离散数学自学考试（精选8篇）
带全称量词和存在量词的命题逻辑推理的构造和证明 第二部分
集合基本运算，文氏图 有序对的基本知识，笛卡儿积，特征函数
函数的性质（单射，满射，双射）
集合的基本概念（交集，并集，幂集，定义域，值域）
给出关系图，画出r(R)，s(R)，t(R)等价关系及等价划分 集合相等证明
从A到B的函数的性质
关系的性质（自反，对称，传递）偏序关系和哈斯图
A卷
1、选择10题（2*10=20分）
2、填空8题（1*15=15分）
3、综合题（6题，39分）（1）前束范式
（2）偏序关系和哈斯图（3）文氏图（4）关系的闭包
（5）用真值表判断公式的成真赋值（6）量词消去
4、证明题（3题，共26分）自然推理系统证明（第三章）集合相等证明
命题逻辑推理证明（第五章）B卷
1、填空10题（2*10=20分）
2、选择10题（1*10=10分）
3、综合题（6题，44分）（1）主析取范式判断公式类型（2）量词消去，求公式真值（3）集合计算（4）量词消去（5）前束范式
（6）偏序关系和哈斯图
4、推理填空题（8分）
关键词：离散数学,兴趣,课堂教学
离散数学课程与传统的大学数学课程 (如高等数学) 有很大的区别, 高等数学研究的一般是自变量在区间上连续变化的函数, 而离散数学是研究离散变量及其相互关系的学科, 如自然数、真假值等等。这门课程是随着计算机的发展而产生的 (机器语言只有0、1两个离散值) , 因此开设这门课程的专业都是与计算机关系密切的专业, 如信息与计算科学、计算机科学与技术、信息管理、电子商务、物联网等。
众所周知, 高等数学有大家公认的经典和传统的教材, 即使版本不同, 内容也大同小异, 而离散数学一般是学校根据自己专业的培养目标和方向自行定制教材, 内容的侧重点也不尽相同, 但无论哪一种教材, 都会包括四部分内容:数理逻辑、集合论、代数系统和图论, 这其实是数学专业需要分开学习的四门课程, 相对比较枯燥, 离散数学教材将这些放在一起, 每一部分都介绍了与计算机技术相关的内容, 不像数学专业学的深入, 但涉及的面很广, 对学生而言非常困难。和高等数学比较, 由于学生从中学开始就接触函数, 因此高等数学课程的入门相对容易, 课程前后的内容联系紧密, 开始学习时学生感觉不会太困难。但离散数学不同, 学生以前基本没有接触过相关的知识, 并且内容前后之间又没有必然的联系 (充分体现了离散性) , 学习后面的经常忘记前面的, 这就给学生的学习制造了很多的麻烦, 他们普遍认为离散数学不好学, 甚至有个别学生最后只能放弃。俗话说, 兴趣是最好的老师, 鉴于以上这些原因, 本文根据这四部分内容, 谈谈如何在课堂教学中提高学生的学习兴趣。
1 数理逻辑之趣
逻辑学简单地讲, 就是研究推理的学科, 数理逻辑也不例外, 它是运用一套符号体系加上一些规则, 研究我们生活中的一切与推理有关的问题, 这不就让课堂生动起来了吗?比如生活中有这样的叙述:“情况并非如此, 如果他不来, 那么我也不去。”这句话如果说给外国人听, 他们一定会觉得云山雾罩的, 即便是中国人自己, 能够理解清楚也不是很容易吧, 到底是他来或不来, 我去还是不去呢?现在我们用数理逻辑的理论去研究, 看看到底说的什么意思?设P表示“他来”, Q表示“我去”, 这句话翻译成逻辑语言是:┐ (┐P→┐Q) , 利用推理规则得到与之等价的命题┐P∧Q, 再将其还原回生活语言就是“他没来, 但我去了”, 如此之简单, 学生恍然大悟, 马上会兴趣倍增的。再有, 课堂上如果让学生分析下面这段程序, 结果会怎样呢?“If A then if B then X else Y else if B then X else Y”, 就是对计算机专业的学生而言, 理解程序的条件和结论也不容易吧, 但程序肯定是正确的, 计算机也是可以执行的, 现在让我们用数理逻辑理论化简一下吧。执行X的条件: (A∧B) ∨ (┐A∧B) , 化简后等价于B;执行Y的条件: (A∧┐B) ∨ (┐A∧┐B) , 化简后等价于┐B, 结果出乎人们的意料, A在程序中根本没起作用, 纯属捣乱而已, 此程序实际可以简化为:“If B then X else Y”。如此好玩的问题, 与日常生活和学生的专业又有密切的联系, 我们可以想象一下, 学生学习起来会多么高兴, 又怎么会在课堂上睡觉呢?
