函数奇偶性教案设计（精选11篇）
授课教师——李振明
授课班级——高一（8）
教学目的：
1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；
2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断
一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。
题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。
考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？
二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任
意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。
三、例：判断下列函数的奇偶性
① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:
1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。
２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。
四、巩固练习
（1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。
如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。
（3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）
（5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
四、小结
1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。
2、性质:奇函数的图象关于原点对称。
偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。
如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。
五、课后思考题
已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数
关键词：函数,奇偶性,定义域
判定函数的奇偶性,一般都依照定义严格进行,其基本思路是:(1)先考查定义域是否关于原点对称;(2)考查表达式f(-x)与f(x)是否相等或互为相反数.简言之:一看定义域,二看解析式.但要准确迅速判断某些函数的奇偶性,并不是一件容易的事情.有时需要对函数的解析式进行适当的变形,利用变形后的解析式判断函数的奇偶性,有的时候,变形还可能使定义域扩大,从而对结论的准确度产生影响.本文以一题为例,谈谈函数奇偶性的教学.
题目 : 判断函数的奇偶性.
先看定义域,要使f(x)有意义,需设实际上 ,,即对一切x∈R,f(x)恒有意义,则f(x)的定义域为R,关于原点对称.
再看解析式,分析研讨过程如下:
一、草率的“断言”
观察f(-x)与f(x)的解析式的分子和分母,都不一样,学生易得出:f(-x)≠f(x),从而断言f(x)为非奇非偶函数.
二、尝试的“醒悟”
教师提出问题:f(-x)与f(x)解析式的分子和分母都不同,就意味着f(-x)≠f(x)吗?会不会分子与分母均不同,反而能出现f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的结论呢?取特殊值先作出初步断定.
学生很容易想到求f(0)、f(1)、f(-1)、f (2)、f (-2),…实际上,可求出f (-1) =-f(1)、f(-2)=-f(2) …学生很 容易猜测,这个函数是奇函数.为此尝试证明f(-x)=-f(x).
三、解题的“疏漏”
方法1:直接证明f(-x)=-f(x).
关键:乘以再除以同一个解析式
过程:
到此为止,学生自认为已证得f(-x)=-f(x),所以是奇函数.
反思:函数f(x)的定义域应是全体实数,但我们所乘的项若有意义,需使分母即 x≠0.所以上述只证明了在x≠0时,有f(-x)=-f(x),而忽略了x=0的情形.
补证:当x=0时,有f(0)=0,f(-0)=0,所以有f(-0)=-f(0),从而对一切x∈R,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
方法2:证明
从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
反思:既然f(x)作为f(-x)/f(x)的分母,应有f(x)≠0,即x≠0,但当x=0时,f(x)仍有意义,f(0)=0,所以对x=0时,应单独说明.
方法3:化简解析式f(x).
关键:分母有理化.
从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
反思:在进行分母有理化时,分母所乘的项,即x≠0,但函数f(x)的定义域中会有0,所以上述解析式并不是f(x),实际上,再进行说明是奇函数即可.
评注:利用变形后的解析式判断奇偶性,一定要注意定义域的变化,上述变形定义域中丢掉了元素0,有的时候,变形还可能使定义域扩大,如:,定义域[0,+∞),不关于原点对称,为非奇非偶函数,但若化成y=x2定义域就扩大了,y=x2也成了偶函数.
四、优美的“证法”
前三种证法,均容易丢失x=0时的情形,正确解法中还需单独补充说明,我们能否找到不需进行补充说明的方法呢?
方法4:证明f(-x)+ f(x)=0.
从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
评注:此解法有效避免了定义域缩小的问题,减少了讨论问题,体现出了解题的简洁美.
五、结论的“推广”
将中的根号内的“1”都换成“a”,其它“1”都换成“a”,“x”都换成“bx”,也就是:
讨论函数的奇偶性.
显然a、b不同时为0,否则函数f(x)无意义.学生很可能由前面的推证,脱口而出,f(x)为奇函数.实际上,该函数是奇函数、偶函数,还是非奇非偶函数,需对字母a、b进行讨论.
