三角形内角平分线定理

三角形内角平分线定理（推荐9篇）

三角形内角平分线定理 篇1

求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。

证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。

则： BA/AE=BD/DC;

∵∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴∠AEC=∠ACE；（等量代换）

∴AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC。

结论1：该证法具有普遍的意义。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）

∴BA/AC=BD/DC

三角形内角平分线定理 篇2

一、三角形的两条内角平分线的夹角与其第三个内角的关系

如图1, 三角形ABC中, BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB , 那么∠D和∠A有什么关系?

分析:如图1, 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得:

这就是说, 三角形的任意两条内角平分线的夹角等于90°与其第三个内角的一半的和.

利用公式①, 已知∠D和∠A两个条件中的任何一个, 就可以求另一个.

例如: (1) 在上述条件的图1中, 如果已知∠D=120°, 那么就可以利用公式①求出∠A=60°.

(2) 已知△ABC的内心是点I, ∠A=80°, 求∠BIC的度数.

分析:三角形的内心是指三角形的三条内角平分线的交点, 所以∠BIC属于两条内角平分线的夹角, 因此可以利用上述公式①把∠A=80°代入, 得

$\angle B{\rm I}C=90°+\frac{1}{2}\times 80°=130°.$

二、三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角与其第三个内角的关系

如图2, 三角形ABC中, ∠ACE是△ABC的外角, BD平分∠ABC, CD平分∠ACE, 那么∠D和∠A有什么关系?

分析:如图2, 根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得:

这就是说, 三角形的任意一条内角平分线与一条外角平分线的夹角等于其第三个内角的一半.

利用公式②, 已知∠D和∠A两个条件中的任何一个, 就可以求另一个.

例如:在上述条件的图2中, 如果已知∠A=80°, 那么就可以利用公式②求出∠D=40°.

三、三角形的两条外角平分线的夹角与其第三个内角的关系

如图3, 三角形ABC中, ∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角, BD平分∠CBE , CD平分∠BCF, 那么∠D和∠A有什么关系?

分析:如图3, 根据三角形的外角的性质和角平分线的定义以及三角形内角和定理可得:

这就是说, 三角形的任意两条外角平分线的夹角等于90°与其第三个内角的一半的差.

利用公式③, 已知∠D和∠A两个条件中的任何一个, 就可以求另一个.

例如:在上述条件的图3中, 如果已知∠A=70°, 那么就可以利用公式③求出∠D=55°.

证明三角形角平分线定理的六法 篇3

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

《三角形内角和定理》教学设计 篇4

淄博市高青县实验中学

邢春林

人教版七年级下册7.2.1《三角形的内角》教学设计说明

淄博市高青县实验中学

邢春林

一、教材分析

（一）教材的地位和作用 《三角形的内角》内容选自人教实验版九年义务教育七年级下册第七章第二节第一课时。“三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，它揭示了组成三角形的三个角的数量关系，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习《多边形内角和》及其它几何知识的基础。此外，“三角形的内角和等于180°”在前两个学段已经知道了，但这个结论在当时是通过实验得出的，本节要用平行线的性质来说明它，说理中引入了辅助线，这些都为后继学习奠定了基础，三角形的内角和定理也是几何问题代数化的体现。

（二）教学目标

基于对教材以上的认识及课程标准的要求，我拟定本节课的教学目标为： 1．知识技能：发现“三角形内角和等于180°”，并能进行简单应用；体会方程的思想；寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验。

2．数学思考：通过拼图实践、合作探索、交流，培养学生的逻辑推理、大胆猜想、动手实践等能力。

3．解决问题：会用三角形内角和解决一些实际问题。

4．情感、态度、价值观：在良好的师生关系下，建立轻松的学习氛围，使学生乐于学数学，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。通过添置辅助线教学，渗透美的思想和方法教育。

（三）重难点的确立：

1．重点：“三角形的内角和等于180°”结论的探究与应用。

2．难点：三角形的内角和定理的证明方法（添加辅助线）的讨论

二、学情分析

处于这个年龄阶段的学生有能力自己动手，他们乐于尝试、探索、思考、交流与合作，具有分析、归纳、总结的能力，他们渴望体验成功感和自豪感。因而老师有必要给学生充分的自由和空间，同时注意问题的开放性与可扩展性。

基于以上的情况，我确立了本节课的教法和学法：

三、教法、学法

（一）教法

基于本节课内容的特点和七年级学生的心理特征，我采用了“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的模式展开教学。本节课采用多媒体辅助教学，旨在呈现更直观的形象，提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率。

