考研数学大纲线性代数重要知识点总结

考研数学大纲线性代数重要知识点总结（精选9篇）

考研数学大纲线性代数重要知识点总结篇1

20考研数学大纲与相比，没有任何变化。近5年的数学大纲保持稳定，相对应的真题的题型与难度也是比较稳定的。因此对于线性代数这门考试科目，建议广大学子抓住重点难点，把基础知识“点”串联成“面”，再配以典型题目构架成完善的知识“体”，这样才能做到在考研这一战场上于线代阵中将分数收入囊中而丝毫不费吹灰之力!

下面某教育机构陈老师结合最新的考研数学大纲，针对线性代数的重要知识点给大家做一下总结：

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式――具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式――矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立――印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系――齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的`。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容――既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵使其可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

本章知识要点如下：

1. 二次型及其矩阵表示。

2. 用正交变换化二次型为标准型。

3. 正负定二次型的判断与证明。

考研数学大纲线性代数重要知识点总结篇2

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考研数学大纲线性代数重要知识点总结篇3

第八章不定积分

1、基本公式

1x1c(1),(2)dxlnxc，(1)xdxx1axc,(4)exdxexc,(3)adxlnax(5)cosxdx(7)1sinxc,(6)sinxdx1cosxc，11dxtanxc,dxcotxc,(8)22cosxsinx(9)secxtanxdxsecxc,(10)cscxcotxdxcscxc,(11)(13)dx1x2arcsinxc,(12)

xarcsinc,aa2x2dxdx1x2arctanxc,(14)

dxxarctanc, a2x2a(15)secxdxlnsecxtanxc,(16)cscxdxlncscxcotxc,(17)dxx2a2lnxx2a2c,(18)

dx1xalnx2a22axac，(19)lnxdxx(lnx1)c。

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。

2、积分法

(1)公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。(2)第一换元法（是将一个关于x的函数换为一个变量）

若f(x)dxg((x))d((x))，而g(u)duG(u)c，则 f(x)dxG((x))c.看到应想到：cosxdxd(sinx), sinxdxd(cosx),dxd(tanx), cos2xdxdx11n12d(cotx),d()xdxd(x)。，22xnsinxx(3)第二换元法（将变量x换为一个函数）

令x(t)，若f((t))(t)dtF(t)c,则

f(x)dxF[1(x)]c.① 遇a2x2，令xasint，a2x2acost ② 遇a2x2，令xatant，a2x2acost

③ 遇x2a2，令xasect，x2a2atant。④ 遇含有mx,(4)分部积分

设G(x)为g(x)的一个原函数，则 nx的式子，m,n的最小公倍数为k，令xtk。

f(x)g(x)dx形如

f(x)G(x)f(x)G(x)dx。

karctxadn,xarcsxidnx，xlnxdx，xkexdx,cosxexdx，xsinxedx的积分必须用分部积分。注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。

(5)三角有理式的积分

①cosnxsinmxdx：“有奇换元一，无奇就降幂”。降幂公式：cos2x11(1cos2x)，sin2x(1cos2x)。22x2t2dt1t2sinx,dx,②万能替换ttan，此时cosx

22221t1t1t(6)有理函数及简单无理函数的积分

1遇ax2bxc或2，应先进行配方：

axbxcbb24acb2u，消掉一次项。

axbxca(x)，令x2a2a4a24acb2对axbxcau，根据情况利用三角换元进行计算。

4a2 第九章定积分

1、定积分定义

定义：设f(x)是定义在[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数，若对于任意的0，存在0，对于[a,b]的任意分法T以及其上选取的点集{i},只要T,就有

f()xii1niJ, 称函数f(x)在[a,b]上可积，J称为f(x)在[a,b]上的定积分，记为 2定积分计算

牛顿莱布尼兹公式：设F(x)为f(x)的一个原函数，则

baf(x)dx

baf(x)dxF(b)F(a).给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。

3定积分性质

(1)kf(x)dxkf(x)dx，aabb(2)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx, aaabbb(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx, aacbcb(4)baf(x)dxf(x)dx(ab), ab(5)f(x)g(x),f(x)dxg(x)dx.aabb(6)积分第一中值定理

若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点(a,b)，使得

baf(x)dxf()(ba)。

(7)推广的积分第一中值定理

若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则至少存在一点(a,b)，使得



baf(x)g(x)dxf()g(x)dx.ab3

4、变限积分(1)若f(x)连续，则

①(f(t)dx)f(x),②(f(t)dx)f(x)，axxb③(b(x)a(x)f(t)dt)f(b(x))b(x)f(a(x))a(x).几个重要积分结果：

