分析立体几何证明题思路的方法

分析立体几何证明题思路的方法（精选12篇）

分析立体几何证明题思路的方法 篇1

惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。

一、直接式思路

首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。

掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（一）顺藤摸瓜”法（由因导果）

该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，需要我们从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决。

（二）逆向思维”法（执果索因）

该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。

（三）天佑开凿铁路”法（从两头向中间）

该类问题特点：题目条件和结论之间关系比较隐秘，难于直接它们之的必然联系，该类问题属于C级难度的题目。

方法：

1、知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；

2、结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；

3、联想，探索推导两次推导结果之中直接或隐性的关系，然后整理从条件推导结论的推导思路，再一步步写出推导过程。

注：该类问题在写出各种推导结果是需注意条理性，忌杂乱无章！

二、间接式思路

有些命题往往不易甚至不能直接证明,这时,不妨证明它的等效命题,以间接地达到目标,这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法、同一法证题就是两种典型的用间接式思路证题的方法。

（一）反证法。具体地说,在证明一个命题时,如正面不易入手,就要从命题结论的反面入手,先假设结论的逆命题成立,如果由此假设进行严格推理,推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾,或者推出两个相互矛盾的结果,就证明了结论的逆命题是错误,从而得出结论的正面成立,这种证题方法就叫做反证法。

反证法证题通常有如下三个步骤:

1、反设。作出与结论相反的假设,通常称这种假设为反证假设。

2、归谬。利用反证假设和已知条件,进行符合逻辑的推理,推出与某个已知条件、公理、定

义等相矛盾的结果。根据矛盾律,在推理和论证的过程中,在同时间、同关系下,不能对同一对象作出两个相反的论断,可知反证假设不成立。

3、得出结论。根据排除率,即在同一论证过程中,命题C与命题非C有且仅有一个是正确的,可知原结论成立。

（二）同一法。欲证某图形具有某种性质而又比较繁杂或不易直接证明时,有时可以作出具有所示性质的图形,然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个,由此把它们等同起来,这种证法叫做同一法。

例如,同一法证平面几何问题的步骤如下:

1、出符合命题结论的图形;证明所作图形符合已知条件;

2、根据唯一性,确定所作的图形与已知图形吻合;

3、断定命题的真实性。

同一法和反证法都是间接式思路的方法。其中,同一法的局限性较大,通常只适合于符合同一原理的命题;反证法的适用范围则广泛一些,能够用反证法证明的命题,不一定能用同一法论证,但对于能够用同一法证明的命题,一般都能用反证法加以证明。

分析立体几何证明题思路的方法 篇2

关键词：思路剖析,一题多解,思维突破,通性通法

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事,通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来,挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力,分析和解决问题的思维技能,优化数学的思维品质,而且还可以培养学生探索创新的能力.下面,笔者通过实例进行探讨.

一、试题呈现

题目:如图1,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕顶点B旋转至△A′BC′,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.

(1)求证:AD=A′D;

(2)若AC=4,BC=3,AD∥BC,求∠CBC′的正切值.

这是某地区几所联盟学校初三模拟考试的一道试题.经了解,只有极少数学生能证明,有的学校甚至全军覆没.是什么原因导致这样的结局呢?这可从命题者提供的参考解答里找到原因.以下是命题者提供的解答过程.

(1)证明:连结BD,如图2,由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′,所以,所以△BCC′∽△BAA′,所以∠BCC′=∠BAA′.因为∠BOC=∠DOA,所以△BOC∽△DOA.所以∠ADO=∠OBC,.因为∠BOD=∠COA,所以△BOD∽△COA,所以∠BDO=∠CAO.因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°,所以∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.又因为BA=BA′,∠ADB=90°,所以AD=A′D.

(2)略.

二、解法探究

从命题者提供的解答过程来看,是由条件BA=BA′联想到等腰三角形,进而想到证明BD为底边AA′的高.思路是顺畅的,也无可厚非,但证明用了3次三角形相似,显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研,思索着有没有其他解法.