（二）学法

通过学生分组拼图得出结论，小组分析寻求说理思路，从不同角度去分析、解决新问题，通过基础练习、提高练习和拓展练习发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

四、教学过程

我是以6个活动的形式展开教学的，活动1是为了创设情境引入课题，激发学生的学习兴趣，活动2是探讨三角形内角和定理的证明，证明的思路与方法是本节的难点，活动3到5是新知识的应用，活动6是整节课的小结提高。

具体过程如下：活动1：首先用多媒体展示情境提出问题1，设计意图是：创设情境，引起学生注意，调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，导入新课。在此基础上由学生分组，用事先准备好的三角形拼图发现三角形的内角和等于180°。设计意图是：从丰富的拼图活动中发展学生思维的灵活性，创造性，从活动中获得成功的体验，增强自信心，通过小组合作培养学生合作、交流能力。在合作学习中增强集体责任感。再用多媒体演示两个动画拼图的过程。设计意图：让学生更加形象直观的理解拼图实际上只有两种，一种是折叠，一种是角的拼合，这为下一环节说理中添加辅助线打好基础，从而达到突破难点的目的。

前面通过动手大家都知道了三角形的内角和等于180°这个结论，那么你们是否能利用我们前面所学的有关知识来说明一下道理呢？请看问题2，请各小组互相讨论一下，讨论完后请派一个代表上来说明你们小组的思路[学生的说理方法可能有四种（板书添辅助线的四种可能并用多媒体演示证明方法）]设计的目的：通过添置辅助线教学，渗透美的思想和方法教育，突破本节的难点，了解辅助线也为后继学习打下基础。在说理过程中，更加深刻地理解多种拼图方法。同时让学生上板分析说理过程是为了培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力，多种思路的分析是为了培养学生的发散性思维。

通过活动3中问题的解决加深学生对三角形内角和的理解，初步应用新知识，解决一些简单的问题，培养学生运用方程思想解几何问题的能力。

活动4向学生展示分析问题的基本方法，培养学生思维的广阔性、数学语言的表达能力。把问题中的条件进一步简化为学生用辅助线解决问题作好铺垫。同时培养学生建模能力。

活动5通过两上实际问题的解决加深学生对所学知识的理解、应用。培养学生建模的思想及能力。

活动6的设计目的发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。【教学设计说明】

1、《数学课程标准》指出：“本学段（7～9年级）的数学应结合具体的数学内容，采用„问题情境——建立模型——解释、应用与拓展‟的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程…… ”因此，在本节课的教学中，我不断的创造自主探究与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去动手操作，去观察分析，去得出结论，并体验成功，共享成功．

2、体现自主学习、合作交流的新课程理念．无论是例题还是习题的教学均采用“尝试—交流—讨论”的方式，充分发挥学生的主体性，教师起引导、点拨的作用．

角平分线的性质定理教案 篇5

慧光中学：王晓艳

教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；

（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；

教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。教学难点：角平分线定理的应用；

教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程：

一，新课引入：

1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点？ 操作：（1）画一个角的平分线；

（2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。2．定理的获得：

A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明，得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。B、分析此定理的作用:证明两条线段相等；

应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。3．定理的应用 二．例题讲解：

例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF（此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）FBPACE

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点E、F，圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。

求证：BC=EF（此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件）

M

CQBAEONF

三：课堂小结：

①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;②若图中有角平分线，可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习

1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2 求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

A1EBDFC

方

一、延长AD到AE，使DE=AD，再连接CD。（此方

法前面已经重点讲过，这里不再考虑）

方

二、过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，①利用全等证明

②利用面积相等证明

2．练习的拓展： 已知：如图，D是BC上一点，AB=3㎝，AC=2㎝

求：① S⊿ABD ：S⊿ADC

② BD ：CD

ABDC

五．课后小结

1、本节课所学习的重要定理是什么？

2、定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？

3、若图中有角平分线常采用添加辅助线的方法是什么？

4、基本图形拓展：此图中根据已知条件还可以得到那些结论？若连接AP，EF还可以得到哪些结论？

慧光中学：王晓艳

教师的成长在于不断地总结教学经验和进行教学反思，下面是我对这一节课的得失分析：

一、教材分析

本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册11.3角平分线的性质的第一课时。角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况

八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。借助于课件的优势，能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性也被充分调动起来。教法和法学

通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

在教师的指导下，采用学生自己动手探索的学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程设计

首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使之得到充分的诠释。如在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，并留给学生足够的时间进行证明。为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