2 集合关系之趣
在生活中, 存在着各式各样的关系, 如父子关系、夫妻关系、朋友关系、上下级关系等等, 这些关系看起来各不相同, 但很多关系却可以用数学思想抽象出它们共同的性质。离散数学集合论部分涉及到的就是研究各种各样的关系, 如等价关系、序关系等等, 研究这些关系, 也是非常有趣的事情。比如利用“同姓”关系, 可以将人群分类:{张}、{王}、{李}、{欧阳}、{诸葛}……等等, 如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征时, 可以分别从不同的姓氏集合中, 任取一个人进行研究, 这个人可以作为每一类姓氏人群的代表, 他有的特征和他同类的人都有;再比如平常说的“家族”关系, 可以理解为集合中的复合关系, 如果R是“父子”关系, S是“兄弟”关系, 那么R○R表示“祖孙”关系、S○R表示“伯侄”关系等等, 只要将条件设计好, 红楼梦中的林黛玉和王熙凤之间的关系也可以用数学语言表示出来。事实上, 生活中的所有关系都是可以用数学符号描绘出来的, 这方面可以引导学生自己去探索, 以便提高他们的学习兴趣。
3 代数系统之趣
代数系统是离散数学中最抽象的一部分, 它在数学学科中属于抽象代数的内容, 怎样用生活中有趣的例子解释、描述抽象的概念, 是课堂教学需要认真研究的问题之一。事实上, 在集合中定义运算, 是构成代数系统的关键, 而运算就是函数, 比如一台自动售货机, 它接受人民币, 吐出各种商品, “两个一元对应一瓶橙汁, 一个一元和一个二元对应一瓶可乐, 两个二元对应一个冰淇淋”等等, 这就是运算, 如果再对运算要求具有封闭性, 就构成了代数系统。再如定义代数系统的幺元和零元时, 可以用“洗衣”的例子说明, 用洗衣机洗衣服时, 浅色和浅色混洗后, 衣服还是浅色;浅色和深色混洗后, 衣服变成了深色;深色和深色混洗后, 衣服还是深色, 可以令S={浅色, 深色}, “*”代表“洗衣”这种运算, 那么对于代数系统<S, *>而言, “浅色”是系统的幺元;、“深色”是系统的零元, 让学生想象浅色和深色的特征, 就可以充分理解幺元和零元的概念了。还有, 群的概念在代数系统中非常典型和重要, 不了解群就等于没有学过代数系统, 那么群到底有什么, 换句话说, 我们熟悉的什么样的事物可以是群呢?从群的概念考虑, 群中对所定义的运算要有幺元, 每一个元素还要有逆元, 假设定义的运算是“加法”, 幺元一定是0, 那么每个元素的逆元应该是其相反数, 也就是说, 它的相反数也必须是集合中的元素, 故集合必须是关于0对称的 (对加法运算) , 由此得到, 整数集合上定义加法运算构成群;实数集合上定义加法运算也构成群;但非负有理数上定义加法运算就不会构成群了, 一句话, 构成群的集合一定是对称的 (关于运算) , 这时可以提问:如果换成乘法运算, 什么样的集合对乘法运算构成群呢?这样的分析一环扣一环, 让学生跟着教师的思路去思考, 既有趣又有成就感, 而且又将概念讲解的非常到位, 学生怎么会不喜欢这样的课堂呢?
4 图论之趣
位于波罗的海海岸的美丽小城———格尼斯堡, 在图论的起源和发展中占有绝对重要的地位, 由著名的“格尼斯堡七桥”问题, 数学家欧拉创立了一个重要的数学分支———图论。“格尼斯堡七桥”问题实际是一个“一笔画”问题, 应用欧拉的理论, 对任何一个图形, 都可以很快知道它是否可以一笔画出, 这是一件多么了不起的工作啊!图论帮我们解决了很多现实问题, 如环游世界问题、匹配问题、最优化问题等等, 尤其是“树”的概念的引进, 在日常生活和计算机理论中, 应用相当的广泛。比如百姓的“家谱”就是一棵“根树”, 树根是“祖宗”, 平行边是“兄弟”, 上下相邻的两个顶点分别表示“父亲”和“儿子”, 看到一颗“家谱树”, 马上就清楚了谁是谁的“祖先”, 谁又是谁的“后裔”, 一目了然。再如“购买接线板的问题”, 寝室有28盏电灯, 要共用一个电源插座, 需要购买多少个具有四孔的接线板?这是图论中“完全四叉树求分支点”的问题, 让学生带着问题去思考, 自己解决, 既生动又实用, 何乐而不为呢?
兴趣是最好的老师, 不论一门课程多么抽象、复杂, 首先要求教师深刻地理解课程内容, 要用通俗易懂的语言讲授给学生, 同时要调动学生学习的积极性, 让学生有“我要学”的冲动, 那么这门课就一定可以学好。S
参考文献
[1]左孝凌, 等.离散数学[M].上海:上海科技文献出版社, 1982.
【关键词】离散数学 学生自主性 教学方法
【中图分类号】G642.0【文献标识码】A【文章编号】1673-8209(2010)05-0-01
离散数学课程是计算机科学与技术系各专业的一门重要的基础课程,也是计算机科学基础理论的核心课程。本课程介绍计算机科学与技术系各专业所需要的离散数学基础知识,为进一步学习计算机科学的基本理论和方法、学好专业课奠定基础,内容包括数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。该课程是培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、缜密概括能力以及分析和解决实际问题能力的主干课程,对学习其他诸多课程,具有重要的指导作用。离散数学教学内容具有知识点多、散、抽象等特点,加之许多学生不能认识到该课程的重要性,缺乏学习兴趣和学习主动性,不仅忽视该课程的学习,甚至害怕这门课程。因此,创新教学方法,提高学生自主学习的积极性,对提高学生的能力、提升教学质量和水平,具有重要的意义。作者在离散数学教学和实践中,积累了若干经验和做法,仅供大家参考。
1 引导学生提高对离散数学课程应用性的认识,激发学生学习的兴趣和爱好,增强汲取知识的自主性
离散数学课程是一门基础性课程,由于许多学生并不能认识到离散数学课程对后续诸多主干课程的指导性作用,看不到该课程的实际应用价值,加上该课程知识比较难而且抽象,很多学生对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性,对该门课程只是应付,甚至根本不愿意去学习。
