等比数列的教学反思
（1）以学生为主体
爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。这节课，通过创设了一系列的问题情景，边展示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维参与和行为参与，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。激励的语言、轻松愉悦的氛围、民主的教学方式，使学生品尝到类比成功的欢愉。
（2）巧设情景，倡导自主探索、合作交流的学习方式
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下，不断经历感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，体验等比数列前n项和公式的“在创造”过程，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。
1掌握等差数列概念,能判断一个数列是否为等差数列;
2理解通项公式的推导过程及累加的数学思想,会求等差数列通项公式;
3探索活动中培养学生观察、分析的 能力,培养学生由特殊到一般的归纳能力.领会函数与数列的关系,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力.
二、教学重点与难点
重点:等差数列通项公式的推导过程及应用.
难点:1体会等差 数列通项 推导中蕴 含的数学 思想;2体会等差数列通项公式与一次函数的关系.
三、教学过程
(一)情境设计
1.观察分析
1从1开始,每隔3数一次,可以得到数列:1,4,____,____,____,____…
2第23届到第28届奥运会 举行的年 份为:1984,1988,1992,1996,2000,2004.
3规定银行支付存款利息的方式为单利,本利和的公式:本利和=本金×(1+利率×存期).
本利和组成 了数列:10072,10144,10216,10288,10360.
学生活动:观察分析,发表看法.
设计目的:引向课题.
2.发现规律
观察这些数列.
1,4,7,10,13,……①
1984,1988,1992,1996,2000,2004②
10072,10144,10216,10288,10360③
这些数列有何共同特点呢?
学生活动:观察分析.
1从第二项起,每一项与前一项的差都等于3;
2从第二项起,每一项与前一项的差都等于4;
3从第二项 起,每一项与 前一项的 差都等于72.
设计目的:通过分析,激发生探究新知识的兴趣,引导学生归纳等差数列的共性特点.
3.总结提高
等差数列:一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.
学生活动:理解概念,划出关键点.
设计目的:提高学生的阅读能力和 概括能力,学会抓概念的重点.
4.问题设计
在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,则A应满足什么条件?
学生活动:生答:由:A-a=b-A,
所以A=a+b/2.
设计目的:让学生参与到知识的形成过程中.
5.总结提高
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.其中A=a+b/2.
数列:1,4,7,10,13…中7是4和10的等差中项,也是1和13的等差中项.
则a1+a5=a2+a4=2a3.
归纳:若m+n=p+q则am+an=ap+aq.
学生活动:深入探究,得到更一般化的结论.
设计目的:深入的探究,提高生的学习水平.
6.问题设计.
(1)通过数列{an}的第n项与an序号n之间的关系去写出上述三个引例的通项公式?
(2)一个等差数列的首项a1和公差d,求数列的通项公式?
学生活动:写出通项公式.1an=3n-2;2an=4n+1980;3an=10072+72(n-1).归纳:a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,…,an=a1+(n-1)d.
设计目的:找出规律,加以归纳.引导分析 与推导,体会累加的思想.
学生活动:让学生对这两题加以分析.
设计目的:促使学生参与课堂.通过点评,提高学生对关键问题的认知水平.
【例1】数列{an}的通项公式为an=pn+q(p、q为常数,且p≠0),则该数列一定是等差数列吗?分析:判定{an}是不是等差数列,利用等差 数列的定 义.等差数列的首项与公差分别是多少?
学生活动:分析思考,分组讨论.an-an-1=pn+q(pn-p+q)=p它是一个与n无关的数.∴{an}是等差数列.首项a1=p+q,公差d=p.形如an=pn+q的数列,一定是等差数列,公差是p,首项是p+q.
设计目的:培养学生分析问题的能 力.让学生对 结论进行深入的探究,激发学生的学习兴趣.
7.总结提高
等差数列{an}通项公式为an=a1+(n-1)d.
(二)应用巩固
【例2】(1)求等差数列10,6,2,…第20项.
(2)100是不是等差数列2,9,16,…的项?若是,是第几项?
【例3】(1)画数列图像.
(2)画函数图像.
(3)归纳等差数列与一次函数图像间的联系.
