圆柱（共12篇）
名称 圆柱的初步认识和圆柱的侧面积 执教者 苏玉斌 课时 1 所属教
冀教版六年级下册第四单元第一课时 信息
材目录本节课有两个方面的内容，一是认识圆柱，二是探索圆柱侧面教材积的计算方法。认识圆柱是教材选择了生活中的一些典型物体。让学生用手摸一摸它的面，直观感受其特点。接着教材结合立体图形，分析 介绍了圆柱的底面、侧面和高，让学生认识圆柱的各部分名称。基本学生在头脑中能辨认出哪些物体是圆柱，但对于圆柱的其他方面没有更深的了解。对于学生来说，这节课是全新的。学生既要认分析 识圆柱，还要探索圆柱侧面积的计算方法。
知识与能力目认识圆柱和圆柱侧面展开图，会计算圆柱的侧面积。
标 过程教学在观察、交流、操作等活动中，经历认识圆柱和圆柱与方法目
侧面展开图的过程。
标目标情感
积极参与学习活动，愿意与他人交流自己的想法，获态度与价
得学习的愉快体验。
值观目标
重点 计算圆柱的侧面积 学情教学重难点
教学策略与 难点 圆柱的侧面积展开图与长方形的关系
一、创设情境，引入新课
二、自主探究，合作交流
三、全班展示，达成共识
设计说明
四、巩固训练，总结提升
教学过程
教学环节 教师活动
学生活动
设计意图
师：同学们，我一、们都学过了哪些立体创设情境
图形？
生口答：长方体和正方体 学生观察自己的物品是什么形状
多让几个人交流。学生可引出圆柱体。能会说：
（2今天我们要认识学生先观察，分钟）
生：我带的是一个茶叶桶，一种新的立体图形。再闭眼摸摸它的我看同学们都带来了它的形状是圆柱。面。感受圆柱体的很多这种形状的实表面。
生：带的是一个饮料筒，物，谁来给大家说一说你带的是什么？它它的形状也是圆柱。的形状是什么？
……
师：想一想，现实生活中还有哪些形状是圆柱的物体？ 鼓励学生大胆发言，并引出今天的课题。
1、师：请大家拿出自己带来的圆柱体，观察一下，数一数它有几个面，看一看它的面都是什么形状。然后再摸一摸。
学生观察，并用手摸表面。
生：圆柱摸起来像一个柱师：谁能用自己子。的话说一说摸圆柱表
生：圆柱有上下两个圆，面的感受？
讨论圆柱体的中间的面是弯曲的。
请同学们讨论一特征。重点使学生
生：圆柱有3个面，上下了解圆柱的侧面是
二、下：圆柱有几个面？认识圆柱 各有什么特点？ 两个面都是圆形，而且两圆的一个曲面。
大小相等，还有一个侧面，圆（8师：柱上下两个柱的侧面是一个曲面。学生讨论有什分钟）面叫底面，它们是完么方法可以验证圆
学生可能说到以下方法： 全相同的两个圆。圆柱体上下两个面的柱有一个曲面，叫做大小相等。
（1）测量底面直径来验侧面。圆柱两个底面
证，两个底面直径相等，两个之间的距离叫做高。
圆大小就一样。
2、师：有什么方
（2）可以用卷尺或线绳测法可以验证圆柱上下两个圆的大小相等量周长来验证。呢？ 给学生充分发表不同意见的机会。
观察圆柱体罐头
三、盒，它的侧面贴着包圆柱侧面装纸，想象一下，如
教师演示把圆 生1：我猜可能是长方形。
柱的侧面展开是什么形状的？ 怎样积
果把包装纸沿着圆柱生2：我猜可能是正方形。剪？的一个高剪开，再展（12开。这张包装纸的形
认真观察，你发分钟）状会是什么形状？
现这个长方形的面
积和罐头盒侧面积
生：展开的商标纸是长方有什么关师：验证一下，现在我们沿着他的一条形。系？
高剪开，再展开。
生：这个长方形的面积等于再想想这个长师：看展开的商标罐头盒侧面积。方形纸的长和宽分纸是什么形状？ 别与罐头盒的什么
生讨论，教师巡视了解情有关系？得出圆柱师：认真观察，你况。的侧面积=底面周发现这个长方形的面长x高
生：长方形纸的长相当于罐积和罐头盒侧面积有
头盒底面的周长，长方形的宽什么关系？
相当于罐头盒的高。
师：想想这个长方
生：用圆柱底面周长乘以形纸的长和宽分别与罐头盒的什么有关？高。同桌讨论一下。
师：长方形的宽就是罐头盒的高。长方形的长就相当于罐头盒底面的周长。（在长方形上标出高和底面周长）
师：怎样计算罐头盒的侧面积呢？
圆柱的侧面积=底面周长x高
师：同学们真了生测量独立计算，全班交不起。自己学会计算流计算结果。罐头盒的侧面积了。
四、学生可能会说： 下面我们一起看练一巩固拓
应用公式来解练的第1题，是一个展。
因为，商标纸的长就是饮决侧面积问题，巩关于选择商标纸的问题。先自己读题，并料桶的底面周长，商标纸的宽固新知。（15判断用那张纸比较合就是饮料桶的高。所以，我先分钟）
适，必要的话可以算计算出饮料桶的底面周长，再
选择。3.14x8=25.12（厘米）一算。
也就是说商标纸的长应等于师：谁来说一说你25.12厘米，宽12厘米，所以是怎样判断的？你认选择第3张纸比较合适。为哪张纸比较合适？
3.14x12x10=376.8平方厘师：我们再来看练米 一练的第2题，请同
3.14x8x6=150.72（平方学们自己读题，计算出罐头盒包装纸的面厘米）积。
圆柱的侧面积：师：请同学们看第3.14x3x2x1.5=28.26（平方厘3题，先想一想字母米）表示的是什么，在计算。（生独立解答，然后交流）
师：谁来说说你是怎么算的？ 课堂
1、同学们，通过这节课的学习，你还有什么疑问？ 小结
2、你有哪些收获？
2分生全班交流 钟
布置作业
完成练习册中的相关习题
1分钟
圆柱的认识和侧面积
名称：圆柱上下两个面叫底面，是完全相同的两个圆。
板书设计 圆柱有一个曲面，叫侧面。
圆柱两底面之间距离叫做高。（无数条高）
圆柱的侧面积=底面周长x高
字母：S= C×H
一、循序渐进,温故而知新
