1数学证明

1数学证明（推荐11篇）

1数学证明 篇1

【知识盘点】

1．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理

一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做_______．

2．证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：（1）按题意________；（2）分清

命题的________，结合图形，在“已知”中写出______，在“求证”中写出______；（3）在“证明”中写出______．

3．命题“两边上的高相等的三角形是等腰三角形”的条件是________，结论是________．

4．已知∠A=（x-20）°，∠B=（80-3x）°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则

x=________．

5．在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=______，∠B=_______．

6．如图1所示，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=110°，∠2=________．

(1)(2)(3)

7．如图2所示，AB∥CD，CE平分∠ACD并交AB于E，∠A=118°，则∠AEC=_______．

8．如图3所示，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=_______．

【基础过关】

9．如图4所示，a∥b，∠1为（）

A．90°B．80°C．70°D．60°

(4)(5)(6)

10．已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

11．如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）

A．1个B．2个C．3个D．0个

12．如图6，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，•有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中正确结论的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【应用拓展】

13．如图所示，已知AC∥DE，∠1=∠2．求证：AB∥CD．

14．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠

CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．

15.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是 △ABC的两条角平分线，相交于点O。

（1）当∠ABC=60O,∠ACB=80O时，求∠BOC的度数

（2）当∠A=40O时，求∠BOC的度数

（3）当∠A=100O,120O时，求∠BOC的度数

（4）当∠A= X时，求∠BOC的度数(用含X代数式表示）

【综合提高】

16．如图所示，AB∥DE．

（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．

（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D•之间的关系仍然满

足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：

1数学证明 篇2

我们在探索“3x+1猜想”的过程中发现了这样一个命题:若an∈{4n+3 (n∈N) }, 则an能经过有限次变换得到an'∈{4m+1 (m∈N) }, 这个命题的被证明将使我们向破解“3x+1猜想”走近了一步.下面我们给出这个命题的证明.

对确定的an=4n+3 (n∈N) , 分以下四种情况讨论:

(1) 当n≡0 (mod4) 时, 4n+3→2 (3n) +5, 2 (3n) +5≡5≡1 (mod4) ∴an'=2 (3n) +5∈{4m+1 (m∈N) };

(2) 当n≡1 (mod4) 时, 4n+3→2 (3n) +5→32n+8, 9n+8≡17≡1 (mod4) , ∴an'=9n+8∈{4m+1 (m∈N) };

(3) 当n≡2 (mod4) 时, 4n+3→2 (3n) +5≡17≡1 (mod4) , ∴an'=2 (3n) +5∈{4m+1 (m∈N) };

(4) 当n≡3 (mod4) 时, 设n=4i+3 (i∈N) , 则4n+3=16i+15.

当i=0时, 16i+15=15→23→35→53≡1 (mod4) .

当i=1时, 16i+15=31→47→71→107→161≡1 (mod4) .

当i>1时, 对i作以下代换:若i为偶数, 记i1=, 若i为奇数, 记i1=;若i1为偶数, 记i2=, 若i1为奇数, 记i2=;若i2为偶数, 记i3=, 若i2为奇数, 记i3=, …, 一直继续下去, 则有i>i1>i2…>ij-1>ij>…, 所以必定存在正整数r, 经r次代换后, 使得ir=1 (i>i1>i2>…>ij-1>ij>…>ir-1>ir) .

第一次代换:

若i为偶数, 则16i+15=25i1+15→24 (3i1) +23→23 (32i1) +35→22 (33i1) +53≡1 (mod4) .

若i为奇数, 则16i+15=25i1+24+15→24 (3i1) +23×3+23→23 (32i1) +22×32+35→22 (33i1) +2×33+53≡3 (mod4) ;

第二次代换 (i为奇数) :

若i1为偶数, 则16i+15=26i2+24+15→25 (3i2) +23×3+23→24 (32i2) +22×32+35→23 (33i2) +2×33+53→22 (34i2) +34+80≡1 (mod4) .

若i1为奇数, 则16i+15=26i2+25+24+15→25 (3i2) +24×3+23×3+23→24 (32i2) +23×32+22×32+35→23 (33i2) +22×33+2×33+53≡3 (mod4) ;

第三次代换 (i1为奇数, 以下表述稍作简略) :

若i2为偶数, 则16i+15=27i3+25+24+15→…→24 (33i3) +22×33+2×33+53=24 (33i3) +33 (23-2) +53→23 (34i3) +34 (22-1) +80=23 (34i3) +34×22-1→22 (35i3) +35×2-1≡3×2-1≡5≡1 (mod4) .

若i2为奇数, 则16i+15=27i3+26+25+24+15→…→24 (33i3) +23×33+22×33+2×33+53≡3 (mod4) ;

第四次代换 (i2为奇数) :

若i3为偶数, 则16i+15=28i4+26+25+24+15→25 (33i4) +23×33+22×33+2×33+53=25 (33i4) +33 (24-2) +53→24 (34i4) +34 (23-1) +80=24 (34i4) +34×23-1→23 (35i4) +35×22-1→22 (36i4) +36×2-1≡1×2-1≡1 (mod4) .

