微积分教学

微积分教学（精选8篇）

微积分教学 篇1

高等教育院校作为我国的最高学府，每年都会吸纳很多人才，也会向社会输送很多人才.这些学生毕业后大多会从事科技研究工作，所以怎样让学生接受并学会枯燥无味的微积分知识，是摆在教育工作者面前的大难题.本文首先分析微积分的发展历史，进而从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

摘要：微积分作为高等数学的必修课程，历来是高等院校的必开课程.微积分与实际生活密不可分，它应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，在科学技术飞速发展的今天，微积分更是有了越来越广泛的应用.

关键词：微积分;发展;高等数学

微积分对于高等数学的意义非常重大.一方面，微积分是所有高等数学知识的基础，如学习线性代数和概率，学生都要掌握微积分知识.另一方面，微积分是前人为了解决实际生活中的难题而发明的，所以微积分与实际生活密不可分.对于科技的发展，知识是前提，微积分涉及生活中的各个学科领域，所以，高等学校的学生要想更好地适应科技发展，就必须学习和掌握微积分知识.

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期，学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学，作为微积分研究的基础，早在我国古代就已经开始应用，只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪，人类的知识体系还不是很完善，对于一些计算问题束手无策，这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问，于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类，第一类问题出现在物体运动中，即速度问题.第二类问题出现在曲线中，即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中，即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中，即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪，各个领域的科学家在微积分领域开始了研究，他们的国度不同，语言不通，信仰不同，但对于研究的目标是一致的，那就是解决问题，虽然没有最终总结出完整的.理论，但他们的探索为后世的研究奠定了道路，也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说，但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》，提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这本书提出了精确的数学符号，也规范了微积分学说.

19世纪初，以柯西为首的法国科学家，开始整理前人的微积分理论，并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究，最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出，微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程，人类解决任何问题都是从直观的认识开始的，运用抽象思维，最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实，高等数学的教学也是这样，下面从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点建议

(一)教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础，是每个大学都会开设的一门基础学科.然而，学生们学习微积分，往往是为了应付考试，根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点，微积分教学时，教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度，只有持有一个端正明确的学习态度，学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级，而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期，对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它，且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味，对于学生们和老师来说都感觉“食之无味，弃之可惜”，最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识，它还是解决很多实际问题的金钥匙，学生们要想做一个对社会有用的人，就要端正学习态度，绝对不能知难而退，要打好高等数学的基础，就要认真学习微积分.

(二)理论联系实际，具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受，尤其是微积分这种生涩的知识，更是不易掌握.针对这一点，应该多借鉴微积分的发展史，科学家开始也只是借鉴了生活中的实例，高等教学也可以这样做，可以引进一些恰当的教学模型，如讲解极限时，可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解，也要学生看到讲解的过程，便于学生全

面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题：已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同，而顶部厚度为侧面厚度的2倍，容积为V=3π，求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中，教师直接运用公式解答，最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式，教师可以先找一个易拉罐来当模型，然后让学生们实际接触并加以研究，理论结合实际，一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识，并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念，微积分学说的成功提出正是验证了这一点，我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务，不仅考验学生的认知能力，也考验教师的传授方式，只有提高学生对微积分的认识，再将理论与实际有机地结合起来，才能帮助学生掌握微积分理论.

参考文献：

[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报，(87).

微积分教学 篇2

关键词：高职,微积分,教学

微积分是经济类专业必修的课程之一。但是, 由于近年来高职学生的素质和教学水平普遍偏低, 学生学习积极性又不高, 这给数学教学带来了一定的难度。因此如何激发学生学习的学习兴趣, 因材施教, 提高教学质量, 是我们在微积分教学中认真思考的问题。下面就根据自己多年的教学实践, 谈一下在微积分教学中的做法和体会。

1 调整更新教学内容, 突出一个“用”字

1.1 将内容适当调整

把微分、积分分块, 按微分、积分、微分方程、级数四个知识点模块进行教学。顺序是一元函数微分学;多元函数微分学; (不) 定积分;二重积分;微分方程;无穷级数。这样内容衔接自然, 学生是易于接受的。

1.2 微分模块中, 先介绍无穷小量, 无穷大量, 序列的极限, 无穷大雨无穷小的比较, 然后将函数的极限

由于无穷小量比较直观, 所以学生能很快掌握无穷小的含义, 从而使这部分的学习变得较为容易。

1.3 积分模块中, 统一处理定积分和不定积分

采用先讲定积分后讲不定积分的方法。即从实例引出定积分的概念, 研究定积分的性质, 并利用连续函数积分上限的导数是被积函数这一定论给出牛顿—莱布尼兹公式。从而将定积分的计算转化为求原函数即不定积分的问题, 然后给出计算不定积分的几个主要方法。最后给出定积分的推广——广义积分。这种处理逻辑自然, 还了定积分和不定积分的历史面目, 也符合学生的认知规律。

2 多种教学方法结合使用, 力求一个“活”字

2.1 实施发现法教学

由教师提供预备知识, 对数学中的一些性质、法则、公式、定理, 应该先指导学生积极思考, 促使学生以“发明家”的身份自己去发现问题、提出假设、验证假设, 然后再给予理论上的证明。学生经过自己的观察、实验发现的规律, 不论在他们的思想情感中, 还是在他们的学习兴趣上, 都比老师给的现成的命题或结论强烈的多。

2.2 采用问题教学法

由教师提出一系列精心设计的问题, 在教师的启发下, 让学生自己动脑去分析、探索, 在探索过程中研究、领悟, 得出结论, 从而达到既获得知识又发展能力的目的。如在讲解微分时, 我依次提出5个问题。 (1) 函数的改变量能否找到一个精确度高又容易计算的式子近似代替? (2) 一个边长为x的正方形, 当边长x取得一改变量△x时, 面积s改变了多少? (3) 函数的改变量△y=A△x+0 (△x) (△x→0) , 其中的A=? (4) 函数的改变量与函数的微分相差多少? (5) 微分都能进行哪些近似计算?这一系列问题的提出, 由浅入深, 步步深入, 环环相扣, 引人入胜。使学生的思维和注意力在较长的时间内高度兴奋, 课堂气氛热烈生动, 教师学生融为一体。在这个过程中学生的学习积极性得到充分发挥, 学生的学习兴趣也别激发出来, 从而大大提高教学效率。

2.3 运用对比式教学法

教师在教学过程中要把相关内容作以比较和对比, 这样既可以使学生更好地掌握相关内容的异同, 又可以把前后内容串联起来形成一个整体的概念。如在讲多元函数微分学时, 就可以把相关概念与一元函数微分学的对应概念作对比, 使学生明白多元函数对某变量的偏导数实质上仍然是一元函数的求导问题, 所需注意的要搞清楚是对哪个变量求导, 即分清求导过程中的常量与变量的问题。

教无定法, 因材施教。在教学中, 只有根据教学目的, 教学内容和学生的实际水平, 合理地将多种教学方法结合起来灵活运用, 才能使教学更生动、更有效。

3 穿插数学史实和美育, 体现一个“趣”字

兴趣是学习的动力。由于学生普遍感到数学抽象、枯燥、无味, 因此学习兴趣不高。作为教师不能只满足把知识讲清楚就完事, 要善于创设教学情境, 激发学生学习的兴趣, 产生求知欲, 从而提高教学质量。

3.1 以史料引趣

结合教材适时穿插一些数学史料, 介绍历史上著名的数学家柯西、洛必达、拉格朗日、牛顿、莱布尼兹等对高等数学的贡献及其研究方法, 微积分的产生背景, 某些概念的形成和发展等。如牛顿、莱布尼兹如何从不同的背景、方法和形式上提出并创立微积分介绍给学生后, 遇到从几何上的切线问题、物理上的瞬时速度问题引入导数概念, 牛顿-莱布尼兹公式为何如此命名等问题, 就会觉得顺理成章。适时以史料为载体穿插于课堂教学之中, 学生一方面被科学家的勤奋钻研的精神所感染, 而更重要的是增加了学生的探究兴趣, 促使他们更努力的学习。

3.2 渗透美育引趣

心理学研究表明:人们通过对美的各种形式的感受, 能使人脑进入兴奋状态, 从而产生愉快的心理体验。所以作为数学教师要深入理解与探讨教材的审美内容, 将审美意识渗透融合于教学之中, 使学生从抽象的数字、符号、法则、公式和性质中体会数学的简洁美、和谐美、奇异美, 激起浓厚的学习兴趣。如, 莱布尼兹用符号dy/dx表示y对x的导数, 用“∫”表示积分等, 就充分表现了数学符号的简洁美, 它简化了复杂的数学理论。

