初等函数导数证明

初等函数导数证明（精选12篇）

初等函数导数证明 篇1

一、选择题

1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于

A.1 B.2

C.3 D.4

[答案] D

[解析] y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)

=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，

y|x=1=4.

2.若对任意xR，f(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=()

A.x4 B.x4-2

C.4x3-5 D.x4+2

[答案] B

[解析] ∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c，又f(1)=-1

1+c=-1，c=-2，f(x)=x4-2.

3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn+1 B.n+2n+1

C.nn-1 D.n+1n

[答案] A

[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，

m=2，a=1，f(x)=x2+x，

即f(n)=n2+n=n(n+1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn=112+123+134+…+1n(n+1)

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1=nn+1，

故选A.

4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

[答案] C

[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx，f(x)=2ax+b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，

顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.

5.函数y=(2+x3)2的导数为()

A.6x5+12x2 B.4+2x3

C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x

[答案] A

[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

y=6x5+12x2.

6.(江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()

A.-1 B.-2

C.2 D.0

[答案] B

[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的`思想，f(x)=4ax3+2bx，f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f(1)=4a+2b，f(-1)=-f(1)=-2

要善于观察，故选B.

7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f(1)=()

A.0 B.-1

C.-60 D.60

[答案] D

[解析] ∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，f(1)=60.

8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()

A.22cos2x- B.cos2x-sin2x

C.sin2x+cos2x D.22cos2x+4

[答案] A

[解析] y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)

=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.

9.(2010高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()

A.3 B.2

C.1 D.12

[答案] A

[解析] 由f(x)=x2-3x=12得x=3.

10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()

A.-15 B.0

C.15 D.5

[答案] B

[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)

f(x+5)=f(x)，f(5)=f(0)

又f(-x)=f(x)，f(-x)(-1)=f(x)

即f(-x)=-f(x)，f(0)=0

故f(5)=f(0)=0.故应选B.

二、填空题

11.若f(x)=x，(x)=1+sin2x，则f[(x)]=_______，[f(x)]=________.

[答案] 2sinx+4，1+sin2x

[解析] f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=2sinx+4.

[f(x)]=1+sin2x.

12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<)，若f(x)+f(x)是奇函数，则=________.

[答案] 6

[解析] f(x)=-3sin(3x+)，

f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)

=2sin3x++56.

若f(x)+f(x)为奇函数，则f(0)+f(0)=0，

即0=2sin+56，+56=kZ).

又∵(0，)，6.

13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.

[答案] 32x(1+2x2)7

[解析] 令u=1+2x2，则y=u8，

yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x

=32x(1+2x2)7.

14.函数y=x1+x2的导数为________.

[答案] (1+2x2)1+x21+x2

[解析] y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.

三、解答题

15.求下列函数的导数：

(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);

(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.

[解析] (1)y=(x)sin2x+x(sin2x)

=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.

(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .

(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .

(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2

=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2

=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.

16.求下列函数的导数：

(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosxsin3x;

(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1.

[解析] (1)y=[cos2(x2-x)]

=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)

=(1-2x)sin2(x2-x).

(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)

=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.

(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.

(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2

=2log2ex2-1.

17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f(x)=2(1+x2)2g(x)，求g(x).

[解析] ∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2

=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx]，

又f(x)=2(1+x2)2g(x).

g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.

18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).

[解析] (1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x2f1x.

解法2：y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.

