9的乘法应用题的

9的乘法应用题的（精选12篇）

9的乘法应用题的篇1

人教版“义务教育课程标准实验教科书”二年级数学上册。

【教学目标】

1.使学生经历编制9的乘法口诀的过程, 让学生通过自己编口诀的过程感受数学的趣味性, 并能运用口诀进行准确计算。

2.培养学生初步的知识迁移能力, 引导学生有目的地观察, 进行初步的归纳总结。

3.将多种记忆口诀的方法归纳总结, 渗透数学学习方法。

4.通过喜闻乐见的西游记故事, 使学生感受到数学无处不在, 使学生在愉快的氛围中学习数学知识。

【教学重、难点】

1.教学重点:熟记9的乘法口诀并应用9的乘法口诀进行计算。

2.教学难点:初步探索9的乘法口诀的规律。

【教学过程】

一、导入:从《西游记》动画片引入, 激发学生学习的兴趣

喜欢看动画片么?现在可以满足大家的愿望, 但我有个要求, 你们要用数学的眼光去发现数字信息。播放动画片《一个师傅三徒弟》。

告诉我, 你找到了哪些数字?

想知道孙悟空是如何用七十二变破解八十一难的吗?只要认真听讲, 积极思考, 你就会揭晓答案。

二、学生合作探讨, 引出9的乘法算式

1. (课件1) 数一数, 这里有多少个格子?

你是怎样想的? (空了一个格子, 就是比10少1, 是9。) 这是几个9?

能写出1个9的乘法算式吗? (板书1×9=9) 看到这个算式, 你还会想到哪个算式?

2.现在还能很快说出有多少颗星星吗?这是几个9?

1个9和10比, 猜2个9和谁比呢?2个9比20少几?

说出2个9的乘法算式, 得数是多少?

3.再往下看, 这是几个9? (3个9)

相比几十少几?是多少呢?怎样写乘法算式?

4.9是一个特殊的数字, 以此类推, 猜4个9比几十少几?是多少?那5个9呢?猜下一个会是几个9?7个9呢?8个9?最后一个是几个9?

5.通过看图, 老师写出了1个9, 2个9, 3个9的乘法算式, 那你能根据所学的知识, 像老师这样看每句话中的前半句列式, 看后半句算出得数么?

6.说出你的答案, 师板书。

7.观察这些算式有什么特点? (都是9的乘法) 师板题:9的乘法。

三、学生合作探讨, 编出9的乘法口诀

1.为了方便, 在计算9的乘法时除了用刚才与几十相比的减法来计算外, 还可以用9的乘法口诀 (板:口诀)

2.想一想唐僧师徒四人, 经历了八十一难, 是几个9?

(板:九九) 齐读

九九八十一中前半句九九即是9个9, 算式是9×9后半句八十一是得数。

那孙悟空的七十二变是几个9?所以说八九七十二 (板:八九)

3.余下的口诀你会编么?先在书上84页从下边起填上九九八十一, 八九七十二。

结合板书继续往前编写其他口诀, 生编写时师板书。

4.谁能介绍一下你编写的口诀, 你是怎样想的?

5.观察9的乘法口诀共有几句, 思考9的乘法口诀有什么规律。规律:

每相邻的两句口诀积差9。

积的十位数字是从1到9, 而个位上是从9到1。

9和几相乘就等于几十减几。

每句口诀十位上的数字和个位上的数字相加都得9。

有几句口诀, 积的十位和个位上的数字相加都得9。 (课件2)

四、记忆口诀

1.让你记忆9的乘法口诀, 你觉得哪句好记?

2.对口令记忆, 同桌坐对, 师生对。

3.猪八戒在计算5×9时, 口诀忘记了, 能帮他想想办法么? (课件3)

方法:一个9一个9地加, 一直加到5个九、用50-5、用四九三十六再加9、用六九五十四减9。

4.其实在孙悟空的七十二变里, 有一个记忆9的乘法口诀的妙招, 你想学么? (课件3-11) 他的武器就是我们的双手。让我们试试:两手平放在桌面上, 手心向上。从左到右, 按1到10的顺序排列, 算一位数乘9, 只要弯曲起相应的手指, 这个手指左边的手指数目就是积十位上的数, 右面的手指数是积个位上的数。例如, 计算3×9, 就弯起左手左起第3个手指, 左面的2个手指表示20, 右面的7个手指表示7, 所以3×9的积是27。

五、练习

1.学完了9的乘法口诀, 我突然有了一个疑问, 能帮我解答一下么? (课件12)

2.9不仅是一个特殊的数字, 而且还是一个吉利数字。古代的皇帝被称为九鼎之尊, 官员被分为九品, 其中一品大元是最大的, 九品却是最小的, 官员家的花圃也是按职称的大小布置。 (课件13, 观察一至九品大元的花园) 分别用哪句口诀计算?用手势表示。

3.孙悟空的七十二变给我们带来了快乐, (课件14) 而他们师徒四人此时却被困在火焰山, 愿意去解救他们么?只要破解这四个魔咒就会得到铁扇公主的八蕉扇灭掉熊熊大火, 有信心吗?

(1) 看第一魔咒, 书法 (课件15)

(2) 走进第二个魔咒。阅读 (课件16)

(3) 看铁扇公主的第三招是什么? (课件17)

(4) 让我们一起努力破除第四个魔咒。 (课件18)

4.用我们的智慧破解了铁扇公主的四个魔咒, 解救了唐僧师徒四人, 可我要考考大家, (课件19) 看到12、24、18你能说出几道乘法算式。选择其中一个数说一说。

