解析法在几何中的应用

解析法在几何中的应用（精选10篇）

解析法在几何中的应用 篇1

解析法在几何中的应用

姓名： 周瑞勇

学号： 20100107146

5专业： 物理学

指导教师： 何巍巍

解析法在几何的应用

周瑞勇

大庆师范学院物理与电气信息工程学院

摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题

一前 言

几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。

但是，事物都有两重性。实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。开辟新的途径，已是势在必行。近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。

由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。

二解析法概述

几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生的一般的变量概念为主要内容的新的数学分支——解析几何学。

平面几何是研究平面图形性质的科学。组成平面图形的元素是点、线（包括曲线）。平面解析几何采用了坐标系，用代数方法来研究平面几何图形。所以。平面几何和平面解析几何是紧密联系的。我们通过坐标系，把几何问题转化为用代数的方法来论证。这种方法称为解析法。

三用解析法的几何证明

证线段的相等：用解析法证线段相等，首先求出有观点的坐标，运用两点间距离公式。此外还可以利用点到直线的距离公式，直线内分线段比公式（证其比值为1），以及利用中心对称或轴对称的点的坐标来证明。

证角的相等：利用直线斜率的定义，分别求出夹这两个角的边的斜率，利用两条直线夹角公式得到这两个角的正切值相等，在判定这个角是在某一个单调区间内则它们相等。

证两直线平行或垂直：先求出有关点的坐标，证这两条直线的斜率相等；若斜率不存在时，证这两直线于y抽平行；若有一条直线重合于坐标轴，证另一条直线有两点纵坐标或横坐标相等。

证不等问题：用两点间距离公式，两条直线夹角公式把它转化为证明不等式问题，从而运用不等式的性质来证明。

证点共线或线共点：建立经过任意两点的直线方程，然后验证其余点都适合这个方程；或运用两点之间距离公式或直线内外分段成比例公式证其满足梅氏定理的逆定理。

证点共圆或园共点：求出有关各点，利用两点间距离公式证诸点到某一点的距离相等；或先建立经过三点的园的方程，然后证其余点适合圆的方程。

证比例式或等积式：运用两点间距离公式求出线段的长度，再证它们的比相等或求出它们的乘积加以比较。

证定值问题：先写出固定点的坐标系建立有关的固定直线（或圆）的方程，并运用两点距离公式和两直线夹角公式，求出欲证的线段（定长）或直线（定向、定位）与固定图形的元素加以比较，从而说明是定值。

四解析法的几何计算

长度计算：适当建立坐标系求出有关点的坐标以后，常运用两点间公式、点到直线的距离、切线长公式；在求两线段的比时常运用直线内外分线段比公式。

角度的计算：求出用有关点的坐标，利用斜率定义、两条直线夹角公式得到欲求角度的正切值，再利用正切函数在某一区间的单调性求出角的度数。

面积的计算：运用有三点坐标做确定的上三角形的面积公式及四点坐标所确定的四边形面积公式。

五结论

我们可以运用解析法，同时要善于使用平面直角坐标系、极坐标系、斜坐标系、空间直角坐标系中的有关公式和方程来解决解决问题。

参考文献：

解析法在几何中的应用 篇2

Cochran (1977) 提出的样本比率估计法适合于抽取的样本中包括违法发票数目不接近于零的情况。Liu, Batcher和Rotz (2001) 提出的超几何分布估计法能比较好地解决即使发票样本中违法发票数目为零的审计总体违法发票数目及其金额的估计问题。

假设违法发票和合法发票在审计总体中随机分布。用表示第张发票的账面额 (已知) , 为其违法额 (未知) 。Roberts (1978) 给出了第张发票账面额与违法额的关系式:

一、概率分布模型

(一) 简单随机抽样的概率分布模型

假设审计总体共有发票张, 其中张是违法发票, (N-M) 张是合法发票。从中抽取容量为n的样本, 经过识别发现含违法发票张。在M已知的情况下, n张发票含a张违法发票的数目服从超几何分布, 其概率为

然而, 由于采取的是抽样调查, 所以M未知, 而a已知。这需要反过来求在a已知情况下M的条件概率, 即

审计总体发票违法总额为

其中, X是总体N张发票平均账面额 (已知) 。在a已知条件下Y的概率为

(二) 分层随机抽样的概率分布模型

为了在分层随机抽样中使用上述概率模型, 需要确定M=M1+M2的概率分布, 其中M1和M2分别表示审计总体第一、第二层违法发票数目。用a1和a2分别表示从第一、第二层抽取的容量分别为n1和n2的样本中含的违法发票数目。由于样本是从各层独立抽取的, 所以违法发票总数M=M1+M2在第一层样本违法发票数a1和第二层样本违法发票数a2既定下的条件概率为

