二年级数学竞赛试题（精选12篇）
1、表示物品有多重，可以用( )和( )作单位。
2、表示物品的长短，可以用( )和( )作单位。
3、称较轻的物品有多重，可以用( )作单位，称较重物品有多重，可以用( )作单位。
4、人民币的单位有( )、 ( ) 、( )。
5、一个西瓜约重5( )。
6、小芳的身高是123( )，体重是32( )。
7、最小的四位数是( )，最大的四位数是( )，
8、读数和写数，都从( )位起。
二、小小神算手
1、口算(14分，每小题1分)
36+19= 74+16= 79-25= 63÷9=
35+46= 37+46= 94-48= 84-26=
450+320= 360+420= +5000=
7300-2000= 320+140= 680-390=
2、用竖式计算下面各题(12分，每小题2分)
410+250= 570-380= 340+370=
280-160= 630+290= 450-260=
三、文字题(6分，1小题2分，2小题4分)
1、一个加数是38，另一个加数是65，和是多少?
2、58比83少多少?比64少21的数是几?
四、应用题(7分)
1、水果店运来100千克水果，其中苹果32千克，香蕉58千克，其余的是葡萄，葡萄有多少千克?(3分)
1.命题p:偶函数一定没有反函数;
(A) p真q真. (B) p真q假.
(C) p假q真. (D) p假q假.
2.若不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是2<x<3, 则实数m的取值范围是 ()
(A) (2, 3) . (B) [2, 3].
(C) (-∞, 2) . (D) [3, +∞) .
3.设直角三角形的两直角边的长分别为a和b, 斜边长为c, 斜边上的高为h, 则a+b和c+h的大小关系是 ()
(A) a+b<c+h. (B) a+b>c+h.
(C) a+b=c+h. (D) 不能确定.
4.函数
的定义域是 ()
的解集是 ()
(A) a2. (B) b2. (C) 2ab. (D) a2+b2.
7.定义平面上的区域D如下:若P为D的任意一点, 则过P点必定可以引抛物线y=mx2 (m<0) 的两条不同的切线, 那么 ()
(A) 圆的一部分.
(B) 椭圆的一部分.
(C) 双曲线的一部分.
(D) 抛物线的一部分.
9.如图1, 点P和点Q分别是正方体的棱DH和BF上的两个动点, 且HP=BQ, 则平面PQC与平面ABCD所成角的取值范围是 ()
10.平面内有4个圆和1条抛物线, 它们可将平面分成的区域的个数最多是 ()
(A) 29. (B) 30. (C) 31. (D) 32.
二、填空题
12.已知函数
三、解答题
21.解关于x的不等式:
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若P为C上任一点, A为双曲线的右顶点, 通过P, O的直线与从A所引平行于渐近线的直线分别交于Q, R, 试证明|OP|是|OQ|与|OR|的等比中项.
23.已知函数
(1) 求y的定义域和值域, 并证明y是单调递减函数;
参考答案
一、选择题
2.不等式|x-m|<1的解集为
故选 (B) .
3.由直角三角形面积公式知
故选 (A)
由图3知, 定义域为
故选 (B) .
5.原不等式可化为
令tanx=t, 即
所以不等式的解集为 (arctan3, arctan5) .
故选 (B) .
6.如图4, 设P (x1, y1) , 则
故选 (A) .
7.设点P (a, b) 为区域D的任一点, 考虑过点P的直线l:y=k (x-a) +b, (显然与y轴平行的直线不是抛物线的切线) , l如果和抛物线相切, 则方程
今若要有两条不同的切线, 那么关于k的方程k2-4mka+4mb=0要有两个不同的实数解,
当m<0, 化简得ma2<b, 故
故选 (A) .
8.由条件有
表示双曲线的一部分.
故选 (C) .
9.如图5所示, 设平面PQC与底面ABCD所成角为θ, 正方体棱长为a, 则
在点P, Q的运动过程中, △PQC在底面ABCD上的射影不变 (△BCD) , 并且△PQC的面积与△QEC的面积相等.
10.一条抛物线可将平面分成2个区域, 记作a1=2, 增加1个圆, 此圆与抛物线最多有4个交点, 这4个交点将圆分成4段首尾相接的弧, 每段弧将原来所在的区域一分为二, 则有
再增加1个圆, 此圆与抛物线最多有4个交点, 和第1个圆有2个交点, 故此圆与原有曲线共有6个交点, 这6个交点将该圆分成6段,
故选 (B) .
二、填空题
交换x, y的位置, 反函数为
综上知
13.易知数列{dn}的公差为30, 故只需找出d1来.
它们的第1个公共项为29.
15.由条件知
又因为P, M, Q三点共线, 所以
若k2+4k-12>0, 不合题意,
当k2+4k-12<0时, 则f (x) 在x≥2时单调递增,
18.显然arccosx≠0, 所以
问题转化为求t的值域.
所以当arccosx=2时, tmin=6,
故t的取值范围是[6, +∞) .
19.设连接抛物线上两点A (x1, y1) , B (x2, y2) 的弦AB的长为1, 且AB的中点C的坐标为 (x, y) , 则
20.如图7所示, 设球心为O, O在底面的射影为O′, E为BC的中点,
设正四面体的棱长为x,
在Rt△OEO′中, OE2=OO′2+EO′2,
三、解答题
21.设t=logax, 则原不等式可化为
y2=a.
如图8所示, 画出函数y1=|t|+|t2-1|, y2=a的图象.