上课之初,我充分利用主题图,引导学生思考如何求圆柱形柱子的体积和圆柱形水杯的容积,开门见山地让学生明确本节课的学习任务,快速进入学习状态。接着把“知识绣球”抛给学生,让他们根据生活经验寻找解决问题的妙方。他们经过激烈的讨论,得出圆柱体积的算法可能与长方体体积的算法有关。于是,我顺水推舟,让他们回忆了长方体、正方体体积的计算方法以及圆的面积计算公式的推导过程,以便于学生猜想,从而激起学生的好奇心,萌生独立思考问题,探索问题的愿望。
二、动手操作,验证猜想,探索新知
在教学《圆柱的体积》时,虽然学校条件有限,没有现成的学具可供学生实践操作,但是我因地制宜、因材施教,利用课前准备的一个大萝卜和一把小刀作为学生道具。在推导时,我先选出两名同学轮流上前演示,把圆柱形教具的底面平分成16等份,然后把圆柱切开,照课本上的图拼起来,圆柱体就转化成一个近似的长方体;其他同学用提前准备好的圆柱形萝卜,完成切拼活动。接着,引导学生悟出这个长方体的长、宽、高相当于圆柱哪一部分的长度,圆柱的体积怎样计算的道理,从而推导出圆柱体积的计算公式。
三、课件演示,巩固理解
为了让学生更直观、形象地理解圆柱体积计算公式的推导过程,让学生观看课件:圆转化成近似长方形的过程。引导学生想象:“如果把圆柱的底面平均分成32份、64份……切开后拼成的物体会有什么变化?”通过多媒体课件演示,学生不仅对这个切拼过程一目了然,同时又加深理解了圆柱体转化成近似长方体的过程和方法。
四、分层练习,拓展延伸
为了培养学生思维的创造性和解题的灵活性,我在设计练习时多花了些心思去考虑如何让学生在最短的时间完成不同类型的题目。于是采用了分层练习策略。
小结时,提醒学生要从多方面去考虑,做到面面俱到,逐层深入。同时一定要认真读题审题,注意单位统一。
关键词：圆柱体积；教学
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-162-01
教学内容：西师课标版小学数学六年级下册教材第34页圆柱体积公式的推导和例3。
教材简析:本节内容包括圆柱的体积计算公式的推导,利用公式计算圆柱的体积。教材用学生学过的知识作铺垫,采用迁移法,引导学生将圆柱体化成已学过的立体图形,再通过观察、比较找两个图形之间的关系,探索圆柱的体积计算公式。
教学目标：1、使学生经历圆柱体积公式的探索过程，并能应用圆柱的体积公式解决问题。2、培养学生分析、推理的能力。3、渗透转化的数学思想，让学生认识到形变质不变的辩证关系。
教学重点：通过猜测、观察、操作、讨论等教学活动，经历圆柱体积计算公式的探索过程，并会正确地计算圆柱的体积。
教学难点：在经历圆柱体积计算公式的探索过程中，发展空间观念。
教学过程：
一、情景导入
1、出示装了水的圆柱容器
师：容器里面的水形成了什么形状？
生：圆柱。
师：你能用以前学过的办法求出这些水的体积吗？
生：把水倒入长方体的容器中，虽然改变了水原来的形状，但是水的体积没改变。求出现在长方体容器中水的体积，也就求出了原来水的体积。
2、出示橡皮泥捏成的圆柱
师：你有办法求出这个圆柱形橡皮泥的体积吗？
生：运用刚才转化的方法，可以把橡皮泥捏成长方体或是正方体就可以计算了。
3、创设问题情境
师：如果要求大厅里圆柱形柱子的体积，或是求压路机圆柱形大前轮的体积，你还能像刚才那样，把柱子浸泡到水里，或者像捏橡皮泥那样改变一下柱子的形状吗？下面，就让我们一起来研究圆柱体积的计算方法。
二、探究新知
师：请大家想一想，在学习圆的面积计算时，我们是怎样把圆转化成已学的图形，来推导圆面积的计算公式的？
师：大家猜想一下，怎样来计算圆柱的体积呢？
生：把圆柱体底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似长方体。
师：大家发现了吗？利用圆柱体积演示器演示拼组的过程。可以将圆柱底面等分成32份、64份、128份……分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。
师：我们已经把圆柱拼成了一个近似的长方体，你知道圆柱与所拼成的近似长方体之间有什么联系？
生：从刚才拼成近似长方体的过程中，我发现拼成的近似长方体的长等于底面圆周长的一半，宽等于底面圆的半径，高就是圆柱的高。
师:我们已经发现了它们之间有这么多的联系，请大家试着根据圆柱与近似长方体的关系，分组推导公式。（学生尝试）
师：根据学生的汇报作如下板书：
长方体的体积＝底面积×高
↓↓↓
圆柱的体积＝底面积×高
师：怎样用字母表示这个计算公式呢？
生：V＝Sh
生（杨旭）：我用另外的方法推导出圆柱体的体积计算公式。因为拼成的近似长方体的长等于圆柱底面圆周长的一半，如果用2πr表示底面圆的周长，那么近似长方体的长就等于πr，近似长方体的宽等于圆柱底面圆的半径r，近似长方体的高等于圆柱的高h。所以圆柱体的体积公式就是：V＝πr×r×h即：V＝πr2h
反思：
本节课的教学，有以下几个特点：
第一、课始的情景引入环节，较好地体现了“问题是思维的动力”这一观点。通过创设问题情景，可以引导学生运用已有的生活经验和旧知，积极思考，去探索和解决实际问题，并能制造认知冲突，形成"任务驱动"的探究氛围。
第二、探究新知过程中，采用新的教学方式，让学生自己动手实践、自主探索与合作交流，在实践中体验，在实践中提升，从而获得知识。这节课采用了学生的小组合作学习，从而引发自主探究，最后获取知识的新模式，取得了事半功倍的效果。特别是在圆柱体拼成近似长方体的过程中，让学生充分体验到了转化思想和极限思想。
第三、推导圆柱体体积公式的过程是提升学生思维品质的过程。按照常规的思路，教师的预设都是直接从底面积乘高推导出圆柱体体积计算公式为V＝Sh。但是在这节课中，教师更多的关注了课堂的生成，关注学生的情感。善于发现学生思维的闪光点，打破常规思维套路，根据近似长方体的长、宽、高与圆柱体的联系，从另外一个角度探索出圆柱的体积计算公式V＝πr2h。