学生活动:动手画图.
设计目的:体会数列与函数的内在关系.
(三)课堂小结
1定义:即an-an-1=d(n≥2).
2通项公式:an=a1+(n-1)d(n≥1)推导出公 式an=am+(n-m)d.
学生活动:在学习小组中,各自归纳 对这堂课 的收获,由代表总结归纳.
设计目的:自己小结,使学生对自己 所学知识 有更深刻的认识.
四、教学反思
本节课的设计紧凑、重难点突出、简洁明了、讲解全面、数学思想涵盖 其中.如,让学生画 出等差数 列的图像,从形的角度,感受数列与函数的联系,体现了数形结合的思想;将等差数 列的通项 公式与一 次函数联 系起来,体现了方程与函数的思想;用方程的思想指导等差数列基本量的运算等.学生在学习的过程中,加深了对概念的理解和巩固.
授课过程采用的是“引导发现式”的模式,以教师提出问题、学生探究为途径,以教师的补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率.教学手段和教学方法的选择合理有效,体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动,勇于探索的学习方式”.
摘要：等差数列是数学教学的重要内容.等差数列的教学设计非常重要,以“等差数列”一课为例对其教学流程进行设计并反思.
一、类比中建构概念
中职数学教材折纸用游戏来引入等比数列，教师可以结合专业实例，如病毒传播、复利支付等来使引入更加形象。从事例的组织方式来看，教材通过归纳的方法来建构等比数列概念。可以开辟一个新的视角——类比视角，即把每一个事例中存在的规律推广到未知的数列中。由“一尺之棰，日取其半”得到一列数：1、1/2、1/4、1/8……分析各项之间的关系，则有从第2项起，每一项与其前一项之比均为1/2，那么第n项应为(1/2)(n-1)。通过类比可以得到这样一类数列：第1项为a1，从第2项起，每一项与其前一项之比均为q，第n项应为a1q(n-1)。由此可见，通过归纳或类比均可建构等比数列的概念，但两条途径之间既有联系又有区别。
等比数列的学习是在等差数列的基础上进行的，因此对等比数列的相关概念（定义、等比数列、公比）可以类比等差数列的相关概念（定义、等差数列、公差）进行学习，从而顺利建构等比数列及等比中项的概念，通过大胆预测并小心求证等比中项与前后项的关系、通项公式等，并认识等比数列与等差数列的差异性：和差关系与积商关系。
二、类比中探索规律
中职教材对数列的要求较低，但是对于数学基础较好的学生，教师可以指导他们研究数列的性质，在等差数列的基础上学习等比数列的性质，可以驾轻就熟地运用类比的方法，从等差数列的性质预测等比数列的性质并进行证明，认识等比数列与等差数列相似性和差异性，培养学生对具体问题的解决能力。如由“若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al=am+an”类比学习“若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则akal=aman”，等等。
但应注意的是，通过类比所得的结论不一定可靠，需要在预测之后的求证过程中进行修正。这样，既用类比开阔视野，重视思维的发散性，同时又不迷信类比，关注思维的严谨性。
三、类比中解决问题
数列与函数存在着密切的联系，如等差数列与一次函数，等比数列与指数函数。认识等差数列与一次函数的关系主要有两种途径：公式法和图像法。an=a1+(n-1)d类似于一次函数y=a1+(x-1)d，根据等差数列在直角坐标系中作图也可以认识等差数列与一次函数的关系。因此在学习等比数列与指数函数的关系时同样可以类比地使用这两种方法，如an=a1qn-1类似于指数函数y=a1qx-1，而图像则可以直观呈现等比数列与指数函数间的联系和区别。
等差数列前n项和推导时采用了“高斯算法”，而等比数列前n项和的推导则采用了“错位相减法”，这些方法对于学生来说是难以理解的，教师也可以采用类比的方法，解决相应的问题。现以等差数列前n项和推导的“高斯算法”加以说明。
这一问题本身并不难，在学生利用了计数法、累计法之后，教师需要引导学生思考通过变换图形找到更为简便的高斯算法。在这一实际问题解决之后，然后引导学生思考：对于一般的等差数列{an}（公差为d）前n项和Sn为多少？由于有了上述实际问题的解决方法，学生也会尝试将这一方法运用到一般问题的解决中，于是就有：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2。通过设置一个简单的实际问题，为学生解决等差数列前n项和Sn的“高斯算法”创造了方法上的类比参照，为学生思考问题、解决问题打开了思维的通道。
四、实践中反思类比
类比可以在两个事物在形式上或实质上建立起密切的联系，还可以在两个过程在思维上和方法上融会贯通。其实，我国在很早以前就有“触类旁通”、“举一反三”的成语，言简意赅，完备而深刻地说明了类比在认识中的重大作用。
