长沙中考压轴题
[提出问题]
该淡黄色固体的化学成分是什么？
[查阅资料]
（1）硫单质是一种淡黄色固体，难溶于水，在空气中点燃硫单质，生成一种无色、有刺激性气味的气体。
（2）过氧化钠（Na2O2）是一种淡黄色固体，能与水反应，生成气体并放出大量的热。
[设计实验方案]
方案一：取少量该固体粉末于试管中，加
2mL
水，振荡并观察现象。方案二：在燃烧匙里放少量该固体，在酒精灯上加热，观察现象。
比较以上两方案，你认为的最佳方案是，理由是（从环保、操作等角度分析）。
[实验验证并得出结论]
小明向盛有少量该固体的试管中加入
2mL
水，立刻观察到有无色气泡产生，并且验证出该反应同时生成了氢氧化钠（NaOH）。通过实验验证，确定该淡黄色粉末为过氧化钠。
小明想对生成的气体成分判断，他提出了以下两种假设：
①该气体是
CO
②该气体是
O2
你
认
为
上
述
假
设
哪
个
更
合理？
并
说
明
选
择的理由。
请设计一个实验，验证你的合理假设（写出简要操作步骤、实验现象和结论）。
操作步骤
实验现象
结论
操作步骤
实验现象
结论
取少量固体粉末于试管中，向试管中加入
2mL
水，将带火星的木条伸入试管中
有气泡，木条复燃
该气体为氧气
2．为进一步研究高锰酸钾的分解产物，某兴趣小组同学查阅资料，并取一定质量的高锰酸钾加热使之完全分解，然后分别进行了以下三个实验。
【实验内容】：
编
号
实验内容
实验现象
实验结论
取反应后固体剩余物0.2g
加入5mL
6%的H2O2
溶液中
剧烈反应，放出大量热量，产生大量气体
固体剩余物中的MnO2
对
H2O2
分解有催化作
用
取
0.2gMnO2
加
入
5mL
a
（H2O2
溶液的质量分数）的H2O2
溶液中
平稳反应，放出热量，持续产生气体
MnO2
对
H2O2
分解有催化作用
取反应后固体剩余物1.0g
加入足量水中，充分溶解，过滤
固体完全溶解，滤纸上无黑色固体
残余物
固体剩余物中无
b
【实验分析】
（1）完成上表中的填空内容：a、b；
（2）实验
2的目的是；
（3）同学们经过讨论，认为实验
1的结论不正确，理由是；
【查阅资料】
Ⅰ、KMnO4
受热分解时，在某条件下可能发生以下两个反应：
①6KMnO4
2K2MnO4+K2Mn4O8+4O2↑
②KMnO4
KMnO2+O2↑
Ⅱ、相对分子质量：（KMnO4：158
O2：32）
（4）16gKMnO4
中氧元素的质量为
；加热使之完全分解，若完全发生反应①，生成O2的质量为
；若同时发生反应①②，生成O2的质量范围是。
（保留二位小数。提示：依据质量守恒定律观察）
①a：6%
b：KMnO4
分解后的产物中没有
MnO2
②和实验
进行对比，确定
MnO2的催化作用
③可能是分解后产物中其他物质起催化作用
③6.48g
2.16g
2.16g～3.24g
3．张丽同学欲通过实验证明“二氧化锰是过氧化氢分解的催化剂”这一命题。她设计并完成了下表所示的探究实验：
实验操作
实
验
现象
实验结论或总结
结论
总结
实一
验
取
5mL5%的过氧化氢溶液于试管中，伸入带火星的木条
有
气
泡产生，木条
不
复燃
过氧化氢分解产生氧气，但反应速率。
反应的化学方程式为：。
二
氧
化锰
是
过
实二
验
向盛水的试管中加入二
氧化锰，伸入带火星的木条
没
有
明显现象
氧
化
氢
分
解的催化剂
实三
验
二氧化锰能加快过氧化氢的分解
请你帮张丽同学填写上表中未填完的空格。
（1）在张丽的探究实验中，“实验一”和“实验二”起的作用是。
（2）小英同学认为仅由上述实验还不能完全得出表内的“总结”，她补充设计了两个方面的探究实验，最终完成了对“命题”的实验证明。
第一方面的实验操作中包含了两次称量，其目的是：；
第二方面的实验是利用“实验三”反应后试管内的剩余物继续实验。接下来的实验操作是：。
实验步骤和方法
实验现象
实验结论
实验一：取一小段光亮铜片，放
推
知
入试管内，然后用试管夹夹持试
铜片变黑
（填甲、乙、丙）的错
管，放在酒精灯的外焰部位加热。
误。说明黑色物质的出
现
可能
与
空
气中的有关。
实验二：取一试管，将一小段光
取下胶塞前的现象：
亮铜片放入试管中，塞上胶塞，并用注射器抽出试管内的空气。取下胶塞后的现
乙的猜想正确
封好胶塞，并加热，趁热取下胶
象：
塞，观察现象。
实验操作
实验主要现象
①
取少量原料样品于试管中，加入一定量的水充分溶解
溶液变浑浊，且有明显放热
②
静置一段时间后，过滤，向滤液中加入过量的试剂
A
无明显变化
③
向白色固体中加入试剂
B，将产生的气体通入试剂
A
白色固体消失，有气泡产生，试剂
A
变浑浊
实验步骤
实验现象
实验结论
实验一
有少量气泡木条不复燃
常
温
下
过
氧
化
氢溶
液
分
解
速
率
很慢．
实验二
在装有过氧化氢溶液的试管中加入少量
Al2
O3，然后将带火星的木条伸入试管中
产生大量的气泡木条复燃
步骤③现象
步骤⑥结果
步骤⑦操作
结论，带火星的木条复燃
在过氧化氢溶液的分解反应中，氧化铜也能作催化剂
第一组
第二组
第三组
第四组
物质
MgSO4
Na2SO4
(NH4)2SO4
H2SO4
溶解度
35．1g
19．5g
75．4g
与水任意比互
溶
实验操作
实验现象
实验结论
①取该溶液少许于试管中，向其中滴加几滴
溶液
溶液中有白色沉淀生成猜想①成立