初等函数导数证明 篇2

导数是数学分析课程中最重要的基本概念之一, 它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的, 有着广泛的应用意义。导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的。可以用来研究函数分析性质, 诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图象等许多性质。着重阐述运用导数来研究中学中常见的因式分解、证明恒等式、曲线的切线和法线方程、方程根的讨论等, 目的是可以给中学里解决数学问题拓展新的思路, 可以使有些数学问题得到简化, 希望能给中学的老师和同学提供一些可借鉴的东西。下面就讨论一下导数在初等数学中的应用。

1、导数在研究函数上的应用

1.1函数的单调性

函数的单调性是函数的一个重要性态, 它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增大 (或减少) 的一个特征。但是, 利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的。下面利用导数符号来研究函数的单调性。

定理设函数y= (fx) 在 (a, b) 内可导, 则

(1) 如果在 (a, b) 内f ('x) >0, 那么函数y= (fx) 在 (a, b) 内单调增加;

(2) 如果在 (a, b) 内f ('x) <0, 那么函数y= (fx) 在 (a, b) 内单调减少。

例1判断函数y=x+ex的单调性。

解因为y'=1+ex>0, 所以, 函数y=x+ex在其定义域内是单调增加的。

还应该注意到, 导数不存在的点, 也可能成为单调增区间和单调减区间的分界点, 看下面的例子。

例2确定函数y=38f38 x 83—32x23的单调区间。

解函数的定义域为 (-∞, +∞) , 求导数得y'=x53—x-13=x+1x-1 eq 3x eq38)

令y’=0, 得x1=-1, x2=1;当x=0时, y'不存在。用以上三个点把定义域分成小区间, 列表考察各区间内y'的符号:

所以, 函数的单调增加区间为 (-1, 0) 和 (1, +∞) , 单调减少区间为 (-∞, -1) 和 (0, 1) 。从以上二例可以看出, 函数 (fx) 的单调性是函数的局部状态。研究函数的单调性, 应先求出f ('x) =0的点或f ('x) 不存在的点, 这些点把定义域分为若干个小区间, 考查f ('x) 在各个区间内的符号, 然后根据定理判断 (fx) 在各个小区间内的单调性。

1.2函数的最值

在生产实践中, 常会遇到一类“最大”、“最小”、“最省”等问题, 例如厂家生产一种圆柱形杯子, 就要考虑在一定条件下, 杯子的直径和高取多大时, 用料最省等。这类问题就是数学上最值问题。如何求最大值、最小值问题呢?

设函数y= (fx) 在闭区间[a, b]上连续, 由闭区间上连续函数的性质知道, 函数y= (fx) 在闭区间[a, b]上一定有最大值与最小值。最大值与最小值可能取在区间内部, 也可能取在区间的端点处, 如果取在区间内部, 那么, 它们一定取在函数的驻点处或者导数不存在的点处。函数的极值是局部概念, 在一个区间内可能有很多个极值, 但函数的最值是整体概念, 在一个区间上只有一个最大值和一个最小值。

由以上分析知, 求函数在闭区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤为:

(1) 求出 (fx) 在区间 (a, b) 内的所有驻点, 导数不存在的点, 并计算各点的函数值;

(2) 求出端点处的函数值 (fa) 和 (fb) ;

(3) 比较以上所有函数值, 其中最大的就是函数在[a, b]上的最大值, 最小的就是函数在[a, b]上的最小值。

例3求函数 (fx) =2x3+3x2-12x+14在区间[-3, 4]上的最大值与最小值。

解 (1) f ('x) =6x2+6x-12=6 (x+2) (x-1) ,

令f ('x) =0, 得函数 (fx) 定义域内的驻点为:

x1=-2, x2=1

其函数值分别为:

(f-2) =34, (f1) =7

(2) 在区间[-3, 4]端点处的函数值分别为:

(f-3) =23, (f4) =142;

(3) 比较以上各函数值, 可以得到, 函数 (fx) 在区间[-3, 4]上的最大值为 (f4) =142, 最小值为 (f1) =7。

总而言之, 导数不仅与数学及其它学科有密切的关联, 而且在实际生活中有着广泛的应用, 如用料最省、利润最大、路程最短等问题一般都可以归结为函数的最值问题, 从而可利用导数来研究。

参考文献

[1]侯志芳.浅议导数在经济分析中的应用[J].常州工学院学报, 1994 (2) .

