高中数学联赛几何

高中数学联赛几何（精选7篇）

高中数学联赛几何 篇1

梅涅劳斯定理

BFAECD1。FAECBD

BFAECD1，逆定理：一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若FAECBD一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则

则D,E,F三点共线。

塞瓦定理

BDCEAF=1。在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

托勒密定理

ABCD为任意一个圆内接四边形，则ABCDADBCACBD。

逆定理：若四边形ABCD满足ABCDADBCACBD，则A、B、C、D四点共圆

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

几何不等式

1托勒密不等式:任意凸四边形

ABCD四点共圆时取等号。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当

2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:设△ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c2≥4S 4欧拉不等式:设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。

圆幂

假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；

根轴

1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。

相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；

高中数学联赛几何 篇2

赛题:设正数a, b, c, x, y, z满足cy+bz=a, az+cx=b, bx+ay=c, 求函数的最小值.

这道赛题等价于以下命题:在锐角△ABC中, 求证:

而 (2) 式即为著名的Garfunkel-Bankoff (以下简称G-B) 不等式 (见文[1]) , 且对任意△ABC都成立.所以, (1) 式成立.可见, “赛题”只是G-B不等式的一个“弱”命题, 它为我们提供了G-B不等式的一个等价形式:

二、赛题再推广

文[2]在锐角△ABC中推广了 (1) 式.本人注意到文[3]和文[4]分别提出和证明了如下猜想:

定理1在△ABC中, 有

当然更有在△ABC中, 有

利用 (4) 式, 可把文[2]进一步推广到任意三角形的情形, 即

命题2若n∈N*, 则在△ABC中, 有

命题3若n∈N*, 则在△ABC中, 有

命题4若n∈N*, 则在△ABC中, 有

命题5若n∈N*, 则在△ABC中, 有

以上命题2～5的证明与文[2]的证明思路基本相同, 故而从略.

对于命题2, 笔者萌生一个新想法:

问题1若n∈N*, 则在△ABC中, 以下不等式是否成立?

探究发现, 当 (A, B, C) → (π, 0, 0) 时, (9) 式左边→-∞, 即在△ABC中, (9) 式不成立.但有

命题6若n∈N*, 则在锐角△ABC中, 有

为证命题6, 先引入一个引理:

引理在△ABC中, 有

这是一个极易证明的不等式, 故而从略.以下用引理来证明 (9′) 式:

证明在锐角△ABC中, 有

以上三式相加, 并利用 (10) 、 (1) 两式, 得

移项, (9′) 式获证.

基于命题2与命题6, 笔者又考虑左边有无上界呢?

命题7若n∈N*, 则在锐角△ABC中, 有

注当A→0+或B→0+或C→0+时, (11) 式的左边→1/2.

证明在锐角△ABC中, 有

以上三式相加, 并注意到 (1) 式及三角形恒等式cos2A+cos2B+cos2C=1-2cos Acos Bcos C, 有

据命题7, 我们没有理由不提出如下问题:

问题2 (猜想) 若n∈N*, 则在△ABC中, .有兴趣的读者, 不妨一显身手.

三、G—B不等式的推广及其等价形式

文[1]将G—B不等式 (2) 推广为:

在△ABC中, 有

(其中n∈Z, 式中正切与余切都有意义, 以下同) 仿照得到命题1的办法可获 (12) 、 (13) 两式的等价形式:

定理2在△ABC中, 有

参考文献

[1]李建潮.Garfunkel-Bankoff——不等式的推广[J].中学教研 (数学) , 1996 (12) .

[2]李歆.2005年高中数学联赛加试二的推广[J].中学数学研究 (广州) , 2008 (7) .

[3]李建潮.有奖解题擂台 (45) [J].中学数学教学, 2000 (5) .

高中数学联赛几何 篇3

笔者把这一道题目放进了学校的数学竞赛辅导课上，经过学生精彩的讨论、认真的探究，得到了其它的解法，并推导了一系列的结论.

1. 启发探究

笔者先把该题目呈现出来，几分钟后，不少学生都想到了类似组委会提供的解法.

4. 教后感悟

有效地实现数学思维活动教学的前提条件是学生的主动参与，因此教师在教学过程中，应避免满堂灌，要尊重学生思维活动过程，让其问题暴露出来，尽管可能是走弯路甚至是错误的.教师提供机会让其表达出来后，才能使他们感觉到被尊重，他们才愿意参与探究.有研究表明，高中阶段的学生主要是以理论型为主的抽象逻辑思维.这给我们启示：既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，而要正确把握学生能力的“最近发展区”来提出问题.先让学生尝试，看能否解决它.然后再将问题进行变式探究，问题可以是横向的，拓展题目的宽度，亦可以是纵向的，挖掘题目的深度，不能就题论题，否则就会从此错过精彩.