六、小结

在今天的西游之旅中, 你学会了什么?9的乘法口诀有什么特点?最后让我们再次问候9的乘法口诀, 看板书齐读口诀。

《9的乘法口诀》教学设计篇2

人教版“义务教育课程标准实验教科书”二年级数学上册。

【教学目标】

1.使学生经历编制9的乘法口诀的过程，让学生通过自己编口诀的过程感受数学的趣味性，并能运用口诀进行准确计算。

2.培养学生初步的知识迁移能力，引导学生有目的地观察，进行初步的归纳总结。

3.将多种记忆口诀的方法归纳总结，渗透数学学习方法。

4.通过喜闻乐见的西游记故事，使学生感受到数学无处不在，使学生在愉快的氛围中学习数学知识。

【教学重、难点】

1.教学重点：熟记9的乘法口诀并应用9的乘法口诀进行计算。

2.教学难点：初步探索9的乘法口诀的规律。

【教学过程】

一、导入：从《西游记》动画片引入，激发学生学习的兴趣

喜欢看动画片么？现在可以满足大家的愿望，但我有个要求，你们要用数学的眼光去发现数字信息。播放动画片《一个师傅三徒弟》。

告诉我，你找到了哪些数字？

想知道孙悟空是如何用七十二变破解八十一难的吗？只要认真听讲，积极思考，你就会揭晓答案。

二、学生合作探讨，引出9的乘法算式

1.（课件1）数一数，这里有多少个格子？

你是怎样想的？（空了一个格子，就是比10少1，是9。）这是几个9？

能写出1个9的乘法算式吗？（板书1×9=9）看到这个算式，你还会想到哪个算式？

2.现在还能很快说出有多少颗星星吗？这是几个9？

1个9和10比，猜2个9和谁比呢？2个9比20少几？

说出2个9的乘法算式，得数是多少？

3.再往下看，这是几个9？（3个9）

相比几十少几？是多少呢？怎样写乘法算式？

4.9是一个特殊的数字，以此类推，猜4个9比几十少几？是多少？那5个9呢？猜下一个会是几个9？7个9呢？8个9？最后一个是几个9？

5.通过看图，老师写出了1个9，2个9，3个9的乘法算式，那你能根据所学的知识，像老师这样看每句话中的前半句列式，看后半句算出得数么？

6.说出你的答案，师板书。

7.观察这些算式有什么特点？（都是9的乘法）师板题：9的乘法。

三、学生合作探讨，编出9的乘法口诀

1.为了方便，在计算9的乘法时除了用刚才与几十相比的减法来计算外，还可以用9的乘法口诀（板：口诀）

2.想一想唐僧师徒四人，经历了八十一难，是几个9？

（板：九九）齐读

九九八十一中前半句九九即是9个9，算式是9×9后半句八十一是得数。

那孙悟空的七十二变是几个9？所以说八九七十二（板：八九）

3.余下的口诀你会编么？先在书上84页从下边起填上九九八十一，八九七十二。

结合板书继续往前编写其他口诀，生编写时师板书。

4.谁能介绍一下你编写的口诀，你是怎样想的？

5.观察9的乘法口诀共有几句，思考9的乘法口诀有什么规律。

规律：

每相邻的两句口诀积差9。

积的十位数字是从1到9，而个位上是从9到1。

9和几相乘就等于几十减几。

每句口诀十位上的数字和个位上的数字相加都得9。

有几句口诀，积的十位和个位上的数字相加都得9。（课件2）

四、记忆口诀

1.让你记忆9的乘法口诀，你觉得哪句好记？

2.对口令记忆，同桌坐对，师生对。

3.猪八戒在计算5×9时，口诀忘记了，能帮他想想办法么？（课件3）

方法：一个9一个9地加，一直加到5个九、用50-5、用四九三十六再加9、用六九五十四减9。

4.其实在孙悟空的七十二变里，有一个记忆9的乘法口诀的妙招，你想学么？（课件3-11）他的武器就是我们的双手。让我们试试：两手平放在桌面上，手心向上。从左到右，按1到10的顺序排列，算一位数乘9，只要弯曲起相应的手指，这个手指左边的手指数目就是积十位上的数，右面的手指数是积个位上的数。例如，计算3×9，就弯起左手左起第3个手指，左面的2个手指表示20，右面的7个手指表示7，所以3×9的积是27。

五、练习

1.学完了9的乘法口诀，我突然有了一个疑问，能帮我解答一下么？（课件12）

2.9不仅是一个特殊的数字，而且还是一个吉利数字。古代的皇帝被称为九鼎之尊，官员被分为九品，其中一品大元是最大的，九品却是最小的，官员家的花圃也是按职称的大小布置。（课件13，观察一至九品大元的花园）分别用哪句口诀计算？用手势表示。

3.孙悟空的七十二变给我们带来了快乐，（课件14）而他们师徒四人此时却被困在火焰山，愿意去解救他们么？只要破解这四个魔咒就会得到铁扇公主的八蕉扇灭掉熊熊大火，有信心吗？