22. (1) 由条件知
抛物线方程可化为
焦点坐标为 (-5, 0) , 故
所以双曲线C的方程为
(2) 设P (x1, y1) , 则
23. (1) 显然, y的定义域是-1≤x≤1;且y在0≤x≤1上是单调递减的.
当-1≤x≤0时, 设-1≤x1<x2≤0,
故f (x) 在[-1, 0]上也是单调递减的, 从而y是单调递减函数,
两边平方有
原不等式解集为
【摘要】高考试题难度已成为基础教育工作者非常关心的议题之一.以2011—2016年度高考数学全国卷（二）为研究对象，用综合难度模型法、层次分析法和问卷调查法，分选择题、填空题、解答题探析试题的难度变化趋势，以把握新课程高考数学的现状，析理命题变化的规律，更好地从事高中数学教与学.
【关键词】高考数学；综合难度模型；层次分析法；试题难度
1引言
高考是衔接基础教育与高等教育的桥梁，是选拔人才的重要途径.高考作为实施新一轮基础教育课程改革的重要环节，已然成为教育工作者研究的重要问题.本论文以近六年高考数学全国卷（二）为对象，研究高考数学试题难度的变化趋势，以把握新课程高考数学的现状和命题的发展趋势，总结归纳其规律，从而更好地进行高中数学的教与学.
2研究方法
本文采用综合难度模型法、层次分析法、问卷调查法，在具体分析时，按照选择题、填空题、解答题三种题型分类讨论，得出一些规律，并加以分析讨论.
一般情况下，评价数学试题难度是从学生得分率和试题本身难度的角度进行.学生得分率受学习水平、考试环境、心理素质等因素影响，准确刻画难度有困难；试题本身难度是学者根据影响试题难度的要素建立的评价模型，常见的是鲍建生在文[1]中提出的综合难度模型，分五个难度因素，每个因素分别有若干个水平层次来确定其难度，运算公式如下，具体计算在文三部分.
其中，di（i=1，2，3，4，5）依次表示“探究”、“背景”、“运算”、“推理”、“知识含量”五个难度因素上的计算值，dij为第i个难度因素的第j个水平的权重（依水平分别取1，2，3…）；nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，n为该组题目的总数.
要计算某年某类试题的难度，就需要明晰五个难度因素上的权重，为此我们采用层次分析法建立权重模型.首先建立综合难度模型层级结构，其次是构造判断矩阵，然后求出该判断矩阵的唯一最大正特征根对应的特征向量，最后进行一致性检验从而求出五个因素上的权重向量.在此需要建立比例标度值，对判断矩阵进行一致性检验，由于此难度模型是5阶，其随机一致性指标RI实际经验值是112[2].如何得到层次分析法的比较判断矩阵，我们对兰州市的100名高中数学教师进行了两个因素的相对重要性方面的问卷调查，根据统计结果，将探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素按照重要性排序，依次是知识含量、探究、背景、推理及运算，建立了比较判断矩阵，其最大特征值为λ≈5.3845，得权重向量如下表1所示：
3.1选择题
高考数学选择题属于客观性试题，即有备选答案.下面依据鲍建生的综合难度模型将选择题按探究、背景、运算、推理和知识含量因素及等级水平进行统计，如表1.
通过上面的统计数据，得到了选择题每个等级水平的折线图；
1选择题探究因素折线图图12选择题背景因素折线图由图11可知，在探究因素方面，近六年高考数学全国卷（二）选择题中，考查学生理解水平的题目总体较多，虽然在2012年后，考查理解水平的题目有所下降，但还是高于识记和探究.
由图12可知，在背景因素方面，题目几乎都无背景，为“纯粹”的数学题，个别题目以个人生活、公共常识和科学情境为背景，2013年之后，背景题目开始出现，这与新课标倡导注重发展学生的应用意识相关，背景题目的增加会成为一种要求和趋势.
由图13可知，在运算因素方面，总体数值运算居多，不涉及运算的题目在0—3道之间， 2016年，选择题中有一半的题目都是简单符号运算，总体来说，近六年高考数学选择题对学生的运算要求较低.
3选择题运算因素折线图图14选择题推理因素折线图由图14可知，在推理因素方面，涉及简单推理的选择题较多，六年中基本保持在每年8道左右，无推理题目自2013年开始，每年都保持在2道，题目难度变化趋势稳定.
5选择题知识含量折线图由图15可知，在知识含量方面，含两个以上知识点的题目很少，每年都在2—3道之间，考查单个知识点的题目只有在2013年较多，达到了7道，考查两个知识点以上在2—3道的范围内，总体来看，考查两个知识点的题目较多.
用式（1）对题目的难度值进行加权计算，2011-2016年选择题的各个因素平均难度值为：
3.2填空题
高考数学填空题与选择题同属于客观性试题，但填空题没有备选答案.将填空题按探究、背景、运算、推理和知识含量因素的等级水平进行统计，如表3.
3.3解答题
与选择题和填空题一样，将解答题按探究、背景、运算、推理和知识含量的等级水平进行统计，如表5.
4结论与启示
本文对2011年到2016年的高考数学全国卷（二）试题分选择题、填空题、解答题作出了统计分析，可析出如下一些变化.
（1）高考数学试题中的选择题难度呈现出较稳定的难度趋势.从探究因素看，重在考查学生的理解能力；从背景因素看，基本上为“纯粹”数学题，但课改后，背景题目逐渐出现，成增长趋势；从运算因素看，对学生的运算要求较低，一般都是数值运算；从推理因素看，大部分题目涉及简单推理，保持在8道左右；从知识含量来看，选择题一般考查一到两个知识点.从综合难度值看，基本在185附近浮动，2013年最低，然后又逐渐升高；可以看出实施新课标高考的第一年选择题难度最低，然后又开始逐渐增加并趋于稳定.
