推理与证明综合测试题

推理与证明综合测试题（精选8篇）

推理与证明综合测试题 篇1

一、选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件

2．结论为：xnyn能被xy整除，令n1，2，3，4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）

Ａ．nNＢ．nN且n≥3Ｃ．n为正奇数Ｄ．n为正偶数 3．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定 4．在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类经上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）Ａ．b4b8b5b7 Ｃ．b4b7b5b8

Ｂ．b5b7b4b8 Ｄ．b4b5b7b8

5．（1）已知p3q32，求证pq≤2，用反证法证明时，可假设pq≥2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：1Ａ．1Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．1

2212



321n

2，1







53，1







74，，则可归纳出式子为（）





2n112n12n1n2n2n1

(n≥2)(n≥2)(n≥2)(n≥2)





1n







1n







1n



7．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，ABa，CDb(ab)．若

EF∥AB

EF，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面

mambmm的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）Ａ．S0

mS1nS2

mn

Ｂ．S0

nS1mS2

m

n



mn



mn

8．已知a，bR，且ab，ab2，则（）Ａ．1ab

ab2

Ｂ．ab1Ｄ．

ab2

ab2

Ｃ．ab

ab2

1 ab1

9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）Ａ．假设a，b，c都是偶数 Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数 Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

10．用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．2k1

Ｂ．2(2k1)

Ｃ．

2k1k1

Ｄ．

2k3k1

aa

x

x

11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)

C(x)

aa

x

x，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是（）

①S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)； ②S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)； ③C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)； ④C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；

Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④ 12．正整数按下表的规律排列

12510173611188 71219142024 23 22

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ．20052

Ｂ．20062

Ｃ．20052006

Ｄ．20052006

二、填空题

13．写出用三段论证明f(x)x3sinx(xR)为奇函数的步骤是 14．已知f(n)1

1213

1n

(nN)，用数学归纳法证明f(2)



n

n

2时，f(2k1)f(2k)等

于．

15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为． 16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有an个树枝，则an1与an(n≥2)之间的关系是．

三、解答题

17．如图（1），在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BD·BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．

18．如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． 求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MNCD．

19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

20．已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，求证a，b，c，d中至少有一个是负数．

22．若不等式证明结论．

1n1



1n2



13n1

a24

推理与证明综合测试题 篇2

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

推理与证明 篇3

例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（ ）

A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]

解析 法一：利用类比推理.

本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.

法二：利用演绎推理.

∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，

则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，

∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，

而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，

则[f(-1)=-f(1)=-12]，

∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，

再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，

∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.

点拨 本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：

[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]

例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.

[…]

分析 要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].

解 法一：利用归纳推理.

设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法二：利用递推关系.

由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为

[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]

而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，

第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，

…

第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]

以上[n]个不等式相加得

[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]

而[f(1)=1]，

故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法三：利用组合数的性质.

设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]

而[C22=C33]，

则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]

[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

法四：归纳—猜想—证明.

由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，

[f(3)=10=3×4×56,]…

猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

下面用数学归纳法证明该结论.

（1）显然[n=1]时，猜想成立；

（2）假设[n=k]时猜想成立，

即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，

当[n=k+1]时，由法二知：

[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]

∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]

[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]

故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]

[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]

所以[n=k+1]时，猜想也成立.

综上，对任意正整数[n]猜想均成立，

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

点拨 本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.

例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].

证 法一：假设三式同时大于[14]，

即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]

[∵ a、b、c∈(0,1)]，

[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，

又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]

同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]

[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，

这与假设矛盾，故原命题得证.

法二：假设三式同时大于[14]，

[∵ 00]，

[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]

同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]

三式相加得[32>32]，这是矛盾的，

故假设错误，所以原命题正确.

点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.

当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.

用反证法的步骤是：

①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；

②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]

③因此结论不能否定，结论成立.

例4 用数学归纳法证明等式 ：

[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.

证明 （1）当[n=1]时，

左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，

∴左式=右式，等式成立.

（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，

即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]

[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，

则当[n=k+1]时，

[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]

[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]

[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]

[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]

[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]

[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]

[+1(k+1)+k+12(k+1).]

即[n=k+1]时，等式也成立，

由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.

点拨 在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.

由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.

例5 用数学归纳法证明：

[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].

证明 （1）当[n=2]时，

左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，

∵ [649>5]， ∴[649>5]，

即[n=2]时，原不等式成立.

（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，

即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],

则[n=k+1]时，

左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]

[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]

右边=[2k+3]，要证左边>右边，

只要证[2k+22k+1>2k+3]，

只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，

只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]

只要证4>3.

而上式显然成立，所以原不等式成立，

即[n=k+1]时，左式>右式.

由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.

点拨 运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.

例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].

证明 （1）[n=2]时，

左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],

右式=[2+22=2]，

∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.

[n=3]时，

左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],

右式=[3+22=52]，

左式-右式=[15+17-18>0]，

左式>右式，不等式成立.

（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，

即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，

当[n=k+1]时，

[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]

[+12k+2+⋯+12k+1]

[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]

[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]

[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]

即[n=k+1]时，不等式也成立.