4 改革考核方式, 突出一个“全”字

目前很多高职院学校的期末考试试题都由学院命题组或由相关的任课教师来直接命题, 因此高职院校与普通高等学校相比较, 在考核方式改革上具有很大的优势。比如担任课程教学的教师可以将学生的考试成绩分为三部分:一是平时成绩, 可占总成绩的25%, 这方面可包括课堂表现、出勤率、作业完成等情况、课上发言及回答问题等, 教师可尽量把这部分因素进行相应量化, 如有可能还可以定期向学生进行公示, 并如实反映在期末考试的最终成绩之中;二是开放式考试的成绩, 可占总成绩的25%, 这部分主要包括课堂小组讨论的情况、数学相关比赛等;三就是传统的笔试考试, 占总成绩的50%, 在试题的安排上, 题目的难度要拉开档次, 基础性试题的比例应为60%左右, 中等难度试题比例应为20%左右, 难度较大试题的比例不高于20%;这种考试模式既可以使学生的思维较为活跃, 也使数学水平较高的同学取得良比较好的成绩, 又可以保证数学基础相对较为薄弱但学习认真、遵守纪律的同学取得比较满意的成绩。

总之, 在微积分课程教学中一切为了学生, 一切从学生实际出发, 处处为学生着想, 因材施教, 尽一切努力提高教学质量。, 在高职院校的数学教学过程中, 为了提高学生教学效率, 达到良好的课堂教学效果, 教学相关部门和人员还必须从教材使用、教学设备应用、学生管理奖罚制度上进行创新和改革, 力求形成一种有利于提升高等职业学校的教学质量的良好发展模式。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学 (上下册) [M].4版.北京:高等教育出版社, 1996.

高等数学微积分教学策略探讨 篇3

关键词： 高等数学 微积分教学 策略研究

高等数学中的微积分知识广泛运用于当今的生物学、化学、经济学、工程学等众多领域，对科学技术的高速发展有着重要的意义。在当前的教育形势下，高等院校高等数学微积分教学中的问题仍然存在，因此相关的教学工作者必须不断优化教学策略，制订行之有效的教学方案。

一、高等数学微积分教学的概况

微积分的发展年数相对较长久，并且微积分的发展过程是人类发展的重要衡量标准之一。在17世纪，人民群众的认知体系相对薄弱，尤其是各种理论认识方面。运动物体的速度问题、曲线的切线问题、函数的极值问题，以及物体之间的相互作用力四大问题困扰着当时的学者们，由此为微积分的发展奠定了坚实的研究基础。

高等数学微积分是现实分析学版块中的重要组成部分，而且高等数学微积分教学工作涵盖微分教学和求导教学两部分内容。其中微分教学的作用在于精确地求出曲线的斜率数值，是解决函数问题和加速度求值问题的主要工具，同时积分的作用主要是计算面积和体积。

二、高等数学微积分教学的主要现状

（一）微积分教学内容在制定方面个性化水平较低

目前我国的高等院校在高等数学微积分课程设置方面，将其纳入专业课程，并且微积分教学内容相似性较强。然而，其个性化水平较低，不能够较好地符合专业学生的实际发展需要。举例来说，当前许多学校的专业的差别较大，尤其是理工科和文科专业的差距较大，如果不对其加以区分，那么就会大大降低微积分教学的有效性。

（二）高等数学微积分教学知识偏向于理论方面

许多高等数学微积分教学工作者在教学过程中主要是讲授相关的理论知识，并没有较好地开展微积分相关的实践教学工作。在此种形势下，高校学生在微积分课堂教学中兴趣较淡薄，主动学习的积极性相对较差。而且高等数学微积分教学内容对于大部分学生而言难度系数相对较大，不利于微积分有效教学工作的开展。

（三）微积分教学评价体系不健全

在目前的高等院校内部，大部分的学科考核工作均是利用考试的形式进行检验的，考核形式单一，评价体系不健全。试卷考核方式虽能检测学生的理论学习水平，但是并不能反映学生的实践学习情况。学习知识无非是为了应用，所以采取单一的试卷考查方式，违背了微积分教学的初衷，是不合理的。

三、提高微积分教学工作有效性的策略

（一）根据专业特性划分微积分教学内容

教学工作者必须联系专业发展方向设施课程内容，选取科学的教学模式，同时要根据目前学生微积分的掌握程度规划教学阶段。例如，对于理工科性质和实践性质较强的专业，特别是计算机专业、数学专业等，更需要提高高等数学微分教学难度性和延伸性，以此提高学生的能力和水平。对于文科性质或者艺术类学生，在微积分教学内容设置方面，难度系数偏低，让学生掌握基本的理论知识即可，这样更有利于提高微积分教材的应用价值。

（二）关注学生学习微积分积极性的提高

教学工作者必须详细地了解微积分学习的重要性，同时要明确相关教学工作的目的。在微积分教学内容设定方面和教学方式设定方面，应当注重学生的理解能力。例如，在内容设定上，依据专业不同设定不同的难度，在教学方式设定方面，可以将重点和难点内容穿插讲解，难点和重点内容教师进行讲解，但是在简单易懂的微积分内容的教学中，可以采取学生讲解的模式。在讲授求导公式时，教师可以选取学生自主讲解的模式，以此提高其热情，原因是此版块学生已有基础。在讲授隐函数求导内容的时候，教师则要采取自我讲解和点拨的模式加以梳理和指导。

（三）完善课程考核体系

在微积分学习结果测评方面，学校不仅要对其开展理论考核，还应当对其实践能力进行考核。例如，设定专业试卷考核学生对基本理论知识的掌握情况，这样才能够较好地了解学生学习的质量和效率。在实践考核方面，可以利用计算机系统进行考核，检测学生在相关实践操作方面的掌握情况。以课外拓展的综合方式进行微积分课程的考核，让学生能够发现微积分学习的乐趣，强化教学效果。

四、结语

微积分属于高等数学中的必修内容，其相关知识与实际生活联系较密切。因此，相关教师应当不断优化微积分教学策略，提高微积分教学工作质量。这样才能够培养适合经济社会发展的复合型人才，提高高等数学微积分理论知识的应用价值。

参考文献：

[1]张志戎，鲁世平.一类具偏变元高阶p-Laplace微分方程的周期解[J].吉林大学学报（理学版），2011（01）：120-122.

微积分教学 篇4

摘 要：HPM研究——通过数学史融入数学教育的研究——现已成为数学教育研究的一个重要方法。它通过对于数学史的研究，从不同方面对数学教育起借鉴作用。本文从HPM视角入手，得出五条微积分教学设计的策略, 以此对中学教学教师通过历史发生原理进行教学设计提供借鉴作用。

关键词：微积分；HPM；教学设计

Abstract：History and pedagogy of mathematics research, the research of mathematics education through the mathematics history, has now becomes an important method of the mathematics education research.It plays a reference role in the mathematics education.This paper reaches five pieces of strategies in calculus instructional design in HPM view, which provides some reference for teaching design of the middle school teachers.Key words：calculus；HPM；instructional design HPM研究发展

教学设计是以教学目标与教学对象为依据，确定恰当的教学起点与教学点，并对相关教学诸要素进行有序、优化地安排，形成一定的教学方案的过程。教学设计是一门运用系统方法科学地解决教学问题的学问，它将教学效果最优化视为最终目标，以解决教学相关问题。

HPM视域下的数学教学设计，将着力突出数学史融入数学教学的特点，将历史发生原理合理地运用于数学教学当中。而高中微积分内容又以其蕴含着的丰富数学思想和数学历史文化，成为HPM视域下教学设计研究的典型。在此，本研究将结合HPM视域下高中微积分教学的特点，提出针对高中微积分的教学设计策略，力图为高中数学教师在HPM视域下设计微积分教学提供参考与帮助。

1972 年，第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称 HPM）的正式成立，标志着数学史与数学教育的关系作为

第1页（共9页）一个学术研究领域的出现。HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、数学文化对于学生的作用、数学史与历史发生原理、数学史与学生的认知发展、数学史与学生的困难、数学历史资料对于数学教学中的应用等。HPM主要是通过对于数学史的研究，假其形式，取其精髓，由内及外地贯穿于数学教学之中。