（2）高考数学试题中填空题的考查水平总体保持较稳定的状态.从探究因素看，考查理解层次的题目较多；从背景因素看，前五年题目无背景，2016年出现了一道以个人生活为背景的题目，预计其后要增加；从运算因素看，以简单符号运算和复杂符号运算居多，相对于选择题，填空题的运算要求相对高一些；从推理因素看，填空题的难度并没有呈现出明显的趋势，各个层次的题目随机出现，但复杂推理的题目每年都有一道；从知识含量来看，对知识点的考查比较稳定.从综合难度值来看，基本在18附近浮动，综合难度值整体呈现出稳定趋势.
（3）综合题仍是难度最大的题型，呈现出先上升后下降再上升再下降的趋势.解答题在探究因素上呈现出很稳定的趋势，理解层次的均为2道，其余都是探究层次的题目；从背景因素看，解答题每年都有一道生活类题目，其余均无实际背景；从运算因素看，几乎都是要求复杂符号运算，个别题目要求简单符号运算，可以说解答题对学生运算水平要求较高；从推理因素看，要求复杂推理的居多，简单推理的较少，总体呈现出要求降低的趋势；从知识含量看，解答题均考查两个及两个以上知识点，知识点交叉多、难度大.从综合难度值来看，基本在25附近浮动，综合难度值比选择题、填空题高出许多.
本文通过对2011年—2016年高考数学全国卷（二）进行分析，得出了高考数学全国卷（二）试题的整体变化特点，但仍需进一步地研究和探讨，为高中数学教与学的发展做出贡献.从上面三类试题的难度情况看，基本上稳定变化，因此在教学中，教师们要针对不同类型试题特点进行研究，从中挖掘试题中所蕴藏的数学精神、思想和方法，基于教材、学情分析数学问题的探究、背景、运算、推理和知识含量等因素，提升学生分析问题和解决问题的能力.同时在客观分析试题的综合难度时还要重视对学生答题时的得分率分析，采用主客观相结合的方法剖析试题的教育教学价值，使之更好地服务于学生的数学进步.当然创新教学方法，在将教学的数学问题置于难度分析的视野下时，因材施教，有梯度地整合数学问题所涉及的难度要素，分层次教学，让每个学生在学习的过程中感觉到学习的快乐与力量，全面提升数学教学质量.
参考文献
[1]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002（09）∶48-52.
姓名：得分：
一、下面的空你会填吗？开动脑筋，试试看！（每题2分，共30分）
1、仔细观察，接着画下去。
2、在□里填数。（2分）
３＋□＝７ □＋5＝9 □＋７＝１7 9－□＝3
3、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10中选出9个数填在（）里组成三道算式，每个数只能用1次。（6分）（）+（）＝（）（）+（）＝（）（）+（）＝（）
4、小东看叔叔锯木头，锯一次要2分钟，最后叔叔把木头锯成5段，叔叔请小东算算，他一共锯了（）分钟。
5、有两个数，它们相加的和是9，相减的差是1，这两个数是（）和（）。
6、三个人同时吃3个馒头，用3分钟才吃完；照这样计算，九个人同时吃9个馒头，需要（）分钟才吃完。
7、小红今年7岁，爸爸今年37岁。5年后，爸爸比小红大（）岁。
8、小红、小方、小明年龄各不相同，小红说：“我不是最大的”。小方说：“我也不是最大的，但也不是最小的”。三人中，最大的是（），最小的是（）。9、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。10、14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。
11、△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=()○=()
12、一根绳子有2个头，三根半绳子有（）个头。
13、时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下„„照这样下去，从1点到12点，一共敲了（）下。
二、判断下面各题，对的画“ ”，错的画“ ”。(5分)1、2、3、4、5、白兔比黑兔少得多。（）黑兔比灰兔少得多。（）灰兔比白兔多得多。（）灰兔比黑兔多一些。（）黑兔与灰兔差不多。（）
三、平时你一定做了不少计算题，现在可是你露一手的时候了，细心点，可不能让别人说你是小马虎。(30分)
四、应用题。（加油啊，相信自己，一定能行！）（25分）
1、一年级二班同学站成了一排，如果从左边数，小军是第25个，如果从右边数小军是第12个，一年级二班一共有多少个同学？
2、哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时哥哥的铅笔比弟弟还要少1支，弟弟原来有多少支铅笔？
3、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下几个？
4、今天红红8岁，姐姐13岁，10年后，姐姐比红红大多少岁？
6、一只蜗牛向前爬25厘米，又朝后退15厘米，在朝前爬10厘米，这只蜗牛前进了多少厘米
五、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字填入Ｏ里，使横行、竖行和斜行上三个数字相加的和都是15。（10分）
一、填空题1、2、4 4 10 6 3、1+4=5 2+6=8 3+7=10(答案不唯一)4、8分钟5、5和4 6、3分钟 7、30岁
8、小明、小红 9、9个 10、9个
11、圆形是
7、三角形是2 12、8个 13、78下
二、判断题 对错对错对
三、计算1、7
2、16 8 47 11 11（答案不唯一）
3、个 4个
4、画一画 略
四、应用题 1、36人 2、4支 3、3个 4、5岁 5、20厘米
五、附加题 8 1 6 3 5 7 4 9 2（答案不唯一）
1.1米=厘米70厘米+30厘米=()米
37厘米+5厘米=()厘米23米-8米=()米
2.6个3相加，写成乘法算式是()，这个式子读作()
3.在下面的()里最大能填几?