②用玻璃棒蘸取少许原溶液滴在pH
试纸上，并跟标准比色卡对照
溶液
pH
小于
猜想③成立
实验操作
实验现象
实验结论
取该溶液少许于试管中，猜想④成立，该反应的化学方程式为
实验步骤
实验现象和结论
实验操作
实验现象
实验结论
（1）取少量固体于试管中，加适量水振荡后静置，再滴几滴无色酚酞试液．
溶液变红
剩余固体成分中一定含有
．（填化学
式）
（2）
剩余固体成分中
一定含有碳酸钙．
实验步骤
预计现象
预计结论
取少量反应后的溶液于试管中，逐滴加入碳酸钠溶液。
猜想（B）正确
猜想（C）正确
实验操作
实验现象
实验结论
取适量该漂白液与烧杯中，该漂白液已完全失效
实验步骤
预期实验现象
实验目的或预期结论
步骤①；取少量该漂白液于试管中，加
入，静置，观
察
产生白色沉淀
目的：
步骤②：取上层清液于试管中，观察
结论：
猜想成立；否则，另一位同学猜想成立。
实验步骤
实验现象
实验结论
用洁净干燥的玻璃棒蘸取少量反应后的溶液滴在干
燥的pH
试纸上，观察颜色变化并与标准比色卡对比．
pH
（填“＞”、“=”或“＜”）7
猜想一不成立
实验步骤
实验现象
实验结论
操作步骤
实验现象
实验结论
分别用
A，B，C
三支试管取样，然后各加入适量碳酸钠溶液
A
中
B
中
C
中
A
中的物质是食盐水
B
中的物质是稀盐酸
C
中的物质是澄清石灰水
实验操作
实验现象
实验结论
取少量
M
溶液于试管中，向其
中滴加
猜想①正确，碳酸钠与其反应的化学
方程式为
实验步骤
实验现象
实验结论
取样于试管中，滴入几滴稀
盐酸
没有气体产生
“猜想一”不成立
实验操作
实验现象
实验结论
分别取少量滤液于
A、B
两支试管中，A
中加入
CaCI2
溶液，B
中加入
溶
液
若
A
中产生白色沉
淀，B
中没有沉淀
“猜想一”成立
一、 几何变换型
例1 (2009 北京) 如图, 正方形纸片ABCD的边长为1, M, N分别是AD, BC边上的点, 将纸片的一角沿过点B的直线折叠, 使点A落在MN上, 落点记为A′, 折痕交AD于点E。 若M, N分别是AD, BC边的中点, 则A′N=___ ; 若M, N分别是AD, BC边上距DC最近的n等分点 (n≥2, 且n为整数) , 则A′N =___ (用含有n的式子表示) 。
【解析】由题意得BN=, A′B=1; 由勾股定理得undefined, 当M, N分别是AD, BC边上的距DC最近的n等分点 (n≥2, 且n为整数) , 则undefined, 所以填undefined。
例2 (2009 上海市) 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=3, M为边BC上的点, 连接AM (如图所示) 如果将△ABM沿直线AM翻折后, 点B恰好落在边AC的中点处, 那么点M到AC的距离是___。
【解析】由图作ME⊥AC, 设将△ABM沿直线AM翻折后, 点B恰好落在边AC的中点D处, 因为在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, 所以ME//AB, 所以△CEM∽△CAB, ∠BAM=∠MAC=∠AME=45°, ME=AE, AC=2AD=AB=6 所以undefined, 解得ME=2, 所以点M到AC的距离是2。
二、 动手操作型
例3 (2009 天津市) 如图有一个边长为5的正方形纸片ABCD, 要将其剪拼成边长分别为a, b的两个小正方形, 使得a2+b2=52。
①a, b的值可以是___ (写出一组即可) ;
②请你设计一种具有一般性裁剪方法, 在图中画出裁剪线, 并拼接成两个小正方形, 同时说明该裁剪方法具有一般性;
【解析】①3, 4 (提示:答案不唯一) ;
②裁剪线及拼接方法如图所示:图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点 (点B, C除外) 。BE, CE的长分别为两个小正方形的边长。
例4 (2009 河南省) 动手操作:在矩形纸片ABCD中, AB=3, AD=5, 如图所示, 折叠纸片, 使点A落在BC边上的A′处, 折痕为PQ, 当点A′在BC边上移动时, 折痕的端点P, Q也随之移动。若限定点P, Q分别在AB, AD边上移动, 则点A′在BC边上可移动的最大距离为___。
【解析】通过动手操作可以知道, 当点P与点B重合时, 可计算出点A′距点B最大距离为3, 当点Q与点D重合时, 可以计算出点A′距点B最小距离为1, 所以点A′在BC边上可移动的最大距离为3-1=2。
三、极值型
例5 如图, 点A的坐标为 (-1, 0) , 点B在直线y=x上运动, 当线段AB最短时, 点B的坐标为undefined
【解析】因为点到直线的连线中, 垂线段最短, 故过A作AP⊥BP于点P, 则P点即为AB最短的B点, 可求得P的坐标为undefined。
例6 (2009 福州市) 如图undefined是以等边三角形ABC的一边AB为半径的四分之一圆周, P为undefined上任意一点, 若AC=5, 则四边形ACBP周长的最大值是 ( )
undefined
【解析】考查四边形周长的计算, 四边形ACBP周长的最大时, 即点P和点D重合时, 故应选C.