1742年德国数学家海布罗纳的《世界数学史》和1758年法国数学家蒙蒂克拉《数学史》的出版，使得数学史成为一个独立的领域。随着该领域的研究和普及，西方的许多数学家已经意识到了数学史对数学教育的意义。

19世纪英国著名数学家格莱谢尔在一生中都非常重视数学史的研究，其认为：“如果试图将一门学科和它的历史割离开来，那么没有哪门学科会比数学的损失更大”。[1]且在1919年英国某一数学会报告中提出，“每个孩子都应该知晓他所学习的这门学科的更为人文或个性的一面”，建议“数学教室中应该悬挂大数学家的肖像，数学教师应该在课堂上经常提及这些大数学家的生平与数学研究，并对数学发现对人类文明进步的影响作出解释”。1971年英国数学史学会制定了“促进数学史在教育中的作用”的目标。

20世纪意大利著名数学史家洛里亚作为第一位关注HPM的学者，提出了“数学史是连接中学数学和大学数学的纽带”的观点以及数学史在数学与其他学科关系、发生法教学方面的作用。该世纪的很多数学家及数学教育家更是数学史融入数学教育的提倡者，例如国际数学教育委员会前主席，荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为数学史应该是数学教师必备的教学知识。

直到本世纪初我国才开始普遍关注HPM研究。在2005-2011年间我国的四次数学史与数学教育研讨会中，人们已在HPM的实践开发上达成共识，但迄今仍缺乏科学有效的研究方法，有价值研究成果并不多见，HPM研究领域的学术地位还有待提高。[2] 中学微积分教学设计研究

第2页（共9页）辽宁师范大学张妮在《中学微积分课程教学研究》中提出了组织微积分教学应采取的几条策略：①树立将变量视为思维对象的数学教学观，深化变量概念在教学中的作用；②通过直观描述，鼓励中学生进行合情推理与猜想；③ 预防将微积分教学退化为仅仅是记忆或背诵公式定理即可学好的科目；④正确地处理初等数学与微积分之间的关系。[3]另外给出了对于变化率问题、导数概念、导数的几何意义进行了课堂提问的教学设计案例。

湖南师范大学徐妮在《中学微积分的教与学研究》中就如何设计“导数及其应用”这部分的教学设计进行了一定的讨论。该文将学生理解导数概念的认知结构发展分为以下几个层次：①将导数视为“具体实际意义”的导数；②将导数视为“变化率”的导数。除此之外，该研究还对影响教与学的因素进行了先关分析。针对以上调查和分析，对具体内容提出了的教学策略：①突出概念的本质；②防止微积分教学退化成形式；③关注与信息技术的整合；④加强数学思想方法的教学；⑤将数学文化渗透于数学教学；⑥合理处理初等数学同微积分间的关系；⑦对于微积分教学中一般性错误的剖析。[4]

综上所述，已有研究对于中学微积分教学设计提出了一定的策略，但都仅仅属于对于微积分的教学设计研究，并非是在HPM这一视域下进行探讨。这样就忽视了微积分的特点。HPM视域下高中微积分教学设计策略

从HPM视域着手，通过研究微积分的发展史，以及借鉴一般微积分教学的设计策略，本研究得出了HPM视域下高中微积分教学的五条设计策略：四类基本问题导入微积分教学策略，突出数学思想策略，渗透数学文化策略，反馈调节性策略，应用信息技术策略。

3.1 四类基本问题导入微积分教学策略

高中微积分教学导入，可以分为微分的导入与积分的导入。而要从HPM的角

第3页（共9页）度出发对微分与积分的教学导入进行研究，不可避免地，我们首先要先了解一下促使微积分产生的原因。微积分的创立，首先是为了解决17世纪主要的四类科学问题：

第一，速度与加速度问题。这类问题是已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求距离与速度。这类问题是在研究运动时出现的，主要困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度都是时刻变化着的。然而计算瞬时速度时，却不能如同计算平均速度那样，用移动的距离与相应的时间做商。因为在给定的瞬间，移动的距离和相应的时间皆为0，而0/0被视为无意义的，然而任意物体在其运动的每一时刻必有速度却又与此矛盾。

第二类问题是求曲线的切线。这类问题的重要性来源于好几个方面；它是纯几何的问题，而且对于科学的应用有巨大的重要性。正如我们知道的那样，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究。透镜的设计直接吸引了Fermat、Descartes、Huygens和Newton。要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的入射角，再利用反射定律求得折射角度。因为法线垂直于切线，所以又将问题转化为求一直法线。研究物体的运动是另一类关于研究曲线切线的问题。运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向。

第三类问题是求函数的最小值与最大值问题。当时需要解决的一个实际问题是求炮弹的射程，而炮弹从炮筒射出，在火药量一定的情况下，炮弹的水平射击距离是依赖于炮筒对地面的发射角的。17世纪初，伽利略（Galileo Galilei,1564-1642）断言（在真空中）炮弹的最大射程在发射角是45°时达到，而要对其进行具体论证就需要对函数的最大值进行研究。此外，研究行星的运动也涉及最小值与最大值的问题，例如求行星离开太阳的最近与最远距离。

第四类问题是度量问题，包括求曲线的长度（例如，行星在给定时间内移动的距离）、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力等。虽然古希腊人曾经利用穷竭法求出

第4页（共9页）了一些特定图形的面积和特定物体的体积，但这些方法也必须添上许多特殊技巧，从而不具有普遍性意义。[5]

通过分析可知，第一类问题（已知路程关于时间的函数，求速度、加速度）、第二类问题（求曲线的切线）、第三类问题（求函数的最值）属于积分类问题；另一部分第一类问题（已知加速度关于时间的函数，求速度、路程）、第四类问题（关于线、面、体等的度量问题）属于微分类问题。

关于微积分在高中阶段的导入问题，必须考虑的即是学生的认知水平。认知水平是个体对外界事物的判断、认知的能力以及个人的经验、知识、思维能力、信息的储量等都有一定关系，是影响人们思想形成的主观因素之一。就HPM的视角而言，当今我国中学生的数学培养，基本是按照西方数学史发展路线展开的，从进入小学就开始学习的算数、欧式几何，到初中阶段开始学习的解析几何，再到高中阶段涉及到分析学初步，他们的知识储备决定了他们现阶段所面对的问题基本上同欧洲17世纪的人们所面对的问题与解决问题的能力基本是相同的，即他们有着类似的认知水平。而要让高中生较好地学习和理解微积分，就必须让他们主动建构微积分，而通过历史发生原理可知，数学史上促使微积分产生的四类问题是最符合高中生认知水平的微积分导入问题。3.2 突出数学思想策略

曾经有研究者对不从事数学专业的人提出“你在学校学到的数学是什么？”不同的人给出了不同的答案，有人说数学是各种公式定理，也有人说数学是各种解题技巧。这个问题当然没有一个标准的答案，但我却为这样一个答案感到满意：数学是当若干年后你忘记了那些公式定理、解题技巧后还记得的东西。那么在我们若干年后忘记各种数学公式定理和解题技巧后，究竟剩下的是什么呢？答案就是：数学思想的方法！

微积分教学所能够体现的数学方法很多，但其中最为重要的是极限思想。微积分的发展在之前的研究内容中谈了很多，此处不再赘述。但由微积分的发展，我们知道对于极限的认识是贯穿整个微积分由萌芽，到创立，到成熟的直接的特

第5页（共9页）点。由初期费马、巴罗、牛顿、莱布尼兹等人对于极限的肤浅认识，致使当贝克莱大主教提出“无穷小量是逝去的量的鬼魂”时，牛顿等人无言以对，到最终柯西、魏尔斯特拉斯等人建立起严谨的语言以刻画极限和无穷小量。高中生们在高中的最后学习阶段接触到微积分初步，是提高他们极限思想的一次完美的训练。除此之外，另一项十分有益于高中生的数学思想便是数形结合思想。在对导数的定义的教学过程中需要讲解从割线到切线的变化，在简单积分的讲解中，需要将曲边梯形面积转换为矩形面积之和，这些过程无不需要学生们将数与形进行结合分析。

既然高中微积分教学对于极限思想、数形结合思想等数学思想要求之高，并且如果处理得当，也能够在教学中对将众多数学思想进行完美体现，那么我们当然有必要在微积分教学中突出数学思想。[6]也只有这样，才能使火热的思考不至于成为冰冷的美丽。3.3 渗透数学文化策略