()×6<27()<3×74×()<1535>7×()
4.在算式4×7=28中，4是()，7是()，28是()。
5.把下面的口诀补充完整。
八九()()二十四
6.1米=()厘米1米40厘米=()厘米
7.3+3+3+6+3可以改写成乘法算式3×()，也可以改写成6×()。
8.□×□=□×□=24□×□=□×□=36
9.在括号里填上“米”或“厘米”。
床长约2()铅笔长约16()
跑道一圈长400()小明高1()40()
一条黄瓜长20()教室长约8()
10.在○里填上“>”、“<”或“=”，在○里填上“+”、“-”、或“×”。
46+7○8×72×6○3×436—9○5×590厘米○8米
5○8=407○8=156○8=488○5=3
11.一个角有()个顶点，()条边。
12.3个9相加的.和是();3和9相加的和是();
13.一个直角和一个锐角可以拼成一个()。
14.积是18的口诀有()和()。
15.
有()个()，可以写成加法算式()，
也可以写成乘法算式()×()=()，读作()
一、看谁算得又对又快。(9分)
2×3= 12+26= 5×2=
5×7= 15-3= 2×4=
9×3= 24+13= 7×2=
二、填空。(每空1分，共30分)
1、人民币的单位有( )、( )、( )。
2、找规律填空。
( )4 6 ( )10 ( ) ( )
( ) 15 20 ( ) 30 ( ) ( )
3、7+7+7=( )×( )。
4、3个4是( )，加法算式是( ), 乘法算式 是( )， 读作( )，口诀是( )。
5、在○里填上“+”“-”“×”。
4 ○ 4=16 2 ○ 5=10 10 ○ 8=2
16 ○ 4=20 2 ○ 3=6 30 ○ 5=35
6、将口诀补充完整。
三( )十二 四( )二十八 五六( )
( )九十八 ( )七二十一 四八( )
三、连一连。(10分)
1、送信。
5×2 2×9 4+4 20+8 1×5 3×6
2、下面的图形各是从哪张纸上剪下来的?连一连。
四、选择题。(每题2分，共6分)
1、最小的人民币单位是( )
①元 ②角 ③分
2、爸爸给聪聪买了一个书包，用了( )
①35分 ② 35元 ③35角
3、5+5+5+5表示( )
①5个4相加 ②4个5相加 ③4个5相乘
五、看图列式计算。(每题8分，共16分)
六、解决数学问题(前3题12分，第4题17分，共29分)
1、一组有8名同学，4组共有多少名同学?
2、我有5元钱，买一个本子3元，还要找回多少钱?
3、一支圆珠笔3元5角，一个橡皮擦1元，我有5元钱够不够?
4、题目如图：
(1)笑笑买2包饼干，需要多少钱?
(2)淘气买5块点心，需要多少钱?
(3)智慧老人买4瓶汽水和1瓶果汁一共需要多少元?
(4)你还能提出什么数学问题呢?请列式解答。
七、附加题(10分)
小朋友们去操场做操，二年级(1)班的同学排成一排，方方的前
面有5个人，她后面有6个人，这一排一共有多少人?
参 考答 案
一、6、38、10、35、12、8、27、37、14
二、1、元、角、分
2、 2、8、12、14 10、25、35、40
3、3×7 4、12、4+4+4、3×4、3乘4、三四十二
5、×、×、-、+、×、+
6、四、七、三十、三、三、三十二
三、连线(略)
四、选择题 3、2、2
五、看图列式计算
3、5、15 、5+5+5=15、3×5=15、5×3=15
3、2、6、 2+2+2=6、2×3=6、3×2=6
六、解决数学问题
1、 4×8=32(名)答：4组共有32名同学。
2、 5-3=2(元)答：还要找回2元。
3、3元5角+1元=4元5角 答:我有5元钱够了。
4、(1)2×5=10(元)答：需要10元钱。
(2)3×5=15(元)答：需要15元钱。
(3)2×4+4=12(元)答：一共需要12元。
(4)提数学问题(略)
七、附加题
5+6+1=12(人)
2.sin 18°cos 36°= () .
4.有能力互异的3人应聘同一公司, 他们按照报名顺序依次接受面试, 经理决定“不录用第一个接受面试的人, 如果第二个接受面试的人比第一个能力强, 就录用第二个人, 否则就录用第三个人”, 记该公司录用到能力最强的人的概率为p, 录用到能力最弱的人的概率为q, 则 (p, q) = () .
5. (理) 设A, B是曲线C:x2-y2=1 (x>0) 上两点, 则的取值范围是 () .
6. (理) 杨辉三角, 又称贾宪三角形, 它是以组合数C0n, C1n, …, Crn, …, Cn-1n, Cnn (n∈N*) 顺次组成第n行的一个呈三角形的数表;在欧洲, 这个数表叫帕斯卡三角形.据数学史记载, 帕斯卡 (1623—1662) 是在1654年发现这一规律的, 比我国古代数学家杨辉、贾宪分别迟393年和600年.现把这个表中的全部数转换成二进制, 发现第k行全是1, 则k= () .
(A) 2n (n∈N) (B) 2n-1 (n∈N)
(C) 2n±1 (n∈N) (D) 2n+1 (n∈N)
(文) 杨辉三角, 又称贾宪三角形, 它是如下形式的一个数表:
在欧洲, 这个数表叫帕斯卡三角形.据数学史记载, 帕斯卡 (1623—1662) 是在1654年发现这一规律的, 比我国古代数学家杨辉、贾宪分别迟393年和600年.观察发现第k (k>1) 行存在三个数成等差数列, 则k的最小值是 () .