结合本题,结论是证明D为AA′的中点,那么,遇到中点问题(已知中点或证明中点),我们还可以想到什么呢?从另一角度考虑,是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路,这难道不是通性通法呢?沿着这样的思路试探.

思路1:构造“8”字型,证三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A作AG∥AC′与C′D的延长线交于点G(如图3).只要在△AGD与△A′C′D中,证明AG=A′C′或GD=C′D即可.因为A′C′=AC,只要证明AG=AC,即证明∠G=∠ACG.显然∠G=∠A′C′D,而∠DC′A′+∠CC′B=90°,∠ACG+∠C′CB=90°,又∠BCC′=∠BC′C,所以∠G=∠ACG,进而可证△ADG≌△A′C′D(AAS),所以AD=A′D成立.

思路2:构造等腰三角形,证三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑以点A′为圆心,A′C′长为半径画弧,交CD的延长线于点G(如图4).显然△A′C′G是等腰三角形,即A′C′=AG,∠G=∠A′C′G.由思路1分析可知,∠A′C′G=∠ACD,又A′C′=AC,所以易证△ACD≌△A′GD(AAS),所以AD=A′D成立.

思路3:构造三角形全等,证等腰三角形.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑在CC′上找一点G,使CG=C′D(如图5).由思路1分析可知,∠A′C′D=∠ACG,所以△ACG≌△A′C′D(SAS),所以AG=A′D,∠AGC=∠A′DC′.进而可知∠AGD=∠ADG,所以△AGD是等腰三角形,所以AG=AD,所以AD=A′D成立.

思路4:添两条垂线,构造三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A,A′分别作CD的垂线,交CD(或延长线)于点M,N(如图6).由思路1分析可知,∠ACM=∠A′C′N,所以Rt△ACM≌Rt△A′C′N(AAS),所以AM=A′N,进而证得Rt△AMD≌Rt△AND(AAS),所以AD=A′D成立.

思路5:构造“四点共圆”,利用对角互补证垂直.

由旋转可知CB=C′B,AB=A′B,∠CBC′=∠ABA′,所以易知∠C′CB=∠A′AB,进而可知点A,C,B,D四点共圆(如图7).所以∠ADB+∠ACB=180°,而∠ACB=90°,所以∠ADB=90°,即BD为等腰△BAA′底边上的高,所以AD=A′D成立.

三、解题反思

(一)关注解题通法增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法,而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”,与标准答案不同的上述几种解法,其巧妙之处在于添加了辅助线,辅助线使未知与已知有了更紧密的联系,无须通过证明3次相似,证明过程大为简洁,体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题,是训练学生数学思维的好素材.由此可见,通过一题多解,可以加深和巩固学生所学知识,充分运用学过的知识,从不同的角度思考问题,采用多种方法解决问题,这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系,掌握各部分知识的转化关系,从而达到培养思维广阔性的目的.

(二)重视学会解题拓展学生的思维空间

在解题教学中,题目是载体,解题是过程,方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的,因此,解题教学切忌就题论题,片面追求容量,忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思:如解题中用到了哪些知识?解题中用到了哪些方法?这些知识和方法是怎样联系起来的?自己是怎么想到它们的?困难在哪里?关键是什么?遇到什么障碍?后来是怎么解决的?是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法?这些方法体现了什么样的数学思想?调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略?

(三)关注模型思想强化学生的识模能力

一道几何证明题思路剖析 篇3

从命题者提供答案看，是由条件BA=BA′联想到等腰三角形，进而想到证明BD为底边AA′的高，思路是顺畅的，也无可厚非，但证明用了3次三角形相似，显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研，思索着有没有其它解法？

解题是由条件出发，运用已有定义、定理、法则，通过运算、推理得到结论的过程.因此，题干条件是什么、能得到什么结论、需要什么条件、条件与结论之间用什么方法打通、有哪些思路，这是解题者必须思考的问题.那么该题有其它通性通法吗？

结合本题，结论是证明D为AA′的中点，那么，遇到中点问题（已知中点或证明中点）我们还可以想到什么呢？从另一角度考虑，是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路，这难道不是通性通法呢？

3解题反思

3.1关注解题通法，增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

3.2重视学会解题，拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘、开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

3.3关注模型思想，强化学生的识模能力

拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识模、用模，从而强化学生对基本模型的理解.