教材及学情简析：
本节课——“认识圆柱”是在学生学习了几种平面图形以及长方体和正方体的基础上进行教学的，学生已具备了一定的空间观念。圆柱又是一种比较常见的立体图形，在实际生活中，圆柱形的物体很多，学生对圆柱都有初步的感性认识。因此，教学时可以从直观入手，帮助学生形成圆柱的正确表象，让学生通过观察、想象、操作、推理、讨论等活动，认识圆柱的底面、侧面和高，掌握圆柱的特征，探索圆柱的侧面展开图，进而发展学生的空间观念，引导学生学会从数学的角度去关注生活中的现象或问题。
此外，该学段的学生已具备了初步的独立解决问题的能力，教学时可以充分发挥学生的自主性，合理运用学习方法，指导学生通过看书自学、动手实践、合作交流等方式获取数学知识。
教学目标：
1、帮助学生建立圆柱的正确表象，知道圆柱各部分的名称，在操作活动中探索圆柱的特征。
2、通过观察、想象、操作、讨论等活动，培养学生发现问题，分析问题和解决问题的能力，发展学生的空间观念。
3、引导学生学会从数学的角度去关注生活中的问题，感受数学学习的价值。
教学重点：建立圆柱的正确表象，认识圆柱各部分的名称及其特征。
教学难点：通过猜想——验证的过程理解圆柱的侧面展开图的特征。
教学准备：课件、圆柱体、长方体、正方体、剪刀等。
教学过程：
一、温故对比——引“圆柱”
1．出示“圆”。
还记得圆是什么图形吗？（平面图形）
2．出示“柱”。
老师只要在后面添上一个字，马上就变成立体图形了，同学们猜是什么？
（由圆到圆柱，推想发现圆柱是立体图形。）
3．想圆柱。
相信同学们都见过圆柱，想想印象中的圆柱是长什么样子的？
（唤起学生对圆柱的已有经验。）
4．摸圆柱。
老师为每组准备了一袋立体图形（袋子里有圆柱、长方体和正方体），里面就有圆柱，同学们尝试不用眼睛看，就凭双手摸出来。
5．谈圆柱。
在刚才摸的过程中，你是怎样区分圆柱体与长方体、正方体的？
6．引新课。
看来这圆柱还真是与众不同，今天我们就来好好地认识它。
【设计意图：通过回忆“圆”到出现“圆柱”，是从平面几何到立体几何的过程；从学生凭空思考圆柱的形状到亲身体验摸圆柱的形体，唤起了学生对圆柱的已有经验，更清晰地感知到圆柱体与长方体、正方体的异同，突出圆柱的表面特征。】
二、独立自主——学“圆柱”
1．认识圆柱的几何图形。
（出示实物圆柱）这是一个圆柱形的物体，如果从一个角度看它，最多只能看到两个面，所以通常我们把圆柱体画成下面的形状——课件演示从实物的圆柱到数学中的圆柱的抽象过程。
2．自学课本，认识圆柱各部分的名称。
同学们拿起圆柱自学课本第31页的内容，看看介绍了圆柱的什么知识。
3．分享自学成果。
4．加深理解，学生互相指一指圆柱的底面、侧面和高。
我们认识了圆柱的底面、侧面和高，请同学们拿起圆柱指给旁边的同学看看。
【设计意图：根据教学内容的特点，合理安排学习方式，让学生自学圆柱各部分的名称等最基本的概念，培养学生的自学能力，体验通过自身努力获取知识的成功感，同时也为后面自主探索圆柱侧面展开图的特征做好准备。】
三、猜想验证——探“圆柱”
1、以制作一个圆柱的话题为主线，探索圆柱的侧面展开图的特征。
如果要做一个这样的圆柱，需要剪出哪些图形来制作呢？
除了需要两个完全相同的圆做圆柱的底面以外，那侧面应该用什么图形做呢？同学们猜一猜，如果把侧面剪开，展开后可能是什么图形？动手剪一剪看。
怎样剪才能得到长方形？
（通过猜想到动手操作，验证圆柱的侧面沿高剪开得到长方形。）
2．探索圆柱的侧面展开得到的长方形的长和宽与圆柱的底面和高的关系。
为什么剪出来的长方形有长有短、有宽有窄？长方形的长和宽究竟与圆柱的什么有关系呢？同学们讨论讨论。
3．汇报并总结圆柱的侧面展开图的特征。
小结：把圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。（配合课件演示）
4．借助练习巩固特征，并从中渗透圆柱的侧面展开图的其他情况。
⑴ 根据圆柱的侧面选择合适的底面。
⑵ 根据圆柱的底面选择合适的侧面。
【设计意图：以制作圆柱为主线，通过动手操作、猜想验证、合作交流等方式，探索圆柱的侧面展开图的特征，这是从认知几何到实证几何的过程。首先让学生掌握侧面展开的一般情况——沿高剪开得到长方形；然后再通过练习题的方式将侧面展开的特殊情况（正方形）及其他情况（平行四边形和不规则图形）加以延伸，在保证学生掌握基础的前提下做到数学知识和数学思想的有益拓展。】
四、梳理新知——用“圆柱”
1．梳理新知。
⑴ 师导。
同学们看，我们今天学到了关于圆柱的什么知识？
⑵ 生谈。
请同学们当推销员介绍一下你所认识的圆柱„„
2．运用新知。
⑴ 基本练习（以书面的形式出现）。
① 圆柱的上下两个面叫做（）面，它们是（）的两个圆。
② 圆柱有一个曲面叫做（）面。
③ 圆柱两个底面之间的距离叫做（）。圆柱有（）条高，它们的长度都（）。
④ 如果把圆柱的侧面沿着一条（）剪开，展开后得到一个（），它的长等于圆柱底面的（），宽等于圆柱的（）。
⑵ 判断说明。
判断下面的图形是不是圆柱，为什么？
3．回归生活，发现圆柱。
在生活中，你看见过哪些物体是圆柱形的？
【设计意图：梳理新知是一个非常重要的过程，先由老师引导总结的目的是为了照顾全体，再让学生互相介绍今天所学的知识，是为了每一个学生主动参与其中。而练习的设计则分为三个层面，先是通过书面练习及时检查全体学生对基本知识的掌握情况，然后在这基础上让学生尝试运用新知解决问题，接着让学生带着新知回归生活，发现早已存在于自己身边而未曾察觉的圆柱形物体，从而感受数学与生活的联系。】
