定积分应用教案

定积分应用教案（共11篇）

定积分应用教案 篇1

1.教学目标

（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.7.1 定积分在几何中的应用

教学过程

定积分应用教案 篇2

关键词：定积分,平面图形面积,经济学,物理学,应用

1.定 积 分 在 求 平面 图 形 的 面 积 方 面 的 应 用

由定积分的几何意义可知,若y=f(x)在[a,b]上连续,对x∈[a,b],有f(x)≥0则表示y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围面积.

例1.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的 图形的面 积.

解:先确定在y轴上的投影区间:[-2 4],

再确定左右曲线

最后计算积分

2.定 积 分 在经济 学中的 应 用

例2.某企业生产x吨产品时的边际成本为( 元/吨 ), 且固定成本 为900元 , 试求产量 为多少时 平均成本最低.

解:首先求出成本函数

得平均成本函数为

求一阶导数

因此,仅有一个驻点x1=300,再由实际 问题本身 可知有最小值 ,故当产量为300吨时 ,平均成本 最低.

3.定 积 分 在 物理学中的 应 用

例3.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到 点b处计算在 移动过程中 气体压力 所做的功.

解:活塞的位置可以用坐标x表示,由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p与体积V的乘积是常数k.即

在点x处,因为V=x S,所以作用在活塞上的力为

当活塞从x移动到x+dx时,变力所做的功近似为k/xdx

即功元素为

于是所求的功为

例4.一圆柱形的贮水桶高为5m,底圆半径为3m,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需做多少功?

解:取深度x为积分变量,它的变化区间为[0,5],相应于[0,5]上任小区 间 [x,x+dx]的一薄层 水的高度为dx,水的比重为9.8k N/m3.因此如x的单位为m,这薄层水 的重力为9.8π·32dx.这薄层水吸出桶外需做的功近似地为

d W=88.2π·x·dx

此即功元素.于是所求的功为

例析定积分的简单应用 篇3

定积分的几何意义：在区间[a,b]上的曲线[y=f(x)]连续且恒有[f(x)≥0]，那么定积分[abf(x)dx]表示由直线[x=a,x=b,x]轴和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积.

1. 不分割图形面积的求解

例1 求由曲线[y=x]，直线[y＝x－2]及[y]轴所围成的图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积[S].

解 如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线[y=x]与直线[y＝x－2]的交点为[A(4,2)]，

∴[S阴＝04(x－x＋2)dx=(23x32-12x2+2x)40][=163].

2. 分割图形面积的求解

例2 计算由直线[y=4]，曲线[y=4x]及直线[y=x]所围成的封闭图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形的面积的和，进而可以用定积分知识求面积[S].

解 由[y=4y=4x]得[A(1,4)]； 由[y=4xy=x]得[B(2,2)]； 由[y=4y=x]得[C(4,4)].

从而所求的图形面积为

[S=12(4-4x)dx+24(4-x)dx]

[=(4x-4lnx)21+(4x-x22)42=6-4ln2].

点拨 求曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，并将图形分割为若干个曲边梯形（如例题2）；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上、下限；（3）确定被积函数，要特别注意被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t)(v(t)]≥0)在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s=abv(t)dt].

例3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度[v(t)=5-t+551+t](单位:m/s)紧急刹车至停止，求（1）火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后，火车运行的路程.

分析 火车停止即速度为零，火车运行的路程即为速度函数在这一时间段上的定积分.

解 （1）火车停止时，[v(t)=0]，

所以[5-t+551+t=0]，解得[t=10].

即火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间为10秒.

（2）紧急刹车后，火车运行的路程

[s=010v(t)dt=010(5-t+551+t)dt]

[=5t-12t2+55ln(1+t)100=55ln11m]

答: 紧急刹车后，火车运行的路程为[55ln11]米.

点拨 路程是位移的绝对值，从时刻[t=a]到[t=b]所经过的路程:

（1）若[v(t)≥0,s=abv(t)dt;]

（2）若[v(t)≤0,s=-abv(t)dt;]

（3）若在区间[a,c]上[v(t)≥0,]在区间[c,b]上[v(t)<0]，则[s=acv(t)dt-cbv(t)dt.]

2. 变力做功

一物体在变力[F(x)]（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与[F]相同的方向从[x=a]移动到[x=b][(a

例4 一物体按规律[x=bt3]做直线运动，式中[x]为时间[t]内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系数为正实数[k]），试求物体由[x=0]运动到[x=a]时，阻力做的功．

分析 本题的关键是找到阻力的函数解析式，所以首先要找到物体的运动速度. 结合导数的物理意义，物体的运动速度等于物体的路程关于时间的函数的导数，再代入题意即得到阻力做的功.