（1）看第一魔咒，书法（课件15）

（2）走进第二个魔咒。阅读（课件16）

（3）看铁扇公主的第三招是什么？（课件17）

（4）让我们一起努力破除第四个魔咒。（课件18）

4.用我们的智慧破解了铁扇公主的四个魔咒，解救了唐僧师徒四人，可我要考考大家，（课件19）看到12、24、18你能说出几道乘法算式。选择其中一个数说一说。

六、小结

在今天的西游之旅中，你学会了什么？9的乘法口诀有什么特点？最后让我们再次问候9的乘法口诀，看板书齐读口诀。

板书设计：

9的乘法口诀

1×9=9 一九（得九） 9×1=9

2×9=18 二九（十八） 9×2=18

3×9=27 三九（二十七） 9×3=27

4×9=36 四九（三十六） 9×4=36

5×9=45 五九（四十五） 9×5=45

6×9=54 六九（五十四） 9×6=54

7×9=63 七九（六十三） 9×7=63

8×9=72 八九（七十二） 9×8=72

9×9=81 九九（八十一） 9×9=81

（作者单位吉林省四平市伊通县小孤山中心校）

9的乘法口诀教案篇3

一、激趣导入

大家知道端午节吗？你知道端午节有什么活动吗？

你想参加龙舟比赛吗？想参加龙舟比赛要先过这两关哦！

1、把口诀补充完整

三四（）

二八（）

四七（）

三六（）

五八（）

七七（）

七八（）

四五（）

2、口算并说出口诀

1×7=

3×4=

4×8=

2×6=

8×8=

好开心，可以去参加龙舟比赛啦！

二、探究新知

（一）出示情境图，有几条龙舟参加比赛？每天龙舟有几人？

1、（1）1条龙舟有多少人？用乘法怎么表示？（2）表示什么意思？（1个9）（3）你能快速说出这句口诀吗？

2、（1）那两条龙舟有多少人呢？你是怎样算出来的？为什么用乘法计算？

（2）你能说出这句口诀吗？

3、那3条龙舟有多少人？4条呢？5条呢？.........4、剩下的乘法算式和乘法口诀请大家自己编写，看，老师请来了袋鼠和大家一起编写乘法口诀

（二）尝试学习，编写口诀

1.解决问题，理解意义

结合提出的问题，课件展示“袋鼠跳格图”，让学生逐一算出2个9相加、3个9相加„„9个9相加的结果,并且说说每个数字表示的意思。

2.自主学习，独立思考

3.学生汇报结果：

1×9= 9

一九得九

9×1=9 2×9=18

二九十八

9×2=18 3×9=27

三九二十七

9×3=27 4×9=36

四九三十六

9×4=36 5×9=45

五九四十五

9×5=45 6×9=54

六九五十四

9×6=54 7×9=63

七九六十三

9×7=63 8×9=72

八九七十二

9×8=72 9×9=81

九九八十一

4.大家真了不起，自己编出了9的乘法口诀，我们一起来读读吧！

（三）寻找规律，记忆口诀

1、和我们以前学习的口诀相比，9的乘法口诀句数比较多，观察一下，你发现什么规律可以帮助我们快速记忆口诀？

（根据9的乘法算式，以独立思考和小组合作相结合的方式，整体观察9的乘法算式和口诀，寻找并发现规律）

2、学生汇报

3、练习

（1）对口诀（师生对、生生对）（2）师说口诀，生说乘法算式(四)用手指记忆口诀

1、像老师这样把手打开，跟着老师从一数到十

2、跟着老师一起做一九得九，二九十八（观察你的手指这个18在哪？弯曲的手指左边的手指个数表示什么？弯曲的手指右边的手指个数，表示什么？）

3、自己尝试着用手指表示出9的乘法口诀吗？

三、巩固练习

1、做一做（口算并说出口诀）

2×9=

6×9=

7×9=

9×9=

9×8=

9×3=

9×5=

9×4=

2、解决问题

一件衬衫有9个扣子，6件衬衫有多少个扣子？

四、课堂总结

《9的乘法口诀》教学反思篇4

掌握9的乘法口诀规律有助于学生记忆口诀。教学中，我能引导学生从不同角度出发寻找规律。学生在探究中发现：每多一个9积就加9，积的个位和十位相加得9等规律，并用它记忆难记的口诀，以达到学以致用。

轻松愉悦的学习氛围有助于学生学习，所以在记忆口诀环节时我设置了对口令、开火车、手指操等游戏，不仅强化了记忆，更让学生在玩中学到知识，并爱上学习。

在练习环节，我设置了多样化的练习，这样不仅帮助学生巩固所学知识，更让他们感受到运用乘法口诀的便捷性，同时又提高了学生解决问题的能力。

9的乘法应用题的篇5

苏教版二年级 (上) 第75~76页。

【教学目标】

1.经历编制9 的乘法口诀的过程, 掌握9 的乘法口诀和用口诀求商。

2.在解决简单的实际问题的过程中, 进一步体验数学与生活的联系, 发展数学思考, 提高解决实际问题的能力。

3.培养合作意识, 逐步养成独立思考和主动探索的习惯。

【教学过程】

一、创设情境, 激发兴趣

1.播放动画片《西游记》主题曲《一个师傅三个徒弟》 :今天听这首歌咱们从数学角度去听, 你有没有发现歌词中有一些数字?分别是多少啊? ( 72 变、81 难…) , 今天我们课堂上可能会遇到这些数字。

2.回忆学过了几的乘法口诀, 猜猜看今天会学习几的口诀? 揭题, 板书课题。

( 教学反思:这里没有花哨的情境, 而是直接从学生熟悉的课前听歌引入, 顺理成章地从已学过8 的乘法口诀过渡到今天要学的9的乘法口诀。真实而自然, 使学生享受到一股清新而自然的美感。 )

二、探索交流, 发现规律

1.旧知迁移, 利用加法计算出几个9是多少?

出示第75页的五角星图:

( 1) 观察这里的五角星图一行有几颗? 是一个9。像这样两行是几个9? 有多少颗? 3 行、4 行、5 行…9 行有多少颗呢? 咱们来数一数, 赛一赛, 然后把课本翻开到75 页, 在这样的表格里填一填。

( 2) 核对得数, 观察这些得数有什么规律? ( 前一个数总是比后一个数少9, 后一个数总是比前一个数多9;前一个数每次加9 得到后一个数。 )

2.用减法、比较思想来得出几个9是多少?

再次看第75页的五角星图:

( 3) 刚才我们看五角星图是9 个9 个地加的, 看这样的五角星图还可以这样看: ( 出示一行五角星图) 这里有几个格子? 一起数数:1、2、3、4…, 一行有十个格子, 现在你能一眼看出有几个★? 那你是怎么这么快这么准知道有9 个的? 你的方法可真妙! ( 板书:1个9 比10 少1, 10-1=9)

( 4) ( 出示二行五角星图) 一行五角星有1 个9, 那么两行五角星是几个9 呢? 2 个9 是多少, 从图上你能直接看出来吗? ( 板书:比20 少2, 20-2=18。 )

( 5) ( 出示三行五角星图) 。那3 个9 比几十少几? 是多少呢? 你能看出来吗? ( 生答师板书) 。

( 6) 这里的几个9 都是和谁比的, 又是怎么算的呢?

( 7) 那4 个9 是多少? 5 个9、6 个9……9 个9 分别是多少? 你能用这种方法来比一比, 算一算吗? 请大家自己研究一下并填在课本76 页上。 ( 学生看图填写, 然后汇报教师逐步板书)

( 8) 组织学生观察板书:横着看, 你能发现什么规律吗? ( 几个9 就比几十少几) 竖着看这些得数, 你又发现了什么规律? ( 可以小组讨论或同桌讨论, 揭示主要规律)

( 教学反思:帮助学生充分感知得数变化的规律, 同时还引导学生用减法的思想得到得数, 这里虽花很多时间引导, 但学生分别感悟了加法和减法的思路。 9 的乘法口诀非常特殊, 有更丰富的规律。引导学生利用自己的经验记忆口诀, 学生的方法精彩纷呈, 既有数学的味道, 又有浓浓的生活意味。这些方法的积淀为他今后的学习打下了良好的基础。 )

三、合作编写, 记忆巩固

1.根据前面的观察和计算, 你能编出9 的乘法口诀吗?

生:一九得九 ( 师板书) 这句口诀表示什么含义? 2 个9 呢? 根据以前编写口诀的经验, 你有什么要提醒大家吗? 剩下的几句, 你能根据表格来编写吗? ( 生自己编口诀并填书第75 页)

2.核对, 大声读一读, 记一记, 你觉得哪一句口诀最难记? 其他人有什么好方法记住它吗?