[2]田雄飞.关于导数应用的研究[J].山西教育学院学报, 2000 (3) .

导数证明不等式中的函数构造 篇3

一、移项即可产生

例1 当 时，求证： .

分析：这是一个特殊的不等式，用常规的方法无效，因此，我们试用导数来证.

证明：设 ，则

因为 ，得 ，于是 ，

即 时， 为增函数，

于是 时， ，而 ，于是 ，

即 ，故 .

点评：本题的函数在构造上较为简单，只需要将其移项就产生了.这是用导数证明不等式构造函数的重要方法之一，我们必须掌握.

二、变形之后产生

例2 已知 是正整数，且 ，证明： .

分析：由

解：设 = ，则

由 ，得 ，而 ，

所以 ，得 为单调递减函数；

因为 且 是正整数，所以 ，

那么，所以 ，

即 .

点评：本题初看与导数无关，也无法构造函数.但当我们对欲证不等式进行变形之后，让我们感觉到了函数 的存在，有了这个函数，一切都变得轻松、自然.

三、转化途中产生

例3 设数列 满足 ， ，试证： .

分析：由已知得 ， ，那么，原不等式即为 .

证明： 设 （ ），则 ，得 ，函数 在 上单调递减，

∴ ，即 在 恒成立，又 ，则有 ，

即 .

点评：本题证明的技巧性很强，在产生 之后，首先要说明 ，然后再结合 构造函数，最后还有函数的定义域由 决定.三处有一处上不去，就別想完成本题的求解.

四、挖掘隐含产生

例4 设函数 有两个极值点 ，且 ，求证：.

分析： 是什么？将 代入到 中去以后，又多出了字母 ，如何处理字母 呢？能不能用 表示出字母 ？我们知道 ，作出以下证明。

证明：由于 ，

令 ，其对称轴为 .

由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，那么 ， ，

显然，当 时， 在 单调递增；

点评：本题的难度很大，函数隐藏较深.也许有的学生能产生 的结果，也能顺利代换掉字母 ，由于 与想象中的函数不一致，最终前功尽弃.

五、借助已知函数产生

例5 已知函数 .

求证：若 ，则对任意x ，x ，xx ，有 .

分析：本题的式子很特别，从给出的式子中隐约感觉到要用导数进行证明，但如何构造函数呢？由于待证式子中既有 又有 ，是不是与 及 有关联的式子呢？

证明：设函数 ，

则 ，

由于 ，得 ，即 在(4，+∞)单调递增，

从而当 时，有 ，即 ，

故 ，

当 时，有

点评：本题的结构很简练，可以说“清脆透明”，一看就能理解题意，如何下手呢？从开始证明到结论产生，不过几行而已.但对大多数考生来说，这几行字的书写并非是一件易事.

通过上述几例可以看出：导数在证明不等式中的作用是非凡的，有些看似难以下手或结论十分特别的式子，通过利用导数都能顺利获解，因此，高考偏爱导数是正常的，将它放在压轴题的位置上也是应该的.当然，面对导数这块“硬骨头”，我们必须“啃”掉它.

责任编辑李婷婷

高一数学必修一基本初等函数教案 篇4

基本初等函数

一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根。即若xna，则x称a的n次方根n1且nN)，1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a0)

②性质：1）(na)na；2）当n为奇数时，naa； 3）当n为偶数时，na|a|（2）．幂的有关概念

①规定：1）anaaa(nN；2）a01(a0)；

*

na(a0)。

a(a0)n个 3）ap1p(pQ，4）annam(a0,m、nN* 且n1)arsrsrsrs；2）(a)a(a0,r、s Q）；(a0,r、sQ）

m②性质：1）aaarrr3）(ab)ab(a0,b0,r Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念

b①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN； ②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10； 3）logaa1；4）对数恒等式：alogaNN。