参考文献

[1]钱德春.对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考[J].中学数学杂志，2015

（10）：17-21

[2]沈岳夫.对一道“新定义”型折叠题的解法探析[J].数理化学习（初中版），2015（11）：2-3

分析立体几何证明题思路的方法 篇4

一、小课题研究题目《培养学生解几何证明题方法的研究》

二、研究意义

为适应实施素质教育和推进新课改的要求，不断促进教师的教科研能力提升和专业发展，努力提高教育教学质量，建设学习、科研型学校，立足学校实际，通过小课题研究的提出与实施，不断推动教育科研为学校的教育改革与发展服务，为提高教育教学质量服务，培养学生几何实际应用能力使学生能够运用所学几何知识解决实际问题的基本内容和重要途径。因为几何问题是实物图的简化和抽象，我们实际生活的周围环境中常见的几何图形比比皆是，进而出现的不同问题和各种各样的实际问题，需要用到几何知识来解决。通过解答这些问题，促使学生把所学的几何知识同实际生活和一些简单的科学技术知识联系起来，从而使学生既理解几何来源于生活又服务于生活的实用价值，从而初步培养了应用所学的数学知识解决实际问题的能力。对初中几何进行有效的定位。

三、研究目标

1.通过研究，探讨培养学生解几何证明题的方法、途径和模式。能用数学语言对推理过程进行清楚规范的表达。

2．从教学内容、数学思想方法上，给学生一明确的方法指引，进而在初中阶段强化几何教学，为学生进一步深造打下基础。3．为学生有效学习初中阶段的几何学习打好基础，提高学生理论联系实际能力的培养。

四、课题界定

1．该课题研究是为初中数学几何教学设置一个基本的思维方式，研究对象为初中几何教学内容的深度与广度。

2．课题的研究目的是为学生学习初中几何后能有效解决数学中的几何问题。

五、研究内容

明确“几何”研究的是几何图形，而且它又是一门数学学科，把“形”和“数”有机的结合起来。在遇到一个几何问题时，最好先弄清题意，画出表示这个问题的几何图形，通过图形进行分析，并利用条件中给我们提供的已知数进行分析计算，然后得到我们所希望的结论。就是说，学几何时不要忘记利用代数，是数学学科的较高境界。

1．初中数学课程教学内容的几何初步教学要求及措施研究； 2．通过中考试题几何问题的研究，对初中数学教学的导向研究； 3．数学思想方法在初中数学教学中运用提高。

六、研究方法

本课题的研究方法采取初中七年级教师合作研究方式，对初中几何教学内容、数学思想方法、考试导向作全面的比较分析，提出对初中几何适应性较强的学习教学要求，为初中数学教学指定出具体目标，从而解决长期以来初中教学几何问题难度较大的问题。总结反思，在课题研究后期及时收集过程性研究资料进行建档，整理研究成果，撰写课题研究报告，全面总结课题研究的得失，并反思得失的成因。

