，是学生自身成长的内在要求，也是社会发展对人才提出的基本要求。只有经过自己的亲身实践，才能变得丰满、深刻。
2.1个西瓜的重量=3个菠萝的重量。一个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。3.最小的一位数与最大的一位数的和是（）。
4.7比（）少1，10比（）多2。5.与9相邻的两个数是（）、（）。
6.哥哥给了弟弟6支铅笔后，还剩下13支，这时两人铅笔就同样多，原来弟弟有铅笔（）支。
7.今年姐姐比妹妹大３岁，2年后，姐姐比妹妹大（）岁。
8.一次排队，从左边开始报数，小亮报了“8”，小军报了“10”，从右边开始报数，小亮报了“5”，小军应报（）。
9.5个小朋友玩捉迷藏游戏，已经捉住了2个小朋友，还藏着（）个小朋友。
10.把一根木头锯成２段要2分钟，那么锯成3段要（）分钟。
16.△+○＝3 △+○+○＝5 △＝（）○＝（）
二、我会填。
1．从6、2、3、9中选三个数写出四道不同的算式。
□ ○ □ = □
□ ○ □ = □
□ ○ □ = □
□ ○ □ = □
班级：高二（1，4）班姓名：
【例1】（1）某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每对要与其余各队在主客场分别比赛一次，共进行多少次比赛
（2）从5本不同的书中选3本送给三个同学，每人各1本，共有多少种送法？
【例2】用0,1,2,3,4这五个数字，组成三位数
（1）可组成多少个数字不同的三位数？
（2）可组成多少个数字不同的三位奇数？
（3）可组成多少个数字不同的三为偶数？
（4）可组成多少个能被3整除的数字不同的三位数？
总结：对于有特殊元素或者特殊位置的排列问题，我们一般优先考虑特殊位置或特殊元素 变式训练：
（1）.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数为
（2）一场小型晚会有5个歌唱节目和3个舞蹈节目，要求派出一个节目单，若3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
【例3】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排法种数
（1）选出5人站成一排
（2）选出五名同学站成一排，前排两人，后排三人
（3）甲必须站在左端
（4）乙不站在右端
（5）全体站成一排，男生站在一起
（6）全体站成一排，男女生各站在一起
（7）全体站成一排，男生不相邻
（8）全体站成一排，甲乙之间必须有两个人
（9）全体站成一排，甲必须在乙的右边
（10）全体站成一排，甲乙丙三人的自左到右顺序不变
（11）全体站成一排，甲不站左边，且乙不站右边
总结：
（1）捆绑法：题目要求某些元素必须相邻时，常使用捆绑法进行求解。将相邻的元素视为一个
整体，在整体内部先进行全排列。再将整体视为一个元素和其他元素进行排列即可
（2）插空法：题目要求某些元素不相邻时，常使用插空法解决。先排好其他元素，再将不相邻的元素排入所形成的空中即可。
m（3）定序问题：若在排列中要求m个元素的顺序一定时，只需在全排的基础上除以Am即可
（4）双不问题：题目中有两个同时不能满足的条件时，旺旺采取间接法求解，先整体全排，减
去不满足条件的两个排列，再将两个排列的公共部分加一次。
变式训练：（只列式不求解）
题组1 特殊位置特殊考虑
（1）某次文艺晚会上共演出8个节目，2个唱歌，3个舞蹈，3个曲艺，则两个唱歌一个在排头，一
个在结尾的排法有
（2）安排7位工人在国庆七天长假期间值班，其中，甲乙两人都不安排在1日与2日，则不同的安
排方法有
题组2 捆绑法
（1）五名男生与两名女生排成一排照相，如果女生必须相邻，排法有
（2）张王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后依次入园，为了安全起见，两位爸爸必
须排在首位，两个小孩一定要排在一起，则这六个人入园的方式共有
（3）用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数，若1与2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数，这样的七位数共有几个
题组3 插空法
（1）五个人安排照相，若甲乙不能相邻，则排法数为
（2）用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数，偶数不相邻，这样的七位数共有几个