1.当a=0且b≠0时,函数即为
(1) 当 b>0 时,
要使函数f(x)有意义,需使x +x≠0,则x>0,即函数f (x) 的定义域为(0,+∞),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x>0).
(2) 当 b<0 时,
要使函数f(x)有意义,需使x -x≠0,则x<0,即当函数f(x)的定义域为(-∞,0),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x<0).
综上所述,当a=0且b≠0时,函数f(x)为非奇非偶函数.
2.当b=0且a≠0时,函数即为
(1)当a>0时,f(x)=0, f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(2)当a<0时,|a| +a=-a+a=0,函数f(x)无意义.
3.当 a≠0 且 b≠0 时,
(1) 当 a>0 时,对一切x∈R恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,关于原点对称 . 有
而当x=0时,f(0)=0,仍有f(-0)=-f(0),所以函数f(x)为奇函数.
(2)当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,易证f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
综上所述,当a≠0且b≠0时,函数f(x)为奇函数.
科目：数学
年级：高一年级
内容：普通高中课程标准实验教科书人教A版1.3.2节函数的性质——奇偶性
函数奇偶性的概念形成，以及性质的简单应用（1课时）
奇偶性是函数的重要性质之一，它是通过函数的图象来研究得出的一个概念，实际上反映的是函数图像的一种对称，而我们所研究的数学领域存在着大量的对称美，因此也可以借此培养学生对数学对称美的认识，提高他们对数学的理解能力。
二、教学目标分析
知识与技能：通过对图象的理解，充分经历函数奇偶性这个概念的形成过程；会判断一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
过程与方法：经历函数的奇偶性这个概念的形成过程，掌握判断函数奇偶性的方法。
情感·态度·价值观：通过本节内容的学习，认识数学中的对称美，陶冶他们热爱数学、欣赏数学的情操。并且让他们对数学的认识不只是停留在对图象的表面理解，让他们对数学有更进一步的认识，提高到理论层次的认识。
三、学生特征分析
通过平时的观察、了解以及测试，学生的基础处于一个理解和简单应用的水平，不能拔高要求。不过在这之前，学生已经学习了函数的单调性，掌握了单调性概念的形成过程，也会利用单调性求函数的最值，所以为利用化归的数学思想方法来理解函数的奇偶性打下了一个良好的基础。
四、教学策略选择与设计
本课题设计的基本理念：充分利用熟悉的函数的图象来形成概念，然后利用形成的数学概念来研究更多函数的奇偶性。
主要采用的教学与活动策略：
1.复习、总结数学里的一些简单对称，如中心对称、轴对称。
3.从对图象的理解来抽象出数学中奇函数和偶函数的定义。
4.利用函数的解析式来判定函数的奇偶性，并掌握基本的判定步骤。
5.奇偶性在其他方面的应用。
策略实施过程中的关键问题：
1.从图形的理解到抽象的数学概念形成，学生理解有点难度。
2.对奇函数和偶函数概念的理解应用。
五、教学资源与工具设计
多媒体教学，充分利用几何画板和电教平台。
教学参考：教材、《教师教学用书》、《新课程导学》、《新教材，新学案》、《学海导航》等等。
六、教学过程
（一）复习总结
1.点（1，2）关于y轴的对称点是 。点（1，2）关于x轴的对称点是 。点（1，2）关于原点的对称点是 。
2.一般地：点P（x，y）关于y轴的对称点是P1（-x，y），关于x轴的对称点是P2（-x，y），关于原点的对称点是 。
3.一般地：对于函数y=f（x），其图象上一点P（xf（x））关于y轴的对称点为P1 ，关于x轴的对称点为P2 ，关于原点的对称点为P3 。
八、帮助和总结
探究：已知函数f（x）满足：对任意的x、y都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数f（x）的奇偶性。
一、课前回顾
1、（1）增函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 （2）减函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 2、函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ○1 任取x1，x2∈D，且x1 ○2 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。○ 二、知识要点 1、函数的奇偶性定义： （1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整○体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定○义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 2、具有奇偶性的函数的图象的特征： 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 三、典型例题 1．判断函数的奇偶性 方法一：定义法 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数． 方法二：图像法 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数． 例 1、函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 （） A．奇函数非偶函数 C．奇函数且偶函数 例 2、下列四个命题：（1）f（x）=1是偶函数； （2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数； （3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1 2、（1）利用函数的奇偶性补全函数的图象：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 （2）利用函数的奇偶性补全函数的解析式：转移代入法 例 3、（2013年山东高考理科）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+错误！