五、欣赏了解——悟“圆柱”
1．欣赏自然界以及人类生活、生产中有关圆柱的图片。（课件演示）
圆柱在咱们生活中随处可见，下面让我们一起走进圆柱的世界„„
2．介绍圆柱的“高”在生活中的其他叫法。
（“高的别称”是知识的拓展，也是为后续学习圆柱的表面积和体积做准备。）3．感悟圆柱，畅谈收获。
同学们，只要我们用发现的眼睛看生活，其实，生活中处处都充满着数学，看完刚才的图片，你有什么想说的吗？
4．“放大”圆柱的内涵——介绍“可乐罐”的奥秘。
有没有发现可乐、百事、雪碧、健力宝等等的这类罐装饮料，它们的形状、大小都是一样的，这里面就隐藏着关于圆柱的商业秘密，想知道吗？
【设计意图：借助多媒体课件播放有关圆柱的图片，让学生知道原来自然界里到处都有“圆柱”，只是我们没有留意、没有发现而已。而聪明的前人早已意识到圆柱的独特之处，并懂得将其特征运用在生活和生产当中，从而使学生感悟到圆柱（数学）那无穷无尽的魅力和人类智慧的无限。最后介绍“可乐罐”的奥秘，是为了将学生对圆柱的认识面再往深层次扩大，惊叹数学的奇妙之余，达到“课尽，而意未尽”的效果，促使学生越来越喜欢数学„„】
六、学以致用——做“圆柱”
课后作业：请同学们利用课本第147页的图样，自己动手做一个圆柱。
【设计意图：“学”是为了“用”。所谓数学来源于生活，最后还得学会用回生活，这是学习数学的最终目的，也是体现数学学习的价值所在。以“做圆柱”作为课后的作业，一是提供了巩固圆柱最基本的特征和学以致用的机会；二是让学生有一个亲身体验做一个圆柱的过程，为课外创造一个交流数学的话题。】
板书设计：
认识 圆柱
2个底面：是完全相同的两个圆
无数条高：两个底面之间的距离
教学内容：
苏教版六年级数学下册教材P25—26，例4及相应的“试一试”与“练一练”。教学目标：
1、通过教学，使学生经历观察、猜想、操作、验证、交流和归纳等数学活动过程，探索并掌握圆柱的体积公式，初步学会应用公式计算圆柱的体积，并解决相关的简单实际问题；
2、使学生在活动中进一步体会“转化”方法的价值，培养应用已有知识解决新问题的能力。
3、培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。
教学重点：掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。教学难点：理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会“转化”方法的价值。教学准备：
用于演示把圆柱体积转化成长方体体积的教具。教学过程：
一、迁移引入。
1、教师：前几节课我们已经认识了圆柱体，学会了计算圆柱的侧面积、底面积和表面积，今天这节课我们继续来研究圆柱的体积。同学们回忆一下，什么叫体积？（指名回答，生：物体所占空间的大小叫做体积。）我们学会计算哪些立体图形的体积呢？(指名学生回答，教师演示课件。根据学生的回答，板书：长方体的体积=底面积×高)
2、教师：如果这个长方体和正方体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积也相等吗？为什么？
3、教师：现在又有一个圆柱体，并且圆柱的底面积和长方体与正方体的底面积相等，高也与它们相等，大家猜猜看，圆柱的体积会与长方体和正方体的体积也相等吗？（指名学生口答）用什么办法来验证呢？
4、教师：在研究这个问题之前，我们先来复习一下，圆的面积是怎样计算的呢？圆的面积计算公式是怎样推导出来的？（学生：把一个圆，平均分成若干个扇形，拼成一个近似长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。）根据学生的叙述，教师课件演示。
二、学习新课。
1、教师：那么今天我们要研究的圆柱的体积，能不能也像刚才圆的面积公式推导过程一样，转化成我们学过的立体图形，推导出计算圆柱体积的公式呢？
2、学生小组讨论、交流。
教师：同学们自己先在小组里讨论一下。要求：（1）你准备把圆柱体转化成什么立体图形？（2）你是怎样转化成这个立体图形的？
（3）转化以后的立体图形和圆柱体之间有什么关系？
3、推导圆柱体积公式。学生交流，教师动画演示。（1）把圆柱体转化成长方体。
（2）怎样转化成长方体呢？(指名叙述：把圆柱体底面分成平均分成若干个扇形（例如分成16份)，然后把圆柱切开，拼成一个近似长方体。）你会操作吗？（学生演示教具）
（3）教师说明：底面扇形平均分的份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。
（4）教师：这个长方体与圆柱体比较一下，什么变了？什么没变？（生：形状变了，体积大小没变。）（5）推导圆柱体积公式。讨论：切拼成的长方体与圆柱体有什么关系？（学生回答：切拼成的长方体的体积相当于圆柱的体积，长方体的底面积相当于圆柱体的底面积，长方体的高相当于圆柱体的高。教师根据学生回答演示课件。）
教师：圆柱的体积怎样计算？用字母公式，怎样表示？板书： 圆柱的体积 = 底面积×高 V =
S
h
三、利用公式进行计算。
教师：根据圆柱体积的计算公式，如果要求圆柱的体积，你必须知道哪些条件就可以求？ ①知道圆柱的底面积和高，可以求圆柱的体积。
练习七的第1题：填表。
②知道圆柱的底面半径和高，可以求圆柱的体积。试一试。
③知道圆柱的底面积直径和高，可以求圆柱的体积。练一练的第1题：计算下面各圆柱的体积。④知道圆柱的底面周长和高，可以求圆柱的体积。
一根圆柱形零件,底面周长是12.56厘米,长是10厘米,它的体积是多少?
