有理数运算的教案（精选12篇）
教学内容：有理数的混合运算
【学习目标】
1．掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2．在运算过程中能合理使用运算律来简化运算．
【基础知识精讲】
1．有理数混合运算的运算顺序．
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的． 如：(－2)3＋8×2 ＝－8＋16——先算乘方，再算乘法 ＝8——最后算加法 2．24点游戏．
24点游戏是利用扑克牌中的52张(去掉大王、小王)，任意抽取4张(红色代表负数，黑色代表正数)，根据这几张牌进行混合运算，使运算结果为24．
对于混合运算，可以是加、减、乘、除法，也可以是乘方(底数、指数均是这4个数之中的)，只要结果得到24即可．
如：有4张牌黑7，黑3，红3和黑7，将它们凑成24．
这四张牌可用＋7，＋3，－3，＋7表示，则可用式子：7×［3－(－3)÷7］得到24．
【学习方法指导】
［例1］计算4×(－3)2＋6 点拨：这道计算题是有乘法、乘方，还有加法的混合运算，先搞清运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，再进行运算．
解：4×(－3)2＋6． ＝4×9＋6——先算乘方 ＝36＋6——再算乘法 ＝42．——最后加法
［例2］计算：(－1)3＋(－2)3＋(－3)3
点拨：这道题只有乘方和加法两种运算．先算乘方——将乘方转化为乘法，再算加法． 解：(－1)3＋(－2)3＋(－3)3
＝(－1)＋(－2)(－2)(－2)＋(－3)(－3)(－3)＝－1＋(－8)＋(－27)＝－36．
［例3］计算：
－111＋(0．3×3＋)÷4．
3312 点拨：本题中有分数、小数的混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数，这样计算比较简单．
11111310＋(0．3×3＋)÷4＝－＋(×＋)÷4
***11＝－＋(1＋)÷4＝－＋×＝－＋
31212341231＝． 4解：－［例4］采用两种不同的方法，将四个有理数(每个数都要用且只能用一次)3，4，－6，10通过加减乘除四则运算，使其结果等于24．
点拨：本题答案不惟一，只要使这四个数进行运算后的结果为24即可． 解：现给出其中的两种答案．
第一种：3×(10－4)－(－6)＝24，第二种：4－(－6)÷3×10＝24．
【拓展训练】
一、凑整法
凑整是数学运算中最基础的一种简便运算方式, 在小学阶段就有过接触. 凑整法的目的就是把一个算式中能够凑成整十或整百的数先凑到一起进行运算, 也可以通过引入数字, 对原式中的数进行凑整, 从数字上简化运算, 实现快速且准确的计算.
例1计算89 + 899 + 899 + 89999 + 899999.
解析原式 = 90 - 1 + 900 - 1 + 9000 - 1 + 90000 - 1 +900000 - 1 + 999990 - 5 = 999985.
点评当式子中的数接近某个整十或整百数时, 凑整法是最先要考虑的, 如题中, 通过凑整的方式实现了口算, 快速且准确.
二、分解法
分解法主要就是根据需要对某些数或式子进行分解, 从而简化运算.
解析原式中不能进行约分, 可以在整数部分构造出一个与分母相同的数来简化运算.
点评通过拆分的方法把数字拆成与分母相关的数, 在计算中就可以进行约分, 从而让计算变得更加简单.
三、结合法
结合法就是把能进行简单运算的数结合到一起, 比如说同分母的分数结合在一起, 就可以免去通分, 直接进行计算.
点评关于分数的加减, 最好的方法就是免去通分, 直接加减, 而在分数的乘除法中, 最好的方法就是能够约分. 这是两种简化分数运算的常用方法.
四、裂项法
裂项法一般就是把一个分数拆成两项相加或相减, 在前后项的连续运算中进行抵消, 最后转化成为简单的运算.
点评通过裂项, 把一个分数拆成两个分数的差, 与前后的项互相抵消, 运算就简单了, 这是一种很典型的计算题, 方法和思路也是比较固定的, 一般是先将原式中分母拆分为两个连续自然数的乘积.
五、巧用公式
在初中阶段的计算中, 常会用到平方差或完全平方公式对算式进行变形计算, 公式比较简单, 但要能够灵活运用还是需要一定的技巧的.
例5计算 (1 + 2) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) .
解析因为1= 2 - 1.
所以, 原式 = (2 - 1) (2 + 1) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) = (22- 1) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) = (24- 1) (1 + 24) (1 + 28) = (28- 1) (1 + 28) = 216- 1.
点评公式的灵活运用, 首先要明确使用公式的算式中的一些特征, 看到题目中出现了平方, 我们就要想到有关平方的一些公式, 而“1”是比较特殊的, 可以写成12, 像这样的一些分析方法和解题技巧是需要平时积累的.
六、换元法
换元法不一定就是在解方程组中使用, 在一些算式中, 如果总是出现某个相同的代数式, 并且这个代数式还比较复杂, 那就可以考虑使用换元法先将算式化简, 再进行计算.
点评像这种题目, 如果按照正常的计算方法, 肯定是很难的, 计算量相当大, 而通过换元法, 把算式先化简之后再计算, 就简单了很多. 这种类型的题目特征也很明显, 就是相对复杂的代数式重复出现, 代数式之间存在着某种关联, 这样就可以用假设的方式用字母代替这个代数式再进行化简运算.
七、乘方的巧算
乘方是初中阶段学习的又一种运算方式, 在乘方运算中, 如果指数特别大, 是很难算的, 而乘方的运算同样也可以通过巧妙的方法来简化计算.