科学史上，卢瑟福的“行星模型”、惠更斯的“波动说”、德布罗意的“波粒二象性”、狄拉克的“正电子”、达尔文的“自然选择”、欧姆定律、细胞学说等都有类比方法的汗马功劳。在数学史上具有历史意义的例子就是瑞典数学家哈德·欧拉（Leonhard Euler）通过类比成功地解决了瑞典数学家雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）所没有解决的“求所有自然数平方的倒数之和，即1+1/4+1/9+1/16+1/25+…的和”，并且用同样的方法发现了莱布尼茨（Leibniz）级数的和，即1－1/3－1/5－1/7－1/9－…=π/4。
《高中數学课程标准》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号标示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。”在教学建议中还阐释了类比的功能：“通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”在内容标准中详细阐述了类比的应用：“归纳、类比是合情推理常用的思维方法”，并要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。”“空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算有平面向空间推广的过程。”“在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何与球面几何等非欧几何模型的差异。”并以平面上的圆与空间中的球的类比进行示范：由圆的切线、弦、周长、面积分别类比学习球的切面、截面圆、表面积、体积；由圆的性质如“圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦”类比学习球的性质“球心与截面圆（不经过圆心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面圆”。
但是，世界上至善尽美的东西是不存在的，创造性有余而可靠性不足正是类比二重性的表现。也就是说，类比方法所得出的结论具有或然性。类比是一种从特殊到特殊的推理，是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似而推断出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑方法。事物之间具有相同点或相似点，这使类比成为可能；但事物之间必有差异，这就使类比的结论带有或然性。因此，在充分估价类比的开拓、创新作用的同时，必须保持清新的头脑，认识到类比的天生不足，做到依靠它又不迷信它，不把它绝对化，巧妙地配之以其他的科学方法，从而使思想更加符合客观实际。
参考文献：
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[2]人民教育出版社课程教材研究所职业教育课程教材研究开发中心.三年制中等职业教育文化基础课程教学用书·数学(必修)上册[M].北京:人民教育出版社,2005.
[3]黄金南等.科学发现与科学方法[M].武汉:华中工学院出版社,1983.
[4]教育部.高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
教学中我首先考虑的是如何充分调动学生的主动性与积极性，通过引导他们开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的.活动，学生初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，从而产生学习数学的愿望和兴趣。
其次，为学生创设一连串能真正激起学生进行自我探究与发现问题的情境，如结合百数表、数射线探究：有什么好办法很快找到一个数的相邻数?你是怎样找与一个数相邻的整十数的?使他们积极主动地去思考。同时，注重开发书上的例题与习题的功能，结合学生已有的生活经验，让他们在创造的活动中学数学，培养学生各方面的思维能力，让不同的学生在学习上有了不同的发展。
我觉得数学认知结构的完善和再发展也是学生数学学习的一个重要组成部分。本节课的教学过程，打破了传统教学中新旧知识的界限，注重了一个整体：新知的探究与旧知的回顾及整理一起，让学生从整体上把握知识的脉络，如教学的重点(通过+1、—1得到一个数的邻数)结合百数表的知识得以把握;教学的难点(如何使一个数回到整十数和进到整十数)通过对数射线知识的巩固得以突破，促进了学生认知的再发展，建构了数学的知识结构，更为后继两位数加减一位数的学习奠定基础。
我将从以下几个方面进行反思：
(一)对课前备课的反思