3.师小结梳理:9 的乘法口诀共有9 句, 和以前学过的口诀一样, 口诀中的第一个数字都是从一几开始, 9 的口诀就到九几结束, 第二个数字都是9, 再看所有的得数总是一个比一个多9, 后一个总比前一个少几。

4.记忆口诀:

(1) 看得数直接背口诀。 (擦去口诀前半句)

(2) 师生对口令。

( 3) 推想:如果忘了五九四十五, 怎么办? ( 可以想四九三十六加七或想六九五十四减七, 还可以想5 个9 比五十少五是四十五)

( 4) 介绍手指记忆法: ( 看录像)

( 教学反思:记忆是数学学习的重要方式, 设计了几层记忆:看口诀边读边记、看加的得数记口诀、看减的得数记口诀、师生对口令、找规律记、手指记忆。多种方法的指导记忆, 目的就是为了让学生记住口诀, 是课堂有效性的体现)

四、练习应用, 提高能力

1. 学习了9 的乘法口诀就可以应用它帮助我们求积求商, 这些题你能试着算出得数吗? 学生完成书上第75 页的试一试。

2.应用刚才的方法完成第76 页“ 想想做做”的第1 题。

3.比比赛赛。完成第76 页第2 题。

4.逛九元超市。课件出示相关信息:九元超市里有玩具飞机、小汽车、布娃娃……

师:进了九元超市, 你获得哪些信息? 你能提出用乘法或除法计算的问题吗?

5.9 的故事:老师知道我们班的小朋友最善于观察身边的事物, 在日常生活中, 你知道哪些和九有关的故事吗?谁来介绍一下? ( 让学生课外去收集和九有关的材料。 )

( 例9 是所有一位数中最大的, 因此古代称皇帝为九五之尊;农谚中的九九歌;文学作品中虚构的九头鸟的故事;古代诗词中的九言诗等等。 )

( 教学反思:这里淡化了口诀的记忆, 设计了用口诀计算相关的乘法算式、算一算、说一说口诀、9 元超市购物算总价、单价、数量, 以及九的故事更拓宽了学生的思路。 )

9的乘法应用题的篇6

有一种小鼠体色有黑色与黄色两种，经分析，它们是由一对等位基因控制的相对性状，在不考虑突变发生的情况下，一对黑色小鼠生育七只子代小鼠，这七只子代小鼠体色为六黑一黄，问这七只小鼠都是纯合子的概率是多少？

这道试题虽然比较简单，但也比较典型，我在对学生讲解类似试题时，常用数学中的两个原理解决。

在学习中学数学的排列组合模块时，有两个重要的计数原理，一是加法原理，另一个是乘法原理，这两个原理在生活中有非常广泛的应用，在中学生物学关于遗传概率的计算中，应用也非常广泛。

比如：从甲地到乙地可以乘火车、汽车与航班，其中火车每天有3列，汽车有4班，同时有2个航班，因此，在同一天从甲地可以有3+4+2=9种去乙地的方法。这就是加法原理，而如果从甲地到乙地，必须经过丙地，从甲地到丙地可以有3种走法，从丙地到乙地有4种走法，所以从甲地到乙地共有3×4=12种方法。这就是乘法原理。

加法原理与乘法原理不但可以应用于计数，在概率计算中也可以根据类似的情况进行叠加或连乘，如下图，是位于常染色体上的一对等位基因（A、a）控制的相对性状。

P ♀黑色×♂黑色 ♀黑色×♂黑色

↓ ↓

F1 白色黑色×黑色   白色

↓

F2 ？

求子代中黑色的基因型与概率：通过对题意的分析可知，亲本黑色为杂合子，而F1代的黑色个体基因型有两种情况，如下表：

因此，F2代是黑色杂合子的概率可用以下方法计算：每一种婚配类型所产生的后代可用乘法原理计算，将这件事分为三个步骤，先定F1中的父本，再定F1中的母本，最后一步是所生子代概率，比如上表中第三种婚配类型子代的黑色杂合子为（2/3×2/3）×1/2，我通常将这种方法称为“先算婚配概率，再算子代概率”。

由于F1的婚配有四种类型，所以其产生的子代应该用回法原理将这四种婚配所产生的子代情况叠加，即：

[（1/3×1/3）×0]+[（1/3×2/3）×1/2]+[（2/3×1/3）×1/2]+[（2/3×2/3）×1/2]

为4/9。

现在我们讨论所提出的话题，黑色和黑色杂交，得到6黑1黄，求这7只全为纯合子的概率多少，答案给出的是1/2的7次方，一对等位基因控制。

从题中可以看出，雌雄亲本黑色都是显性杂合子，其所生子代如上表中的第四种杂交类型，而6黑1黄可以是下表几种情况：

对于第一种，黄色是纯合子为1，黑色为纯合子为1/3，所以概率为1×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3，因为有七种情况，所以将每一种情况的概率叠加，是1/3的6次方再乘以7。

这一方法还可应用于符合自由组合定律的多对等位基因的概率计算中，如下题：

已知亲本的基因型为AabbDDEeFf×aaBbDdEeff且各等位基因分别位于不同的同源染色体上，则这对杂交亲本可以产生子代的基因型与表现型各是多少？

由于各等位基因位于不同的同源染色体上，相互独立遗传，因此可以将此题分为五个步骤，第一步考察A、a的遗传情况，第二步考察B、b遗传情况，以此类推，最后用乘法原理解决，如下表：

从表格中可知，我们不但可以算出这对亲本所产生子代的基因型或表现型的种数，而且可以进一步计算每种基因型的概率，比如子代为AaBbDdEeFf概率为（1/2）×（1/2）×（1/2）×（1/2）×（1/2）。

《9的乘法口诀》评课稿篇7

一、巧妙地构思了本节课的各个教学环节。首先以《西游记》主题曲《白龙马》和故事导入，既吸引了学生的注意力，调动了学生的积极性，又揭示了本节课的学习内容。

在学习9的乘法口诀这一主环节时，陈老师先引导学生观察一行10格9星的方格图，让学生依据先前的知识，找到规律填写表格，根据表格编写口诀，找出口诀规律帮助记忆口诀。接着陈老师通过“想想做做”第一题的练习，出示两张图表，先引导学生看图填写表格第一行，接着让学生自己发现其中的规律，完成表格。通过表格启发学生发现关于9的乘法口诀的记忆方法，总结出记忆9的乘法口诀方法的多样化，帮助学生加深记忆。

然后陈老师还通过“手指记忆法”的视频教会学生还能通过自己的双手记忆9的乘法口诀。

最后，通过四道练习题的巩固，帮助学生加深对9的乘法口诀的记忆，在学会9的乘法口诀后，在练习题中灵活运用所学的知识。

二、准确地把握了本节课的重点。在学习9的乘法口诀之前，学生已学过了1-8的乘法口诀，已经有了多次编口诀的经历，也积累了一定的经验，因此，本节课的教学重点除了是经历编制9的乘法口诀的过程，更主要的是探索口诀中蕴含的规律来记忆口诀并加以应用。陈老师在本节课中很好地把握住了这个重点，引导学生探讨出了口诀中的好多规律：十位数＋个位数=9，得数依次加9，五九、六九的得数十位和个位上的数刚好相反，1个9比10少1等等，学生在自己探索出的规律的基础上记忆口诀，效果是明显的。在形式多样的练习中，学生较好地应用了口诀去解决。