由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，

都有[f(2n)>n+22].

点拨 注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.

【专题训练九】

1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]

B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式

2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）

A. 使用了归纳推理

B. 使用了类比推理

C. 使用了“三段论”，但大前提错误

D. 使用了“三段论”，但小前提错误

3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].

4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a]（ ）

A. 都不大于2 B. 都不小于2

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：

①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；

②[fn(n+1)2]；

③[n(n+1 )]；

④[n(n+1)f(1 )].

其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（ ）

A. ①③ B. ①②

C. ①②③④ D. ①②③

6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式： ；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .

7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（ ）

A. [P(n)]对所有自然数都成立

B. [P(n)]对所有正偶数都成立

C. [P(n)]对所有正奇数都成立

D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立

推理与证明综合测试题 篇4

班级姓名学号得分

一、选择题：

1、与函数yx为相同函数的是（）A.yx2B.yx

2xC.yelnxD.ylog2x22、下面使用类比推理正确的是（）.A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“ab

ca

cb

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）ab” 类推出“（ab）ab”

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；

C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。

5、当n1，2，3，4，5，6时，比较2n和n2的大小并猜想（）

A.n1时，2nn2B.n3时，2nn

2n2n2C.n4时，2nD.n5时，2n6、已知x,yR,则“xy1”是“xy1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数

列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是()

A.1B.2C.3D.41 228、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

①(ab)2(bc)2(ca)20；②ab,bc,ca不能同时成立，下列说法正确的是（）

A．①对②错 C．①对②对

B．①错②对

D．①错②错

axcy

（）

9、设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a,b和b,c的等差中项，则

A．1B．2C．3D．不确定

10、定义运算:xy

xy

(xy)(xy),的是（）例如344,则下列等式不能成立．．．．

A．xyyxB．(xy)zx(yz)

C．(xy)2x2y2D．c(xy)(cx)(cy)（其中c0）

二、填空题：

11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是。

12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABAC

BC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.13、从11，14(12),149123，14916(1234)，„,推广到第n个等式为_________________________.14、已知a13，an1

3anan

3，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，推测出an＝

三、解答题：

15、在△ABC中，证明：

16、设a,b,x,yR，且a2b21,x2y21,试证：axby1。

17、用反证法证明：如果x

cos2Aa



cos2Bb



1a



1b。

2，那么x22x10。

18、已知数列a1,a2,,a30，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列；

（d0）.a10,a11,,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,,a30是公差为d的等差数列

（1）若a2040，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列，„„，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

高二数学选修1-2《推理与证明测试题》答案提示

1——

10、DCABDBAABC11、____14__________

12、SBCD

SABC

SACD

SABD13、1223242„(1)n1n2(1)n1(123n)

14、________

3n

______

cos2Bb15、证明：

cos2Aa



12sin

a

A



12sin

b

B



1a



1bB

sin2Asin2B

2a2b2



由正弦定理得：

cos2Aa

sina

2A



sinb





cos2Bb



1b

a16、证明: 1(a2b2)(x2y2)a2x2a2y2b2x2b2y

2a2x22aybxb2y2(axby)2故axby

117、假设x2x10，则x1

2

2容易看出1要证：1

223212

12，下面证明1。，只需证：2只需证：2

4，2

上式显然成立，故有1综上，x1

2

12。

。而这与已知条件x相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立。

18、解：（1）a1010.a201010d40,d3.（2）a30a2010d2101dd2(d0)，a30

1310d，24

当d(,0)(0,)时，a307.5,

.（3）所给数列可推广为无穷数列an，其中a1,a2,,a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n1,,a10(n1)是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：

试写出a10(n1)关于d的关系式，并求a10(n1)的取值范围.研究的结论可以是：由a40a3010d3101dd2d3，依次类推可得

a10(n1)101dd



n



n1

推理与证明综合测试题 篇5

《推理与证明》质量检测试题参赛试卷

陕棉十二厂中学（宏文中学）命题人：司琴霞

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后.只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2．由>，，„若a>b>0且m>0，则与之间大小关

10811102521a＋ma系为()

A．相等B．前者大 C．后者大D．不确定

3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

5、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)212(2n1)”（nN）时，从 “nk到nk1”时，左边应增添的式子是

n

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A．2k1 D．

2k2k

1（）B．2(2k1)

C

．

2k1k1

成立

8、在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

A.29B.254C.602D.20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●

○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）

6、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得

7、已知n为正偶数，用数学归纳法证明1

121314

1n

12（1n

2

1n

4

12n)时，若已假

（）

B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立

A．当n=6时该命题不成立 C．当n=8时该命题不成立

A．12B.13C.14D.1510、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）A．

21

2（）

n1n

设nk(k2为偶

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证

A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

n

1B．

212

n1

n

C．

n(n1)2

n

D．1－

B．nk2时等式成立 D．n2(k2)时等式

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

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11、设等差数列{an}的前n项和为Sn ,则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为