文化，广义而言，是指人类所创造的物质财富与精神财富的总和；狭义而言，是指社会的意识形态，按照这样的理解，一切由人类所创造的有意义的物质、精神都可以归为文化的范畴。数学作为人类对于外部客观规律归纳总结分析研究所得到的产物，在人类生产、生活、思维及理性精神等方面具有独特的地位和作用，故而被赋予了一种文化的意义。[7]微积分的萌芽、创立、发展及最终的成熟，时间范围从16世纪末横跨至19世纪。由于微积分所引导的分析学是继几何学、代数学后，数学发展的最大重要分支，在当时对于微积分学的研究完全引领了整个主流数学界。因此，在这一大段影响数学发展的时间长河里，我们可以从微积分的发展史中领略到丰富多彩的数学文化。因此，微积分文化有足够的理由进入中学数学教学。

在中学数学中加入数学文化，是一个老生常谈的话题。然而，在将数学文化融入中学教学的过程中，以微积分课程为例，却常常出现这样僵直的情形：在一节课行将结束之际，教师不忘附上一句“对了，有兴趣的同学们可以阅读以下章

第6页（共9页）末的微积分历史阅读材料”。除此之外，还有一种情况就是在开课之前附上两句关于微积分的描述，仅此而已。

《普通高中数学课程标准(实验稿)》中明确提出了“收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值”。[8]微积分文化融入教学，不是这种生硬的插入式融入，而应该是渗透式地融入于教学当中。在一堂微积分教学中渗透微积分文化，需要在课前做足怎样将微积分文化融入教学的功夫。这种功夫包括：自身对于微积分文化的熟悉与深入了解，以及在教学设计中埋下可以渗透微积分文化的“暗雷”。当教学走到微积分文化的“暗雷”处，学生们对于微积分文化的迫切渴望，使得其在不经意间踩中这颗“暗雷”，老师在这个恰当的时候引出适量的微积分文化，学生对于课堂上引出的微积分文化意犹未尽，才可以让其在课后通过各种渠道了解微积分文化。这种在适当的时候进行适量的微积分文化传播，是对于微积分文化渗透于数学教学的极佳方式之一。3.4 反馈调节性策略

在运用HPM视域下的微积分教学设计进行教学时，其初衷都是希望让学生们按照历史上的有利于人们学习理解微积分知识的方法进行思考，避免无效的不利于人们理解微积分的历史发生。然而，按照历史发生原理进行教学设计时，却有另外一种可能产生：由于所处环境的不同，在某些知识的认识过程上，现在的高中生与17世纪的欧洲数学研究者或许是存在差异的。正是由于这个原因的存在，才需要加大教师对于学生按照历史发生原理进行微积分学习的掌控力度。教师必须在深刻感知微积分史的情况下，认真分析课堂上学生对于相应知识的反应，不能一味地跟着历史的节奏翩翩起舞，殊不知学生已经走在了历史的前头，亦或是落后于历史的步伐。

由于按照历史发生原理设计的HPM教学设计对于历史与现实的同步性要求极强。所以教师在教学中，需要就学生对于教学的反应做出及时的反馈性调节，以达到HPM视域下的教学目的。

第7页（共9页）3.5 应用信息技术策略

微积分之所以难，难在一个关键词“极限”上。极限是无穷大、无穷小、无限逼近等微积分关键内容的实质之所在。解析几何的诞生，标志着由常量数学向变量数学的转换，而微积分的诞生，则是由一般有限变化向无限变化的又一次转换。绝大多数学生乃至许多数学研究者认为微积分难以理解，认为极限的难以名状，都是源自于极限的无穷动态性。

信息技术，作为现代计算机科学的产物，其对于教育的帮助在于通过多媒体技术，利用教育软件以及视频资料，对非直观的难以理解的知识进行直接的动态演示以及快捷方便的逻辑梳理。

具体到信息技术对于微积分教学中的无穷变化的难点的理解，通过对于信息技术的使用，以微积分动态软件或微积分演示视频资料，可以使变化的、不易表述的极限形成过程变得直观化、视觉化。对于微积分教学中的各个具体内容，如导数的概念教学中，由平均速度过渡到瞬时速度，由平均变化率过渡到瞬时变化率，通过信息技术就能够很好地将整个变化过程清晰地呈现在学生们的面前而少去了数学教师们费尽心思的表述。实际上，绝大多数数学教师对于“无限”、“无穷逼近”等概念的表述也是不准确或根本无法形容的，毕竟就连牛顿和莱布尼兹对于这些概念都不能通过述说解释清楚。在讲解“由牛顿法求方程的近似解”的过程中，如果人为地对每一个逼近值进行计算，则费时费力。而如果通过计算机软件，则不仅在计算上简单方便，并且通过具体的图像演示，让学生们直观感触到用牛顿法求近似解的可行性与正确性。

信息技术对于微积分教学的适用性极强，可以极大程度地通过动态演示解决无限逼近的极限过程。因此，教学资源设备允许的条件下，在微积分教学中广泛运用信息技术是极佳的选择。

微积分以其在数学发展上的独特地位，以及其高于一般高中数学知识的难度，已成为高中数学课程中的重点与难点。近年来，对于微积分教学的研究也越来越多。本文从HPM视域着手，强调历史发生原理对于数学教学的意义，对高中微积

第8页（共9页）分教学设计提出了5条策略，对于高中教师而言有一定的参考价值。

由于本人能力有限，对于部分策略的提出未必成熟，讨论亦可能有疏忽之处，将会在后继研究中继续精炼，以为高中教师服务。

参考文献：

（略）

微积分教学 篇5

英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation 课程性质：专业必修课程 学分/学时：2学分/36学时 开课学期：第3学期 适用专业：电气工程及其自动化 先修课程：高等数学 后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表 开课单位：机电工程学院 课程负责人：

大纲执笔人：

大纲审核人：

一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：

1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：

毕业要求 指标点 课程目标 对应关系说明 毕业要求1：工程知识 1-1 握专业所需的数理知识，能用于专业问题的理解、建模、分析与求解 教学目标1 能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法，大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型。

毕业要求2：问题分析 2-1 运用数理和工程知识进行专业领域复杂工程问题中的内涵识别与理解分析 教学目标2 了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为复杂的线性系统的数学模型分析提供理论基础。

教学目标3 基本理解时滞环节的频域表达形式，并且对与线性系统有机结合、构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型有所认识。

二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。重点内容：«；

难点内容：∆ 1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）1.1 复数 知识点：复数的概念，共轭复数及复数的四则运算 1.2 复平面及复数的三角表达式 知识点：复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。

1.3 平面点集 知识点：邻域和开集，区域、简单曲线，连通域，无穷远点 1.4 复变函数 知识点：复变函数的概念，复变函数的极限与连续性 要求：掌握复数的概念（复数是向量）及其各种不同的表示方法，了解各个表示方法的特点和适合使用的场合；

复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义；

能够在复平面上找到由代数或三角表示复数的坐标所在；

共轭复数及其运算性质；

复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念（与实函数做比较）。

了解：复平面的概念，平面点集的概念，复变函数的极限和连续的概念。

理解：复变函数的概念，共轭复数及其运算性质。

掌握：复数的概念及其各种表示法，复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义。

重点内容：复数的四则运算及乘幂与开方的运算，复数的表示法，复变函数的概念。

教学难点：复变函数的极限与连续性。

2、解析函数（6学时）（支撑教学目标1）2.1 解析函数的概念 知识点：复变函数的导数，解析函数的概念与求导规则，函数解析的充要条件 2.2 解析函数与调和函数的关系 知识点：调和函数，共轭调和函数 2.3 初等函数 知识点：指数函数，对数函数，幂函数，三角函数在复数域下的概念及解析性 要求：掌握函数解析的充要条件，柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

了解：调和函数的定义，初等函数的定义及解析性。

理解：复变函数导数的概念、运算性质及求导方法，解析函数的概念。

掌握：函数解析的充要条件，用柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

重点内容：解析函数的概念，函数解析的充要条件，解析函数与调和函数的关系。

教学难点：解析函数的概念，函数解析的充要条件。

3、复变函数的积分（6学时）（支撑教学目标1）3.1 复变函数的积分 知识点：复变函数积分的定义，基本性质，计算方法 3.2 柯西-古萨定理 知识点：柯西积分定理，复合闭路定理，利用原函数求解析函数的积分 3.3 柯西积分公式 知识点：柯西积分公式，高阶导数公式 要求：掌握复变函数积分的定义，基本性质和基本的计算方法；