若i3为奇数, 则16i+15=28i4+27+26+25+24+15→…→25 (33i4) +24×33+23×33+22×33+2×33+53≡3 (mod4) ;

……

第r次代换 (ir-2为奇数) :

若ir-1为偶数, 则16i+15=2r+4ir+2r+2+…+26+25+24+15→…→2r+1 (33ir) +2r-1×33+2r-2×33+…+23×33+22×33+2×33+53=2r+1 (33ir) +33 (2r-2) +53→2r (34ir) +34 (2r-1-1) +80=2r (34ir) +34×2r-1-1→2r-1 (35ir) +35×2r-2-1→…→22 (34+r-2ir) +34+r-2×2-1=22 (3r+2ir) +3r+2×2-1.

若r为偶数, 22 (3r+2ir) +3r+2×2-1≡1×2-1≡1 (mod4) ;

若r为奇数, 22 (3r+2ir) +3r+2×2-1≡3×2-1≡5≡1 (mod4) .

若ir-1为奇数, 则16i+15=2r+4ir+2r+3+2r+2+…+26+25+24+15→…→2r+1 (33ir) +2r×33+2r-1×33+…+23×33+22×33+2×33+53.

∵ir=1,

∴2r+1 (33ir) +2r×33+2r-1×33+…+23×33+22×33+2×33+53=33 (2r+1+2r+2r-1+…+23+22+2) +53=33 (2r+2-2) +53→34 (2r+1-1) +80=342r+1-1→34+1×2r-1→34+2×2r-1-1→34+3×2r-2-1→…→34+r×2-1, 同理可得34+r×2-1≡1 (mod4) .

∴当n≡3 (mod4) 时, an能经有限次变换得an'∈{4m+1 (m∈N) }.

1数学证明 篇3

[1]张宏.条件为ab+bc+ca=1的一类不等式的证明[J].中学数学，2009（5）.

作者简介傅平修，男，1965年3月生，1997年破格晋升为中学高级教师.全国中学生数学奥林匹克优秀辅导员；省高中数学骨干教师；市优秀教师、教学能手、学科带头人.三十余年潜心于教育教学及教学研究，主编高中生读物十余部，在《中学数学杂志》等发表论文20余篇.endprint

参考文献

[1]张宏.条件为ab+bc+ca=1的一类不等式的证明[J].中学数学，2009（5）.

作者简介傅平修，男，1965年3月生，1997年破格晋升为中学高级教师.全国中学生数学奥林匹克优秀辅导员；省高中数学骨干教师；市优秀教师、教学能手、学科带头人.三十余年潜心于教育教学及教学研究，主编高中生读物十余部，在《中学数学杂志》等发表论文20余篇.endprint

参考文献

[1]张宏.条件为ab+bc+ca=1的一类不等式的证明[J].中学数学，2009（5）.

1数学证明 篇4

1.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。

2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．

（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．

（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．

C B

3.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.（1）求证：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

4.已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.⑴求证：BEDG；

⑵若∠B60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.C F B A1 P E

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交 BC的延长线于点F．

求证：（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC＋AD．

B F C D E

C

6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.（1）求证：△ABE≌△

ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.B

A

7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F.（1）求证：△ABE≌△DFE

（2）连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并说明理由.ED

B C

8.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：AE＝DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

F

C B

D

9.如图，在平行四边形中，点E，F是对角线BD上两点，且BFDE．

（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；

（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．

10.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，并延长DE至点F，使EF=DE.连接BF、CF、AC.（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）若DEBECE,求证：四边形ABFC是矩形.2D B

11.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角平分线，BE⊥AE.（1）求证：DA⊥AE

（2）试判断AB与DE是否相等？并说明理由。

CB E

12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一动点（不与B、C重合），作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小（变大、变小、不变）

（2）当AB=10时，四边形EDF的周长是多少？ A（3）点D在BC上移动的过程中，AB、DE与DF总存在什么数量关系？请说明.E

1数学证明 篇5

lzh 第 2 页 2013-5-311、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：

图（2）比图（1）多出2个“树枝”；图（3）比图（2）多出5个“树枝”；

图（4）比图（3）多出10个“树枝”；

(1)(2)(3)(4)(5)…照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”.1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

„

③ ② ①

13、按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．

x2y

2若P则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则直线P1P2（称0(x0,y0)在椭圆221外，ab

为切点弦P1P2）的方程是x0xy0y21．那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线a2b

x2y

21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的a2b

2直线方程是．

14、下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x|2x2类比得到复数z的性质|z|2z2；

③已知a,bR，若ab0，则ab类比得已知z1,z2C，若z1z20，则z1z2;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是．．