学习离散数学课程对学生今后的学习和工作,具有重要的作用,例如,对数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程等后续课程学习的指导作用;培养学生的抽象思维能力和缜密的逻辑推理能力,并为学生今后处理离散信息,提高专业理论水平,从事计算机的实际工作提供必备的数学工具;通过学习,可以掌握数理逻辑,集合论,代数结构和图论的基本概念和原理,并会运用离散数学的方法,分析和解决计算机理论和应用中的一些问题等。学习主动性是学生的力量之源,因此,引导学生充分认识学习离散数学课程的作用,能够激发学生学习的爱好和热情,提升学生学习的积极性和主动性,从而使学生学有成效。
2 认真备课,合理准备教学内容和安排教学环节,优化教学方式方法
备好课是教学取得预期效果的前提和基础,针对学生学习具体情况,合理准备教学内容和安排教学环节,使用恰当的教学方法,在教学中可以起到事半功倍的效果。
(1)合理地准备教学内容。根据课程教学大纲和离散数学课程定理定义比较多、知识比较抽象的特点以及学生的实际情况,准备深度和广度适合学生特点的教学内容。
(2)合理地讲解课程内容,重难点突出讲解,注意轻重缓急。对于离散数学中比较重要、比较抽象的概念和定理,如逻辑的推理理论、关系的性质、群、图等,认真分析,用多种方式和方法深入讲解,可以使用解析法、图示法、矩阵法举实例等多种方法讲解,例如对关系的对称性质的讲解中,可以使用矩阵法进行讲解,判断一个关系是否对称,只需观察它的关系矩阵是否对称即可,再如对关系的传递性质的讲解中,可以使用关系图进行讲解,判断一个关系是否传递,只需观察在关系图中,当x到y有一条路径时,x与y是否有关系即可。对于比较容易理解和掌握的内容,可以一笔带过。这样,学生对所学内容就会有重点地学习,主次分明,学生不仅可以对所学内容掌握透彻,更能熟练把握离散数学中分析问题和解决问题的思路、方式和方法。
(3)启发式教学和教师讲授相结合。很多人认为,大学教学课时紧,内容多,关键靠学生自主学习,所以,大学教学以教师的讲授为主,不需要通过提问、讨论等方式进行教学互动。笔者认为这是不全面的。如果教师不顾学生的理解情况,只顾在讲台上讲授知识,课堂氛围会很沉闷,很多同学不能专注于该门课程的学习,经常走神,教学很难达到预期的效果。因此,有针对性地提问和展开讨论,不仅能够培养学生的思考能力,更能调动学生学习的兴趣和积极性,从而使教学达到最佳效果。
然而,由于离散数学课程在教学难度、课堂教学时间等方面的原因,很多学校都出现师生、学生之间的交流较少,致使学生对该门课程缺乏兴趣,教学效果不佳。所以,教师有必要针对课程中的主要问题或疑难问题适时地提问或者让学生展开讨论,鼓励他们进行独立思考,各抒己见,引导他们逐步深入地对问题进行实质性地分析,必要时,教师对其进行引导,及时总结,使教学达到预期效果。
3 合理布置作业,认真批改作业,有针对性地安排习题课和课后答疑
为了强化学生能力的训练,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际问题的解决能力等,在保证作业数量的同时,更要提高布置作业的质量,增加典型简答题、讨论题、推理题、实际应用题等习题在作业中的分量,使学生在掌握各种基本知识和基本技能的同时,提高自身的综合能力。当然,布置作业是一回事,学生能否认真完成作业,是预期目标能否实现的关键所在,认真检查和批改作业,是督促学生学习的主要途径,也是教师了解学生理解和掌握所学课程情况的主渠道。必要时,教师可以批改一部分作业,其他作业让同学们之间互相检查和批改,不仅可以督促学生学习,更能让学生在批改其他同学作业时逐步认识到自身的缺陷和不足,以备今后更有针对性地学习。
教师在作业检查和批改过程中发现的主要问题和疑难以及学生提出的有代表性的问题,有必要安排习题课进行讲解,帮助学生对解决疑难,加深对所知识的理解。对于学生比较争论的问题,可以展开讨论,鼓励学生大胆发言,培养学生探索未知的精神和创造性解决实际问题的能力。
因此,上好离散数学课,关键是根据学生具体实际,有针对性地安排教学内容,合理使用教学方式方法,最大限度地激发学生的学习兴趣,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,达到教与学和谐。
参考文献
[1] 屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社.2008.
[2] 黄巍,金国祥.”离散数学”课程教学改革的探讨[J].中国电力教育,2009(8):82-83.
[3] 周小燕,胡丰华.对提高离散数学教学质量的探讨[J].浙江科技学院学报,2007,19(2):156-158.
[4] 龙浩,张佳佳.怎样教好《离散数学》课[J].贵阳学院学报,2007,2(1):53-57.
BDDCCCBABDADCBB
二、【判断题】(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
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三、【解答题】(本大题共3小题，24、25每小题10分，26小题11分，共31分) 24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求 (1)BA; (2)AB; (3)A-B; (4)BA. 标准答案：(1)BA={a, b, c}{b, d, e}={ b }
(2)AB={a, b, c}{b, d, e}={a, b, c, d, e }
(3)A-B={a, b, c}-{b, d, e}={a, c}
(4)BA= AB-BA={a, b, c, d, e }-{ b }={a, c, d, e }
复习范围或考核目标：考察集合的基本运算，包括交集，并集,见课件第一章第
二节,集合的运算。
25、设非空集合A，验证(P(A),,,~,,A)是布尔代数
标准答案：证明 因为集合A非空，故P(A)至少有两个元素，显然，是P(A)上的二元运算. 由定理10 ，任给B,C,DP(A), H1 BD=DC CD=DC
H2 B(CD)=(BC)(BD) B(CD)=(BC)(BD)
H3 P(A)存在和A，BP(A), 有B=B， BA=B
H4，BP(A), BA，存在A~B，有
BA~B)= A B(A～B)=
所以(P(A),,,~,,A)是布尔代数.