原函数的概念，如何利用原函数求解析函数的积分。柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

了解：柯西积分定理、柯西积分公式、复合闭路定理的证明。

理解：复变函数积分的概念和性质，原函数的概念，利用原函数求解析函数的积分。

掌握：柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

重点内容：柯西积分定理，柯西积分公式，复合闭路定理及其应用。

教学难点：复合闭路定理及其应用。

4、级数（6学时）（支撑教学目标1）4.1 复级项数的基本概念 知识点：复数项级数的概念，复变函数项级数的概念及其收敛的判定 4.2 幂级数 知识点：阿贝尔定理，收敛半径的求法 4.3 泰勒级数 知识点：泰勒展开定理，直接法，间接法将函数展开成泰勒展开式 4.4 罗朗级数 知识点：罗朗定理，将函数在不同环域内展开成罗朗级数 要求：掌握复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆内的性质。幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。

了解：复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，幂级数在其收敛圆内的性质。

理解：阿贝尔定理，泰勒级数概念，罗朗级数概念。

掌握：幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。

重点内容：泰勒级数，罗朗级数。

教学难点：间接法求简单函数的泰勒展开式，在不同环域内将解析函数展开成罗朗展开式。

5、留数定理（6学时）（支撑教学目标1、2）5.1 零点与孤立奇点 知识点：孤立奇点的概念，判别，零点与极点的关系 5.2 留数定理 知识点：留数的计算方法，留数定理及其应用 5.3 留数理论在实积分中的应用 知识点：不同的三类实积分的计算 要求：掌握零点、孤立奇点以及孤立奇点的分类及判定方法，零点与极点的关系。留数的概念及计算方法，留数定理及其在定积分计算中应用。

了解：孤立奇点性质的证明，留数在定积分计算中的应用。

理解：孤立奇点的概念，函数在孤立奇点处留数的概念。

掌握：孤立奇点的分类及判定方法，留数的计算方法，留数定理及其应用。

重点内容：孤立奇点的概念，留数的概念及计算方法，留数定理。

教学难点：孤立奇点的判别，留数在定积分中的应用。

6、傅里叶变换（4学时）（支撑教学目标2、3）6.1 傅里叶变换的概念与性质 知识点：傅里叶积分定理，傅里叶变换，单位脉冲函数及傅里叶变换 6.2 傅里叶变换的性质 知识点：线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、乘积定理、能量积分、卷积定理 6.3 傅里叶变换的应用 知识点：傅里叶变换应用的举例 要求：掌握傅里叶变换、傅里叶变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理。典型时域信号的频域表达式，大致有个一一对应的概念。

了解：函数的定义，卷积定理。

理解：傅里叶变换的定义及傅里叶积分公式。

掌握：函数的基本性质及其傅氏变换，傅氏逆变换的基本性质。

重点内容：求傅氏变换的方法，求傅氏逆变换的方法，傅氏变换的基本性质。

教学难点：求傅氏变换和傅氏逆变换的方法。

7、拉普拉斯变换（4学时）（支撑教学目2、3）7.1 拉普拉斯变换的概念 知识点：傅里叶变换的局限性，拉普拉斯变换的定义与存在性定理，拉普拉斯逆变换公式 7.2 拉普拉斯变换的性质 知识点：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质 7.3 卷积及其性质 知识点：卷积的概念，卷积定理 7.4 拉普拉斯变换的应用 知识点：拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用举例 要求：掌握拉氏变换、拉氏变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理，利用留数计算拉氏逆变换的方法以及拉氏变换在求解微分方程中的应用。大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。进一步如果有可能，基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

了解：拉氏变换在求解微分方程中的应用。

理解：拉氏变换的定义，反演积分公式。

掌握：拉氏变换的性质，利用留数计算拉氏逆变换的方法。

重点内容：拉氏变换的性质，拉氏变换的应用。

教学难点：利用留数计算拉氏逆变换。

三、教学方法 主要通过实函数与复函数的对比，引导学生自己发现两者之间的联系和不同，从而总结出复变函数的一些特征和结论。以此培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生通过已经解决过的问题分析出未知问题的规律以及症结所在。在积分变换的教学过程中，主要通过由傅里叶变换得到拉普拉斯变换的特征和性质。从而培养学生解决问题的能力。让学生知道解决问题的一般方法：由特殊现象到一般规律，再由一般规律来得到特殊情况的解决方法。传统教学手段与现代教学手段相结合，由于总学时的限制，以传统教学手段为主，采用多媒体辅助教学的教学手段。在教学方式上，根据具体教学内容，综合运用课堂讲授和演示、课堂讨论、课堂练习、发现学习法和自学指导法，通过引入问题和启发式教学，使学生更加明确教学内容的知识体系，引导学生主动学习，激发内在学习动机，提高课堂的积极性。在教学过程中，引导学生发现问题，思考解决方案，为后续教学内容作铺垫。

作业是本课程的主要实践环节，每次课程均应有相应的作业作为学生的练习。作业分为两种类型：一种为必做题，另一种为选做题，学生根据自己的实际情况选择做题。

辅导答疑方式有随堂答疑、作业集中答疑、QQ或 WE CHAT答疑、E-MAIL答疑和定点、定时间的答疑，期中考试、期末考试前分别安排一次集中答疑。

在教学方法的实际执行过程中，每个教学环节都应具有明确的目的性。同时，以上教学方法需要根据教学过程中的实际效果、学生对知识点的掌握和应用情况不断改进。教学效果不好、学生对知识点理解程度不高时，应适当调整教学方法，适当增加演示法或实验训练法，或在讲授后续教学内容时，引导学生前后联系，结合前置难点内容进行讨论，强化知识掌握。在学生对知识掌握情况较好，系统性较好、实验训练效果较好的情况下，适当提高教学内容或实验内容的难度，或增加发现学习法和自学指导法，设置具体应用问题，引导学生探索解决方案。

四、考核及成绩评定方式 考核方式：闭卷笔试，期中考试、期末考试以及平时作业。

成绩评定方式：期中考试 20%、期末考试70%，平时作业10% 五、教材及参考书目 教材：

[1] 《复变函数》（第四版），西安交大数学系 高等教育出版社，2003。

[2] 《积分变换》（第四版），东南大学数学系 高等教育出版社，2003。

参考书目：

[1] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版，2003。

[2] 《复变函数论》（第三版）钟玉泉 高等教育出版社，2004。

微积分电子教案 篇6

第七章

无穷级数

§7.1 无穷级数的概念 7.2 无穷级数的基本性质

主要教学内容

(1)无穷级数的概念;(2)无穷级数的基本性质.教学目的及要求: 掌握级数的基本概念及基本性质，会利用定义判别数项级数的收敛情况.重点难点及解决措施: 重点: 利用定义和性质判别典型题型的敛散性.难点: 部分和的求解.解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、引入课题

1、在初等数学里，我们学过有限项的和

例如

1+2+3+4+5+….+100=100(1001)=5050

2234n2222...21(12)12n21

n以及特殊的无穷递缩等比数列的和 例如

11111...2

124812但当一般的 1+2+3+4+5+6+…

2+4+8+16+…就不会了。

从今天开始我们就系统的介绍一些无穷项之和的理论。这就是第七章的内容-------无穷级数。什么是无穷级数呢？

二、新课设计

1．定义：设给定数列un： u1，u2，，un， 式子u1u2un

（1）

叫做无穷级数，简称为级数（1）式简记为un即：unu1u2un

n1n1

第七章

其中第n项un叫做级数的一般项或者通项。是求和号 例如：

1+2+3+4+5+6+…+n+…=

n

n1234n2222...2...2n

n1n1n121122132142...1n2...xn1nxxx...x...23n若一般项un是常数，则un是数项级数。

n1若一般项un是（与n有关的）函数，则un是函数项级数，前4节里我们讨论的一般都是数项级

n1数。2．说明

我们把一个级数的前n项的和sn称为第n次部分和，所有部分和构成数列sn：s1,s2,s3,sn,，若数列sn极限存在，即limsns，则称无穷级数un收敛，且收敛于s，nn1亦即无穷级数的和为s，记为s=un；否则称无穷级数发散，此时无穷级数的和不存在。要判断