二、解答题：

15.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数.2

lzh

222第 3 页 2013-5-3 16．已知：sin30sin90sin1503 2

sin25sin265sin2125

17．已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.18．已知abc, 求证：2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.2,by22z3,cz22x6，114.abbcac

lzh 第 4 页 2013-5-3

219．设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.20．通过计算可得下列等式：

2212211

3222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n.即：123nn(n1)2

1数学证明 篇6

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()

A.15B.30C.45D.60

【解析】由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30,FGHG11，∴FGCG．∴CF3FG． CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CF2BF2BC2．

．∴FG3． ∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则CG2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FGHG，CDCG2FG2CF3FG．D∥FB∴．故CG2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，CBCF3FG3

2，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD

∴BDFH∵．］(3FG)2FG22，∴FG3（舍去负值）

22.(本小题满分14分)

ACBC如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分．ABAC

割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果12,那么称直线l为该图形的黄金分割线.SS1

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.5

初中数学证明教学浅论 篇7

我们可以从数学的角度上来理解数学证明。到底什么才是数学证明呢?数学证明就是用可靠的、强有理的、已经公认的定义, 所规定的公理及已经证明的定理和推论来表明或断定此结论的可靠性和真实性。下面我们从以下几点进行说明:

首先, 数学证明能够培养学生的理解能力, 锻炼学生的思维构造意识和交流能力。充分发挥学生的潜力, 使他们牢固地掌握旧知识, 深入地发现新旧知识之间的内在联系, 从而使他们能够通过学过的旧知识作为依据进行逻辑性的说明来求证新知识的存在。比如, 我们用学过的公理:两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行。这一公理也可以简单的说“同位角相等, 两直线平行”来证明我们将要学习的定理:两条直线被第三条直线所截, 如果同旁内角互补, 那么这两条直线平行。这一定理可以简单说成:同旁内角互补, 两直线平行。还有:内错角相等, 两直线平行等。因此, 在学习中就促进了学生形成完整的数学知识结构。然而, 随着科学技术的发展和引进, 特别是现代教育技术的发展和引进以及机器证明的产生使他们感觉到数学证明的容易性, 认为所有的数学问题都可以运用现代技术或者机器解答出来, 而省略了好多步骤, 并且使他们的思维创造也受到了一定的影响, 因此也使我们的学生显的有些惰性了。这是我们每个家长、每位老师所共同关注的一个重要问题。

其次, 综合回顾一下我国的数学教育内容和课程体系可知, 学生真真正正接触数学证明是从七年级也就是初中的平面几何课程中的初等证明开始的。而学生对数学证明学习的评价理应全面反映学生的学习状况。而我们评价的目的就是全面了解学生的学习状况, 激发学生的学习情趣, 促进学生从各个方面发展, 使他们学会由易到难, 由简到繁的一个循序渐进的过程, 切忌走一步登天的捷径。数学无时无刻都伴随在我们的左右, 自然而然的数学证明也随之出现在我们的身边。然而, 随着新一轮课程改革的逐步深入, 学生数学证明的学习也呈现出了多元化的形式。譬如:我们常常遇到的三角形内角和等于180度, 学生就可以通过六七种方法来加以证明。数学证明不仅仅是一门我们必须要去学的课程, 它更是我们学习进步的一种动力, 它是我们感知世界、认识世界、了解世界、探索世界, 乃至改造世界的一个窗口, 一个工具。数学证明的存在, 让人们从无知走向明了, 从黑暗的迷宫走向整个宇宙。因此, 要想学生彻底理解、懂得数学证明, 必须要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程中去, 然后生成新概念, 并运用其解决问题。

最后, 我们要对一个问题进行解释求证, 需要做到的重要的一个环节就是要认认真真的阅读题目, 彻底理解此题的真正意思, 并在阅读中进行必要的观察以及想象, 进而有目的、有计划的进行, 并且运用较持久的感知、记忆、思考将其展开, 这也是解决问题的有效途径。对每一个数学证明, 我们必须要做到反思。正可谓“反思一小步, 能力一大步”, 相应的反思有时也能让我们从数学证明的误区走出来重新进行调整, 提出新的解决方案。数学证明类试题考察的载体形形色色, 所表现的形式也灵活多变, 因此, 我们要突破以往的封闭教学, 充分地将自己的数学知识与逻辑思维能力相结合, 并且, 还需要心理上的进取和勇气。我们往往在很多时候不是想不到, 而是并没有去想;不是做不到, 而是并没有想到要去做;不是不具备必要的数学知识, 而是并没有去想要提取这些数学知识。所以, 我们要创造一个和谐、宽松、融洽的氛围来呈现自己的真实想法, 那样解决此类问题就易如反掌了。