三、合理地采用了学生自主学习的方法。因为学生已有了编口诀的经验，因此教学中洪老师没有做知识的灌输者，而是给了学生充分的自主学习的机会和空间：发现星星方格图排列规律后学生独立完成剩余表格的填写，探索口诀规律、如何记忆口诀等，让学生主动参与学习过程，增强了学生自主学习的意识。

9的乘法口诀公开课教案篇8

灵宝市河滨小学何伟伟

一、设计思想

1、采用了“自主探究性学习”活动教学模式，提倡自主性“学生是教学活动的主体，教师成为教学活动的组织者、指导者、参与者”这一理念.。学生自主选择学习目标，建立自主合作探究的学习方式，为学生提供充分的自主学习的空间，自编9的乘法口诀，实现了知识的“再创造”，培养了探索精神。突出过程，注重学习结果，更注重学生在学习过程中的感受和体验。让活动、游戏成为课堂学习的主线，创新成为课堂的灵魂，学生活动成为重要的课程资源，以情景串带动问题串，问题串寓情景串之中，这一设计思想符合中低年级学生的认知规律，适合新课标的基本理念：数学来源于生活中。数学是实实在在有用的，它能使学生的思维更加开阔，提出问题、解决问题的能力大大提高。

二、教材分析

1、新课程标准提出让学生逐步从数学角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题；在数学学习活动中获得成功的体验；认识数学与人类生活的密切联系。

2、本课主要教学内容为课本第84页。通过学习，使学生掌握9的乘法口诀，并能运用9的乘法口诀解决实际问题。

3、《9的乘法口诀》是在学生熟练掌握1到8的乘法口诀的基础上进行教学的，学生已经具备了推导口诀的能力，因此本节课对9的乘法口诀的推导，学生就会运用已有的方法进行独立的推导。教师就应在学生推导口诀的过程中，注意1到8口诀方法的延用。学生又在小组内合作交流，创造出新的推导方法。形成了开放式教学，培养了探索精神，并逐渐形成自主、合作、探究的新的学习方式。

三、学情分析

1、本课的内容是在2~8乘法口诀学习的基础上来学习的。要充分利用学习2~8乘法口诀的思考方法和学习经验来学习9的乘法口诀。应尽量增加学生学习的独立性，扩大学生思维的空间，在互相交流各自想法的基础上，自觉吸收自己喜欢的思路，学习口诀、记忆口诀。

2、为了更好地记忆口诀，在操作或推想出连加结果后，一定要记熟连加的结果，再写出乘法算式，编口诀。这样，记忆口诀的负担不至于留在最后的“背诵”上，使难度适当分数。再是记忆口诀要把重点放在数目较大、容易混淆和比较拗口的口诀上。在训练时，应注意变换方式，以游戏和比赛等活动，激发学习的兴趣，提高学习效率。

3、在独立思考的基础上，提倡合作交流。在教学中要注意避免以少数学生的思维代替多数学生的思维，削弱每个人“再创造”的机会。要采取适当措施，有利于个性化学习和创新意识的培养。

四、教学目标

1、知识与技能目标：：（1）掌握并记忆9的乘法口诀，能应用口诀进行乘法算式的计算；（2）理解9的乘法口诀的规律，掌握9的乘法口诀的特殊性。

2、过程与方法目标：（1）使学生经历编制9的乘法口诀的过程，突出知识的形成过程；（2）引导学生有目的的观察，培养学生初步的知识迁移能力；（3）将多种记忆口诀方法归纳总结，渗透数学学习方法。

3、情感、态度和价值观目标：1）让学生参予本节课的全过程，使之感受数学的趣味性；（2）将9的乘法口诀内容与评价整合，培养学生学习数学的良好习惯。

五、重点难点

重点：经历编制9的乘法口诀的过程，掌握并运用口诀进行有关的乘法计算。难点：推导和编制9的乘法口诀并熟记。

六、教学过程

（一）情景引入：

师：我们中国有一个传统的节日，叫做端午节，在过端午节的时候，你们会做什么？

一条龙舟上有九人，九条龙舟上一共有多少人？

师：要解决这个问题，我们来学习今天的9的乘法口诀，学了之后，解决这个问题就非常简单了。我们先来看看袋鼠跳格。

（二）自主探究

1、瞧，小袋鼠在数轴上是怎样跳的？（出示课本第84页的袋鼠跳格图）问：它第一步落到了9，第二步落到了18，你们能发现袋鼠跳格的规律吗？按照这样的规律袋鼠第三步应跳到几呢？你是怎样想的？你们能帮助袋鼠跳完格吗？打开书84页，填在书上。（学生自己算）师：我请一名学生汇报：9，袋鼠跳了几格？是几个9？（1个9）18，袋鼠跳了几格？是几个9？ 27，袋鼠跳了几格？是几个9„„

师：写完后，师生一起观察：1个9是9，2个9相加是18，27是3个9相加的和，36是4个9相加的和„„学生齐回答。

2、编制口诀：谈话：这些得数就是9的乘法口诀的得数，今天我们就根据这些得数来编9的乘法口诀。

（1）师：根据1个9是9，编一句口诀：一九得九（板书）2个9相加是18，谁来编？（板书：二九十八）

师：同学们会编吗？打开书第84页，将编制的口诀填到书上。（学生填书）（2）学生汇报，教师同步板书。提问：“五九四十五”（3）全班读口诀，读两遍。

3、探索9的口诀的规律

小组里交流自己发现的规律，充分的交流，指名汇报，教师小结规律。

4、记忆口诀：

谈话：其实9的乘法口诀就藏在我们身上，你想知道藏在哪吗？就藏在我们灵巧的十个手指上。教师边演示边指导：

①双手手心朝上，平放在桌子上；

②从左起依次弯曲每个手指，弯曲第几个手指就代表几个9；

③弯曲左起第一个手指，代表1个9，弯曲手指的右边，数一数有几个手指？（9个）这就是得数；口诀：一九得九。

④弯曲左起第二个手指，代表2个9，弯曲手指的左边代表十位；右边代表个位，得数是多少？（18）口诀：二九十八。

尝试练习：同学们用这种方法自己试一试其他的口诀。

5、背诵口诀

齐背，小组背，男女生背，指名背，各种形式背诵比赛

（三）课堂检测

1、大转盘，抢答，巩固9的口诀

2、补充口诀

3、运用口诀解决问题

（四）多向吸取

九九歌：一九二九不出手，三九四九冰上走。五九六九沿河看柳，七九河开，八九燕来。九九加一九，耕牛遍地走。提出问题并解决

（五）拓展思路

写出积是18和36的乘法算式，比比谁写得多？

（六）鉴赏评价

1、本节课你收获了什么？

2、你最欣赏谁的表现？为什么？【板书设计】

9的乘法口诀

9×1＝9

一九得九 9×2＝18

二九十八 9×3＝27

三九二十七 9×4＝36

四九三十六 9×5＝45

五九四十五 9×6＝54

六九五十四 9×7＝63

七九六十三 9×8＝72

八九七十二 9×9＝81

初学者如何突破乘法公式的应用篇9

一、抓住结构特征,认清公式本质

从心理特征来说,初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养,从经验型逐步向理论型发展,观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展,所以在教学中应抓住这些特点,以方便学生直观形象把握完全平方公式结构特征。