四、 跨学科型
例7 (2009上海市) 在△ABC中, AD是边BC上的中线, 设向量undefined, 如果用向量a, b表示向量undefined, 那么undefined。
【解析】 因为向量undefined, 根据平行四边形法则, 可得:undefined, 在△ABC中, AD是BC边上的中线, 所以undefined, 用向量a, b表示undefined, 那么undefined。
五、 多解型
例8 (2009哈尔滨市) 若正方形ABCD的边长为4, E为BC边上一点, BE=3, M为线段AE上一点, 射线BM交正方形的一边于点F, 且BF=AE, 则BM的长为___。
【解析】本题有较高难度, 分两种情况:以是当射线BM交正方形的边AD于F, 通过证明△ABE≌△BAF, 根据全等三角形的性质, 可以得出M是AE的中点, 所以BM=AE=, 二是当射线BM交正方形的边CD于点F时, 通过证明△ABE≌△BCF, 根据全等三角形性质, 可以得出△ABE∽△BME, 从而得出undefined, 解得undefined。
例9 (2009 贵阳) 已知直角三角形的两边长为3和4, 则第三边的长为 。
【解析】当以3, 4为直角边时, 这个三角形的斜边长为5, 当以4为直角三角形的斜边长时, 这个三角形的另一条直角边长为undefined。本题考查了利用勾股定理求解直角三角形的能力, 当已知条件中没有明确指出哪条边是斜边时, 一定要注意分情况讨论, 而我们的一些学生往往忽略这一点, 从而造成丢解。
六、 游戏型
例10 (2009 呼和浩特) 10个人围成一个圆圈做游戏, 游戏的规则是:每个人心里都想好一个数, 并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人, 然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来, 若报出来的数如图所示, 则报3的人心里想的数是____。
【解析】有题意知, 相邻两个人想好的数的和依次为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20, 第5个人比第1个人想的数多4, 第6个人比第2个人想的多4, 同理第9个人比第1个人想得多8, 第10个人比第2个人想的多8, 设第1个人想的数为a, 则第9个人为a+8, a+8+a=20, 解得a=6, 所以第3个人想的数为4-a=-2.
七、 函数几何综合型
例11 (2009福建福州) 已知A、B、C、D、E是反比例函数y= (x>0) 图像上的5个整数点 (横、纵坐标均为整数) , 分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段, 以垂线段所在的正方形顶点为圆心, 边长为半径作圆周的两条弧, 组成如右图所示的5个橄榄形 (阴影部分) , 则这5个橄榄形的面积总和是___ (用含的代数式表示) 。
如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5■），AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，设运动的时间为t秒.
（1）求∠BAO的度数.
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求点P的运动速度.
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）如果点P、Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有几个？请说明理由.
思路要点（1）由A、B两点的坐标特征，易联想到含特殊角的直角三角形，因此，作BE⊥OA，垂足为E，则AE＝AO－EO＝10-5＝5，又AB＝10，所以∠EBA
＝30°，从而∠BAO＝60°.也可用三角函数来直接求出∠BAO的度数，或由
Rt△ABC与Rt△BEA的对应边成比例，利用相似三角形来得到结果.可见本题不仅简单，而且解题思路很宽，每位考生都可以根据自己的情况选择解题的方法.
（2）这是一道图形信息题，由图1知点P从点A运动到点B的路程是10个单位，由图2知点P 从点A运动到点B的时间是5秒，故点P的运动速度为2个单位/秒.
（3）解决本题关键是求出二次函数的解析式，再利用配方法求出面积的最大值.主要方法有：
方法一：由图2知，抛物线经过点（0，10）和（5，30），再取t=2，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，此时AP=4 , AN=2 , PM=ON=8 , OQ=2+2×2
=6,易求得S=24,即抛物线经过点(2 , 24).设二次函数的解析式为S=at2+bt+c，则c
=10，再解方程组4a+2b+10=24，25a+5b+10=30得a=-1,b=9.所以S=-t2+9t+10=-t-■■+■,所以当t=■时, S有最大值■,此时P■，■.