点评这道题目中是通过把指数不同的式子转化成为指数相同的算式, 再通过积的乘方公式把相应的算式合并起来, 简化计算.
综上所述, 有理数的运算题型是多种多样的, 在解题时要先观察算式中的数字和算式结构, 结合算式的特征选定适当的方法进行计算. 这样不仅能提高计算的正确率, 还能节省时间. 因此, 在平时的练习中要善于总结和反思, 归纳出一套有效的解题方法, 提高计算及解决问题的能力.
参考文献
[1]钱唐儿.有理数计算的若干技巧.数学大世界:初中版, 2013 (11) .
[2]赵国瑞.有理数混合运算需要具备五种意识.语数外学习:七年级 (上旬) , 2013 (9) .
一､选择题
1. 在1､-1､-2这三个数中,任意两数之和的最大值是().
A. 1B. 0
C. -1D. -3
2. 下列各式运算结果为正数的是().
A. (1 - 2)4 × 5B. -24 × 5
C.(1-24) × 5D. 1-(3 × 5)4
3.计算-2 × 32 - (-2 × 3)2 = ().
A. 0B. -18
C. -54D. -72
4.计算:-0.32 ÷ 0.5 × 2 ÷ (-2)2的结果是
().
A. B. -
C.D. -
5.用计算器求-26的值,下列按键顺序正确的是().
A. + / - 2 y x 6 =
B.2 y x 6 + / - =
C. 2 + / - y x 6 =
D.2 y x 6= + / -
6. 如果一个数的平方等于它的倒数,那么这个数一定是().
A. -1B. 1
C. 0 D. 1或-1
7. 不超过-3的最大整数是().
A. 3B. -3C. -4D. 4
二､填空题
8. 下列各组数①43与34;②-53与(-5)3;③-42与(-4)2;④-3与-3中,其值相等的组是(填序号).
9. 有3张牌,点数分别是2､3､4,以其中的一张的点数为底数,另一张的点数为指数,则所有的幂中,最小的数是 ,最大的数是 .
10. 计算: - +-+× (-2.4)的结果是 .
11. 用计算器计算32 - 15 ÷ 2的按键顺序是 ,结果是 .
12. 如果两个因数的乘积是-0.1,其中一个因数是,则另一个因数是.
13. 在等式3×□-2×□=15的两个方格内分别填入一个数,使这两个数互为相反数,且使等式成立,则第一个方格内的数是 ,第二个方格内的数是 .
14. 在下面的横线上填是“+”或“-”,使等式成立: 511
2 9 1=0.
三､解答题
15. 计算:
(1)6 + (-2)2 × (-3);
(2)2 × (-3)2 - (-3) ÷ -;
(3)(-2)3 - (-6) ÷ -;
(4)0 - (-3)2 ÷ (-9)2 + .
16. 计算:
(1)(-2)3 × (-0.5) - (-2.4)2 ÷ (-1.2)2;
(2)-1.5 × -2 - (-4).
17. 用计算器求下列各式的值:
(1) (-3.2)4;
(2)24 × (3.13 - 1.23) + 21.43.
18. 一个气象站每天记录2时､8时､14时､20时四个时刻的气温,并把它们的平均数作为日平均气温.现测得冬季一天的气温是:2时,-12 ℃; 8时,-9 ℃;14时,3 ℃; 20时, -4 ℃.这天的日平均气温是多少?
B卷
一､ 选择题
1. 一个数的绝对值是最小的三位数,那么这个数是().
A. 100或-100B. -100C. 100D. 不能确定
2. 下列是小明同学在练习本上做的四道题,其中不正确的是().
A. -22 + (-3)2 = 5B. -13 - 3 × (-1)3 = 2
C. -22 × (-3)2 = 36 D. -(-3)2 ÷ (-32) = -1.
3. - × - - () = 中,在()内填上的数是().
A. B. C. -D. -
4.式子-22 + (-2)2 - (-2)3 - 23的值为().
A. -2 B.0 C. -18D. 6
5. 如果△+△=◇,○=□+□,△=○+○+○+○,则◇÷□等于().
A. 1 B. 2C.4 D.16
6. 观察下列算式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,…根据上述算式的规律,你认为22 008的末尾数字应是().
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 某种药品必须在规定的温度内保存,说明书上标明是(℃),则这种药的合适保存的温度是().
A. 22 ℃ ～ 23 ℃ B. 17 ℃ ～ 23 ℃
C. 18 ℃ ～ 23 ℃D. 18 ℃ ～ 20 ℃
二､填空题
8. 绝对值大于3.5而不大于6的所有负整数的积是 .
9. 已知水银､酒精分别在-38.87℃､-117.3℃时就可以由液体凝结成固体,现要测量大约-60℃左右的温度,则应选用(填“水银”或“酒精”)温度计.
10. 小敏中午放学回家自己煮面条吃.有下面几道工序:①洗锅盛水2 min;②洗菜3 min;③准备面条及佐料2 min;④用锅把水烧开7 min;⑤用烧开的水煮面条和菜要3 min.以上各道工序,除④外,一次只能进行一道工序.小敏要将面条煮好,最少用min.
11. 根据图1中提供的信息,求出每个篮球和足球的单价分别是 元,元.
13. 某种球体的直径要求为(15 ± 0.8) mm,现抽检了这种零件8个,并记录如下(表1):
表1
编号 1 2 34 5 678
差值 / mm-0.35 +0.90 +0.52 -0.20 +0.45 +0.61 -0.70 +0.15
那么这种零件的合格率是.