从认知状况来说,学生在此之前已经学习了多项式乘法法则的探索过程,对“完全平方公式、平方差公式”已经有了初步的认识,为顺利完成教学任务打下了基础,但对于“完全平方公式、平方差公式”的理解,由于其抽象程度较高,学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明白、深入浅出的分析,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性,让学生掌握公式的本质。

通过让学生经历探索完全平方公式的过程,培养学生观察、猜想、发现、归纳、概括等探究创新能力,发展推理能力和有条理的表达能力。

3.当一个多项式与另一个多项式的项数不同,同类项的系数绝对值不等,或字母及其指数不能对应相等时,不能使用乘法公式,如(x-2y)(2x+y)不能使用乘法公式。遵循知识产生过程,从特殊→一般→特殊,将所学的知识用于实践中。

二、形成科学的处理方法,避免符号差错

《新课标》指出:学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这些都需要学生具备一定的自我表达能力作为前提。让学生自己探索发现公式的特点,对于公式中一些符号问题学生就会熟练掌握,迎刃而解。

本两例中两种解法,无论哪种解法,关键是由中间的“+”或“-”号决定了在(a+b)2和(a-b)2这两公式中选用哪一个。在本例两种解法中,解法二不易出符号的差错,故建议选用第二种解法为宜。要解决好这个问题,需注意两方面:(1)初学者不要过多地跳步;(2)要形成自己科学的处理习惯,避免在符号上出错。教师务必进一步发展符号感和推理能力,使学生熟练技能、掌握方法、形成能力,发展积极向上的情感体验,获得终身发展的学习动力,培养数学建模的思想。

三、掌握好“整体思想”在该知识上的应用

整体思想是在研究和解决有关数学问题时的一种常用方法:通过研究问题整体结构特征,从而对问题进行整体处理的解题方法。从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性。在初中数学中的数与式等方面,整体思想都有很好的应用,在提高学生的思维能力和创新意识方面具有独特的作用。用整体思想解题不仅解题过程简捷明快,而且富有创造性。有了整体思维的意识,在思考问题时,才能使复杂问题简单化,提高解题速度,优化解题过程。同时,强化整体思想观念,灵活选择恰当的整体思想方法,常常能帮助我们走出困境,走向成功。如在完全平方公式的探求过程中,学生表现出观察角度的差异:有些学生只是侧重观察某个单独的式子,把它孤立地看,而不知道将几个式子联系地看;有些学生则既观察入微,又统揽全局,表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机,适当对学生进行学法指导,培养他们“既见树木,又见森林”的优良观察品质。

“整体思想”是初中数学中重要的思想方法。本例中可将分别在两个三项式中对应符号相同的项,放在每个三项式的前面视为整体用括号括起来。作为公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,其余的项放在后面括起来作为。或将分别在两个三项式中对应符号不同的项,放在每个三项式的后面视为整体用括号括起来,作为公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的b,其余的项放在前面括起来作为a。如例3(1)中将(2a+b)视为公式中的a,例3(2)中将(2b+3)视为公式中的b。

学生在解题中,要把注意力和着眼点放在问题的整体上,多方位思考、联想、探究,进行整体思考、整体变形,从不同的方面确定解题策略,能使问题迅速获解。

四、巧用积的乘方公式

学生解题时运用积的乘方公式,也是为了引导学生回忆巩固前面的知识。积的乘方公式的理解及应用,首先要让学生理解这个公式,而要让学生理解这个公式,就要让学生理解积的乘方的含义,这也体现了数学知识的互相联系。

乘法公式在初中数学中有着重要的地位和广泛的应用,这有点像“九九乘法表”在小学数学中的地位。正如此,所以在刚开始学习这部分内容时,就不能一知半解,含混过关,而需要正确地理解,并能娴熟地应用各公式。对于初学者来说,要想达到这种要求就可以结合本文所提到的几点,在解题和应用的实践过程中注意观察,勤于思考,多做总结,就可以有效地提高自己应用乘法公式的能力。

9的乘法口诀教学设计篇10

1．学生操作活动和进一步理解乘法的含义,在老师的指导下编写出９的乘法口诀。

2．在编写乘法口诀的过程中，找出9的乘法口诀的规律，初步熟记乘法口诀，会用乘法口诀求积。

３．通过编制9的乘法口诀，培养学生运用类推的方法学习新知识。4．让学生获得成功的喜悦，培养学生学习数学的兴趣。教学重点：

学生在理解的基础上熟记乘法口诀。教学难点：

能用9的乘法口诀正确求积。教学准备：

多媒体课件、小棒等。教学设计：

一、创设情境，导入新课。

师：同学们喜欢看动画片吗？动画片《西游记》中唐僧师徒历经“九九八十一难”取得真经的片段，它是关于几的乘法口诀？生：九九八十一。

师：对了，这是关于9的乘法口诀。今天我们就来一起学习9的乘法口诀！

二、学生合作探讨，编出9的乘法口诀（课件演示）。

1．课件出示信息窗4情境，学生观察。说一说里面蕴含的关于9的乘法口诀的数学信息。学生观察，列出算式。同桌合作编口诀。

三、记口诀。

师：现在给半分钟时间，看看你能把所学的口诀都记住吗？问题1：你在记口诀的时候遇到什么困难了吗？（教师记录学生有问题的口诀，用白粉笔勾出）过渡语：看看通过下面的学习能不能帮助你解决。

问题2：没有遇到问题的同学，我想你一定有什么小窍门吧！先和你的同桌交流。（教师注意留心听与重点规律有关的内容，选择学生回答问题）问题3：你发现了哪些规律，讲给大家听听。（教师根据学生随机的发现进行引导和归纳性的指导）