方法二：因为点P的速度为2单位/秒，时间为t秒，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，则由AP＝2t有AN＝t，PM＝ON＝10-t，PN=■t，从而
P10-t，■t（0≤t≤5）.又OQ＝2+2t，所以S＝■（10-t）（2+2t）＝-t2+9t+10
=-t-■■+■,所以当t=■时,S有最大值■,此时P■，■.
（4）当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有2个，理由如下（方法不唯一）：①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°.当点P与点B重合时，OQ的长是12个单位长度.如图3，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，由△OHP∽△OPM，得OM=■≈11.5,所以OQ＞OM,从而∠OPQ＞90°.所以当点P沿AB边运动时，使∠OPQ=90°的点P有1个.
② 同理，当点P在BC边上运动到C点时，可算得OQ=12+■
≈17.8,而构成直角时PM交y轴于0，■, ■≈20.2＞17.8,所以∠OCQ＜90°,从而使∠OPQ=90°的点P也有1个.即当点P沿BC边运动时，使∠OPQ=90°的点P也有1个.所以当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有2个.
典型错误 从阅卷情况来看，考生的得分率较低，其主要原因有：
1．误认为第(1)题中AC与x轴垂直,直接由∠BAO=90°-30°=60°得到结果,犯这种错误的人数不少,这与命题者的“精心”设计有关（图形中确实给人以AC与x轴垂直的感觉）.
2．对于第(2)题，不能从图形中获取有用的信息来简捷求解，有些考生由于得不到第（2）题的正确结论而使解题半途而废.
3．对于第(3)题，不善于进行数形转换,求出解析式之后由于配方不熟练或顶点坐标公式记忆有误而出现错误.
4．对于第(4)题,不会应用分类思想去思考而出现漏解, 不善于利用题设条件“点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小”，将说明∠OPQ=90°的问题转化为说明点P沿AB边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由锐角增大为钝角,从而必有一个时间使它为直角；同样,当点P沿BC边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由钝角减小为锐角, 必有一个时间使它为直角.
1、(1)如图，在线段AB上取一点C(BC>AC)，分别以AC、BC为边在同一侧作等边△ACD与等边△BCE，连接AE、BD，则△ACE经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)能得到△DCB?请写出具体的变换过程;
(不必写理由)
(2)如图，在线段AB上取一点C(BC>AC)，如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连接EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE;请探究DM与FM
的关系，并加以证明;
(3)在第(2)题图的`基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转(如图)，使得A、
C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF
的关系，并加以证明.
3、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
(1)如图2，若点P在线段AO上(不与点A、O重合)，PE⊥PB且
PE交CD于点E.
①求证：DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合)，PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断(1)中的结论①、②是否分别成立?若不成立，写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
4、情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是____________，∠CAC′=____________°.
问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由
6、在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB，DG(如图3)，求∠BDG的度数。
7、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
(1)求证：△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小;
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时，求正方形的边长.
8
、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，AE=AD.连接DE、AC交于F，连接BF.则有下列4个结论：①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EF：BE=2
④S△EBC：S△ECF=AF：CF.
其中正确的结论是
9、正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论是_________
11、在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中中考专题四边形压轴题点.
四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.
(1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH;
(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形;
精讲解读篇
因动点产生的相似三角形问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
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5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．
6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；，点D为弧（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．
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7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
因动点产生的等腰三角形问题
8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．，求AB，BD的长；
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9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；
（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．
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11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
12．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
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因动点产生的直角三角形问题
13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．
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因动点产生的平行四边形问题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
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17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，第9页（共169页）
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；
（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
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21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
因动点产生的梯形问题
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=
+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，第11页（共169页）
与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．
23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．
因动点产生的面积问题
24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；
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（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE
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将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=
°．（2）求抛物线的函数表达式．
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
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29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值． 31．问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形． 问题探究
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（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=
米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=
x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（、），BK的长是
，CK的长是
； ②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
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33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．
因动点产生的相切问题
34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．
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35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；
（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．
36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．
点C是弧AB上的点，联结PC、DC．
（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；
（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．
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37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为
；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．
38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；
（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．
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因动点产生的线段和差问题
39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是
，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是
；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为