(n1)！,n2k1nn（1）2sinxdx2cosxdxn！

00(n1)！,n2k.n！200（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx

（3）设f(x)是以T为周期的周期函数，则对于任意实数a，有

aaTf(x)dxf(x)dx

0T（4）若f(x)为奇函数，则

af(x)dx0。

（5）若f(x)为偶函数，则 aa

af(x)dx2f(x)dx

0a第十章

定积分应用

1、平面区域面积 ①在直角坐标系下

设区域由yf(x),yg(x),xa,xb,ab所围成 Sf(x)g(x)dx。

AB②曲线用参数方程表示

设区域由xx(t),yy(t),t，xx()，xx()，x轴所围成。Sy(t)x(t)dt.③ 曲线用极坐标表示

设区域由rr()，,，所围成。

1Sr()d。

2

2、截面积已知的体的体积

(1)设体在直线l上的投影区域为[a,b]，而过[a,b]上每一点做直线l的垂面去截体，所得截面积为A(x)，则该体的体积为

VA(x)dx

(2)旋转体的体积

由yf(x),axb绕x轴旋转一周后所得体的体积。

Vf2(x)dx

若曲线为参数方程：xx(t),yy(t),t绕x轴旋转一周后所得体的体积 Vy2(t)x(t)dt



3、平面曲线的弧长

(1)设曲线方程为：xx(t),yy(t),t，则弧长为 s

(2)设曲线方程为：yf(x),axb

sb[x(t)]2[y(t)]2dt。

a1[f(x)]2dx

(3)设曲线方程为：rr()，

s[r()]2[r()]2d

4、旋转体的侧面积

(1)旋转体是由曲线yf(x),axb绕x轴旋转一周所得

S2f(x)1f2(x)dx

(2)旋转体是由曲线xx(t),yy(t),t绕x轴旋转一周所得

S2y(t)[x(t)]2[y(t)]2dt

ab5、物理中的应用

(1)液体静压力

(2)引力

(3)做功注意书中的题和练习题。

第十一章反常积分

1、无穷积分

(1)无穷积分的定义

若limuauf(x)dx存在，称此极限值为f(x)在[a,)上的无穷积分，记作

af(x)dx

若极限不存在，称此积分发散。(2)无穷积分收敛的判别法定理1 无穷积分af(x)dx收敛的充要条件为：对于任意的0，存在M0，对于任意的u,uM，有

uuf(x)dx。

①非负函数的无穷积分收敛判别法

定理2 对于非负函数f(x),g(x)，若在任意区间[a,u]上可积，且f(x)g(x)。则

(i)若g(x)dx收敛，则aaf(x)dx收敛。f(x)dx发散。

(ii)若af(x)dx发散，则a定理3 若f(x)为非负函数，在任意区间[a,u]上可积，且

limxpf(x)，则有

x

(i)当0，p1时，

(ii)当0,p1时，②一般无穷积分的收敛判别法定理4 绝对收敛必收敛。定理5(阿贝尔判别法)若

(i)则aaaf(x)dx收敛，f(x)dx发散。

af(x)dx收敛，(ii)g(x)在[a,)单调有界，f(x)g(x)dx收敛。

u定理6(狄利克雷判别法)若

(i)F(u)f(x)dx有界，(ii)g(x)在[a,)单调趋向于零，a则af(x)g(x)dx收敛。

(3)重要例子 adx,a0,则p1时收敛，p1时发散。（应会证明）xpbdx，ba，则p1时收敛，p1时发散。（应会证明）

(xa)p2瑕积分

定义：若函数f(x)在x0点的任何邻域内无界，称x0为f(x)的瑕点。瑕点一般为函数没有意义的点，然后判断在此点极限是否为，若为则是瑕点，否则不是瑕点。

(1)定义：设f(x)在[a,b)上有定义，b为瑕点，在任何区间[a,u]上可积，若极限ubalimf(x)dx存在，称此极限为f(x)在[a,b]上的瑕积分，记作 u