其中, Pr〈M1|a1〉和Pr〈M2|a2〉与公式 (2) 形式相同, 只是下标不同。M1和M2的违法发票总额为

其中, Y1=X1M1为第一层违法发票总额, Y2=X2M2为第二层违法发票总额。

在a1和a2既定情况下的条件概率分布为

其中, Pr〈Y1|a1〉=Pr〈M1|a1〉, Pr〈Y2|a2〉=Pr〈M2|a2〉

二、估计量

(一) Cochran (1977) 估计量

Cochran (1977) 提出的估计量M赞= (a/n) N被审计人员用来估计审计总体违法发票数目。很显然, 如果a很小, (a/n) N可能不是一个好的估计量。Cochran (1977) 进一步指出, 只有当a比较大的时候 (a/n) N的置信区间才是有效的。如果样本不含违法发票, 这个估计量是不能使用的。

(二) 超几何分布估计量

Liu, Batcher和Rotz (2001) 提出的估计量M赞=E〈M|a〉=ΣMPr〈M|a〉能够比较好地解决样本含违法发票数目很少甚至为零情况下的估计问题。E〈M|a〉是一个比较好的估计量, 不受是否接近于零的限制。因此, 如果样本中的等于或接近于零, 就应该使用该估计量。用公式 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7) 、 (8) 估计简单或分层随机下审计总体违法发票金额。

三、模拟与估计例析

(一) 审计总体概况

本文结合LanLiu, Mary Batcher和Wendy Rotz等在2001年发表的论文“Application of hypergeometric distribution in a special Case of rare events”中由600张发票 (每张发票或合法或违法) 构成的审计总体的一个例子进行分析。从中可以看出上述两个估计量哪个更优。Ω的情况如表1:

(二) 估计量的计算

为演示前面两个估计量的具体计算过程, 从总体Ω第一、第二层分别抽取容量为30和40的2000个简单随机样本。这些样本含违法发票数目的情况见表2和表3:

从表2可以看出:

第一, 表2中违法发票为0的样本有386个, 占总样本数的19.3%, 违法发票数在0-2之间的样本有1637个, 占总样本数的81.85%, 含违法发票数7个的样本只有1个。这些说明样本含违法发票数少的概率是很大的。如果在实际审计工作中抽到的是违法发票数少的样本 (实际审计工作中只抽取一个样本, 这里是进行模拟研究, 所以抽取了这么多的样本) , 使用估计量M赞= (a/n) N是不恰当的。

第二, 既定a下估计M赞=E〈M|a〉的结果总是大于M赞= (a/n) N, 即M赞=E〈M|a〉属于保守估计量。在审计工作中, 宁可对总体中的违法发票数目多估计一些, 以加大审计力量发现被审计单位更多的问题, 使审计报告建立真实可靠信息的基础上。

其中, 表2第4列各个数据 (除22.8外) 的计算如下:。由于M赞=ΣMPr〈M|a〉, 所以必须计算出M的可能值, 以及a下的条件概率Pr〈M|a〉。仍然以第一层为例, n1=30。先计算a1=0时的, 由于, 所以。Pr〈M1|a〉按公式 (3) 使用SPSS统计软件计算。计算结果见下表3:

*15.2=386/2000×0+689/2000×10+…+1/2000×70*22.8=386/2000×8.44+689/2000×17.86+…+1/2000×74.50

表2第4列的第一个数据依据表3第1列和第3列计算, 具体计算过程如下:

类似地, 还可以计算a1=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7下的条件概率Pr〈M1|a1〉, 并计算表2第4列的其他数据。

第二层的情况完全类似于第一层。

使用公式 (6) 、 (7) 、 (8) 可以得到M1=M1+M2和Y1=Y1+Y2的估计值。

参考文献

[1]Liu, Y., Batcher, M.&Scheuren F.EfficientSampling Design in Audit Data.Journal of DataScience, Vol3, No.3.2005.

几何画板在解析几何中的应用点滴 篇3

【关键词】解析几何 圆锥曲线 几何画板

在解析几何教学中，如何让学生理解椭圆、双曲线、抛物线的定义是难点，课本上给了椭圆、双曲线、抛物线的直观解释，还有圆锥曲线教学仪可以演示定义。笔者对几何画板“情有独钟”，利用几何画板的动画功能展示圆锥曲线的定义效果也很好。特别在进行圆锥曲线统一定义的教学时，如果通过建立方程、化简方程，再由方程特征确认曲线有些枯燥，学生兴趣很低，若能用几何画板的强大功能，通过改变“e”的大小来得到不同曲线，学生很容易理解，容易记住结论，也对离心率的变化对曲线形状的改变有了直观认识. 同时增强学生的学习兴趣.

以下是笔者利用几何画板展示三种圆锥曲线的统一定义的制作过程，同大家共享，欢迎改进.