未找到引用源。,则f(-1)=()（A）-2 例 4、(2006春上海)已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)=.3．函数的奇偶性与单调性的关系 规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（B）0 （C）1 （D）2 B．2 C．3 D．4 B．偶函数非奇函数 D．非奇非偶函数 例 5、（1）已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数。 （2）若f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？ 例 6、f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 四、课堂练习 1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（） 1，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a3＝3，b＝0 A．a3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（） A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2） 4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（） A．－26 B．－18 C．－10 D．10 5．函数f(x)x221x2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） 6.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数． 五、课后作业 1．函数f(x)x1是（） 21xx11x2 A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)abg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（） A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 3．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______． 5.（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是() 1A.f(x)sinx B.f(x)x1C.f(x)axax 21x1，则f（x）D.f(x)ln 2x 2x6.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式． §1．3．2函数的奇偶性 一．定义 前提条件：定义域关于 对称 奇函数表示式：f(-x)= ;偶函数表示式: f(-x)= 二．分类： ① ② ③ ④ 三．图像 四．运算 ① 奇+奇= ② 偶+偶= ③ 奇*偶= ④ 偶*偶= ⑤ 奇*奇= 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）f(x)x2x3x2 x[1,2]（2）f(x)x111 （4）f(x)2 xx45（1）f(x)x （2）f(x)x （3）f(x)x 2．设f(x)在R上是奇函数,当x＞0时，f(x)x(1x) 试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？ 解：当x＜0时，－x＞0，所以f(x)x(1x)，又因为f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)[x(1x)]x(1x)． （一）[任务分析] “函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。[方法简述] 本节课有着丰富的内涵，是继函数单调性以后的又一个重要性质。教法上本着“以教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，分析、比较，自主探究，讲练结合”的教学方法。通过复习提问呈上其下的引入，通过观察图像，从具体到抽象的引入，通过与单调性研究方法的的类比的引入，使学生对函数的奇偶性先有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，采用多角度的，启发式的，学生积极参与的，有思想交锋的方式，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。[目标定位] 数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明，与培养驾驭知识、解决问题的能力。突出重点、突破难点的关键是设计有一定思维含量的问题与实例，引导学生思考、分析讨论，加深学生对函数奇偶性的认识与应用。结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。[课堂设计] 一、复习旧知、引入定义 基于学生前面已经学习过函数的单调性，先从复习函数单调性入手。问题1：回顾上一节课如何定义增函数、减函数？试举例说明。由学生回答，学生应该容易得出定义，单调增、减函数（定义略） 并能举出一些常见的单调函数，如一次函数，三次函数。 设计意图：从学生已学过的函数单调性复习引入，因为函数的单调性的定义是学生第一次接触用函数的对应关系的性质来刻画函数的性质，他不同于初中是通过图像看性质。学生在复习中体验用代数手段刻画函数性质的方法, 为后面用函数对应关系来刻画函数的奇偶性做好准备。为突破难点奠定基础。 问题2：判断下列两函数在其定义域内单调性如何？ 反比例函数f(x)21 x二次函数f(x)x1 设计意图：让学生注意函数的单调性要分区间讨论。对于同一函数而言，不同的区间上可能会有不同的单调性，为后面研究函数的奇偶性要注意自变量的范围埋下伏笔。 图示学生举出的例子和以上两个例题，（1）f(x)2x（2）f(x)x3（3）f(x)2x1（4）f(x)1（5）f(x)x21 x引导学生观察图像。 思考：除了显示了函数的单调性，是否还有其他特征？ 引导学生发现初中就学过的优美的对称性——中心对称、轴对称。问题3：能否用函数的对应关系来刻划其对称性？ 