解 由题意知：物体的位移函数为[v(t)=bt3]，

∴速度函数为[v(t)=x(t)=3bt2].

媒质阻力[f阻=k⋅v2(t)=9kb2t4]，又[t=(xb)13]，

[∴f阻=9kb2t4=9kb2(xb)43=9kb23x43].

∴阻力做的功是

[W阻=0af阻dx=0a9kb23x43dx]

[=9kb23(37x73)a0=277kb23a23].

点拨 求变力做功的方法（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力[F]的表达式，这是求功的关键. （2）由功的物理意义知，物体在变力[F(x)]的作用下，沿力[F]的方向做直线运动，使物体从[x=a]到[x=b][(a

1. 由曲线[y＝x2＋1]，[x＋y＝3]及[x]轴、[y]轴所围成的区域的面积为 .

2. 函数[f(x)＝x+1 (-1≤x<0),cosx (0≤x≤π2),]的图象与[x]轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. [32] B. 1 C．2 D. [12]

3. 已知自由落体运动的速率[v=gt]，则落体运动从[t=0]到[t=t0]所走的路程为（ ）

A．[gt203] B．[gt20] C．[gt202] D．[gt206]

4. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

1. [103] 2. A 3. C 4. A

定积分应用教案 篇4

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1

第2题）

证明：

构造函数f(x)

1

1

1（nN）（高中人教（A）版选修4-5P29，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1

应为直线x1，xn，x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故







n

x



2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1





1。

图（2）中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1，xn1，x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1







n1

x



dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：









①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即





n1n

x



dx2x2

n1n





代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当nN时，求证：ln(n1)lnn

（2）

1n1



1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)

1x

(x0)，作出函数图象，根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线xn，x2n，x轴和曲线f(x)围

1x

所，即

成

n的12

曲

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()()（n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1



（nN）



1n



证明：对于大于1的正整数n，n2

定积分的计算方法总结 篇5

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

浅谈用定积分的定义解决极限问题 篇6

浅谈用定积分的定义解决极限问题

王涛

（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）

摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积

在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y=f(x)定义在区间a,b上有界，在a,b上任意插入分点：a=x0＜x1＜＜xn1＜xn=b,令xi=xixi1，又任取i[xi1,xi], i=1,2,…n.作和式Inf(i)xi，令xm如果当xi0时，和式In的极限存在，且此极限与a,baxxi，i11inn的分法及i的取法无关，则称函数f(x)在a,b上是可积的，并称该极限值为f(x)在a,b上的定积分，记作

即baf(x)dx，nb

af(x)dxf(i)xi.x0i

180

其中函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间。1

b

这个定义看上去很复杂，但只要抓住af(x)dxf(i)xi即可。我们在x0i1

n

后面所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分之间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用定积分解决极限问题。

23n

sinsinsinsin2nnnn 例1.求

lim

111nn1

nnn

23n

解： 注意到：

23n

sinsinsinsin123nnnnn [sinsinsinsin]

