教学反思：函数的单调性

教学反思：函数的单调性（精选9篇）

教学反思：函数的单调性 篇1

函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1f(x2)，给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间，明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般，从具体抽象、从简单到复杂的研究方法，让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换，并渗透数形结合的，分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中，我暴露了作为新老师的种种问题。（1）本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。然而在实际授课中，引导学生主动发现问题，主动解决问题的语言不够精炼，并不能很好的引导学生的思维，而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用，教学有法，教无定法，相信只要我们大胆探索，勇于尝试，课堂教学一定会更精彩！但是，在实际课堂中，在对概念的讲解时并没有强调到关键点，比如单调性中对“任意的”的理解，因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中，也没有引导学生对例题有一个整体的思考，引导学生学会读题，从哪里入手解题等等问题，而是直接给出了此类题型的一般解法，而由于学生的基础不扎实，因而对教师所给的解法不理解，导致在变式证明函数的单调性的时候，觉得无从下手。实际授课时，过度不自然，从创设情境到概念的讲解，最后到例题，过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。

教学反思：函数的单调性 篇2

在这部分内容中主要应该掌握以下几点:

1. 增函数与减函数的定义

定义:对于函数f (x) 的定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2。

(1) 若当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是增函数。 (如图1)

(2) 若当x1<x2时, 都有f (x1) >f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是减函数。

说明: (1) 增函数描述的是f (x) 随x的增大而增大, 函数图象从左到右是呈上升的;减函数描述的是f (x) 随x的增大而减少, 函数图象从左到右是呈下降的。

(3) 增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大、小对小”;减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小、小对大”。

2. 单调性与单调区间

若函数y=f (x) 在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数y=f (x) 在这一区间具有 (严格的) 单调性, 这一区间叫做函数y=f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上, 增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的。

说明: (1) 函数的单调区间是其定义域的子集;

(2) 应是该区间内任意的两个实数, 忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数 (或减函数) , 例如图2中, 在x1, x2, 那样的特定位置上, 虽然使得f (x1) <f (x2) , 但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;

(3) 除了严格单调函数外, 还有不严格单调函数, 它的定义类似上述的定义, 只要将上述定义中的“f (x1) <f (x2) 或f (x1) >f (x2) ”改为“f (x1) ≤f (x2) 或f (x1) ≥f (x2) ”即可;

(4) 定义的内涵与外延:内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;外延: (1) 一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减。 (2) 几何特征:在自变量取值区间上, 若单调函数的函数图象从左到右上升, 则为增函数, 函数图象从左到右下降则为减函数。

函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以不存在单调性问题;另外, 中学阶段研究的函数, 对于闭区间内的任意值都有意义, 那么只要在开区间上单调, 它在闭区间上也就单调, 因此, 在考虑它的单调区间时, 包括不包括端点都可以;但若的取值函数无意义时, 则单调区间不包括该点。

3. 单调性的证明

根据定义证明函数单调性的一般步骤是:

(1) 设x1, x2是给定区间内的任意两个值, 且x1<x2;

(2) 作差f (x1) -f (x2) , 并将此差式变形 (要注意变形的程度) ;

(3) 判断f (x1) -f (x2) 的正负 (要注意说理的充分性) ;

(4) 根据f (x1) -f (x2) 的符号确定其增减性。

4. 复合函数的单调性

复合函数单调性的根据是:设y=f (u) , u=g (x) , x∈[a, b], u∈[m, n]都是单调函数, 则y=f[g (x) ]在[a, b]上也是单调函数。

(1) 若y=f (u) 是[m, n]上的增函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相同;

(2) 若y=f (u) 是[m, n]上的减函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相反。

复合函数单调性的规律见下表:

教学反思：函数的单调性 篇3

关键词：“三自主”教学；函数单调性；教学设计

教学背景

函数的单调性是函数的一个重要性质，函数单调性的学习对于今后学习函数其他性质以及研究基本初等函数具有重要意义，在其他方面也有着广泛的应用，在高考中有着重要地位.在前几届的高一教学中，对于函数的单调性，笔者都是按照传统模式上课的，教师引入——提问——讲解——总结，学生思考——回答——练习——小结. 但是实践下来，学生对单调性概念中的“任意”两字理解还是不深刻，一些易错的地方总是要出错，如反比例函数在定义域内为什么不单调，定义法证明的步骤不规范、不严谨等. 究其原因有两点：一是学生上课前没有预习，缺少对概念的基本了解，学生被教师牵着鼻子走，没有自己的见解和思想. 二是虽然教师在讲解时作了适当的引入和铺垫，但由于课堂时间的有限性，还是导致学生参与的太少，因此无法深入理解概念. 本文是笔者在函数单调性概念课开展“三自主”教学的一次成功尝试. “三自主”模式是为探索适合我校实际，为提高学生学业成绩和自主学习能力而开展和实施的一种教学模式. “三自主”即课前自主预习、课内自主探讨交流、课后自主练习. “三自主”模式是指学生学习过程中的三个环节：课前预习环节让学生自主预习，完成学案中的问题导引和尝试习题；课内自主探讨交流环节是指在学生完成学案的基础上，师生探讨交流，教师进行有针对性的讲授，然后完成课内过关练习，教师当场组织校对答案，及时反馈课堂教学效果；课后自主练习环节是在完成课堂教学任务后，学生自主完成教师精心设计的课外提高训练.