（3）某次文艺晚会上共演出8个节目，2个唱歌，3个舞蹈，3个曲艺，两个歌唱节目不相邻的排
法有，两个歌唱节目相邻且3个舞蹈节目不相邻的排法有
题组4 双不问题
（1）某年级共4个班，来了四名新同学，要求每个班接受一个，其中甲不在一班，且乙不在二班的排法数为
（2）某一天的课表要排入语文数学英语物理化学生物六门课，如果第一节不排生物，最后一节不拍
数学，不同的排法有
题组5 定序问题
（1）六个人安排照相，其中甲乙丙必须从左到右排列，则不同的排法数有
（2）校领导共4人与8名贵宾拍照，要求校领导的顺序必须按职位从左到右排列，排法数为
【课后作业】
227An1.已知An4，则n的值为（）
A.6B.7C.8D.9
2．8名学生与两位老师站成一排合影，则两位老师不相邻的排法种数为（）
82A2D.以上都不对 A.A88A92B.A88A82C.A8
3.某学校新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，则不同的插入方法为（）.A.42B.30C.20D.12
4.有3名男生和5名女生排成一排照相，如果男生不排在最左边且不相邻，那么不同的排法数为（）
33A.A33A85B.A55A53C.A55A6D.A55A4
5.6人排成一排，其中甲乙丙三人必须站在一起的排列总数为（）
333A.A66B.3A3C.A3D.4!3!A3
6.5名学生排成一排，其中A不能站两端，B不能站中间，则不同的站法数为（）
A.36B.54C.60D.66
7.某商店要求甲乙丙丁戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙丁两种不能排在一起，不同的排法数为
8.由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的有个
9.从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法，可得到不同的商共有
10.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第一个节目和最后一个节目已经确定之外，4个音乐节目要求排在2,5,7,10的位置，3个舞蹈节目要求排在3,6,9的位置，2个曲艺节目要求排在第4,8的位置。共有多少种不同的排法？
11.有7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的安排方
(一) 授课对象
2014年6月, 笔者在县教研活动中开设了课题为“排列与组合的应用”的公开课, 授课的对象为我校2012级工程技术“3+2”班学生, 学生基础较好, 思维能力较强。
(二) 教材分析
我校所用的教材为《中等职业教育课程改革实验新教材 (基础+拓展) 》, “排列与组合的应用”为第九章第9.3节内容, 本节内容安排为两课时, 本节课为第一课时。通过本节课的学习, 一方面让学生认识到数学源于生活, 可以为我们的生活和专业服务;另一方面可以培养学生分析问题和解决问题的能力。
基于以上认识, 确定本节课的教学目标如下: (1) 通过两个问题引导学生自主总结出两个计数原理及排列组合的概念; (2) 理解排列和组合的意义, 掌握排列数和组合数的计算, 能运用排列和组合的知识解决一些简单的应用问题; (3) 渗透数学建模的思想, 培养学生数学应用意识和知识迁移能力。
本节课的重点是理解两个计数原理———排列和组合的意义, 掌握排列数和组合数的计算公式, 解决一些简单的应用问题。难点是明确题中的限制条件, 分清哪个计数原理更适用于解决问题。
本节课的教学, 在“以生为本”理念的指导下, 充分体现“教师为指导, 学生为主体”的原则, 采用开放的学习方式。通过一系列设问, 创造思维情境, 通过师生互动, 让学生体验发现、探究知识的形成和运用过程以及思考问题的方法, 促进其思维发展。
二、教学过程
(一) 引言
前面我们已经学习了一些计数方法, 并利用这些计数方法解决了一些简单的计数问题, 今天, 我们这节课就以今年的技能大赛的报名、选拔、参赛为背景, 来探讨一下排列组合在我们生活中的综合应用 (教师先播放一段学生参加建筑专业技能大赛的视频) 。
其设计意图是:通过一段视频让学生进入本节课的教学中, 一方面要激起学生的学习兴趣;另一方面要让学生产生强烈的好奇心, 数学与我们的专业有什么联系呢?