n1一个级数有无和，亦即级数是收敛还是发散，其步骤为：

1）先求出级数un的前n项和Snu1u2unuk

n1k1n2）取极限limsn

n若极限存在且极限值为s，则级数un收敛，s为级数的和；

n1若极限不存在，则级数un发散。

n13．举例

例1 讨论几何级数（等比级数）

n1aqn1aaqaq2aq3...aqn1...(其中a≠0，q称为级数的公比。并规定q=0时，级数等于a.)的敛散性。解：当|q|≠1时，由于

第七章

nna1qaq23n1a snaaqaqaq...aq

1q1q1q 当|q|<1时，limnsna

1q，级数收敛。当|q|>1时，limsn，级数发散。

n当q=1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaa...ana

则limsn

n0当q=-1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaaa...n为偶数 1n为奇数 则limsn

n综上所述，当|q|<1时，级数收敛，其和为

当|q|≥1时，级数发散。

a。1q今后我们可以直接使用结论。比如，5n13n16n2n14n都是收敛级数

而

n1en   都是发散级数

n15这章中，除了等比级数之外，还有调和级数

p –级数1是发散的 n1n1pn1n------p1时，级数收敛

p1时，级数发散这些结论要记住。例

2、判定级数例

3、判别级数

lnn11的敛散性。nn1n1n123n1lnln...ln...的敛散性 n12n22222......的敛散性。

2n12n11335572n12n1n14．练习：(1)判定级数1(2)判定级数n的敛散性。

2n〔由于211n1,2,...

所以 2n12n12n12n

1第七章

sn222211 1111...1...12n12n13352n12n11335572n11故limsnlim11，因此所给级数收敛，其和为1。nn2n1即

21

n12n12n15．级数的基本性质

性质

1、如果级数un和vn收敛，n1n1unS1,vnS2，则(unvn)也收敛，且其和

n1n1n1为S1S2.即

(unvn)unvnS1S2

n1n1n1性质

2、如果级数un收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数c后，所得n1到的级数cun也收敛，且其和为cS.即

n1

cun cuncS.n1n1性质

3、在一个级数的前面删去或添加有限项不影响级数的敛散性.性质

4、如果一个级数收敛，加括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。

注意：逆命题不一定成立 性质

5、如果un收敛，则limun0.n1n注意：这是级数收敛的必要条件，经常用来判别级数发散 6．举例

例

3、判别下列级数的敛散性 1）1+2+…+100+n1

22）nP

（p>0）n1n111n13）

4）n1n

nn1n16n5解：1）由于1n12n1是等比级数且公比q=1/2,则是收敛的由性质3知，原级数是收敛的。



2）limunlimnp

np发散

nnn

1第七章

1n(1)n11

3）由于n与n都是收敛的等比级数，由性质1知是收敛的

nn156nn16n15

4）

snn1n nn11 limsnlimn11limnnnn11213243...即原级数发散。

三、小结

1、级数的收敛与发散定义。

2、收敛级数的基本性质

3、等比级数，调和级数，p-级数在不同情况下的收敛与发散情况。

四、作业：P309 1

第七章

§7.3 正项级数

主要教学内容

(1)正项级数的概念;(2)比较判别法；(3)比值判别法

教学目的及要求: 掌握正项级数的概念，会用比较判别法和比值判别法判定正项级数的敛散性

重点难点及解决措施: 重点: 两个判别法的应用 难点: 比较判别法

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、正项级数的概念

1、定义：如果数项级数unu1u2...un...满足条件un0（n=1,2,..），则此级数称为n1正项级数。

二、收敛性的判别

对于正项级数来说，其s1,s2,s3,sn,为单调增加的，如果它是有界的，则必有极限。为此我们有判别正项级数特别的方法。

正项级数的敛散性判别法 1）比较判别法：

2）如果两个正项级数unu1u2...un...（1）

n1vvvn1n12...vn...（2）

满足关系式unkvn（n=1,2…k>0的常数）

则，当级数（2）收敛时，级数（1）也收敛

当级数（1）发散时，级数（2）也发散

（俗话称大收小收，小发大发）证明见P28利用此判别法可证明调和级数、P－级数的敛散性。P282 注意：上面定理中，关系式中n从1开始，其实n从任意项m开始都可以。例

1、判别下列级数的敛散性

1[1] 

[2] n0n!

1[3] n1n1n41 n1ln(n1)

第七章

解：[1]111112(n2,3,...)n!123...n122...22n12n

而n112n是q=1/2的等比级数，收敛

故原级数收敛。

111 [2]2 而2是p=2的p-级数，收敛 n1n4nn1n

故原级数收敛

y[3]令yln(x1)x 1x1 x1x1

当x1时，y0

∴函数y 是减函数

故当n>0时，ln(n+1)-n

ln(n+1)

1而是调和级数，发散，因此原级数发散。n1n11

ln(n1)n对于比较判别法，我们还有个极限形式： 对于两个正项级数

unu1u2...un...n1v.n...vnv1v2..n1若limunk不等于0，则它们有相同的敛散性。

nvn2）达朗贝尔比值判别法：如果正项级数unu1u2...un...满足条件limun1l

n1nun则（1）当l1时，级数收敛

（2）当l1时，级数发散

（3）当l1时，此方法失效 例

2、判别下列级数的敛散性

5n2221232n11......[1] 

[2] [3]

335357357...2n1n1(n1)!n1n〔4〕P285例

4例5 11u解：[1]limn1limn!lim0∴级数收敛

1nunnnnn1!

第七章

5n155n5n1[2] limlimlim51

∴级数发散 n5nunn5nn1un1n52n[3] limun1nunlim35...2n12n135..2n12n1nlim201

∴级数收敛 2n1n

三、小结

1、正项级数的概念

2、正项级数的比较审敛法

3、正项级数的比值审敛法

4、正项级数的根值审敛法

四、作业 p309 2、3、§7.4 任意项级数，绝对收敛

主要教学内容

(1)任意项级数、交错级数的概念；(2)交错级数的莱布尼兹定理；(3)绝对收敛，条件收敛

教学目的及要求: 掌握交错级数的莱布尼兹定理以及绝对收敛，条件收敛的概念

重点难点及解决措施: 重点:莱布尼兹定理

难点: 绝对收敛、条件收敛 解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、交错级数

1．交错级数的概念

第七章

交错级数的一般形式：n11n1uuuuun1234...u2k1u2k...关于交错级数敛散性有如下判别法.2．莱布尼兹定理：如果交错级数（1）满足条件

[1]unun1(n1,2,...)

[2]limun0

n则级数收敛，且和su1，余项Rn的绝对值Rnun1。

例

1、判别下列交错级数的敛散性 [1]1n1

n11n [2] n11n11n

[3]

n11n1n1n

111limunlim0且unnn解：[1]nnn1un1

原级数收敛[2]limunlimn1nn0且un1n1n1un1

由莱布尼兹定理知原级数收敛。

1[3] limunlimnnn1nlim1n1nnlimn0

n111n而unn1n1n1n1n1n2n1n2n2n1un1

n1n2故原级数收敛 注意：利用莱布尼兹收敛法不能解决所有交错级数的审敛法问题，莱布尼兹判别法只是充分条件，如果条件不满足，不能说级数发散，只能说不能判定其敛散性。

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛

1、绝对收敛和条件收敛的定义：如果级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，则称此级数绝对收敛，如果级数收敛，而由它的各项的绝对值组成的级数发散，则称此级数条件收敛

2、由P287的定理知，绝对收敛的级数一定收敛。

3、即不管是条件收敛还是绝对收敛级数都是收敛的。（为什么要引进绝对值，出现绝对收敛，条件收敛的问题呢？）为此我们有

定理、如果任意项级数unu1u2...un...满足条件

n1nunulimn1l

则当l1时，级数绝对收敛；当l1时，级数发散；当l1 时，级数的敛散性不能确定。证明见P289 例

4、判别下列级数的敛散性（如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛）

第七章

nsinn!5n5n1n1[1] 

[3]

[4](p1)

[2] 11n11nn1npn1nn1n5n1

1[5]

lnn1P289例〔6〕P290例4 例5 nsin解：[1]unnp511，而

npnp1是 p >1的p-级数，收敛 pnn1因此级数绝对收敛。[2] n1|1n1n!nn|n!nn

n1!(n1)n1u1limn1limlim1n!nunnnnnnne11

所以原级数绝对收敛。[3] |1n1n15nn5|5nn55n1

且

nun5 n15unlimn1limlim551n5nnn1n5故原级数发散 [4] 11 ||1n1lnn1lnn1n1 而 lnn1lnn2un1limlimlimlimn111nunnnlnn2n1lnn1n21111但发散  且发散lnn1nn0nn0lnn1可1n1n11满足莱布尼兹定理收敛，因此原级数条件收敛。lnn1