让学生先观察、思考、交流讨论，教师再引导。 启发：首先注意到自变量的对称性可以用x与-x来刻画，相应的考察f(x)与f(-x)的关系。 （请5个同学到黑板上板演计算f(x)与f(-x)的，并判断相应函数值的特点。板书课题，引出定义）。函数奇偶性定义： （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫偶函数。 设计意图：引导学生通过函数值的特征来描述函数对应关系的性质，实现由形到数的转化，同时为归纳引出定义以及判断函数奇偶性做好准备。 二、定义理解、揭示本质 问题4：定义中那一句话对刻划函数的性质更实质？ 学生阅读定义，回答问题。归纳：验证恒等式f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)的重要性。让学生根据定义判别以上5个函数的奇偶性，教师作出点评。 设计意图：让学生深刻理解定义，解释函数奇偶性的本质。把探求新知的权利交给学生,为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来．而且在探究交流过程中学生对函数奇偶性的认识逐步由感性上升到理性。 2x22x问题5：判断函数f(x) 的单调性如何？ x1引发学生思考讨论。学生可能会有两种结论，一是奇函数，二不是奇函数，让学生辨别，引起学生思维的交锋，教师给与宏观的指导，看准火候，及时点拨。引导学生注意定义中定义域的重要性，得出推论。 推论：奇偶函数的的定义域在轴上对应的点集关于原点对称。 设计意图：强调对定义域的考虑，既帮助学生准确理解定义，又对函数奇偶性的概念进行反面理解，同时使学生进一步熟悉判断奇偶性的方法，为引出推论做准备。问题6：有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 引导学生共同探究，得到f(x)=0,且定义域关于原点对称。共同归纳得到：函数按照奇偶性可分为四类： A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数而又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 设计意图：数学思维中最积极的的成分是问题，不断的提出问题，不断的解决问题，提出具有探究意义的问题，培养学生的探究意识，进一步完善函数奇偶性的概念。 三、手脑并用、概念应用 问题7：能否归纳函数奇偶性的判别方法及步骤：（1）求函数的定义域；（2）计算f(-x)（3）判断f(-x)与-f(x)或(x)是否相等；（4）下结论，指明是四类中的哪一类。在刚才归纳的基础上，学生练习例1:判断下列函数的奇偶性（１）f(x)xx31（２）f(x)2x43x2 （３）f(x)2x（４）f(x)1x2（５）f(x)f(x)a x21 教师版书第一小题，学生口答第二小题，（3）、（4）（5）请三位学生板演。教师规范、订正版演。 设计意图：在归纳中掌握方法，巩固新知及时反馈，为灵活应用方法打下基础． 四、沟通联系、深化提高 例2 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0,)上是增函数，f(x)在(,0)上是增函数还是减函数？并给出证明。 引导学生分析条件，探索思路，沟通已知与未知 的联系，实现单调性的转化。设计意图：沟通函数奇偶性与单调性的联系，揭示函数奇偶性对函数性质研究的作用。使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决问题中的作用。 五、归纳小结、练习反馈 引导学生归纳小结（１）函数奇偶性的定义（２）判别函数奇偶性的方法（３）函数奇偶性的初步应用 设计意图：学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力．同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的制高点。反馈练习：课本P口答练习 在整个练习过程中，教师做好及时小结，加强对学生的个别指导，设计意图：巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价．也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学． 六、布置作业、引导复习 1．书面作业：P89 练习A2，练习B 1、2、3.2．研究与思考： (1)若ｆ（ｘ）为奇函数，且ｘ＝０时与意义，则ｆ（０）＝？（2）判别函数的奇偶性 (3)在公共定义域上，函数的和、差、积、商的起偶性如何？ 第一层次要求所有学生都要完成，第二层次则只要求学有余力的同学完成．研究思考的（1）（2）（３）不仅开阔了学生的思路，而且提高学生的探究热情。.设计意图：分层次作业既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神。同时为下节课内容作好准备,将探究的空间由课堂延伸到课外.[教有所思] 这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，高中学生的思维水平已发展到辩证思维的形成阶段，从能力上讲，他们能通过观察、比较、归纳等方式来认识新知识。结合学生的特点及本节课的内容，在教学中采用了“问题导引，分析比较、自主探究、讲练结合”式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，从学生已知问题已知的函数图形入手，使学生对函数的奇偶性有了一定的感性认识，并且形成各自对函数奇偶性概念的了解，再引导学生抓住实质，抛开个性的东西，抽取共性的内容，在相互交流、启发、补充、争论中，概括出定义，经历了知识的形成过程。使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面有收获，基本上达到了预期的教学目的。在概念－方法－应用当中，方法是本节课的重点。通过对问题3至问题6的分析、反思、深化，使学生的思维步步深入，在自我发现、自我解决问题的过程中，深刻理解了函数奇偶性的定义的实质。 幂函数y=xα在第一象限的图像如图1所示, 图像恒过 (1, 1) .幂指数α>0时, 图像过点 (0, 0) , 为增函数, 其中0<α<1, 函数图像上凸递增;α>1, 函数图像下凸递增;α=0时为直线y=1 (除去点 (0, 1) ) ;α<0时为减函数. 幂函数在第四象限没有图像, 在第二、第三象限的图像要结合奇偶性才能得出. 