复习范围或考核目标：考察布尔代数的基本概念，集合的运算，见课件代数系统中布尔代数小节。
26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。
标准答案：令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论：p→t
证①p P(附加前提)
②p∨q T①I
③(p∨q)→(r∧s) P(前提引入)
④r∧s T②③I
⑤r T④I
⑥r∨s T⑤I
⑦(r∨s)→t P(前提引入)
关键词： 离散数学;逻辑;可视化方法
引言
随着社会信息化的发展，《离散数学》逐渐成为信息学科的一门专业基础课。《离散数学》是现代数学的一个重要分支，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。离散数学已经在数据结构、算法设计与分析、操作系统、编译系统、人工智能、软件工程、网络与分布式计算、计算机图形学、人机交互、数据库等领域都得到了广泛的应用。除了作为多门课程必须的数学基础之外，离散数学中所体现的现代数学思想对加强学生的素质教育，培养学生的抽象思维和逻辑表达能力，提高发现问题，分析问题，解决问题，也有着不可替代的作用[1]。
但是通过近几年的教学实践，人们对《离散数学》的课程设置和教学效果还不是很满意[2]。主要存在于教学内容取舍上和教学方法的应用上。如果教学内容的选取不当或是教学方法的使用不当，都会使学生对学习《离散数学》产生畏惧或是抵触的情绪，以至不了解学习的目的。如何提高学生对《离散数学》这一课程的认识，并学会用科学的思维方式思考问题，解决问题，进而提高自身的科学修养，这是我们每一个教育工作者应该关注的问题。本文基于笔者自身的教学经历和调查研究，对教学与学习《离散数学》的内容和方法中存在的一些问题加以分析，并且提出了一些相应的解决方案。
1 不同专业课程内容的设置
经典的离散数学内容一般包括数理逻辑、集合理论、图论基础、代数结构这四部分内容。随着信息科学的发展《组合数学》这一学科也逐步的被添加到离散数学的课程之内。但是因为不同专业培养学生的目标各异，所以对离散数学的课程要求也不一样，相应的课时分配亦不尽相同。大多数为36课时，54课时或72课时。对授课内容来说，也因为专业和课时的不同而有所差异，例如对信息与计算科学专业来说，在我校是54课时，又因为代数结构已作为一门单独的课程开设，所以在授课过程中我们主要教授其它几部分内容。而对我校的物理专业的信息课程来说，只有36课时，如何在如此少的课时讲授完四部分内容，确实是一种挑战，经过实践，我们决定讲与练结合起来，就是在课堂讲授主要部分，剩下的作为习题布置给学生，这样的好处是锻炼了学生的读书与自学能力，另外又因为数理逻辑，图论等内容与其电路设计等一些实际应用有关，所以我们加强这一方面的实际应用内容。信息管理类的开课则是54课时，在这一方面，因为学生的数学修养没有理科的好，所以我们则注重与其专业有关的内容，比如实际应用领域比较多的图论等。通过几年的授课，我们觉得，对数学基础比较好的专业，完全可以将《离散数学》分为基本不同的课程进行讲授，这样的好处是可以加深相应部分内容的理论基础以及扩展其应用的知识量，学生通过理论和应用的相互关联，加深了对本门课的认识和理解。对数学基础比较薄弱的专业，我们还是以应用为主，理论为辅。
与其他课程的联系也体现在不同专业需求上。就图论这一内容来说，在我校信息与计算数学专业与《离散数学》同时开课的有《数据结构》，而这两门课程在图的一章里面有内容的重叠，其不同点在于，《离散数学》注重的是理论的研究，而《数据结构》注重的是程序的设计。对于物理类的信息专业，其后续课程有《电路设计》，所以在课堂上，我们会举出一些与其相关的内容，使同学加以理解。
2 注重课堂授课过程的可视化方法
现在计算机辅助教学已经深入到了每一门课程中，《离散数学》也不例外。我们在讲授过程中，对于计算机的辅助教学，主要体现在如下的两个方面：一个是多媒体课件，一个是利用数学软件进行辅助计算。这是因为当学生接触到了《离散数学》这一门课程时，已经完成了从中学逻辑思维到大学逻辑思维的转换，因此，可以借用matlab这一类的辅助计算工具以加深同学们的理解。例如，在关系这一部分中有对极限定义的解释，我们先是应用课件对其进行可视化理解。具体是先复习绝对值“■”是一维坐标轴上两点的距离这一几何意义。那么对于函数极限的标准定义：“对于?坌?着>0，?埚?啄>0，当0
3 带有问题启发式的教与学
带有启发式的教与学主要体现在以下两个方面，一是对学生逻辑思维的培养，一是对所学知识在实际生活中的应用。逻辑思维主要体现在对同学的各种数学语言的理解和应用上，例如反证法一直是一种重要的逻辑思维方法，但是有的学生很难理解其内在本质，于是在数理逻辑这一部分，我们通过逻辑运算，给出这一方法的数学语言的表述。还有，对1=0.■这一在中学已接触到的知识，我们在函数这一部分应用极限的概念给予说明。很多学生在学完这些内容后纷纷表示对以前只知道机械运用的数学语言有了一个更加深刻的认识和理解。在教学生《离散数学》之前，我们通常会做一个小型的调查。最终的结果是很多学生都会问离散数学的应用。对于这一问题我们早有准备，授课过程中，尽量做到理论联系实际，而不是老生常谈式的对同学们解释，大学数学是伴随实际的应用而发展起来的，学习他可以提高学生的逻辑分析能力和处理问题的能力等等。例如，在讲授数理逻辑这一部分，我们会给学生解释，如果把一个人的所有特点都归结为前因，那么通过逻辑推理，可以得到这个人的命运结果。思维活跃的学生对这一解释很感兴趣，当场就算了起来。以致后来选择了逻辑推理作为自己的博士方向，以至于毕业留校。在讲授函数关系的时候，我们会以数据库access软件来说明。
4 结束语
通过讲授和与学生交流，我们深刻地认识到了《离散数学》开设的必要性和重要性。对如何在教学实践中进一步完善这将是我们今后重要的研究课题之一。
参考文献：
[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].清华大学出版社，.