baf(x)dx

b(2)瑕积分收敛判别法

定理1瑕积分f(x)dx（b为瑕点）收敛的充要条件为：对于任意的0，存a在acb，对于任意的cu,ub，有

uuf(x)dx。

非负函数的瑕积分收敛判别法

定理2 对于非负函数f(x),g(x)，若在任意区间[a,u]上可积，且f(x)g(x)。则

(i)若g(x)dx收敛，则f(x)dx收敛。

abba

(ii)若f(x)dx发散，则f(x)dx发散。

aabb定理3 若f(x)为非负函数，在任意区间[a,u]上可积，且

lim(bx)pf(x)，则有

x

(i)当0，p1时，f(x)dx收敛，ab

(ii)当0,p1时，f(x)dx发散。

ab一般无穷积分的收敛判别法定理4 绝对收敛必收敛。

定理5(阿贝尔判别法)若b为瑕点

(i)baf(x)dx收敛，(ii)g(x)在[a,b)单调有界，7 则f(x)g(x)dx收敛。

ab定理6(狄利克雷判别法)若

(i)当aub时，F(u)f(x)dx有界，(ii)g(x)当xb单调趋向于零，au则f(x)g(x)dx收敛。

ab(3)重要例子若a为瑕点，对于若b为瑕点，对于badx，p1时收敛，p1时发散。

(xa)pdx，p1时收敛，p1时发散。p(bx)ba

第十二章数项级数

1、数项级数的一般性质

定理1(柯西收敛准则)an收敛的充要条件为对任意的0,存在N,当nNn1时，对任意的自然数p，有

an1an2anp。

定理2 去掉、添加或改变一个级数的有限项所得的新级数与原级数有相同的敛散性。

推论1 若级数an收敛，则liman0。

n1n推论2若级数an收敛，则{an}有界。即存在M0,有

n1

anM,(n1,2,)

2、正项级数收敛判别法

定理3 正项级数收敛的充要条件为它的部分和数列有上界，即存在M0，有

a1a2anM，(n1,2,)定理4(比较原则)对于正项级数an,n1b,若存在Nnn10,当nN时有anbn，则

(i)当bn收敛时，an收敛，n1n1 8

(ii)当an发散时，bn发散。

n1n1定理5对于正项级数an,n1bn,若limn1bnl，则 nan

(i)当0l时，an与bn的敛散性相同，n1n

1(ii)当l0时，若an收敛时，则bn也收敛，n1n1

(iii)当l时，若an发散，则bn也发散。

n1n1定理6(比式判别法)对于正项级数an，若limn1an1l，则

nan

(i)若l1，则级数收敛，(ii)若l1，则级数发散，(iii)若l1，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断）。定理7(根式判别法)对于正项级数an，若limnanl，则

n1n

(i)若l1，则级数收敛，(ii)若l1，则级数发散，(iii)若l1，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断）。

注：判别正项级数的敛散性常用比式判别法或根式判别法，含阶乘（n!）常用比式方法；含数an常用根式方法；若既有n!又有an，常用比式方法。定理8(积分判别法)设f(x)在[1,)上非负递减，则f(n)与同的敛散性。

3、交错级数收敛判别法

定理9(莱布尼兹判别法)对于交错级数(1)n1un，若

n11f(x)dx具有相

(i)un1un,n1,2,，(ii)limun0

n则(1)n1un收敛。

n1

4、一般级数收敛判别法定理10 绝对收敛必收敛。

定理11(阿贝尔判别法)若

(i)an1n收敛，(ii){bn}单调有界，则anbn收敛。

n1定理12(狄利克雷判别法)若

(i)an1n的部分和序列{Sn}有界，(ii){bn}单调趋向于零，则anbn收敛。

n

15、重要级数的敛散性

(1)等比级数(几何级数)aqn，当q1时收敛，当q1时发散。

n1(2)P级数1，当p1时收敛，当p1时发散。pn1n

第十三章函数列与函数项级数

1、函数列

(1)基本概念：收敛点：

对于函数列f1(x),f2(x),f3(x),,fn(x),,若数列

f1(x0),f2(x0),f3(x0),,fn(x0),，收敛，称x0为函数列{fn(x)}的收敛点。收敛域：所有收敛点的集合称为收敛域。

极限函数：设收敛域为D，定义函数f(x)，定义域为ED。定义

f(x)limfn(x)，xE.n称f(x)为函数列{fn(x)}在E上的极限函数。注：在上式的极限中，x看作定值，n在变化。

一致收敛：设函数列{fn(x)}与f(x)在I上有定义，若对任意的0，存在N,当nN时，对于D中所有x均有

fn(x)f(x)，称{fn(x)}在I上一致收敛于f(x)。(2)一致收敛的判别法

定理1函数列{fn(x)}在I上一致收敛于f(x)的充要条件为

limsupfn(x)f(x)0。

nxI其中在supfn(x)f(x)中，n看作定值，x为变量。

xI注：(1)若fn(x)f(x)an，且liman0，则limsupfn(x)f(x)0，nnxD(2)若fn(x)f(x)的最大值为an(利用导数)，且liman0，则

nlimsupfn(x)f(x)0

nxI

(3)I未必是收敛域，它可能是收敛域的一个子区间。(3)一致收敛函数列的性质定理2 若

(i)fn(x)(n1,2,)在区间I上连续,(ii){fn(x)}在I上一致收敛于f(x), 则f(x)在I上连续。

定理3若(i)fn(x)(n1,2,)在区间[a,b]上连续,(ii){fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x), 则f(x)在[a,b]上可积，且