14. 小明和小华一起玩“24点”扑克牌游戏,即从一副扑克牌中(去掉大王､小王)中任意抽出4张,根据牌面上的数字进行有理数混合运算(每张牌只能用1次)使运算的结果等于24,小明抽到4张牌分别是梅花A､方块2､黑桃2､方块3､“哇,我得到24点了!”小明说.他的算法是.
三､解答题
15. 猜猜“我”是谁.
(1)“我”的倒数是我,谁与“我”的积都是它的相反数;
(2)“我”与-4的和等于-5的平方;
(3)“我”除以-3的商,等于6与-4的积.
16. 温度每上升1℃,某种金属丝伸长0.002 mm;反之,温度每下降1℃,金属丝就缩短0.002 mm.把15 ℃的金属丝加热到60 ℃,再使之冷却降温至5 ℃,金属丝长度经过了怎样的变化?最后的长度比原来的长度怎么样?
17. 一辆汽车沿一条东西方向的公路行驶,它从A地沿这条公路向东以40km / h的速度行驶了2.5 h,又反向以45km / h的速度行驶了2h,到达B地. 问:B在A的东边还是西边,它们之间的距离是多少千米?
18. 按下列程序进行计算,如果第一次输入的数是20,而结果不大于100时,就把结果作为输入的数再进行第二次运算,直到符合要求为止.请把每次计算的结果填在表2中.
1、让学生能进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算。
2、让学生进一步体会到有理数减法可以转化为加法进行计算，并体会有理数加减法在实际中的应用。
教学重点与难点
重点：有理数加法和减法的混合运算。
难点：减法统一成加法再写成代数和的形式。
教学过程
一、复习引入
课本P56图是一条河流在枯水期的水位图。此时，桥面距水面的高度为多少米?
可用两种方法回答这个问题。
第一个方法：观察画面，从实际问题出发，桥面高出平均水位12.5米，水面又低于平均水位3分米(0.3米)，两段高度的和就是桥面距水面的高度。可得算式：12.5+0.3=12.8(米)。
第二个方法：利用有理数减法法则得算式：
12.5D(D0.3)=12.8(米)。
比较两个算式，使学生进一步体会减法可以转化为加法。另外，此题中进行了含有小数的有理数的减法运算。
二、新课的进行
某地区一天早晨的气温是-9℃，中午上升了11℃，半夜又下降了6℃。半夜的温度是多少?
解法一：(-9)+11=2，2+(-6)=-4。
所以半夜的温度是-4℃。
解法二：-9+11-6=2-6=-4。所以半夜的温度是-4℃。
比较以上两种解法，结果是一样的，而解法二中的算式是有理数加减的运算。
议一议：P57议一议
通过对此问题的讨论，学生将回顾有理数的加法法则，并用以进行有关小数的运算。计算如下：
4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4)=2.4+(-1.4)=1(千米)
此时飞机比飞点高了1千米。
注意运算顺序是从左到右的计算过程。
还可以这样计算：4.5-3.2+1.1-1.4
=1.3+1.1-1.4=2.4-1.4=1(千米)
此时飞机比飞点高了1千米。
比较以上两种算法，你发现了什么?
(1)我们可以把有理数的加减法的混合运算统一成加法运算，使加减法的混合运算化为单一的加法运算。
(2)有理数的加减混合运算统一为加法运算以后，保留各加数的性质符号，去掉括号并把加号省略，而形成加减混合运算的简洁的形式。
例1 计算(P58例1)
例2 计算：(1) (2)
解：(1)
(2)
三、课堂练习
1、课本P58随堂练习1、(1)，(2)，(3)
2、计算：(1) (2)
四、课堂小结
根据有理数的减法法则，我们知道风是有理数的减法，都可以转化为加法，利用有理数的加法法则去运算。因此，我们可以把有理数加减法的混合运算统一成加法以后，可以将算式写成省略括号及前面加号的形式。
五、作业设计
让学生了解代数和的定义以机会进行加减混合运算。二：教学重点
将加减混合运算理解为加法的运算。三：教学难点
把省略加号与括号的形式按照有理数的加法进行运算。四：教具
小黑板。五：教学过程
创设情境，复习引入
师：我们以前学习了有理数的加法和减法，同学们学的都很好，我们来看看几道题还记得怎样做？（出示小黑板）（1）（-32）-（-8）-（+15）+（-16/2）（2）（-6/4）-（+5/2）-7+（-12）（第一题薛明星，第二题吴俊，其他学生练习本上写）
师：好，他们写好了。下面的同学也写完了吗？我们一起看看他们两人做的。你们和他们做的一样吗？（讲解：还是先找简便方法，运用加法交换律、结合律，还有互为相反数的，把他们先放到一起，然后根据有理数的加法法则、减法法则计算结果。）正解：
解：（1）=-32+8-15-16/2（2）=-6/4-5/2+7-12 =-47 =-9 师：我们还来看第一题，(板书到黑板上)。
（-32）-（-8）-（+15）+（-16/2）我们看到这个式子里面既有加法也有减法，今天我们就来学习有理数的加减混合运算(板书到黑板上)。
师：如果我说根据有理数的减法法则我们可以把它改写以下，怎么写？ 生：一起回忆减法法则内容：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即式子为：-32+8+（-15）+（-16/2）师：那再去掉括号呢？ 生：-32+8-15-16/2
师：我们就可以把这个式子看做是-32，+8，-15，-16/2的和。我们把几个正数或者是负数的和叫做代数和。（板书，让学生更清楚）在一个和里面，通常加好和括号都可以省去，就变成了几个正数与负数的和了。同学们说一个既有正数又有负数的式子。生：（-11）+（-7）+（-9）+6（根据学生说出的式子做改变）。师：我们如果把这个式子写成省略括号的形式，怎样写？