四、巩固应用。
1、判断正误，对的画“√”，错误的画“×”。
2、计算下面各圆柱的体积。
3、智慧屋：已知一个圆柱的侧面积为37.68平方厘米，底面半径为3厘米，求这个圆柱的体积。
五、小结。
教师：这节课我们一起学习了运用转化的方法推导出圆柱体积的计算公式，并且能够运用圆柱体积的计算公式解决一些实际问题。在今后的学习中，特别提醒大家一定正确计算出圆柱的体积，并且能灵活运用圆柱的体积计算公式。
教学反思
本节可的教学内容是九年义务教育苏教版六年级下册的《圆柱的体积》，以前教学此内容时，直接告诉学生：圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示公式：V＝Sh，让学生套公式练习；我教此内容时，不按传统的教学方法，而是采用新的教学理念，让学生自己动手实践、自主探索与合作交流，在实践中体验，从而获得知识。对此，我作如下反思：
一、学生学到了有价值的知识。
学生通过实践、探索、发现，得到的知识是“活”的，这样的知识对学生自身智力和创造力发展会起到积极的推动作用。所有的答案也不是老师告诉的，而是、学生在自己艰苦的学习中发现并从学生的口里说出来的这样的知识具有个人意义，理解更深刻。
二、培养了学生的科学精神和方法。
圆柱是学生十分熟悉的立体图形，在生活中经常要求解它们的表面积，例如：计算做一个圆柱形状的笔筒需要多少材料。虽然学生已经学会了如何计算圆柱的表面积，但是由于学生缺少生活实践经验，导致计算出来的结果不符合实际要求：多加了一个上面的面积。一个看似很简单的问题，学生似懂非懂：笔筒的外形是什么样的？圆柱吗?计算所需材料的面积是否就是计算这个圆锥的表面积？做的笔筒没有哪一个面，所以实际上是计算哪几个面的总面积？如何计算这些面的面积？《圆柱的表面积》，在教学中根据学生的实际情况、教材内容和教育资源引导学生对于以上几个问题进行探索、发现，在认识矛盾冲突是如何产生的以及如何解决问题的驱使下开展探究活动，让学生去解决笔筒制作的问题来开展教学。当学生经历了探索发现的过程，就学会了如何用所学的知识运用到生活中去实践，并且培养了学生分析问题、解决问题以及表述能力。同时学生在学习中体会到了探究、发现问题和灵活地解决实际问题的乐趣，充分体现了学生在教学中的主体学习的地位。
二、教学目标：
1.使学生理解和掌握圆柱表面积的计算方法，能够正确计算圆柱的表面积。2.使学生能够根据实际情况计算圆柱里几个面的总面积，进一步培养学生的探索意识和空间观念，提高解决简单实际问题的能力。
三、教学活动过程：
一、引导学生学习圆柱表面积的计算方法 1.回忆
上节课我们学习了圆柱表面积的概念，那么谁来说一说什么叫做表面积以及圆柱的表面积？ 2.联想：
（拿起一个圆柱的模型，手摸着面）提问：圆柱的面有什么特点？圆柱的表面积是指什么？圆柱每个面的面积怎样算？所以可以怎样计算圆柱的表面积？ 3.归纳引入新课：
圆柱的一个侧面积加两个底面积的总面积就是圆柱的表面积。圆柱的表面积怎样求呢？这就是这节课的主要内容（板书课题）4.教学例4 一定圆柱形厨师帽，高28cm，冒顶直径20cm，做这样一顶 帽子需要多少面料？
提问：题目条件是什么，让我们求什么？求至少要多少面料，是求圆柱的什么？你会算吗？
小结：这顶厨师帽的下面应该是没有的，所以在这里，不需要我们算圆柱的下面，也就是说少算一个底面。
二、笔筒的制作问题
说明：我们已经学会了计算圆柱的表面积。在实际生产和生活过程中，有时不需要计算圆柱3个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，比如我们刚做的那道题，这就要根据实际情况思考要求哪几个面的面积和，并思考每一个面的面积怎样算。
1.帮助学生回忆笔筒的形状（圆柱体，但是没有上面）
2.如何计算所需材料的面积？（就是求这个圆柱的表面积，但是要减去上面的面积）3.课本第16页第10题：
（出示笔筒模型）（1）笔筒缺少哪个面？（上面）
（2）要求至少需要多少彩纸，要算几个面的面积和？算不算上面？如何计算每一个面的面积？（2个面，没有上面，侧面=底×高，下面=一个圆的面积=π）（3）指名学生板演，集体订正。
（点评：在教学中采用学生生活中较熟悉的物体“笔筒”启发学生如何计算制作一个笔筒所需材料的面积，也就是计算圆柱体某几个面的面积之和。这个事例在生活中较普遍，再加上利用一些模具进行教学，使得学生在学习中能够更好地联系实际情况进行学习。以上这一系列的活动表现了完整的探究过程，都体现让学生经历整个教学的探究过程。）
4、练习
书P18页练习二的第15题。
从轴承寿命L=a1*a23* (C/P) 3/10可以看出, 可采取各方面的技术措施来提高轴承寿命 (L) , 其中提高轴承的承载能力 (额定动负荷C) , 是延长轴承寿命的主要途径。因此, 我们必须对轴承进行优化设计, 改进轴承内部结构。