baf(x)dxlimfn(x)dx，即limfn(x)dxlimfn(x)dx。

naannabbb定理4 若

(i){fn(x)}在区间I上有一个收敛点，

(ii)fn(x)(n1,2,)z在I上连续，

(iii){fn(x)}在I上一致收敛。

则{fn(x)}的极限函数在I上可导，且f(x)limfn(x)。

n2函数项级数(1)基本概念，11 对于函数项级数un(x)，若un(x0)收敛，称x0为un(x)的收敛点。

n0n0n0所有收敛点的集合称为收敛域。

和函数：设Sn(x)uk(x)，若Sn(x)的极限函数为S(x)，称S(x)为un(x)的k1n0n和函数

(2)一致收敛的判别法

定理5设Sn(x)uk(x)，函数项级数un(x)在数集I上一致收敛于S(x)的k1n0n充要条件为

limsupSn(x)S(x)0

nxI定理6(M判别法或优级数判别法)对于函数项级数un(x)，若在I上

n0(i)un(x)Mn,n1,2,，(ii)Mn收敛。

n1则un(x)在I上一致收敛。

n0注：此定理非常重要，对于一般函数项级数应首先看是否可用此定理。

定理7(阿贝尔判别法)设(i)un0n(x)在I上一致收敛

(ii)对于给定的x，{vn(x)}(x看作定值，n为变量)单调，(iii){vn(x)}在I上一致有界，即存在M0,对所有xI及自然数n，有

vn(x)M.则un(x)vn(x)在I上一致收敛。

n0定理8(狄利克雷判别法)设(i)Sn(x)un(x)在I上一致有界

n0n(ii)对于给定的x，{vn(x)}(x看作定值，n为变量)单调，(iii){vn(x)}在I上一致收敛于0，则un(x)vn(x)在I上一致收敛。

n0(3)一致收敛的函数项级数的性质定理9 若

(i)un(x),n1,2,,在I上连续，(ii)

un0n(x)在I上一致收敛于S(x)，则S(x)在I上连续，于是对于任意x0I有

limun(x)limun(x)un(x0).n0n0xx0n0xx0定理10若

(i)un(x),n1,2,,在[a,b]上连续，(ii)则S(x)在[a,b]上可积，且

un0n(x)在[a,b]上一致收敛于S(x)，定理11 若

ba[un(x)]dxun(x)dx.n0n0ab(i)un(x)在I上有收敛点，n0(x),n1,2,,在I上连续，(ii)un(iii)u(x)在I上一致收敛，nn0(x)则un(x)的和函数在I上可导，且[un(x)]unn0n0n0第十四章幂级数

1、幂级数的收敛半径求法

(1)对于幂级数anxn，若{an}中只有有限项为0。

n0a

limn1l，或limnanl，nann 13 1l,0l,则收敛半径R0,l，,l0.(2)若{an}中有无限项为0，设级数中的第n项(不是xn项)为un(x)，limun1(x)(x)，或limnun(x)(x)，nnu(x)n解不等式(x)1，所得的解集区间就是收敛区间，区间长的一半就是收敛半径。

2、幂级数的性质定理1(阿贝尔定理)