n1nnnn111n1

nnn23n

123n1nk[sinsinsinsin]=（*）sin

nnnnnnk1n

由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到

1nk1

=sinxdx=2 limsin0nnnk1

而不等式的左端取极限，有

n1nk=2 1nk=

sinsinlimlim

nk1nnnn1nn1k1

由夹逼定理知

23n

sinsinsinsinnnnnlim

111nn1

nnn

23n





=

2

这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对（*）左右两边的式子取

n1nkb

极限时，我们发现 limsin可以表为形如af(x)dxf(i)xi的形式.因

nnnk1x0i1

为f(x)sinx为[0, 1]上可积函数，所以对于[0, 1]任意划分及i的任意取法极限

刘桂茹，孙永华编著：《高等学校经济数学系列教材 微积分》，南开大学出版社，2004年12月版，第200

页。2

2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类），第八题。

limf(i)xi都存在且相等, 此时令xi=

n

||x||0i1

1i，即把[0, 1]n等分, i为分点，由nn

定积分的定义我们得到

21nk1

==, sinxdxsinlim

n0nnk1

然后再取右边的极限,由夹逼定理我们得到最后的结果



.这道题解题的关键就是用到定积分的定义,把求极限问题与定积分的定义联系起来，很容易的解出题目。

让我们再来看一个例子.例2.求lim

n

n1)(n2)（nn)。

n

解：∵lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim(1n)(1

n

2n)（1)nn

于是，我们设y(1n)(1

2n)（1)nn

1ni

ln(1)取对数lny

ni1n

于是有limlny=lim

n

1ni

ln(1).（**）

nnni1

我们采用同例1同样的方法。此时令xi=

1i，i1.所以（**）可等于 nn

11ni

limln(1)=0ln(1x)dx=2ln21.nnni1

因此limlny2ln21，n

n

limye

2ln21

=e

ln

e

4.e

所以最后的结果是lim

这道题与例1

n

(n1)(n2)（nn)4=.en

b

有相似之处，整理式子，发现（**）形如a

f(x)dxf(i)xi

x0i1

n

由定积分的定义把求（**）转化为求定积分的值，得到结果。

由上面两个例子我们可以发现几个问题：

1.用定积分的定义来求极限的问题，给出的题目往往是有无穷多个式子连乘或连加构成，而且式子看上去很复杂但很有规律，经过一定的变换可以得到如下形式

ba

n

f(x)dxf(i)xi

x0i1

运用此式可以把极限问题转化为求定积分值的问题。

2.解题时不仅要用到定积分的定义，还需要与其他方法结合使用。第一题中用到了夹逼定理，第二题则用到了取对数的方法。这样就增加了解题的难度题目。在出用定积分解极限问题时，一般不会直接让你看出用定积分定义来做此题，而是需要运用其他的方法把式子经过一定的变换之后再用定积分来做，定积分的定义是解题的关键。此类题的目的就是要用定积分的定义来解极限问题，但之前要把式子整理到形如定积分的定义式之后才能用定积分来做。达到了一道题考察多种概念、方法的目的。

以上就是我们所讨论的用定积分的定义来解某一类的极限问题。它所反映的思想就是要把相通的、有关系的事物联系起来，扩展思路，最终达到解决问题的目的。学习数学的目的就是为了锻炼人的逻辑思维能力。在实际生活中，我们也要解放思想，开阔思路，善于逆向思维，发掘更多解决问题的方法，这样对于我们整个国家、社会的发展也是非常有帮助的。参考文献

[1] 刘桂茹，孙永华.高等学校经济数学系列教材 微积分.天津：南开大学出版社，2004年12月版

定积分应用教案 篇7

积分在数学分析中有很重要的地位;积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨, 但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

1 相关定理及证明

定理1[1] 设f (x) 在区间$\left[-a‚a\right]$上可积:

(1) 若f (x) 为奇函数, 则∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0;

(2) 若f (x) 为偶函数, 则

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=2∫a0f (x) dx。

证明 (1) 当f (x) 为奇函数时:令-x=t则

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=∫-aaf (-t) d (-t) =

∫${}_{-a}^a$f (-t) dt=-∫${}_{-a}^a$f (x) dx

所以:2∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0即∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0。

(2) 当f (x) 是偶函数时:

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=∫${}_{-a}^0$f (x) dx+∫${}_0^a$f (x) dx=

∫0af (-t) d (-t) +∫${}_0^a$f (x) dx=

∫${}_0^a$f (t) dt+∫${}_0^a$f (x) dx。

所以:∫${}_{-a}^a$f (x) dx=2∫${}_0^a$f (x) dx。

例1[2]:计算积分${\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }$。

解:令θ=π-x 则

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }=-{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2+\cos (\text{π}-x)}=\\ -{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}。\end{array}$

其中$f(x)=\frac{1}{2-\cos x}$为偶函数, 则

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }=-{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2+\cos (\text{π}-x)}=\\ -{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}={\displaystyle \int }{}_{-\text{π}}^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}=2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}。\end{array}$

令$\tan \frac{x}{2}=t$, 则

$\begin{array}{l}2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}=2{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\frac{2}{1+t{}^2}}{2-\frac{1-t{}^2}{1+t{}^2}}\text{d}t=\\ 4{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\frac{1}{1+t{}^2}}{2-\frac{1-t{}^2}{1+t{}^2}}\text{d}t=4{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\text{d}t}{1+3t{}^2}=\end{array}$

$4\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \sqrt{3}t|{}_0^{+\infty }=\frac{2\text{π}}{\sqrt{3}}$。

定理[3,4]2 若D关于x轴对称, D1为位于x轴上半部分, 当函数f (x, y) 是关于y的奇函数, 即

f (x, -y) =-f (x, y) 时,

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$;

当函数f (x, y) 是关于y的偶函数, 即

f (x, -y) =f (x, y) 时,

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

证明 设f (x, y) 在D1为x型区域, 其中φ1 (x) , φ2 (x) 在区间$\left[a‚b\right]$上连续, 不妨设φ1 (x) ≤φ2 (x) , 则

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{-\phi {}_2(x)}^{-\phi {}_1(x)}f(x‚y)\text{d}y+$

∫${}_a^b$dx∫${}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}$f (x, y) dy

令y=-t, 当f (x, y) 是关于y的奇函数时,

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚-t)\text{d}(-t)+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚t)\text{d}t+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ -{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+\\ {\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0。\end{array}$