下面就这一课时的问题导引和尝试练习的编制及教学探讨笔者的设计思路及看法.

学案的设计

问题导引和尝试练习是“三自主”数学学案的两个重要模块，它们的编制要围绕教学目标的达成而设计. 现对教学目标作如下分析：（1）知识与技能：理解函数的单调性、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用定义证明简单函数的单调性，同时体会数形结合的思想方法.（2）过程与方法：通过学生自主预习且完成学案，引导学生举出实例，画出函数的图象，观察、猜想、操作、验证、抽象、概括，形成概念，通过探讨、交流、体验，由直观感知到符号表示、由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律，经历和感悟定义形成及数学知识的发生、发展过程. （3）情感态度与价值观：经历自主学习、探讨交流的过程，体验数学的思考和研究问题的方式，提升数学阅读理解能力及数学素养，培养勇于探索、求真务实的科学自主精神. 围绕这个教学目标，笔者编制了如下的问题导引和尝试练习：

1. 问题导引的设计

（1）函数的表示法有哪些？你能用图象法举出函数的几个具体的生活实例，并结合图象说明函数的变化规律吗？

设计意图：复习上一节内容的同时，通过具体的生活实例让学生观察函数图象的上升、下降，使其形成对函数增减性的直观感知，认识到研究函数增减性的实际意义.

（2）试用图象法说明在定义域内函数y=x2随x的增大，相应的y的值如何变化？

设计意图：借助熟悉的二次函数图象，引导学生归纳出函数图象在定义域内不总是上升或下降，进而提问学生如何更准确、更具体地刻画图象的有升有降，让学生体会引入区间来刻画升降的必要性，说明函数的增减性是相对于某一具体区间而言的.

（3）试用列表法分析和判断f（x）=x2的增减性.

这种分析方法完整和严密吗？为什么？

设计意图：引导学生把从图象上得到的单调性变化规律转化到用数学关系来表述. 由直观到抽象，揭示知识的生成过程；使学生认识到自变量取值的无限性，即自变量是无法用表格一一列举完全的，激发学生的寻找有效证明方法的兴趣；从而引导学生想到能代替无限取值的两个任意自变量x1、x2，进而去比较f（x1）与f（x2）的大小. 从而突破了教学难点，让学生明白增减性定义形成的必然性和价值.

（4）试用解析法，即代数推理的方法，证明f（x）=x2在区间［0，+∞）上f（x）随x的增大而增大？

设计意图：让学生体会判断函数单调性与证明函数单调性的差别，尝试用定义法去证明单调性，虽然步骤不完整，但因为有了事先对教材的阅读，学生基本上都能想到此法. 同时引导学生得出比较两数大小的基本方法：作差法.为用定义法描述和证明单调性作了第一次铺垫.

（5）增函数（减函数）的定义怎样？请指出哪些是关键词，并说明这些关键词的作用与含义. 定义中“当x1

设计意图：促成学生对概念的深刻理解，引导学生去探究概念的本质，达到对概念的完整认识，建立斜率与导数的几何形式的联系. 特别要引导学生理解以下两方面；一是定义表述中强调了给定区间，就是说函数的单调性是相对于某一具体区间而言的；二是定义表述中的“任意”x1、x2，隐含了两方面的含义：第一x1，x2必须是同一个单调区间上的两个自变量；第二x1、x2在同一个单调区间上必须具有任意性，否则定义将不具备充分性.

（6）什么是函数的单调性？什么是单调区间？单调性与增减性有什么联系？

设计意图：为学生理解相关概念提供思考的问题，引导学生在自主预习中作深入思考，理解概念的本质. 单调性分为增函数和减函数两种情况，若一个函数在某区间上它既有增又有减，那它在该区间上就既不是增函数也不是减函数，即在这个区间上不单调；为了能局部地描述图象特征，因此引入了单调区间的概念，也就是说确定在哪个范围是增的，哪个范围是减的，因此函数的单调性是针对某一范围来讲的.

（7）仔细阅读书上第29页例2，体会函数单调性在物理学中的应用，并总结用定义法证明单调性的步骤.

设计意图：掌握证明函数单调性的方法及基本步骤，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事，将代数证明程序化、符号化，同时体会单调性在实际问题中的应用，呼应了问题1研究函数单调性的实际意义.