(i)若幂级数anxn在x10处收敛，则此级数在(x1,x1)内每一点绝对收敛。

n0(ii)若幂级数anxn在x2处发散，则此级数在(,x2)(x2,)处处发散。

n0定理2幂级数在收敛域内内闭一致收敛。定理3

(1)幂级数的和函数在收敛域上连续,(2)幂级数的和函数在收敛域内的任意闭区间上可积，且可逐项积分，即对收敛域内的闭区间[a,b]或[a,x]，有

baS(t)dtantdt，S(t)dtantndt。

nn0aan0abxx(3)幂级数的和函数在收敛区间上有任意阶导数，且

S(k)(x)(anxn)(k)。

n0定理4 幂级数经逐项积分和逐项求导后所得的新级数与原来的级数有相同的收敛半径，但收敛域未必相同。即下列三个级数的收敛半径相同。

a0a1xa2x2anxn

(1)a12a2xnanxn1

(2)a0xaa12a23xxnxn1

(3)23n

13、函数的幂级数展式六个基本展式

xnx2xn(i)e1x

xR

2!n!n0n!x(1)nx2nx2x4x6(1)nx2n(ii)cosx1

xR

(2n)!2!4!6!(2n)!n0(1)nx2n1x3x7x7(1)nx2n1(iii)sinxx

xR

3!5!7!(2n1)!n1(2n1)!x2x3x4(1)n1nx

x(1,1](iv)ln(1x)x234n(v)(1x)1x(vi)(1)2!x2(1)(n1)n!xn

11xx2xn

x(1,1)1x11xx2x3(1)nxn

x(1,1)(vii)1x4、求和函数的方法

(1)若级数中不含阶乘(n!),可利用逐项积分或逐项求导，除掉系数中的n，利用公式(vi)或(vii),求得和函数。

注：若n在分母用导数，n在分子用积分，有时需级数中乘以x,x2等，有时需级数中除以x,x2，以便利用公式。

(2)若级数中含阶乘(n!), 除了利用逐项积分或逐项求导将多余的n去掉后，要利用公式(i),(ii),(iii),(v)求得和函数。

注：若级数中仅含奇次幂，向sinx靠，若级数中仅含偶次幂，向cosx靠，若奇、偶次幂都有且系数全为正或正、负相间，向ex靠，否则考虑(1x)。

第十五章傅里叶级数

1、傅里叶展式的收敛情况：

连续点除收敛于被展函数f(x)，间断点处收敛于该点函数左、右极限的平均值。

2、以2为周期的函数f(x)的展式形状及系数计算公式

a0形状：

f(x)~(ancosnxbnsinnx)

2n1 15 系数计算公式：a0

an

bn11f(x)dx，或a011202f(x)dx，f(x)cosnxdx f(x)sinnxdx

f(x)cosnxdx

或anf(x)sinnxdx

或bn102

3、以2l为周期的函数的展式形状及系数计算公式

10a0nxnx形状：

f(x)~(ancosbnsin)

2n1ll系数计算公式：a1l0llf(x)dx，a1lnxnllf(x)cosldx，bn1lllf(x)sincosnxldx。

4、奇、偶函数傅里叶展式的特点

(1)奇函数

系数：a2lnxn0，bnl0f(x)sinldx，展式：bnxnsinl n1

(2)偶函数

系数：b0，a2lnxnnl0f(x)cosldx，展式：a0n2axncos

n1l5、将半个周期[0,l]上的函数展为傅里叶级数(1)若要求展为正弦级数

系数：a0，b2lnxnnl0f(x)sinldx，展式：bnxnsinn1l(2)若展为余弦级数

系数：b2lnxn0，anl0f(x)cosldx，展式：a02anxncos

n1l 16

6、贝赛尔不等式

若f(x)在[,]上可积，则

2a0122

(anbn)f2(x)dx

2n12a022可知级数(anbn)收敛，从而liman0,limbn0，nn2n1从而得到黎曼-勒贝格定理：若f(x)在[,]上可积，则

limf(x)cosnxdx0，limf(x)sinnxdx0

考研数学大纲线性代数重要知识点总结篇4

因式分解

1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a-b）；

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式 

分式

Apq22”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果B

中含有字母，式子B 叫做分式.整式有理式分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；

（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即

分子分母

分子分母

分子分母



分子分母

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac,bdbd7．分式的乘除法法则：





adad

bcbc

.aa

n.（n为正整数）

8．分式的乘方：b

.9．负整指数计算法则：

（1）公式： a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a

（3）公式：b

n

ba

nm，b



mn；

（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.a

abc

adbd

bcbd

adbcbd

12．同分母与异分母的分式加减法法则：

;

.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0，0.6．两个重要公式：（1）a

和

.注意：

可以看作是一个数，a

.注意：0的算术

≥0.注意：非负数之和为0，说明它们都是

a

;(a≥0)

（2）

(a0)a

a

a(a0)

.7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；

；即把a开三次方.（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：

aa

.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.

有理数实数



无理数12．实数的分类：（1）

正有理数

0

负有理数



有限小数与无限循环小

数

正无理数无限不循环小数负无理数

（2）

.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：21.414

52.236.31.732

正实数

实数0

考研大纲考研攻略-数学篇篇5

全国硕士研究生入学统一考试，大纲已经正式发布，各机构也纷纷进行了各科大纲的解读，相信大家对今年的考研已经有了一个初步的认知，然，考研是一个长期的过程，同学们在此之间可能会备受煎熬，因此熟知一套科学的考研方案显得尤为重要。关于考研，首先要了解的是报考条件、考试科目及相关政策。对于大部分的同学来说，只要是本科生，基本都符合报考条件，相关的政策也只是浏览一下，除非国家有重大的调整，基本上每年都一样，这个大家都不必要担心。重要的是每个人必须知道自己报考专业，报考学校的初试考试科目，根据自己擅长的科目，选择适合自己的学校和专业。比如有的同学数学学习比较好，那就适合报考一些工科的专业，比如机械制造类，工程制药类，但对于数学不好的同学来说，就可以选择一些理科或者文科类的专业。考研可以说给我们提供了最大的便利条件，我们终于可以自己当家作主一次了，但是同学们在选择的时候一定要多花点心思多综合的评价一下自己，适合自己的才是最好的。