当f (x, y) 是关于y的偶函数时,

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚-t)\text{d}(-t)+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ -{\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚t)\text{d}t+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}\text{y}+\end{array}$

${\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

定理3[4] 若D关于y轴对称, D2为位于y轴右半部分。

当函数f (x, y) 是关于x的奇函数, 即f (-x, y) =-f (x, y) 时:

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$;

当函数f (x, y) 是关于x的偶函数, 即f (-x, y) =f (x, y) 时:

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_2}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

同理按照上述方法令x=-t可以证明。

例2[2]:求圆锥 z2=a2 (x2+y2) 截圆柱面x2+y2=2y所得有界部分立体的体积。

解 立体在xy平面上的投影D:x2+y2≤2y, 根据积分区域是关于y轴对称并且被积函数$f(x)=a\sqrt{x{}^2+y{}^2}$是x的偶函数, 那么所得立体体积[5]。

$V=2{\displaystyle \underset{D}{\iint }a}\sqrt{x{}^2+y{}^2}\text{d}x$。

令x=rcos θ, y=rsin θ。

则D变为$\left\{(r‚\theta )|0\le \theta \le \text{π}‚0\le r\le 2\sin \theta \right\}$。

$V=2{\displaystyle \underset{D}{\iint }a}\sqrt{x{}^2+y{}^2}\text{d}x=2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\text{d}\theta {\displaystyle \int }{}_0^{2\sin \theta }arr\text{d}r=$

$\frac{16a}{3}{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\sin {}^3\theta \text{d}\theta =\frac{64}{9}a$。

定理4[6] 若区域D为关于原点对称, 其中D3为D中关于原点对称的右侧。

当f (x, y) 为奇函数即f (-x, -y) =-f (x, y) 时, 有${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$。

当f (x, y) 为偶函数即f (-x, -y) =f (x, y) 时, 有

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}\text{x}\text{d}y$。

证明[3] 设D可分为关于原点对称的两个区域D3和D4, 且任意的P (x, y) ∈D3关于原点对称P1 (x1, y1) ∈D4, 则

$\{\begin{array}{c}x{}_1=-x;\\ y{}_1=-y。\end{array}$

由Jacobi行列式

$J=\frac{\partial (x{}_1‚y{}_1)}{\partial (x‚y)}=\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{\partial x{}_1}{\partial x}\\ \frac{\partial y{}_1}{\partial x}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{\partial x{}_1}{\partial y}\\ \frac{\partial y{}_1}{\partial y}\end{array}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-1& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& -1\end{array}\end{array}\right|=1$

而${\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x{}_1‚y{}_1)\text{d}x{}_1\text{d}y{}_1={\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)J\text{d}x\text{d}y$。

所以

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)J\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)\text{d}x\text{d}y。\end{array}$

由此可知:当f (x, y) 为奇函数时

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$。

当f (x, y) 为偶函数时

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

例3[2]:计算${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y$, 其中D为直线y=x与曲线$y=x{}^{\frac{1}{3}}$围成的有界闭区域。

解:由积分区域关于原点对称及被积函数为关于y的偶函数知

${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \int }{}_0^1\text{d}y{\displaystyle \int }{}_y^{y{}^3}e{}^{-y{}^2}\text{d}x=$

2∫${}_0^1$ (y-y3) e-y2dy。

令t=y2, 则

${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_0^1(1-t)e{}^{-t}\text{d}t=\frac{1}{e}$。

3 定理的推广

推论1[7,8] 若区域D关于y=x轴对称, 此时x与y的位置相同, 那么

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(y‚x)\text{d}x\text{d}y$

推论2[9] 设D是有界平面区域, 二元函数f (x, y) 在D上有连续的偏导数, 且D关于x, y轴对称, 则${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=4{\displaystyle \underset{D{}^{+}}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$, 其中D+={ (x, y) ∈D|x, y>0}。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) .北京:高等教育出版社, 2001:220—229

[2]钱吉林.数学分析题解精粹.武汉:崇文书局, 2003:292—293

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (下册) .北京:高等教育出版社, 2001:218—223

[4]孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报, 2008;29:9—10

[5]葛广俊.怎样计算二重积分.安徽电子信息职业技术学院学报, 2003;6 (2) :57—59

[6]张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报, 2008;8 (2) :102—104

[7]温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008;11 (2) :63—65

[8]同济大学应用数学系.数学分析同步辅导 (上册) .北京:航空工业出版社, 2005:216—232

定积分的课堂探究 篇8

【关键词】 定积分概念 基本定理 方法技巧

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、如何理解定积分的概念？

（1）“∫”叫作积分号，a与b分别叫作积分下限和积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，函数f（x）叫作被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫被积式。

（2）定积分的含义：定积分∫abf（x）dx是一种特定形式的和式

的极限，即∫abf（x）dx表示当n ∞时，和式 所趋近的定值.