生：-11-7-9+6.（找两个学生说自己的答案，讲解之后给出正确答案）
师：我们把这个式子读作：（板书）负11，负7，负9，正6的和；从运算上还可以读作：负11减7减9加6.我们省略括号以后就变作了-11，-7，-9，+6.讲解例题
板书：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）将其写成省略括号的形式。师：这道题该怎样解？（朱峰黑板上写，其他学生练习本）生：直接写出-20+3+5-7
师：（集体讲解）我们采用把剑发辫位加法的运算过程，这是就变成了-20，+3，+5，-7的和。加好跟括号都可以省略。就读做：负20，正3.正5，负7.小总结
今天我们学习了有理数的加减混合运算当中，几个正数或者负数的和叫做代数和。我们也知道了他的读法。
巩固练习
一、教学目标
1、掌握有理数混合运算的法则，并能熟练的按有理数运算顺序进行有理数加、减、乘、除、乘方、的混合运算。
2、在运算过程中合理的使用简化运算，培养良好的运算能力。
3、通过玩“24点”游戏开拓思维，更好掌握有理数的混合运算。
二、重点、难点
1、重点：熟练进行有理数的混合运算。
2、难点：在运算中灵活使用运算律并且能准确掌握符号问题。
三、教学过程
1、复习导入
上节课我们学习了有理数的乘方，首先我们来复习一下„„这个读作：a的n次方（幂），a是底数，n是指数，„„叫做幂，他表示n个a相乘。
在前面几节课我们一共学习了5种运算，分别是那些运算呢？（学生回答：加法、减法、乘法、除法、乘方），注意乘方也是一种运算，我们学习了这五种运算所总结归纳出的法则再有理数的范围内都是适用的。下面我们来检测一下大家，自己在练习本上做
（1）（-13）＋5；（2）（-10）－3 ；（3）（-8）×
214；（4）(15)(3)；（5）(4)。4我们一起检验一下自己做的对不对。
首先看第一题：这一题是那种运算（学生答：加法）。那么前面我们学习的有理数加法的法则是？
学生答：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：一个数同0相加仍得这个数。
下面看这道题，首先判断是异号相加，绝对值不相等，那么符号取较大的绝对值的符号，是负号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值，13-5得8结果应该是-8。同样详细讲解后面四道分别回忆并且正确使用使用有理数减法、乘法、除法、乘方的运算法则第（5）小题乘方复习底数是
指数是
它代表的意义是
2、讲授新知
通过练习我们复习了前面学过的有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算的法则，知道了如何分别进行这些法则的运用，今天我们就来学习有理数的混合运算。大家来看一下这个算式：„„„„思考该如何解决这个问题，3＋2„„×（-„„）=？
提示：在学习了乘方之后，我们说乘方是更高一级的运算在有乘方的算式中先算乘方。
我们一起来解决这个问题：首先我们先来判断一下这个式子包含了哪几种运算？（加法、乘方、乘法），„„=4 那么这个式子我们可以把它变成。3＋4×（-„„）=？ 这样的话同学们是不是就见过了呢？接下来应该算乘法最后再算加法。
例1、3＋2×()解：原式=3＋4×()
2151=3＋（
=
4）511 5现在我们自己总结一下有理数加减混合运算的顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号先算括号的话，先算括里 面的。
下面我们再来看这一道题：（学生自己做课本88页例2）例2、18－6÷（-2）×()解：原式=18—（-3）×()
=18－1 =17 叫学生回答解题过程，教师写在黑板上，带领学生按步检查解题过程是否正确。
131323112解：原式=(3)×()
911=（－9）×()
92例3：(3)×[()＋()]
59=—11
教师讲解：先判断算式中包含哪几种运算，然后按步骤进行计算，每步计算过程详细讲解，做完后大家观察一下这个式子思考是否有不同解法。带领学生分析这个算式结构：两个数的和同一个数相乘，我们可以想到乘法分配律。乘法分配律用语言描述、用字母表示。结合本题分析此题中a、b、c、分别是：、、解法二：(3)×[()＋()] 解： 原式=(3)×()＋(3)×()
23592359
=9×()＋9×()
=（—6）＋（—5）
=—11
3、练习
学生自己做89页随堂练习第1题，叫学生上黑板做，教师讲解。
下面我把算式变得复杂一些，大家尝试一下：
72(3)(6)()
=4929(6)
=491854 2223591321 9
85
四、总结：
这节课我们主要学习了有理数的混合运算，在计算中首先我们要判断式中包含哪些运算、是否有括号，其次熟练运用运算顺序，先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号的要先算括号里面的，在计算过程中，灵活的运用运算律，使计算更加简便准确。
五、布置作业：
90页
笔者对两个有理数的加减规律进行了研究, 认为两个有理数的加减运算可以用下面的办法来进行教学.
一、由“小-大=负”来引出负数
学生在小学学习时, 都曾有过“不够减”的疑惑, 笔者认为这是引出负数概念的最好时机, 不管该知识是安排在小学讲授还是安排在初中讲授, 我们都可以用“小减大结果为负数”来引出负数概念.
总之, 生活中需要负数, 生活中也存在负数, 例如, 天气预报等.
用“不够减”来引出“负数”时, 我们最好选用两个较小的自然数来求差, 例如:
(1) 1-2=?———因不够减, 故差为负;又因为1与2之间相差1, 所以1-2=-1.