2. 尝试练习的设计

例1 如图1所示，此函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________.

设计意图：能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间.

例2 填表

设计意图：以表格形式呈现有益于掌握这三个基本初等函数的单调性，同时体会定义域是研究单调性的前提，单调区间一定是定义域的子集. 其次二次函数和反比例函数是学好单调性的很好载体，把这两个函数弄清楚了，以后其他的函数也就没问题了. 引导学生用两个很形象的语句来描述这两个函数单调性的特征，二次函数的特征是“一国两制”，同一个函数两个不同的单调性，这里对于反比例函数单调性组织学生讨论，最终得出其特征是“军阀割据”，尽管在（－∞，0），（0，+∞）上都是增或减的，但它们各自为营，互相独立，不能将区间合并，同时总结如何用反例否定函数的增减性.

例3 已知函数f（x）=x+（x≠0），证明函数在［1，+∞）是增函数.

设计意图：通过学生板演，暴露学生的错误及表达的不规范性，然后让学生自我纠错，完善解题步骤. 最后师生总结书写的注意点及解题中关键步骤“变形”的目标和基本技能，形成“取值—作差—变形—定号—判断”这一基本步骤.

例4 已知函数f（x）=ax2－2x+3在（－∞，3）上为单调函数，求a的取值范围.

设计意图：对单调性的拓展与延伸，使学生理解“在某个区间上具有单调性”与“函数的单调区间是某个区间”这是两个不同的概念，前者是后者的子集；同时巩固一次与二次函数的单调性知识，渗透分类讨论的思想：其一是对二次项系数是等于0、大于0还是小于0的讨论，其二对单调函数要分成单调增和单调减两种情况考虑.

“函数单调性”的“三自主”教学反思

1. 开展“课内探讨交流”前，教师需要充分了解学情

“三自主”模式提出把课堂还给学生，表面上好像解放了教师，其实不然. 教师需要对学生及其学习的知识点的情况有很高的熟悉程度，课前需要对学案进行检查和批阅，以便教师更好地在课堂中起启发、引领的作用. 譬如例4的解答，在检查学案时发现学生的解答条理不清，不会分类讨论，其次还是用单调性定义在证明. 这说明学生不知道一次函数和二次函数单调性的结论可以直接运用. 此时就需要教师及时点拨、引导和总结. 同时，由于在课堂上可能出现更多、更复杂的一些即兴情况，这就需要教师站得更高，根据实际及时来调整课堂.

2. 教师要设计“有效”的问题导引和尝试练习

张奠宙教授提出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态” .学案中的问题导引和尝试练习是学生的指路明灯，它起到指引学生进行自主预习、促进学生由浅入深理解概念及学会运用概念的作用，问题导引和尝试练习编制的质量好坏直接关系到“三自主”上课的成败. “三自主”教学模式基于问题导引和尝试练习的定向设计，使得学生易于接受和理解教科书上的冰冷的学术形态. 同时，学生在完成学案和探讨交流中暴露出来的问题， 使得教师易于捕捉学生存在的问题，从而进行“有的放矢”的教学，以致提高课堂教学的有效性. 最关键的是，“三自主”教学以学生自主预习为前提，以学生探讨交流为重心，易于培养学生良好的自学习惯和提高学生的自主能力，最终达成培养学生分析问题、解决问题和总结反思能力的目的.

3. 教师要有选择地引导学生开展“课内探讨交流”

《函数单调性》复习课教学反思 篇4

函数单调性是高中数学最重要的知识点之一，学习起来并不容易，在教学时不能贪图进度和难度，要给学生一定的时间去体会去理解。对于这节课：单调函数的概念是重点，函数单调性的判断与证明是难点。教学时主要使用启发式，好处是学生在教师的引导下可以很快基本掌握函数单调性这一知识点。

在高一时我的教学过程是：按照大纲要求，将概念引入、讲解、重点分析、举例巩固、课后练习。这堂课无论是自己或者学生都反映良好，概念清晰，学生在完成课后作业的时候也准确率较高。但是，在期末复习的时候，问题还是暴露出来，学生对于单调性的概念由于时间关系已经模糊了，产生了类似于自变量大，函数值大，即可以得到函数是增函数的错误结论。已经忽略了自变量取值的任意性这一基本要求，概念不清；更有甚者，连“对于任意的x1