1．记忆方法一──找规律。

教师引导学生发现9的乘法口诀的规律。

师：找到规律你记忆起来就不费劲了。9的乘法口诀有哪些规律呢？（这些规律学生不必一一找到，不同班级的学生发现不同的规律。教师要引导学生学习掌握规律）

9的乘法口诀共有九句：一九得九，二九十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

它们的规律是：每句的第一个数是按1～9的顺序依次排列；每相邻两句的积相差9。提问：我记住了“七九六十三”这句口诀，下一句忘了，怎么办？积的十位数比口诀的头一个数小1，积的十位数与个位数的和是9。师：3×9＝28，我算得对吗？用你的方法检查。

后一句口诀的得数与前一句口诀相比，十位数大1，个位数小1。

看来9的口诀算得的积离不开1、8、2、7、3、6、4、5这些数字，这样我们可以把口诀分成这样的四类：

二、九，三、八，四、七，五、六。九的口诀，9乘几的积，就把几当做几十，再减几。

原因：因为1个9是1个10减1，2个9就应该是这样的2个10减2，是18，那么3个9就应该是30减3，是27，那4个9呢？（40减4是36）5个9呢？（50减5）继续，所以9乘几的积就是几十减几。（课件演示）9×1＝10－9×6＝□－□ 9×2＝20－9×7＝□－□ 9×3＝30－□

9×8＝□－□ 9×4＝□－□

9×9＝□－□ 9×5＝□－□

教师小结：从不同的角度观察，可以找到许多有关9的乘法口诀的规律，由于时间的关系我们就不一一说了，如果还有想说的下课时可以讲给我听。

师：除了运用规律记口诀，我们还可以通过什么来记忆口诀呢？ 2．记忆方法二──你身上的计算器。

伸出两手，从左到右，按1到10的顺序排列，算一位数乘9，只要弯曲起相应的手指，这个手指左边的手指数目就是积十位上的数，右面的手指数是积个位上的数。例如：计算3×9，就弯起左手左起第3个手指，左面的2个手指表示20，右面的7个手指表示7，所以3×9的积是27。不信，你试试。3．记忆方法三──联想法。

今天我们看动画片《西游记》时知道唐僧师徒经历“九九八十一难”取得真经，让我们记住了“九九八十一”这句口诀，这就是一种联想的记忆方法。平时我们也用过类似的方法记过一些口诀，例如，三十六计走为上策，不管三七二十一。生活中的很多东西可以帮助我们记忆口诀，所以你要做个有心人。检查记忆口诀：

1．师：有了这么多记口诀的方法，刚才那些遇到困难的同学这回再试试，看看你的问题解决了吗？

2．师：谁愿意给大家表演表演？ 3．同桌之间互相听听。

四、练习。

师：现在我们运用口诀解决一些问题。1．说出用哪句口诀计算。（）×9＝72

9×（）＝27 7×（）＝63

《9的乘法口诀》教学设计篇11

教学目标：

1、经历编制9的乘法口诀的过程，掌握9的乘法口诀和用口诀求商的方法。

2、在解决简单的实际问题的过程中，进一步体验数学与生活的联系，发展数学思考，提高解决实际问题的能力。

3、培养与人合作的意识，逐步养成独立思考和主动探索的习惯。重点：记住9的乘法口诀和用口诀求商。难点：用口诀求商的方法。

教学准备：课件、图片、小卡片。课前交流：

（播放动画片《西游记》主题曲——《一个师傅三个徒弟》）

师：让学生说说歌词中出现了哪些数？（孙悟空有七十二般变化，还有“九九八十一难）

师：唐僧师徒四人经历了九九八十一难终于取得了真经。我们从小学好各种本领，努力克服困难，将来才能取得更大的成就。

教学过程

一、导入新课

师：这里有一列数，你能看出他们排列的时候有什么规律吗？你能根据每次加9的规律，把这列数填完吗？

学生填写表格，汇报交流。

师：今天我们就来学习“9的乘法口诀”。（揭示课题）

二、教学新知

1、学习例题。

师：（出示10个方格的图片）这里面有几个空格呢？一起来数一数。师：（出示五角星图）那这里面有几个五角星呢？你是怎样很快看出来的？ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★

（教师板书：1个9，比10少1，就是9。）

师：（逐步出示五角星图）（板书：2个9，比20少2，就是18。……）生：填写课本，观察归纳。

2、编记口诀。

生：（编写口诀并把口诀填在书本第83页上。）

师：你编的乘法口诀一共有几句？你发现9的乘法口诀有什么规律吗？师：如果有一句口诀忘记了，你能怎样想出来？

三、尝试练习

1、完成“试一试”

学生独立完成后，问：你都用哪句口诀？

2、完成“想想做做”第2题。

让学生一组一组地完成，先填口诀，再根据口诀写出四道算式的得数。

3、完成“想想做做”第3题。

学生独立完成后，引导学生通过比较，发现每组题用的是哪句口诀。

四、补充介绍：书上的“你知道吗？”

谈话：其实9的乘法口诀就藏在我们身上，你想知道藏在哪吗？就藏在我们灵巧的十个手指上。教师边演示边指导：

①双手手心朝上，平放在桌子上；

②从左起依次弯曲每个手指，弯曲第几个手指就代表几个9；

③弯曲左起第一个手指，代表1个9，弯曲手指的右边，数一数有几个手指？（9个）这就是得数；口诀：一九得九。

④弯曲左起第二个手指，代表2个9，弯曲手指的左边代表十位；右边代表个位，得数是多少？（18）口诀：二九十八。

⑤弯曲左起第三个手指，代表3个9，弯曲手指的左边代表什么位？右边代表什么位？得数是多少？（27）口诀是什么？

尝试练习：同学们用这种方法自己试一试其他的口诀。

师：同学们的手指都很灵巧，谁来试一试？这个方法神奇吗？下课可以告诉你的朋友和家人。

五、总结

斐波那契数列在标量乘法中的应用篇12

随着Kobilitz和Millier提出将椭圆曲线应用到公钥加密体系中以来,椭圆曲线逐渐被广泛应用于越来越多的领域。由于椭圆曲线具有高比特的安全性,所以在资源有限的环境中更能得到广泛的应用,例如应用在智能卡和嵌入式设备中。

椭圆曲线计算中的一个很重要的操作就是点的标量乘法运算,例如计算k P,其中k是标量,P是椭圆曲线上的任意一点。标量乘法包括两个层面上的操作:一个是椭圆曲线上点的基本操作,如点的倍加,二倍加和三倍加等;二是域上的操作,开发快速模块化的乘法和求逆算法等。人们提出了各种各样的算法用以提高椭圆曲线加密系统的效率。