[2]肖红，王辉，潘俊辉.案例教学在“离散数学”课程中的应用[J].价值工程，(6)：271-272.
[3]石茂，张若为.数学在培养经济类文科生逻辑思维中的作用[J].价值工程，(18)：247-248.
[4]赵军云，张璐璐，朱国春.离散数学课程教学中的探索与思考[J].电脑开发与应用，(10).
[5]文海英，廖瑞华，魏大宽.离散数学课程教学改革探索与实践[J].计算机教育，2010(06).
第一部分 集合论
第一章集合的基本概念和运算
1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]
A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]
A．C；B．A；C．B；D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立 ？
（1）N Q，Q ∈S，则 N S［不成立］
（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］
1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示 ？
答：A = E；B = C；D = F
1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且 x2 ≤ 9 }
（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }
答：（1）A = { 0，1，2，3 }；
（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；
第二章二元关系
2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：
R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x≤ y }
求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。
答：R = {<2，3>，<1,2>，<1,3>}；
DomR={R中所有有序对的x}={2,1,1}={2,1};
RanR={R中所有有序对的y}={3,2,3}={3,2}；
R 的性质:反自反,反对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即
R = {〈x，y〉│x，y∈Z+ 且 x + 3y= 12}，试求：
（1）R 的列元表达式；（2）给出 dom（R。R）。
答：根据方程式有：y=4-x/3，x 只能取 3，6,9。
（1）R = {〈3，3〉,〈6，2〉,〈9，1〉}；
至于(2),望大家认真完成合成运算 R。R={<3,3>}.然后,给出 R。R 的定义域,即
（2）dom（R。R）= {3}。
2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；并对其中的 f：A→B 指出他的性质，即
是否单射、满射和双射，并说明为什么。
（1）A = {1，2，3}，B = {4，5}，f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。
（2）A = {1，2，3} = B，f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。
（3）A = B = R，f=x。
（4）A = B = N，f=x2。
（5）A = B = N，f = x + 1。
答：（1）是 A 到 B 的函数，是满射而不是单射；
（2）是双射；
（3）是双射；
（4）是单射，而不是满射；
（5）是单射而不是满射。
2-4 设 A ={1，2，3，4}，A 上的二元关系
R ={〈x，y〉︱（x-y）能被3整除}，则自然映射 g：A→A/R使 g(1)=[C]
A．｛1,2｝；B．｛1,3｝；C．｛1,4｝；D．｛1｝。
2-5 设 A ={1，2，3}，则商集A/IA =[D]
A．｛3｝；B．｛2｝；C．｛1｝；D．｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。
2-6．设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。ｇ＝[C]
A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。
第三章 结构代数(群论初步)
3-1 给出集合及二元运算，阐述是否代数系统，何种代数系统 ？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 *是普通乘法。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai。aj = ai。
（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。
答：（1）二元运算*在S1上不封闭．所以，＂S1，*＂不能构成代数系统。
（2）由二元运算的定义不难知道。在 S2 内是封闭的，所以，〈S2。〉构成代数
系统；然后看该代数系统的类型：该代数系统只是半群。
（3）很明显，〈{0，1}，*〉构成代数系统；满足结合律，为半群；1是幺元，为独异
点；而 0 为零元；结论：仅为独异点，而不是群。
3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［A］
A．x*y = max(x,y)；B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2 ；D．x*y =︱x-y︱..3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。，对于所有 x，y ∈Z都有
x。y=x + y，试问〈Z。〉能否构成群，为什麽 ？