教学反思不仅仅只是针对课堂教学实际的反思，也应该包括对备课、教案进行反思。在备课过程中，教学设计前后共修改了4次，最后形成完整的一节课的设计。为什么反复修改了4次之多，其中有几个很关键的地方值得一提。
首先，是备学生。我所教的是文科普通班，入班前的数学平均分仅为44分，在第一次测验中平均分还不到60分，学生的基础知识薄弱，基本的分析问题、解决问题的能力欠缺、对于数学的悟性和理解能力都有待提高。因此在选择教学内容上就考虑到了学生现有的认知水平。
其次，课程内容的选择。内容是数列的求和是现阶段学习数列部分一项很重要的内容，在高考题中经常出现。等到高三复习时再讲还是在高一阶段就慢慢渗透给学生还是值得商榷的。我认为高中数学的学习应该是螺旋上升的，而不是直线型。在高一阶段学生能够掌握的知识是要渗透给学生，学生经历过的，形成一定的经验，到了高三复习阶段就能唤醒这些经验和记忆。关于数列的求和的方法有很多，常见的如倒序相加法、并项法、拆项法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。在本节课主要介绍了并项法和分组求和法，其目的是让学生先有一个经验，就是能够认识到一些非等差、等比数列都能转化为等差、等比数列后再分别求和。这样对后继学习裂项相消法、错位相减法做一些铺垫。
第三，教学呈现方式的定位。这是很关键的环节，直接影响到本节课的成败。本节课设计上一个难点就是如何设计例题。不能求全而脱离学生实际，也不能一味搞成题海战术，因此结合本班学生的特点，选择设计的题目在难度和容量上较为侧重基础，以适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。
(二)对课中教学的反思
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、知识回顾、例题讲解、变式训练、课堂小结、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
亮点之处：
学生创新解答
在例1求100?99?98?97?96?95??4?3?2?1的值问题的解决上学生观察式子相邻两项之间都是平方差的形式，利用平方差公式，最后转化成一个等差数列。但是学生出现了两种做法。一种是转化成199+195+191+?+7+3，这样转化是学生最容易想到的。另一种是转化成了100+99+98+?+2+1，这两种方法都是值得肯定的，特别是第二种转化方法让整个课堂变得活跃起来。
在接下来的练习中，教师的设想是学生能够想到将相邻两项合并成一项结果是1，这样很容易就能得到结果。但是高元顺同学并没有在我设想的思路上走，而是给出了一个特别的回答，他的回答是：我是这样认为的，如果这个数列是6项的话，那么第5项是-5，第6项是6，用-1+2=1，1+(-3)=-2，-2+4=2，2+(-5)=-3，-3+6=3，因此得到前6项的和就等于项数的一半。这个数列是100项，那就等于50。S200 就等于100，所以S201 就等于-101。
他的回答博得听课的老师的一致赞同。他使用的方法通过找规律提出猜想，实际上就是使用了数学思想方法中一个很重要的方法——递推法。
(2)学生成为课堂的主体，教师要甘当学生的绿叶
由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑思考、动笔去做的现象。教师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去思考，让学生去摸索。不怕学生出错，就是让学生能够在摸索中增强思维能力、解题技能和计算经验。特别是在例2中，教师针对题目做了简要的分析和提示，让学生去尝试着解题。朱馨同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完整。只是结果出现了一个小错误，教师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。
在这两个例题教学过程中我体会到了学生获得成功的喜悦，这也说明了给学生以思考的时间和空间，学生的回答是不会让老师感到失望了，而是充满了惊喜。
(3)从容面对课堂中的偶发事件
在教学设计中我就曾预设到学生会从两个角度来考虑，一种是得到50个1，另一种就是将奇数和偶数分别合并。若是第二种就可以很自然就引出另一种求和方法——分组求和法。但是高元顺同学的回答出乎我的意料，这种做法在我预想之外，当时我面带微笑鼓励他说下去，对他的陈述及时做出肯定和鼓励，同事我的脑子在快速的反应怎样总结他的解法，等他陈述完了，我首先是对他的做法给予了肯定，并且引导学生发现n个正偶数的和n个正2222222222
奇数的和只差恰好就等于项数n。尽管能从容不慌地面对了偶发事件，但是还是略为显得处理的粗糙了一点，对他的表述没有概括到位。
积极的回答的出来。
(三)课后反思，再设计
一节课下来，我摸索出了一节课的设计要贴近学生的实际，符合他们的认知水平，按照学生的认知规律来组织教学。在课堂教学过程中，要始终把学生放在第一位，学生是学习的主体，教师充当的是引导者。学生总会有“创新的火花”在闪烁，教师应当充分肯定学生在课堂上提出的一些独特的见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和激励。同时，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路，提高教学水平。
若是再教这部分内容时我应该重新调整一下我的教学顺序，如在复习完公式后，可以先提出1+2+3+?+100=?在此基础上进行变式1-2+3-4?-99+100=?，这样再给出练习1，学生有了经验自然很容易就解决了。在例题2问题中，可以再降低一下难度，因此可以将后面的练习3作为例题。而将原例2作为练习的题目。这样的做更体现了知识的循序渐进和螺旋上升，学生容易理解和接受。
(四)感受
上一届的“凤凰杯”让我印象深刻，同时也期盼着也能参加“成长杯”。当李加莉老师宣布由我来参加这届的“成长杯”我感觉我的压力好大了。经过一段时间的精心选题和反复修改教学设计，我终于站在了“成长杯”的讲台了，心情复杂——激动、兴奋、紧张…… 直到下课的铃声想起我的一颗心才算踏实下来。
东北师范大学的孔凡哲教授曾在给我们讲座时说过：没有精心的预设，就没有精彩的生成。我一直都是深刻记得这句话，也在教学中实践它。但是我仍然感觉自己做不到“精彩”而更多的是“平淡无奇”。是这节课我有了深刻的体会，让我开始审视我前面几个月所走过了路，才发现教学真的是需要智慧，做到用心去体会，用心去设计，用心去聆听学生的声音……
一、基本内容概述
1、数列的基本概念
（1）数列是按一定次序排列的一列数；
（2）数列是定义域为自然数集或其子集1,2,3,,n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值；
（3）数列的属性：有序性；比如：数列an:1,2,3,4,5,6和数列bn:6,5,4,3,2,1，两数列中的元素相同，但由于排列顺序不相同，它们是两个不同的数列；（4）数列的表示方法：列表法、图象法（独立的点）、解析法。其中解析法又分为：通项公式法和递推关系式法；
①通项公式法：若数列an第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式；
②递推关系式法：数列的任意连续若干项所满足的关系式称为该数列的一个递推关系式，用递推关系式和相应的前若干个已知项可以确定一个数列。这种表示数列的方法叫做递推关系式法。
（5）数列的分类：
①从定义域方面：有穷数列和无穷数列； ②从值域方面：有界数列和无界数列； ③从单调性方面：递增数列和递减数列；
（6）数列an的前n项和Sna1a2an与an的关系是：
S1,anSnSn1,n1n2，注意anSnSn1适用的条件是n2。
2、等差数列an的基本概念和基本公式
（1）定义：an1and（常数）（nN），d为公差；
（2）通项公式：ana1(n1)dam(nm)ddnb（nN）；（3）中项公式：等差中项A（4）前n项和公式：Sn（5）性质：
①anam(nm)d；
②若mnpq2l(m,n,p,q,lN)，则有amanapaq2al；
aba,A,b成等差数列； 2n(a1an)n(n1)na1dAn2Bn； 22③从第二项起每一项均为其前后两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项；
④序号成等差数列的项仍成等差数列，即mn2q（m,n,qN），则aman2aq；
⑤若数列{an}和{bn}均为等差数列，则数列{anbn}，{kant}（k,t为非零常数）也是等差数列；
⑥若A1ai，A2i1nin1a2ni，A3i2n1a3ni，…，则An也成等差数列。
二．题型归纳：请同学们参考导学资料整理 1.根据数列前几项写出通项公式
2.根据数列的通项公式判断一个数是否是数列的项或者判断数列有无某一项
3.能用化归法求数列的通项 4能够判断并证明等差数列 5.能够求等差数列的通项公式
6.能够根据等差数列的通项公式求值 7.能用等差数列的性质解题 8.能求等差数列的前n项的和
9.能够根据等差数列的前n项的和公式求值 10.简单等差数列的应用 三．数学思想方法
1.待定系数法、函数法、数形结合法、公式法 2.方程数学、类比思想、函数思想、不等式思想
四、学生存在的问题：
1.公式记忆不熟练，不会灵活应用
1.知识与技能目标:
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
2.过程与方法目标:
通过公式的推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊与一般、类比与转化、分类讨论等数学思想, 培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维能力.
