数学的感悟（通用9篇）
如果没有人类，就不会有数学。数学是人类发明的最伟大的工具。
我们感知到的世界是一个样子，用数学去计量后的世界是另一个样子。很多动物都能感知到世界，但不是每种动物都能发明数学。任何可测量的东西都可以归纳到数学领域去，但是测量这件事是有局限的，有些东西就是测量不了。人能够直接用感知器官去测量的，用仪器能够测量的，都符合数学规则。但有些东西不能被测量，或者说永远测不准，这样，数学就只能是概率性事件，没办法精确。不可测量的层面，是量子层面的。
真实的世界是一个样子，我们感知到的世界是一个样子，我们用数学去描述的世界又是另一个样子。
我们首先是给世界建立一个基本单位。如一个人，一个苹果，一粒沙子，一滴水。然后累加计量。如十个人，一百个苹果，一千粒沙子，一万滴水。我们可以随意的定义基本单位，如一座山，一条江，一棵树。然后同类累加，就是仵作山，三条江，三十棵树。
单位是某种物的单位。物的分类，是单位的分类。如一棵树是以树为计量对象的，一棵苹果树则是以苹果树为基本计量单位的。我们用数学辅助我们感知世界，交流知识。
数与数之间的关系，被一个公式概括下来。如1+1=2，如e=mc2。借助这些公式，我们可以去改造世界。
公式是表达事物关系最简洁的方式。有条件，有过程，有结果。你想要某种结果，就要准备好某些东西，做某些动作。我们可以来来回回，重复利用这些公式。
没有数学，就没有科学，没有科学，就没有科技，没有科技，就没有现代的社会。数学家如果能把他学到的东西应用到现实生活当中，必将产生巨大的威能。
当然，这种威能好的坏的都有。好的不用说了，坏的如原子弹。但你很难说原子弹是坏的。质量和能量可以互相转换，原子弹是最好的证明。
数学对我们平常人有什么用呢?除了做买卖算账，好像没多大用。其实不是，数学非常有用。我们不仅要掌握公式本身，还要掌握公式本身意味着什么。通常，这是可以概括成一句话的。而这些话，总是充满哲理的，因为有数学事实作为依据。
一、数学日记的来源
1. 依托教材
数学知识和规律是前人生活经验的总结与提炼, 数学教学的目标之一是让学生掌握规律及学习规律的方法。如果教师只是让学生掌握知识, 那就是把学生头脑当成了知识的容器。所以教师必须让学生了解知识的产生过程, 引导学生善于捕捉书本信息, 获取、积累生活中的数学知识, 为学生的可持续发展搭建平台, 从而达到事半功倍的效果。
比如, 在“小数四则混合运算”的教学中, 为锻炼学生计算的准确性和对运算的兴趣, 笔者精心设计了下列运算练习, 让学生观察得数, 发现与节日日期之间的对应关系。学生们高兴地发现了三八妇女节、党的生日、建军节、儿童节, 并把发现过程写成了数学日记。
例:计算下面试题, 并把你们的体会和发现写成数学日记。
12.48-21.28÷7.6×3.1=3.8
8.64÷2.7+6.5×0.6=7.1
12.15÷ (0.82+3.4×0.2) =8.1
18.4- (8.64÷2.7+9.1) =6.1
【点评】在多年的教学中, 笔者发现, 学生觉得数学运算枯燥无味, 对计算练习不感兴趣。小学阶段, 数学运算能力的培养是建立数感、培养其他能力的基础。教师要依托教材, 提供具体的数学日记素材, 设计富有情趣的数学活动, 鼓励每一位学生动手、动口、动脑, 积极参与探究的学习过程, 使计算题在学生们的眼中, 不再是枯燥的数字和符号, 而是充满着无穷奥妙和趣味的知识乐园。从而体现数学课程的人文精神与德育价值。
2. 走进生活
数学源于生活, 又高于生活。在生活实践中培养学生的创新能力和创新思维习惯是十分重要的。这种教育的核心是注重知识的来源, 让学生在生活中获取知识, 在实践中自我发现问题和自我解决问题。在此过程中要充分发挥学生的观察力、想象力和创造力, 使学生在学习数学的同时, 对生活实践产生兴趣, 并在实践中增强学习数学的积极性和创造性。所以, 在教学中要注意联系生活, 联系实际, 重视学生直接经验的获取, 把教学归于实践, 归于生活。
教师要鼓励学生利用双休日、寒暑假走进商场、图书馆、工厂, 用数学思想和方法进行调查研究、市场分析, 使学生学到有价值的数学。
数学日记1:参观北京市顺义区燕京啤酒集团
周末, 我们“假日小队”的队员参观了燕京啤酒集团, 并且收集了许多惊人的数据。
管理员叔叔告诉我们:“燕京啤酒集团一年可生产啤酒182万吨, 每吨啤酒可以装65箱, 每箱24瓶, 平均每箱售价42元, 每条生产线一分钟就可以装600瓶啤酒。”从叔叔的话中, 我们感受到叔叔为能在这样的公司工作而骄傲和自豪!