(2) 5-13=?———因不够减, 故差为负;又因为5与13之间相差8, 所以5-13=-8.
引出负数之后, 对负数的结构可以描述为:算术数前有一个负号.
教学之初, “大”和“小”均指“大正数”和“小正数”, 且正数前面的“+”号可以省略, 但随着知识的加深, “小-大=负”中所说的“大”、“小”可以是满足大小关系的一切有理数.
二、借助相反数的意义来简化计算式子
只有符号不同的两个数称为互为相反数, 0的相反数仍是0.学习相反数之后, 可以对双重符号的数进行化简, 如- (+8) =-8, - (-6) =+6, -0=0.
这样, 虽然“+”和“-”都有表示数的性质和运算双重意义, 但从形式上来说, 可以借助相反数的意义来简化带有双重符号的计算式子, 把计算式子中的括号、多余的“+”省略, 使运算式子变为代数和形式.如:
三、确定两个有理数加减教学的重点、难点
在代数和形式下, 两个有理数的加减运算只有十二类:
第 (1) , (5) , (7) , (8) , 11, 12类都是小学已学的旧知识.
第 (2) 类有三种, “小-大=……”、“大-小=……”和相等两数相减, 而后两种也是小学已学的旧知识.
第 (6) , (9) , (10) 类的运算结果可以很容易得到, 相当于把0及其前面的“+”和“-”抹掉后留下的数.总之, 含有0的运算式子, 包括第 (5) , (6) , (7) , (8) , (9) , (10) , 11, 12类共八种, 其运算结果均相当于把0及其前面的“+”和“-”抹掉后留下的数.我们可以把此规律简称为“见0抹0”.
经过上述筛选, 留下来的教学重点、难点只有三类:
“小-大=……”;
“负+正=……”;
“负-正=……”.
四、用通俗的语言来表达两个有理数的加减规律
对于“小-大=……”, 已经在前面作了阐述, 可在负数引入时消化这个难点, 用“小-大=负”来表达其运算结果, 该负数的算术数就是这两个大数、小数的差.
对于“负+正=……”, 需分两个阶段来教, 第一个阶段是利用生活中“先亏后赚, 最后亏多少还是赚多少”来确定结果;第二个阶段是利用“取算术数较大前面的符号, 再求两算术数的差”来确定结果.
上述两种运算的规律可以表述为“异号相抵”.
对于“负-正=……”, 也要分两个阶段来教, 第一个阶段是利用生活中“亏后再亏, 最后亏多少”来确定结果;第二个阶段是利用“取负号, 再求两算术数之和”来确定结果.这种情况的运算规律可以表述为“同号相并”.
五、两个有理数加减规律的解释
“同号相并, 异号相抵, 见0抹0”之规律适用于任意两个有理数的加减.
同号相并———“同号”之意为“两个同号有理数的代数和”, 式子化为代数和形式之后, 其“外貌”上表现为两算术数前面同为“+”、或同为“-”.“相并”之意为“互相合并”, 即:符号照抄, 再求两算术数之和作为结果的算术数. (注意:不能用“合并”来表述“相并”, 因为“合并”一词与“合并同类项”一词会产生混淆.)
异号相抵———“异号”之意为“两个异号有理数的代数和”, 式子化为代数和形式之后, 其“外貌”上表现为两算术数前面异号.“相抵”之意为“正、负数互相抵消一部分或全部”, 当两算术数相等时, 两个有理数互相抵消;当算术数不相等时, 算术数较小的有理数被完全抵消, 算术数较大的有理数仍有“剩余”, 其符号为结果的符号, 再求两算术数之差 (大算术数减小算术数) 作为结果的算术数. (注意:不能用“抵消”一词来表述“相抵”, 因为“抵消”之意一般是指一对相反数相加结果为0, 或者说相等两数相减结果为0) .
见0抹0———“见0”之意为“两个有理数的代数和中出现了0”, “抹0”之意为运算结果相当于把0及0前面的“±”抹去, 保留下来的有理数就是所求的结果 (当两个算术数均为0时, 结果当然为0, 小学生也知道0±0=0) .
六、两个有理数加减规律的应用
【例】计算 (1) (+12) + (-25) ; (2) (-18) + (-3) ; (3) (-2) - (-6) ; (4) 0- (+9) .
解: (1) (+12) + (-25)
=12-25………首先省略括号和多余的“+”, 化为代数和形式, 式中算术数前异号;
=13…………应用“异号相抵”, 取大算术数25前面的负号, 再求25与12的差.
=-18-3………首先省略括号和多余的“+”, 化为代数和形式, 式中算术数前同号;
=-21…………应用“同号相并”, 符号照抄, 再求算术数18与3的和.
=-2+6………首先省略括号和多余的“+”, 化为代数和形式, 式中算术数前异号;
=4…………应用“异号相抵”, 取大算术数6前面的正号, 再求6与2的差.