若幂函数是奇函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、三象限;若幂函数是偶函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、二象限;若幂函数是非奇非偶函数, 等价于幂函数的图像只分布在第一象限.运用奇偶性可以减少对幂函数图像的整体记忆, 只需记忆第一象限的图像特征, 运用奇偶性可以整体分析幂函数的图像, 对幂函数的图像进行整体把握.下表为y=xα在α取值不同的情况下的图像. 例1幂函数 (m, n∈N*, 且m、n互质) 的图像如图2所示, 则 () A.m、n为奇数且. B.m为偶数, n为奇数, 且. C.m为偶数, n为奇数, 且. D.m奇数, n为偶数, 且. 例2幂函数的图像过点, 则它的单调递增区间是 () A. (0, +∞) B. (0, +∞) C. (-∞, +∞) D. (-∞, 0) 分析:幂函数y=xα的图像过点, 则α=-2.所以幂函数y=x-2是偶函数, 图像分布在第一、二象限, 且在第一象限内是减函数, 由对称性知, 在第二象限是增函数, 故选D. 例3函数的图像是 () 分析:根据幂函数的图像在第一象限内的走向, 又因为函数是奇函数, 故选B. 例4已知函数 (n∈Z) 的图像与两坐标轴都无公共点, 且其图像关于y轴对称, 求n的值. 分析:因为幂函数图像与y轴无公共点, 所以n2-2n-3≤0, , 解得-1≤n≤3, 又因为n∈Z, 所以n=0, ±1, 2, 3.又因为图像关于y轴对称, 所以n2-2n-3为偶数.检验:当n=0时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=1时, n2-2n-3=-4为偶数;当n=-1时, n2-2n-3=0为偶数;当n=2时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=3时, n2-2n-3=0为偶数.因此, n的值为-1, 1或3. 例5已知函数 (m∈Z) 为偶函数, f (3) <f (5) , 且, 求m的值, 并确定f (x) 的解析式. 又∵m∈Z, 即∴m=0或1.经检验:当m=0时, -2m2+m+3=3, 为奇数 (舍去) ;当m=1时, -2m2+m+3=2, 为偶数.因此, m=1, f (x) =x2. 例6若, 求实数m的取值范围. 1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ） A. [1-e] B. [e-1] C. [-1-e] D. [e+1] 4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ） A. [23] B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x<0），]则[g（-2）]的值为（ ） A. -6 B. -8 C. 4 D. 6 6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 常函数 D. 非奇非偶函数 7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称 C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称 8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既不是奇函数又不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ） A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013 10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1 A. [f（4.5） B. [f（7） C. [f（7） D. [f（4.5） 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 . 12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= . 13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 . 14. 给出定义：若[m-12 三、解答题（共4小题，44分） 15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R]. （1）讨论[f（x）]的奇偶性； （2）求[f（x）]的最小值. 16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0]是奇函数. （1）求实数[m]的值； （2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围. 17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0 （1）求[f（1）]； （2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2. 18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数. （1）求[k]值； （2）若[f（1）<0]，试判断函数单调性并求使不等式[f（x2+tx）+f（4-x）<0]恒成立的[t]的取值范围； （3）若[f（1）=32]，且[g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）]，在[[1，+∞）]上的最小值为-2， 求[m]的值. 教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性． 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义． 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式． 教学过程： 一、复习回础，新课引入： 1、函数的单调性 2、函数的最大（小）值。 3、从对称的角度，观察下列函数的图象： (1)f(x)x21；（2）f(x)x；（3）f(x)x；（4）f(x)1x 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的奇偶性定义 象上面的图象关于y轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数． 