现在总复习了，如何完成教学任务已不足以满足我的要求，我思考的是如何利用有限的课堂教学时间，使学生在准确理解“函数的单调性”的有关概念的基础上，掌握数形结合的思想方法，加深对概念的认识，为进一步的转化为程序性知识做铺垫。前两次的教学我采用的都是利用课本的引例，即利用二次函数和三次函数的图象，让学生直观地看到“单调递增”或“单调递减”的现象，然后就单刀直入地提出了“函数的单调性”这个概念，解释一下要点“任意”、“都有”、“定义域”、“区间”，就结束了，直接进入应用概念的阶段。好处是节约时间，直接明了，条理清楚；缺点是学生对于概念的本质认识模糊，很容易随着时间的流逝将其遗忘，特别是在处理一些概念性较强的证明题时尤为明显。为了让学生对概念理解的更透彻，后续学习更加顺利，我在这一次的教授过程中做了适当的调整。引入部分还是采用了二次函数，还加入了一次函数和反比例函数。这两个特例，前者是课本证明题例２；后者既是例３又承担着概念辨析的重要职责。这样的安排，一方面是考虑到学生实际情况（直观现象容易为其所接受），一方面也是尽最大可能地利用课本承前启后。学生在描述上述三个函数图象的时候较为顺利，此时我引导学生观察一次函数的图象，描述其的特征：从左往右图象上升。然后顺势提出让学生观察其余两个函数的图象，是否有类似的现象。学生１：二次函数图象上升；学生２：二次函数图象下降；学生３：二次函数图象下降后上升。学生１和学生２在学生３回答后感觉自己似乎错了，但又说不请理由。此时，教师指出：在同一个观察任务中必须按照一定的标准，观察的顺序应沿x轴的正方向即“从左向右”，即可得到正确答案。学生在理解错误原因过程中亦得到了正确的研究方法。通过观察，大家发现了上述三个函数存在从左往右看图象上升或下降的现象，及时提出课题“函数的单调性”，并指出以上函数的单调性及增减函数的名词。直观上承认这一性质以后，我放弃了以前直奔主题的做法，结合学生常常接触上下楼为情景。由学生仿照刚才的分析，解释图象的“单调”特征。继而提出：图象特征如何转化为数学语言？经过思考，通过图象直观的影响，教师的启发，学生归纳总结函数单调性的定义。到此，学生通过自身的探索终于接近目的地，自己给出了“增函数”的定义。我让学生打开书本，与书上的定义进行比较，肯定他们的成果，并提示采用书本更为精确的用语。这个定义的给出，与以往我生硬地将课本定义直接给出大相径庭，由学生容易接受的直观图象开始，先形成“单调性”是函数的一种现象、“增（减）函数”是什么样的这样的印象，由学生自主探索接近、得到定义，学生对此印象深刻，理解深入，而且激发了学生的自信心：原来自己也可以写数学定义。兴奋点启动以后，后续的学习就顺利多了，“减函数”，“单调区间”的定义很快给出。最后指出“函数的单调性”本质上反映了函数随自变量的变化函数值相应地发生变化的性质。这个结论的提出，在一定的高度上对“函数的单调性”作出了最本质的概括，学生深受触发。本节课留给学生较多的活动机会，可总结为四给：

（一）给学生以看的机会；

（二）给学生以想的机会；

（三）给学生以说的机会；

函数的单调性教学设计 篇5

设计理念

新课程背景下的数学教学既要注重逻辑推理，又要关注直觉思维的启迪，不仅要让学生学会，更要让学生会学，要让学生学习的过程成为其心灵愉悦的主动认知的过程．基于以上设计理念，对于本节课，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价等六个方面进行简单说明。

一、教材分析

函数的单调性是在研究函数的概念之后的第一个函数的性质，既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容奠定了基础，同时为初高中知识的衔接起着承上启下的作用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。根据函数单调性在教材中的地位和作用及课程标准的要求，本节课教学目标如下： 知识与技能

使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判定函数单调性的方法； 过程与方法 通过探究活动渗透“ 数形结合”思想，使学生明白考虑问题要细致缜密，说理要严密明确。

情感态度与价值观 感受数形结合的数学之美，使学生认识到事物在一定条件下可以相互转化的辨证观点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成．

虽然高一学生对函数单调性有一定的感性认识，但抽象思维能力还有待加强．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成与应用．

二、教法学法

1．在教法上采取了：通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性，从而正确形成概念 ． 2．在学法上重视了：让学生利用图形直观启迪思维，通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．

3．教学手段：借助信息技术辅助教学，提供直观感性材料，他不仅可以激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，促进师生交流，提高课堂的交互性。

三、教学过程

下面我们来重点探讨本节课的教学设计和整合点分析。

以课前学案的形式，布置个学习小组利用几何画板作出下列函数的图象。意在健全学生的基础认知结构，熟练几何画板的操作，同时可以感受函数图象变化趋势，为教学做好准备。

教学情境引入，采用天气预报声音文件和幻灯片同步播放的方式。在传统教学模式中，恰当地创设情境往往受很多条件的限制，而幻灯片展示图片资料方便快捷，天气预报声音文件的使用激发学生的学习兴趣。