1．实验法：“分组合作教学”，提炼出解初中几何的具体方法，措施、有效性合作。

2．个案法：以近年中考试题为案例，研究中考试题中初中几何教学的导向功能。

3．总结法：教案设计，活动记实，具体教学衔接内容的研究，教学反思等。

七、研究步骤（1）准备阶段：

①2017年2月，成立课题组，制定具体研究方案，进行课题组成员责任分工；

②2017年3月—2017年4月，探索研究学习指导、学习心得，学习方法等，形成一系列可应用的学习资源。

③2017年5月，形成阶段性成果。

（2）实施阶段：2017年5月—2017年6月，教学实践。

（3）中期总结，2017年5月，归纳整理优秀案例，撰写中期研究报告。

（4）结题阶段：2017年10月底，收集整理优秀案例；撰写子课题及总课题研究报告；撰写研究论文。

八、研究预期成果 1.提交本课题研究工作报告一份。

2.本学期提交一定数量的有代表性、有一定学习借鉴价值的研究论文和案例专辑，总结出具有指导性和推广价值的经验。

3.促进学生数学思维方法、学习习惯、学习品质、学习成绩、思想品德等方面的进步和提高。

立体几何证明大题答案 篇5

1．（本题满分9分）

证明：

（1）AEEDEF//DCAFFCEF平面BCDEF//平面BCD

DC平面BCD

…………4分

（2）AD平面BCDBCADBC平面BCD………9分 BCCDBC平面ACD

ADCDD

1.证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC，得AD⊥平面PBC，故AD

⊥BC，又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB2、证明：（1）连结A1C1，设AC11B1D1O1

连结AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

AC11AC11AC且 AC

又O1,O分别是AC1C1AO且O1C1AO 11,AC的中点，O

AOC1O1是平行四边形

C1OAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1

C1O面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1CC!1B1D

又AC11B1D1，B1D1面A1C1C

即ACB1D11

同理可证ACAB1，1

又D1B1AB1B1

面AB1D1AC1

16.（满分12分）如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90，（Ⅰ）证明SC⊥BC；（Ⅱ）若已知AC2,BC,SB29, 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）证明: ∵SABSAC90 ∴SA⊥AB,SA⊥AC 又AB AC=A∴SA⊥平面ABC …………2分

又BC平面ABC∴BC⊥SA；……………3分

又ACB90即BCAC…………………4分 又AC SA=A∴BC⊥平面SAC………5分

又SC平面SAC∴SC⊥BC………………6分

（Ⅱ）解： ∵SC⊥BCAC⊥BC………………7分 ∴SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角………………………8分 在Rt

SCB中，由BCSB

初一几何证明题 篇6

1、已知ΔABC，AD是BC边上的中线。E在AB边上，ED平分∠ADB。F在AC边上，FD平分∠ADC。求证：BE+CF＞EF。

1、已知ΔABC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高。F在BD上，BF=AC。G在CE延长线上，CG=AB。求证：AG=AF，AG⊥AF。

3、已知ΔABC，AD是BC边上的高，AD=BD，CE是AB边上的高。AD交CE于H，连接BH。求证：BH=AC，BH⊥AC。

4、已知ΔABC，AD是BC边上的中线，AB=2，AC=4，求AD的取值范围。

5、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点。求证：AB-AC＞PB-PC。

6、已知ΔABC，AB＞AC，AE是外角平分线，P是AE上任意一点。求证：PB+PC＞AB+AC。

7、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线。求证：BD＞DC。

8、已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形，AC=AE。连接CD，BE。求证：CD=BE，CD⊥BE。

9、已知ΔABC，D是AB中点，E是AC中点，连接DE。求证：DE‖BC，2DE=BC。

10、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。过A作直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求证：DE=BD-CE。

四边形

1、已知四边形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC边上，BE=CD。AE交BD于F。求证：AE⊥BD。

2、已知ΔABC，AB＞AC，BD是AC边上的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD延长线于F。求证：BE+BF=2BD。

3、已知四边形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB=2，CD=3，求AD。

4、已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分线，AF⊥BE延长线于F。求证：BE=2AF。

5、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求证：CD=BG。

6、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求证：AC=AG。

7、已知四边形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。

8、已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分线，M为CD上一点，AM交BC于E，BM交AC于F。求证：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。

9、已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求证：AB⊥BC。

10、已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分线，求证：AE+CD=AC

全等形

1、知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形，AD=AE，连接CD，BE，M是BE中点，求证：AM⊥CD。

2、已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。

3、已知∠AOB，P为角平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，求证：AO+BO=2CO。

4、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，M是AC中点，AD⊥BM于D，延长AD交BC于E，连接EM，求证：∠AMB=∠EMC。

5、已知ΔABC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。

6、已知ΔABC，∠B=90°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，F在AB上，BF=CE，求证：DF=DC。

7、已知ΔABC，∠A与∠C的外角平分线交于P，连接PB，求证：PB平分∠B。

8、已知ΔABC，到三边AB，BC，CA的距离相等的点有几个？

9、已知四边形ABCD，AD‖BC，AD⊥DC，E为CD中点，连接AE，AE平分∠BAD，求证：AD+BC=AB。

几何证明题 篇7

1.在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的.长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

答题要求:请写出详细的证明过程，越详细越好.