1. 打开几何画板，作一条直线l和一个定点F.

2. 在l上取自由点A，过A作直线l的垂线AP，连结AF，取线段AF上的自由点B.

3. 过B作AP的垂線，垂足记为C.

4. 以B为圆心，BC为半径画圆. 度量BC，计算arccos（BC/BF）.

5. 以B为旋转中心，线段BF旋转“—arccos（BC/BF）”与圆B交于点D. 连结DF并延长与AP交于点M.

再以B为旋转中心，线段BF旋转“arc（BC/BF）”与圆B交于点E. 连结EF并延长与AP交于点N.

6. 隐藏辅助线和点. 依次选定A、M（或N），在构造菜单栏点“轨迹”.

根据上述做法，MB（或NB）为角AMF（或角ANF）的平分线，则BF/AB=MF/MA（或BF/BA=NF/NA）.

在屏幕上方显示MF/MA（NF/NA）的值.

移动点B，即可看到MF/MA的值随之改变.

当点B是线段AF中点时，显示点M的轨迹是抛物线；

当点B靠近点A一侧时，显示点M的轨迹是双曲线；

当点B靠近点F一侧时，显示点M的轨迹是椭圆.

教学中，教师和学生一起研究如何找动点M使得M到定点F的距离与点M到定直线l的距离的比值是定值（等于BF/BA），让学生参与制作过程增加兴趣. 完成后移动点B，让学生观察MF/MA的值，并观察点M的轨迹，让学生在“好玩”中理解圆锥曲线的统一定义，理解离心率e的几何意义. 本节教学笔者试验后学生兴趣浓厚，效果较好.

数学是比较抽象的学科，如何让学生增强学习数学的兴趣，一直是数学老师们思考的问题. 我们在在教学中多应用一些教学软件，让课堂变得生动些，灵活些，会增强学生的好奇心，提高学习兴趣. 《几何画板》、 《z+z智能平台》都是比较好的软件，功能强大，可以展示动画，或进行计算等，让学生直观地理解概念，分析问题等.

【参考文献】

[1]何敏藩，余剑华. 几何画板在解析几何教学中的创新应用[J]. 电脑知识与技术，2016，10：132-134.

[2]杨丽萍，张廷琦. 几何画板轨迹功能在解析几何探究性学习中的应用[J]. 中国教育技术装备，2009，04：96-97.

解析法在几何中的应用 篇4

专题：解析几何中一类对称问题研究

x2y2

1有不同的两点关于直线y4xm引例：试探究是否存在实数m，使得椭圆43

对称？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；

变式1：已知直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A,B两点，是否存在实数k，使A,B两点关于直线x2y0对称？若存在，求出实数k的值，不存在，请说明理由

变式2：已知抛物线C:y2x与直线l:ykx3，试问C上是否存在关于直线l对称4的两点？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由

变式3：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B(0,1)，右焦点到直线m:xy220的距离为3

（1）求椭圆C的标准方程；

解析几何教案(三) 篇5

由于确定平面的几何条件不同，所以方程有许多不同的形式。1.由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程

（1）决定平面的几何条件：过点M0与两个不共线矢量a，b平行。（2）导出方程：取标架{O；e1，e2，e3}，设r0=OM0。OM=r。

点M在平面上a，b，M0M共面。因为 a，b不平行，所以存在实数u，v使

M0M=ua+vb，又M0M=OMOM0=rr0，所以rr0=ua+vb，即（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程，其中u，v为参数 r=r0+ua+vb，如果M0(x0,y0,z0)，M(x,y,z)，a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}则平面的坐标式参数xx0x1ux2v方程为yy0y1uy2vzzzuzv012(u,vR)

（3.1-2）

消去参数u，v，得(rr0,a,b)0

（3.1-3）

xx0或yy0y1y2zz0z1z20

（3.1-4）x1x2点位式方程

例：求过点(1,0,1)，方位矢量a{1,1,1}，b{2,0,1}的平面参数方程的点位式方程。

x1x1u2v解：yuz1uvx1y即：

(u,vR)

z110 11210例1 已知不共线三点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，M3(x3,y3,z3)，求通过M1,M2,M3的平面方程。