议论文不是数学证明题 篇8

各位看官，《老残游记新编》主打篇目“近年目睹作文之怪现状”——遍观议论，文将不文。乍看观点鲜明，实例丰富，洋洋洒洒，论证有力，齐整有序，而至滴水不漏；再看结构呆板，数学模式，死守步骤，干瘪无味，套路刻意，实为简单肤浅。且劝诸生：文章不是无情物，老师都是有心人，作文不是纯粹证明，思维不可浅尝辄止，有我有感手写我心，多想心思拓展引申。文之为文，有情有魂！

【考纲概述】

高考议论文写作要求：观点明确，论证有力，论据充实。因此有些老师和同学据此得出一个写作公式：论据1+论据2+论据3=观点。这样，就把议论文当成数学证明题了。

走在最前，落于最后

不要总羡慕那些站立云端之上的人，其实站得太高更容易跌落，他们害怕跌落；不要总轻视最底层的人，他们在承受巨大的压力。所以说，世上最痛苦的人有两种：一种是走在最前端的人；一种是走在最后的人。

一条犹如长龙的队伍，第一个人很快地就买到了物品，而最后一个在焦急不安中等待着。第一个之所以能是第一，说明他必须比其他人来得更加早，他害怕，他担心：“我会不会是第一个？不是怎么办？”最后一个人痛苦地等待，他也害怕，他也担心：等轮到他了是否还会有；轮到他了是不是变凉了，变烂了，变质了。

中国经济快速发展，超越日本，位居世界第二。美国一直在围堵中国，企图阻碍中国的发展。美国为什么这样做？美国是世界上最强大的国家，站立云端。但美国又处在痛苦之中，他自己被中国超越，因此总是处处提防着中国，与中国为敌，甚至叫嚣“中国威胁论”。而非洲一些国家因历史原因，在世界队伍中，落于最后。他们处在水深火热的痛苦之中，忍受着饥饿、寒冷、疾病等一系列常人无法想象的痛苦。身处云端，走在最前，便就幸福，便就没有痛苦吗？不，他们最为痛苦，因为他们害怕跌落，害怕自己领先的位置被人取代。落于最后的人就无忧虑吗？不，他们最为痛苦，因为他们忍受着种种苦难，承受着最为巨大的压力，被忽略，被轻视。世界上最痛苦的人莫过于此：身处云端，害怕跌落；落于最后，压力巨大。

“本是同根生，相煎何太急”。是啊，相煎何太急！曹丕、曹植都是曹操的儿子。曹操死后，曹丕子承父业，建立魏国，正所谓“最前面的人”。曹丕却处在痛苦中，害怕兄弟夺权，便命曹植作七步诗，若作不出来，便要杀他。至亲兄弟却如此，不就是因为曹丕身处云端，害怕跌落吗？身处云端并不幸福，甚至最为痛苦。害怕跌落，因为不知道下面是不是无底深渊。

好比学生，第一名的人总是害怕被超越，虽然第一总会喜悦，但也最为痛苦；最后一名的人得面对家长、老师，在巨大的压力中痛苦徘徊。世界上最为痛苦的两种人：第一名、最后一名。

大雁南飞，带头的大雁会时刻担心后面的一群大雁是否都能跟上；最后一只会害怕跟不上，迷了路，回不了家。群雁南飞：二雁最苦，第一与最后。

世界上最痛苦的人便是身处云端的人，他们害怕跌落；落于最后面的人，他们承受巨大压力。所谓“最穷人”与“最富人”。“最穷人”每天都在忧虑生活问题：“下一顿呢？下一顿怎么办？”最富人每天都在担心：“钱藏哪儿？被偷了怎么办？”

不要落于最后，要勇往直前；不要担心跌落，云端之上风景未必最好。世界上最痛苦的是两种人：走在最前，落于最后。走在最前的人跌落也没关系，沿途风光无限。

[范文解析]

本文开篇提出论点：走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人。然后罗列众多自然的、社会的、中国的、外国的、现在的、过去的事例来证明论点。最后重申观点，仅此而已。显然，本文除了证明“走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人”这个观点之外，没能给读者提供有益的人生启示。只是为证明而证明，像是在解答一道数学证明题。这是对议论文写作的一种误解。

我们写文章，特别是写议论文，不仅要提出观点，证明观点，更重要的是在论证观点的同时，对读者进行规劝引导，为读者提供有益的人生启示。

[范文例举]

走在最前，落于最后

有人认为，世界上有两种人最痛苦：一种是走在最前面的人，另一种是走在最后面的人。可是，我并不认为走在最后面的人最痛苦。

生活速度的加快逼着我们加快脚步，可是我们为什么不能试着让自己的生活慢下来呢？为什么有那么多的压力呢？何为压力？不过是人与人相比，落后的那个人感受到的痛苦。生活那么美好，他们仅仅因为走在别人后面而选择了最愚蠢的方法；如果他们愿意用乐观的心态面对落后，那么将会有多少家庭可以继续快乐的日子。为什么总要争第一呢？走在最后的人也有一鸣惊人的机会。别为你的落后感到痛苦，落后只是为了让你更好地前进。