ED平行且等于1/2BC

取MN为BO,OC中点

则MN平行且等于1/2BC

得到ED平行且等于MN，则EDNM是平行四边形

则OD=OM,又M为BO中点，显然BO=2OD

一定过

假设BC中线不经过O点，而与BD交与O

同理可证AO=2OG

再可由平行四边形定理得到O与O重合

所以必过O点

2.在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M为BC边上一点。且角DMC=45度

求证：AD=AM

(1)几何证明题,首先画图

哎没图不好说啊

就空说吧 你在纸上画图

先看已知条件,从已知条件得出直观的结论.

因为M是BC边上一点,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,则三角形DMC是个等腰直角三角形,MC=CD.

又AB=BC,M是BC边上一点,MC长度小于BC,所以知道这个直角梯形是以CD为上底,AB为下底,图形先画对

接下来求证

要证AD=AM,从已知条件中得知,MC=CD,

则作一条辅助线就可得证

连接AC

∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是个等腰直角三角形

∴角BCA=45度

∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA

所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC――边角边)

所以AD=AM得证

(2)延长CD至F点~CF=AB 连接AF~~因AB=BC ~SO ~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要证AFD~和ABM ~是一样的3角形就OK 了~~哎~快没碰几何了~那些专业点的词我都忘了~这题应该是这样吧 ~不知道有没错

回答者： fenixkingyu - 试用期 一级 -8-7 19:23

上楼的有两处错误:

1.描述错误,ABCF不是四边形,ABFC才是.

2.按照条件并不能证明ABFC是正方形.

注意:要证明四边形是正方形,必须证明2个问题:

1.该四边形是矩形;2.该四边形是菱形。

(3)把图画出来就好解了。我是按自己画的图解的，楼主画梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加辅助线就行了，度那个圆圈打不出来，我就没写了。

证明：连接MD，AM，连接AC并交MD于E

因为 角DMC=45，角C=90

所以 三角形MCD为等边直角三角形，既角CDM=45

又 角B=90 AB=BC

所以 角CAB=45

由 梯形上下两边平行，则内对角相加为180度

因 角CAB 角DMB=45+45=90

所以 角EDA 角DAE=90

既 AC垂直于MD

在等腰直角三角形CDM中则有ME=ED，且AC垂直于MD

所以 AE是三角形AMD的中垂线

初一下册几何证明题 篇8

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于p,Q点.根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=Fp,EM=EN.过D点做BC上的高交BC于O点.过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可证Fp=2DJ。

又因为FQ=Fp,EM=EN.FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ΔCDE

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ΔCNE∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，p，Q分别为BC，CD边上的点。且角pAQ=45°，求证：pQ=pB+DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQAB=AD∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAp=∠MAB+∠pAB=45度=∠pAQ

∵∠MAp=∠pAQ

AM=AQAp为公共边

∴三角形AMp≌三角形AQp

∴Mp=pQ

∴MB+pB=pQ

∴pQ=pB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,Bp⊥MC于点p,求证Dp⊥Np

∵直角△BMp∽△CBp

∴pB/pC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴pB/pC=BN/CD

∵∠pBC=∠pCD

∴△pBN∽△pCD

∴∠BpN=∠CpD

∵Bp⊥MC

∴∠BpN+∠NpC=90°

∴∠CpD+∠NpC=90°

辅助线几何证明题 篇9

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

常见的辅助线做法

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

（一）例题讲解

例

1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DEDA，连接BE

又∵BDCD，BDECDA

∴BDECDASAS，BEAC3

∵ABBEAEABBE(三角形三边关系定理)

即22AD8

∴1AD4

经验总结：见中线，延长加倍。

中考数学经典几何证明题 篇10

（一）1.（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若FEC45，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．B