高中数学联赛几何 篇4

（考试时间：2018年4月16日上午18∶50—20∶10）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．

1.设数列{an}满足a11,a24,a39,anan1an2an3,n4,5,...，则a2011.2.不等式sin2xacosxa21cosx对一切xR成立，则实数a的取值范围为.3.已知定义在正整数集上的函数f(n)满足以下条件：

(1)f(mn)f(m)f(n)mn，其中m,n为正整数；(2)f(3)6.则f(2011).4.方程x1220112011一共有个解.5.设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于.6.一个玻璃杯的内壁是由抛物线yx2x2绕y轴旋转而构成的.请问能接触

2到杯底的球的半径最大是.111..._____.7.计算：sin45sin46sin46sin47sin89sin908.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分16分）若n是大于2的正整数，求

111... n1n22n的最小值.2．（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成 1 三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？

3．（本小题满分20分）数列a0,a1,...,an,...满足a00,a11,a20，a2nn1(aan0a1...n2.)证明：对所有整数n3，有an10.n3时有

高中数学立体几何知识点 篇5

1.空间几何体的三视图：

定义：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右);俯视图(从上向下)。

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽带;侧视图反映了物体的高度和宽带。

球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形。

2.空间几何体的直观图——斜二测画法

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

应用几何画板开展高中数学教学 篇6

几何画板辅助教学软件能准确地展现几何图形, 揭示几何规律, 侧重教学过程, 动态地再现数学问题的过程与形成发现.它以点、线、面为基本元素, 通过对这些元素的变换、构造、计算、跟踪轨迹等, 能够绘制出所有的尺规图形.所作的图形都能够体现数学概念表达的准确性.几何画板绘制的图形可以动:用鼠标选定目标可以拖动;可以定义动画和移动让图形动起来.而几何画板的精髓就在于“在运动中保持给定的几何关系”.中点就保持中点, 平行就保持平行.有了这个前提, 就可以运用几何画板在“变化的图形中, 发现恒定不变的几何规律”了.借助于它还能最大限度地调动学生思维的积极性与创造性, 能潜移默化地使学生掌握观察问题, 发现问题、解决问题的科学方法;更重要的是, 它简单实用, 不需要编程, 容易学习, 操作简单, 交互性强.几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境, 有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性, 充分体现了现代教学的思想.几何画板制作功能和表现功能如下:

作图功能——作点、线、面、体、轨迹, 涂色

动画功能——直移、转动、振动、曲线运动、追踪

变换功能——平移、旋转、缩放、反射

计算功能——四则运算、方根、三角函数、方程

从表面上看, 这些功能并不丰富, 但对它们综合地巧妙运用, 却能做出令人意想不到的动画效果与数形表达效果.

二、几何画板在高中数学教学中的作用

1.有利于树立学生严谨、科学的作图观, 掌握科学的作图方法.传统的尺规作图, 为我们积累了丰富的作图方法.在数学教学中, 教师使用三角板和圆规在黑板上作图, 往往不能很好地树立学生科学的作图观, 使学生掌握科学的作图方法.而利用几何画板不但可以精准地绘制所需的任何几何图形, 而且更加注重正确的作图方法.因为在几何画板中绘制图形, 不合理的作法就绘制不出符合要求的图形;相应的条件不匹配, 作图菜单中的命令就不起作用.比如, 绘制线段的垂直平分线, 就要严格按照下面的步骤操作: (1) 单击画线段工具, 绘制一条线段; (2) 选中该线段, 用“作图|中点”命令画出中点; (3) 同时选中线段和中点, 用“作图|垂线”命令画出垂线.这样就绘制出了线段的垂直平分线.绘制虽然简单, 但整个过程却是严格而又科学的, 并且能使学生清楚地看到作图效果和作图过程, 以此培养学生严格而又科学的作图思维, 掌握科学的作图方法.

2.能使课堂教学事半功倍, 有效提高数学教学质量.几何画板还具有制作动画的功能.利用几何画板制作动画辅助教学, 能帮助教师有效地提高数学教学质量.

三、几何画板在平面解析几何教学中的应用

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科.它研究的主要问题, 即它的基本思想和基本方法是:根据已知条件, 选择适当的坐标系, 借助形和数的对应关系, 求出表示平面曲线的方程, 把形的问题转化为数来研究;再通过方程, 研究平面曲线的性质, 把数的研究转化为形来讨论.而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化, 导致点、线按不同的方式做运动, 曲线和方程的对应关系比较抽象, 学生不易理解, .显而易见, 展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的.这样, 几何画板又以其极强的运算功能和图形图像功能在解析几何的教与学中大显身手.如它能做出各种形式的方程 (普通方程、参数方程、极坐标方程) 的曲线;能对动态的对象进行“追踪”, 并显示该对象的“轨迹”;能通过拖动某一对象 (如点、线) 观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系.