答：由题已知，集合Z满足封闭性；二元运算满足结合律，依此集合Z为半群；有幺元为 －5，为独异点.假设代数系统的幺元是集合中的元素 e,则一个方程来自于二元运算定义, 即e。x= e + x，一个方程来自该特殊元素的定义的性质,即e。x = x.由此而来的两个方程联立结果就有: e+x=x 成立.削去 x,e=0 的结果不是就有了吗!；每个元素都有逆.求每个元素的逆元素,也要解联方程,如同求幺元一样的道理；结论是：代数系统〈 Z。〉构成群。
第二部分图论方法
第四章 图
4-1 10 个顶点的简单图 G 中有 4 个奇度顶点，问 G 的补图中有几个偶数度顶点 ？ 答：因为10阶完全图的每个顶点的度数都是n-1=9――为奇数。这样一来，一个无向简单图 G 的某顶点的度数是奇数，其补图的相应顶点必偶数，因为一个偶数与一个奇数之和才是奇数．所以，Ｇ的补图中应有 10-4＝6 个奇数度顶点。
4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点.[是]
4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为[2]
第五章树
5-1握手定理的应用（指无向树）
（1）在一棵树中有 7 片树叶，3 个 3 度顶点，其余都是 4 度顶点，问有(有1个4度顶点)个？
（2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有(9个1度顶点)片？
5-2 一棵树中有 i 个顶点的度数为 i（i=2，…k），其余顶点都是树叶(即一度顶点)，问树叶多少片？设有x片,则 x=
答：假设有 x 片树叶，根据握手定理和树的顶点与边数的关系，有关于树叶的方程，解方程得到树叶数 x = Σi（i—2）i + 2，（i = 2，3，……k）。
5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。试问：（1）T 的权 W（T）？（2）树高几层 ？
答：用 Huffman 算法，以 1，2，3，5，7，8 为权，最优 2 元树 T ；然后，计算并回答所求问题：（1）T 的权 W（T）= 61；（2）树高几层：4 层树高。
5-4以下给出的符号串集合中，那些是前缀码？将结果填入[]内.B1 = {0，10，110，1111}[是]B2 = {1，01，001，000}[是]B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc}[非]B4 = {1，11，101，001，0011}[非]
5-5(是非判断题)11阶无向连通图G中17条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [非]
5-6(是非判断题)二元正则树有奇数个顶点。[是]
5-7 在某次通信中 a，b，c，d，e 出现的频率分别为 5%;10%;20%;30%;35%.求传输他们的最佳前缀码。
1、最优二元树 T；2.每个字母的码字；
答：每个字母出现频率分别为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可以不归一,某符号
出现次数即为权，如右下图).。100（近似）7.。563..4。282..2..2。..1..14141414111
1所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。
第三部分逻辑推理理论
第六章 命题逻辑
6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。
（1）2月 17 号新学期开始。[真命题]
（2）离散数学很重要。[真命题]
（3）离散数学难学吗 ？[真命题]
（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性。[复合命题]
（5）x + 5 大于 2。[真命题]
（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。[复合命题]
6-2 将下列命题符号化.（1）2 是偶素数。
（2）小李不是不聪明，而是不好学。
（3）明天考试英语或考数学。（兼容或）
（4）你明天不去上海，就去北京。（排斥或）
答：（1）符号化为： p ∧ q。
（2）符号化为：p ∧ ﹃q。
（3）符号化为：p ∨ q。
（4）符号化为：（﹃p ∧ q）∨（p ∧ ﹃q）。
6-3分别用等值演算法,真值表法,主析取范式法,判断下列命题公式的类型.（1）﹃（p→q）∧ q；（2）（（p→q）∧ p）→q；（3）（p→q）∧ q。答：（1）0；
（2）Σ（0，1，2，3）；
（3）Σ（1，3）。
以下两题(6-4;6-5)为选择题,将正确者填入[]内.6-4 令 p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[B]
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p
6-5 p：天气好；q：我去游玩．命题 ”如果天气好，则我去游玩” 符号化为［B］
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p
6-6证明题:用不同方法(必须有构造证明法)判断推理结果是否正确。
如果今天下雨，则明天不上体育课。今天下雨了。所以，明天没有上体育课。答：将公式分成前提及结论。
前提：（p→﹃q），p；
结论：﹃q；
证明：（1）（p→﹃q）前提引入
（2）p前提引入
（3）（p→﹃q）∧p（1）（2）假言推理
（4）﹃q
要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。
第七章谓词逻辑
7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化
（1）这台机器不能用。
（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。
答：（1）﹃F（a）。
（2）L（a，b）→ H（a，z）。
7-2 填空补缺题：设域为整数集合Ｚ，命题xy彐z（x-y=z）的真值为（0）
7-3在谓词逻辑中将下列命题符号化
（1）有的马比所有的牛跑得慢。
（2）人固有一死。
答：（1）符号化为：彐x（F（x）∧ 彐y（G（y）∧ H（x，y）））。
（2）与（1）相仿，要注意量词、联结词间的搭配：
x（F（x）→y（G（y）→ H（x，y）））。
《附录》习题符号集
Ø 空集, ∪ 并, ∩ 交,⊕ 对称差,～ 绝对补,∑ 累加或主析取范式表达式缩写 , － 普通减法, ÷ 普通除法, ㏑ 自然对数, ㏒ 对数，﹃ 非，量词 ”所有”，”每个”，∨ 析取联结词，∧ 合取联结词，彐 量词”存在”，”有的”。
一、挂科原因的定性分析
综合国内外关于大学生挂科原因, 从定性的角度来分析, 主要体现为以下几点: (1) 学习目标不明确。大学的业余时间充足, 常有丰富多彩的社团活动和各式各样的比赛。一部分同学把精力全部寄托于社团活动, 本末倒置, 不再学习。 (2) 自控能力差, 沉迷网络。网络的诱惑是导致大学生挂科的重要原因。 (3) 盲目追求爱情。大学爱情美好而充满幻想。但是很多人急于在大学摆脱单身, 是一种攀比性恋爱心理在作怪。 (4) 打工分散精力。有一部分同学打工的目的是为了减轻家庭负担, 但是有些同学去打工, 只是为了拥有更多的钱去吃喝玩乐。 (5) 课堂学习资源和信息欠缺。有研究表明, 大量的由教师提供的网上课程资源与学生的低逃课率有关;另外, 也有一些研究表明, 讲课前运用多媒体放映一些跟教学内容相关的幻灯片可能对学生的出勤率和对课堂的参与性有积极影响。 (6) 学校对于师资的分配不合理。有的班级学生人数过多影响学生学习环境。有迹象表明, 当课堂人数增加时, 学生的平均成绩会出现下降。
二、挂科原因的定量分析
上面描述的大学生挂科原因涉及到的因素繁多, 主次有待通过定量分析来确定, 挂科以计数来定, 即考查大学生的挂科门数。基于此, 本文采取二元离散选择模型对大学生挂科的原因进行理论分析和实证研究。
1. 二元离散选择模型。实际的社会生活中, 我们常遇到二元选择问题。如公共交通和私人交通的选择问题, 对某商品的购买决策问题, 求职者对职业的选择问题等。本文以学生挂科问题为例, 如果某个学生的效用为Ui1, 上标表示“选择”结果, 下标表示第i个个体。该效用是随机变量, 并且由学生挂科状况所具有的属性和决策个体所具有的属性解释。于是有Ui1=Xiβ1+εi1 (1) 。类似地, 如果某个个体“选择”不挂科, 他的效用为Ui0, 该效用是随机变量, 并且由不挂科所具有的属性和决策个体所具有的属性解释。于是有Ui0=Xiβ0+εi0 (2) 。对于 (1) 和 (2) 模型中, 效用是不可观测的, 我们能得到的观测值仍是选择结果, 即0和1。但是, 如果不可观测的Ui1>Ui0, 学生“选择”挂科的效用大于不挂科效用, 对应的观测值为1;相反, 如果不可观测的Ui1≤Ui0, 相应的观测值为0。将 (1) 与 (2) 相减:Ui1-Ui0=Xi (β1-β0) + (εi1-εi0) (3) , 记为:Yi*=Xiβ+μi* (4) , 我们可以对 (4) 进行计量分析和估计。对于学生“选择”Yi=1的概率显然应该有:P (Yi=1) =P (Yi>0) =P (μi*>Xiβ) (5) 。
3. 实证分析。对于本文关于大学生考试挂科问题, 据经验分析和文献研究的结果, 影响大学生考试挂科的因素可能有高考成绩 (CEE) 、平时学习时间 (平均每周用于学习的时间, Stime) 、性别 (Sex) 、健康状况 (Dbody) 等。其中, 性别和健康状况为虚拟变量:
我们把学生挂科 (Unpass) 定义为被解释变量, 挂科为1, 不挂科为0。选择武汉科技大学2012级的部分同学作为样本, 选择问卷调查的方式, 列出5个变量, 由学生主动填写数据。发放问卷65份, 回收65份, 有效问卷62份, 有效率为95%。为了进一步了解该样本特征, 本文作者从学校教务系统中调出该样本的2013年秋季期末考试各门成绩, 并统计出平时成绩, 运用软件eviews7.0, 得出其J-B统计量为3.04 (如表3.1所示) , 相伴概率约为0.22, 因此在90%的显著性水平下不能拒绝原假设, 可以认为该样本来自正态总体。
高考成绩反映基础水平, 平时学习时间反映努力程度, 健康反映身体基础。基于以上数据收集, 以不及格门数为被解释变量, 建立二元离散模型。统计结果如表3.2。
从表3.2中我们可以看出, 性别和健康状况对挂科影响并不显著, 高考成绩对其略有影响, 而学习时间直接影响着考试挂科。从R2看, 模型拟合效果并不好。为了更直观反映学习时间对挂科的影响, 我们仍以考试挂科为因变量, 以学习时间为自变量, 建立模型, 模型参数估计结果见表3.3。
从以上结果中也可以看出, 学习时间与考试挂科成负向关系, 平时用的学习时间越少, 挂科的可能性就越大, 这也说明, 欲减少挂科门数, 必须在平时多投入时间, 加强课后的学习和巩固。表3.3中我们可以得出相应的预测模型为Unpass=1-@CNORM (- (2.257056-0.143409*Stime) ) (12) 。从估计结果可以发现, 检验拟合优度的R2检验统计量的值为0.367694, 检验总体显著性LR统计量的值为21.31330, 表明模型具有较高的总体显著性;通过模型3.1可以得知, 如果得到一个样本观测值, 也就是知道某位学生的平时学习时间 (Stime) , 代入方程中便可以得出相应的挂科 (Unpass) 概率, 如观测值Stime=30时, 代入方程右边, 计算括号内的值为2.04, 查看标准正态分布表, 对应于2.04的累积正态分布为0.979, 于是, 该学生挂科 (Unpass) 的概率为0.021。
对二元离散选择模型的分析结果可以看出, 高考分数对于挂科与否影响并不显著, 一个主要原因是大部分同学入学时的高考成绩相当接近。性别和健康状况对挂科与否也没有重要影响。而学习时间对于学生挂科现象有显著影响。因此, 充足的学习时间是至关重要的。其次, 要树立正确的学习态度。大学是一个让自己从稚嫩变成熟的过程, 要不断地从课堂、图书馆汲取知识的营养, 丰富自己, 以便造福于社会。同时作为教育管理者来说, 建议丰富课堂教学手段, 充实教学资源, 且对班级人数进行合理规划安排, 为学生和老师创造理想的学习、教学环境。
参考文献
[1]辛桂京, 高艺伦.大学生挂科探析J].高校讲坛, 2012, (15) .
[2]李子奈, 叶阿忠.高级应用计量经济学[M].北京:清华大学出版社, 2012:122-125.