古人云：“胜者为王，败者为寇。”难道失败的人就是最痛苦的人吗？不，看看轨道上行驶的火车吧。几百年前，史蒂芬将他发明的火车在轨道上试行时，当时一辆马车的速度都能超过火车，于是人们认为史蒂芬的火车只是一堆烂铁，可史蒂芬并不认为自己是一个失败者，他并不为失败而感到痛苦。在他的努力下，高速火车终于问世。在高速发展的现代，当时的马车早已不见踪影。试想：如果当时的史蒂芬为自己的落后感到失望、痛苦，也许也就不会有今天的高铁了。

走在最后的人未必痛苦，人生总是要面对各种失败，如果只是因为一次失败而痛苦，因为走在最后而痛苦，我们的人生岂不少了很多乐趣？落后只是为了让我们更好地前进。

时间会忘记很多人，但是时间不会忘记那些蓄势待发的人。作为一名歌手，朴树的歌真是少之又少：10年前的一张专辑和一首《平凡的路》。整整相距10年，10年中，朴树应当是走在最后面的人，可他并不为此感到痛苦，而是蓄势待发，等待那个不平凡的《平凡的路》。落后的人也许是个幸福的人，未必是痛苦的人。走在最后，也许会看到别样的风景。

落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人。

[范文解析]

本文作者论证观点时，不是为证明而证明，而是给了读者几个启示，比如，“落后只是为了让你更好地前进”和“落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人”等句充满了人生教益。

[类文生成]

一篇议论文，首先要有启发性。那种为说理而说理、心中没有读者的议论文，既没有说服力，也没有启发性；其次要有现实性，所谓现实性就是在论证完观点后，一定要与现实生活联系起来，不要脱离现实生活，空说道理。比如一篇《人生的“出”与“入”》的高考满分作文，作者论证完数学家“在推算过程中经常客观地审查自己的步骤和数据，就可能不会留下这个遗憾了”这一观点后，进一步引申“科学如此，人生又何尝不是？常常有人后悔自己什么做得不好，什么不该做，事后再多的悔恨也于事无补，我们应该从中吸取教训，对‘出’的意义有一个更好的认识”。这种引申说理的写法会使读者得到启发和教育。

[有感写作]

请以“逼，然后飞”为题写一篇议论文，不少于800字。切忌当成数学证明题。

1数学证明 篇9

版选修2-2 练习(P7)1.解：杨辉三角形的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角形中的一般规律:(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cnrn!.r!(nr)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是rr1r=CnCn1+Cn1.rr1(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即Cn=Cn.(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)展开式,即

01r(a+b)=Cna+Cnab+„+Cnab+„+Cnb的二项式系数.nnn-1

1n-rr

n

n

n2.答案:(1)证明:如图所示,P是等边△ABC内一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，111PD·AB+PE·AC+PF·BC, 2221111因为AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF)AB，2222则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=所以PD+PE+PF=2AB.SABC因为等边△ABC的面积和边长AB为一定值,所以PD+PE+PF为定值.所以结论成立.(2)猜想:将上述结论从平面类比到空间,可以得出的结论是:正四面体内一点到四面体的各个面的距离之和是一个定值。

证明:设P是正四面体ABCD内一点,PE，PF，PM，PN分别是点P到正四面体ABCD四个面的距离, 则VABCD=1(PE+PF+PM+PN）S（S为正四面体ABCD一个面的面积), 3所以PE+PF+PM+PN=3S

.VABCD因为S，VABCD为一定值,所以PE+PF+PM+PN为定值.所以结论成立.习题1-1(P7)1.解：可以得出的结论是:37×3n=n×111(n=1，2，„，9).思路分析：通过对各个等式的观察,注意其数量变化规律,就可以得出相应的通式.33222.解：1+2=3=(1+2).333221+2+3=6=(1+2+3), 3333221+2+3+4=10=(1+2+3+4), „„

对上述各式进行归纳,可以得出如下结论:

n(n1)2n2(n1)21+2+3+„+n=(1+2+3+„+n)=［］=.24333

323.解:1层六边形的点数和为S1=5=5×1，2层六边形的点数和为S2=5+5+4=14=5×2+4，3层六边形的点数和为S3=5+5+4+5+4+4=27=5×3+4×3, „„

对上述各式进行归纳,可以得出n层六边形的点数和为: Sn=5+5+4+5+4+4„+5+4+4+„+4=5n+4×

n(n1)

2=5n+2n(n-1)=2n+3n.24.解：类比1+2+„+n的求和的过程可得：

3322因为n-(n-1)=n+n(n-1)+(n-1), 3322(n-1)-(n-2)=(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2), „„ 33222-1=2+2×1+1, 3322222从而有n-1=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n(n-1)+(n-1)(n-2)+ „+2×1, 22222222=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n-n+(n-1)-n-1+„+2-2+1-1 22222=3［n+(n-1)„+2+1］-［n+(n-1)+ „+2+1］-n-1

n(n1)2

-n-1, 2222n(n1)(2n1)所以有1+2+„+n=.6=3［n+(n-1)„+2+1］22225.解:与平面向量的坐标表示相类比,可以得出空间向量的坐标表示: 空间直角坐标系中的坐标: 已知空间直角坐标系和向量a,设i,j,k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3).在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.STS