上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长
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度的最大值．
41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为
；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．，∠BAD=60°，且AB＞
4．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点
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（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．
44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在发现：的长与上且不与A点重合，但Q点可与B点重合． 的长之和为定值l，求l：
思考：点M与AB的最大距离为
，此时点P，A间的距离为
； 点M与AB的最小距离为
，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为
；
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探究：当半圆M与AB相切时，求（注：结果保留π，cos35°=的长．），cos55°=
46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
填空：当点A位于
时，线段AC的长取得最大值，且最大值为
（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标；
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②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
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2017 挑战压轴题 中考数学
精讲解读篇
参考答案与试题解析
一．解答题（共36小题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；
（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．
【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．
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∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．
故直线AB的解析式为y=x+2；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m2），则C（m，m+2）． ∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．
；
QC．
故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为
（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．
①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°． ∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．
②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；
先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．
则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要
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求．
设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0． 解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．
则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．
（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E． 则ET=所以OT=解得t=1﹣AE=，OE=1，即Q″（﹣，3）．
﹣1，；
（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G． 设TG=a，则PG=TG=a，AG=∴a+a=，a=﹣1，TG=
a，AP=，解得PT=∴OT=OP﹣PT=3﹣∴t=3﹣．
综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．
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2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA
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全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴
=，第30页（共169页）
∴BA2=BE•BF，∵BE•BF=y，∴y=BA2，∵∠ADO=∠ADB=90°，∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，∵直径BC=8，BD=x，∴AB2=8x，则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，∴BE•BH=y，∵△BED∽△BOH，∴=，∴OB•BD=BE•BH，∴4x=y，∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，∵∠BHA=∠ADO=90°，∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，∴∠G=∠AOD，∴AG=AO=4，第31页（共169页）
∵∴∠AOD=∠AOF，∴∠G=∠AOF，又∵∠GFO是公共角，∴△FAO∽△FOG，∴=，∵AB2=8x，AB=AF，∴AF=2∴=x，，解得：x=3±∵3+＞4，舍去，． ∴BD=3﹣
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根据题意得出
=
=，求得DE，即D的横坐标，代入AB
第32页（共169页）的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），∴OA=3，OB=m，∵tan∠BAO=∴m=6，设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：解得：b=6，k=﹣2
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；
=2，（2）如图1，∵AD=2DB，∴=，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA=1，∴D的横坐标为1，代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），∴k1=1×4=4；
（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB=
=
3，∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，∴OE=AB=，BE=，第33页（共169页）
∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴，∴EF=，=． ∴FM=3﹣∴F（，），∴k2=×=．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
第34页（共169页）
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
【分析】（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，易证EH是△DBC的中位线及△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB的值；（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解决问题；
（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根据角平分线的性质可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF的值． 【解答】解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，则有∠EHA=∠EHD=90°． ∵∠BCD=90°，BE=DE，∴CE=DE． ∴CH=DH，∴EH=BC=．
第35页（共169页）
设AH=x，则DH=CH=x+1． ∵AE⊥BD，∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°． ∵∠AEH+∠EAH=90°，∴∠EAH=∠DEH，∴△AHE∽△EHD，∴=，∴EH2=AH•DH，∴（）2=x（x+1），解得x=（舍负），∴tan∠EAH===．
∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠AFB= ；
（2）CE•AF的值不变．
取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，∵∠BCA=∠BEA=90°，∴OC=OA=OB=OE，∴点A、C、B、E共圆，∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．
第36页（共169页）
∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180°，∴∠CBE=∠BFA，∴△BCE∽△FAB，∴=，∴CE•FA=BC•AB．
∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，∴AB=5，=3
5； ∴CE•FA=7×5
（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，∴四边形EMCH是矩形．
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，∴△BGE与△BCE相似，∴∠EBG=∠ECB． ∵点A、C、B、E共圆，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴矩形EMCH是正方形，∴CM=CH．
∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，第37页（共169页）
∴∠EBA=∠EAB=45°，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH．
设AH=x，则BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，∴7﹣x=1+x，∴x=3，∴CH=4． 在Rt△CHE中，cos∠ECH=∴CE=4．，==，由（2）可得CE•FA=35∴AF= =．
5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．
【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；
（2）根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；
第38页（共169页）
（3）分两种情况讨论：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，∴A（5，0），C（0，5），∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B，∴b=4，c=5，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，则D（2，3），∴
=15；
（3）①若△ABC∽△AOQ，如图，此时，OQ∥BC，由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5，∴OQ的解析式为：y=5x，第39页（共169页）
由解得：，∴Q（，）；
②若△ABC∽△AQO，如图，此时，，∵AB=6，AO=5，AC=∴AQ=3，∴Q（2，3）．
综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q（，6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．，点D为弧）或Q（2，3）．
【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
第40页（共169页）
（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2由此即可解决．
【解答】解；（1）如图1中，连接AC，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，k，BC=k，∴可以假设AC=2∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∴k2=4，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，第41页（共169页）
∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．
∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∵a＞0，∴a=1，HB=1，GH=2∵GC∥DO，∴=，=．，OH=2，OG=
=
2，设GH=2
a，HB=a，∴ON=×
7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函
第42页（共169页）
数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；
（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在△BAC的内部列不等式组求解即可；
（3）先证明∠PCM为直角，然后分为△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可． 【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：解得：．，∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣4． 配方得：y=（x﹣1）2﹣5． ∴点M的坐标为（1，﹣5）．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标代入得：，∴直线AC的解析式为y=x﹣4．
第43页（共169页），解得：
抛物线的对称轴方程为x=﹣=1．
如图1所示，直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F的坐标为（1，﹣1）．
将x=1代入直线y=x﹣4得：y=﹣3． ∴E（1，﹣3）．
∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，∴﹣3＜﹣5+m＜﹣1． ∴2＜m＜4．
（3）如图2所示：
把y=﹣1代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣4=﹣1，解得x=﹣1或x=3，∴B（﹣1，﹣1）． ∴BD=1．
∵AB∥x轴，A（4，﹣1），第44页（共169页）
∴D（0，﹣1）∴AD=DC=3． ∴∠DCA=45°．
过点M作ME⊥y轴，垂足为E． ∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）． ∴CE=ME=1． ∴∠ECM=45°，MC=∴∠ACM=90°． ∴∠PCM=∠CDB=90°． ①当△MPC∽△CBD时，∴CF=PF=sin45°•PC=∴P（﹣，﹣）．
×，即=．
=，解得PC=
．
．
如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．
∵CP=∴CF=FP=，∠FCP=45°，∠CFP=90°，×=．）．
=，即
=，解得PC=
3． ∴P（﹣，﹣②当BDC∽△MCP时，如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．
第45页（共169页）
∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（﹣3，﹣7）．
如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．
∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（3，﹣1）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（﹣，﹣﹣
8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；
第46页（共169页））或（﹣，）．，求AB，BD的长；
若不是，说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；
（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在Rt△ADE中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×2=
4，∵AD⊥AB，∠CAB=60°，∴∠DAC=30°，∵AH=AC=∴AD=∴BD=，=2，=
2；
（2）如图1，连接AF，∵AE是∠BAC角平分线，∴∠HAE=30°，∴∠ADE=∠DAH=30°，在△DAE与△ADH中，∴△DAE≌△ADH，第47页（共169页）
∴DH=AE，∵点F是BD的中点，∴DF=AF，∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB
∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，∴∠EAF=∠FDH，在△DHF与△AEF中，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，∵F、M分别是BD、AB的中点，∴FM∥AD，即FM⊥AB． 在Rt△ADE中，AD=2AE，∵DF=BF，AM=BM，∴AD=2FM，∴FM=AE，∵∠ABC=30°，∴AC=CM=AB=AM，∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，在△ACE与△MCF中，∴△ACE≌△MCF，∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，∵∠ACM=60°，∴∠ECF=60°，第48页（共169页）
∴△CEF是等边三角形．
9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0），将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG、KH的长（用含m的式子），从而可证明GH=HK；
（3）可分为CG=CH，GH=GC，HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的顶点为E（﹣1，4），第49页（共169页）
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0）． 又∵抛物线过点A（﹣3，0），∴4a+4=0，解得：a=﹣1．
∴这条抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4．（2）设直线AE的解析式为y=kx+b． ∵将A（﹣3，0），E（﹣1，4），代入得：∴直线AE的解析式为y=2x+6． 设直线AC的解析式为y=k1x+b1． ∵将A（﹣3，0），C（0，3）代入得：∴直线AC的解析式为y=x+3． ∵D的横坐标为m，DK⊥x轴 ∴G（m，2m+6），H（m，m+3）． ∵K（m，0）
∴GH=m+3，HK=m+3． ∴GH=HK．
（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）①若CG=CH，则
=，整理得：（2m+3）2=m2，解得开平方得：，解得：k=1，b=3，解得：k=2，b=6，2m+3=±m解得m1=﹣1，m2=﹣3，∵﹣3＜m＜﹣1，∴m≠﹣1且m≠﹣3． ∴这种情况不存在． ②若GC=GH，则．
③若HC=HG，则m2=3+3（舍去）．
或
．
=m+3，整理得：m2﹣6m﹣9=0，解得；m1=3﹣3，=m+3，整理得：2m2+3m=0 解得m1=0（舍去），综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为
分类综合专题复习练习
1、如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一点，若，求此时点的坐标．
2、如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，二次函数的图象与轴交于点、点两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接、，若点在线段上运动（不与点、重合），过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若点在第一象限，且，线段是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．
4、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是抛物线对称轴上的一点连接，求的最小值．
（3）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，当时，请求出的值．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点．
（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点在抛物线上，当时，解决下列问题：
①在直线下方的抛物线上求点，使得的面积等于20；
②连接，，作轴于点，若和相似，请直接写出点的坐标．
6、如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为，则它的所有“风车线”可以统一表示为：，即当时，始终等于．
（1）若抛物线与轴交于点，求该抛物线经过点的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线与直线交于点，抛物线的“风车线”与直线、分别交于、两点，若的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
7、如图1，已知抛物线过点，．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）设点是轴上一点，当时，求点的坐标；
（3）如图2．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．
8、已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第四象限内抛物线上的点，连接，．设点的横坐标为．
①如图1，当时，求的值；
②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点．过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点．当时，求的值．
9、如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧），且与直线交于，两点，已知点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点的直线与线段交于点，且满足，与抛物线交于另一点．
①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大；
②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
10、如图，抛物线分别交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点，过点作的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
（1）如图（1），．
①直接写出点的坐标和直线的解析式；
②直线上有两点，横坐标分别为，分别过，两点作轴的平行线交抛物线于，两点．若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
（2）如图（2），若，求的值．
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点的坐标为，与轴于交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，①求点的坐标及的半径；
②过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
12、如图，二次函数的图象与轴、轴交于点、、三点，点是抛物线位于一象限内图象上的一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）作点关于直线的对称点，求四边形面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接线段，将线段绕点逆时针旋转到，连接交抛物线于点，交直线于点，试求当为直角三角形时点的坐标．
13、如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，．求面积的最大值及相应点的坐标；
（3）如图2，该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
14、在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，抛物线的顶点纵坐标为4．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，设点的横坐标为，连接、、，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，在上有一点，连接、，与交于点，连接，延长交轴于点，若，点为中点，连接，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的长．
15、已知抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点，同时从点出发，点以每秒4个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为秒．
①如图1，连接，再将线段绕点逆时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
江苏省盐城市2014中考数学试题中的28题是最后一题,也是整个考卷中的一道压轴题,其分数也占了重要的比重,对学生的综合能力的考查提出了更高的要求.