状元坊专用

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则1）loga(MN)logaMlogaN； 2）logaMlogaMlogaN；3）logaMnnlogaM(nR）N④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0)，logmanlogab。mn1）logablogba1；2）logamb2．指数函数与对数函数（1）指数函数：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。②函数图像：自己作图，注意两种情况。1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；

3）对于相同的a(a0,且a1)，函数yax与yax的图象关于y轴对称 ③函数值的变化特征：看图像可得。自己总结。

（2）对数函数：

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为R；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；

4）对数函数ylogax与指数函数ya(a0,且a1)互为反函数 ②函数图像：自己作图，注意两种情况。1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对称。

ax③函数值的变化特征：看图像可得。自己总结。（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点。指数分别为-1，1，1,2,3.22）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

状元坊专用

当a>0时过（0，0）。4）幂函数一定不经过第四象限 四．【典例解析】 题型1：指数运算

34例1．（1）计算：[(3)3(5)0.5(0.008)3(0.02)2(0.32)2]0.06250.25；

892211解：；2。91212例2．（1）已知xx21.xx○3，求○

1x2x22xx3232的值 7,3

3题型2：对数及幂运算

（2）幂函数yf(x)的图象经过点(2,1)，则满足f(x)＝27的x的值是.81答案 3例3．计算

（1）(lg2)lg2lg50lg25； 解： 2；

题型3：指数、对数方程 22xb例4．已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.2a（1）求a,b的值；

（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.题型4：指数函数的概念与性质

x12e,x＜2，则f(f(2))的值为（）例5．设f(x)2log3(x1)，x2.题型5：指数函数的图像与应用

|1x|m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）例6．若函数y()。12题型6：对数函数的概念与性质 例7．（1）函数ylog2x2的定义域是（）

yo1例8．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()yo1yxAyo1xBxCo1xD

状元坊专用

【思维总结】

1．nNa,aN,logaNb（其中N0,a0,a1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

函数与导数综合问题 篇5

函数与导数综合问题

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第06期

偏导数求二元函数最值 篇6

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

函数问题导数解决 篇7

【例1】 已知函数f(x)=x2+lnx-ax．

(1) 若f(x)在(0,1)上是增函数,求a得取值范围；

(2) 在(1)的结论下,设g(x)=e2x+|ex-a|,x∈［0,ln3］,求函数g(x)的最小值．

解析 (1) f′(x)=2x+1x-a,∵f(x)在(0,1)上是增函数,

∴2x+1x-a>0在(0,1)上恒成立,即a<2x+1x恒成立．

∵2x+1x≥22(当且仅当x=22时取等号),所以a<22．

当a=22时,易知f(x)在(0,1)上也是增函数,所以a≤22．

(2) 设t=ex,则h(t)=t2+|t-a|,∵0≤x≤ln3,∴1≤t≤3．

当a≤1时,h(t)=t2+t-a在区间［1,3］上是增函数,所以h(t)的最小值为h(1)=2-a．

当1

t2+t-a (a≤t≤3)．

因为函数h(t)在区间［a,3］上是增函数,在区间［1,a］上也是增函数,所以h(t)在［1,3］上为增函数,

所以h(t)的最小值为h(1)=a．

所以,当a≤1时,g(x)的最小值为2-a；当1<a≤22时,g(x)的最小值为a．

点评 本题是借助导数方法解决函数单调性、最值问题的基本综合性问题,导数方法的引入,给函数背景的高考试题增添了活力,也极大地拓展了试题的外延,增强了函数的应用功能。

【例2】 设工厂A到铁路线的垂直距离为20 km,垂足为B.铁路线上距离B为100 km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

解析 设BD之间的距离为x km,则|AD|=x2+202,|CD|=100-x.如果公路运费为a元/km,那么铁路运费为3a5元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y为:y=3a5(100-x)+ax2+400,(0≤x≤100).对该式求导,得y′=-3a5+axx2+400=a(5x-3x2+400)5x2+400,令y′=0,即得25x2=9(x2+400),解之得

x1=15,x2=-15(不符合实际意义,舍去).当00,

所以x1=15是函数y的极小值点,而且也是函数y的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15 km处时,运费最省．