类比推理的具体应用

怎么证明1加1等于2 篇10

21+1为什么等于2?这个问题看似简单却又奇妙无比。在现代的精密科学中，特别在数学和数理逻辑中，广泛地运用着公理法。什么叫公理法呢?从某一科学的许多原理中，分出一部分最基本的概念和命题，对这些基本概念不下定义，而这一学科的所有其它概念都必须直接或间接由它们下定义;对这些基本命题(也叫公理)也不给予论证，而这一学科中的所有其它命题却必须直接或间接由它们中推出。这样构成的理论体系就叫公理体系，构成这种公理体系的方法就叫公理法。1+1=2就是数学当中的公理，在数学中是不需要证明的。又因为1+1=2是一切数学定理的基础，.........3由此我们可以得出如下规律：

A+A=B、B+B=A、A+B=C;N+C=N

A*A=A、B*B=A、A*B=B;N*C=C(注：N为任意自然数)

这八个等式客观准确地反映了自然数中各类数的相互关系。

下面我们就用ABC属性分类对“猜想”做出证明，(我们只证明偶数中的偶A数，另两类数的证明类同)

设有偶A数p求证：p一定可以等于：一个质数+另一个质数

证明：首先作数轴由原点0到p。同时我们将数轴作90度旋转，由横向转为纵向，即改为原点在下、p在上。我们知道任意偶数都可以从它的中点二分之一p处折回原点。把0_p/2称为左列，把p/2_p(0)称为右列。这时，数轴的左右两列对称的每对数字之和都等于p：0+p=p;1+(p-1)=p;2+(p-2)=p;、、、、、、p/2+p/2=p。这样的左右对称的数列我们称之为数p的“折返”数列。

对于偶A数，左数列中的每一个B数都对应着右列的一个B数。(A=B+B)

如果这个对应的“B数对”中左列的B数是质数而右列的B数是合数，我们叫这种情形为“屏蔽”。显然，对于偶A数的折返数列，左列中的所有质数不可能同时被屏蔽，总有不能被屏蔽的“质数对”存在，这样我们就证明了偶A数都可以写作两个质数之和。其它同理。继而我们就证明了“猜想”。

第一步：写出B数数列：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、、、、(6*N-1)

第二步：写出B数数列中的合数：35、65、77、95、119、125、155、161、185、203、、、、、第三步：由于对于偶A数p，它右列出现合数的最小数是35，所以能够屏蔽左列第一个质数5的p数的取值是40，也就是说只有当p=40时，左列中的5才可以被35屏蔽，这时左列0_p/2=20，左列中还有11、17两个质数不能被屏蔽，这两个“质数对”是11+29、17+23。如果要同时屏蔽5和

11、就必须加大p的取值，p由原来的40增加到p1=130;而这时的(p1)/2也同时增加到65。

第四步：左列中有5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65共11个B数，而右列65_130间的合数只有65、77、95、119、125共5个，除去屏蔽5和11的125和119以后只剩余95、77、65显然即使偶A数p=130的折返数列的右列中的所有合数、都去屏蔽，也不能完全屏蔽左列中的质数。也就是说偶A数p中最少可以找出许多质数对，可以写成p=一个质数+另一个质数的形式。这里它们分别是：

130=17+113、130=23+107、130=29+101、130=41+89、130=47+83、130=59+71

第五步：同理，即使我们再继续增加p的取值，而p/2的值也同时增加，右列中的合数永远也不可能全部屏蔽左列中的质数，所以，任意偶A数都一定可以写作两个质数之和。

同理，我们可以做出偶B数和偶C数也都可以写作两个质数之和。

数学证明思维模型的建构与应用 篇11

数学证明模型  数学教学设计  长时间的思考

一、数学证明的内涵与方式

关于“证明”的释义，《现代汉语词典》将其界定为“用可靠的材料来表明或断定人或事的真实性”。由此，我们可以将数学证明刻画为：从真理性的数学知识出发、运用演绎推理的形式说服别人接受从命题的题设条件过渡到题断结论的真实性的一种信念。演绎推理的形式只有在数学领域内，才被认为是唯一有效的证明方式;其他情况下，证明过程大部分是以个人经验和接受权威的证实为基础的。数学证明过程，是经过主体的思维活动，选择合适的真理性的数学知识，把作为外在信息的题设条件中的杂乱无章的元素，通过演绎推理，组织成为具有因果关系序列结构的题断结论要求的过程。