28. (12分 )(2014年江苏盐城 )如图1,在平面直角坐标系中,一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上,坐标为(0,-1),另一顶点B坐标为 (-2,0),已知二次 函数y = 3 /2x2+ bx + c的图像经过B,C两点. 现将一把直尺放置在直角坐标系中,使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B,直尺沿x轴正方向平移,当A′D′与y轴重合时运动停止.
(1)求点C的坐标及二次函数的关系式 ;
(2) 若运动过程中直尺的边A′D′ 交边BC于点M, 交抛物线于点N,求线段MN长度的最大值;
(3) 如图2 , 设点P为直尺的边A′D′ 上的任一点 , 连接PA,PB,PC,Q为BC的中点 ,试探究 :在直尺平移的过程中 ,当时,线段PA,PB,PC之间的数量关系.请直接写出结论,并指出相应的点P与抛物线的位置关系.
( 说明 : 点与抛物线的位置关系可分为三类 , 例如 , 图2中,点A在抛物线内,点C在抛物线上,点D′在抛物线外.)
一、培养良好的审题习惯
良好的审题习惯是学好数学的一个重要能力,如果在审题时因为粗心看错一个条件关系,就会导致整个解题的方向出现偏差,最终使得解题出现错误,对压轴性的题目更是如此. 因此教师在平常的授课过程中要培养学生养成良好的审题习惯,明确题目中的各种变量之间的逻辑关系,找出有利于解题的条件并归纳整理,以此提高答题的正确率.
例如在做2014年江苏省盐城市中考试卷28题时,首先要培养学生的读题习惯,要求学生在做这道题目时,至少将题目读三遍. 第一遍熟悉题目内容,看清题目要求,第二遍寻找其中的内在逻辑联系,第三遍开始罗列其中的解题条件. 以此使学生养成良好的读题习惯,减少出错率. 其次引导学生抓住题目中的重点信息. 在不同考点问题中, 抓住相应题型中的要点.
二、讲求做一问是一问的原则
在做数学压轴题时, 要讲求做一问是一问的原则. 压轴题一般来说会有三个问题,对大多数的学生来说,做出第一问,一般不是问题. 如果第一问不会做,切不可轻易放弃第二问,如果实在不会也要讲求技巧. 在评卷的过程中,老师都是按点采分,按步骤给分. 因此在做题的过程中,会写多少就写多少,但是在书写的过程中,要注意书写规范、字迹工整、布局合理;尽量多用几何知识和三角函数,少用代数计算.
例如在2014年江苏省盐城市中考数学试题的28题中, 第一问要求求点C的坐标及二次函数的关系式,对于这一小问来说比较简单,要求C点的坐标,则要考虑作x,y轴的垂线来表示横纵坐标, 较易得出△CDA≌△AOB, 所以可得C点坐标, 进而得出抛物线解析式. 这一问主要考查了三角形全等有关的知 识. 在第二问 中要求求 线段MN长度的最 大值,要想解答第二问,则必须要做对第一问. 此问主要考查有关求解线段长度的知识,其难度不大,涉及直线与抛物线交点的问题. 对于这类题目横坐标相同的两点距离, 可以用这两点的纵坐标作差. 因为两点分别在直线和抛物线上则可以利用解析式. 设横坐标为x, 表示两个纵坐标, 作差得关于x的二次函数,利用最值性质来求解,结果易求得.
三、解题三步法
做数学压轴题一般讲求三步法原则,即三个步骤(认真审题,理解题意、思考解题思路,正确答题).解数学压轴题时要善于总结题目中所隐含的重要数学思想, 例如转化思想、 数形结合思想、 分类讨论思想以及方程的思想等. 正确认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征和数、式的数量以及结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
例如,2014年江苏省盐城市中考数学试题的28题的最后一问,其难度最大,涉及了更多的知识点,其知识点涉及抛物线图像与性质、函数性质及圆的基础知识等,在这一题中利用数形结合的思想以及分类讨论的思想,使得抽象的题目变得具体化, 从而有利于解题. 这一问中对P点的位置分别做了讨论,P点在抛物线上、在抛物线内、在抛物线外. 其中P在抛物线上时,P点只能与B或C重合, 此时,PA,PB,PC可求具体值,则有等量关系.
中考压轴题是为考查考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、 思路难觅、解法灵活. 所以在解答这一类型的题目时,一定要注意解题技巧,做到认真审题、数形结合、分类讨论等. 因此本文以2014年江苏省 盐城市中 考数学压 轴题为例 进行分析,具体说明中考数学压轴题的解题方法.