其次，我在讲解过程中突出了对中考知识的点拨，并且让学生感受生活中的实例，体现了数学与生活的联系；渗透美学价值。<<角平分线的性质>>教学反思

再次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节激发了学生的学习兴趣，将想与做有机地结合起来，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。像采用这种由易到难的手法，符合学生的思维发展，一气呵成，突破了本节课的重点和难点。

四、本节课的不足

本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用，并且没有在尺规作图后将平分角的学具与角平分线的画法的关系两相对照。

在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。

对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，以至于在后面所准备的习题没有时间去练习，给人感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容

《角平分线的性质》说课稿

慧光初级中学 王晓艳

我说课的题目是《角的平分线的性质》。下面，我从教材分析、教法与学法、教学过程、设计说明四个方面对我的教学设计加以说明．

一、教材分析

（一）地位和作用：

本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第二章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．

（二）教学目标

1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理.（2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质.2、基本技能

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3、数学思想方法：从特殊到一般

4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验

设计意图：

通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重难点

进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）

教学难点突破方法：

（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．

二、教法和学法

本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合．

教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．

四、教学过程

（一）创设情景 引出课题

出示生活中的数学问题：

问题1 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

［设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感．

教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。学生动手画图，猜测并说出观察到的结论．李薇同学很快就回答：“在两条路夹角的平分线上，因为由昨天我们学习的角平线的性质定知道到角两边路离相等的点在角的平分线上。”其余同学对这一回答也表示了认可。此是教师提问：角平分线的性质的题设是已知角平分线，结论是有到角两边距离相等，而此题是要求角两边距离相等，那这个点在这个角的平分线上吗？这二者有区别吗？”学生晃然明白过来这二者是有区别的，此时教师引导学生分析：“只要后者是正确的，那李薇同学的回答也就可行了，这便是今天我们要研究的内容”由此引入本节新课。．

[设计理由］依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备．

（二）、主体探究，体验过程

问题2交叉角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。）

追问1你能证明这个结论的正确性吗？

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．教师归纳，强调定理的条件和作用．同时强调文字命题的证明步骤．

［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维．

追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？

这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性。

质可用来证明线段相等．

（三）巩固练习，应用性质。让学生运用本节所学知识分步来解决课前所提问题。让学生体会生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学。

在教学的实际过程中，重视学生的亲身体验、自主探究、过程感悟。在教学中，给学生一段时间去体悟，给他们一个空间去创造，给他们一个舞台去表演；让他们动脑去思考，用眼睛去观察，用耳朵去聆听，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。这种探究超越知识范畴而扩展到情感、价值观领域，使课堂成为学生生命成长的乐园。为了让学生做到学以致用，在判定证明完后，我让学生回头来解决问题1，对于问题1的解决作了如下分解：在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．

（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？

（2）若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？

（3）如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？

这样有梯次的设问为学生最终解决问题1作了很好的分解，学生独立解决这道路问题也就变得很简单了。同时在分解问题（3）时，有学生说作三角的平分线找交点，有学生反驳说作两条就可以了因为第三条角平分也一定过这个交点。此时老师及时提问任意三角形的两内角平分线的交点在第三个角的平分线上吗？那么我们来作下面的探究。（教师出示问题2：如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 这样提出问题连惯性强，让学生的思维始终处于活跃和不断对知识的渴求探索中。

（四）归纳小结，充实结构

1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？

2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

教师让学生畅谈本节课的收获与体会．学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验．

［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．

五、布置作业

作业，必做题：教材习题12.3第3、7题； 选做题：课时通上选做部分题。

［设计意图］设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成．选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的．

三角形的角平分线 篇6

（）已知：中，平分，交于。

求证：。

（＃┘虻シ治

a

b

c

d

从结论来考虑，横着看，两个比的前项、在中，两个比的后项、在中。按照相似三角形的性质，只要∽，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相似三角形，所以，不可能用相似三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，显然，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相似三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了辅助线的作法以平行线为主。

a

b

c

d

e

例如，把线段绕着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不改变线段的长度，所以，从旋转情况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段绕着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。

（ぃ┲しㄌ嵋

a

b

c

d

e

①证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。共3页，当前第2页123

②证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

a

b

c

d

e

③证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

④证法四：如下页图，过点作交于，根据三角形的面积公式可得：；

又根据正弦定理的面积公式有：

a

b

c

d

e

；

三角形内角平分线定理 篇7

例1 如图1，在△ABC中，CP平分∠ACB， BP是△ABC的外角∠ABE的平分线，试分析∠P与∠A的大小关系.