四、几何画板在立体几何教学中的应用

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质.它所用的研究方法是以公理为基础, 直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质.从平面图形到空间图形, 从平面观念过渡到立体观念, 无疑是认识上的一次飞跃.初学立体几何时, 大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力, 主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的, 而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照, 平面上绘出的立体图形受其视角的影响, 难于综观全局, 其空间形式具有很大的抽象性.如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线;正方体的各面不能都画成正方形等.这样一来, 学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况, 这便给学生认识立体几何图形增加了困难.而应用几何画板将图形动起来, 就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖, 使学生从各个不同的角度去观察图形.这样, 不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识, 还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥.

摘要：信息技术与高中数学有效整合, 首先应该构建一个适合教学的现代信息技术平台, 我们选择了“几何画板”“立体几何画板”和“数学实验室”等辅助教学.“几何画板”提供了数值运算、函数运算、平面图形、函数图像的绘制等强大的功能, 并有较大的开放性和二次开发空间.下面结合教学实际谈谈几何画板在高中数学教学中的运用.

关键词：信息技术,几何画板,高中数学

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) [M].北京:北京师范大学出版社, 2001.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高级中学数学教学大纲[M].北京:人民教育出版社, 2000.

高中数学中几何知识的应用探究 篇7

【关键词】高中数学 几何知识 应用探究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）05-0096-01

社会的快速发展进步，使得社会各个领域范畴都在创新。教育方面在高中数学中占有重要地位的几何知识也要进行进一步的应用探究。在高中学习中绝大部分学生对学习数学有着一定的苦恼，尤其对具有繁琐公式的几何知识题解答更是忙得头焦烂额，由点线面组合成的巨大的网成为在读高中生的心头病，有的学生甚至对其产生厌烦心理，学习成绩也大打折扣，在如此严峻情况下，如何在复杂繁琐的公式与图像中突出重围，找到可以让我们在生活中联系到几何知识，在乐趣中学习几何知识的方法是我们应当关注的重点，我们将在本文中探究几何知识的应用，以此激发我们对学习几何数学主动性与积极性。

一、几何知识的实际应用意义

（一）激起学生的研究探索意识，改善传统教学模式的缺陷

在高中几何应用创新中，其乐融融的学习氛围与学习环境会大大提高我们对探究性学习的热情，我们在整个探索过程中要积极热情，提出合理的问题、分析问题的原因、找到解决问题的方法，使之形成一系列套路。身处在积极探索的环境中，有利于帮助我们加深对几何知识探究的乐趣，促进学习的积极性和主动参与性的提升。改善传统教学模式中的“老师灌输-学生输出”的单一模式，长久以来，习惯依赖教师课堂讲解，我们缺少独立思考的能力与创新意识。现在，老师创造出合理的空间，提出准备的问题，让我们互相交流，探索问题，让我们对学习几何知识的探究学习更具主动性，积极性。

（二）知识结构全面完善，学习能力得到提高

在几何知识的探究过程中，教师给出问题，我们形成小组对问题展开讨论，进行大胆猜测，大胆对给出的图像进行分析，然后通过举例证明其相关概念，并得出结论对其加以利用，在这一系列过程中，我们了解了几何知识产生的又同时深刻掌握了相关几何知识。在参与实践中知识已悄然获取，构建形成起对几何的新的认知，在几何探究过程中有较为直观的经验是有效实践的基础，让我们在探索中找到对几何知识的乐趣的同时、学习的能力也得到大大提高。基本的探索过程也铭记于心。

（三）养成积极向上思维品质，提高非智力因素

在探索应用过程中，我们思维的宽度和深度都得到了很大程度的提高，找寻出了“不变”与“变”的规则，也找到了“不变”中“变”的原因。在非智力因素（意志、动机、情感、兴趣）的潜移默化的影响下，更进一步锻炼了创造性和灵活性，提高了解析几何的积极性、主动性，形成了积极向上的思维品质。与此同时，我们和老师之间、与同学之间的相互沟通、交流、探讨也一定程度上让班级更加有团结凝聚意识，形成更良好的沟通。

二、几何知识实际应用到课题中的案例

（一）范围性问题的求解方法

范围性问题的解题并不少见，解题方法却存在一定差异，我们来解析一道关于范围性的问题。依据下图，三棱锥P-ABC中，已知PA垂直于BC，PA等于BC等于n，PA与BC的公垂线ED等于h，求证三棱锥的P-ABC的体积V等于六分之一n的平方的高。

三、结语

几何知识是我们学习生涯中必不可少的知识，又是高考的重点与难点，所面临的问题也较难，都要求我们要细心认真研究，熟记相关几何公式，对图像的理解也较为重要，所以就要求我们充分了解几何知识、在脑海中形成对几何更具体，生动的概念，老师对我们加以指导，形成良好的学习与教学模式，让我们在探究式学习中得到更多真实情感呈现，更加有探索实验精神。

参考文献：

[1]罗双.高中数学中几何知识的应用分析[A].北京中外软信息技术研究院.第二届世纪之星创新教育论坛论文集[C].北京中外软信息技术研究院，2015（1）.

[2]韦兴洲.高中数学解析几何高考试题分析与教学策略研究[D].广西师范大学，2014.