3.情感态度与价值观:
通过公式的探索发现过程, 学生亲历结论的“再创造”过程, 体验成功与快乐, 感悟数学美.
二、教学重点
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
三、教学难点
等比数列前n项和公式的推导过程及应用公式解决与之有关的问题.
四、教学方法
采用教师引导学生自主探究的教学方法, 按照“创设情境——学生自主探究——得出定理——应用定理——变式训练”的模式来组织教学.
五、教学过程设计
在数学的天地里, 重要的不是我们知道什么, 而是我们怎么知道什么.——毕达哥拉斯
1.创设情景, 引入新课
“棋盘上的麦粒 (以2为底的幂) 历史典故, 通过历史典故引出《等比数列的前n项和》的课题.
2.出示三维目标
3.情境创设, 提出问题
数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.请问谁赢谁亏?
分析:数学建模.{an}:100, 100, 100, …, 100, q=1.
{bn}:1, 2, 22, …, 229, q=2.
T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小, 求和问题如何化简?
4.启发引导, 探索发现
如何计算:S30=1+2+22+…+229.
启发:等比数列{an}的前n项和Sn也可以构成一个新的数列{Sn}.自然的化简Sn的问题就成了求新数列{Sn}的通项问题.
引导:归纳、猜想、证明是我们学习数列获得的一种重要方法, 是解决数列问题的通法.能否利用此法解决问题呢?
如何计算:S30=1+3+32+…+329.
启发:类比q=2时, Sn=2n-1.
由此可以猜想:undefined
那么undefined
公式推导——方法1 (验证法)
undefined
∴当q≠1时, undefined
从而undefined
公式推导——方法2 (错位相减法)
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn.
undefined
公式推导——方法3
由定义可得undefined, 由等比定理有undefined, 于是undefined, 得出undefined
5.应用示例, 巩固公式
数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.问:谁赢谁亏?
T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小 , 求和问题如何化简?
数学游戏问题答案:230-1 (分) =10737418.23 (元) , 远大于3000元.
棋盘上的麦粒问题:
解 ∵a1=1, q=2, n=64,
人们估计, 如果把这些麦粒依次排列, 它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍.若按万粒400克计算, 可达7000亿吨, 而我国现年产量在1亿吨左右.
6.公式的灵活运用
在等比数列{an}中, 已知a1=2, a5=32, q>0, 求S5.
解由a1=2, a5=32, 可得32=2×q4.
又由q>0, 可得q=2.
于是当n=5时,
7.变式训练, 巩固公式
在等比数列{an}中, 已知a1=2, S3=6, 求q.
解 (1) 当q=1时, 满足题意;
整理得q2+q-2=0, 解得q=-2或q=1 (舍去) .
综上可得q=1或q=-2.
六、小结
1.五个量n, a1, q, an, Sn中, 解决“知三求二”问题.
2.q≠1时.
3.注意q=1与q≠1两种情形.
尝试小结请回顾一下本节课你学到了什么?
本节课你最大的收获是什么?
关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01
高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。
一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题
在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。
二、有效的数学数列课程的教学策略
1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣
要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。
2、加强课程教育中多媒体技术的应用
随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。
3、加强教学中的小组学习模式
在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。
结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。
参考文献：
[1] 石 因.多元智能理论教学观下的高中数学数列教学实践与研究[D].苏州大学，2015.
[2] 翟艳芳.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程（中学），2015，03：127.
[3] 张敏妮.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程学习（中），2013，06：100-101.