解：取平面的方位矢量aM1M2{x2x1,y2y1,z2z1}，bM1M3{x3x1,y3y1,z3z1} xx1(x2x1)u(x3x1)v平面的坐标式参数方程为yy1(y2y1)u(y3y1)vzz(zz)u(zz)v12131xx1消去参数u，v得x2x1(u,vR)

yy1y2y1y3y1zz1z2z10

（3.1-8）z3z1x3x1三点式方程

作为特例M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)abc0

xa三点式方程为：ayzab00 0c展开整理：bcxacyabzabc 由于abc0，所以上式可写成

xyz（3.1-9）abc（3.1-9）叫平面的截距式方程，a,b,c分别叫做在x,y,z轴上的截距。2平面的一般式方程

因为空间任一平面都可以用它上面的一点M0(x0,y0,z0)和它的方位矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}确定，因而的方程可写成 xx0x1x2yy0y1y2zz0z1z20展开可写成（3.1-10）

y1AxByCzD0其中Ay2z1z1，Bz2z2x1x1，Cx2x2y1 y2因为a，b不共线，A,B,C不全为零，这表明空间任一平面可用x,y,z的一次方程来表示：反过来，可以证明关于x,y,z的一次方程（3.1-10）总表示一个平面。这是因为A,B,C不全为零，不失一般性，不妨设A0，那么（3.1-10）可以写成：

A2(xD)AByACz0 AxBCDAyA0z00 AD,0,0)，方位矢量为{B,A,0}和{C,0,A}的平面。因此，我们有定理 A定理3.11 空间中任一平面的方程都可表示成一个关于x,y,z的一次方程；反过来，每个关于x,y,z的一次方程都表示一个平面。这是过点(方程（3.1-10）叫做平面的一般式方程。一般式方程的特力：：AxByCzD0 1.D0平面过原点

2.A,B,C中有一个为零，比如C0，这时AxByD0

D0（0，0，z）不满足方程，无交点 与z轴平行

D0 过z轴

C0，平面过z轴或平行z轴

3.A,B,C有两个为零，BC0，这时AxD0

D0 与xoy平行

D0 x0

与xoy重合

例2 求过点M1(2,1,1)，M2(3,2,1)且平行于z轴的平面方程。解：设平行于z轴的平面方程为AxByD0（1）它过M1,M2两点，代入（1）得

2ABD0

（2）3A2BD0

（3）

111221由（2）（3）得 A:B:D::1:1:1

211332所以所求平面方程为xy10

AxByD0令：因为2ABD0

关于A,B,D有非零解

3A2BD0x所以2y1110

即：xy10

3213.平面的法式方程

（1）确定平面的几何条件：过定点M0且与非零矢量n垂直的平面唯一确定

法矢量：与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量。

（2）导出方程：取直角坐标系{O;i,j,k}，设r0=OM0，r=OM点M在平面上

M0Mn

即：n(rr0)0（3.1-11）

矢量形式的点法式方程

用坐标表示： 设n{A,B,C}，r0(x0,y0,z0)，r(x,y,z)则A(xx0)xB(yy0)C(zz0)0（3.1-12）点法式方程

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记D(Ax0By0Cz0)则可写成 AxByCzD0

由此可见，在直角坐标系下，平面的一般式方程中一次项系数A,B,C由简明的几何意义：它们是平面的一个法矢量！

例3 已知两点M1(1,2,3)，M2(3,0,1)，求线段M1M2的垂直平分面的方程。解：因为M1M2{2,2,4}2{1,1,2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量

n{1,1,2}，又平面过M1M2中点M0(2,1,1)，由点法式得(x2)(y1)2(z1)0

即xy2z10为所求平面的方程。（3）点法式方程的特殊情形：

平面上的点M0取自原点O向平面的射影P，而的法矢量n取单位矢量n，其方向：

0不过原点时n指向平面；当过原点时，n方向在垂直于的两个方向中任取一个。

设|OP|p，那么OPpn，由3.1-11，由点P和n决定的平面的方程为 0000n(rpn)0

即：nrp0

（3.1-13）矢量式法式方程

如果r(x,y,z)，n{cos,cos,cos} 那么由3.1-13得 0000xcosycoszcosp0

3.1-14 坐标式法式方程。特征：（1）一次项系数是单位法矢量的分量，平方和等于1。

（2）因为p是原点到平面的距离，则p0 4.化平面的一般方程为法式方程

AxByCzD0

（1）设n{A,B,C}，r{x,y,z}则上式可写为

nrD0与3.1-13比较可知，只要以1|n|1ABC222乘（1）就可得法式方程

AxABC222ByABC222CzABC222DABC2220

其中正负号选取一个，使他满足Dp0

即当D0时，与D异号，当D0时，符号任取一个。3.2 平面与点的相关位置

点M0(x0,y0,z0)

平面：AxByCzD0

在与不在两种 1.点到平面的距离 定义：（点到平面的离差）

如果自点M0向平面引垂线，垂足为Q，那么QM0在平面的单位法矢量n上的射影叫做点M0与平面间的离差，记作射影QM0

n00从定义可知

0|QM0|cos(n,QM0)