(A) 5 (B) 7
(C) 14 (D) 15
8.把函数y=f (x) 的图象向左平移π/6个单位, 再关于y轴对称, 得到函数y=sin 2x的图象, 则函数y=f (x) 的递增区间是 () .
9.天气预报说“今后三天中每天下雨的概率为0.4”, 学生甲编程模拟“这3天中恰有2天下雨”的概率P, 如图3.他规定1, 2, 3, 4表示下雨, 其他数字0, 5, 6, 7, 8, 9均表示不下雨;用随机函数生成1个三位数X=INT (1000*RAND () ) 算一次试验, 若其中恰有两位上出现1, 2, 3, 4之一, 事件“这3天中恰有2天下雨”.他设计的程序框图如图3.
如果他输入N=20, 运行程序得到20个这样的三位数“907, 966, 191, 925, 271, 932, 812, 458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989”, 那么, 输出的P= () .
(A) 0.250 (B) 0.300
(C) 0.288 (D) 0.504
10.函数f (x) =x3-3x2+5x-3的对称性结论是 () .
(A) 对称轴x=1, 对称中心 (1, 0)
(B) 没有对称轴, 只有对称中心 (1, 0)
(C) 只有对称轴x=1, 没有对称中心
(D) 既没有对称轴, 也没有对称中心
11.某几何体的三视图如图4所示, 其中正视图的面积是s, 线段EF与侧面BCC′B′在原几何体中的距离是d, 则该几何体的体积V= () .
(A) 充分不必要条件
(B) 充要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分又不必要条件
(文) 以下不等式恒成立的是 () .
二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案写在题中的横线上.
13.多项式 (1-x) 4 (1+x+x2+x3+x4+x5) 的展开式中, x2项的系数是________.
16.已知a, (1/2) b, c成等差数列, 记直线l:ax+by+c=0被圆x2+y2=4截得弦AB的中点为M, 则动点M的轨迹方程是________.
三、解答题:本大题共8小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分) 已知函数f (x) =2x3+5x-2, x∈R;对非零实数q∈ (-1, 1) , 无穷等比数列{a1qn-1}的各项和.
(Ⅰ) 证明:f (x) 有唯一零点r;
(Ⅱ) (理) 证明:存在唯一一个由正整数构成的无穷等差数列{an}, 满足.
18. (本小题满分12分) (理) 一个质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别标记1, 2, 3, 4字样.抛掷该骰子一次称作一次试验, 连续抛掷该骰子4次称作一轮试验, 按照朝下一面的数字将一轮试验表示为4元数组A= (a1, a2, a3, a4) , 并以S (A) 记其元素集合, 定义B={A|card (S (A) =4) }.
(Ⅰ) 写出所有4元数组A的个数以及card (B) ;
(Ⅱ) 任取X∈B, 定义X=|a1-1|+|a2-2|+|a3-3|+|a4-4|, 写出随机变量X的概率分布, 并计算E (X) 以及P (X≤2) .
(文) 有A, B, C, D, E五位工人参加技能竞赛培训.现分别从A, B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.用茎叶图 (图5) 表示这两组数据如下:
(Ⅰ) 现要从A, B中选派一人参加技能竞赛, 从平均状况和方差的角度考虑, 你认为派哪位工人参加合适?请说明理由.
(Ⅱ) 若从参加培训的五位工人中选两人参加技能竞赛, 求A, B两人中至少有一人参加技能竞赛的概率.
19. (本小题满分12分) (理) 如图6, 在直三棱柱ABC-A′B′C′中, BA=BC, D∈BB′, 且满足平面DA′C⊥平面ACC′A′.
(Ⅰ) 求证:D是侧棱BB′的中点;
(Ⅱ) 若AA′=AB, 且∠ABC=60°, 求平面A′DC与平面A′B′C′所成锐二面角的度数.
(文) 如图7, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, E是棱AC的中点.
(Ⅰ) 求证:AB1∥平面BEC1;
(Ⅱ) 设E1是棱A1C1上的一点, 且平面AB1E1∥平面BEC1, 试确定点E1的位置.
(Ⅰ) 求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过曲线C上的动点P (x0, y0) (x0>2) 作圆x2+y2-2x=0的两条切线, 分别交y轴于B, D两点, 求△PBD面积S的最小值.
(文) 如图8, 圆F1:x2+y2+2x-15=0上有一动点M, 定点F2 (1, 0) , 记线段MF2的中垂线与半径MF1相交于点P.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点A (1, 3/2) , 作曲线C的两条倾斜角互补的动弦AE, AF, 求△OEF面积S的最大值.
21. (本小题满分12分) (理) 已知f (x) =ln (1+x) -ax, 其中a∈R.
(Ⅰ) 求实数a的值, 使得f (x) ≤0对一切x∈ (-1, +∞) 都成立;
(Ⅰ) 求f (x) 在 (0, +∞) 上的最小值;
(Ⅱ) 设点M (a, b) , 使得函数y=f (x) 的图象恰有三条切线都过点M, 试求a, b满足的关系式.
请考生在22, 23, 24题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲
如图9, 点P位于单位圆在第一象限的圆弧 (不含端点) 上, 射线OP与单位圆在点A (1, 0) 处的切线相交于点T, 记∠AOP=x∈ (0, π/2) , 用平面几何方法, 证明:
(Ⅰ) sin x<x<tan x;
(Ⅱ) sin x+tan x>2x.
23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
如图10, 线段OP=1, ∠xOP=π/6, 过点P作倾斜角为π-θ的直线l.