1 改进圆柱滚子的型面
1) 采用凸度滚子, 消除或减轻滚子边缘的应力集中。实践证明, 由于疲劳剥落而损坏的绝大多数圆柱滚子轴承, 几乎全部是在滚子两端的边缘处开始疲劳损坏, 这是因为滚子的边缘效应引起接触应力集中所致。如图1滚子负荷应力图所示。滚子边缘效应所引起的滚子应力, 一般要比计算应力大3~6倍, 接触应力和变形显著增大的那一段长度, 相当滚子长度的0.07~0.17倍。因此, 需要改变一下滚子的母线形状, 将滚子做成带有凸度形的, 这样就可以使其负荷应力在接触面上均匀分布, 如图2全凸形滚子负荷应力图和图3修正线凸度滚子负荷应力图所示。全凸形状的滚子主要问题在于形状难制造加工;难以控制滚子在轴承中不产生偏斜;轴承的负荷容量有所损失, 而修正线凸度滚子, 却无全凸滚子的缺点。
2) 圆柱滚子修正线凸度的计算。当滚子的偏转角度θ=0时, 径向负荷则正中作用于滚子的工作表面上, 滚子的弹性变形δ (mm) 与滚子 (轴承钢) 的弹性常数Cb (kg/mm) 和轴承滚子负荷PR (kg) 的函数关系为:
式中:le-滚子的有效长度 (mm) 。
根据轴承的长期应用实践, 通常把轴承径向承载负荷归纳为:
轻负荷PR≤0.07C
正常负荷0.07C
重负荷PR>0.15C
滚子负荷的确定, 应考虑通用圆柱滚子轴承的常用实际工况条件, 因而取式 (3) 中的“正常负荷”。同时, 也考虑在“正常负荷”范围内的大多数轴承的实际应用工况, 一般取:
由式 (1) 、 (2) 和 (4) 可推导出滚子的弹性变形。
所谓滚子的修正线凸度量δΔ是滚子的单向弹性变形量, 即滚子的弹性变形量δ的1/2。
修正线凸度滚子的直线部分占滚子全长的70%左右;两头凸度部分的长度各占滚子全长的15%左右。
2 增大圆柱滚子的体积
1) 加大滚子的直径和长度
当轴承的当量动负荷一定时, 轴承的额定寿命L与额定动负荷C成正比变化, 而圆柱滚子轴承的额定动负荷C为:
式中:fc—系数;
le—滚子的有效长度 (mm)
Z—滚子的数量;
Δ—滚子的直径 (mm) 。
从式 (7) 可看出, 额定动负荷C是滚子的长度, 直径和数量的函数。因此, 对轴承结构设计来讲, 亦力求增大圆柱滚子的体积, 即加大滚子的直径和长度, 提高轴承的额定动负荷能力, 从而达到提高轴承寿命的目的, 这种轴承可称为加强型圆柱滚子轴承。
2) 加强型圆柱滚子轴承结构设计参数
(1) 加强型圆柱滚子轴承结构设计主参数, 适用于轴承的2、3、4、5和6系列。
滚子的长度一般可取:
(2) 滚子的直径一般取:
(3) 一般型与加强型圆柱滚子轴承的承载能力及寿命的对比。通过计算, 加强型比一般型的圆柱滚子轴承的额定动负荷平均提高43%、额定静负荷平均提高33%、额定寿命平均提高3倍以上, 详见表1。
当前, 轴承工业正在继续上质量、上品种、上水平和上效益, 应当十分重视采用凸度滚子。本文从轴承延寿出发, 并考虑到技术上的先进性、经济上的合理性和加工制造的可能性, 所提出的滚子凸度计算方法是可行的。
根据计算加强型圆柱滚子轴承比一般型圆柱滚子轴承的额定动负荷平均可提高43%、额定静载荷平均可提高33%、额定寿命平均提高3倍以上。因此, 在发展轴承品种、开发加强型圆柱滚子轴承时, 本文 (8) 、 (9) 提出的轴承结构主参数值, 可以作为轴承供需双方相互制约、共同遵守的技术依据。
参考文献
[1]Eschman·Hasbargen·Weiand.Die Walzlagerpraxis, 1978.
[2]徐学当, 方明岸.德国FAG轴承公司概况.轴承产品技术, 1982.
[3]徐学当, 方明岸.德国FAG轴承公司概况.轴承研究中心, 1981.
[4]Johannes Br·dlein;The Effect of Misalignment On the Life cylindrical Roller Bearings and Teperd Roller Bearing, 1971.
我们不妨先来回忆一下圆柱体积公式的形成过程：首先把圆柱的底面分成许多相等的扇形（例如分成16份，如图1），然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图2，分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体），这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。因为长方体的体积=底面积
如果我们将拼成的近似长方体的立体图形（图2）由竖着摆放变成横着摆放（如图3），就会发现：这个长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的底面半径，所以圆柱体积的另一种计算公式是：
圆柱的体积=圆柱侧面积的一半?