(二) 问题引入, 回顾知识
问题1:本班报名参加工程测量、工程预算、工程制图和实训四个项目的人数分别有6人、4人、5人和3人。
(1) 现要为这些参赛人员选定一个负责人, 共有几种不同的选法?
(2) 现要为参赛的项目小组选一个组长, 共有多少种不同的选法?
设问1:分类计数原理和分步计数原理的联系和区别是什么?
设计意图:通过解决问题1, 让学生回顾两个计数原理, 并让学生自主归纳两个计数原理的区别与联系。
问题2:下列问题哪些是排列问题, 哪些是组合问题?并求出方法数。
(1) 班级的实训兴趣小组有3人, 分别是甲、乙、丙, 现要选2名同学参加学校技能比赛, 共有几种不同的选法?
(2) 班级的实训兴趣小组有3人, 分别是甲、乙、丙, 现要选2名同学分别参加给排水和扎钢筋技能比赛, 共有几种不同的选法?
设问2:排列与组合的区别和联系是什么?
设计意图:认知心理学指出:概念的教学要注重概念之间的比较。问题 (1) 和 (2) 的设计目的就是通过解决具体的问题让学生回顾排列和组合的概念, 并自主归纳两者的区别和联系, 使学生在解决具体的问题中轻松掌握抽象的概念。
(三) 巩固知识, 技能提升
问题1:本班有工程测量、工程预算、工程制图和实训4个兴趣小组, 现需参加学校技能大赛, 必须派兴趣小组去参赛, 共有几种不同的派法?
变式训练1:本班有工程测量、工程预算、工程制图和实训4个兴趣小组, 现需参加学校技能大赛, 若参赛的兴趣小组中必须有工程测量小组, 共有几种不同的派法?
(学生板演, 教师视察情况, 然后安排另外的学生批改板演学生的解题方法。)
设问3:解决一个计数问题, 一般可以分成哪几个步骤完成呢?
设计意图:学生每使用一次概念或在新的情境中遇到同一概念, 也就是对概念的一次具体化理解, 都会进一步深化概念知识, 所以要使学生对概念的理解更深刻, 最好的方法就是在实践中运用概念, 通过学生的亲身实践, 自主总结规律方法和解题步骤, 真正实现“教是为了不教”这一教育理念。
问题2:本班工程测量小组分别由5名男生和4名女生组成, 现参加学校技能大赛, 按以下要求, 各有几种不同的选法?
(1) 选择6人参加比赛, 恰有2名女生。
(2) 选择6人参加比赛, 其中女生至少有2人。
变式训练2:本班工程测量小组的9人中有正、副组长各1名, 现选6人参加测量比赛, 如果正、副组长至少有一人参加, 有几种不同的选法?
设问4:此类计数问题中出现了“恰好”“至少”“不超过”等关键字, 除了用直接法解决外, 通常还可以用什么方法解决?