外在于主体的客体信息，是由人类心理已经具有的观念（源于真理性的知识或曾经经历过的活动经验等，提供给主体处理面临新信息时的活动意向或指令）而赋予了外在信息以知识结构的意义，否则，客体就是无意义的“物自体”[1]。而这种赋予外在信息以意义的过程就是一系列的合情推理的心理活动过程，将这些合情推理的真实性结论转化为条分缕析的演绎推理及其表达的过程就构成了数学证明。

二、数学证明思维模型建构

在发生数学证明的思维活动中，发现证明思路的信息元素序列结构的本质，势必通过设法使题设条件元素组成正确率比较高的信息脉络轮廓（与知识框架相比较）——元素序列结构的雏形，借此信息脉络轮廓的中介才能选择出成功性比较高的数学知识（定义、公理或定理）组织信息，从而决定选择与利用数学知识作为封装信息的结构框架（其实是知识结构框架与信息轮廓的互相吸引与适应的过程），生成有价值的信息结构（类似于主体所选用的数学知识结构）。

本研究试图建立证明的思维模式，这一过程可以概略地叙述为：首先，主体从题设条件信息元素中选择并确定出“支点信息”，选择“支点信息”的心理活动又是由外在信息与已经内化并保存在意识中的数学知识结构之间的互相吸引、相互诱导、相互调整而获得的;其次，基于“支点信息”，并在“支点信息”这一“凝聚核”的作用下，使外在诸多的外围信息元素组织成一种脉络轮廓;最后，由这种信息轮廓提示主体选择数学知识框架来封装题设条件的信息元素，获得某种结构，从而赋予题设条件信息以某种知识结构的意义（如图1所示[2]）。

从这一模型中可以看出，在分析题设条件信息元素伊始，主体不可能迅速确定地把握信息元素所能组成具有结论意义上的结构，就势必动用自己的知识库中的知识框架猜想信息元素可能具有某种结构。依据信息的某个侧面（“支点信息”）赋予“支点信息”决定的知识结构，再将信息元素组织成具有知识结构的意义，如果不成功，就会更换“支点信息”，再做一轮循环。在这一系列思维活动环节中，一定离不开猜想（即合情推理）的作用。因此，证明的思维活动过程环节就是不断地生成猜想（合情推理）与检验猜想、证实或证否猜想，证实了就可以转化为演绎推理，形成证明过程，证否就要更换“支点信息”，再生信息轮廓的又一轮循环。

三、例示数学证明思维模式在教学设计中的应用

教师产生合适的教学行为，并非完全从现代教育理念中演绎来的，而是重在观照现代教育理论，分析具体的知识性质特点，分析学生发生具体知识的心理活动的特点中获得的;从反思与分析自己的课堂教学行为的实践中获得的[3]。证明模式的建立为数学证明教学设计时教师优化分析活动的教学行为提供了方向。

数学教学行为构成要素的基础主要体现在互相关联的三个侧面：对要传授的数学知识点的结构所呈现的环节及其连接中介组成序列的理解（“教材分析”），对学生萌发数学知识（环节及其连接中介）的心理环节（呈现的是观念形态）及其过渡性中介的把握（“学情分析”），通过创造性工作找到这二者之间的联系（“关联分析”）。由此设计出合适的教学过程，使知识的环节及其连接中介适应于学生发生知识的心理活动环节（观念形态）及其过渡性中介的辨证运动过程。下面的框架图（图2[4]）是数学教学设计的一般分析模型。

图2  数学教学设计框架图

要发挥证明的思维模型的教育价值，就要教师在第三项“关联分析”上做足功夫，而“关联分析”效果如何取决于“学情分析”与“教材分析”的效果，因此，“三项分析”构成了证明教学设计的基础。数学证明思维活动的“关联分析”过程主要在于认真研究学生选择“支点信息”，确定知识框架，由知识框架把外围信息组织成有序的逻辑环节序列，从而，贯通从题设条件到题断结论的过程。学生正是在教师的引导下，经由这种过程将学生的“短时间的思考”方式转化为“长时间的思考”方式，发展一系列的思维品质。证明思维模式建构，为教学设计“三项分析”活动的展开提供了可以参考的程序序列。

例题：已知，如图3，在矩形ABCD中，从点A向对角线BD作垂线，P为垂足，从点P向BC，CD分别作垂线，垂足分别为E、F。求证：

①

图3

教材分析：由数学证明思维模式可知，证明过程就是运用已经掌握了的数学知识框架将题设条件组织成题断结论的过程。如何选择知识框架构成探究证明思路可否实现的关键环节，它取决于“支点信息”的选择，本例的“支点信息”应该是什么？由于题设条件是如图3的一个图形，线条多，组成了庞杂的系统，难于从题设条件中确定“支点信息”。于是，我们转而从结论式①出发，即将结论式①作为“支点信息”来进行试探，那么，它所决定的知识框架该是什么？通过联想，检索我们已经掌握的数学知识，由sin2？琢+cos2？琢=1②的形式与等式①的形式具有相似性，可以将其确定为封装题设条件信息的知识框架加以试探。下面，我们只需检验，由题设条件的相关信息的设定，从等式①可以过渡到等式②就可以了。