例1 一个圆柱的底面半径是5厘米，侧面积是62.8 平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？
一般解法：运用公式V圆柱= S底面积进行计算。
先求圆柱的底面周长：214€?=31.4（厘米）；
再求圆柱的高：62..4=2（厘米）；
最后求圆柱的体积：3.14157（立方厘米）。
巧妙解法：根据公式“圆柱的体积=从上面的例子可以看出，用这两个公式算出的结果是一样的，两者相比，第二种解法比较简便。
如果再观察图2这个长方体，我们还可以发现：这个长方体的右边横截面是一个长方形，它的面积等于高乘半径，这个长方体的长是圆周长的一半，由此又可得出另一种圆柱体积计算公式：
备课的思考：
1.这些问题以什么方式呈现，第一想法就是不能教师呈现，学生练习，必须放手让学生整理，所以借鉴了贲友林老师常用的方式，课前布置学生整理相关切圆柱的情况。为了让学生对这样的整理带有积极性，所以采用了加星的激励措施，第一次是在自己整理本上整理了一条，作为实验，因为学生第一次尝试这样的整理，整理的质量良莠不齐，差距较大，所以把整理的较好的作业进行了，让其他学生进行学习，突出了画图在解答过程中的作用，第二次便在作业纸上整理，规定至少2题，如果防止你整理的问题别人也整理了，你没机会补充，所以可以在2题的基础上再整理更多的问题。有了激励措施，没想到第二天的作业让我很意外，质量超过了我的预计，学生整理的很认真，图文并茂，思路清晰，包括提醒的注意点，我感慨，其实，给学生这样的机会，他们觉大多数都是要求进步，有能力完成的。全班50人，40人整理的符合要求，其中12人整理了2题以上，只有10人因基础原因和态度原因，完成质量不高。
2.这样的课堂怎么掌控，课前我也很担心，发现教案中，我竟然要说的很少，心里没底，学生能否进行交流，如果课堂变成了学生把解答过程读一读，那课堂效果肯定不理想。所以我就在思考，课堂上我该干嘛？经过思考我要做的是：首先，我要做主持人，这些题目有难易，我要调控把握，不能开始就把最难的问题交流，所以什么时候谁该上台汇报，我要进行整体调控，但不能至始至终全由教师喊学生，在一些问题的补充，拓展时，就把主动权交给学生，让学生请学生，互相交流补充。其次，没一种切法，不是单纯的讲题目，每一种切法，我们要复习哪个知识点，教师心理要有数，在学生补充不到位的地方，教师要及时提醒引导，如横切，要清楚，切的刀数和段数、增加面的个数之间的关系，竖切，要清楚圆柱的侧面展开是一个长方形，也可能是一个正方形。沿半径切成若干份拼成长方体，要复习圆柱和长方体之间的联系。圆柱切最大的圆锥i，要清楚圆柱、圆锥、切去的体积之间的关系，正方体和长方体切最大的圆柱要清楚思考的方法，三种情况个要先确定直径和高，就能算出体积。最后，要对学生的汇报方式进行引导，不能让汇报的同学一讲到底，要让汇报的同学和大家进行互动交流，让其他学生进行补充，并对汇报的同学进行评价，不仅从题目的正确与否上评价，更要从学生汇报的方式和质量上评价。
课后的感悟：
今天的数学考试了，试卷有点难，尤其是一道填空题。题目告诉我们：一个圆柱的侧面积是200平方厘米，底面半径是3厘米，求这个圆柱的表面积和体积。拿到题目先分析，即使不会做，也可以知道直径是6厘米。题目分析好了，表面积都回求，用公式就能求了，但是体积怎么求呢?
用3.14×3×3×200÷3.14×6，就表示圆柱的体积，200÷3.14×6这部分用分数表示，分子分母就可以抵消，最后就等于300立方厘米，许多同学都恍然大悟。
可是，蒋钰焘还有更简单的方法，他说，只要用200÷2×3就可以了，因为把一个圆柱体平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，现在200÷2就相当于长方体的前面，由长方体的体积是用底面积乘高，可以想到长方体的体积还可以用正面面积乘高。老师听了，夸他空间想象能力强，我经过他的讲解，也更明白了。回想学圆柱体积的那一节课，老师拿了一个圆柱体的模型，把它平均分成若干份，拼成一个近似的长方体。长方体的前后两个面相当于圆柱的侧面积，所以长方体的体积还可以用正面面积乘高。
笔者根据以往经验和实践体会，总结了圆柱形密植整形修剪技术要点，供大家参考。
1 圆柱形密植应尽量采用矮化砧
矮化砧不仅能早结果，而且能改变树体营养分配，抑制枝干增粗和减弱离心生长势等。如使用乔砧，则品种应选择生长势较弱、容易成花的品种，如黄金、丰水等砂梨品种和雪青等。
2 冠高和冠幅应适当
北方地区采用南北行种植，树冠高度不应超过行距的70%~80%，树冠覆盖率应在70％左右。
3 控制中干过快生长
密植梨园的主要矛盾是树体上强和行间郁闭。圆柱形更易出现树体上强的问题。中干是否需要短截及短截的程度应根据中干的长势而定，中干越强，应短截越重。不要急于将中干长放到预定的高度，以防树体终身上强，影响树冠下部果实的产量和品质。以往的梨密植实践证明，有效地控制树体上强，就是要控制中干过快生长，通过不同程度的短截加大中干的尖削度，使中干在设计高度的1/2处以上逐渐变细，为均衡树势和落头控高打好基础。
4 注意选留新梢
为促进长树，定植当年可以先不抹芽（但要抹除主干基部萌生的水条），但应在距地面60厘米以上的中干上选留新梢培养结果枝组。
5 开张角度，平衡树势
为促使中干上多发枝，可采用萌芽前刻芽或涂抹发枝素的方法。为开张新梢角度，维持中干的绝对优势，可对中干二芽枝（竞争枝）和强壮直立的三芽枝进行重摘心，促使其重新萌发中弱枝。或在冬剪时对竞争枝及直立枝实行重短截，以平衡树势。中干上其他角度直立的新梢可以在其长到15~30厘米时用牙签开角，使新梢与中干成60°~70°角。
6 枝组培养和更新