我发现∠P=∠A，不过不少同学都感到很惊讶. 我感觉只叙述难说清楚，于是就在黑板上写出如下的过程：

由△BCP外角的性质得到，∠P=∠PBE-∠PCB，由△ABC外角的性质得到，∠A=∠ABE-∠ACB，结合角平分线的性质，∠PBE=∠ABE，∠PCB=∠ACB，

于是有∠P=∠A.

这样一说，大家都明白了. 老师也表示肯定，并要求我们把教材翻到第42页，课后继续研究第20题.

课后，我发现这个题目也是两角平分线夹角问题，经过分析，我发现它们也有如下规律：

例2 如图2，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，探究∠BOC与∠A的关系.

【探究】∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，而在△BOC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+∠A.

例3 如图3，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分线，试求∠BPC与∠A的大小关系.

【探究】∠PBC+∠PCB=

（∠DBC+∠BCE）=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=90°+∠A，于是在△BPC中，∠BPC=

90°-∠A.

原来三角形的“两角平分线”夹角与“第三个角”都存在一种规律！老师前面曾说三角形的三条内角平分线会交于一点，属于一种数学上的奇异美现象. 我想，上面三种“两角平分线”夹角的规律也是一种奇异美吧！

刘老师点评：小宇同学经历了上面的变式与探究，积累了三角形“两角平分线”夹角的规律问题，这其实是陕西师大罗增儒教授倡导的“模式识别”策略，上文的探究和小结其实就是发现和积累模式图形与性质（也有资料上称“基本图形及性质”），这样在此后的作业或考试中，面对这类模式图形就可以快速打开思路，实现问题的快速突破. 实际上，在平时的学习中，这样的变式探究及一般性规律的发现是十分重要的，只有多进行这样一题多变的训练和反思，才能走出题海，更本质地学习知识，提高数学解题能力！

三角形内角平分线定理 篇8

1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的`三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

三角形的中线和角平分线的区别

1、三角形的中线是从顶角连接下面边的中点，角平分线是把顶角分成同等大小的两个角，不一定连接下面边的中点。

2、对于等腰三角形来说，中线和角平分线是重合的；对于非等腰三角形，两条线则不重合。

中线定义：中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。

三角形内角平分线定理 篇9

以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使，有AD

FC，所以FC，连结CF，则

BD，则四边形BCFD是平行四边

12形，DF BC。因为，所以DE

BC．

法2：如图所示，过C作 有FC AD，那么FC

交DE的延长线于F，则，BC。

BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF

12因为，所以DE

BC．

法3：如图所示，延长DE至F，使 ADCF为平行四边形，有AD，连接CF、DC、AF，则四边形

BD，那么四边形BCFD为平

12CF，所以FC 行四边形，DF BC。因为，所以DE

BC．

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证AEMCEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE

12BC。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？

ABDEC

图⑴：

⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

ADEBC图⑵：

说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：

∵ DE是△ABC的中位线

∴ DE∥BC，DE

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.(1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.12BCA

DEBC

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.(2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC＝3.证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，即DE∥AF

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC 1∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B，∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE(2)∵AC＝6，BC＝10，11∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5 ∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 题2 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE 在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点，E是BC的中点

11∴FG∥AB且FG＝2AB，EG∥DC且EG＝2DC ∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR为等边三角形.分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1中线定理。利用条件可知PR＝2AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.证明：连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点

∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

11∵Q为BC的中点 ∴RQ＝2BC＝2AD 11同理PQ＝2BC＝2AD 在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

1∴PR＝2AD ∴PR＝PQ＝RQ 故△PRQ为等边三角形

3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线． 教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：

1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）

2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样）

4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）

5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。

（1）若PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。

（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45°

A D Q B P C

证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。

∵四边形ABCD是正方形

∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD 在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ ABEADQAEAQ，BAEQADPAQ45°BAPQAD45°BAPBAE45°，即EAPPAQ45°在AEP和AQP中

AEAQ，EAPPAQ，APAPAEPAQPEPPQEPEBBPDQBPPQ 即PBDQPQ

A D Q E B P C

（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE 由（1）可知ABEADQ

AEAQ，BAEQADDAQBAQBAEBAQ90°PCQ的周长等于正方形周长的一半PCQCQPBCCDPQ(BCPC)(CDQC)BPDQBPEBEP在AEP和AQP中AEAQ，EPPQ，APAPAEPAQP EAPPAQ45°

题2（长截短）：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD