指数函数(一)解读

指数函数(一)解读（精选8篇）

指数函数(一)解读篇1

（一）教案

三原南郊中学柏涛

教学目标：

知识与技能：

理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。过程与方法：

(1).体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力。

(2).从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质。

情感、态度与价值观：

(1).体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣。

(2).让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣。

教学重点：指数函数的图像和性质。教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。

教学过程：

（一）、概念引入：

1.某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的1，设该物质的2初始质量为1，经过x年后的剩余质量为y，你能写出x,y之间的函数关系式吗？ 1.y2x(xN)

2.y()(xN)

上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，12x 1 我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。

一般地，函数yax(a0且a1叫做指数函数，其中xR。）结合指数的运算，引导学生分析为什么规定a0且a1，加深学生对概念的理解。你能举出指数函数的例子吗？

练习1：判断下列函数是否为指数函数。（1）y3x

（2）yx

2（3）y3x2

（4）y(2)x

（二）、通过图像探究指数函数的性质及其简单应用：

x（1）用描点法作y2与 y()的图像，并观察图像之间的关系：图像关于y轴对称。

12x你能通过作图的过程解释这是为什么吗？（利用多媒体直观演示y3与y()之间的关系）。

x13x1xa1x1x（2）观察y2x、y3x、y()、y()的图像在平面直角坐标系中的分布有什么

23结论：ya与y()(a0且a1)图像关于y轴对称。x共同点？

图像都位于x轴上方，即函数值都大于零。你能结合指数的运算说明这一特点吗？结论：指数函数的值域为(0,)。

（3）函数图像经过的特殊点也是我们研究函数性质的一个重要方面，指数函数图像有这样的点吗？

结论：指数函数图像恒过(0,1)点，即x0时,y1。

（4）观察图像当自变量x从小到大变化时，图像的变化趋势有什么不同？结论：a1时，ya为R上的增函数；0a1时，ya为R上的减函数。xx函数单调性的一个重要应用就是可以通过自变量的大小来比较函数函数值的大小。比如：试比较2与2的大小。

你还能结合指数函数的单调性举出一个比较两个指数式大小的例子吗？（5）观察y2与y3的函数图像，当底数变大时，函数图像如何变化？ xx0.71.91x1x23x结论：ya 当a1时，a越大，图像越靠近y轴；

那么y()与y()当底数变化时，函数图像又如何变化呢？

yax 当0a1时，a越小，图像越靠近y轴。如右图，做一条直线x1.6分别与y3x、y2x图像交与A、B两点，则A(1.3,31.6)、B(1.3,21.6)，结合图像很容易发现：21.631.6。

你还能举出一个这样的例子吗？

那么两个指数函数的函数值相等时，自变量大小又该如何比较？

如：若235.7，试比较m、n的大小。若23，试比较m、n的大小。你还能举出这样的例子吗？

（6）观察y

2、y3的图像与直线y1有什么关系呢？ xxmnmny轴右侧的图像在直线y1的上方，y轴左侧的图像在直线y1的下方。

x结论：ya(a1)

当x0时，y1；当x0时，0y1。

1x1x23结论：yax(0a1)

当x0时，0y1；当x0时，y1。

11.50.3试用上述性质比较3与()的大小。

2你还能举出这样的例子吗？（7）、指数函数性质归纳小结：

（三）、课堂小结：由y()、y()的图像与直线y1的关系你又能得出什么结论呢？

（1）、理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质比

较大小。

（2）、研究函数的一般方法：解析式图像

性质。

（2）、体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，以及数形结合、分类讨论的数学思想。

（四）、布置作业：（1）、课本P77第3、4题。

（2）、搜集指数函数在实际生活中的应用实例。

指数函数

（一）教案说明

三原南郊中学

柏涛

一、授课内容的数学本质及教学目标定位：

《指数函数》是北师大版高中数学必修（Ⅰ）第三章第三节，本节课所体现出来的数学本质主要有以下三个方面：

一是对指数函数性质的研究，都从具体的、特殊的问题入手，引导学生观察、猜想、归纳、概括得出一般性的结论，再用一般性的结论去研究具体的问题。体现出了由特殊到一般再到特殊的研究问题的方法。

二是本节课在由具体的指数函数图像归纳指数函数性质的过程中，始终注意了“数”和“形”两方面的结合，充分体现了数形结合的思想方法。

三是对指数函数部分性质的归纳（如：单调性）及应用（已知函数值相等，比较自变量的大小）中，采用了分类讨论的思想方法。

通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图像的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想。另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会。

鉴于学生已有的知识基础的认知能力，结合高中数学《新课程标准》确定本节课的教学目标如下：知识与技能：

(1).体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力。

(2).从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质。

情感、态度与价值观：

(2).让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣。函数的图像和性质是我们应用函数解决问题的一个重要依据，因此，我们在研究函数时，图像和性质也就自然成为研究、讨论的重点，另外，本节课所体现出来的数学思想方法也都渗透在对指数函数的图像和性质的探究过程中，所以将本节课的教学重点确定为：指数函数的图像和性质。

受函数定义的影响，学生在研究函数时往往习惯于去关注当自变量变化时，函数值的变化情况，而当指数函数的底数a变化时，自变量x也在变化，变量由一个变成了两个，由一维升到了二维，从解析式来看，学生不易理解当底数变化时图像的变化规律，所以本节课的教学难点为：指数函数的底数a对图像的影响。为了突破这一难点，可引导学生结合具体的指数函数图像观察当底数变化时图像的变化规律，直观的理解指数函数的底数变化时函数图像的变化规律。并通过比较指数相同时函数值的大小及函数值相等时自变量的大小来加深学生对这一规律的理解。

二、学习本内容的知识基础及该内容的地位作用：

本节内容编排在正整数指数函数、指数的扩充和运算性质之后，通过本节课的学习，既可以对指数函数的相关知识进一步巩固、深化，又可以为后面学习对数函数，尤其是利用互为反函数的图像间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图像基础，更重要的是在于指数函数是进入高中以后学生遇到的第一个系统研究的函数，通过指数函数的研究，要教给学生研究函数的一般方法：解析式

图像

性质，所以指数函数不仅是函数部分的重点内容，也是高中学段的重点研究内容之一，有着不可替代的重要作用。此外，指数函数与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

三、教学诊断分析：

本节内容编排在指数的运算性质之后，学生已能够熟练进行指数的相关计算，有利于从“数”的角度去解释、理解“形”，便于本节课的教学。但一方面学生在学习中对指数函数的形式认识不准，认为只要自变量在指数位置便是指数函数，需要结合具体例子加以分析强调，另一方面底数a对指数函数图像的影响学生不易理解，需结合具体指数函数的图象去观察，帮助学生直观的理解指数函数底数变化时图像的变化规律。

四、教法特点与预期效果分析：

我以建构主义理论为指导，采用以学生的探索研究为主的启发式教学，并注意加强师生的讨论和交流。在课堂结构上，根据学生的认知水平，我设计了：（1）提出问题——引入概念（2）数形结合——感悟规律（3）课堂小结——提高认识，三个层次的教法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。本节课的教法特点主要体现在以下三方面：

（１）问题设置展示了知识的发展、形成过程并遵循学生的认知规律：从实际问题得出指数函数的概念；对指数函数性质的研究从易到难，逐步深入；而对每个性质的研究采用从特殊到一般再到特殊的方法，先引导学生结合具体的指数函数图像归纳出指数函数图像和一般性质，再应用性质去解决具体的问题（比较两个数的大小）。

（２）能够充分利用多媒体进行直观演示，加深学生对知识的理解，同时又教会学生从“数”和“形”两方面去认识、理解、解决相关的数学问题。

（３）充分调动学生学习的积极性：从简单问题的解决到一般结论的得出，都尽可能由学生给出，教师只是给予必要的补充和强调。

结合学生的具体情况和本节课的教学设计，预计通过本节课的教学，至少百分之九十五以上的学生都能够理解指数函数的概念和性质，但要能够灵活应用其性质比较两个数的大小，由于知识基础和理解能力的差异，可能会有一部分学生还做不到，需要进一步指导并加强练习。

指数函数(一)解读篇2

对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力, 体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。

考查的知识点有三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、图象对称性, 二倍角公式, 两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 三角函数的值域 (包括最值) 。

解题原则:注重通性通法, 淡化特殊技巧。

一、基本性质考查

三角函数的基本性质主要有最小正周期、奇偶性、单调性、图象对称性。

(1) 对于周期可以从以下两个方面考虑: (a) 形如f (x) =Asin (ωx+准) (ω>0) , 。 (b) 依据f (x+T) =f (x) 检验。

(2) 对于对称性, 已知x=b对称轴方程, 通常把x=b代入, 得或由f (b+x) =f (b-x) 解题, 若求对称轴方程, 通常令解出x即为对称轴方程;若图象关于点 (b, 0) 对称, 通常利用f (b+x) =-f (b-x) 或f (b) =0解题。

(3) 对于奇偶性与单调性只需用定义解题即可。

二、常用公式考查

三角常用公式有诱导公式及Sα±β, Cα±β, S2α, Tα±β, T2α。主要应用这些公式进行三角恒等变换。

三、三角函数综合应用

三角函数基本应用主要在解三角形中的应用及实际应用, 而实际应用题最终转化为解三角形, 三角形中的三角函数问题一直处于中档题, 只要将三角形中的特殊条件梳理清楚, 选用正弦定理或余弦定理, 问题基本就能顺利解决。

三角函数通常与数列、不等式等知识点的综合题往往有一定的难度。

范例分析:

例1:的最小正周期为π/5, 其中ω>0, 则ω=______。

例2:已知函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) 图象的一条对称轴是直线, 求φ。

解法一:∵是函数y=f (x) 的图象的对称轴,

解法二:函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) 图象的一条对称轴是直线,

解法三:由对称轴知, 。

简评:本题主要考查三角函数性质及图象的基本知识, 考查推理和运算能力。

例3:已知, 求函数f (x) 的最小正周期和图象的对称轴方程。

简评:本题考查了诱导公式, 二倍角公式, 两角和与差的正弦、余弦公式, 最小正周期及对称轴等知识点。解题过程是先进行三角恒等变形, 再求三角函数的图象的周期与对称轴。它属于常规题。

例4:在△ABC中, a、b、c分别为角A、B、C所对的边长, , 求A、B及b、c。

简析:本题先在三角形的条件下进行三角恒等变形, 用到切化弦、二倍角的正弦及两角和的正弦公式, 再由正弦定理解得b、c, 是一道中档题。

例5: (2008.湖南) 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域, 点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ (其中) 且与点A相距海里的位置C。

(I) 求该船的行驶速度 (单位:海里/时) ;

(II) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由。

(Ⅱ) 略

简析:本题考查应用所学知识解决实际问题的能力, 解题的关键在于建立适当的直角坐标系, 计算船的行驶速度用余弦定理即可解决。

例6:△ABC的面积为1, , tan C=-2, 求△ABC的三边及△ABC外接圆的直径。

简析:本题是解斜三角形, 在三角恒等变形中用到了同角三角基本关系及诱导公式, 解三角形中用到正弦定理, 属中档题。

反比例函数考点解读篇3

1. 反比例函数的图像的形状和反比例函数的性质

①反比例函数的图像是关于原点对称的两支双曲线；②当k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、第三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、第四象限内，在每一象限内，y随

这里应特别注意，反比例函数的性质中的“在每一象限内”这几个关键性的字眼不可丢掉。因为如当k＞0时，整个图像并非y随x的增大而减小；只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小。

≠0）图像上的一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝x·y=xy=k，因此，k的几何意义是：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k。比如，点P（x，反比例函数的概念、图像及其性质是中考的必考内容，而用待定系数法求函数解析式、已知图像求参数的值或取值范围以及与其他函数结合的综合型问题是中考常考题型。现以近年的中考题为例，对本章的考点归纳如下。

二、考点分析

考点1考查反比例函数的概念

该考点主要涉及反比例函数的定义和一般形式，同学们应理解反比例函数的定义，熟记反比例函数的表达式及其取值范围。

为D，求直线、双曲线的解析式。

考点2考查反比例函数的解析式

该考点主要涉及用待定系数法求反比例函数解析式。复习时，应理解并熟记用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设所求的函数一般式；（2）根据题意列出方程或方程组并求解，求出待定的系数；（3）写出所求的函数关系式。

例2如图3所示，点P为反比例函数图像在第二象限内的一点，且长方形PEOF的面积为3，则该函数的解析式为。

∴k＝3，则k＝±3，由于该函数的图像分布在第二、四象限，故k＜0，

∴ k＝－3。

考点3考查反比例函数的图像性质

该考点主要涉及反比例函数的增减性、字母的取值范围和图像分布等，复习时，应结合反比例函数图像分布与增减性，从“数（k的符号）形（函数图像）结合思想”的角度加以分析理解。

半轴上，没有适合的。故答案应选C。

考点4考查反比例函数的应用

该考点主要涉及反比例函数生产、生活实际应用问题等，复习时，应把握解应用性问题的关键是如何运用数学建模思想把实际问题转化为数学问题，如果能够成功地将实际问题转化为数学问题，将使问题化难为易，迅速求解。

例4某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图5表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为()。

点评解答本题的关键是要学会从图像中找到所需要的条件，即从图像上的某一点作为切入点。

考点5考查比例系数k的几何意义

例5如图6，点P在反比例函数的图像上，过P点作PA⊥x轴于A点，作PB⊥y轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为。

可获解。

因为点P在反比例函数的图像上，且矩形OAPB的面积为9，所以k＝xy＝9。

案选D。

考点6考查反比例函数的综合利用

（1）求k和b的值；（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB∶OM的值。

解析以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图像上）求解相应问题。

2函数极限的性质解读篇4

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若极限证

设与、都是

当

存在，则此极限是唯一的。

时的极限，则对任给的，分别存在正数，使得当

时有

（1）

当时有

（2）

取，则当时，（1）式与(2)式同时成立，故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若极限内有界。

存在，则在某空心邻域证

设。取，则存在，使得对一切。

有

这就证明了在内有界。

定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切

有

（或），则对任何正数

（或证设有，这就证得结论。对于，对任何，取，则存在）。，使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5（保不等式性）设内有，则

与都存在，且在某邻域。

（3）

证设，使得当，时，则对任给的，分别存在正数与

（4）

当

时有

（5）

令，则当

时，不等式

与（4）,（5）式同时成立，于是有式成立。，从而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有

（6）

则。

证按假设，对任给的时

（7），分别存在正数

与，使得当当时有

（8）

令，则当

时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限数，当

与

都存在，则函时极限也存在，且

1）=

2）=

又若，则当时极限也存在，且有

3）

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解由第一章§3习题13，当时有，而，故由迫敛性得

。另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。

综上，我们求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

例3 求

解当时有。故所求极限等于。

例4

证明

证

任给（不妨设），为使

（9）

即，利用对数函数

（当

时）的严格增性，只要

任意角三角函数的概念解读篇5

陶维林（江苏南京师范大学附属中学）一．内容和内容解析

三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．

角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．

比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便．

从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念．

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．

任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．

在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析

本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值

扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．

要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程．让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸．反过来，既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系．让学生参与定义，可以感受到这样定义的合理性，感受到这个定义是自然的．三．教学问题诊断分析

从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．

学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难．可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，点．

四．教学支持条件分析

利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．五．教学过程设计 1．理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．

问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值．）内的角，以便分散这个难问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫．

问题3 锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．

锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可以一一对应，所以，α是（0，）上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数．

问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．

三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来． 2．任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．

问题5 现在，角的范围扩大了．在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境下，你认为，对于任意角α，sinα，cosα，tanα怎样来定义好呢？

意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然．把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．

有两种可能的回答．

可能一：在α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）．

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）

问题6（1）求下列三角函数值：

问题6（2）说出几个使得cosα＝1的α的值．意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．

问题6（3）指出下列函数值：

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）问题6（4）

①确定下列三角函数的符号：

②θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？

③角α的哪些三角函数值在第二、三象限都是负数？为什么？ ④tanα在哪些象限中取正数？为什么？意图：认识三角函数在各象限中的符号．

问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？

意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．

教师板书学生获得的成果、感受． 4．任意角三角函数的定义域

问题8 α是任意角，作为函数的sinα，cosα，tanα，它们的定义域分别是什么？

意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．

建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sinα，cosα的定义域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定义域是

仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域． 5．练习

（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

（2）求下列三角函数值：

6．小结

问题9 下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？

意图：通过问题小结．不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值．

若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等．六．目标检测设计

（1），写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tanα的值．

（2）求下列三角函数的值：

（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是1/2，说出几个满足条件的角α．

（4）点P（3，－4）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

指数函数(一)解读篇6

针对 2015年对多元函数微分学的考察方式,结合 2016大纲,同学们在 2016年考研备考中应该注意下面问题

1.结合大纲:深刻理解概念

深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地方。那么,在多元函数微分学的知识体系中,最重要的就是对基本概念的理解。也就是要理解多元函数的极限,连续,可导与可微。重点是可导的概念。我以二元函数为例。二元函数有两个变量, 那么可导就是说的偏导数。至于可微的思想可以直接平移一元的。虽然有些变化,但是基本的形式是一样的。最后,三者关系。这是相当重要的一个点。具体来说,可微可以推出可导和连续, 而反之不成立。希望大家不仅要记住结论, 还要知道为什么是这样的关系。大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。在大家深刻理解了这些概念后,后面的内容就偏向计算了。

2.深挖大纲:培养计算能力

这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计算;方向导数与梯度;二元函数极值(无条件与条件。其实考查计算对大家来说是最容易的考法。因为大家只要懂方法就够了,不用理解方法怎么来的。具体来说,计算偏导数,特别是高阶偏导数, 大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。至于计算方向导数与梯度,大家就需要知道它的含义, 然后记住两个公式就行了。最后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值, 大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。所以, 这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法,然后多做练习就够了。

总之, 通过 2016年考研数学大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这两个步骤能够学习好多元函数微分学,为以后的高等数学的复习打好基础!(2 2016考研大纲解析之单调性

针对 2015年对单调性应用的考查方式,结合 2016年考纲,同学们考研备考中应该注意下面问题

一.注意考纲要求

2016年的考纲在单调性应用方面没有太大变化。考试对数学一,数学二,数学三的要求大致相同。考试都要求用导数来判断函数的单调性问题。但是通过对历年考题分析, 我发现单调性应用的真正隐含难点在于利用单调性解决不等式的证明和方程根个数问题。希望引起同学们的注意。

二.注意考纲的题型分析

通过对往年真题的分析, 我发现有关单调性的应用是每年必考的一个考点。题型往往具有灵活性,选择,填空,大题都有出现。

三.深挖考纲的复习方法

首先, 这部分内容容易引起一些同学的轻视。因为一提到单调性, 同学们都觉得很简单。其实不然。我前面提到了, 虽然考纲没说, 但是单调性真正的难点是不等式的证明和方程根个数判断。然后, 怎么复习不等式证明和方程根个数问题呢?我认为同学们应该知道单调性是基本方法。接着要知道不等式证明要会构造辅助函数, 方程根问题应该和零点问题联系起来。最后,同学们要通过多做题来熟练知识点。

总之,同学们根据 2016年数学考试大纲的分析来挖掘出单调性应用的真正重难点,即不等式的证明和方程根个数问题。同学们还要明确解题的基本思路,多做练习, 多总结。祝大家马到成功。

(3 2016年大纲解析之多元积分

在 2015年的考研数学一中, 大题 19题考查了空间第二型曲线积分问题, 并且用参数方程的方法可能更加简单一点。本来第二型曲线积分一般转化为第二型曲面积分来解决。针对 2016年考纲,同学们在 2016年考研备考中应该注意下面问题

一.注意考纲的要求

2016年的考纲对多元积分的要求没有太大变化。多元积分部分只对数学一有要求。而这部分对数学一要求也相当高。考纲要求理解和掌握三重积分, 曲线, 曲面积分的各种计算方法。大家重点还是要关注格林公式, 高斯公式, 积分与路径无关。但是三重积分的计算方法也一定要熟练。同时,物理应用(质量,质心,形心也要清楚原理。

二.注意考纲的题型分析

结合考纲, 我们发现有关多元函数积分计算是每年的必考题。题型一般都是以大题为主。是学生失分的重要领域。希望引起学生注意。

三.考纲要求的复习方法

首先, 同学们还要清楚多元函数积分学所包含的内容以及三重积分, 曲线, 曲面积分所表示的物理意义。然后,同学们应该透过历年真题来把握出题的重点。总体来说,格林公式,高斯公式, 积分与路径无关是考查的重点。因为格林公式与二重积分联系, 高斯公式与三重积分联系,它们考查的都是复合的知识点;而积分与路径无关往往与微分方程联系。最后,同学们也要注意一些冷的考法。即单纯考三重积分或者考查斯托克斯公式。单独考的时候, 题目一般比较难,所以希望同学们可以找相应的题目练习下。

总之, 通过 2016年考研大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这三个步骤能够学习好多元函数积分学,为以后的高等数学的复习打好基础!(4 2016年大纲解析之微分方程复习

在 2015年的考研数学中,数学三 12题考查的是二阶常系数微分方程, 18题考查的是变量可分离微分方程。数学二中, 12题考查的是二阶常系数微分方程, 20题考查的是一阶线性微分方程。所以通过对 2015年的分析,我们发现微分方程一般不会单独出题,这个知识点只会融入到其他知识点的考核中。

结合考纲,同学们在 2016年考研备考中应该注意下面问题 1.微分方程的学习技巧

大家在学习这章的时候, 首先把导数中的基本求导公式以及常见函数的导数记牢。然后把不定积分中的基本积分公式和积分方法要掌握。最后, 回到微分方程中, 大家要注意这章那些该学以及学到什么程度。同时大家要清楚自己考的是数几。数一, 数二, 数三对这部分的要求以及考的程度是不一样的。所以请大家还是要回归到考试大纲,认真看下考纲的要求。

2.明晰微分方程的知识体系

首先, 大家要清楚基础阶段和强化阶段要复习的内容。在基础阶段, 大家只需要知道微分方程的定义, 性质,了解微分方程的分类以及掌握每种微分方程的解法。在强化阶段,大家就需要综合应用了。比如微分方程与级数的结合, 微分方程在物理和几何方面的应用。然后,大家要自己总结知识体系。考研中, 微分方程不会都考, 只会考查考纲中列出的几种类型。大家也只用掌握这几种类型就够了。总之,不管是一阶微分方程还是二阶微分方程,从本质上说大家只要掌握微分方程的类型是什么以及怎么求就够了。

3.习题总结

在大家知道了知识体系以及怎么学习后,现在就是多做习题。这一章其实对理论要求很少,重点在计算。所以大家的重点就是用习题来熟练要考的微分方程类型。每一类做 10道题目,然后总结下做题体会, 这样该类方程的解法也就清楚了, 所以根本就不用记, 熟练后自然就记住了。

总之, 通过 2016年考研大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这两个个步骤能够学习好微分方程,为以后的高等数学的复习打好基础!(5 2016年数学大纲解析之导数

2015年的考研数学中,数学三选择题第二题考查的是拐点,填空题十二题考查的是极值, 十一题考查的是全微分,十七题考查的是经济学应用。所以说导数是 2015年数学三考查的重点。

针对 2015年对导数的考查方式,结合 2016年考纲,同学们备考中应该注意下面问题

1.考纲要求:狠抓基础概念

我强调狠抓基础概念是出于两个方面的考虑。第一:导数这章内容相对比较简单。比如求导公式, 大家在高中就接触过。第二:考研中考得最多的就是对导数概念的理解以及对导数应用中极值概念的理解。从这些概念本身来看,相对来说比较简单,但是考法却是比较深入。假如很多同学仅仅是知其然而不知其所以然, 那么做题是很容易出错的。所以, 我希望同学们要加深对本章概念的理解,千万不要一知半解就开始盲目的做题。

2.考纲点出:明晰考查的重点