点评 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有简便的方法。而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单。

实战演练

1. 已知函数f(x)=x3-ax2-x,抛物线C:x2=y,当x∈(1,2)时,函数f(x)的图象在抛物线C:x2=y的上方,求a的取值范围．

2. 用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m,那么高为多少时,容器的容积最大？并求出它的最大容积．

3. 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=f(x),f(x)≤K,

K,f(x)>K,

其中函数f(x)=52x2-3x2lnx,若x∈(0,+∞),恒有fK(x)=f(x),则K的取值范围为．

4. 若关于x的方程|ex-3x|=kx有四个实数根,则实数k的取值范围为．

5. 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax,(a∈R)．

(1) 当a=2时,求函数p(x)=f(x)+g(x)的单调区间；

(2) 若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1,e］上的最小值为3,求a的值；

(3) 若存在x0∈［1,+∞),使得f(x0)>x20+g(x0)能成立,求a的取值范围．

【参考答案】

1. 由题意知不等式x3-(a+1)x2-x>0在(1,2)上恒成立不等式a+10,所以a+1≤0,a≤-1.

2. 设底面一边长为x,另一边长为x+05,V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x) (0

利用导数解得x=1 m时,体积V最大,即高为12 m时,容积最大为95 m3.

3. 由题意知不等式52x2-3x2lnx≤K(x>0)恒成立,令g(x)=52x2-3x2lnx,

由导数解得x=e13时,g(x)有最大值为32e23,所以K的取值范围为32e23,+∞．

4. g(x)=ex-3x,x=ln3时g(x)有最小值3-3ln3<0,设h(x)=3x-ex,当直线y=kx与h(x)=3x-ex相切时,k=3-e,所以答案为(0,3-e)．

5. (1) 当a=2时,由题意：p(x)的定义域为(0,+∞),且p′(x)=1x-2x2=x-2x2,

∴在区间(0,2)上p′(x)<0,在(2,+∞)上p′(x)>0,

故p(x)的单调增区间是（2,+∞）,单调减区间是(0,2).

(2) 由题意可知：h′(x)=x+ax2．

①若a≥-1,则x+a≥0,即h′(x)≥0在［1，e］上恒成立,此时h(x)在［1，e］上为增函数,［h(x)］min=h(1)=-a=3,∴a=-3(舍去).

②若a≤-e,则x+a≤0,即h′(x)≤0在［1，e］上恒成立,此时h(x)在［1，e］上为减函数,［h(x)］min=h(e)=1-ae=3,∴a=-2e.

③若-e

当1

当-a0,h(x)在(-a,e)上为增函数,

［h(x)］min=h(-a)=ln(-a)+1=3,

∴a=-e2(舍去)

综上可知：a=-2e.

(3) ∵由f(x0)>x20+g(x0)

∴lnx0>x20+ax0.又x0>1,∴a

令M(x)=xlnx-x3,只需a

再令N（x)=M′(x)=1+lnx-3x2,

N′(x)=1x-6x=1-6x2x

∵N′(x)在［1,+∞)上小于0,

∴N(x)在［1,+∞)上是减函数,N(x)≤N(1)=-2即M′(x)<0,

故M(x)在［1,+∞)上也是减函数,M(x)≤M(1)=-1.