A

ME

DB

(4)观察图

1、图

2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线

段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时

BC；③当D

2BH

是定值；④当D在线段BC上（不与B，C重合）BD

BCEC

运动，其他条件不变时是定值；

DC

（1）其中正确的是-------------------；（2）对于（1）中的结论加以说明；

F

C

F

图 1图2图

32．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD

于点H，试证明CH=EF+EG;

图

1D

DC

(2)若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于

点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

F

H

BCD

E

4.在△ABC中，AC=BC，ACB90，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

A

A

F

D F

D

E

C B

C

图

1E

图

2H

5.如图12，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

证明．

8.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE

上，且AQ∥PC．(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

6.如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G。

探究：线段FG的长与△ABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形； ②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

9.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.CH

G

A图3 图1 图

27.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予

10.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放

在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．

(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

2、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，试探究BE与CF的数量关系。

3、如图，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想，若证明有困难，则可选k＝1证明之。

4、在△ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。试说明OP与OQ是数量关系，选择条件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。

2011年中考几何经典证明题

（二）1、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为CB延长线上一点，且∠EAB＝∠BAD，设DC＝kBD，试探究EC与EA的数量关系。

5、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，∠CAD＝∠B，AC＝kAB，E在AD延长线上,∠CED＝∠ADB，探究AE与AD的关系。

初二上几何证明题004 篇11

1．C如图，BD是△ABC的一条角平分线，AE∥BD，交CB的延长线于点E，F为AE的中点． 求证：BD⊥BF．

A

D

EBC

2．C如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC．求证：AC垂直平分BD．

A

BD

C

3．C如图，已知AE∥BF，AE＝BF，AC＝BD．你能判断ED与CF相等吗？请说明你的理由．

E

DB

AC

4．C如图，AB＝CD，AE＝FD，BF＝EC．求证：AF＝ED． F B

A

E C

5．C如图，PA＝PB，PC是△PAB的中线，∠A＝55°，求：∠B的度数．

A

C6．C如图：在△ABC中，AD = AE，点D、E在BC上，CE = BD，写出AB = AC的说理过程．A

几何证明题及其答案1 篇12

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．

A

B

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：ABPBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

例3：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1在2E

图2-4-27

E

P

图2-4-28

图2-4-28

⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R

3，求公共弦AB的长．

2（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

．

例4如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且

ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．

图2-4-30

图2-4-30

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

B E

F

图2-4-

322．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

A

D

FBC

图2-4-3

33．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

CB

E

图2-4-3

400

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=120，∠ACB=45，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．

图2-4-3

55．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE长．

时，求AD和OC的3图2-4-36

答案

例1.分析与解答（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴∠BCF+∠FCD=90，BC=CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

∴∠ECD+∠FCD=90．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE

（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90． ∴

4．

∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2.分析与解答（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

BD． 而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ABPB

（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PAPBBD．即1025(5BE)，∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

AEPA

2，即AE=2AB． ABPB

在Rt△EBA中，152AB2(2AB)2，∴ABAB、PB代入ABPBBD，得BD=9． 又∵∠BDE=90，ED∥AP，∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC

BCPB

． OAPO

515

3．∴CD=12 25

例3.分析与解答（1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90． 又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E，∴△AO1E∽△HO1A．∴O1AO1HO1E． ∴O1H

1． ．AB2AH

3（3）∵F为HB的中点，∴

HF=HF

1AB，4∴O1F

．

∵HO1FGO1E． ∴Rt△O1HF∽Rt△OGE．∴1

O1FHF

． 

O1EEG

HF

O1E

 ∴EG，即EGO1F例4.分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-∠ACO=90-∠B．

又∠DAC=∠BAE=90-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC．

（2）∵DF：EF=1：8，DF

EF=8DF= 又DC为⊙O的切线，∴DC2DFDE18．

∴DC

∴ADDC

AFADDF

AEEFAF

∴ABACAEAF24．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90．

又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK．

00

又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC． 提高部分：【答案】1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略．33．（1）BE=5（2）tanCDE

4．（1）AC（2）CE:AE，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． 2

（3）∵CE:AE

∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=90． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB．

∴

ADAB

．SADOCABOB2rr2r2，