教师趁势展开定义生成的探究活动。要生成定义就要由描述性语言过渡到数学语言，这是认知过程中一个质的飞跃。也是本节教学的一个难点。我借助几何画板的同步直观演示，帮助学生探究增函数的一大重大特征：因变量随着自变量的增大而增大。进一步引导学生探究发现，在某些区间因变量随着自变量的增大而减小。自变量在给定区间变化的重要性。从而生成了增函数的概念。利用信息技术突破了本节课的教学难点。在定义生成的规程中，我们发现有大容量的板书，借助幻灯片展示文本信息，方便快捷。教师可以借助多媒体帮助学生分析图象，进一步理解函数概念。

组织学生小组探究函数的单调性，并请小组代表展示探究成果。

学生刚接触定义，运用并判断函数单调性的能力有待提高.而小组合作可提高学习热情，画图观察便于学生先根据“形”判断单调性；实物展示平台展示绘图成果便于绘图经验的示范与推广．

在交流与练习中，观察函数图象规律是“数形”结合解题的关键，但手绘图象往往耗时较长.学生借助几何画板软件分析函数的单调性，信息技术的介入帮助学生“数形”结合解题，使其体会到手脑并用、成功解决问题的快乐．教师运用数学实验室无线局域网络的辅助教学,可将主机切换到各小组的操作界面。不仅实现了小组实验表现和结论的展示，又实现了实验资源的共享。解决了在传统教学模式中，各小组间的交流与比较非常困难.作业布置，引导学生运用所学的知识解决生活中的常见问题“糖水加糖甜更甜”的生活现象。通过数学建模，构造以糖的份量为自变量的xy浓度函数，通过操作几何画板，学生可以轻松地发现随着糖x1份量的增加，糖水的浓度也增大，从而运用数学知识解决了化学问题。也让学生意识到知识来源于生活，更能应用于生活。

教学反思，本节课的教学是以实验活动为中心，以探索数学规律为出发点，以学生的可持续发展探究能力为培养目标。是将信息技术与课堂教学整合的一次新的尝试。在教学过程中，大量加工处理并使用了声音、图片、动画、几何画板、实物展示平台等多种信息技术，进而突出重点，突破难点。不仅把信息技术作为教学的辅助手段，也作为促进学生自主学习数学知识的认知工具和情感激励工具。

教学评价。参与程度、合作意识、思考习惯、发现能力。尤其是在分小组实验中，基础薄弱的同学容易产生厌怠的情绪，而且承担的任务量较小。针对这种现象，采用分层教学。

总之，这节课达到了预设与生成的辩证统一。从课后反馈的效果来看，我的教学是成功的。最后，是我的板书设计。谢谢大家！

（一）创设情境 提出问题

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．首先创设情景，通过两个问题，引发学生学习的好奇心．

（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2009年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

（二）探究发现 建构概念

[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。

[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当家集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．

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（三）自我尝试 运用概念

1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？

（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：，，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．

[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画的草图和标出的单调区间，并指出学生回答时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．

[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．

[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．

[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．

[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和步骤：取值、作差变形、定号、判断．

[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

（四）回顾反思 深化概念

[教师活动]给出一组题：

1、定义在R上的单调函数函数还是单调减函数？

2、若定义在R上的单调减函数取值范围吗？

[学生活动]学生，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的互相讨论，使学生在探求问题的解答和问题的解决过程中，深切体会本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：

（1）阅读教材

（2）书面作业：

必做：教材 P43 1、7、11 选做：二次函数一吗？

在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯

满足，你能确定实数的满足，那么函数

是R上的单调增探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．

[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

四、教学评价

函数的单调性单元教学设计 篇6

摘要：单元教学设计是指对某一单元的教学内容作具体的教学活动设计。这里的单元可以是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。本文以人教A版高中数学函数的单调性为例，从单元教学目标、要素分析、教学流程设计等几方面进行了整体设计，以便更好地实现教与学。

关键词：高中数学

函数教学

单调性 单元教学设计

单元教学设计是指对某一单元的教学内容作具体的教学活动设计，这里的单元可以是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性、综合性。下面我就以人教A版高中数学函数的单调性为例进行单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析、教学流程设计、典型案例设计、反思与改进等。

一、单元教学目标

一是理解函数的单调性概念;二是会利用代数法和导数，“定性”“定量”多角度研究函数的单调性;三是理解函数的单调性在认识函数性质中的作用和地位。

二、要素分析

（一）数学分析

一是函数的单调性在高中数学中的地位。首先，函数是高中数学的一条主线。克莱因说：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分的综合。”函数是客观世界的一个基本数学模型，用于刻画“变化”，体现两个变量的依存关系。其次，函数有很多性质，高中阶段单调性最重要。第三函数单调性贯穿整个数学教学，初中以具体函数为载体，“感性”认识函数值随自变量的变化如何变化。高中利用代数法和导数，“定性”“定量”多角度研究函数的单调性。二是函数的单调性刻画“变化”，而变化无处不在。