00QM0与n同向，0

QM0与n反向

0

|||QM0|

定理：点M0与平面：nrp0间离差nrp，其中r0OM0 证：OM0ONNQQM0 QM0rONNQ 0000射影QM0n0QM0n(rONNQ)nrnON0nrp

n00000000所以 nrp 00推论1 用坐标表示，点M0(x0,y0,z0)与平面：xcosycoszcosp0离差

x0cosy0cosz0cosp

推论2：点M0(x0,y0,z0)与平面：AxByCzD0间距离d|AxByCzD|ABC222 2.平面划分空间问题—————三元一次不等式的几何意义 三元一次方程：AxByCzD0表示平面

那么 AxByCzD0和AxByCzD0有什么几何意义呢？ 设M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)不在上两点，我们可以证明

若M1,M2在同侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0 若M1,M2在异侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

这是因为，当M1,M2在同侧时，Q1M1与Q2M2同向，所以(M1)与(M2)同号，设是的法式因子，则

(M1)(M2)

11(Ax1By1Cz1D)1(Ax2By2Cz2D)

2(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

所以(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

同理：当M1,M2在异侧时(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

因此，三元一次不等式的几何意义是：平面AxByCzD0将空间分成两部分，每一部分叫做半空间，可用不等式表示。

3.3 两平面的相关位置

1：A1xB1yC1zD10 2：A2xB2yC2zD20

1.位置关系：相交：有一条直线的公共点

平行：没有公共点

重合：两平面上点都是公共点

相交n1不平行n2 即A1:B1:C1A2:B2:C2

平行A1B1C1D1

A2B2C2D2A1B1C1D1

A2B2C2D重合2.两平面夹角 (n1,n2)或 (1,2)(n1,n2)cos(1,2)cosn1n2|n1||n2|

3.4 空间直线的方程

1.由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程

（1）确定直线的几何条件：过定点M0与非零定方向v平行的直线被唯一确定。直线的方向矢量：与直线平行的非零矢量v叫做直线的方向矢量。（2）导出方程：取标架{O;e1,e2,e3}，设r0OM0，rOM 点M在直线l上M0M∥v存在实数t，使M0M=tv 又M0MOMOM0rr0

所以rr0tv

即：rr0tv

（3.4-1）直线的矢量式参数方程。用坐标表示上式得，设M0(x0,y0,z0)，v{x,y,z}

xx0xtyy0ytzzzt0消去参数(tR)（3.4-2）坐标式参数方程

xx0yy0zz0

（3.4-3）xyz直线l的标准方程，也称对称式方程。

2.直线的一般方程。

因为空间直线l总可以看作过l的两个不同平面1与2的交线，设1：A1xB1yC1zD10

2：A2xB2yC2zD20

A1xB1yC1zD10则(A1:B1:C1A2:B2:C2)叫做直线l的一般式方程。A2xB2yC2zD203.直线的一般方程与标准方程互化。（1）标准方程xx0yy0zz0是一般方程的特例。xyzxx0zz0xazczx当xyz0时，上式即为

即：

yyzzybzd00zyxx0yy0y 当x,y,z有一个为零，不妨设z0，xy0，则有xzz00当x,y,z有两个为零，不妨设yz0，则有

xx0yy0zz0，根据约定，这时x00yy00，因此，标准方程总可变形为一般方程。zz00（2）一般方程A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20

（2）总可化成标准方程。

xazcyaxcxayc或或

（3）ybzdzbxdzbyd因为A1:B1:C1A2:B2:C2

即n1n20

B1所以B2C1C1，C2C2A1A1，A2A2B1A1不全为零，不妨设B2A2

由克莱姆法则

B10 B2则（2）化为A1xB1y(C1zD1)A2xB2y(C2zD2)B1B2A1A2(C1zD1)B1B1C1(C2zD2)B2BC2x2zA1B1A1B1A2B2A2B2C1C同理y2A1A2A1A2zB1B2D1D2A1A2A1A2 B1B2D1D2 B1B2B1C1BC2令2a.A1B1A2B2xazc则有

ybzd同理，若B1B2A1A2D1D2c，B1B2C1C2A1A2A1A2b,B1B2D1D2A1A2A1A2d B1B2B1B2C1C2C1yaxc0，将有

C2zbxdA1xayc0，将有 A2zbyd方程（3）叫做直线l的射影式方程。

xatc在（3）中，令zt，则有ybtd

参数方程

ztxcydz

标准方程 ab1一般式 先化成射影式再化成参数式再化成标准方程。4.直线的方向数、方向角、方向余弦

直线l的方向矢量的方向角,,与方向余弦叫做直线l的方向角与方向余弦。

直线l的方向矢量的分量X,Y,Z或与它成比例的一组数l,m,n(l:m:nX:Y:Z)叫做直线l的方向数。

设l,m,n为l的一组方向数，则取v{l,m,n}

cos/llmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 又vv{l,m,n} 所以

cosllmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 这说明直线的方向角与方向余弦各有两组。3.5直线与平面的相关位置