目前计算标量乘法的方法有许多,例如二进制展开法、带符号的二进制法、m进制法以及利用复乘的GLV法等等。

SPA攻击是一种有效地攻击方式,它通过对不同操作的功耗分析来获得与密钥有关的信息,对于加密过程中的不同操作,在功耗曲线中会显示出不同的变化,SPA攻击者可以根据这些不同的功耗变化来转化成有用的信息,想要有效预防SPA攻击,最好的办法就是将标量乘法中的操作尽可能的转化成同类型的操作,例如将乘法转化为一系列的加法运算,这样就会使得功耗变化不再明显。

斐波那契数列是这样一个数列“1,1,2,3,5·”它存在这样一个性质,即任意一个正整数都可以表示为若干个斐波那契数之和。利用这一性质,我们可以把斐波那契数列运用到椭圆曲线标量乘法的计算中来,通过对系数k的有效变化使k P的运算转化为加法运算(斐波那契法),这样就可以有效预防SPA攻击了。

1 斐波那契数列的引入

新的标量乘法的核心部分就是斐波那契数列的引入,由于任意一个大整数都可以表示成斐波那契数列中若干项之和,所以对于大系数的分解有着重要的意义。

例如对于任意大整数14235,我们可以表示成:

14235=10946+2584+610+89+5+1

如果有一张斐波那契数列表则不难看出10946、2584、610、89、5 和1 都是斐波那契数。正是因为斐波那契数列有这样的性质,所以我们可以将其引入到标量乘法中来,将k P转化成若干项之和,即:

上式中,假使我们知道等式右边各项分别对应的值,则k P也就不难算出了,那么问题来了,怎么能够事先知道kiP的值呢?

1.1 斐波那契数库的使用

为方便讨论新的标量乘算法,我们用椭圆曲线方程来表示椭圆曲线,即:

实际上这是一种简化了的椭圆曲线表示形式,这既有助于新算法的程序实现而又不失一般椭圆曲线的性质。

从以上表达式中可以看出,当系数a,b确定后,椭圆曲线的一般形式也随之确定,如果再给出点P,则可以构造这样一组数据:

P,P,2P,3P,5P, 8Pk P,其中k为斐波那契数

确定了椭圆曲线方程和点P,我们很容易根据椭圆曲线上点的加法运算来求出2 P , 再由斐波那契数列的递推公式Fn Fn1F(n2)就可以比较容易的推导出后面所有项所对应的值。这样,一个特定方程下对给定点P的斐波那契数列库就诞生了。此时只要不改变椭圆曲线方程和基础点P,任意改变标量乘法系数k的大小,都可以使用已经存储的斐波那契数库,这可以大大减少操作复杂度。

1.2 算法实现步骤简介

(1)先确定椭圆曲线方程和基点P。因为斐波那契算法是使用了一个被称为斐波那契数库的结构,它局限于在同一条椭圆曲线上的制定点P下执行。改变椭圆曲线任意一个系数或者改变基点P都会产生一个新的斐波那契数库。

(2)生成斐波那契数库。给定曲线方程和基点P后会有唯一一个斐波那契数库与之对应,系统会根据指令自动生成该数库并保存。

(3)输入系数k。系数k的值是可以任意输入的,因为只要k为正整数,都可以分解为若干个斐波那契数之和。

(4)分解系数k。原理见斐波那契数列性质2,为方便程序实现,我们采用了这样的分解思路:先取小于等于数值k的最大的斐波那契数k1,设m1kk1,再取小于等于m1的最大的斐波那契数k2,设m2m1k2·以此类推,直到mi=0 为止,这样就能得到k对应的斐波那契加法链k1,k2,k3ki。

(5)在斐波那契数库中查找系数k分解后对应的项。由于斐波那契数是固定的一组数,因此步骤(4)中分解得到的一组斐波那契数k1,k2,k3ki必定包含在数据库中,通过比对法可以很容易的提取出相应的项。

(6)计算k P。通过步骤(5)的比对和提取,在使用一次简单的点加法就可以还原最初的标量乘法k P。

2 功能模块实现

2.1 斐波那契数列和斐波那契数库的实现

(1)斐波那契数列(Fibonacci.m)程序

斐波那契数列有着非常利于程序实现的推导公式:

下面就是斐波那契数列的源程序的编写了。因为斐波那契数列是这样一个数列[1 1 2 3 5 8··],它满足第一位和第二位都是1,第n位f(n)=f(n-1)+f(n-2)这样一个递推关系。在设计程序时,因为是以函数文件形式保存,所以开头要先用function来定义函数,即function a=fib(n),定义了一个fib函数,即要实现的斐波那契数列函数,其中a是一个变量,就表示fib函数,只是为了在下面的程序编写中方便使用而已;n是fib数列的长度。接下来就要把n=1 和n=2 两种特殊情况单独说明了,即if n==1,a=1;elseif n==2,a=[1 1];当n>2 时,就要开始用递推关系了,可以假设b=fib[n-1],那么a就应该是数列b再加上最后第n位数了,最后一位数恰好可以用递推公式表示为b(end-1)+b(end),其中end表示最后一项。这样一来整个函数的源程序就编辑完成,如图1 所示:

(2)斐波那契数库(Fibonacci-Ecc.m)的建立

这里所说的斐波那契数库实际上就是系数为斐波那契数的标量乘法数库,例如P,P,2P,3P,5P,8P 之所以要建立这样一个数库是为方便在同一条椭圆曲线、使用同一个基点P的情况下,不管怎样改变系数k的值,我们都可以直接调用数据库来实现快速运算。实现程序如图2:

程序说明:其中f e1, : 表示的是斐波那契数据库的第一项,fe2 ,:表示的是斐波那契数据库的第二项,正如预想的那样,第一项第二项都为P ,从第三项开始,倍点运算的系数按照斐波那契数列的规则增加,需要注意的是,椭圆曲线上的标量乘法中的加法问题不是按照一般的加法规则进行,它有自己独特的点的加法运算,原理上面已经介绍过。因此程序后面调用了一个新的函数Pand Q() 。这是专门计算椭圆曲线上有限域点的加法的函数,是一个自定义的函数。

2.2椭圆曲线上有限域内点的加法实现

椭圆曲线上点的加法遵循以下运算法则:

设,则有

(1)POP。

(2)如果P (x ,y),则有(x,y)(x,y)O,即点(x ,y)是点P的加法逆元,一般表示为 P 。

由EP(a ,b)的产生方式可知, P也是EP(a ,b)中的点。

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ,则PQ(x3,y3)由以下规则确定:

其中

2.3 主程序和运行结果

2.3.1 主程序(solve.m)

程序说明:

(1)第3 行中的a,b是椭圆曲线的系数,用来确定椭圆曲线方程。整个语句是为了确定椭圆曲线方程和基点P ,以及倍数k 。