摘要：中考压轴题属于综合题的范畴,对学生综合分析能力提出了更高要求,难度也逐渐加大,然而学生对这一类题目的解题准确率普遍较低,失分情况严重.基于这种情况,如何有效提高学生对中考压轴题的解答率成为广大初中教师深入研究的主要方向.因此本文以江苏省盐城市2014中考数学试题为例,对中考数学压轴题解题方法加以分析.希望可以提高学生对中考数学压轴题的解答率,提高学生的数学成绩.
基本模型一
如图1，已知l1∥l2，△ABC的底BC不变，l1与l2的距离越大，则△ABC的面积越大.基本模型二
如图2，已知l1∥l2，则S△ABC=S△A′BC，理由：同底等高的两个三角形的面积相等.1直接应用
例1（2015年攀枝花）如图3，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
分析（1）略；
（2）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，可得C点坐标为（0，3），BC=32，△BCD的底BC长确定，要使得△BCD的面积最大，根据基本模型一，过抛物线上点D作BC的平行线DE，只要两条平行线DE与BC的距离最大，因为点D在抛物线上，显然当直线DE与抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大，由B（3，0），C（0，3）可得BC解析式为y=-x+3，因为DE∥BC，设DE解析式为y=-x+b，因为直线DE与抛物线只有一个交点，构造方程组y=-x2+2x+3
y=-x+b，转化为一元二次方程x2-3x+b-3=0，令Δ=0，可得b=214，D（32，154），易得S△BCD=278.
（3）要使得△QMB与△PMB的面积相等，底MB不变，根据基本模型二，只要点P到MB的距离等于点Q到MB的距离，若Q在BC上方，过点P作MB的平行线，与抛物线的交点即为点Q1，由（2）得，MB解析式为y=-x+3，设PQ1解析式为y=-x+b，由抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，可得顶点P的坐标为（1，4），代入PQ1的解析式得：b=5，解方程组y=-x2+2x+3，
y=-x+5，解得x1=1（舍去），x2=2，所以点Q1（2，3）.若Q在BC下方，由直线MB：y=-x+3向上平移两个单位可得直线PQ1的解析式为y=-x+5，因为点P到MB的距离等于点Q到MB的距离，同样由直线MB：y=-x+3向下平移两个单位可得直线PQ2的解析式为y=-x+1，解方程组y=-x2+2x+3
y=-x+1，解得x1=3+172，x2=3-172，所以点Q2（3-172，-1-172），Q3（3+172，-1+172）.
例2（2015年临沂）如图4，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-1 分析（1）略；（2）①略； （2）②易证四边形PBQC是平行四边形，则S△PBC=12S四边形PBQC，要使得四边形PBQC面积最大，只要使△PBC的面积最大，易得B（-1，1），C（1，-1），BC解析式为y=-x，BC=22，长度不变，根据基本模型一，过点P作BC的平行线为y=-x+b，当y=-x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线BC的距离最远.所以构造方程组y=-x+b y=x2-x-1，转化为一元二次方程得：x2-b-1=0.令Δ=0，b=-1，解得x=0，即t=0.2变式应用 例3（2015年达州）如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=45x2+bx+c的图象经过A，C两点. （1）求该二次函数的表达式； （2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值； （3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 分析（1）略；（2）略； （3）易得D（4，4），OD=42，因为△ODP的面积为12，可求得y轴上的点E1到OD的距离为32，根据基本模型二，若点E1在原点上方，过点E1作OD的平行线E1P1，与抛物线的交点即为所求点，OD解析式为y=x，易证三角形OE1H为等腰直角三角形，OE1=6，设E1P1解析式为y=x+6，把A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=45x2+bx+c，可得抛物线解析式为：y=45x2-245x+4，构造方程组y=45x2-245x+4， y=x+6，可求得P129+10018，77+10018，P229-10018，77-10018，若点E1在原点下方，同理可求得P329+418，-19+418，P429-418，-19-418.3灵活应用 例4（2015年徐州）如图6，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点. （1）∠OBA=°. （2）求抛物线的函数表达式. （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？ 分析（1）略；（2）略； （3）连接AE，显然点P可能在E点左侧，也可能在E点右侧，△OEA的面积不变，若P在E点右侧记作P1，过点P1作AE的平行线a，易得点E（6，3），由A（10，0），可得直线AE为y=-34x+152，设直线a解析式为y=-34x+b，构造方程组y=-18x2+54x， y=-34x+b，因为直线a与抛物线只有一个交点，所以转化为一元二次方程18x2-2x+b=0，令Δ=0，解得b=8，x1=x2=8，所以可求得点P18，32，此时可求得S△P1AE=1，若P在E点左侧记作M，同理可求得S△MOE=278，因为点P有且只有3个，S△MOE>S△P1AE，根据基本模型二，在E点左侧，存在两个点P2、P3使得S△P2OE=S△P3OE=S△P1AE=1，此时易得S=16. 综上可见，在一些中考压轴题中，若能掌握和熟练运用一些基本模型，往往可快捷地找到解题突破口，从而提高解题速度和正确率. 作者简介吉裕艳，女，江苏南通人，1976年10月生，中学高级教师.多次获教育局嘉奖，曾获“如皋市学科带头人”称号，被如皋市人民政府授予“记三等功”称号.多篇论文发表，多次主持如皋市级课题并结题.