T16

Tn，则T4，________，________成等比数列．

T1212、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则

f(4)=；

三、解答题（共6小题，满分80分）

15、（14分）观察以下各等式：

sin30cos60sin30cos60sin20

cos50sin20cos50

34343

4，sin15cos

45sin15cos45

202000

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，17、当ｎ＞４时，表示）。

f(n)＝（用含n的数学表达式、从

1=

1，设

a，b，x，y∈R，且

31-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为_________________________.18、（13分）已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，，不可能是等差数列。

111abc14、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边

AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：

AB

AC

BC

。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB20、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2,两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

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a3,并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论。（14分）

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数学选修2－2质量检测题参考答案及评分标准

2011.03.10

一、选择题：

T8T1

21二、填空题：11、12、5;(n2)(n1)

T4T8213、14916...(1)

14、n

1.n

2ABD

(1)

n1

.(123...n)

S

2BCD



S

2ABC



S

2ACD



三、解答题：

22

15、猜想：sincos(30)sincos(30)

4………………4分

证明：

sincos(30)sincos(30)

1cos2

2

1cos(602)



sin(302)sin30

00

1

cos(602)cos2

2sin(302)sin30



[sin(302)

..]

1

[sin(302)]22

1



sin(302)

sin(302)

………………………..14分

17、设a=cos,b=sin,x=cos,y=sin,„„„„„4分 则axbycoscossinsin=cos()1„„13分

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∴2ac=b(c+a)=2b„„„„„5分∴ac=b„„„„„7分∴(b-d)(b+d)= b„„„„„9分∴b+bd-bd-d∴ d

=b„„„„„10分

=0即 d=0这与已知d0矛盾„„„„„11分

2116

故 假设错误，原命题成立。„„„„„13分

19、（1）当n＝1时，左=1，右=1，左=右，当n＝2时，左=1+

+=，右=2，边

左<右,所以命题成立；„„„„„3分

（(1



k）)（k

当



k1

nk1)k

时，左

21221

1111k

（k

kk）k2kk1=右边，所以当2222

„„„7分

„„10分

2项

所以nk1时命题正确„„„„„12分

+

推理与证明综合测试题 篇6

（二）教案

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab2(a0,b0).（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例1：求证3725.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

③ 练习：学案练习第1题

要点：逆推证法；执果索因.④出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习:学案巩固练习第2题：设x > 0，y > 0，证明不等式：(x

提示：先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.1222331y)(xy)

33．用综合法和分析法评析课本P41的例6

4.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P,P12,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证

：cab4ab222.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab即证：2cosCCsinC，

6，CcosC2，即证：sin(C.)1（成立）

推理与证明十策（上） 篇7

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

推理与证明综合测试题 篇8

在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材

一、演绎推理

1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.2.演绎推理的特点

(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记

演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。

(1)a//b,b//c,则a//c;（2)a⊥b,b⊥c,则a⊥c;（3)三角形的内角和为180°,四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°, „„,所以n边形的内角和为(n-2)×180°;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明 1.概念

直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式

本题条件已知定义本题结论

已知公理已知定理

三、综合法

1.定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.2.综合法的证明步骤用符号表示为:P0(已知)P1P2„Pn(结论).状元笔记

用综合法证明问题时因果关系要清晰,逻辑表达要明确.综合法所说的“由已知推结论”这里已知是已知的条件和某些数学定义、公理、定理.【示例】设a、b、c＞0,求证：

bcacab++≥a+b+c.abc1 思路分析：从不等式的形式看,具有字母轮换性,而且又是齐次式,可考虑用分合思想加以证明,由三个二项式相加而得出.证明：因为bcacbcac+≥2=2c, ababacababbcacababbc≥2≥2=2a,=2b,将以上三个不等式左、右分别相加,bccabcca得:2(bcacabbcacab)≥2a+2b+2c,即≥a+b+c.abcabc

四、分析法

1.定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止.分析法也是数学证明中的一种常用直接方法,它先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时,命题得证.2.分析法的证明步骤用符号表示为:B(结论)B1B2„BA(已知).状元笔记

分析法就是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归纳为一个明显成立的条件.使用分析法证明不等式,在分析推理时,要学会正确使用连接有关步骤的关键词,如:“为了证明”“只需证明”等.【示例】如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.思路分析：本题所给的已知条件中,垂直关系较多,不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直的问题转化为证明直线与平面垂直的问题.证明：要证AF⊥SC, 只需证SC⊥平面AEF, 只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC), 只需证AE⊥平面SBC, 只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB), 只需证BC⊥平面SAB, 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可知,上式成立.所以AF⊥SC.1.区别:由于分析法是执果索因,立足于寻找欲证结论的合适的充分条件,利于思考;分析法确定解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,证明思路条理清晰,适宜于表述.分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠拢,其实际上是找寻它的充 分条件.综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种.2.联系:对于一个新的问题,多半采取先用分析法寻求思路、解法,后用综合法有条理地表述解题过程,实际证题过程,分析与综合是统一运用的,把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也就没有分析.高手支招2基础整理