=0-9………首先省略括号和多余的“+”, 化为代数和形式, 式中含0;
关键词：数学衔接；起点教学
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）18-215-01
初一学生在进行有理数运算时，经常出现这样或那样的错误，究其原因，主要是：小学数学基础不牢固；未能养成良好的学习习惯；对数学概念、运算法则理解不透彻；运算缺乏理性思考；解答未进行必要的检查验算等。多年的教学实践告诉我们：有理数运算教学要适应初中一年级学生的年龄特点、知识结构特点和思维特点，在强化基础知识教学的同时，注重计算技能技巧的训练。下面，谈谈有理数运算的教学策略。
一、搞好中小学数学衔接，提高学生运算能力
在小学，学生学习了非负有理数的四则运算，掌握了最基本的数学计算；进入中学，由于引入负有理数，进一步学习了有理数的运算，学生的计算水平有了一定的提高。对小学的四则运算和中学数学计算而言，有理数的运算处于承上启下的位置，是整个初中代数的基础知识。特别是它对以后学习代数式的运算、实数的运算、解方程以及函数中的计算都起到非常重要的作用。由此可见，小学数学四则运算是否过关，直接影响到初中有理数运算的学习，而有理数运算的学习效果，又直接影响到后续数学知识的学习。因此，我们必须认真研究中小学衔接的特点和规律，不断提高衔接的针对性和实效性。重点可从以下几个方面做好衔接工作：
1、搞好中小学生理、心理特点的衔接。依据中小学不同年龄阶段学生心理、生理发展规律，结合他们的学习生活特点与现状，有针对性地开展数学教学工作。
2、落实中小学教材内容的衔接。熟悉中小学数学教材内容，了解知识的来龙去脉，以便教与学能做到既承上又启下。
二、抓好运算起点教学，不断提高运算水平
负号引入是有理数教学的重要起点，有理数的加法运算则是有理数运算的起步阶段，是后续学习的必备基础。因此，抓好运算起点教学，注重知识前后联系，这对于学习掌握有理数运算至关重要。
1、重视正、负数概念教学
（1）正确理解具有相反意义的量。初一学生必须突破小学阶段长期接触算术数的思维定势，教师要有意识强化引导。在教学过程中，可通过大量的现实生活中具有相反意义的量，如零上5℃和零下5℃、高出海平面6米和低于海平面3米等…，说明为了区分具有相反意义的量，用正号“+”和负号“-”来表示意义相反的两个量，理解负数的意义和负号引入的合理性，自然引入正数和负数的概念。
（2）正确理解正数和负数概念。在教科书上，对负数的概念是这样描述的：“像-5，-4，-3。6等带有负号的数叫做负数”。学生对这一描述性定义往往理解不透彻，单从表面认识容易误以为带负号的数一定是负数。显然，-5，-1/4，-3。6就是在正整数5，正分数1/4，正小数3。6的前面分别添上负号形成的，负数实际上是指那些在正数的前面添上一个“-”号的数。教学中，还可多列举一些例子，让学生真正明白：除0以外，小学算术数前面加“+”号表示正数，小学算术数前面加“-”号表示负数，0既不是正数也不是负数。通过引导学生举例、观察、思考、比较，明确有理数与小学算术数之间的关系以及数域之间的联系与区别。在学习绝对值后，还可告诉学生：计算任何一个有理数的绝对值，都可以得到小学学过的算术数。
（3）正确认识并理解带负号的数。由于字母a可代表正数、零、负数，因此，不能误认为a一定是正数，-a一定是负数。如：当a=2时，a为正数，-a为负数；当a=-2时，a为负数，-a就是-（-2）即2为正数；如当a=0时，a为零，-a也为零。显然，在一个数前面添上负号，它表示的是与原数意义相反的数。在一个正数前面添上负号，它表示的是负数；在一个负数前面添上负号，它表示的是正数；在0前面添上负号，它表示的是0。由此可见，要判断一个数是否为负数，绝不能以这个数是否带负号为依据，带负号的数并不一定是负数。因此，当我们遇到带负号的数时，一定要仔细分析，认清它的本质。
2、注重有理数加法法则的教学
有理数加法法则是有理数运算教学的基础，首先要弄清加法运算法则的来龙去脉，还应结合实例让学生在探索实践中领悟，及时总结运算方法和规律。现以足球比赛为例，说明如何进行有理数加法运算法则教学。
例如，足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量。若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”。比如，赢1球记为+1，输1球记为-1。某足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：
（1）若上半场赢了1球，下半场赢了2球，则全场共赢了3个球。即（+1）+（+2）=+3……（1）
（2）若上半场输了3球，下半场输了1球，则全场共输了4个球。即（-3）+（-1）=-4……（2）
（3）若上半场赢了3球，下半场输了2球，则全场赢了1个球，即（+3）+（-2）=+1……（3）
（4）若上半场输了4球，下半场赢了3球，则全场输了1个球，即（-4）+（+3）=-1……（4）
（5）若上半场输了3球，下半场赢了3球，则全场打平，即（+3）+（-3）=0……（5）
（6）若上半场赢了2球，下半场不输不赢，则全场仍赢2球，即（+2）+0=+2……（6）
（7）若上半场输了3球，下半场两队都没有进球，则全场仍输3球，即（-3）+0=-3……（7）
（8）若上半场打平，下半场也打平，则全场仍是平局，即0+0=0……（8）
请学生逐一观察比较上述8个算式，结合每一个算式的特点，思考下列问题：左边两个加数的符号分别是什么，右边和的符号是什么，计算结果绝对值怎么算？通过对以上三个问题的探索，教师重点应让学生仔细观察算式中的加数与和的关系，引导学生讨论、交流，逐一分析解决，再由学生自己发现、归纳出有理数加法的运算规律，最终得到有理数加法法则。
例1 计算：
分析：此算式以加、减分段, 应分为三段：
。, ,。
参加计算这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－0.2化为较为方便。
解：原式
说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。
例2 计算：。
分析：此题运算顺序是：第一步计算 三步做乘方运算；第四步做除法。
和 ；第二步做乘法；第解：原式
说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题。
例3 计算：
分析：要求、、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须，逆用乘法分配律，另辟途径。观察题目发现，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出。