我们的队员接着问:“叔叔, 每年公司能生产多少瓶啤酒呀?”“包装线一分钟包装600瓶啤酒可以卖多少元呀?”“燕京啤酒集团的年产值是多少呢?”叔叔对我们说:“孩子们, 你们回家自己算一算吧!我相信, 你们一定能很快地找到答案。”
回来的路上, 大家兴致勃勃地计算:每年可生产啤酒24×65×1820000或65×1820000×24=2839600000 (瓶) 。600瓶啤酒可以卖600÷24×42或42÷24×600=1050 (元) 。每年的产值只差一点点就能达到50亿元了。
列式:42×65×1820000=498600000 (元) ≈50亿 (元)
真了不起!大家赞叹道。
【点评】数学教学不仅应让学生们学到知识与规律, 还应培养学生正确的数学思想、态度和价值观。教师可以充分利用本地区丰富的人文、地理资源, 开展丰富多彩的数学实践活动, 指导学生就实践活动内容写出数学日记。这不仅能让学生更加深切地感受数学、体验数学, 理解数学来源于生活, 服务于生活, 而且能激发学生产生热爱祖国、热爱家乡的自豪感和使命感。
二、数学日记的内容
对小学生来说, 对数学学习内容的理解和发现是他们数学日记的主要内容。教师要鼓励他们互相讨论, 大胆表达自己的思考方法, 借鉴和学习别人的思路, 将思考结果记成日记。如在小数混合计算的学习中, 学生们灵活运用定律, 对同一道题常常有不同的计算方法。教师要鼓励并尊重学生的独立思考, 引导学生大胆讨论与交流, 在一题多解的比较中学到最简便的方法。经常性数学探究活动与写数学日记相结合, 不仅能够培养学生良好的思考习惯和合作意识, 而且对培养学生的创新意识与创新思维是十分有效的。此外, 学生感兴趣的数学故事也可以收集到日记中。
1. 生活中的数学
数学日记2:木匠爷爷算半径的奇妙方法
周日, 我来到了乡下姥姥家, 正赶上姥姥家盖新房, 我看见一位木匠爷爷正用卷尺量一根木头, 底面周长为四尺。老爷爷看到我很感兴趣, 就说:“孩子, 我给你出道数学题算算:刚才这根木头底面周长为四尺, 它的底面半径是多少寸?”沉思了一会, 我说:“老爷爷, 我可口算不出来, 还是您告诉我吧!”老爷爷笑眯眯地说:这根木头的底面半径大约是六寸四。“我大吃一惊, 急忙跑进屋里, 拿起笔验算:圆的半径=圆的周长÷3.14÷2, 木头半径:40寸÷3.14÷2≈6.37 (寸) ≈6.4 (寸) 。
我急忙跑出屋, 大声说:“老爷爷, 您赶紧说说您是怎样算得既快又准确的?”“就六个字:尺变寸, 加六成”, 老爷爷慢条斯理地说。
原来, 木匠老爷爷的计算方法是:四尺变四寸, 六成为4 (寸) ×0.6=2.4 (寸) , 半径为二者和, 4 (寸) +2.4 (寸) =6.4 (寸) 。如果圆周长为3尺, 老爷爷的算法是:三尺变三寸, 六成为三六一寸八, 半径就是3+1.8=4.8 (寸) 。我问这种办法为什么有误差, 老爷爷说:“孩子, 你们做题时习惯把圆周率取值为3.14, 而我们在干活时习惯把圆周率当做3.125。虽然有些误差, 但在估计半径时却很实用。”“老爷爷, 您真是个智多星!我要把这种方法告诉我的同学们。”老爷爷高兴地点点头。
【点评】这篇数学日记, 厚重了学生对知识的积淀, 提升了学生的数学素养, 滋润了他们的心田。学生从生活经验和角度出发, 学习不同的思考方法, 是他们更深刻地理解数学与生活的联系, 感受数学应用价值的有效途径。
2. 数学故事
教师可以引导学生收集、整理有关数学的轶文、趣事以及科学家的故事, 写成日记, 记录生活中的哲理。
数学日记3:来了多少位客人
从前有个不学无术、自命不凡的人, 他说话随便, 经常得罪人。
一天, 他设宴请客, 来了不少客人。他一看, 有几个重要人物还没光临, 就忍不住自言自语起来:“怎么该来的还不来呢?”
在座的客人一听, 心头凉了一大截:“他这么说, 我们不该来的喽!”于是, 有一半人扬长而去。
他一看许多人走了, 着急地说:“啊!不该走的反倒走了!”
剩下的人听了, 心里着实有气:“他这么说, 明明是指我们是该走的了。”
“看来, 我们该走了。”于是, 又有三分之二的人不辞而别。
这位东道主急得直拍大腿:“这, 这, 我说的不是他们呀!”剩下的客人一听:“这是什么话?不是说他们, 就是说我们啦!”于是, 又有四分之三的人打道回府了。
最后, 只剩下一位客人了, 主人感到大丢面子, 脱口而出:“不来白不来啊!”
这位仅存的客人一听, “他这话里头有刺, 分明是在暗示我来了也是白来。我还是识相点, 也走吧。”他二话不说拂袖而去。结果, 只剩下设宴的这位“孤家寡人”了。请你替他算一算, 在他说第一句话之前, 已经到了多少位客人?
【点评】学生收集的这篇数学故事, 既幽默又风趣, 激发了全班学生探究的愿望。在教学中, 教师有意识地培养学生独立的数学阅读和研究数学问题的能力。这有助于学生数学语言水平提高及数学交流能力的增强, 从而使学生能自己探索到数学学习的资源, 而不仅仅依靠教师的讲课材料;这也有助于学生的数学个性化学习, 使每个学生都可能通过自身的努力, 达到自己的最高发展水平。
数学日记4:一次性筷子的话
星期日, 我陪妈妈到西单买东西, 看见许多人拿着一次性筷子在吃小摊贩的小吃。北京一个月来出现了好几次沙尘暴现象, 现在大家纷纷报名“绿色突击队”到内蒙古种树。可前边有人种树后面又有人砍树做筷子, 这风沙什么时候才能挡住呀!
回到家, 我设计了两张调查表, 分别对50个人和50家餐馆进行了摸底调查, 并粗粗算了一笔账:40家饭馆每天用掉1740双筷子, 40天就得用69600双, 我测量了筷子的长、宽、高, 计算出了它的体积, 假如一棵大树高8米, 直径0.5米, 那么40家饭馆10个月就用掉一棵大树。虽然一次性筷子用起来很方便, 可人们为此付出的代价太大了。
我给大家提一个好建议:出门时别忘了带一把小汤匙或短筷子, 不管在哪吃饭都可以拿出来用, 既卫生又节约木材。
关键词： 负数 现实情境 数据对比 数学思想
片段一：创设现实情境，认识新知。
（一）提出问题，亲身体验。
师：选择自己喜欢的方式把听到的数据准确地填在表格中，关键是让别人一眼就能看明白。1.足球比赛，中国国家队上半场进了2个球，下半场丢了2个球。2.学校四年级转来25名新同学，五年级转走10名同学。3.张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。
学生独立填表，教师巡视收集信息。
（二）有序反馈，集体讨论。
师：这样记录，大家有什么看法？（在投影上展示第一种情况）
生：他用文字描述进2个球，丢2个球，我认为比较烦。
师：都是2个球，但一个是进球，一个是丢球，意思正好怎么样？同时借助手势表示进球和丢球的相反意义。转来和转走的意思呢？赚和亏呢？仅仅用我们学过的数，还能区分这些意义相反的量吗？
师生交流第二种情况：学生用+表示转来，用→表示转走。
师生交流第三种情况：学生用←表示赚，用→表示亏。
师：快说说你怎么想到这两个符号？（师指向账目结算部分）
生：我认为张阿姨赚6000元，所以用←表示赚；而亏了2000元用→表示亏。（其他学生发出会心的笑）
师：看得出来，大家很欣赏这种方法。像这样用符号表示的方法还有吗？（师随即展示其他同学使用的不同符号）同学们的想法都很有创意。可不知同学们想过没有，你用的符号你明白，他用的符号他明白。但是，数学符号是数学的语言，是帮助我们相互交流的，怎样才能让大家都明白呢？
生1：需要找到一种大家都能看懂的符号。
生2：需要找到一种统一的形式。
[评析]数学教育家波利亚指出：“要让孩子们重蹈人类思想发展中的那些关键步子……而且仅仅是关键步子。”首先，教师请学生记录具有相反意义的三组数量。学生采用了单纯的数据、文字加数据、图标或符号加数据等多种形式，充分展现了学生对情境问题的深入思考。教师巧妙利用这些有价值的资源有序反馈，两个数量的相反意义始终凸显在学生面前，并促使学生不断进行有意义的数学思考，直到产生“需要找到一种统一的形式”的内需。这时，负数的概念呼之欲出。在解决不断产生的认知冲突过程中，学生感悟着正、负数的意义，体验着由具体到抽象的符号化、数学化过程，认识逐渐从模糊到清晰。短短的一个环节，教师带领学生经历了人类探索负数的历程，实现了数学学习的再创造。
片段二：有效的数据对比，引领学生深层思考。
课件播放中央电视台某日的天气预报录音：哈尔滨零下15℃到零下3℃，北京零下5℃到5℃，上海0℃到8℃，海口12℃到20℃。随后，引导学生初步明确零上温度和零下温度的不同表示方法。
师：生活中用什么来测量温度呢？（温度计。）你们能读出温度计上的温度吗？（能！）
师：谁能把温度计上的温度读出来？（温度计上分别显示=20℃，0℃，-20℃）
学生用举卡片的方法来回答。
师：那也就是说，在温度计上，越向下温度越（冷）。用你的动作和表情告诉我-20℃时有什么感觉？（学生做出哆嗦的样子。）
[评析]在没有标明刻度的情况下，学生再次产生认知冲突，唤起了更深层面的思考：要在温度计上表示温度，首先要确定0℃的位置。通过一系列的操作、观察、讨论，学生在有学习意义的操作中，在思维的碰撞和互动中明确感悟到：在温度中，0℃是区分零上温度和零下温度的分界点，比0℃高的温度用正数表示，比0℃低则用负数表示，实现了对0的再认识。同时，将正数、负数、零有机地整合到了一个新的概念框架（即后续学习的有理数）中。教师结合学生的操作结果，引导学生思考：-20℃和-15℃相比，哪个更冷？同学们在操作、观察中感悟到“正数比0大，负数比0小”。直观、具体的思考，把负数大小的比较、绝对值等后续知识很好地渗透进来，数据对比突显出优势。注意赋予读数新的内涵，学生在读过温度后联系自己的经历说感受。这给了学生更多的体验数的机会，“太冷了”，“太烫了”，原来没有生命的数大大丰富了学生的体验，数感也在其中得到了很好的培养。
片段三：结合具体情境，渗透数学思想。
教师请两位同学分别在黑板上竞赛写正数、负数。
师：如果有时间给你不停地写，正数、负数写得完吗？正数、负数各有多少个？用什么符号表示无数个？
教师分别在黑板上正数、负数的下面写出省略号。
师：想想看，所有正数和0相比，有什么关系？所有负数和0相比，有什么关系？
（板书：0既不是正数又不是负数。）
[评析]结合相关内容向学生渗透一些现代数学思想方法，如极限思想、集合思想、对应思想、符号化思想、统计思想等，这是小学数学的教学目标之一。在上面的教学中，教师首先引导学生广泛举例，初步感悟到正、负数的个数是无限的。这时，学生对正、负数集合的认识是浅显的、体验是感性的。教师引导学生讨论，简单而又巧妙的设问给学生创造了体验的机会。小小的省略号充分体现了无限的观念、集合的思想，拓展了学生的数学思维。
温宿六校
李薇薇
今天在专题学习六中聆听了著名教育专家吴正宪老师的《感悟数学思想，积累数学经验》精彩的专题讲座，让我豁然开朗，真的是受益非浅呀！吴正宪老师滔滔不绝、挥洒自如的讲解，让我心中只有叹服。从中感受到了她身上所透露出来的无穷的知识力量；感受到她对学生身心发展以及数学教育了解之广、钻研之深。她所阐述的数学观点句句在理，紧扣住我们当代教育的发展变化，与当代学生的心理特征，吴正宪老师在教学过程中解决某些环节的教学经验，以及面对教学中遇到的一些问题的做法如良方益药给我们很大的启发，也是我们教师所必须学习的业务基石。
吴正宪老师从《课标》的三个案例对这个主题进行讲解。案例
（一）试估计曲线所围成的面积。图中每个小方格为1个面积单位。案例
（二）：“ 一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”案例
（三）图形分类 ：如图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。吴老师的讲述声情并茂，引人入胜。我不仅领略了名师的风范，还欣赏了一个又一个生动丰富的教学案例，真是“听君一席话，胜教十年书”啊。
数学课上不是教给学生多少知识，而是要教给他们思维的方法，开发他们脑中未被开发的脑细胞，要想做到这一点，就要求我们教师要不断的充实自己。
1、教师要不断更新教学形式
新课标下的数学教学需要教师组织大量的数学活动，让学生体会知识的产生发展过程。关于活动课国家有统一的指导思想：结合学生特点，发挥学生的主动性和创造性，使学生受到政治思想道德教育，扩大视野，动手动脑，增长才干，发挥志趣和特长，丰富精神生活，增进身心健康。但国家没有对活动课的具体内容作硬性的规定，因此在实施活动课时，素材的选择便充满灵活性。要使数学活动课与数学学科真正同步进人常规教学，真正做到相辅相成，需要做一些细致的工作，那么在活动课的教学实践中，我们做什么,怎样做，都与活动课的素材选择是分不开的。素材的选择，对做什么、怎样做起着决定性的作用。选择活动课的素材，将决定学生受到政治、思想、道德教育的取向，扩大视野的方向。选择的素材将为学生提供动手动脑的条件。所以活动课素材的选择是关系到活动课优劣成败的重要问题。
要选好数学活动课素材，要求教师要有较深厚的数学文化底蕴，必须掌握丰富的活动课
原材料。师范院校的教科书并没有为未来的教师提供活动课的素材，这就要求教师去博览群
书，结合生产、生活的实践去收集原始素材，然后对这些材料进行加工、整理，提炼成为一些数学故事、数学趣味游戏、数学应用等方面的资料，作为数学活动课的.备选材料。活动课较学科教学有更大的开放性和灵活性，这要求教师掌握非常丰富的材料，从所掌握的大量的材料中如果能选取与数学学科教学相关的、丰富翔实的活动素材，那么教师指导数学活动时将更加得心应手，更加方使高效。
要选好数学活动课素材，教师除了有丰富的素材，必须深入研究活动课班级的数学教材，不能让活动课内容与学科教学脱节，要充分体现活动课与学科教学相辅相成的原则。要选好数学活动课素材，教师必须充分研究做活动课的学生的具体情况。我校是全寄宿式私立学校学校，当然要充分把握学生学习数学的特点。大部分学生在数学上尽吃苦头，对数学学习有惧怕心理。这就要求我们所选内容一定要由浅入深出，由具体到抽象，由特殊到一般，不能要求过高过急，当头一棒，吓唬她们，令她们更加惧怕数学。这就要求我们在选择组织素材时充分考虑这层心理因素。还有，女学生的感性思维总体来说优于理性思维，形象思维优于逻辑思维，微观控制思维优于宏观控制思维，代数能力优于几何能力，直觉优于推理，手算能力优于心算能力，这些都是选择素材要考虑的因素。选取素材时一定要遵循从实际出发的原则，把学生的需要放在首位，而不应当从现有材料或老师的兴趣出发。选材时切忌难度太大，材料内容太多，急功近利，想通过一堂活动课，就一下子丰富学生很多知识，掌握许多方法，领会诸多理论，这不仅是办不到的，而且也是有害的。
我认为做活动课的宗旨是:通过学生的自主行动，获得有关数量关系和空间形成的直接经验，去感悟数学的存在性，领会数学的必要性，体会数学的重要性。通过教师的选材，精心为他们设计多层台阶，然后由第一层逐步登上这些台阶，向数学世界的周围看一看，或爬上山头，或钻入小林深处，领略一下数学世界的风光，体验一下数学世界的气氛，从而获得一些数学兴趣和数学修养。
要选好数学活动课素材，必须结合活动课的开展形式。公认的数学活动课形式有八种:指导探索课、问题研讨课、数学故事课、数学游戏课、数学竞赛课、数学实践课、数学阅读课、数学表述课。选材也要考虑开展活动课的活动形式。
2、教师要不断更新教学语言、素材
生动的素材能在学生心目中留下永恒的记忆，而活泼的语言又是激发学生求知欲的良方。不同年龄段的学生有自己的思维方式和思维习惯，教师要针对他们的特征，选择适当的素材，采用贴切的语言才能收到预期的效果。比如讲“一个三角形任意两边之和一定大于第三边”。我想，用一个生活中最常见的例子最好，就是为什么人人都想走近道儿。可以画几种走法儿让学生们选，然后问他们为什么都选那个最直接的路呢?他们会说那条路最近。为什么它最近呢?怎么证明呢?联系到学生生活中最常见到的、应用到的东西，他们才容易理解，也容易思考，甚至能很快地举一反三。有学生举这样的例子，一条狗见到前面的骨头总是沿直线向骨头跑去，而不会绕几个圈，或走曲线去吃骨头，除非它是一条疯狗。
对零的性质的教学，我曾在李毓佩老师写的一篇童话，叫《梦游0王国》里有一段精彩的描述：
0王国里所有的床铺都是上下铺，但下铺都没有人住。主人公小毅很好奇。为什么没有人住啊?0王国公民解释说，因为0不能躺在分数下。小毅不懂。大家就帮他设想，如果分数线上的数是2,而存在2/0这个数，比如说a吧，那么2=0×a，可是0和任何数相乘都得0,所以不可能存在a这个数。如果分数线是0,那么这个等式就变成0=0×a，同样的道理，a就是个不能确定的数，所以0就不能呆在分数线下面。
在0王国里，没有男人和女人，因为0既不是正数，也不是负数;
外人只能和0王国的人握手，却不能拥抱，因为握手相当于加法，拥抱却是乘法，和0一拥抱，自己也变成了0,回不去了;
0王国的居民都很轻，不对，应该说它们都没有重量，但是只要往其他数字身后一站，就可以让他们重上10倍，如果站在小数点后面，又能让这个数轻上10倍……通过这些具体生动的例子,让学生感悟到数学的奥妙。
3、教师要不断更新教学手段、掌握数学技术
新课标下的数学教学只*传统的粉笔加黑板是无法完成达到要求的。有许多图片、图象需要多媒体展示，许多知识的发生发展过程需要电脑演示。在教学中我们会经常遇到用较多的语言说明一些概念、算理、公式等现象，而且它往往又是教学的重点和难点，借助多媒体辅助教学，可以活化这些现象，而且特别直观、形象，从中不需要教师多言语学生就可以自己感悟到数学知识。教师必须掌握现代化教学手段，才能为学生提供丰富的知识和素材。而且随着现代技术的发展，特别是网络技术的发展，已经使这个世界发生了翻天覆地的变化。通过网络的联系，让我们的工作不在是个人的劳动，它可以让个人的智慧集体化。数学技术是数学与技术以灵巧方式组合而成的二者不可分割的和谐整体。从某种角度讲，数学上的每一次重大的发展和突破都是技术(当然包括科学)有大的发展与进步的前奏，而事实是数学的发展往往超前于重大技术的发现而走在前面。数学的追求与技术(科学)发展的目标是相一致的，都追求简单、清晰、方便、可操作、易于掌握。其实，现阶段数学总是任何计算机仿真的核心，数学通过对复杂现象的仿真建模，借助计算机对数据流进行缩成和可视化，将有助于人们把事情做得更好、更快、更安全、更便利。数学技术正在以不同的形态广泛地应用于现实生活世界的各个方面。检查身体的CT扫描技术，车辆、飞机的模拟、设计和控制技术，金融证券价值的估算技术，天气和气象的预测技术，电子设计自动化以及生物工程等技术，其核心都是数学技术。数学技术正是依附于计算机来显现它的威力，而计算机正是依*数学技术得以工作与革新换代。
文献[1]中，许晓天老师对数学归纳法进行了系统研究，并在听课、评课的基础之上对数学归纳法进行了理性思考.笔者欣赏之余亦发现文献[1]中存在着三个“忽视”，而这三个“忽视”的内容恰是揭示数学归纳法本质的重要支撑点，是学生发现、认识、理解数学归纳法必须要经历的阶段，笔者借此机会把这三个“忽视”给予补充，供同行参阅.1第一个忽视――如何确定第一步中n的起始值
文献[2]把数学归纳法分成2课时，例题的个数达到5个，包含了与正整数有关的恒等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题，但没有涉及不等式的证明问题.对于数学归纳法的教学，在文献[3]中明确指出：要把重点放在第二步上，其关键在于让学生弄清“归纳假设”是什么（即当n=k时，命题是什么），要证明的又是什么（即当n=k+1时，命题是什么）.在此教学建议下，第二步成为了课堂上讨论、研究的核心.笔者认为，这样的教学处理，虽对学生的做题有帮助，但却不利于学生理解数学归纳法本质.文献[1]虽然对第一步做了理性的思考，并概括为“一个足够，多了没用”，但是仍然没有揭示数学归纳法第一步的本质问题.下面笔者结合文献[2]中的一道纠错题给出说明.题目设n∈N*，求证：2n>n2.证明：①n=1时，21>12，不等式显然成立.②假设当n=k时不等式成立，即2k>k2，那么，当n=k+1时，有2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=（k+1）2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错误.错误剖析第二步证明有错.一般地，对自然数k，当k≥3时，k2≥2k+1才成立，即当k≥3时，第二步才能无限地运行下去.那么，如何来确定第一步中n的起始值呢？我们现在来规定多米诺骨牌一个新的游戏规则：从第三块骨牌开始，前一块倒下后一定能击倒下一块.在这样的规则要求下，如果要使所有的骨牌都倒下，只要做三件事：第一，推倒第一块骨牌（第二块骨牌未倒下）；第二，推倒第二块骨牌（第三块骨牌未倒下）；第三，推倒第三块骨牌（从第三块开始，前一块倒下后一定能击倒下一块）.即第二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下，也就是说第一步中起始值不一定是1，因此，起始值的选择要根据题目所给条件和第二步综合确定.需要特别指出的是，多米诺骨牌毕竟不是数学问题，重要的是通过直观化处理为学生提供了一种“数学化”（所谓数学化，是指通过一种组织与构建的活动，运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构.简言之，数学地组织现实世界的过程就是数学化）思想，有利于帮助学生对第一步本质的认识.在此题目中，我们要找出n≥3时，不等式2n>n2成立的最小正整数.当n=3时，2nn2.从而，本题中第一步起始值应为5，当n≥5时，第二步才具有实质上的无限传递性，即证得n≥5时，2n>n2.至此，数学归纳法第一步的本质不攻自破.因此，在教学过程中，教师必须让学生经历起始值的讨论，因为这是数学归纳法第二步论证的基础.就像玩多米诺骨牌一样，在“前一块倒下后一定能击倒下一块”的游戏规则下，如果我们不推倒第一块骨牌，那么所有的骨牌能倒下吗？
下面再利用文献[4]中的一道题说明确定起始值的重要性：
例题用数学归纳法证明：（1+2+3+…+n）（1+12+13+…+1n）≥n2，其中n∈N*.证明①n=1时，不等式显然成立，n=2时，不等式的左边=（1+2）×（1+12）=92，右边=22=4，不等式也成立.②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）≥k2成立，则当n=k+1时，有[1+2+3+…+k+（k+1）]1+12+13+…+1k+（1k+1）=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1>k2+k2+3k2+1=（k+1）2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.说明本题结合不等关系1+12+13+…+1n≥1+12，n≥2来证明，但注意要将第一步的起点后移，即第一步中的起始值为2.因此，在第一步证明中，不仅要证明当n=2时，不等式成立，还要说明当n=1时不等式成立.2第二个忽视――为什么在第二步的证明中要用“假设”两字
对于这个问题，想必有很多教师现在还无法进行清晰的解释.笔者认为：这一知识点是这节课最重要的难点之一，在数学归纳法起始课的教学中，教师应该让学生对此有一个清楚的认识，否则，学生只是掌握了数学归纳法的“形”，而没有真正掌握数学归纳法的“神”.譬如，要使多米诺骨牌全部倒下需要两个条件，第一个条件：第一块骨牌倒下；第二个条件：若第k块骨牌倒下，则第k+1块骨牌也倒下.从实际教学看，第一个条件容易理解，第二个条件理解起来比较困难.如何解释呢？为了方便起见，记命题P（n）是与自然数n有关的命题.P（n）可以理解为是编了号的命题.第1号命题是P（1），第2号命题是P（2），……，第k号命题是P（k），第k+1号命题是P（k+1），…….第一步只是验证命题P（n）中的第1号命题P（1）成立.第二步实质上也是一个命题，即如果P（k）成立，则有P（k+1）成立.P（k）到底成立还是不成立，不是第二步的任务.第二步的任务是：假设P（k）成立；证明P（k+1）也成立.这就好像命题“如果0>1，那么1>2”是真命题，因为尽管01，则由不等式的性质有0+1>1+1，即1>2.至此，学生就会明白第二步中的命题P（k）和P（k+1）实质上断定的是一种关系，而不是对P（k）的断定.如果更形象一点说，第二步所断言的是有了一台功能特殊的“递推机”，该递推机的功能是：只要把原料P（k）递进去，那么该机便能输出P（k+1）这个产品.当然，有了递推机并不能保证一定有原料.现在就可结合第一步来看数学归纳法.第一步断言了P（1）为真，而第二步就是一台递推机，这样将P（1）作为初次原料送进递推机，它立即输出P（2），有了P（2）就可以把它作为原料再次送入递推机，于是就有了P（3），如此重复地运用递推机，就可相应地得到P（4），P（5），……，这样就看清楚了数学归纳法的“递推机”在有初始原料P（1）的情况下的“工作”原理，这里实质上也就是数学归纳法为什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理.因此应该让学生清楚：数学归纳法是一种演绎推理，是典型的三段论，而这种演绎推理又是为了归纳.数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性.3第三个忽视――第二步中的归纳假设如何使用
在实际的教学过程中，教师必须要强调：由假设P（k）成立证P（k+1）时，要推导详实，并且一定要运用P（k）.文献[1]中虽提到：第二步中“假设”也是条件，不用不行，但遗憾的是却没有指出如何使用这个假设条件？下面借助于第二个“忽视”中的例题来说明如何使用假设条件.另证①当n=1时，不等式显然成立.②假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）≥k2成立，即1+12+13+…+1k≥k21+2+3+…+k=k2k（k+1）2=2kk+1成立.则当n=k+1时，（1+2+3+…+k+k+1）（1+12+13+…+1k+1k+1）≥（k+1）（k+2）2（2kk+1+1k+1）=（k+1）2+k2≥（k+1）2.……
分析数学归纳法规定：在P（k）成立的前提下，证明P（k+1）成立.但是如何使用P（k）就要适时考虑.在第二个“忽视”中，证明（放缩法）思路体现在：要证P（k+1）成立，必须在P（k+1）的结构中凑出P（k）的结构.另证在P（k）成立的前提下，对P（k）进行深加工，为P（k+1）的成立创造更优越的条件.如果教师过度强调“证明P（k+1）时要凑出P（k）的结构”，就有掩盖数学归纳法第二步本质的嫌疑.因此，教师要让学生清楚地了解每一个知识点的来龙去脉，了解每一个知识点的应用范围，了解每一个知识点的所以然，才能更好地讲授数学归纳法.4一个担心――直观与形式化不能代替数学本质
关于强调本质的问题，高中数学课程标准明确指出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.”事实上，没有对数学本质的理解，就不可能有应用和创新[5].这就要求我们，教学中必须要弄清问题产生的背景，抽象的过程以及结果的表述，体会其内在的本质.但目前的现状是：模仿操作的多了，体会内在本质的少了.教学中不能因学生学会了数学归纳法的基本步骤，就忽视数学归纳法的基本思想.甚至有的教师过度追求形式化，把数学归纳法程序化（见矩形框图），并要求学生做题时填空就可以了.对此，笔者在此呼吁：数学归纳法的教学决不能得鱼而忘筌.证明：①n=n0时结论成立。
②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，即结论对于所有的n=k+1都成立.综合①②，可知结论成立.另外，多米诺骨牌是一个经典的教学实例，很多专家与一线教师在反复探讨之后，仍然觉得其它实例都无法代替多米诺骨牌这个经典实例[6].由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.通过师生的共同讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤.最后让学生套用这个模式解题.鉴于学生的实际，我们认为这些做法十分必要.但遗憾的是，这些做法对隐藏在实例背后的实质性问题揭露不够，虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵.学生也因此被稀里糊涂地带进了模仿操作的怪圈里，学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，还并没有真正掌握.因此，对于直观的东西应用一定要适可而止，少了，会降低理解上的难度，多了，会抑制数学思维，只有恰到好处，才能发挥它的应用作用.最后，如果因为教师自身感到某个数学本质不好解释、不自然，所以就放弃对它的诠释，那就放弃了一次让学生真正体验“数学化”思想的历程，学生也就失去了一次数学理性思维提升的过程.课堂上，教师应该展示数学归纳法的形成过程，让数学归纳法的原理水到渠成.在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界.总之，课堂教学既是一门学问，也是一门艺术.衷心愿我们的课堂教学真正做到远离浮躁，回归本质.参考文献
一、新课程理念下的高中课堂教学具有整体性、开放性、创造性、不确定性的特点。
新课改更强调体现学生的主体地位, 在实施过程中, 教师应转变传统的教育教学方式, 解放自己的思想, 更新教育观念, 改革教学方法, 由数学课程的忠实执行者转变为课程的决策者, 创造性地开发数学教学资源, 大胆地改变现有的教学模式, 彻底改变教学方法, 多给学生发挥创造的机会, 创设丰富多彩的教学情境, 引导学生自己探索数学规律、推导数学结论, 体验数学知识的探究过程。让学生成为“跳起来摘桃子的人”, 而不是“盛桃子的筐”, 教师应尽量少讲一些, 多引导他们自己去发现。学生自己能够解决的, 教师绝不和盘托出, 这样才有利于创新型人才的培养。