（二）标准分析

在必修阶段，学生要经历从“具体到抽象”，“图形语言到自然语言，再到符号语言”的思维过程。这一过程不但有利于学生对函数单调性定义的理解，而且还有利于培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。首先，归纳总结能力的培养。学生对基本初等函数已非常熟悉，如何将学生对函数的单调性的原有认知，转化为以导数为依据的认知是不可忽视的问题。其次，逻辑思维的培养，教材只给出了函数单调性的充分条件，但在研究具体函数的单调性时并不够，如何处理这部分教材是教师要重点思考的问题，而这一问题也正是培养学生逻辑思维能力的优良载体。

（三）学习者特征分析

学生对一次、二次、反比例函数等已有较好的认识，印象应该是深刻的;学生的直觉思维优于逻辑思维，感性认识胜于理性思考;学生的演算、恒等变形的能力有待加强，此处也正是培养学生这方面能力的载体。

（四）重点难点分析

函数的性质是研究函数问题的基石，对函数的定性和定量分析是研究函数的两个不同角度，但同等重要。在必修中，函数的单调性的定义的形成过程是重点，将学生对已熟知函数的单调性从感性认识上升至理性认识是核心;在选修中，理解导数为何可以“定量”刻画函数的变化是基础，理解导数与函数单调性之间的关系是重点，能利用导数研究函数的单调性是目的。

（五）教材对比分析

现行教材有六个版本，分别为人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版和鄂教版，以前四个版本使用较多。教材的多样性为教师的教学提供了充足的材料，教师可以根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法。下面以前四种教材为例，谈谈在函数单调性定义方面，各教材在处理上的不同之处。一是定义引入的方式不同。人教A版和人教B版以具体的函数引出函数单调性的描述，而北师大版和苏教版则以实践中的具体实例引出函数单调性的概念。引入方式的不同，无所谓“优”与“劣”，教师可以结合学生的实际情况，采用不同的处理方法。定义的方式不同：人教A版、北师大版和苏教版采用了传统教材对单调性的定义方式，即在通过自变量的增大过程中函数值的增大或减小来定义;人教B版的教材则采用自变量具有正增量时函数值增量的符号加以定义。人教B版在其后安排了“探索与研究”，定义了平均变化率，希望学生能探究函数的单调性与增长快慢之间的联系，为选修系列导数做了铺垫。

（六）教学方式分析

这一过程可以灵活采用各种教学方法，我们学校主要采用五环节教学法，即：师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示、老师精彩点评。

三、教学流程设计

基于函数的单调性在中学数学中的特殊地位，对函数单调性的教学可以分为以下几个阶段。第一课时：以理解函数的单调性概念为主要教学目标，学生对单调性的认识能依据函数图象指出其单调区间;初步理解用代数法证明（确定）单调区间的理论依据。第二课时：在理解函数的单调性定义的基础上，能熟悉、巩固证明函数单调性的方法，从“判定”和“性质”两个方面进一步理解函数的单调性。基本初等函数和数列学完之后（1课时），这个阶段以梳理基本初等函数和数列的单调性为主，让学生进一步理解函数的单调性及其在认识函数性质中的作用和地位。不等量关系后的梳理（1课时）。选修阶段（2课时）。第一课时：以基本函数为载体，结合曲线切线的几何意义，学生能借助直观初步理解函数的单调性与导数符号之间的关系;第二课时：在认识和理解函数的单调性和导数符号之间关系的基础上，学生能利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间。高考备考阶段（1课时）学生对用代数法和导数两种方法研究函数的单调性有了比较全面和系统的认识。

四、典型案例设计

必修时期：必修一，函数的单调性（概念课）;选修时期：选修2-2，导数的应用;高三复习时期，专题复习，函数的单调性。（略）

五、反思与改进

中职卫生学校函数单调性情感教学 篇7

所谓中等职业教育,就是为实现社会发展与经济建设之需,在各水平 教育基础 上 ,对人才职 业技能进 行培养的 一种专门化 教育。中 等职业学 校的学生 正处于人 生观、价值观 及世界观形成的关键时期,因此对他们加以正确引导具有必要性。

国内有关研究显示,职业情感和职业态度比较稳定、积极者,其业务能力和职业胜任感相对较强,人际交往也比较顺畅。在中国传统教育观念中,对情感教育极为注重,而现代时期也非常重视情感教育, 尤其突出表现在中等职业卫生学校中,而以个人为中心的情感教育不同于理性教育。情感教育是灵魂教育的一种,承载着社会的道德良知。所以,中等职业院校的卫生学校应该对中等职业生心理困惑、思想状况及实际需求予以深入了解,以此实现学生专业技术、职业情感等的均衡发展,比如在为学生传授函数单调性相关知识点时,应该将情感教学方法应用于其中。本研究主要分析与探讨了中职卫生学校函数单调性情感教学。