设计意图:通过一题多解和变式教学, 对题目进行多角度的分析和理解, 呈现解决计数问题的一般解题步骤, 目的是让学生理解题中的关键词, 掌握“直接法”, 同时, 可以从问题的反面情况入手, 目的是让学生掌握“排除法”, 并能根据题意选择最恰当的方法, 培养学生的逆向思维。
三、教学反思
(一) 合理改编教材
本节课的教学内容, 是以我校建筑专业的技能大赛为背景, 对数学教材进行灵活处理, 在主体内容不变的前提下, 设计了一系列与建筑专业有关的数学问题与例题, 这是笔者中职数学教学与建筑专业有机结合的初次尝试。笔者由此体会到职高数学教学必须立足于教材, 勇于创新, 与专业和生活相结合, 真正发挥数学的工具性和服务性功能。另外, 知识的发展离不开基础, 数学教学必须紧扣教材, 突出重点, 优化内容, 并要多角度、多层次体会教材精神, 增强课堂教学的力度。如本节课的教学中, 通过解决问题1和问题2, 让学生更好地理解两个计数原理、排列及组合的区别和联系。由具体的例子引出抽象的数学结论, 可使学生更易接受, 也体现了数学研究的一般方法。
(二) 精心设计问题, 培养探究意识
问题是学生思维的起点, 设问是激发学生求知、开拓学生思维的主要手段, 本节课在数学情境和思考与交流两个环节上共设计了6个设问, 有计划、有步骤地引导学生寻找分析问题的方法和途径, 自主总结出问题解决的基本步骤和方法, 培养学生的创造思维能力, 形成结构化的科学方法。设计的3个例题和3个变式训练, 难度层层递进, 题型由简单到综合, 且每个例题之后都有学生的学后反思, 使学生不但较好地掌握了基础知识, 而且有利于学生加深对知识的理解和数学建模的能力。
(三) 体现数学的应用价值
考点分布
排列组合及概率知识点统计表
考点猜想
1． 排列组合问题
排列组合、二项式定理是学习概率统计的基础，并且在试题设计上能与其他知识交汇在一起，因此是每年高考必考内容之一． 预计在2009年高考中将会出现以下命题方式.
（1）排列组合试题主要以选择题的形式出现，大多数试题的难度与教材难度相当，主要涉及数字问题、选代表或选样品问题、人或物的排列问题、几何问题等．
模拟题1若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象． 则称n为“可连数”． 例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象． 那么，小于1 000的“可连数”的个数为（）
A． 27B． 36C． 39D． 48
简析可以把小于1 000的“可连数”的个数分为三类：（1）一位数有3个；（2）二位数：3×3=9个；（3）三位数：3×4×3=36个． 因此一共有3+9+36=48个．
点评新定义题型是近年来的热门，读懂新定义是解题关键. 本题实质是计数问题，采取列举法结合排列组合知识即可解决.
同类题1在2008年奥运开幕式前，有一个30人的礼仪团队在进行最后的训练. 他们排成6行5列，现从中抽出3人进行礼仪表演，要求这3人中任意2人不同行也不同列，则不同的选法有（）种.
A. 1 440B. 1 200
C. 720D. 60
（2）二项式定理主要以选择题或填空题的形式出现，主要涉及二项展开式中特定项，求二项展开式中系数最大的项或展开式中系数和等问题.
模拟题2二项式
x－展开式中，x5的系数为________.
简析Tr+1=Cx8－r·
－=C·（－2）rx，令8－=5可得r=2，故x5的系数为112.
点评二项式定理问题一般可以利用通项Tr+1=Can－rbr进行求解.
同类题2设an（n=2，3，4，…）是（3－）n的展开式中含x项的系数，则++…+的值是___________.
2． 概率统计问题
由于概率统计和排列组合知识有着密切的联系，并且与实际问题联系紧密，所以能很好地考查分析问题和解决问题的能力. 预计2009年对此部分的考查可能有以下几种情况.
（1）选择题、填空题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率的求解，以及抽样方法、总体分布的估计等内容，多为基础题和中档题．
模拟题32009年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是__________.
简析所求概率P==.
点评概率问题往往需要进行分类计算，如本题随机抽取3个月，恰有一个月只有30天的情况有两种，第一种，有两个月31天，一个月30天；第二种，有一个月28天，一个月30天，一个月31天，准确地进行分类是解题的关键.
同类题3设不等式组x>0，
y>0，
x+y≤4表示的平面区域为M，则从M中的整点（横、纵坐标均为整数的点）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_______（结果用分数表示）.