1.直线与平面相关位置有三种。相交：有且只有一个公共点。平行：无公共点

直线在平面内：直线上的点都是公共点 直线l：xx0yy0zz0（1）XYZ平面：AxByCzD0（2）

为了研究直线与平面的交点，将（1）改为参数方程。

xx0Xtyy0Yt

（3）代入（2）整理得 zzZt0(AxByCz)tAx0By0Cz0D0（4）

当且仅当AxByCz0时，（4）有唯一解。t这时直线与平面有唯一公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）无解，直线与平面无公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）有无数个解。这时直线与平面有无数多个交点，即直线在平面内。

2.直线与平面的交角。

（1）定义：当直线与平面不垂直时，直线与平面间的角是指着直线和它在平面内射影所构成的锐角。当直线与平面垂直时，交角规定为直角。

（2）导出交角公式：当直线与平面不垂直，设直线与平面内射影交角为

3.6 空间两直线的相关位置 1.空间两直线的相关位置 位置关系：（1）异面（2）共面

Ax0By0Cz0D

AxByCzL1：xx1yy1zz

1（1）X1Y1Z1xx2yy2zz

2（2）X2Y2Z2L2：L1与L2共面M1M2，v1，v2共面 L1与L2异面M1M2，v1，v2异面

2.空间两直线的夹角

就是它们方向矢量的夹角，即(l1,l2)(v1,v2)或(l1,l2)(v1,v2)

l1l2v1v2X1X2YY12Z1Z20

3.异面直线间的距离与公垂线方程。

空间两直线上点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离。相交线、重合线——————距离为零平行线————点到直线的距离 异面直线间距离————

异面直线的公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线。

设两异面直线l1与l2，公垂线为l0，垂足分别为N1,N2，设P1,P2分别为l1与l2上任意点，则P12||PP12||cos(l0,PP1)||PP12| 1,P2在l0上射影为N1,N2，|N1N2||射影l0PP这说明异面直线上任意两点间距离公垂线最短。

d|N1N2||射影l0M1M2||射影x2x1X1X2Y1Y2Z1Z22v1v2M1M2||(v1v2)M1M2||v1v2||(M1M2,v1,v2)||v1v2|

y2y1Y1Y2Z1Z2X1X22z2z1Z1Z2X1Y12

X2Y2公垂线方程

设公垂线l0，方向矢量v0v1v2，那么l0可以看作过直线l1平行于v0的平面1与过直线l2且平行于v0的平面2的交线。xx1X1X因此公垂线方程为xx2X2Xyy1Y1Yyy2Y2Yzz1Z10Zzz2Z20Z

其中v0v1v2{X,Y,Z}{Y1Y2Z1Z1,Z2Z2X1X2X2Y2,X1Y1}

3.7空间直线与点的相关位置。

点与直线位置关系：点在直线上与点不在直线上两种： 点到直线的距离 直线L：xx1yy1zz1

点M0(x0,y0,z0)XYZ设M1(x1,y1,z1)，v{X,Y,Z}，M1M0{x0x1,y0y1,z0z1} d|M1M0v||v|y0y1Yz0z1z0z1ZZ22x0x1x0x1XX222y0y1Y2XYZ 3.8平面束 定义：空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束。那条直线叫做平面束的轴。

空间解析几何课程简介 篇6

本课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

2、选课建议

数学专业的同学必选该课程。该课程要求同学拥有良好的中学数学基础，建议在一年级选学。

3、教学大纲

一、课程内容

第一章 矢量与坐标

1.1矢量的概念

1.2矢量的加法

1.3数量乘矢量

1.4矢量的线性关系与矢量的分解

1.5标架与坐标

1.6矢量在轴上的射影

1.7两矢量的数性积

1.8两矢量的失性积

1.9三矢量的混合积

*1.10三矢量的双重矢性积

[说明]：本章系统地介绍了矢量代数的基础知识，它实质上是一个使空间几何结构代数化的过程。为了更好地叙述矢量的向量积与混合积，我们需要补充行列式的一些基本知识。

第二章 轨迹与方程

2.1平面曲线的方程

2.2曲面的方程

2.3母线平行于坐标轴的柱面方程

2.4空间曲线的方程

[说明]：本章先介绍品面曲线平面曲线的方程，后快速过渡到曲面与空间曲线方程的研究，这样不仅使学生对平面轨迹的问题作了复习与提高，而且使得一些看来较为复杂的空间轨迹问题也就迎刃而解了。

第三章平面与空间直线

3.1平面的方程

3.2平面与点的位置关系

3.3两平面的相关位置

3.4空间直线的方程

3.5直线与平面的相关位置

3.6空间两直线的相关位置

3.7空间直线与点的相关位置

3.8平面束

[说明]：本章用代数的方法定量地研究了空间最简单而又最基本的图形，即平面与空间直线，建立了它们的各种形式的方程，导出了它们之间位置关系的解析表达式，以及距离、交角等计算公式。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面 4.2锥面