中干上结果枝组为单轴枝组，间距15~20厘米，上下重叠的结果枝组间距40~60厘米。枝组主要由中庸新梢甩放形成，在缺枝的条件下强旺新梢和弱梢也可利用，但强梢需重截或中截（剪口留对生平芽），弱梢需轻截（剪口留上芽）。由于圆柱形的树冠小，生长2~3年后枝组即无发展空间，此时单轴延伸的枝组延长枝可留基部明芽重截；对强枝短截后形成的枝组，可在大分枝处及时回缩更新，调整枝量限制加粗，防止枝组过大。枝组基部粗度超过中干的1/3时，可利用附近或枝组后部的分枝进行局部更新或彻底更新。另外，树冠下部的结果枝组由于后期光照较差，更新不易，可在原有枝组的基础上留1/2~1/3长度的枝轴进行回缩，有利于枝组的更新复壮。
7 促花早果措施
以果压冠是密植栽培控冠的最主要方法，可通过拉枝、刻芽、肥水调控（膜下滴灌，控制肥水供应）等方法促进花芽的形成，提早结果。
8 抑制营养生长
还可以通过根系修剪、主干环割、施用生长调节剂等方法抑制营养生长，调节树体营养分配，达到控制树冠的目的。
通常情况下圆弧插补指令G02/G03是默认在XY平面内程序中甚至省略了G17, 但是在轴线水平方向的XZ平面YZ平面内加工圆柱曲面时, 就不能不涉及到G18/G19平面指令了。使用球头铣刀将刀位点选择在刀心位置, 程序在数学上进行刀心轨迹描述, 间接反映出刀尖的运动轨迹。关于G17/G18/G19以及G02/G03圆弧插补的对应关系如图1-1所示。
编程格式:
轴线水平圆柱面加工中可利用G18、G19在XZ、YZ平面内的圆弧插补功能实现沿圆柱面圆周方向走刀, 沿轴向进刀方式编程, 从而对圆柱面零件进行加工。图1-2为轴线水平凸凹圆柱面加工中刀具轨迹示意图。
下面通过实例详细论述轴线水平圆柱曲面铣削的加工工艺与程序编制方法。
1 零件分析
如图1-3所示, 零件为铝合金材质72×72×25mm方形材料, 在XZ平面上铣削加工出一个R10×30mm的凸圆柱面和一个R15×30mm凹圆柱面, 在YZ平面上铣削加工出一个R15×60mm的凹圆柱面。加工难点在于必须利用圆弧插补功能编制XZ平面及YZ平面上的圆柱面铣削程序加工凸圆柱面和凹圆柱面。
2 工艺设计
加工工序及刀具轨迹示意图见图1-4所示, 首先用φ12端铣刀加工背面底座72×72至尺寸要求。接下来零件底座朝下二次装夹, 铣削R10圆柱面的凸块外型20×30以及距底面10mm的上平面 (a) , 换φ8R4球头铣刀加工XZ平面内的R10×30凸圆柱面 (b) 和R15×30凹圆柱面 (c) , 最后加工YZ平面内的R15×60凹圆柱面 (d) , 锐边倒钝加工完毕。刀具卡片见表1。
3 程序编制
本文只编制轴线水平圆柱面铣削程序其它加工程序略, 程序中XZ/YZ平面上刀具圆弧面轨迹线如图1-5、图1-6、图1-7所示。
3.1 R10×30mm凸圆柱面铣削编程 (b)
主程序
% (程序开始符)
O0001; (主程序名)
T2M06; (刀具为φ8R4的球头铣刀)
G90G54G18G00X0Y0S2400 M03; (程序初始化)
G43Z100.0 H02; (2号刀具长度补偿)
X24.0Y-3.0; (快速移动到入刀点)
Z20.0; (快速移动点定位)
G01Z5.0F300; (工进到Z5)
M98P101L19; (调用子程序O101, 调用次数19次)
G00Z100.0;
M05; (主轴停止)
M30; (程序结束并返回程序头)
% (程序结束符)
子程序
% (程序开始符)
O101; (子程序名)
G91G03X-28.0Z0R14.0; (相对坐标方式, 逆时针圆弧插补)
G01Y1.0; (Y轴前进步距粗加工1 m m, 精加工0.1 mm)
G02X28.0Z0R14.0; (顺时针圆弧插补)
G01Y1.0; (Y轴前进步距粗加工1 m m, 精加工0.1 mm)
G90; (改回绝对坐标方式)
M99; (返回主程序)
% (程序结束符)
3.2 R15×30 mm凹圆柱槽面铣削编程 (c)
主程序
% (程序开始符)
O0002; (主程序名)
T2M06; (刀具为φ8R4的球头铣刀)
G90G54G18G00X0Y0S2400 M03; (程序初始化)
G43Z100.0 H02; (2号刀具长度补偿)
X-4.0Y5.0; (快速移动到入刀点)
Z20.0; (快速移动点定位)
G01Z8.0F300; (工进到Z8)
M98P102L11; (调用子程序O102, 调用次数11次)
G00Z100.0;
M05; (主轴停止)
M30; (程序结束并返回程序头)
% (程序结束符)
子程序
% (程序开始符)
O102; (子程序名)
G91G02X-22.0Z0R11.0; (相对坐标方式, 顺时针圆弧插补)
G01Y1.0; (Y轴前进步距, 粗加工1mm, 精加工0.1 mm)
G03X22.0Z0R11.0; (逆时针圆弧插补)
G01Y1.0; (Y轴前进步距, 粗加工1mm, 精加工0.1 mm)
G90; (改回绝对坐标方式)
M99; (返回主程序)
% (程序结束符)
3.3 R15×60 mm凹圆柱槽面铣削编程 (d)
主程序
% (程序开始符)
O0003; (主程序名)
T2M06; (刀具为φ8R4的球头铣刀)
G90G54G19G00X0Y0S2400 M03; (程序初始化)
G43Z100.0 H02; (2号刀具长度补偿)
X-26.0Y-29.0; (快速移动到入刀点)
Z20.0; (快速移动点定位)
G01Z8.0F300; (工进到Z8)
M98P103L26; (调用子程序O103, 调用次数26次)
G00Z100.0;
M05; (主轴停止)
M30; (程序结束并返回程序头)
% (程序结束符)
子程序
% (程序开始符)
O103; (子程序名)
G91G03Y-22.0Z0R11.0; (相对坐标方式, 逆时针圆弧插补)
G01X1.0; (Y轴前进步距粗加工1 m m, 精加工0.1 mm)
G02Y22.0Z0R11.0; (顺时针圆弧插补)
G01X1.0; (Y轴前进步距粗加工1 m m, 精加工0.1 mm)
G90; (改回绝对坐标方式)
M99; (返回主程序)
% (程序结束符)
4 总结
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