关键词：离散数学 启发式教学 多媒体教学
离散数学是计算机专业一门重要基础课,搞好本课程的教学,不但能为学生学好后续课程奠定坚实的数学理论基础,而且有利于培养学生的计算机数学思维,并且在进一步的学习和工作中适应本学科专业的发展。
由于離散数学内容多，抽象难懂，逻辑性较强，学习它需要有一定的抽象思维能力、演绎推理能力和归纳总结能力。但是，高职学生抽象思维水平不高,认知结构具有不稳定性,对离散数学这种内容的抽象性和逻辑推理中的形式化证明缺乏必要的思维和心理准备, 这些问题导致学生学习兴趣不足，不会学,导致学不会,因而也就不愿意学。怎样提高高职计算机专业《离散数学》课程的教学质量已经成为我们迫切需要解决的问题。为协调好教与学的双边关系，使学生对这门课的学习发生兴趣，从而调动学生的学习积极性，使其由被动接受变为主动参与，就要在教学内容、教学方法、教学手段等方面进行相应的改革。
一、精选教学内容，突出其应用性
1．1 精心安排讲授内容，以“够用”为主
离散数学课程不仅内容多，而且繁又难，针对高职学生这一特定的对象和学时的限制，我们必须精选讲授内容，不能面面俱到、不分主次，而要突出重点，以学生“够用”为准，选择内容时应考虑到它是否能覆盖计算机科学所需的理论基础，强化基本概念的描述，注重基本方法的讲解。如对于离散数学中的纵多的定理证明，我们作了有针对性的、精心的处理；对于一些有利于加深对基本概念的理解，或者可以提高解决问题能力的定理的证明，都给予了详细的介绍；而另一些定理则仅给出一些描述性的说明，省略了完整的证明，其目的是突出要点，突出理论在实际中的应用。
1．2以实用性培养学生的学习兴趣和主动性
离散数学知识在计算机专业中的应用或“分散”或“隐含”,无处不在,但作为基础课程的离散数学教学在内容与形式上缺乏对本专业的直接针对性。在教学过程中，应注重让学生了解所学离散数学知识与相关学科之间的联系，要有意识地引导学生运用所学理论去联系实际问题，提高离散数学课对专业课的针对性和适用性，使学生学了以后感到“有用”。比如，在讲授图论中通路与回路概念时，给出它们在研究操作系统是否存在死锁，程序设计语言中一个过程是否递归等方面的应用。在讲授平面图时，给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用。这样使学生感受《离散数学》的实用价值，提高学生学习的积极性、主动性
二、改革方法，激发学生学习兴趣，提高教学质量
离散数学基本概念、定理、方法特别多，单纯的讲授教学，枯燥乏味，很难激发学生的学习兴趣。我们采用了多种教学方法,以提高学生学习的积极性、主动性，提高教学质量。具体如下:
2.1 注重理论的理解、注重学习的过程
离散数学课程中有很多定义、定理、规则,对学生而言,几乎每一节课堂上均要接受数十个新的术语或定理,这显然是有很大的难度,而且很容易产生枯燥甚至畏难情绪。因此,新课伊始,我们就告诉学生,不用记忆,只需要理解,注重学习过程。我们认为,宁愿少讲授部分内容,也要学生对于讲授的理论知识能够真正理解掌握。在整体上分析之后,对部分知识删节,不用在课堂上讲授,而是作为学生的课外作业去完成。在课堂讲授中,我们注重对于问题的完整理解过程,而不是只告诉学生结论,也正因如此,尽管常常在一个课时中,可能仅仅完成一个问题的讲授而显得课时紧张,但我们认为这是完全值得的,事实上,也取得了好的效果。
2.2 抽象与具体相结合
离散数学中,有许多定义、定理、规则,教科书上对其描述很精练,学生常常感到很抽象, 如果直接给出定义，学生往往感到很难理解，所以在讲解这些概念时，先给出具体例子，再抽象出基本概念，使得学生对这些概念有更深刻的理解，加深学生对概念的印象。例如“代数系统”就是一个抽象的概念，在讲解时，笔者先给出学生比较熟悉的非空集(如整数集I)，并结合其上的运算(如加法运算)，再得出运算在非空集上封闭，逐步引出代数系统的定义，这样学生就不感到抽象、难理解了。
2.3采用启发式教学方法,联系高等数学知识，讲清离散数学中的难点
虽然离散数学的理论较为抽象，方法也较难，但它归根到底总是一门数学学科，它和大学生所学的高等数学中的一些知识总有一定的联系，因此，我们牢牢地抓住这个特点，采用启发式教学方法，促使学生回忆以往学过的知识，再和现在所学的联系起来，从而加深学生对基本概念的理解和掌握。例如在学习命题和谓词的时候，部分学生对命题与谓词的关系，特别是加上量词的谓词的理解不深刻。我们在讲解的时候启发学生回忆以前学习过的常数和函数及定积分的概念，然后指出，谓词就是一个命题函数，命题在这里可借助于常数的概念来理解，而带量词的谓词可借助于函数加上定积分后变成什么来理解，通过这样的启发，学生就很容易知识命题是谓词的特例，谓词是命题的推广的关系。当然，类似的例子在离散数学的教学中还有很多。
2.4上好习题课，调动学生积极性
习题讨论课不仅是帮助学生巩固所学知识的一种重要方式，还是属于提高性的教学环节。每章学完后，安排一次习题讨论课,所选习题要具有典型性、实际应用性等特点，让学生自己动脑、动手、动口，学会独立分析问题和解决问题，检查自己对知识的理解及掌握程度。通过让学生运用所学知识解决一些实际问题，可以训练其思维能力及分析问题、解决问题的能力, 激发学生学习离散数学的积极性。例如,在讲完根树这一章后，可安排这样一次习题讨论课。首先,让学生回忆课堂上讲过的有序二元树的树叶集合可生成前缀码的知识,再让学生分析怎样把一个前缀码用有序二元树表达出来,最后让学生讨论如何利用一棵最优树产生一个最佳前缀码，使得在传送信息时，既准确无误，又能节省二进制位。这样通过课堂讨论，既让学生巩固和完善所学的知识内容，又了解离散数学在计算机中的重要作用，同时也训练学生思维能力及分析问题、解决问题的能力，激发了学生学习离散数学的积极性。
三、改变教学手段，充分利用多媒体教学
离散数学课的一个特点是定义、定理、性质特别多，利用多媒体教学，教师不必再象过去那样一黑板、一黑板地去抄写，这为缩短理论授课时间，增强应用内容提供了保证。利用多媒体教学，有利于新旧知识的联结。在讲授某一新知识点时，常常要涉及到前面的内容，比如，在进行数理逻辑的推理时，就要用到前面的一些推理定律，而通过展示幻灯片，重新唤醒学生对这些定律的认识后，就会较容易使学生从已有的知识顺利过渡到新的知识点上来，轻松自然地获取新知识。
参考文献：
[1]贾振华. 《离散数学》[M]．北京.水利水电出版社，2004,2.
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