(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;
(Ⅱ) 记直线l分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A, B, 当θ变化时, 求f=│OA│+│OB│-│AB│的最大值.
24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ) 求函数f (x) =│2x-1│+│3x-2│ (x∈R) 的最小值;
(Ⅱ) 求实数a的取值范围, 使得不等式│2x-a│+│3x-2a│≥a2对一切x∈R都成立.
3.A.全称命题的否定是特称命题.
4.D.用“1, 2, 3”依次标记能力“由最强到最弱的3个应聘者”, 他们共有如下6种面试顺序:1, 2, 3;1, 3, 2;2, 1, 3;2, 3, 1;3, 1, 2;3, 2, 1.
按照公司经理的决定, 有3种面试顺序“2, 1, 3;2, 3, 1;3, 1, 2”能录用到能力最强的人, 所以p=3/6=1/2.只有1中面试顺序“1, 2, 3”录用到能力最弱的人, 所以q=1/6.
12. (理) C.作出函数f (x) =x (|x|-1) 的图象, 易知选C.
13.3.x2项的系数与x3+x4+x5无关, 由 (1-x) 4 (1+x+x2) = (1-x) 3 (1-x3) , 可知x2项的系数只与 (1-x) 3有关.故x2项的系数是3.
16.x2+y2-x+y=0.若直线l:ax+by+c=0被圆x2+y2=4截得的弦的中点为M, 则满足OM⊥l.
整理得x2+y2-x+y=0.
故点M的轨迹方程为x2+y2-x+y=0.
所以函数f (x) =0存在唯一零点x=r∈ (0, 1/2) .
下面证明an=3n-2 (n∈N*) 是由正整数构成的满足等式 (※) 的唯一无穷递增数列.
反证法:假设另有一个由正整数构成的无穷递增数列{bn}满足 (※) , 则
ra1+ra2+…=rb1+rb2+…. (☆)
因为两个无穷数列{an}与{bn}是不同的, 所以删除等式 (☆) 两边相同的项, 剩下一个等式如下ri1+ri2+…=rj1+rj2+…, 其中1≤i1<i2<i3<…以及1≤j1<j2<j3<….
故唯一性得证.
18. (理) (Ⅰ) 所有4元数组A的个数是44=256.因为B中每个4元数组都是1, 2, 3, 4的全排列, 所以card (B) =4!=24.
(Ⅱ) 因为|a|的奇偶性与a的奇偶性相同, 所以X是偶数, 所有可能取值是0, 2, 4, 6, 8.
为便于理解, 我们把与X的取值相对应的数组A也列在概率分布列中.
(Ⅱ) 任派两个人参加技能竞赛, 其总的基本事件有 (A, B) , (A, C) , (A, D) , (A, E) , (B, C) , (B, D) , (B, E) , (C, D) , (C, E) , (D, E) , 共10个, 而A, B两人都不参加的基本事件有 (C, D) , (C, E) , (D, E) , 共3个, 所以A, B两人中至少有一人参加技能竞赛的概率为.
19. (理) (Ⅰ) 如图3, 取AC的中点E, 连结BE, 则BE⊥AC.
因为ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面BAC⊥平面ACC′A′, BE⊥平面ACC′A′.
作DF⊥A′C于F, 连结EF.
由平面DA′C⊥平面ACC′A′, 得DF⊥平面ACC′A′.
所以BE∥DF.
又BB′∥平面ACC′A′, D∈BB′,
所以BE=DF.
故四边形BEFD是矩形, 从而BD=EF.
由EF的取法可知, EF是△CAA′的中位线, AA′=2EF.
所以2BD=2EF=AA′=BB′=BD+DB′.
故BD=DB′, 即D是侧棱BB′的中点.
(文) (Ⅰ) 连结B1C, 设BC1∩B1C=F, 则F是B1C的中点.
所以EF是△AB1C的中位线.所以AB1∥EF.
因为AB1平面BEC1, EF⊂平面BEC1, 所以AB1∥平面BEC1.
(Ⅱ) 因为平面AB1E1∥平面BEC1, 平面AB1E1∩平面AA1C1C=AE1, 平面BEC1∩平面AA1C1C=EC1,
所以AE1∥EC1.
又因为AE∥E1C1,
所以四边形AE1C1E是平行四边形.
所以E1是棱A1C1的中点.
20. (理) (Ⅰ) 由题设, 动点M到定点F的距离等于它到定直线l:x=- (1/2) 的距离, 所以动点M的轨迹C的方程为y2=2x.
(Ⅱ) 如图5, 设B (0, b) , D (0, c) , b>c, y20=2x0, x0>2.
同理, 由PD∶ (y0-c) x-x0y+cx0=0与圆 (x-1) 2+y2=1相切, 得到
(x0-2) c2+2y0c-x0=0. (※)
故Smin=8.
(文) (Ⅰ) 由题设, 圆F1的方程为 (x+1) 2+y2=16, 所以F1 (-1, 0) .
由题设几何性质, |PF1|+|PF2|=|F1M|=4.
按椭圆的定义, 动点P的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆, 且2a=4, 即a=2, c=1, .
故所求实数a=1 (必要条件) .
下面证充分性:f (x) =ln (1+x) -x≤0, ∀x∈ (-1, +∞) .
所以由f′ (x) =0, 得x=0.当x变化时, f′ (x) , f (x) 的变化情况如下表:
所以[f (x) ]max=f (0) =0, 从而f (x) =ln (1+x) -x≤0, ∀x∈ (-1, +∞) .
所以所求实数a=1 (充要条件) .