∴a<-1,

利用导数证明不等式 篇8

函数与导数

（三）核心考点

五、利用导数证明不等式

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例

1、已知函数f(x)lnxax2(2a)x

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a0，证明：当0x111时，f(x)f(x)； aaa

（3）若函数f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f`(x0)0

【变式1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：恒有11ln(x1)x成立。x

1x【变式2】（1）x0，证明：e1x

x

2ln(1x)(2)x0时，求证：x2

二、常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式 f(a)f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式。例

2、已知mne,，求证：nm

例

3、已知函数f(x)ln(x1)

（1）求f(x)的极小值；

（2）若a,b0，求证：lnalnb1

mnx，1xb a

【变式3】已知f(x)lnx，g(x)127，直线l与函数f(x)、g(x)的 xmx（m0）22

图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1．

（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)f(x1)g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值；（Ⅲ）当0ba时，求证：f(ab)f(2a)ba． 2a

【变式4】求证：

bablnbabaa(0ab)

1x)x0(x1)【变式5】证明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n1)【引申】求证： 222(n2,nN*)23n2(n1)

【变式6】当t1时，证明：1lntt1 1t

x21(x1)，各项不为零的数列an满足4Snf()1，【引申】已知函数f(x)an2(x1)

1n11（1）求证：ln； an1nan

初等函数导数证明 篇9

应用函数极值与导数的关系求函数极值，用导数求闭区间上函数的最大值和最小值的方法让学生经过实例分析，熟练灵活掌握，使学生经历知识产生与形成的过程。以自主探究为主，及时归纳方法，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，积累高考题、创新题的解法，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生运算技能还需要进一步提高，尤其是字母运算，加强分类讨论思想方法总结，题目难度需进一步降一下，心理素质需进一步调节，学生浮躁，好习惯有待加强养成。

新题展（函数与导数） 篇10

做一做

1.已知函数f（x）=lnx和g（x）=k（x-1）.

（1）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性；

（2）若直线y=g（x）是曲线y=f（x）的切线，求实数k的值；

（3）若对任意两个互不相等的正数x1，立，求实数k的取值范围.

2.设函数f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+bm）x+n（其中m，n∈R）.

（1）若函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数，求m的取值范围；

（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，m的取值范围恰好是（- 3，-2） U（-2，0）U（O，1），求n的值；

（3）若函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且满足xl+x2+3=6，x1+x2+x2x3+X3Xl=9，求n的取值范围.

看一看

1.（1）对h（x）求导，得h'（x）=1/x-k讨论k的情况判断h'（x）=1/k-k的正负，进而判断函数k（x）的单调性；

（2）先设出切点（xo，Inxo），由f（xo）=g（xo）和k=f'（xo），联立消去k，得到关于xo。的一个方程，解该方程，就能求出实数k的值；

（3）先将式子再换元，令即可转化为研究“不等式

2.（1）先对f（x）求导，得到f'（x）=3（x-m）（x-m-2），从而可求得函数f（x）的减区间为[m，m+2]，由函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数，故有[3，4]∈[m，m+2]；

（2）先研究函数f（x）的单调性，得出函数f（x）的极大值为f（m），极小值为f（m+2）；则函数f（x）有三个不同的零点，等价于f（m）>0且f（m+2）<0；

（3）先设f（x）=（x-x1）（x-x2）（xx3），结合x1+x2+x3=6和x1x2+x2x3+x3x1=9，以及题设中函数f（x）的表达式，可得.f（x）=x?-6x?+9x+n；则问题可转化为：函数f（x）=x?-6?+9x+n有三个不同的零点，求实数n的取值范围.

对一对

1.解：（1）h（x）=lnx-k（x-1），h（x）f（m）>O且f（m+2）<0，即m?+3?+n>0且（m+2）?（m-1）+n<0.

据题意可知，上述不等式组的解集恰为（-3，-2） U（-2，0）U（0，1），所以当m=-3时，（-3）?+3·（-3）?+n≤O，得n≤0；当m=-2时，（-2+2）?·（-2-1）+n≥0，得n≥0.因此=0.

此时，f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x=x·[x?（3m+3）x+3m?+6m].

因为函数f（x）有三个不同的零点，则x?（3m+3）x+3m?+6m=0有两个异于0的不等实根，故△=（3m+3）?-4（3m?+6m）=3m?-6m+9>0，且0?（3m+3）·0+3m?+6m≠O，

解得m∈（-3，-2） U（-2，0）U（0，1）.综上，n=0.