学情分析：“教材分析”由证明思维模式出发，可以找到一条从题设到题断的可能通路，这条思路确保教师可以顺利地利用一种办法解决这道题。但是，教师的想法与论证能否转化为学生发生证明思路的有序的心理活动过程呢？这就需要教师进行“学情分析”，即从学生心理活动的角度来考察证明思路发生的可能性，从而在教学中进行层层铺垫，启导学生自己发现证明思路。发生这条思路具有两个方面的疑难：其一，由“支点信息”①决定知识框架②的选择，这是学生思维活动的疑难;其二，实现从“支点信息”①决定知识框架②的学生思维活动的可能性，这是学生获得技术性手段的疑难，即技能技巧的疑难。两项疑难对于一般学生来说，都必须要经过“长时间的思考”才能解决，正因如此，数学证明可以严格地训练学生的数学思维，优化多方面思维品质。

关联分析：从“教材分析”与“学情分析”所得到了的结论中找出沟通这两项分析所得到结论的元素，进行教学设计。下面是笔者证明这道题的真实课堂教学过程实录（其中，省略号表示学生思维的中断处）。

师：题设条件中具有几个直角三角形，并且这些直角三角形都相似，因此，可以得到许多比例式，也可以得到许多相等的角，但是，并不能明确地知道我们可以选择与组合哪些条件，从而可以过渡到结论式①。怎么办？（注：提示学生选择“支点信息”）

生1：我们可以从结论式①反过来求索条件（注：学生确定了“支点信息”），即用分析法试探，……

师：一个很好的想法，如何试探？

生2：将结论①转化为一个已知的数学公式：sin2？琢+cos2？琢=1②（注：从“支点信息”确定知识框架，解决了确定知识框架的疑难），再从已知条件出发，获得公式②，……

师：又是一个很好的想法，如何从题设条件出发，构造公式②？

生3：我们假设

师：③、④成立吗？怎么办？

生4：重点研究等式③，由于③左边是两个线段之比，右边是一个数的三次方，两边的指数不和谐一致，于是，考虑将左边也变成一个数的三次方的形式，首先把左边变成三个数积的形式：……

师：生4提出了非常合理的想法，可以从图3中选择出线段x，y，从而得到等式⑥吗？

生5：我想这样选择线段x，y：在Rt△ABP中，知等式⑦显然成立（注：解决了从题设条件信息到知识框架途径的疑难），从而等式③成立，同理，等式④成立，于是，等式①成立。

这种教学设计的过程，旨在通过启发法，促进学生自己探究问题解决的思路活动，学生的数学知识不是经过直接授受、机械记忆的方式发生的，教师通过自己的探究活动，将数学知识融入主观意向的因素，进而由这种意向的作用产生相应的“数学观念”，形成相应的假设，教学过程中，教师应想方设法使这些数学观念在教师与学生之间、在主观与客观之间相交相融，甚至移植。教师将探究数学结构认识所生成的情感中裹夹着的“数学观念”先在地移入学生的思维框架中。使学生在发生某特定的数学知识以前，他们的思维结构中先在地建立奥苏贝尔意义上的“锚基”，或维果斯基意义上的“最近发展区”，使学生数学知识发生找到相应的凭依。

从这个例子中可以看出，这些理念的实现，需要教师的三项分析能力。证明思维模式提供教师“教材分析”与“学情分析”的心理意向，由于证明的过程就是寻找知识框架封装题设信息、形成题设信息元素的序列、构成逻辑因果关系的过程，而知识框架的选择取决于“支点信息”的确定。这个思维模型对这两点揭露无疑，为教师的“三项分析”提供了非常明确的程序，从而为教师的有效教学设计奠定了基础。这是它提供了教学设计的价值所在。

数学证明思维模型的建立，使我们发现了数学证明思维活动的实质性内涵与组成环节，从而为教师关于数学证明的教学设计提供了一套可以参考的程序，增加教学设计的有效性。利用数学证明的教育资源可以培养学生运用证据说话的能力，这是生活在民主社会中的人必备的素质;可以促进学生将适应生存的“短时间的思考”转化为实现自我实现目的所需要思维基础“长时间的思考”的能力，为发挥学生的智力潜能作出贡献。

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参考文献

[1] [德]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.北京：商务印书馆，2012.

[2] 张昆.渗透数学观念的教学设计方法研究：以一元一次方法教学为例[D].重庆：西南大学，2011.

[3] 张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015（1）.

[4] 张昆.数学教学设计的新视角——适应学生认识方式的研究[J].教学与管理，2015（4）.

[作者：张昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北师范大学数学科学学院中学高级教师，博士。]