三、小结

1、任意项级数和交错级数的概念

2、交错级数的莱布尼兹判别法

3、任意项级数的条件收敛与绝对收敛

四、作业：P310 4、5

§7.5 幂级数

第七章

主要教学内容

(1)幂级数的相关概念；(2)幂级数的收敛区间及和函数；(3)幂级数的性质

教学目的及要求: 掌握幂级数的相关概念，会求收敛半径及收敛区间

重点难点及解决措施: 重点:求收敛半径和收敛区间 难点:收敛区间的求解

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、幂级数

1、幂级数的相关概念

1）、定义：形如aaxxaxx0...axx0...（1）

2n0102n的级数称为xx0的幂级数，其中a0，a1，叫做幂级数的系数 我们规定当x=x0时，（1）总收敛于a0

(1)式可简记为anxx0n

n12）当x00时

（1）式变为anxna0a1xa2x2...anxn...（2）

n1

称为x的幂级数

3）由于做变换Xxx0

（1）式可以转化为（2）式的形式，所以今后我们主要研究的是形如（2）时的级数

4）分析幂级数收敛与数项级数收敛的关系

对于幂级数来说，我们仍然关注的是它的敛散性问题。即变量x在实数范围内取哪些值时，级数（2）是收敛的

当x=0时，任何一个幂级数都收敛于

a0。

当x0时，给定一个x的值，幂级数成为一个数项级数。随着x取不同的值，幂级数就成为一族数项级数。为此，我们可以用前面介绍的判别定理来探讨幂级数的敛散性。

uu由定理6知，当limn11时级数绝对收敛，limn11时，级数发散

nunnun如果liman1nanuaxn1l则limn1limn1lx

nunnanxn

第七章

11R时，（2）发散

lllx1即xR，xR时，（2）可能收敛可能发散

l(2)绝对收敛，lx1即x当l0时，lx1即x R 时，当l0时，lx01，则级数（2）对任何x都收敛

从上面的讨论知，幂级数收敛的范围是实数轴上一个以原点为中心，从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中R=1/l叫做幂级数的收敛半径。在收敛区间以外，幂级数（2）发散。

在收敛区间上，对于每一个点，级数都收敛于一个确定的和s，对于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函数，称为和函数，记为s(x)。

2、求收敛半径、收敛区间的步骤

1）定理7 如果级数（2）的系数满足条件liman1nanl

则当0l时，R1/l，当l时，R0；当l0时，R 2)求收敛区间的步骤

首先求出收敛半径R，如果0R，再判断xR时级数(2)的敛散性，最后写出收敛区间。例

1、求下列级数的收敛区间

xnn1n

[1]

[3] x

[2] 1nn!2n1n1nxx22x33x44...xnn1n

n1n1111a解：[1]llimn1lim2lim1

则R=2

n2nannnn22n当x=2时，幂级数成为n

这是发散的

n1当x=-2时，幂级数成为1n

也发散 nn1故级数的收敛区间为（-2，2）。

1nn1!lima[2] llimn1limnann1nn!10

则R=+∞ n1n收敛区间为（-∞，+∞）

1na则R=1 [3] llimn1limn1lim1nannnn1n

第七章

当x=1时，级数变为调和级数

n，发散。

n11(1)n当x=-1时，级数变为交错级数，收敛

nn1故原级数的收敛区间为1,1 例

2、[1]求级数 2n 的收敛半径

x2n0n!2n![2]求级数n0x1n4n的收敛区间

2n1!解；[1]分析：nlimun1unlimn1!n!122n1x2n2n!2nx24x2

1时，级数发散 21当4x21时，x2即x时级数收敛，当4x21即x故级数的收敛半径R=1/2 14[2]分析 令X=x+1则n0x1n4nXna limn1nann04nn11lim4

4n14nn所以R=4,当x=4时，级数变为

1发散；当x=-4时，级数变为1发散

n1n1Xn 的收敛区间为（-4，4）故，即-4

二、幂级数的性质

性质

1、anxnbnxnanbnxn

n0n0n0性质

2、如果幂级数f(x)续函数。

性质

3、在幂级数f(x)an0nxn的收敛半径为R0，则在收敛区间(R,R)内，它的和函数为s(x)是连an0n的收敛区间(R,R)内任意一点x，有 xn

第七章

x0f(x)dx(ant)dt0n0n0xnx0atnndtxn0n1nan1

即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是R。性质

4、在幂级数f(x)an0nxn的收敛区间(R,R)内任意一点x，有

/nf(x)anxn0n0an/n1nnxanx

n1即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是R。

nn1n例3 求幂级数x的收敛区间和和函数，并求级数的和。（见书P296）

n1n12n12n例

4、求幂级数的和函数并利用所得结果求级数 的值.nn1n1n3xnx解：令s(x)n1nn则s(x)(x)xn1nn1nn11xxx...=

x2

1x（|x|<1时），因此 s(x)s(x)s(0)s0x/(t)dt1dtln1x

01t12n22s()ln(1)ln3

33n1n3例5 求幂级数 f(x)xx33x55...(1)n1n1x2n12n1...的和函数，而 解：因f/(x)1xx...(1)24x2n2...x11x22x0f(t)dtf(x)f(0)，所以 f(x)f(0)dt1t00arctanxarctanx

它的收敛半径R＝1。可以验证，当x=1时，级数收敛，当x=-1时，级数也收敛，因此，所给级数的收敛域为［－１，１］

三、小结

1、幂级数的相关概念

2、幂级数收敛区间、和函数的求法

四、作业：P311 6

第七章

§7.6 泰勒公式与泰勒级数

主要教学内容

(1)泰勒公式与泰勒级数；(2)函数的幂级数展开

教学目的及要求: 理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间接法

重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、泰勒级数

1、我们已经知道，函数

n1n1231xxx...(1)x...，那么一般的函数f(x)是否也可以展1x开成幂级数的形式呢？

即f(x)anxna0a1xa2x2...anxn...（1）

n1这里a0,a1,a2,...为待定系数。

如果能，那么系数怎么确定，按照一定方法确定出的系数决定的幂级数在其收敛区间上是否收敛于f(x)? 我们先看第一个问题

设f(x)具有任意阶的连续导数，故可对（1）两边逐次求一阶到n阶导数。令x0则有

f(0)a0，f(0)a1，f(0)2!a2，，f(n)(0)n!an

f(0)2f(n)(0)nxx 于是（1）式为 f(x)f(0)f(0)x2!n!n我们称级数f0xn为函数f(x)在x0的马克劳林级数。

n0n!关于马克劳林级数是否收敛于f(x)的问题，看书P320。

第七章

另外我们还可以证明，如果函数f(x)能够表达为x的幂级数anxn，则这个幂级数与f(x)的马克劳林级

n0数是一样的。

2、因此我们通常用马克劳林级数来将一个初等函数展开成幂级数。例1 将f(x)ex展开成幂级数。解：f(n)(x)ex，即 f(n)(0)1

n所以 f(x)ex的马克劳林级数为

f0xn1xn，收敛区间为(,)。

n!n0n!n03．两个重要函数的幂级数展式

(1)ex(2)n01xn，收敛区间为n!(,)；

1xn，收敛区间为(1,1)1xn04．一般函数的幂级数展式的间接法 例

2、（1）将函数fx2 展开成x的幂级数

x（2）将lnx展开成(x2)的幂级数 解：（1）xx2(n)xn xln2，f(x)2(ln2)，f(x)2(ln2)f2/

2即f(0)ln2，f(0)(ln2)，，f(n)(0)(ln2)n

则有n0fn(0)n!xnln2n0nn!xn

ln2n1a显然limn1limnann1!ln2nn!nlimln20其收敛半径R

nn1)即收敛区间为(，n12xln201

又因为对任何x，余项 Rnxxn1 n1!n1ln2n1n12xln2n1x0（级数收敛，一般项趋于0）因此级数

而limRnxlimx 2limxnnn1!nn1!n0ln2nn!xn在(，)内收敛于2

x

第七章

ln2nxxn 即2n0n!(今后可以省略判断收敛区间和余项趋于0的步骤)（2）令f(x)lnx，则f(x)112(n1)!，f(x)2，f(x)3，，f(n)(x)(1)n