关于要不要报考辅导班的问题，我觉得每个人都有自己的想法，在这里我提醒大家一句，如果你觉得自己的自制力很好，你是真的想考研，每天都能按部就班的学习，你可以不报辅导班。如果你觉得自己的自制力较差，底子由不是太好的话，我建议你报考一个，现在考研培训学校泛滥，如何选择一个好的培训学校对您的前途有着莫大的帮助。那么什么才算是一个比较好的辅导机构呢，我建议同学们报班的时候注意以下几点：

1.要看清该学校的办学许可证

有关专家提醒，选择辅导班时应该要求查看培训机构的社会力量办学许可证。要看清楚许可证上规定的办学地点。如果辅导班打着大学的`名义，一般办学地点都设在学校内。当然也有的辅导班因为各种原因在学校外办学，那么应该出示当地教委社教办临时设点的证明文件。另外，许可证上的办学范围也要看清楚。有的培训机构只能做会计类或者职称类培训，也开办考研培训，这也属于违规办学。办学许可范围里一定要有考研培训的字样方可报名。

2.“命题专家”授课不可信

有的考研机构声称请来的老师都是考研的命题老师，这是不可信的。按规定凡是参加考研命题的老师都不能参加考试辅导。另外，学生不要盲目崇拜名校老师，很多时候名校的老师名气和考研辅导水平没有必然联系。有的高校名师不一定比中学高中的优秀教师更对学生考试胃口。

3.有关退费问题要弄清楚

目前市场上考研班众多，不好区分真假好坏。但有几条可以作为参考。多种收费形式，报名费、课时费、资料费在报名的时候都要问清楚。按照规定，没开课之前任何辅导班都应该无条件退费，有的辅导班报名时有报名费可不退回，但培训费应该退还。开课一周后，可扣除课时费部分后退费。学生在交费时应该注意拿到的收费单据应该是正式发票。

4.老师有没有考研辅导经验

选择辅导班第一要看师资。辅导老师要有教学经验，责任心强。这里的教学经验是指有考研辅导经验，而不是大学授课的经验。毕竟有考研辅导经验的老师熟悉考研命题，了解考研考生的常见问题，他们的指导最有针对性。

在复习的过程中，我们要好好的利用网络资源，在科学技术发展日新月异的今天，网络以其灵活便捷的特点和高度的互动性成为实现互动双向交流的代表性媒体，面对网络，我们可以下载许多资料，尽量少花些时间在其他的方面，比如校内，qq等，如何利用好网络资源，对我们考研成功至关重要。

在考研的过程中有下面几个建议，希望能够帮助到大家。

关于专业课因为大家学的专业课不一样，学校出题方式不一样，所以差别很大。我就以我学的工科为例说一下吧，首先对你考的学校出的题要了解，有些学校题每年都有大量的重复，高达80%以上也是有的，而有的学校出题年年不重。但是专业课的历年真题还是要搞到的。对其出题的大致方向要有一定的了解。专业课的复习我的建议是先不要看真题，先把要考的所有内容仔仔细细的看一遍，然后再做真题，再看课本，沿着真题的出题方向慢慢蔓延，对真题一定要做系统的总结。找一个本本把真和真题中相关的题记下来，再总结一下感觉很重要的东西。到最后你会发现，要考的内容就那么点，完全超不过本子上的东西。复习起来很轻松，就为公共课剩下了大量的时间。

关于具体时间安排也许大家都有考研班给的全年安排计划表，我可以郑重的告诉大家，没有几个人能按照辅导班的时间表走下来，辅导班计划前提是你的所有基础都打好了，不用花费很多时间来看基础的东西、忘记的东西。辅导班的计划是面对大众的，考研时自己的事情，每个人心中应该有自己的计划表。而且很多人都是从暑假将近结束时才开始准备考研了，有些人甚至连本考研英语单词都没有。所以考研前一定要想好没段时间该做些什么事情。

考研数学线性代数复习指南篇6

2014年研究生备考的硝烟正在弥漫，另一场战役已经打响。在考研数学的三门课里，线性代数这门课的特点又是什么呢?线性代数这门课对考生的抽象能力的要求特别的高，大纲要求主要考查的有抽象行列式的计算，抽象矩阵求逆，抽象矩阵求秩，抽象行列式求特征值与特征向量，这四种抽象题型是考研线性代数每年常出题型，占有很大比重，要求同学们有较高的综合能力。