4.3旋转曲面

4.4椭球面

4.5双曲面

4.6抛物面

4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

[说明]：本章抓住几何特征很明显的柱面、锥面、旋转曲面去建立它的方程，又对于比较简单的二次方程，用“截痕法”去研究图形的性质。

第五章 二次曲线的一般理论

5.1二次曲线与直线的相关位置

5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

5.3二次曲线的切线

5.4二次曲线的直径

5.5二次曲线的主直径与主方向

5.6二次曲线方程的化简与分类

5.7应用不变量化简二次曲线的方程

[说明]：本章从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开了一般二次曲线的几何理论的研究，如讨论了一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径等，也讨论了一般二次曲线方程的不同的化简与分类。

二、课程说明

（一）课程的地位和任务

本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。

（二）课程的基本要求

1、掌握向量代数的基本知识，包括向量的线性运算与向量的内积、外积、混合积的计算，以及在几何上的应用。2.掌握空间的平面与直线的各种形式的方程，以及点、线、面三者之间的各种度量关系。

2、掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的方程。

3、掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类。

（三）课程内容的重点、深广度

本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论。本课程论证严谨，叙述深入浅出，条理清楚，具有较好的广度与深度。

（四）与其它课程的联系与分工

先修课：平面解析几何

（五）对学生能力培养的要求和方法

学生除了参加闭卷考试外，关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力。

柯西不等式在解析几何中的应用 篇7

当且仅当bi=0 (i=1, 2, …, n) 或存在一个数k, 使得ai=kbi (i=1, 2, …, n) 时, 等号成立.

柯西不等式具有对称和谐的结构特征, 应用关键在于构造两组数ai, bi (i=1, 2, …, n) , 进行合理的变形, 找准解决问题的正确方向.柯西不等式不仅形式优美, 而且应用非常广泛.不但可以解决代数中重要不等式问题, 而且还能解决解析几何中有关问题.本文例析柯西不等式在解决解析几何问题中的应用, 希望对同学们有所帮助.

一、求最值

例1已知点P (x0, y0) 和直线l:Ax+By+C=0, (A2+B2≠0) , 则点P (x0, y0) 到直线l的距离是d=.

证明设Q (x1, y1) 是l上任意一点, 则Ax1+By1+C=0, 显然, PQ的最小值是点P (x0, y0) 到直线l的距离, 由柯西不等式, 得

故点P (x0, y0) 到直线l的距离是d=.

例2实数x, y满足方程x2+y2=6x-4y-9, 则2x-3y的最大值与最小值的和等于——————. (第十届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二) 第二试)

例3直线l:y=x+5与x, y轴分别交于A, B两点, 点C在椭圆=1上运动, 那么△ABC面积的最大值等于________. (第十一届“希望杯”高二培训题)

25.∴△ABC面积的最大值等于25.

二、定范围

例4圆x2+ (y-1) 2=1上任意一点P (x, y) 满足x+y+c≥0, 则c的取值范围是 () .

(第七届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二) 第一试)

解设x+y+b=0, 则c≥b恒成立, 由柯西不等式, 得

(-b-1) 2=[x+ (y-1) ]2≤ (12+12) [x2+ (y-1) 2]=2,

例5若实数x, y适合方程x2+y2-2x-4y+1=0, 那么代数式的取值范围是_______. (第九届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二) 第一试)

解设=k, 则y=k (x+2) , 因为x, y满足 (x-1) 2+ (y-2) 2=4, 所以由柯西不等式, 得 (-3k+2) 2=[k (x-1) + (-y+2) ]2≤ (k2+12) [ (x-1) 2+ (y-2) 2], 即

(3k-2) 2≤4k2+4, 解得0≤k≤, 即代数式的取值范围是[0, 512].

三、求切线

例6由 (-1, -1) 向曲线x2+4y2-2x+16y+13=0作切线, 切线方程是________________________. (第二届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二) 第一试)

解设切线方程为A (x+1) +B (y+1) =0.∵曲线方程x2+4y2-2x+16y+13=0.可化为: (x-1) 2+4 (y+2) 2=4, 由柯西不等式, 得 (-2A+B) 2=[A (x-1) +B (y+2) ]2≤ (A2+) [ (x-1) 2+4 (y+2) 2], 即 (2A-B) 2≤4A2+B2, 等号成立当且仅当A=0或B=0.