一、本章的知识结构与学生的认知结构得到了较好的统一
本章的知识结构是：数列的基本概念――特殊数列――数列的应用。首先在理解了数列的基本概念后，进一步认识两个特殊数列：等差、等比数列，通过对两个特殊数列的研究使学生对数列的认识得到深化，进而解决一些实际应用问题。同时，教材注重了通过实例分析引入新知识，这符合从感性认识到理性认识的认知规律，因此说，教材的这种设计符合学生的认知结构。
二、教材设计突出了数学思想方法，符合这套教材的特色
这一章在内容设计上突出了化归与转化思想、数学建模思想等，例如：一些实际应用问题(分期付款问题)需要建立数列模型，转化为等差、等比数列求和问题。教材在编写上注意了数学方法的层层递进，例如：在数列的概念这一节涉及到了观察法，归纳法;在求等差、等比数列通项公式时用到了“作差求和”“作商求积”的`方法。这些方法在后面的知识学习中都有所体现。
三、整章内容的设计精简实用，顺理成章
本章例、习题的配置数量多，但没有重复性例题，习题知识点覆盖全，尤其是设置了十个研究性问题，穿插在整章内容中，而且没有给出解答，提高了学生兴趣，这一点于其它章不同，前面几章中有些研究性问题，在提出问题的同时，也给出了解答，这就失去了它的设计意义，
本章第2节设置了“数列求和”，目的是让学生理解求和概念及求和符号，提前安排这一节，分散了难点，使得后面学习等差、等比数列前n项和及特殊数列求和线的难度适中，教学时感到很自然。在习题中实际应用问题不是很多，最后一节“数列应用举例”主要是研究数列求和及求通项公式，应增加几个实际应用问题，让学生对数列知识加以深化。
四、这一章为教师的“教”与学生的“学”提供了广阔的天地
本章的例、习题及十个研究性问题为教师的教学提供了很多素材，同时为培养学生的探究意识和探究能力提供了广阔的思维空间。这些研究性问题的设计体现了新大纲的要求：注重培养学生数学的提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力。另外，在教学实践中，这些研究性问题的设计可以激发学生的学习兴趣和求知欲，为培养学生的思维能力搭建了一个平台，给学生充分展现自我的机会，促进了学生学习方式的转变，同时，对教师的教学方式提出了挑战，如果教师还沿用传统的教学方式，就会造成资源浪费，这套教材就失去了它的价值，就会使教师陷入讲教材的困难境地。
五、教学时要走出片面追求“严谨”、“系统”，忽视循环深化的误区
1、从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2、从学生认知角度来看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3、学情分析
教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。
4、重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3、情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学方法与教学手段
本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，
采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式、
四、教学过程分析
学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。
1．创设情境，提出问题
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠、穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：（万元）
穷人需要还的钱：?
2．学生探究，解决情境
（2）教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分)≈1073(万元)＞465（万元）
由此得出穷人不能向富人借钱
【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力。
解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到：≈1073(万元)＞465（万元）。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。
3．类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n项和：
即方法：错位相减法
这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？
在学生推导完成之后，我再问：由得
【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
4．小组合作，交流展示
探究1．求和
探究2．求等比数列的.第5项到第10项的和．
方法1：观察、发现：
方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。
探究3：求的前n项和
【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。
5、总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
1、等比数列的前n项和公式
2、数学思想：（1）分类讨论（2）方程思想
3、数学方法：错位相减法
【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
6．当堂检测
（1）口答：
在公比为q的等比数列中
若，则________，若，则________
若=3，=81，求q及，若，求及q。
（2）判断是非：
①
②（）
③若③且，则（）
【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。
7．课后作业，分层练习
必做：P30习题1—3A组第1题，
选作题1：求的前n项和
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式。
【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展、让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。
五、评价分析
本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过展示交流，学生点评，教师总结，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。
六、教学设计说明
1．情境设置生活化、
本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。
2．问题探究活动化．
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦、通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。
3．辨析质疑结构化．
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习、通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。
4．巩固提高梯度化．
例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。
5．思路拓广数学化．
从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．
6．作业布置弹性化．
通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．
七、教学反思
学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了思维能力。
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
亮点之处：
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