故不等式得证.
令f′ (x) =0, 得x=1.
当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) <0, 当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) >0, 易得x=1为f (x) 的极小值点, 也是最小值点.
所以[f (x) ]min=3.
(Ⅱ) 过点P作函数y=f (x) 的图象的切线PT, 记切点T (x0, f (x0) ) .
令g (x) = (b-2a) x3-3x+2a, x∈R, 则g′ (x) =3[ (b-2a) x2-1].
若b-2a≤0, 则g′ (x) <0, g (x) 在R上递减, 方程 (※) 有唯一解x0, 与题意不符;
列表如下
因为按题意, 方程 (※) 有三个不等实数根x0, 条件是
22. (Ⅰ) 如图7, 连结AP, 则S△OAP<S扇形OAP<SRt△OAT.
(Ⅱ) 即证明tan x-x>x-sin x, 亦即证明图8中弓形 (阴影部分) 的面积小于圆外曲边图形 (阴影部分) 的面积, 由于是曲边图形面积不便比较, 过点P作单位圆的切线交AT于点K, 目标进一步转证S△PAK<S△PTK, 如图9.
因为KA与KP都是单位圆的切线,
所以由切线定理, 得AK=PK.
又在Rt△KPT中, TK>PK (斜边大于直角边) ,
所以TK>AK, 从而S△PAK<S△PTK.
故sin x+tan x>2x.
(Ⅱ) 直线l与x轴正半轴和y轴正半轴都相交的条件是θ∈ (0, π/2) .
24. (Ⅰ) 由绝对值的性质, 得
(Ⅱ) 当a=0时, 满足题设;当a≠0时, 换元x=ay, 则题设不等式化为│2y-1│+│3y-2│≥│a│对一切y∈R都成立.
A. B. C. 1 D.
2.若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有两个实数根x1、x2且x1·x2>x1+x2-4，则实数m的取值范围是（ ）.
A.m>- B.m≤
C.m<- D.- 3.如图1，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD∶OE∶OF=（ ）. A. a∶b∶c B. ∶ ∶ C. cosA∶cosB∶cosC D. sinA∶sinB∶sinC 4.已知△ABC的三边长分别为 、 、2， △A′B′C′的两边长分别是1和 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）. A. B. C. D. 5.如图2，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB∶BC=4∶5，则cos∠DCF的值为___. 图2 图3 6.如图3，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AO的长为__________. 7.抛物线y=x2-4与x轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为 . 8.已知关于x的方程x2+（3-m）x+ =0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是___________. 9. 如图4，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿 着AC方向以2cm/S的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）. （1）当为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 ？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 图4 图5 10.如图5所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点B且12a+5c=0. （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动. ①移动开始后第t（s）时，设S=PQ2（cm）2，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 一、填空：(共24分) 1、数位顺序表中，从右边起第三位是()，千位在右边起第()位2、24÷4=()，口诀：，被除数是()，除数是()，商是()。表示把()平均分成()份，每份是()。(4分) 3、用口诀“五六三十”写出两道除法算式是()和()。、4、星星小学有学生917人，其中男生有437人，女生大约有()人 5、三千四百零六写作()。8080读作() 6.一个数的千位和百位上都是7，其余各位都是0，这个数是()。 7、给“<、>、=”找家。 32+9〇6×7 15-3〇12÷4 3+3〇3×3 7×9〇8×88、将下列算式填在合适的()里。 4×5 12÷2 8×1 72÷8 42÷6 ()>()>()>()>() 二、我会判断。(对的打“√”，错的打“ ╳”)(10分) 1、32÷8=4 读作32除以8等于4。() 2、拉抽屉是旋转现象。() 3、小明有35元，我有5元，我的钱是小明的7倍。() 4、比直角小的角是锐角。() 5、5个2是多少?列式是5+2。() 四、解决问题：(共25分) 1、4人玩一副飞行棋，有32个同学，大家同时玩需要副飞行棋? 2、算一算，我们班现在有多少个同学? 3、一件衣服要钉9粒纽扣，7件衣服要钉多少粒纽扣?现在有45粒纽扣可以钉几件衣服? 五.开放窗口：(24分) 1、一个四位数，个位数字是3，十位上数字是6，任意相邻三位数字之和都是13，这个四位数是() 2三个鱼缸共有27条金鱼，如果从第一个缸里拿出3条放到第二个缸里，再从第二个缸里拿出1条放到第三个缸里，则三个缸里金鱼同样多，问三个缸里原各有几条金鱼? 3.30个小朋友排队去参观，平均分成2队小华排在第一队，她的前面有3人，她的后面有几人? 