传统的数学教学因为过于预设和封闭, 使课堂变得沉闷, 缺乏生气和乐趣, 学生始终处于从属地位, 成了教师灌输知识的容器, 课堂上倦怠应付, 与创造的喜悦无缘, 师生都无法在课堂上焕发生命的活力。
教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程, 是为学而教, 以学定教, 互教互学, 教学相长的过程。教师必须改变传统的压抑学生创造性的教学环境, 通过优化教学模式, 改变教师独占课堂、学生被动接受的教学方式, 促成师生间、学生间的多向互动和良好教学关系的形成。
1. 教师不仅是数学知识的传授者、解惑者, 更是知识的促进者、引导者;
学生不仅是知识的接受者、复制者, 更是知识的发现者、创造者。教师的作用主要在于“导”, 就是通过精心设计教学过程, 对学生进行启发诱导, 点燃学生思维的火花, 让学生经历数学结论的形成过程, 充分体现学生是数学学习的主人。
2. 教师和学生之间不是传统课堂教学中的对象性的主客体关系, 而是一种主体间的意义关系。
师生之间的交往是作为主体的人与人之间的交往, 具有民主、平等的特性, 通过相互作用、相互协商, 建构学生多样化的主体活动, 完成认知和发展的任务, 从而促进学生主体个性的充分发展。
现代信息技术为学生自主学习提供了良好的环境、丰富的学习资源, 有利于提高学习的主动性、创造性和有效性, 促进认知过程、情感过程和意志过程的统一, 使学生的身心得到和谐发展。
二、在数学教学过程中要认真落实普通高中数学课程标准。
1. 高中数学课程要体现大众数学的理念, 学校和教师应该相信学生能学好数学。
因材施教是我国的传统教学手段, 对不同学生的数学学习应该提出不同的要求。
2. 开展创新性学习需要有时间的保证。
为了让学生在力所能及的范围内进行创新性学习, 教师需要创造条件, 让学生有机会尝试各种学习方式, 经历数学知识的发现、发生、发展的过程。为此, 高中数学课程标准中设置了“数学建模”、“数学探究”等学习活动。这些活动为学生形成积极主动的学习方式创造了有利条件, 有利于发展学生的创新意识。学生在数学课上主要是学习间接的数学知识, 因此, 传统的听课理解、模仿记忆、练习作业等仍是主要的学习方式。对传统的学习方式要适当进行改进, 让它渗透研究性学习的因素。学生的探究活动需要得到教师的支持。开展自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习活动, 需要有充分的时间保证。
3. 数学知识是培养思维能力的载体, 解决数学问题是发
展思维能力的途径, 教师在数学教学中, 要善于创设适当的问题情境, 通过解决问题, 培养学生的思维能力, 发展分析和解决问题的能力, 提高数学表达和交流的能力。在教学中也要培养学生的阅读理解能力, 从而逐步形成独立获取数学知识的能力。以上各种数学能力的培养, 都是以培养思维能力为基础的。要让学生了解数学概念产生的历史背景, 学习数学家的创新精神, 领悟数学文明的深刻内涵。通过各章节教学内容, 揭示数学与日常生活的联系, 让学生体会数学的实用价值, 逐渐形成正确的数学观。《标准》把培养学生的数学应用意识作为数学教学的主要目标, 因而应该贯彻落实到数学教学全过程中。《标准》规定在高中数学教学中应普遍开展“数学建模”、“实习作业”等活动, 要切实予以实施。一些教师怕时间不够, 用自己的讲解代替学生的实践和建模活动, 这就剥夺了学生的实践机会, 不利于学生数学应用意识的形成。教学中应鼓励学生运用所学的数学知识解决日常生活中与数学相关的问题。
【关键词】数学；教学；魅力
《观察物体》是人教版《义务教育课程标准实验教材·数学（五年级上册）》第三单元的内容。它是学习空间与图形知识的必要基础，对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想象能力有着十分重要的作用。教材是从学生已有生活经验出发，在学生已初步学习了观察物体的各个面形状的基础上，借助于实际操作活动进行教学的。
本课的教学目标是：使学生经历观察的过程，让学生认识到从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的；能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的物体的形状；在观察活动中，积累数学活动的经验，借助实践操作，发展学生的空间观念。联系生活实际，使学生体会到数学知识来源于生活，并广泛运用于生活；帮助学生树立从小仔细观察事物，认真思考的好习惯。
从学生已获得的生活经验看，在他们的环境中，除了看不见的空气，不定型的水之外，绝大部分东西都有形状，只是有的形状简单，有的形状复杂。孩子在很小的时候就开始接触各种形状，置身于三维世界之中，具有较多的关于形状的感知方面的早期经验。上小学后，随着思维能力的提高，他们渐渐地将这种感性经验发展为抽象的概念，逐步获得了简单的几何形体的概念。
当前数学课程改革的一个重要理念是数学教学要重视知识形成的过程。新课标强调：要让学生亲身经历、自行探究、调动多种感官参与教学过程，培养学生的观察、思考、协作能力。因此根据新课程理念，考虑学生已有的知识、生活经验和认知特点，结合教材内容，我采用的如下教学方法是比较有效的。
1.在情景中学习
兴趣是学生积极获取知识，形成能力的重要动力，它总是在一定的情境中产生的。因此，在本课的教学中，我尊重教材的编排，以学生已有的生活经验为出发点，为学生提供了一个推理的故事情景，隆重推出学生喜欢的人物“柯南”，让学生参与到柯南的侦探活动中去，在柯南的侦探活动中观察人与物、物与物之间的位置关系，丰富课堂教学中的现实内容，让学生身临其境地学习，体会数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，加深了学生的印象。让学生感觉到“数学就在身边”。有效地促进了学生思维能力以及其他品质的协调发展。