（3）据题意可设f（x）=（x-x1）（xx2）（x-x3），则f（x）=x?-（x1 +x2+x3）x?+（x1+x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3，即f（x）=x?-6x?+9x-x1x2x3.

对比f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x+n，得m=1，n=-x1x2x3.

所以f（x）=x?-6x?+9x+n，f'（x）=3x?-12x+9=3（x-1）（x-3）.

所以f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，

所以f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）.

据题意，f（x）有3个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点.

故只需f（x）极大值=f（1）>0且f（x）极小值=f（3）

想一想

1.（1）求单调性的解题步骤：求函数h（x）的定义域；求函数h（x）的导函数h'（x），并化简；令h'（x）=o，求出所有的根，并检查根是否在定义域内；列表：注意定义域的划分，h'（x）正负号的确定；根据列表情况得出答案.

（2）如何求解方程是本小题的一个难点，因为所求解的方程不是一个常见的二次方程，所以不能按照常规思路进行因式分解；对于此类问题，我们的基本策略是猜特解，研究单调性.在高中阶段，所要求解的一些非常规方程一般都不会太复杂，我们可以尝试猜出它们的一些特解，再通过讨论相应函数的单调性加以验证.

（3）本小题的一个难点是变形和换元，在（1，+∞）上恒成立”的问题.变形和换元的目的都是为了减少变量，化繁就简，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题进行处理.

2.（1）“函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数”，通常转化为恒成立问题：f'（x）≤o在x∈3，4上恒成立，且仅在个别点处等号成立.就本小题而言，尝试对f'（x）进行因式分解，求出f（x）的减区间，更简单一点.

（2）通过区间的端点位置，求出n的值；估计有不少解这道题的学生到此就会戛然而止.客观上讲，作为一道解答题，解到此就停止肯定是有失严谨.所以本小题容易犯的一个错误就是不对求得的n的值进行验证.

（3）本小题实质上是：已知一个三次函数f（x）有三个不同的零点，求其参数n的取值范围.这是一个我们较熟悉的问题，只不过本小题对f（x）的表达式进行了包装，需要我们多绕一个弯，所以，碰到陌生的问题情境，关键是要能实现转化和化归，化陌生为熟悉，化繁就简.此外，求解数学问题时，有时候也需要大胆猜测，这样在遇到比较陌生的问题时才能较快地找到正确的解题方向.

初等函数导数证明 篇11

对两点边值问题,袁利用单元能量法提出了一类超收敛导数校正公式.该文给出了数学证明,理论分析和袁的计算结果一致.

作 者：魏继东 朱起定 WEI Ji-dong ZHU Qi-ding 作者单位：魏继东,WEI Ji-dong(衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

朱起定,ZHU Qi-ding(湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

专题三 函数与导数（5） 篇12

1. 函数[f（x）=ex+x-2]的零点所在的一个区间是（ ）

A. （-2，-1） B. （-1，0）

C. （0，1） D. （1，2）

2. 若方程[2ax2-x-1=0]在[（0，1）]上恰有一解，则[a]的取值范围为（ ）

A. [a<-1] B. [a>1]

C. [-1

3. 已知函数[f（x）=][ax-x-a（a>0，a≠1）]，那么函数[f（x）]的零点个数是（ ）

A. 0个 B. 1个

C. 2个 D. 至少1个

4. 设[a∈{1，2，3，4}]，[b∈{2，4，8，12}]，则函数[f（x）][=x3+ax-b]在区间[1，2]上有零点的概率为（ ）

A. [12] B. [58]

C. [1116] D. [34]

5. 若函数[f（x）=x3+x2-2x-2]的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

[[f（1）=-2]＼&[f（1.5）=0.625]＼&[f（1.25）=-0.984]＼&[f（1.375）=-0.260]＼&[f（1.438）=0.165]＼&[f（1.4065）=-0.052]＼&]