1nxxxx112(n1)!(n)n1从而在x2处，f(2)2，f(2)4，f(2)23，，f(2)(1)nn11故fx0nn1!nnnnn0n!xx01n0n!nx21n0n2x2 2即lnx展成(x2)的幂级数为1n1n0n2nx2n

二、小结

1、泰勒公式与泰勒级数

2、函数用间接法展开成幂级数

三、作业：P312 7、8、9、10

独立学院微积分教学改革探析 篇7

1、学生在微积分学习中的障碍

首先, 微积分课程的学习对象主要是经济、管理类的学生, 大多为文科生, 这些学生的数学基础比较薄弱, 很多学生存在着一种误解, 认为数学晦涩难懂, 学起来枯燥乏味, 在生活中又无实际用处, 因此往往放松对微积分的学习。

其次, 学生长期以来较多地接触的是常量数学, 形成了以常量为思维对象的

心理习惯, 在最初学习微积分时, 学生很不习惯微积分中概念表述的数学语言, 学习极限概念时, 无法深入理解静态的语言所表达的动态过程, 而极限是研究变量的变化趋势的基本工具, 是微积分最重要的概念, 微积分中许多基本概念, 例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上, 学生不能正确理解极限成为微积分难学的原因之一。

2、教学中存在的问题

首先, 微积分的教学内容与专业要求脱节, 与实际联系的不够紧密, 不能够贴近生活, 通俗易懂, 不能激发学生对微积分课程的学习兴趣, 无法调动学生学习的积极性和主动性。

其次, 微积分的教学主要以传统的讲授为手段, 强调的是知识的传授, 极易造成“填鸭式”的教学。如果纯粹的为教书而教书, 学生只是被动的接受知识, 必然使学生对微积分的学习失去兴趣, 不利于提高学生学习的积极性, 这对培养学生的素质和创新能力具有一定的局限性。

再次, 微积分教学手段单一, 应强调适当运用现代技术进行微积分教学, 把传统的板书与计算机辅助教学紧密结合在一起。

3、教学安排的不足

经济管理类专业在我国开展的较晚, 微积分的教学内容受我国经济管理学科发展的制约, 普遍认为经济管理类数学在理工科数学基础上降低要求即可, 因而经济管理学科的数学教学一直处于劣势, 很难得到相关资源的支持。目前独立学院微积分教学中普遍存在的问题是课时少, 内容多, 教师为了完成教学任务, 教学速度快, 使得学生的学习负担重, 微积分的学习情况更是雪上加霜。

二、独立学院微积分教学改革的建议

1、教学内容的改革

(1) 教学内容与专业素质培养紧密结合

独立学院微积分的教学内容应根据学生所学专业的不同而强调实用性与针对性, 注重培养学生用数学的思维和方法来解决专业学习上的问题, 这就要求教师在传授知识时, 在内容上不必追求全面, 在理论证明上不必追求严谨, 在教学过程中应联系数学知识讲解与学生专业相关的实际应用问题, 将经济学的思想渗透进专业学科中, 让学生逐渐懂得数学是学好专业课的基础, 从而激发学生学习的兴趣, 提高学生分析问题, 解决问题的能力, 为后续专业课的学习打下良好的基础, 并提高学生的专业素质。

(2) 教学内容应突出数学建模思想, 与现实生活联系紧密

独立学院微积分的教学内容应突出应用性与启发性, 立足实践, 面向应用, 在考虑社会实际需求的同时又要考虑学生兴趣, 加强数学微积分教学与学生相关专业学习之间的相互联系、交叉、渗透与综合, 尽量通过数学建模, 将微积分知识的讲解与现实生活联系紧密, 使学生加深对数学理论知识的理解和掌握, 培养学生应用数学的意识, 提高学生的实践能力和创新能力, 让学生进一步意识到数学在生活中的作用, 从而进一步激发学生学习数学的兴趣, 使学生学习到符合社会需要的适应新发展的数学应用知识。

(3) 教学内容应删减一些不必要和不重要的内容

教学内容是教学过程中的核心, 独立学院微积分的教学内容多、进度快, 增加了学生学习的难度, 考虑到微积分学时少的情况, 尤其应调整教学内容, 删减一些不必要和不重要的内容, 根据以“必需、够用”为度的原则, 处理好较少课时与较高要求之间的矛盾, 为学生学好专业技术课打下坚实的基础。

2、教学方法的改革

(1) 独立学院微积分的讲授应遵循“化难为简”的原则

针对独立学院的学生特点, 教师在讲授知识时, 应尽可能的“化难为简”, 即把复杂的问题简单化。数学的目标是从一般到特殊, 从具体到抽象, 但教师在教学过程中要遵循从特殊到一般, 再从一般到特殊, 从具体到抽象, 再从抽象到具体的原则。

(2) 微积分的讲授应注重“意形结合”的方式

对于学生理解有困难的概念, 尤其是用静态的语言所表达的动态过程的概念, 例如极限、连续、导数等内容中, 着重用描述性语言, 并借助图形帮助学生理解其内涵。

(3) 适当的采用多媒体辅助教学

随着计算机的发展和教学软件功能的不断充实, 用计算机进行课堂演示已经被越来越多的教师和学生所接受, 通过多媒体课件的演示, 可以使抽象深奥的数学知识直观明了的呈现在学生面前, 增加微积分学习的趣味性, 吸引学生的注意力, 加深学生对知识的理解, 提高课堂效率, 调动学生学习的积极性, 并弥补实践教学环节中的不足。

微积分教学中的发散思维训练 篇8

关 键 词：微积分；教学；发散思维；训练；

【中图分类号】G712

发散思维也称求异思维或分散思维，是指根据问题提供的信息，从不同的角度与方向去思考，最终获得多种答案的思维形式[1].心理学研究表明：思维的发散性表现在对问题不急于归一，而是在提出多方面的设想或各种解法之后，经筛选找出比较合理妥善的解法.

发散思维具有求异性、探索性、创造性，发散思维是创造性思维的核心，许多外国心理学家把发散思维与创造力联系在一起，可以认为发散思维体现了一种创造精神，这种精神对于培养创造型人才具有深远的意义[2].

众所周知，数学在培养和训练学生的思维能力方面起着举足轻重的作用，因此，在微积分教学中，加大对学生发散思维能力的培养和引导，有助于学生分析能力的加强和创新意识的启迪，从而使学生素质能力得到全面提升.本文以微积分教学为例，重点探讨并给出教師在微积分教学 中发散思维的训练和应用实例.

1. 发掘教材中的“发散”因素

在微积分教学中，要培养学生的发散思维能力，首先教师要认真钻研教材，分别从宏观体系和微观环节上发掘教材中的“发散”因素，为培养和训练学生的发散思维能力作好素材上的准备.

从宏观体系上考虑，多元函数的微分学和一元函数微分学、空间解析几何和平面解析几何通过“降维”而联系；不定积分和导数（微分）通过互逆运算而联系；定积分、二重积分、三重积

分、曲线积分、曲面积分通过积分区域而联系等等.这些都是有利于发展学生发散思维的因素.

从微观上考虑，“发散”素材要从具体的数学定义、定理、公式、题目等内容上发掘并筛选.例如，微积分中的定义、定理、公式、法则等是较多的，要使学生能很好地理解知识和掌握知识，除了弄清它们的来龙去脉，更要紧的是掌握这些知识的本质，从而能熟练地运用.开展发散性思维有利于这些能力的培养.

如微分课上，从导数公式引进微分公式以后，可设计以下一组练习，要求学生尽量一空多填，使等式成立.

（1） （ ） ， （2） （ ）= ，

（3）（ ） = ， （4） =（ ） ，

（5） =（ ） ， （6） （ ），

（7） =（ ） ， （8） （ ）.

如上的一组练习，就是把唯一性填空改编成一空多填形式进行发散性思维.实践证明，通过如上的一空多填练习，不仅使学生掌握了这些公式的本质，并且能较牢固地掌握公式的特征，保证了在今后的学习中能较熟练地进行运用。开展发散性思维，一定要根据教材的特征，灵活地选择“发散点”，这是做好这项工作的重要前提。例如讲授“函数极限的定义”时，对“数列极限的定义”进行发散，发散点选择在自变量的变化上.

数列极限 的定义可表达为[3]： .对自变量n进行发散，

（1）当自变量 时，函数 即 ；

（2） 当自变量 时，函数

；

（3） 当自变量 时，函数 即 ；