（3）定积分∫abf（x）dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母无关。

二、如何用定积分的定义求定积分？

用定积分的定义求定积分的一半步骤为：分割、近似代替、求和、取极限，要借助求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的问题去体会定积分的基本思想.求解时要注意以下技巧：（1）要均分积分区间；（2）每个小区间上的函数f（x）的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替；（3）熟记以下结论：①1+2+3……+n=■，②12+22+32……+n2=■，③13+23+33……+n3=■n2（n+1）2.

三、微积分基本定理的作用有哪些？

（1）微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的联系，提供了计算定积分的有效方法.应用微积分基本定理计算定积分要注意：一要正确选择被积函数，二要注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F（b）-F（a）.

（2）利用微积分基本定理计算定积分∫abf（x）dx的关键是找F'（x）=f（x）满足的函数F（x），通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）.

（3）求导数运算与求原函数运算互为逆运算.在微积分基本定理中，函数F（x）叫做函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数。因为所以也是函数f（x）的原函数。

（4）微积分定理实际上给出了微分和积分之间的联系，在解决含有参数的定积分问题时，往往要对字母参数进行讨论，有时解决这类问题要与其它知识联系起来，综合解决.

（5）在物理上应用微积分定理可以求变速直线运动的物体所经过的路程、变力做功问题等。作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v（t）[v（t）≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即S=∫abv（t）dt作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解.所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可；一物体在恒力F（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），那么F力所做的功W=Fs为如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a

（6）解决定积分实际应用问题的关键是将问题划归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。对于变化率为不定量的求和问题通常都通过转化到定积分上进行求解的.注意模型的合理构建是做此类题的关键。

四、求定积分的方法与技巧有哪些？

求定积分的基本方法有：（1）定义法；（2）利用微积分基本定理；（3）利用定积分的几何意义.常用的方法是（2）和（3），在定积分的计算中，除了注意灵活选择计算方法外，还要注意技巧的使用.技巧的注意点：（1）利用被积函数的奇偶性；（2）对被积函数进行适当的变形或化简；（3）灵活选取积分变量。

五、利用定积分解决实际问题应注意什么？

解决定积分实际应用问题的关键是将实际问题化归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。应用导数与积分求面积时有时会遇到所求面积是某一变量的函数，这时需要注意积分的上、下限与变量的关系。

六、如何利用定积分求平面图形的面积？

微积分基本定理使我们得到了求定积分的一般方法，定积分的几何意义为我们提供了用定积分求平面图形面积的理论依据。因此，要明确定积分的几何意义，借助图形的直观作用加深对微积分基本定理的理解，对求平面图形的面积形成一个完整的认识，并利用数形结合的方法来确定被积函数和积分的上、下限。具体步骤为：

（1）在平面直角坐标系中画出曲线或直线；

（2）解方程组求出交点坐标，从而确定积分的上、下限；

（3）确定被积函数，特别要注意被积函数的性质；

（4）写出所围成平面图形的定积分表达式；

复变与积分变换教案 篇9

第七次课 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。

讲课段落：

 Cauchy积分高阶导数定理的背景；  多连通域的Cauchy积分高阶导数定理  运用高阶导数公式计算复积分。知识要点：

 对每个自然数

n，在D内定义函数

f()Fn(z)d n(z)则对zD，有

Fn(z)nFn1(z)

 对每个自然数n，f(z)在D内处处有n阶 导数，且对zD 有 f(n)n!f()(z)dn1 2i(z) 由于f(z)uxivxvyiuy，而高阶导数定理认定，一但

f(z)解析 则f(z)也解析，自然更有f(z)连续，从而可知ux,vx,uy,vy都连续。

 设D为单连域，f(z)在D内连续，若对

苏轼`定**教案 篇10

一、本词导入。

站在这儿，我突然就想到一句话：

人生就是一堂课的工夫；加一个字，人生就是上一堂课的工夫。类推一下：

人生就是一场雨的工夫，人生就是躲（淋）一场雨的工夫。一场雨，躲一场雨。你更喜欢哪一种说法？为什么？ 板书：雨

前者寓意：偶然；短暂；不幸；客观存在；„„

后者多了层如何面对的意思，有了动词，主观意愿，行动过程，生命痕迹，„„

苏轼会怎么看？请翻开教材 71页，我们一起来看《定**》。

二、整体感知

1、我先读一遍，大家看看，就我刚刚那题，东坡会怎么回答。（注解 10，萧洒、萧瑟，版本不同。标记一下）

——他没躲雨。（小序中，词中。小序作用？“故”：写作缘由，一件小事寄予深刻哲理。）——他说风雨皆无。

——他淡化弱化了甚至无视了所有的风雨。

2、听这首词，苏轼给你的最大印象是什么？齐读一遍，然后从词中找一下答案。——沉着。再大的穿林打叶声，都打不乱一个人既有的步伐，只要你视风雨为无物，照样吟啸徐行。

——豪迈。竹杖芒鞋不可惧怕，只要你以之为乐，一样可以轻胜过马。

——随意而安。料峭春风冷，山头斜照暖。气候不定，人生不定，祸福难晓，不如听其自然。

——通达。也无风雨也无晴。阴晴可以等同，盛衰荣辱，又何足挂齿？利害得失可以一并泯灭（有几分禅意了）„„

三、背景穿插。

1、苏轼出世了吗？ ——没。·你怎么知道？

——这位同学用苏轼的生平经历证明了，他一生都在仕途上。被贬到黄州还挂着个团练副使，被贬到惠州儋州也还有个节度副使、别驾什么的。预习很扎实，看得很细。（22岁中进士，先是当判官，然后出任，先后知杭州、密州、徐州、湖州，被贬黄州，职位团练副使（自卫队副队长），出来之后，又先后知登州，一度高升翰林学士，后又出知杭州、颖州、扬州、定州，最后被逐惠州、儋州，节度使副使，别驾。）

3、那大家知道他这首词写在什么时候吗？被贬黄州的第三个春天。好多人都记得余秋雨的这句话：苏东坡成就了黄州，黄州成就了苏东坡。哪位同学来谈谈苏轼去黄州的背景。——他这一说大家都明白了，原来和历史还有关，和政治有关。苏轼是在朝廷新旧党之争中倒的霉。（有意思的是新法当政，他发现新法弊端，故反对；旧法当政时，他又觉新法仍有可取之处，所以他不见容于两端。在新法倒霉后者苏目睹新法一些弊端，故很不同意王安石的新法。神宗即位支持变法，旧雨凋零。苏轼自求外放。就是前面说的出知杭扬等。这样持续了大概有十年，当时有人故意把他的诗句扭曲，大做文章。说他作诗讽刺新法，“文字毁谤君相”的罪名，被捕下狱，史称“乌台诗案”。坐牢 103天，几濒临被砍头的境地。幸亏北宋在太祖赵匡胤年间即定下不杀大臣的国策，苏轼才算躲过一劫。）

——这位同学说东坡获罪？独以名太高。那是他弟弟苏辙说的。你从哪里得知？余《苏东坡突围》。很是篇很值得一读的文章，他从社会的文化心理角度来阐述东坡怎么倒的霉

四、朗读指导

1、了解这么细，我猜你一定是爱上东坡了。那么，我们请你再来朗读一遍这首词。

——有点苏子行吟的味道了。“何妨„„平生”，还应该读得怎么点？从容点，潇洒点，豁达点。豁达怎么读？不温不火，不急不躁，这是节拍。调子呢？不扬不抑。

——不对，有同学说“竹杖芒鞋轻胜马”有点喜悦和豪迈在里面，可以调子略高点。能不能读成“大江东去”那种？语言风格还不一样，这首词更随意、更朴拙点，豪放在骨子里，在不经意间。——有人说“料峭„„微冷，相迎”还有对人生阴晴不定、捉摸不定的复杂情绪。

五、重点探究、拓展

1、太复杂了，不好读。那按照自己的理解，再自由读一遍。看看这首短短的词，作者的情感有没有变化？如果抓重点，你会抓哪两句来看？大家互相讨论一下。

——上片重点：“谁怕 ?一蓑烟雨任平生”。哪个字最关键？任。有风雨，但任风雨漫天，任乱云飞渡，我自岿然不动。潇洒镇静中，有几分倔强、几分抗争的心。有点啸傲江湖的味道。板书：任（“徐行”）

——下片关键：“归去 ,也无风雨也无晴”。还有没有雨了？一切都像什么都没有发生似的。本无风雨，何来晴明。板书：无（“回首”）

这让我想到五祖的两个弟子的话：“身是菩提树 ,心如明镜台 ,时时勤拂拭，勿使惹尘埃”；还有一位说：“菩提本非树，明镜亦非台。本来无一物，何处惹尘埃。”无一物、无风雨，颇相似，有点空蒙之感，禅意很浓了。

2、如果我们想把全词浓缩到一个字上，你会想到哪个字？为什么？ 归。

——前二者合在一起便是全词思想情感的核心所在，那就是 : 作者不怕任何风雨 , 也不在乎风雨阴晴多变 , 一心渴望退隐 , 归去。

——“也无风雨也无情。”颇有点超凡拔俗的味道。这也是归。——回首。实指刚刚遇雨之处，虚指自己平生经历过的宦海**的感悟和反思，反思的结果是归去。·让你想到谁？

——庄子《逍遥游》御风而行，泠然善者。一死生，齐彭殇，——陶潜《归去来兮》“登东皋以舒啸，临清流而赋诗。聊乘化以归尽，乐夫天命复奚疑!”

·他和庄子、陶潜能划等号吗？——不能，我特别赞赏这位同学联系背景生平来谈的做法。前面同学也已经说了。苏轼人生态度是入世而非出世。他宦海沉浮一辈子，他从来没抛弃过世俗生活和仕途生活，他是大儒，但又通佛通道，儒释道在他身上矛盾又统一。

·苏 360首词中，归字出现 100多次。他要往哪归？ 我们来看他另外几首词。

——《定**》：“„„万里归来年愈少，微笑，笑时犹带岭梅香。试问岭南应不好？却道：此心安处是吾乡。”（吾乡何在？在心安处）

——《和子由渑池怀旧》：人生到处知何似？应似飞鸿踏雪泥。泥上偶然留指爪，鸿飞那复计东西？（人生像什么？飞鸿踏雪。一切皆为偶然、虚幻，无论功名利禄，还是痛苦灾难，所以还有什么可以悲喜的呢。（故欢乐不必过于欣喜，痛苦可以在内心化解，世事沧桑实属过眼烟云，求得本心清静便是解脱。和悲喜不形于色还不同，不形于色，心里有，他是化了悲与喜。（这就直接导向了对社会共认的价值系统的否定，和对苦难现实漠然处之的态度。）

——〈临江仙〉：夜饮东坡醒复醉，归来仿佛三更。家童鼻息已雷鸣。敲门都不应，倚杖听江声。长恨此身非我有，何时忘却营营。夜阑风静縠（hu2声）纹平。小舟从此逝，江海寄余生。（一个笑话，以为他逃跑，派人去追，回头却发现他在呼呼大睡。）他的江海是什么？

——六月二十日夜渡海（1100年）：参横斗转欲三更，苦雨终风也解晴。（参： shē n）云散月明谁点缀？天容海色本澄清。空余鲁叟乘桴意，粗识轩辕奏乐声。九死南荒吾不恨，兹游奇绝冠平生。（九死而不恨，心里装着什么，才有这样的胸襟？这是何等的跨越或超越！）

——《自题金山画像》 :“心似已灰之木 ,身如不系之舟。问汝平生功业，黄州惠州儋州。

借助定积分证明不等式 篇11

先来看一道例题.

例1 证明：12+13+…+1n

分析1 本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求考生证明.例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题的证题核心都是上述不等式.

传统的证明方法是将不等式右边裂项，并与左边一一对应寻找关系构造函数求解.

证明1 设函数f（x）=x+ln（1-x），x∈（0，1）时，f′（x）=1-11-x=-x1-x<0，f（x）单调递减，所以f（x）

取x=1n∈（0，1），n∈N+，则有1n

分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和式中每一项都是函数f（x）=1x的函数值，而右侧则是函数g（x）=lnx的函数值，从而考虑将其看作原函数与导函数，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，得到如下解法.

证明2 作f（x）=1x的图像（图1），设点（n-1，0），（n-1，1n），（n，0），（n，1n），（n∈N+且n≥2）围成的n个矩形的面积之和（即图中阴影部分）为S1，曲线y=1x，x∈[1，n]与x轴围成的曲边梯形面积为S2，根据图像显然有S2>S1.

又由于S1=1×12+1×13+…+1×1n=

∑ni=21i，S2=∫n11xdx=lnn所以原不等式得证.图1

从上面的证明中，相信大家已经领略到了积分法证明不等式的优美之处.虽然比较之下函数构造法的复杂度不高、计算量也不大，但在分析问题的过程中，通过一目了然的函数图像，积分法的思路显得远比函数法简洁且易于捕捉.

在上题中，定积分的主要作用在于赋予不等式中某一项或几项几何意义，然后再通过面积的比较直截了当地证明原不等式.下面的这道例题也使用了这种方法，不过在面积的比较上使用了一些技巧.

例2 设函数f（x）=ln（x+1），若-1f（x）-f（x2）x-x2是否恒成立？证明你的结论.

分析与证明 看到此题要证明的不等式结构，很容易联想到曲线割线的斜率.如果作出f（x）=lnx的图像，不难看出结论是显然成立的，但若要利用割线斜率来证明此题需要使用到拉格朗日中值定理，而中值定理却并不属于高考涉及的知识.