1．偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：f(x)f(x)f(x)f(x)0, 奇函数：f(x)f(x)f(x)f(x)0； （5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （二）典型例题 1．判断函数的奇偶性 例1．如图，已知偶函数y=f(x)在y轴右边的一部分图象，根据偶函数的性质，画出它在y轴左边的图象． 变式训练1：（课本P36练习NO：2） 例2（课本P35例5）：判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x；（2）f(x)=x；（3）f(x)=x4 511；（4）f(x)=2 xx归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数． 变式训练2：（课本P36练习NO：1） 例3：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 解：任取x1,x2(,0)，使得x1x20，则x1x20 由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数 所以f(x1)f(x2) 又由于f(x)是奇函数 所以f(x1)f(x1)和f(x2)f(x2) 由上得f(x1)f(x2)即f(x1)f(x2) 所以，f(x)在(－∞，0)上也是增函数 结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 三、课堂小结，巩固反思： 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质． 四、作业布置 A组： 1、根据定义判断下列函数的奇偶性： 2x22x（1）f(x)；（2）f(x)x32x；（3）f(x)x2（xR）；（4）f(x)=0（xR） x1 2、（课本P39习题1.3 A组NO：6） 3、(tb0109806)若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_______。（答：0） 4、(tb0109803)若函数y=f(x)(xR)为偶函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是（C）。（A）(a,-f(a))(B)(-a,-f(-a))(C)(-a, f(a))(D)(-a,-f(a))B组： 1、(tb0109912)已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴有四个不同的交点，则方程f(x)=0的所有实根的和为（D）。 （A）4（B）2（C）1（D）0 2、(tb0307345)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是（B）。（A）增函数且最小值为-5（B）增函数且最大值为-5（C）减函数且最小值为-5（D）减函数且最大值为-5 3、（课本P39习题1.3 B组NO：3） C组： 1、定义在R上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1a)f(1a)0，求实数a的取值范围。 2、已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)；求当x <0时，函数f(x)的解析式 解：设x <0，则 －x >0 有f(－x)= －x [1+(－x)] 由f(x)是偶函数，则f(－x)=f(x)所以f(x)= －x [1+(－x)]= x(x－1)f(x) x(1x),x0 同心县回民中学 马万 各位老师,大家好!今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节”函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”，下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程,教辅手段,板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。 一、教材分析 （一）教材特点、教材的地位与作用 本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。 （二）重点、难点 1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。 2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。 （三）教学目标 1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法； 2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中,使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教法、学法分析 1．教学方法：启发引导式 结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构．使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性． 2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习． 三、教辅手段 以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学 四、教学过程 为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了四个主要的教学程序：温故导新,指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。 （一）温故导新,指导观察,形成概念 这节课我们首先从两类对称:轴对称和中心对称展开研究.思考:请同学们做出函数y=x2和y=|x|图象,并观察这两个函数图象的对称性如何？ 给出图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢此时提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律借助课件演示,学生会回答自变量互为相反数,函数值相等.