线性代数的前后知识的连续性强完全是由它自身的知识体系和逻辑推理方式来决定的，很多同学也都说线性代数的公式概念结论特别的多，前后联系特别的紧密，在做一个题时，如果有一个公式或者结论不知道，后面的过程就无法做下去，其实这也符合考研大纲的要求的考生运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。如果和高等数学做个比较，我们把高等数学看作是一个连续性的推理过程，线性代数就是一个跳跃性的推理过程，在做题时表现的会很明显。同学们在做高等数学的题时，从第一步到第二步到第三步在数学式子上一个一个等下去很清晰，但是同学们在做线性代数的题目时从第一步到第二步到第三步经常在数学式子上看不出来，比如行列式的计算，从第几行(或列)加到哪行(列)很多时候很难一下子看出来。针对上述特点，数学教研室陈老师给出线性代数的各章节重要知识点具体复习建议，希望同学们的复习能够有的放矢。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式――具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的.判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式――矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立――印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

本章知识要点如下：

1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。

本章核心要点如下：

1.用正交变换化二次型为标准型。

07年考研数学试题(线性代数) 篇7

选择题（每小题4分）

2111.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A121，112

100，则A与B（）B010000

（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；

（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；

2.（07020904、07030704、07040704）设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

（A）12,23,31 ；（B）12,23,31；

（C）122,223,321 ；（D）122,223,321.二、填空题（每小题4分）

003.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A00

秩为.三、解答题 1000010000，则 A3 的10

x1x2x304.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组x12x2ax30①

2x14x2ax30

与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为 λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量1(1,1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 T

分析大纲搞定考研数学篇8

今年的数学考研大纲跟去年对比可以从三个方面进行解读：

第一，试卷的内容。今年的考试大纲依然保持了数学一和数学三在高等数学占比是56%。线性代数和概率各占22%。数学二，依然是高等数学占了78%，线性代数占了22%。从试卷内容的结构上，跟往年来比没有任何变化。

第二，试卷的题型结构。试卷的题型结构保持了三种提醒。第一种题型是选择题。第二种题型是填空题。第三种题型是解答题。题型的比例依然是保持了8、6、9的分布，有8个选择、6个填空、9个大题。分值和题型的结构跟往前是保持一致的。最主要的一块是考点和考试要求，我们把今年的考试大纲和往年的考试大纲进行了认真的对比，结果发现无论是考点和考试要求上都与去年没有任何变化。对于广大考生来说这也是一个比较好的消息。我们广大考生对自己的数学复习不需要做任何调整，按部就班进行后续的复习就可以了。

20考研数学的难度，首先要看近几年数学考研难度的变化，和考研数学的难度是基本保持一致的。对于数学一、数学二和数学三都是这样一种情况。到了，数学一的难度稍微有所上升，数学二和数学三保持了平稳的难度。就刚过去的来讲，20数学一和数学二、数学三的难度都略有微调，从大家的平均分可以看出来，从去年的考试分数来看一、二、三的平均分较往年有所上升。预计今年与往年相比，尤其与去年相比，年的考研难度可能会有所上升，但是总体的难度是保持平稳发展的，难度适中。广大考生也不用担心考试变难如何应对，实际上我们考研命题组一直是本着对“三基”的一个基本要求。也就是注重对基本概念和性质，基本方法和基本能力的考查。在9月份大纲出来之后，我们考研数学的复习由基础复习向强化提高复习过渡。9月份之前，大家更关注的是全面地毯式的复习。到了9月份之后，一定要由全面的复习向重点复习进行过渡。下面我就考研数学的三科，高等数学、线性代数和概率论三部分内容在每一章节的考试或者考查重点跟大家说一下。

首先，高等数学。一是函数极限部分，求极限是一个基本题型，也是一个基本的运算能力。广大网友一定要对它的基本方法和运算思路理解到位。第一章当中除了求极限之外，还有无穷小的比较，等价无穷小这样一个概念，以及无穷小的阶的比较都是往年考查的重点，也希望大家在复习当中予以关注。另外，关于间断点类型的判断，这块出题也是比较频繁的，大家在复习当中要引起重视。

二是一元函数的微分学。大家一定要注意导数的定义，对它有一个正确的理解，包括导数概念的一些充要条件要清楚。提醒大家一定要注意关于复合函数求导和隐函数求导的一个应用。在一原函数微分学当中还有导数的应用，这是一个比较大的内容，函数的单调性、凹凸性以及方程根的应用都会在这块内容当中出题，这是一个难点。

课本上还有关于微分中值定理的部分，大家比较担心它会不会出证明题，证明题一直是大家的一个难点，实际上大家没有必要有这样的担心。我们今年的考试大纲分析当中明确了这样一个特点，对于微分学当中比较重要的定理，像微分中值定理隐函数存在定理，这些定理注重对基本内容、基本性质，以及使用方法的考查。我们对于证明题这块，只要求大家掌握常见的解题思路就可以了。