解：原式
说明：“0”乘以任何数等于0。因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算。当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0法”。
例4 计算
分析： 是 的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值。
解：原式
说明：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算；(2)要熟练掌握乘方运算，注意(-0.1)，-0.2，(-2)，-3在意义上的不同。
2例5 计算：。
分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算。
解：原式
例6 计算
解法一：原式
解法二：原式
说明：加减混合运算时，带分数可以化为假分数，也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和。
1.5.1第二课时 有理数的混合运算教学设计
城东中学
万绵利
一、学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了非负有理数的四则混合运算法则，运算顺序，掌握了运算律的使用方法，已经具备了计算的技能基础，在本章前十节的学习过程中，也已具有了进行有理数加、减、乘、除、乘方各种运算的知识与技能基础.学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了实验、猜想、观察、比较、分析、综合、抽象概括等数学活动，积累了较为丰富的活动经验，在解决问题的同时体会到了学习数学的兴趣，在独立思考的基础上，体验到了合作交流的重要性，同时在语言表达，发表见解方面都有成功的感受，具备了学习本节课所需要的活动经验基础.二、学习任务分析: 教科书在学生掌握了有理数加、减、乘、除乘方运算率的基础上，在数的范围内得到扩充，运算级别得到扩展的基础上，提出了本节课的具体学习任务：掌握有理数混合运算法则，并能熟练地掌握有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，能在运算中合理使用运算规律简化运算，本节课的教学目标是：
1、经历实验、操作、探索、等数学活动过程，发展合作交流的意识，提高有条理地、清晰地阐述自己观念的能力；
2、在解决问题的游戏活动中，体验数学学习的兴趣，在解决疑难问题的过程中，体 会克服困难获得的欢欣.3、掌握有理数混合运算法则，能熟练进行四步以内有理数的混合运算，并能合理使用运算律进行简便运算.三、教学过程设计：
本节课设计了五个环节：第一环节：复习回顾，引入新课；第二环节：例题练习，掌握新知；第三环节：游戏活动，巩固提高；第四环节：课堂小节；第五环节：布置作业； 第一环节：复习回顾，引入新课
活动内容：
（1）请同学们回顾学过的加、减、乘、除四则运算的法则如何叙述？
（2）请同学们做一组练习，复习本章已学习过的有理数的加法混合运算、乘法运算、除法运算和乘方运算
⑴1/2－1/2＋4/5;⑵（－5/6＋3/8）×（－24）;⑶8÷（－4/9）÷18/5;⑷－（－2/3）3.（3）请同学们观察下列各题，各包含了哪几种运算？这种运算应该怎么进行？
⑴18－6÷（－2）×（－1/3）;⑵3＋2×（－1/5）;⑶（－3）2×［－2/3＋（－5/9）］.活动目的：通过活动（1）复习回顾小学四则运算法则“先算乘法，再算加法，如果有括号，先算括号里面的.”为有理数四则运算的法则的学习铺设台阶；通过活动（2）复习本章已学习的有理数加减混合运算，乘法、除法、乘方运算法则及其运算律等知识，为本节课学习有理数混合运算做准备；通过活动（3）引入本节课的学习课题：有理数的混和运算，并为下一环节的进行提出问题.2第二环节：例题练习，掌握新知
活动内容：（1）观察、类比、概括有理数混和运算的法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的.例1 计算：
2512.52562例2 计算：
24÷3+22×(-1/4)
（2）由学生独立完成第一环节活动（3）的计算，请三名学生上台板演，并说明算理.(1)
18－6＋（－2）×（－1/3）；
(2)
3＋2×（－1/5）；
(3)
（－3）2×［－2/3＋（－5/9）］.(4)
8＋（－3）×（－2）；
(5)
100÷（－2）－（－2）÷（－2/3）.22
2活动目的：活动（1）是为了培养学生的观察能力，类比能力，概括能力，语言表达能力；活动（2）一方面是为了熟练有理数混和和运算的法则，并培养说明意识和表达能力；另一方面是为了让学生自己去验证自己概括的有理数混和运算的法则的正确性，并体验成功的欢欣；活动（3）是为了进一步巩固新知
第三环节：游戏活动，巩固提高
活动内容：（1）让学生阅读“24点游戏规则”（投影片展示规则）
“从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K分别代表11、12、13”.（2）提出问题，让学生思考、讨论、交流并做出解答.（投影片展示课本中问题）（3）让学生当场从教师准备好的扑克牌中任意抽出四张牌，并向同学们展示，请同学们四个人为一组，合作交流写出尽可能多的结果为24的算式，并展示竞赛.活动目的：活动（1）让学生阅读规则的目的是培养学生的阅读理解能力；活动（2）是为了培养学生的探究能力，合作能力，交流能力，以及对运算法则、运算律的应用能力，同时也是为了培养学生的逆向思维能力.因为游戏中“已知结果写算式”的过程正好与过去“已知算式求结果”的过程相反；活动（3）的目的是让学生体验做数学游戏的乐趣，也是活动（2）的继续，同时展开竞赛可进一步激发学生的活动兴趣，培养集体荣誉感.第四环节：课堂小结
活动内容：用提问方式由学生思考完成课堂小结，如“通过本节课的学习，你有何收获？”
活动目的：培养学生的语言表达能力，活跃课堂气氛，表现学生独立、自主、自信的个性.展示学生的聪明智慧.第五环节：布置作业
活动内容：教科书第90页习题2.15知识技能1，问题解决1 活动目的：复习巩固有理数混和运算的知识，训练运算技能和提高解决问题的能力
四、教学反思
一、 开放发散型问题
例1（2005年海南省中考试题）在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个等式中的运算符号不能相同）：□○□＝－6，□○□＝－6.