解析法在几何中的应用 篇8

【关键词】割补法  高中立体几何  应用研究

在高中立体几何中，割补法是一种特殊的方法，通过对已知几何体的割补，能够得到一个新的几何体，新的几何体和原来的几何体具有一定的联系，从而可以将所求问题进行转化，达到简化问题的目的。割补法中蕴含着构造的思想，也是对立统一哲学思想的反映，培养学生的割补思想，对于学生的数学能力和创新能力的培养具有重要的意义。

一、补形法

补形法就是将原有的立体几何图形补充一部分，形成一个新的立体几何图形，在新的立体几何图形中研究图形的体积等性质。一般使用补形法时，原有的立体几何图形的相知和数量求取方法比较复杂，通过补充后，新的图形和补充的部分数量关系求法比较简单。

1.构造正方体法

正方体是一个比较特殊有简单的几何体，通过割补法构造正方体，可以将复杂的问题简单化，可以找到解题的简单方法。

例1：过正方形ABCD的顶点A作PA⊥面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。

分析：由于是正方形ABCD，PA垂直该面且PA=AB，这样构造出一个正方体，正方体的边长与AB长相同，所求的平面PAB和面PCD所成二面角，就是正方体的一条边所在的面和其所在的对角面所成的夹角，为45°。

例2：一个四面体的所有棱长都为

，四个顶点在一球面上，求此球的表面积。

分析1：正四面体ABCD的棱长为

，四个顶点都在球上，球的球心与四面体的中心相同，设ΔACD的重心为E，则球心在线段BE上，可以通过直角三角形求出，但是计算比较复杂。

分析2：将四面体ABCD补成正方体，补成的正方体与正四面体的外接球是同一个球，由于正四面体棱长为    ，所以正方体的棱长为1，外接球的半径为     ，所以球的面积为3π。

2.台体补成锥体法

台体与锥体具有一定的关系，台体可以通过锥体截取一部分得到，它们的性质相似，如果台体中有些性质比较难解答时，可以将台体补充一个小的锥体，得到一个大的锥体，使问题得到转化，从而找到简便的解答办法。

例3：已知三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ACC′是底角互余的梯形，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，求证：三棱台另两个侧面互相垂直。

分析：要证明三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ABB′与侧面B′BCC′互相垂直，可以使用面面垂直判定定理或者证明这两个面所成的二面角是直二面角，但是两种方法只靠原立体图形是很难证明的，可以考虑将三棱台ABC-A′B′C′补成三棱锥P-ABC。

二、分割法

分割法是将几何体分割成若干个部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。使用分割法时，要将原有的几何体分割成比较常见的几何体，使原来所求的问题更加简单。

1.从整体分割出部分已知几何体

例4：已知一个斜三棱柱的ABC-A′B′C′的一个侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，求该三棱柱的体积。

分析：根据三棱柱的体积公式，要求三棱柱的体积，要知道三棱柱的底面积和高度，但是这道题根据已知条件无法求出底面积和高。根据已知条件侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，可以看作为将侧面A′ABB′作为底面，C为顶点的四棱锥C-A′ABB′的底面积和高，再根据四棱C-A′ABB′与三棱柱之间的关系求出三棱柱的体积。

2.把整体分割成几个相互关联的部分

例5：已知正四面体的棱长为a，求其内部任一点P到各个面的距离之和。

分析：由于PS是正四面体内部的任一点，具有不定性，无法确定点P到个面的距离。可以将P作为顶点，将P点与其他顶点连接，可以得到四个以P为顶点的三棱锥，P点到各面的距离是各个三棱锥的高，利用正四面体的体积是四个三棱锥体积之和的关系，就可以求出P点到各面的距离之和。

解：连接PA、PB、PC、PD，把正四面体ABCD分成四个三棱锥：三棱锥P-ABC、三棱锥P-BCD、三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD。设P到各个面的距离分别为h1、h2、h3和h4，由于是正四面体，各个面的面积都相等，设为S，则这四个三棱锥的体积分别为：  Sh1、

Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面体的体积为

aS，所以有等式  Sh1+  Sh2+  Sh3+

Sh4=     aS，解得h1+h2+h3+h4=     a。

三、小结

割补法在高中立体几何中具有广泛的应用，立体几何中的许多定理和结论都来自于生活实践，与平面几何之间具有很重要的关联。所以在教学中要引导学生联想实际模型，加强学生的立体想象能力，使学生的头脑中形成立体几何图形的模型，对于割补法具有更形象的理解，从而提高学生解决立体几何问题的能力。

【参考文献】

[1] 黄永云、李素云. 巧用割补法解高考立体几何题[J].课程教材教学研究，2013.2（8）：17-19.

[2] 王建忠. 割补法及其应用[J].中学物理，2011.3（4）：43-45.

[3] 闫峰. 例析割补法在高中物理中的应用[J].中学物理（高中版），2014.32 （8）：82.

解析法在几何中的应用 篇9

课标理数15.H1[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．

课标理数15.H1[2011·安徽卷] ①③⑤ 【解析】 ①正确，比如直线y＝2x＋3，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝3x－3中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，11它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比33

浅谈向量在几何中的应用 篇10

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。