模拟题4有A，B，C三种零件，分别有a个，300个，200个，现采用分层抽样法抽取一个容量为50的样本，若C种零件被抽取10个，则a的值是（）
A． 1 000B． 800
C． 500D． 400
简析设共有x个零件，则×50=10，得x=1 000，故a=500.
点评统计中的分层抽样是高考考查的重点内容，一般是小题，往往会变换不同的实际背景，难度不大. 同学们只要掌握分层抽样的计算方法就可以做到不丢分.
同类题4某网站对网民是否赞成征收燃油税进行了调查，参加调查的人数为30 000人，其中持各种态度的人数如表1所示：
表1
[赞成&22 000&不赞成&6 000&不好说&2 000&]
为了了解网民的具体想法和意见，计划从中抽取200人进行进一步的调查. 如果采取分层抽样，则各种人中应抽取的人数最接近的是（）
A. 67，67，66B. 147，40，13
C. 145，40，15D. 149，40，11
（2）解答题中主要以实际问题为背景，以求事件发生的概率随机变量的期望为设问方式，重点考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件等内容. 此类问题不仅体现了数学的应用价值，也体现了数学与生活之间的关系． 在2009年的理科高考中出现的概率最大，对此类问题同学们要高度重视．
模拟题5某酒店根据以往的数据统计发现，在预订了客房的客人中，会有20%的人不出现（即不来入住），所以酒店经常采取超额预订的方式，即预订出去的客房数超出可用客房数. 超额预订酒店会面临的损失包括：若客人未能如约入住而产生一间空房的话，会造成50元的损失；而已经预订房间的客人由于超额预订而不能得到房间时，宾馆会损失100元（将客人安排到其他宾馆的相关费用）. 现酒店将5间空房预订给了7位客人，设每位预订客房的客人出现与否是相互独立的随机事件. 试求：
（Ⅰ）7人中恰有2人不出现的概率；
（Ⅱ）客人来而没有房住的情况发生的概率；
（Ⅲ）设ξ为酒店的损失，求ξ的分布列及数学期望.
（参考数据：0.85≈0.33，0.86≈0.26，0.87≈0.21）
简析（Ⅰ）P（2）=C×0.22×0.85≈0.28.
（Ⅱ）设x为7位客人中不出现的人数，y为出现的人数，则x+y=7，而且x~B（7，0.2）. 客人来了但没有客房住，即来入住的顾客数y≥6，所以x≤1. 于是P（x≤1）=P（x=0）+P（x=1）=C×0.20×0.87+C×0.2×0.86≈0.58. 所以顾客来入住而没有房住的概率是0.58.
（Ⅲ）0人不出现，损失200元，P（ξ=200）=C×0.20×0.87≈0.21；
1人不出现，损失100元，P（ξ=100）=C×0.2×0.86≈0.37；
2人不出现，损失0元，P（ξ=0）=C×0.22×0.85≈0.28；
3人不出现，损失50元，P（ξ=50）=C×0.23×0.84≈0.11；
4人不出现，损失100元，P（ξ=100）=C×0.24×0.83≈0.03；
5人不出现，损失150元，P（ξ=150）=C×0.25×0.82≈0.004；
6人不出现，损失200元，P（ξ=200）=C×0.26×0.8≈0.000 4；
7人不出现，损失250元，P（ξ=250）=C×0.27=0.000 012 8.
计算可得酒店的损失期望为Eξ≈88.1（元）.
点评应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来高考都通过概率问题来考查，且常考常新. 命题者总是提供给我们陌生的情景. 只要我们仔细审题，从数学的角度与实际生活角度理解问题的实质，将问题成功转化为独立事件、对立事件等概率模型即可. 因此对概率的应用性问题，理解是基础，转化是关键.