还有一元函数的积分学，大家注意一下变上限积分，它的连续性、可导性、奇偶性、周期性都是我们考查的重点。变上限积分函数跟微分方程结合的一个点也可以出题的。还有定积分的应用，平面当中求面积，求旋转体的体积，一定要熟悉。

多元函数的微积分学。微分学要重点掌握多元函数连续，多元函数偏导数存在以及偏导数存在以及可微这三者之间的关系。另外，计算一定要掌握多元复合函数求导和多元隐函数求导。积分学当中数二和数三的`同学，重点非常单一了，我们要掌握二重积分的计算，包括二重积分的基本计算，选择合适的坐标系，选择合适的积分次序，以及进行必要的简化计算等等，这些都是我们的基本运算。这一部分一定要非常熟练。

对于数一的同学，还多了一块三重积分和曲线积分、曲面积分，我们数一的同学一定要更多关注二型曲线积分和二型曲面积分的计算，它跟格林公式结合都是可以出大题的。另外曲线积分与路径无关的条件，也是考查的一个重点。这是多元函数微积分学的重点。

还有微分方程，除了要求大家掌握大纲上关于常见的几类微分方程的求解方法之外，提醒大家还要注意微分方程的一些综合题。比如前面提到的微分方程和变上限积分函数相结合，和多元函数的微分学和积分学都可以结合，对这块大家要格外注意一下。

微分方程数三多了一个差分方程，数一多了一个欧拉方程。它不是我们的考查重点，大家只需要了解它的一般解法就可以了。数一和数三的还有无穷级数，我们主要把精力放在两方面：一是常数项级数敛散性的判定，要知道一般的解题思路。二是对于幂级数的收敛域、幂级数的收敛区间、幂级数求和与展开。

以上是关于高数整个几章分布下来的一些重点，希望大家在自己的复习过程当中，抓住全面的同时要突出重点。

接下来看线性代数，线性代数在考研数学当中占比22%，对于这块的考查，大多数同学都存在一个入门的问题，认为线性代数非常难学，这可能跟我们对于高等数学接触一直比较多有关系。线性代数是一门全新的学科，从研究对象和处理方法上是比较新颖的一点。但只要我们抓住了线性代数的特点，突破它还是比较简单的。

看一下这一门大家需要关注的重点在哪些方面：第一章是矩阵。大家一定要注意矩阵的求解。还有行列式，不管是字母的行列式，还是数字的行列式。第二是向量的线性相关和向量的线性无关。向量组的秩等等概念都是比较突出的。第三关于线性方程组的讨论，在这儿我提示大家关注含有未知参数的方程组的讨论，在往年当中这种题型是比较常考的。第四是特征值和特征向量，以及矩阵的对角化问题，这些都有常规的解题思路。最后是关于二次型，关注一下正定二次型的判定。

除此之外，提醒大家注意一点，线性代数有比较强的连贯性，知识点比较多，涉及到的概念也比较多，但是各知识点和概念之间并不是孤立存在的，它是相互联系的。基于这样一个特点，大家一定要养成总结的好习惯，尤其是在后期一定注意多总结，最后在自己的脑海中形成关于所有知识点的一个知识性的框架，把所有的知识点连接成网。对于线性代数坚持了这样一个比较好的学习习惯，后期成绩提高是非常有帮助的。

最后是关于概率论与数理统计。这是数一和数三的考查科目。概率的概念和性质，要求大家熟悉常见的一些公式，加法公式、乘法公式等等，这些公式的应用一定要非常熟练。关于古典概型和几何概型，只要大家掌握到中等难度的题就可以了。第二，随机变量的分布，这是难点。主要是对于随机变量函数分布的一个考查，我们介绍了两种方法，一个是分布函数法，一个是公式法，分布函数法要求大家都要掌握。公式法应用起来比较便捷，但是也有一些局限性。关于多维随机变量的函数，这是一个考查重点和难点，还要注意随机变量的函数，尤其是和函数和最值函数，最大最小值函数的分布具有什么样的特点。

随机变量的数字特征是我们概率当中重点考查的一块，希望大家熟悉一些常见的概率分布的数字特征，这时候在考场上可以提高我们的解题速度。在我们考卷上还表现出一个特点，对于数字特征考查这一块，往往是一个结合点，它结合随机变量函数以及后面的概率统计，对于相关的一些题型大家可以进行复习。

统计部分。统计部分可以出大题的地方关于参数估计，两种估计方法矩估计和最大似然估计法，它的一般解题思路和步骤是什么样的。关于数一的提醒大家注意，参数估计这一块，可能会结合估计量的评选标准，比如说有效性和无偏性可能结合起来考查。