2.在探究中发现
本节课的探究活动是在教师的启发下，以学生独立学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，把自己所学知识应用于解决实际问题的过程。教学围绕“观察——猜想——推理——验证”的主线进行学习。注重为学生营造探究的氛围，通过两个推理情节和两个活动的设计，力图让所有学生都能积极参与数学活动，在观察、猜想、推理、验证中，根据自己的经验，感悟到站在不同的角度观察物体，所看到的形状是怎么不一样，从而推理得出所处位置能看到的正确画面。这样的活动让学生充分感受到自己不仅是知识的接受者，更是知识的创造者。学生乐学、愿学，使枯燥的数学变成了有趣的活动，在这个充满体验和自主探究的过程中，他们逐步学会了用数学方法解决生活中的简单问题的方法，习惯于睁大眼睛去发现，用心去探索。
3.在实践中感悟
现代教育心理学认为：儿童思维的发展是从具体形象思维向抽象思维过渡的。他们需要各种活动来学习数学知识，发展自己的智慧。因此，这节课的验证环节中我设计了拍一拍、画一画等活动，让学生在活动中感受局部和整体的关系，亲身体验从不同的位置观察到物体的面是不同的。在拍一拍活动中，组织学生借助相机，亲自拍照观察物体。孩子们怀着极大的兴趣，观察得非常仔细。有的孩子从远近、正方位、偏离正方位的位置去观察物体，拍摄到了从不同角度观察物体的多个画面，亲自体验了“最多只能看到物体的三个面，至少也能看到物体的一个面”，对于“不同的位置观察到物体的形状是不一样的”有了极为深刻的印象，这是自己实践得到的知识，比老师生硬的讲解效果明显的多。更为重要的是他们不仅获取了知识，更获得了学习的快乐，还在实践中有了自己的感悟。实践活动有助于学生更好地理解和运用知识。
在本课教学中，学生的主体意识得到了充分的张扬，创新的思维火花、热烈的气氛都有利于学生全面和谐的发展。学生们亲身经历学习过程，感悟到了数学的魅力和乐趣。 【参考文献】
[1]徐峥.让学生感悟数学的魅力[J].数学大世界（教师适用），2011，12：63.
[2]林华.让学生多方位感受数学的魅力[J].福建基础教育研究，2011，12：83-84.
[3]谭利君.亲身体验感悟数学[J].湖南教育（数学教师），2009，11：35.
1、通过丰富的教学活动来感悟“算理”掌握算法
“算理”，顾名思义是指计算的方法与原理。在教学中老师们普遍认为，让学生理解“算理”比较复杂，意义不大，所以有的教师干脆直接告诉学生“怎么算”，省去理解“算理”的教学环节。其实，“感悟算理和掌握算法是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖以成立的数学原理。”计算教学的关键是要正确处理好算理和算法的关系。如果教师在教学时，忽略引导学生对算理的教学，这种急功近利的教法，不但违反了《数学课程标准》的精神，而且学生失去了独立思考与深层感悟的机会，长远甚至影响学生计算能力的提高。
我们必须清楚知道，“算理”是学生走向“算法”的桥梁，是学生学习“算法”的知识基础，而“算法”是学生学习的中心任务。单是强调“算理”，能理解了新问题，但无法实现计算方法上质的飞跃；单是强调“算法”，“知其然，必须知其所以然”，犹如建立在空中的`楼阁，很难稳固。因此，“在教学中，要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、小组合作交流等丰富的活动，感受数的意义，体会数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感……”这是计算课需要解决的主要问题。
2、通过自主探究经历过程来感悟“算理”掌握算法
任何新事物的认识，都是由旧引新的过程，数学的特点犹为突出，算理可以说是学生已有的“旧知”，在计算教学中某些知识和技能是可以通过学生自已探究领悟、自己交流归纳算理、感悟算理、总结计算方法。因此，教师必须对学生的知识、能力作全面的了解，要对教材内容作细致的分析，把握教学的探究点，找准时机，巧设新旧知识的矛盾冲突，引导学生走进问题情境，让学生在参与中找出新旧知识的连接点，感悟出数理，探究出计算的新方法。如在教学“两位数乘两位数”时，教师在引导“14×12”的竖式计算时，教学中教师充分抓住竖式中“14”的转接理解，把学生带入探究活动中。有学生说：“因为12中的1是表示10，1×4实质是表示10×14等于140，”有学生说：“14后面还有一个隐形的零。”本课是“两位数乘一位数”向“两位数乘两位数”新旧知识跨越，也是小学生学习计算的重要转折点，如果教师找准了这一关键的连接点，学习效果自然事半功倍。只有根据学生已有的“旧知”，并与抽象的竖式计算建立起联系，从而让学生经历竖式的形成过程，清晰理解竖式的算理，才能真正掌握竖式计算的方法。
3、通过新旧知识迁移，让课堂现场“生成”算法
“数学方法是数学的本质。(数学家哈登伯格名言)”传统计算教学，是教师引着学生走，学生依照例题的方法去理解、模仿、熟练，而不是学生探究、发现、“生成”出数学方法来，这是“新”课程与“旧”课程的教学思想上的本质区别。因此，在教学过程中，老师必须重视处理好“教师预设”与“课堂生成”这组相对的辩证关系，要培养学生分析问题、思考问题的方法，重视引导学生发现真理和寻找真理。如以上的“两位数乘两位数”一课，引导学生动脑思考，学生会想出“10+2=12，14×10=140，14×2=28”的方法，只要把它们竖式联系起来，学生就会悟出“两位数乘两位数”竖式计算方法应注意问题。“生成”与“预设”是相对的，课堂教学是一个师生、生生之间互相合作、交流、思维碰撞的动态过程，在这种动态的过程中，往往会生成一些超出教师预设之外的新问题、新情况。教师的预设越有效，课堂的动态生成就越丰富。如果教师能善于抓住这些生成点，让学生充分地去探究和交流，就有利于学生计算能力的培养和思维能力的提高。
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