二、情感教育的内涵

对于情感教育的内涵,在不同教育与文化背景下,国内外学者所做的表述也有所不同: 英国沃里克大学于1994年所召开的全球性情感教育学术研讨会议中,全球很多地区与国家学者系统、深入讨论了情感教育问题,并针对情感教育本质达成了共识,即:情感教育属于教育过程范畴,情感教育注重学生在学习知识过程中的情感、态度、情绪及信念,包括注重学生社会发展、个人发展及自尊。我国科学研究人员朱小蔓明确指出, 情感教育其实就是注重人的情感层面怎样在教育影响下走向新高度、产生新质,同时也是注重作为人类生命机制的情绪机制怎样和思维机制、生理机制一同协调发挥重要作用,从而达到理想功能状态。还有很多研究者认为,情感教育是教育教学过程中,教师在对认知因素予以充分考虑的同时,将情感因素积极作用充分发挥出来,从而增强教学效果、达到教学目标的教育。此为作为教育者的人教育受教育者所展开的真正教育, 在情感教育教学中情感因素与认知因素才能实现和谐统一。

笔者认为,在教育教学过程中,情感教育是其重要组成部分,并且坚持以人文本原则。以学生积极的情感体验为动力,对教育要求进行主动内化,主动开发学生内在潜能,奠定学生可持续、健康发展的基础。由此可见,情感教育是孕育美好道德行为与道德教育艺术化形态形成的必由之路, 也是培养学生创造力与展开科学教育的关键途径。

三、中职卫生院校生学习过程中的情感现状

从根本上说,态度的本质与核心是情感,中等职业卫生学校学生所具备的情感态度为职业态度、生活态度及学习态度。学生在学习过程中的情感态度具体在以下方面表现出来。

1.学习态度不端正

一般刚刚入校的中职生,各科成绩都比较差,学习行为习惯也不是特别好,缺乏学习兴趣。课堂上,学生小动作比较多,也不认真做课堂笔记,甚至厌恶、反感教师的批评。

2.生活习惯比较差

通常中等职业卫生学校的学生日常习惯都不是特别好,尤其是生活作息习惯,团结协作精神不强,盲目攀比情况比较严重。

3.缺乏职业意识

入校专业选择方面, 很多学生都会参考就业前景与父母意见,由于感兴趣而对该专业加以选择的学生非常少。学生职业意识极为匮乏,其在实际操作过程中存在操作不规范、不熟练操作规程等情况。

四、教学条件分析

1.教材分析

教师要对教材中的函数图像予以充分利用, 指导学生以观察图像的方式直观认识函数的基本性质, 使抽象知识直观化,将数形结合教学理念充分体现出来。

2.学情分析

在函数章节中,函数单调性为第三节课,通过对学生进行前两节课程的情景教学, 降低了学生对函数单调性学习的恐惧感。因此,在设计教学方案过程中,依旧要采用情景教学模式,指导学生从身边较熟悉的东西开始,循序渐进,由浅入深地进行函数单调性教学。

五、三维目标

1.技能与知识目标

技能与知识目标第一层为:a. 认识与掌握函数单调性概念;b.有效掌握函数单调性判别的图像观察方法;c.有效掌握函数单调性判别的推力证明方法;d.明白函数单调区间。第二层为:a.认识与掌握函数单调性概念;b.有效掌握函数单调性判别的图像观察方法;c. 有效掌握函数单调性判别的推力证明方法;d.明白函数单调区间。第三层为:a.认识与掌握函数单调性概念;b.有效掌握函数单调性判别的图像观察方法。

2.方法与过程目标

采用创设情境的方式,指导学生合作、观察及探究数学教学中函数图像的性质,以此对函数的单调性予以直观感受,通过向学生讲授认识与掌握函数单调性判别的证明方法, 以联系的方式强化巩固新知识。

3.情感态度与价值观目标

探究函数单调性 的概念与 定义 ,采用渗透 数形结合 的理念方法 , 对学生语 言表达能 力、抽象 、观察及 归纳能力进 行培养 ; 通过证明 函数单调 性 ,使学生的 函数推理 论证能力得 以提高 ;通过探究 知识过程 ,对学生认 真分析、细 心观察及严谨论证的思维习惯进行培养, 使学生能够感知由特殊至一般、具体至抽象、感性至理想的综合函数单调性认知过程。

六、教学难、重点

该节课程的教学重点就是函数单调性概念, 如何判断函数单调性,以及如何证明函数单调性。该节课程的教学难点在于依照定义证明函数单调性。

七、教学进程

情景导入:每个周末,学生就会去本地百货超市购置东西。可以向学生提问:去百货超市的这段路程中,属于下坡还是上坡? 在平面直角坐标系中画出这段路程简图是什么样子呢?