分析：这是一道典型的开放题，给考生思考的空间很大，其答案众多，只要符合题目的要求即可，例如，可依次填-2，+，-4；2，-，8；-2，×，3；，÷，-；等等.
二、数形结合型问题
例2（2006年山东省济南市中考试题）如图，数轴上A，B两点所表示的两数的（）.
Ａ．和为正数Ｂ．和为负数
Ｃ．积为正数Ｄ．积为负数
分析：A、B两点对应的数分别是-3和3，这两个数的和为0，既不是正数，也不是负数；积为-9，应选D.
三、分类讨论型问题
例3（2006年黑龙江省哈尔滨市中考试题）若x的相反数是3，|y|＝5，则x
+y的值为（ ）.
A．-8B.2C.8或-2D.-8或2
分析：由题知，x＝-3，y＝5或y＝-5.因此，要分类求解：当x＝-3，y＝5时，
x+y＝-3+5＝2；当x＝-3，y＝-5时，x+y＝-3+（-5）＝-8 ，应选D.
四、规律探索型问题
例4（2006年四川省南充市中考试题）在小学我们已经知道，有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．那么，对于有规律排列的一列数：1，-2，3，- 4，5，-6，7，-8，…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
(2)它的第100个数是多少？
(3) 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
分析：要解决这个问题，关键是研究其符号和数字的排列规律.经观察比较易发现，如果不考虑正负号，这一列数是小学学过的从1开始由小到大排列的自然数.题目告诉我们：有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示，因此可类比它用n（n是正整数）来表示这列数；再考虑正负号的添加规律，发现奇数项为正，偶数项为负，结合n为正整数，因此要分类给出其规律.其规律是：当n为奇数时，表示为n；当n为偶数时，表示为-n.当然，也可用（－１）n+1或－（－１）n来表示正负号的变化规律，从而这一列数可表示为（－１）n+1n或－（－１）nn（n是正整数）.有了这一规律，问题的求解就容易了.
解：（1）它的每一项可用式子表示为：（－１）n+1n（n是正整数）或－（－１）nn（n是正整数）；（2）它的第100个数是偶数，因此应为-100；（3）由于第2006个数为偶数，这个数应是负数，因此2006不是这列数中的数.
五、定义新运算型问题
例5（2006年江苏省无锡市中考试题）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．则当x＝2时，(1⊕x)·x－(3⊕x)的值为(“·”和“－”仍为有理数运算中的乘号和减号)．
分析：解决新定义运算问题的关键是读懂题目中给出的运算新规则，然后将其转化为常规的有理数运算来解决.
解：根据定义的新运算法则，当x＝2时，因为1＜2，3＞2，所以1⊕x＝1，
3⊕x＝x２，原式＝1×x-x２＝2-２２＝-2.
六、实际应用型问题
例6（2006年湖北省黄冈市中考试题）黄冈某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计了两种方案：一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：①有奖销售自2006年6月9日起，发行奖券10000张，发完为止；②顾客累计购物满400元，赠送奖券一张(假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元)；③世界杯后，顾客持奖券参加抽奖；④奖项是：特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名，各奖50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品.试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？
分析：这是一个生活中的实际问题，解决它的关键是通过精确的计算得出结果.
解：设在定价销售额为400×10000元的情况下，采用打折销售的实际销售金额为W1元，采用有奖销售的实际销售金额为W2元，由题意有W1＝400×10000×95％＝3800000（元），W2＝400×10000-（2×3000+10×1000+20×300+100×100+200×50+5000×10）＝3908000（元），比较知：W1＜W2.因为在定价销售额相同的情况下，实际销售额大，收益就大，所以就商场的收益而言，选用有奖销售的方式，更为合算.
●拓展提高
1、计算(1-2)(3-4)(5-6)┄(99-100)=_______
2、下列计算正确的是
3、计算：-22-(-3)3×(-1)2-(-1)3的结果为()
A.-30B.0C.-1D.24
4、已知且a+b<0,则a-b的值是()
A.9或1B.-1或-9C.9或-1D.-9或1
5、(1)
(2)0-1
6、已知a，b互为相反数，c,d互为倒数，x的平方等于4，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)+(-cd)的`值
7、现规定一种运算，a*b=ab+a-b,计算(-5*7)*(-2)
●体验中考
1、(2009，济宁)计算：的结果是()
A.9
B.-9
C.1
D.-1
参考答案
随堂检测
1、24
2、-2
3、奇数，0
4、1
5、
(3)=10+2-12=0
课下作业
●拓展提高
1、1
2、C
3、D
4、D
5、
(2)=0+1+0-1=0
(3)=-9-20-2=-31
6、解：因为a，b互为相反数，c,d互为倒数，x的平方等于4
所以a+b=0，cd=1,x=2或-2
当x=2时，x2-(a+b+cd)x+(a+b)2009+(-cd)2008
=4-(0+1)×2+(0)2009+(-1)2008
=4-2+0+1
=3
当x=-2时，x2-(a+b+cd)x+(a+b)2009+(-cd)2008
=4-(0+1)×(-2)+(0)2009+(-1)2008
=4+2+0+1
=7
所以x2-(a+b+cd)x+(a+b)2009+(-cd)2008的值为3或7
7、解：(-5*7)*(-2)
=[-5×7+(-5)-7]*(-2)
=-47*(-2)
=(-47)×(-2)+(-47)-(-2)
=49
●体验中考
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