那么方程[x3+x2-2x-2=0]的一个近似根（精确到0.1）为（ ）

A. 1.2 B. 1.3

C. 1.4 D. 1.5

6. 若[a>1]，设函数[f（x）=ax+x-4]的零点为[m]，[g（x）=logax+x-4]的零点为[n]，则[1m+1n]的取值范围是（ ）

A. [（3.5，+∞）] B. [（1，+∞）]

C. [（4，+∞）] D. [（4.5，+∞）]

7. 定义域为[D]的函数[f（x）]同时满足条件：①常数[a，b]满足[a

A. 1对 B. 2对

C. 3对 D. 4对

8. 某航空公司经营[A，B，C，D]这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：[A-B]为2000元；[A-]C为1600元；[A-D]为2500元；[B-C]为1200元；[C-D]为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则[B-D]的机票价格为（注：计算时视[A，B，C，D]四城市位于同一平面内）（ ）

A. 1000元 B. 1200元

C. 1400元 D. 1500元

9. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆. 垂直于[x]轴的直线[l：x=t（0≤t≤a）]经过原点[O]向右平行移动，[l]在移动过程中扫过平面图形的面积为[y]（图中阴影部分），若函数[y=f（t）]的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）

10. 已知函数[f（x）=2x-1（x≤0），f（x-1）+1（x>0），]把函数[g（x）=f（x）-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）

A. [an=n（n-1）2（n∈N*）]

B. [an=n（n-1）（n∈N*）]

C. [an=n-1（n∈N*）]

D. [an=2n-2（n∈N*）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[y=x（x-1）（x+1）]的图象如图所示，今考虑[f（x）=x（x-1）（x+1）+0.01]，则关于方程式[f（x）=0]的说法正确的有 .

①有三个实根

②当[x<-1]时，恰有一实根

③当[-1

④当[0

⑤当[x>1]时，恰有一实根

12. 有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为 （围墙的厚度不计）.

13. 某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场[dkm（d<200km）]的中心城市，其产销资料如表：当距离[d]达到[n]km以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高. 则[n]的值为 . （经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本）

[

项目 作物＼&水果＼&蔬菜＼&稻米＼&甘蔗＼&市场价格（元/kg）＼&8＼&3＼&2＼&1＼&生产成本（元/kg）＼&3＼&2＼&1＼&0.4＼&运输成本（元/kg·km）＼&0.06＼&0.02＼&0.01＼&0.01＼&单位面积相对产量（kg）＼&10＼&15＼&40＼&30＼&]

14. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊售点. 请确定一个格点（除零售点外）[M]为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短，则[M]的坐标为 .

nlc202309041117

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元. 每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）.

（1）设该厂每[x]天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在[x]天内总的保管费用[y1]（元）关于[x]的函数关系式；

（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用[y]（元）最少，并求出这个最小值.

16. 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润[x]（元）与年产量[t]（吨）满足函数关系：[x=2000t].若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方[s]元（以下称[s]为赔付价格）.

（1）将乙方的年利润[w]（元）表示为年产量[t]（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）在乙方年产量为[t]吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额[y=0.002t2]（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格[s]是多少？

17. 2009年，浙江吉利与福特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌. 据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2009年销售量为20000辆），销售利润每辆每年比上一年减少10%（2009年销售利润为2万美元/辆）.

（1）第[n]年的销售利润为多少？

（2）求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利（即销售利润超过总投资，0.95≈0.59）.

18. 某电视生产厂家有[A，B]两种型号的电视机参加家电下乡活动. 若厂家投放[A，B]型号电视机的价值分别为[p，q]万元，农民购买电视机获得的补贴分别为[110p]，[mln（q+1）（m>0）]万元. 已知厂家把总价值为10万元的[A，B]两种型号电视机投放市场，且[A，B]两型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）.

（1）当[m=25]时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；

（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放[B]型号电视机金额的变化而变化的情况.