接着再让学生分别计算f(1),f(-1),f(2),f(-2),学生很快会得到f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示,学生会得出结论,f(-x)=f(x),从而引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.思考:由于对任一x,必须有一-x与之对应,因此函数的定义域有什么特征(通过课件展示的几个函数的图像，使学生发现图像关于y轴对称了则定义域关于原点对称)引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称.根据以上特点,请学生用完整的语言叙述定义,同时给出板书:(1)函数f(x)的定义域为I,且关于原点对称,如果有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数 提出新问题: 再以学生熟悉的两个函数 y=1/x和y=x的图象让学生观察这两个函数的图像有怎样的对称性？ 学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义:(2)函数f(x)的定义域为I,且关于原点对称,如果有f(-x)=f(x), 则称f(x)为奇函数 强调注意点:“定义域关于原点对称”的条件必不可少.结论：什么是函数的奇偶性？并注意函数的奇偶性是函数的一个整体性质，不同于函数的单调性。 （二）通过刚才的学习让学生试着总结奇偶函数都有哪些性质，老师补充。（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：f(x)f(x)f(x)f(x)0, 奇函数：f(x)f(x)f(x)f(x)0；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 （6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （三）探究函数奇偶性的判断方法： 方法一：图像法 方法二：定义法。根据前面所授知识,归纳步骤:(1)求出函数的定义域,并判断是否关于原点对称(2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)3)得出结论 给出例题,加深理解: 例1：判断下列函数的奇偶性:（教师以第一个小题为例，给出具体的解题步骤 其余几个留给学生独立解决，发现问题及时纠正）通过练习：提高学生解题的熟练程度。 （四）让学生为本节课小结，老师补充完善 关键词：周期性;奇偶性;对称性;深刻联系 函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数的周期性、奇偶性、对称性是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用。高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题.但是学生对这些性质理解得不透彻，运用不灵活.下面对它们的联系做一些总结. 一、函数周期性、奇偶性、对称性定义及简单性质 奇函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=-f（x），那么，函数f（x）就是奇函数. 偶函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=f（x），那么，函数f（x）就是偶函数. 轴对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=f（a-x），则f（x）的图像关于x=a对称. 性质1.设a，b是任意常数，则函数f（a+x）=f（b-x）的充要条件是f（x）的图像对称. 二、奇偶性、对称性、周期性三者之间的联系 1.对称性+奇偶性周期性 性质2.如果f（x）是奇函数，且图像关于x=a对称，则得f（x）是以T=2a为周期的周期函数. 推论：一般的，若定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称，则f（x）是以（ ）为周期的周期函数. 2.对称性+周期性对称性，奇偶性 性质3.设f（x）的图像关于x=a对称，且T=b的周期函数，则f（x）的图像关于x=a+b对称. 推论：设，且，则是偶函数. 3.周期性+奇偶性对称性 性质4.如果是偶函数，且（a>0），则得的图像关于x=a对称. 性质5.如果是R上的奇函数，则得的图像关于x=a对称。 例1.函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）=（ ） A.-9 B.9 C.-3 D.0 解析：选B.因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9. 例2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称.求证：f（x）是周期为4的周期函数. 证明：由函数f（x）的图像关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）. 又函数f（x）是定义在R上的奇函数， 故有f（-x）=-f（x）. 故f（x+2）=-f（x）. 从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 即f（x）是周期为4的周期函数. 评析：例1由函数的奇偶性得到函数的周期性，例2由函数的奇偶性与对称性得函数的周期性. 从上面的分析可以看出，函数奇偶性、周期性、对称性之间存在着联系，在解题中，若能从整体上把握并灵活运用这些性质，那么抽象函数的高考试题就能迎刃而解. 参考文献： [1]王江.浅谈函数性质[J].数学教学，2008（4）. [2]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社，2008-03. 【函数奇偶性教案设计】推荐阅读： 函数奇偶性的教学设计05-30 高一必修1第一章《函数的奇偶性》教案06-10 函数单调性奇偶性练习11-18 函数奇偶性的归纳总结06-29 函数单调性免费教案07-19 函数单调性与最值教案07-13 高中数学 1.3函数的单调性教学设计 新人教A版必修11-09 必修一数学函数单调性09-11 含参函数的单调性问题07-09 利用导数求函数的单调性解读11-16函数奇偶性教案设计 篇5
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