因此重新观察原不等式.注意到函数f（x）结构十分简单，因而如果熟练掌握利用定积分证明不等式的思想，不难想到将原函数函数值之差转化为导函数f′（x）=1x+1的定积分.如此一来，原不等式化为如下形式：

∫xx1f′（x）dxx-x1>∫x2xf′（x）dxx2-x.（*）

转化之后，下一步便是同上题一样作出f′（x）图像，联系上式积分式的几何意义，尝试寻找与面积相关的关系.

如图2所示，取点A，B，C，D，E，F，则∫xx1f′（x）dx即为曲边体形AEFD的面积，设为S1；同理设S2=SEBCF=∫x2xf′（x）dx.同时又有DF=x-x1，FC=x2-x.于是（*）式又进一步化为

S1DF>S2CF.图2

由于不易直接判断两边分式的大小，考虑借助中间量EF.过E作MN平行于x轴交直线AD、CB于M，N，注意到

S1DF>SMEFDDF=EF=SENCFCF>S2CF，

所以原不等式得证.

此题为湖南长沙高考模拟的一道理科数学压轴题，原题答案给出的证明方法是通过构造函数分别比较不等式两边与1x+1的大小.事实上，在上述证明中，中间量线段EF的长对应的值即为f′（x）=1x+1.尽管这两种方法看上去异曲同工，但在实际解题过程中，中间量的寻找难度却相差很大.定积分把抽象的代数式转化为了具体的几何图形及其面积，大大降低了寻找中间量的难度，从而有效地保证了解题思路的流畅连贯，不至使思路受阻而无法解出此题.

这两道例题的方法相似，都是通过面积的比较直接证明不等式.可以用这类方法解决的题目，其所求证的不等式大多具有较为明显的结构特点：如例题一，原函数与导函数同时出现在不等式中；或如例题二，不等式或变形后的不等式中涉及函数值之差.在这类问题的解决过程中积分法一旦能够有用武之地，它的优势通常都是十分显著的.这是因为此类题目在出题时制定的标准答案多为导数方法，题目的难点和易错点也大都存在于函数的构造、导数的计算等过程中，因而使用定积分常常能够巧妙的避开这些困难之处另辟蹊径，更加有效地逼近答案.

但定积分在不等式证明中的作用绝不仅限于此.我们知道，放缩是不等式证明中最重要最有效的方法之一，实际上利用定积分也可以实现对不等式的“放缩”.常见的放缩是通过添加、删除或改变常数、代数式等来实现，而接下来要介绍的方法则是对整个命题进行强化，其实质都是通过证明原命题的充分不必要条件来达到证明原命题的目的.

例3 已知函数f（x）=xex，求证：对任意x∈（0，1），f（1-x）

分析1 先化简原命题，代入自变量得1-xe1-x<1+xe1+x，整理得e2x<1+x1-x，尝试作差并构造函数证明.但二次求导之后发现构造出的函数难以研究其单调性，因此重新对原不等式进行变形，寻找易于处理的形式，并再次二次求导证明单调性.

证明1 要证1-xe1-x<1+xe1+x，只需证（1-x）e2x-（1+x）<0，设函数g（x）=（1-x）e2x-（1+x），x∈（0，1），则g′（x）=e2x-2xe2x-1，g′′（x）=-4xe2x<0，所以g′（x）单调递减，所以g′（x）

证明2 要证原命题，即证f（1）-f（1-x）>

-[f（1+x）-f（1）]，即∫11-xf′（t）dt>∫1+x1[-f′（t）]dt，强化命题，只需证对任意x∈（0，1），f′（1-x）>-f′（1+x）

即证1-（1-x）e1-x>-1-（1+x）e1+x，即xe1-x>xe1+x显然成立，所以原不等式得证.

证明2中对命题的一次强化正确性是比较显然的.由于不等号两边积分式的积分区间长度相同，如果保证了左段函数值总是“对应地”（关于直线x=1对称地）大于右段函数值，那么函数左段的定积分自然也大于右段的定积分.或者更为直观地说：设两曲边梯形A和B等底，使A和B的底边重合，若A的上轮廓总是高于B的上轮廓，A的面积当然要大于B的面积.这其实类似于立体几何中的祖暅定理.

基于这个结论，我们把对原函数函数值的比较转化为了对导函数函数值的比较，从而极大地降低了证明的难度，得到了一个甚至直接观察就可以证明的不等式.相比之下，第一种方法首先需要进行多次变形的尝试以找到一个易于构造函数、构造出的函数易于分析的不等式结构，然后又需要计算二阶导数来分析函数单调性并利用单调性证明原不等式，显得十分的复杂、繁琐.

以上的三道例题充分证明了定积分在不等式证明中是一个化繁为简、出奇制胜的有力工具，而不仅仅是一个在高考中只能用来解答基础题的知识.利用定积分证明不等式不仅能降低证明的难度，更能使证明过程更加简洁、优美，在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，必能获得事半功倍的效果.