25+8=33 2、比25少8的数是多少? 25-8=17 3、3个7相加，和是多少? 7+7+7=21 4、3和7相加，和是多少? 3+7=10 5、3和7相乘，积是多少? 3×7=21 6、6个5相加，和是多少? 5+5+5+5+5+5=30 7、6和5相乘，积是多少? 6×5=30 8、3个8减去2个6，差是多少? 3×8-2×6=12 9、比65大19的数是多少? 65+19=84 10、比65小19的数是多少? 300 + 400 =32 =880－800 = 50 =30 + 90 =70 = 80 + 50 =620 － 20 =50 + 500 = 1000－ 700 = 41 = 30 = 40 =5 + 38 = 150－90 = 140 －70 = 82－4 =24 = 二、用竖式计算 48 =69 =57 = 35 + 254 = 636－276 = 387 + 378 = 503－196 =297 + 66 + 343 = 三、用竖式计算并验算 408 + 297 =414－87 = 四、填空 1.计数器上表示的数是（ ），如果在个位上再拨上 1 粒珠，这时的数是（ ）。 2.四百零八写作（ ），六百六十写作（ ）。 3.○○○○○○ △△△△△△△△△△△△ △的个数是○的（）倍，△的个数是的（）倍，○的个数是的（）倍。 4.在○ 里填上“>”“<”或“=”。 10 个一百○一千760○706 20 毫米○1 分米 5.给三角尺上的直角标上记号。 三角尺上的另两个角是锐角还是钝角？（） 6.在括号里填上合适的长度单位。 （1）课桌的高度大约是8（）。 （2）右边线段的长是35（）。 （3）小玲的身高是138（）。 7.先把下面的数按不同要求分类，再把表格填写完整。 五、选择正确的答案，在它后面的□里画“√” 1.（1）416 + 388 的和大约是几百？ 700 □ 800 □900 □ （2）592－209 的差大约是几百？ 400 □300 □200 □ 2.小军从家去学校往西北方向走，他从学校回家往什么方向走？ 东北 □东南 □ 西南 □ 3.从自己家到学校，小红走的路比小芳多得多，比小英多一些。谁家离学校最近？ 小红家 □小芳家 □ 小英家 □ 六、解决实际问题 1.每支8元，50 元最多能买几支这样的钢笔？还剩多少元？ 2.四个小朋友拍皮球，小明说：“我拍了36下。”小军说：“我比小芳多拍2下。”小芳说：“我拍了9下。”小丽说：“我拍的下数是小芳的2倍。” （1）小军拍了多少下？ （2）小丽拍了多少下？ （3）小明拍的下数是小芳的几倍？ 1.掌握比较万以内数的大小的方法, 能够用符号表示万以内数的大小。 2.通过比一比的活动, 让学生经历探索比较数的大小的过程, 进一步发展数感。 教学过程: 一、创设情境, 激趣导入 “五一”国际劳动节快到了, 听说几家商场要开展优惠活动, 学校决定买教学用DVD、电视机、空调等电器。老师和你们一起去商场看看, 请同学们当当小参谋, 帮学校买到价廉物美、称心满意的电器。 (板书课题:比一比) (学生陪老师去商场买东西, 并为老师出谋划策) 二、联系生活, 探究新知 1. 买DVD (比较位数不同的数) 。 出示图片: 师:在这两家商场里有一款一模一样的DVD, 可是价钱不一样。谁能读一读价格?你说我们该去哪家买呢? 师:四位数比三位数大, 谁还能讲讲理由吗? 2. 比较位数相同的数。 (1) 买电视机 出示图片: 师:仔细观察这两个数, 我们已经知道了四位数比三位数大, 可这一次两个数都是四位数, 它们到底谁大呢?请四人小组讨论, 然后请小组代表来汇报你们的结果。 师:比较这两个数的最高位, 谁的数大谁就大。如果我们再比一比百位上的两个数字, 1比6小, 那是不是说3160要比2618小了呢? (让学生集体自发地在课堂上讨论。) 引导学生得出结论:位数相同, 先看最高位, 最高位上数字大的那个数就大。 (2) 买空调 出示图片: 师:同学们为什么这一次只比较十位而不比较其他的数位呢? 引导学生得出结论:位数相同, 从最高位比起, 如果最高位上的数一样就比较下一位, 直到比出大小。 (3) 口诀小结。 同学们真是老师的好参谋, 帮助老师正确地比出了商品的价格。比较数的大小, 老师编了个口诀。读一读, 再说说怎样比较数的大小。 多位数, 比大小, 先把位数瞧一瞧。 位数多的它就大, 位数少的它才小。 位数相同怎么办?先把高位来比较。 高位相等往下看, 大小比较难不倒! (“使生活和数学融为一体”是新课标的要求。教师运用自制图片, 让学生很快进入情境, 恰到好处地将数学知识置身于这些场景中。通过“买DVD”“买电视机”“买空调”引出“位数不同的数的大小比较”和“位数相同的数的大小比较”, 引导学生亲身经历, 主动参与, 积极思考, 不断主动探索比较数的大小的方法。) 三、实践应用, 拓展延伸 前两天, 我让同学们调查了一下家里的彩电、冰箱、洗衣机、空调的价格, 同学们比一比, 谁家的便宜?你是怎么样比出来的? 生说, 师板书出数, 学生分别用右手和左手的食指、中指比划出“>”或“<”, 师填上。 师:刚才, 我们都是两个数两个数地比较, 这一次比较6个数, 怎样把6个数从小到大排列呢? 出示题目:387, 99, 809, 345, 1752和4300。 引导学生先把这些数分成两位数、三位数和四位数三类, 再一一比较。 (让学生比较自己家里的电器的价格, 学生在情境中学, 在活动中练, 在玩中学, 学中玩, 动口、动手、动脑融为一体, 有效地激发了学生的参与意识、合作意识、竞争意识。) 四、全课总结 【二年级数学竞赛试题】推荐阅读： 小学数学二年级试题07-07 二年级数学竞赛题09-23 一年级升二年级数学试题10-10 二年级下册数学期末测试题09-28 数学二年级期末测试题参考10-04 三年级数学上册第一、二单元同步试题07-19 一年级数学上册第二单元测试题05-31 六年级数学上册第二单元测试题10-21 一年级数学上册第十二单元质量检测试题10-29 数学周记二年级数学周记09-13二年级数学竞赛试题 篇9
人教二年级数学试题 篇10
小学数学二年级下册综合试卷 篇11
二年级数学《比一比》教学设计 篇12