让学生认真观察图形,说出图像从左至右有何变化趋势。

1.图像分析法

该函数图像由左至右呈增高趋势的函数就叫做增函数,也就是逐渐增加函数值的函数。

在学生以往所学习的一首诗《大林寺桃花》中如此描述:“人间四月芳菲尽 ,山寺桃花始盛开。”该句将由于海拔的逐渐上升,气温随之递减的现象形象反映出来,一般海拔每上升100米,那么气温就会降低0.6℃。因为海拔越高,该处的氧气也就越少,造成气温下降。而白居易所写的这首诗中所提到的大林寺有着1100~1200米的海拔, 高于本地平均平地海拔,气温要低于平面大约6℃,所以桃花开放要晚于平面大约25天。也就是说 ,与山下物候相比 ,山上的物候足足晚了一个月。如果初始温度是25℃, 则海拔气温与高度的关系为:y=25-0.6x.

用图像表示该函数关系如何表示呢?

请同学们认真观察图形,图形由左至右的变化趋势如何?该函数图像由左至右呈降低趋势的函数叫做递减函数。讨论: 同学们可以列举出日常生活中减函数或者增函数的事例吗?

比如,接水的水缸、燃烧的蜡烛,等等。对以下函数图像进行观察,对其为减函数或者增函数进行判断。

例1:函数y=2x+1

例2:函数y=4/x

例3:函数y=-2x+2

例4:函数y=x2

y=x2图像在(-∞,0]区间上呈现降低趋势,而且随着x数值的上升,y值也会相应减小,因此,在(-∞,0]区间上,y=x2图像为减函数;在(0,+]区间上,该函数呈现上升趋势,而且随着数值x的上升,y值也会相应增大,所以,在(0,+∞]区间上,y=x2的图像为增函数。

2.定义法

对于给定区间函数f(x):a.若该区间任意两个x值:x1、x2,如果x1<x2,f(x1)<f(x2),说明在该区间中 ,f(x)为增函数 ,也可以叫单调递增函数;b.若对于给定区间函数f(x):a.若该区间任意两个x值:x1、x2,如果x1<x2,f(x1)>f(x2),说明在该区间中 ,f(x)为减函数,也可以叫单调递减函数。

教学反思：函数的单调性 篇8

数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.

“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾

“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.

这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.

因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：

（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；

（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.

2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾

我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.

然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.

因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.

3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾

这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

结语 当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

结语 当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

教学反思：函数的单调性 篇9

二、内容分析1.在研究函数的性质时,单调性是一个重要内容,实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,既未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化、提高:给出了函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间(实际上可推广到一个有序实数的集合来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据其定义进行证明的较为严格的方法,最后根据观察图象得出猜想,用推理证明猜想的思想,将以上两种方法统一起来。2.例1是根据图象来说明一个函数的单调区间,以及在每个单调区间上是增函数还是减函数,由于例1中的函数是一个闭区间上的连续函数,可以采用观察图象的方法进行判断,应注意如果遇到某些点上不连续的函数,单调区间可能不包括不连续点。3.例2是用推理证明一个一次函数是增函数。由于学生在初中学习代数时,其结论一般是通过对具体事例的不完全归纳、观察图象等方式得出,应该说这里的例2是学生第一次接触“代数证明”,因而可能会感到不习惯。应该指出,对于某些较复杂的函数,其是否具有单调性是很难从对图象的观察得出的,由此说明采用推理证明方法的重要性,本例中所采用的推理,是数学中最基本的、从定义出发进行证明的方法。即为了证明函数f(x=3x+2在R上是增函数,根据函数在R上是增函数的定义,就是要证明对于以上的任意两点,均有,由于所取两点的任意性,这种“局部”的性质就成为“全局”的性质。对于例2之后的“想一想”,可安排学生练习,在这之后,不妨让学生进一步“想一想”,一次函数f(x=kx+b在R上的增减性与一次项系数k有什么关系? 4.例3是用来进一步练习从定义出发进行证明的方法。这里应该注意,x=0不属于函数的定义域,因此不能将区间(0,+∞误写成〔0,+∞,也不能说[!--empirenews.page--]上在区间(-∞,+∞上是减函数。

三、教学过程1.复习提问在初中,有没有学过函数的增减性?(学过一次函数和二次函数在R上是增函数还是减函数?(一次函数f(x=kx+b 在R上,当k>0时是增函数,当k<0时是减函数一些函数的增减性是怎样知道的?(观察图象得出2.新课讲解讲函数在一个区间上是增函数或减函数的定义,在讲这个定义时注意:(1始终结合函数的图象来进行,以增强直观性,便于理解。(2强调区间上所