同类题5某高中生参加了A，B，C，D四所大学的自主招生考试，考试合格即可被录取，各大学的考试是否通过相互独立. 其考试通过的概率分别为，，，（允许该人被多所大学同时录取）． 试求：
（Ⅰ）该人没有被录取的概率；
（Ⅱ）该人被三所大学录取的概率；
一堂课下来，虽然同伴们说我教学设计新颖有趣、教态自然、教学语言富有感染力、教学过程流畅，似乎上得挺不错。而我自己心里却很明白，这堂课有许多地方是失败的。因为这一篇“散文”的“神”我开始没渗透好，后来没把握好，到最后学生很难在头脑中有效建模，所以本堂课如果我给自己打分，肯定不合格。细细反思如下：
第一，要充分利用好学生生成的素材，大做文章。《数学广角》的内容本来就像万花筒，不需要额外找大量素材，否则只会让我们的课堂华而不实。如本堂课中，在让学生思考用1、8、3三张数字卡片能排列出几个两位数时，我在学生独立思考、同桌讨论的基础上，安排了同桌操作、验证，即一位学生摆数学卡片，一位学生做记录(用记号笔)。在巡视的过程中，我有意搜集了3种不同方案，并给它们编上号：
① 13、18、31、38、81、83
② 13、31、38、83、18、81
③ 13、83、31、81、18、38
我让学生比较上面三种方法，说说你最欣赏哪种方法，让小组代表介绍自己的方法。在这里，当学生说出 “有顺序”三个字时，我没有细细品下去，而是用“是啊，这样有顺序地去思考问题，就可以做到不遗漏、不重复。”这么一句粗糙的话语把难点遮住，把亮点给错过了。假如当时，我继续追问：“哦，那你来说说，是怎样一种顺序呢?”学生边回答，老师边在学生的方法上做文章，充分暴露学生的思维，提炼出“从小到大”、“从大到小”等不同的顺序，这样就会很自然地突破难点。
第二，要用心关注课堂上的细节问题。在四人小组进行握手操作时，后面的很多孩子其实都没看清，就不可能数出来有几次。如果能让孩子们在握手时把手举高点，这样相信所有的孩子都能看得清清楚楚。有的时候就是如此，一个小小的细节往往关乎成败。
第三，要巧妙设计每一道练习。在本堂课最后，我安排了这样一个问题：小丽、小芳、小美三人想站成一排拍照留念，她们有几种站法?一下子出现三个人的排列，对学生的挑战可能有些大，也可能是我前面的有序渗透地不好，学生半天都没拉扯清楚。打算做如下修改：把老师也加进去，每两人合影一次，共合影几张?
本节课教学，我不拘泥于教材，创设学生感兴趣的故事“乐乐的生日”贯穿整节课，引起学生的共鸣。
探究活动，以帮小青开密码锁的方法来进行数的排列教学，使学生在充满兴趣的情感中不知不觉地进入了摆数活动，让学生在体验中感受，在活动操作中成功，在交流中找到方法，在学习中应用。这里先让学生独立思考，调动学生自主学习的积极性，再小组合作，让学生在宽松民主的气氛中，参与学习过程。同时从学生已有的知识基础出发，适当增加了难度，让这个密码出现在所有的两位数从小到大排列的第4个，这也是做到了“下要保底、上不封顶”的设计意图。组合的问题，我采用模拟小朋友握手，让学生在实践操作中自己找出答案，培养学生的实践意识和应用意识，同时使学生感受到学习的乐趣。
虽然每一节课我都做出了最大的努力，但总有失误的地方。
1、心理素质不好，刚开始有些紧张，提问时连学生的名字都忘记了;
2、班班通定位不好，超链接出现混乱；
3、教师语言不够精炼。
评课：
1、用1、2、3组成两位数，学生汇报时教师引导让学生说出哪种方法不会重复也不会遗漏，照相时让一个学生不动，另一个学生交换位置，学生没有说出来，应总结出方法。
2、导入添加一些煽动性、修饰性的语言，效果会更好。
3、照相挑一些衣服颜色不一样的学生，特点会更鲜明。
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