2018中考数学考点分析（精选8篇）
原创：贝思特实验学校：祁海军
初中数学延伸课堂
2018年中考的脚步越来越近，多数学校应该都进入了学生自主复习阶段。如何在有限的时间里做到复习效果的最大化？最后几天复习什么？如何复习？是否需要“回归课本”？怎样才能做到“有的放矢”，我想一定都离不开中考真题试卷这个大指挥棒！也是考前复习的“最佳武器”
2018中考数学考点分析
必考考点：
1.相反数、绝对值、倒数概念，数的大小比较 2.科学计数法
3.统计三数（平均数、中位数、众数）4.三角形三边关系 5.简单概率
6.混合运算（0指数、负指数、三角函数、算数平方根、绝对值等）7.平行四边形性质+判定，全等三角形性质+判定 8.利用树状图或列表求概率 9.统计图运用 10.三角函数运用
11.圆与直线的位置关系证明+计算（长度、角度、阴影部分面积）
高频考点：
1.整式运算（整式加减乘除乘方+同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）2.因式分解（一提二套三检查）3.反比例函数点的特征 4.平行线性质
5.数字变化规律（难点，常出现在选择和填空压轴）6.分式的化简与计算 7.解不等式组
8.一次函数的应用（15行程类，16经济类，17经济类）
易考考点：
1.点的对称 2.最简二次根式 3.无理数大小估算 4.代数式求值（整体思想）
5.解分式方程
6.一元二次方程根的判别式 7.圆的内接四边形 8.圆锥扇形面积计算 9.解二元一次方程组 中考的脚步越来越近，其实越是基础的简单题（送分题），越要严肃对待，因为考试从拼知识变成了拼习惯，这也是为什么仔细认真的学生中考容易高分的原因。所以中考最后关头，拼的不是谁会的多而是谁失误少！
当然，笔者始终认为数学能力的提高离不开做题，但当处理的题目达到一定的量后，决定复习效果的关键因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。
祝所有同学在2018年中考中均能“会的全对，做的全对，难题也能蒙的对”。
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数学中考题型分为:选择题、填空题、简答题.
一、选择题
考生要注意归纳选择题的做法, 如排除法、比较法、先易后难法等.要看清题意和各选择支的细微不同点, 谨慎作答.
1. 基本概念辨析题:涉及各章中形似而不神似的概念, 要求弄清各概念间的区别与联系.
2. 性质和判定的混合题:
涉及“图形与证明”中图形性质与判定, 考查基本图形的对称性, 辨认轴对称图形及中心对称图形等.
3. 易错的计算题:如“数与式”的计算.考生要认真细致地作答, 并考虑检验或取值范围.
4. 多角度分析题:要求考生多角度的思考, 得出不同的结论.
(1) “统计与概率”中, 计算数据组的各种统计量, 认读统计图表, 要求考生有读图、释图能力.
(2) “图形与证明”中, 结合图形剖析条件得出初步结论, 并由这些结论深入思考得出新的结论.
(3) 根据图像判断:不等式与一次函数的增减性关系、方程与函数图像的关系、折线图、分段函数的实际意义等.
(4) “视图与投影”中简单物体的三视图, 根据三视图描述基本几何体或实物原型.
二、填空题
主要考查基本知识与基本技能, 相对简单.难点是最后的开放性填空题, 要求学生不仅要注重知识的记忆, 更要从根本上去理解, 学会知识的迁移.
1. 直观呈现型:涉及各章易混淆的知识点, 要求考生注重基本知识的积累, 争取这类题型不失分.
2. 简单计算:
常出现“数与式”“方程和不等式”的计算, 函数图像中的符合要求的点的坐标或函数的解析式.要求考生注重基本技能的训练.
3. 找规律题:
“数与式”中给出有规律的排列, 要求写出确定的项或它们的和等;“空间与图形”中给出有规律的一组图像, 探求后面图像的形状与性质.考生应准确把握规律, 并考虑是否蕴含特殊性.
4. 条件缺失题或多结论题:
属于开放题, 答案常常不唯一.要求多角度思考, 填出缺失的条件或得出的不同结论.涉及“空间与图形”中给出几个条件, 求出一系列结论的题.考生应尽力从简易熟悉的知识点起, 保证解答的正确性.
5. 辅助画图分类思考:属于开放题, 要求根据题意自己画图, 分类思考.考生要周全思考, 不能草率造成漏解.
三、简答题
简答题考查学生语言表达能力和知识的综合运用能力.考生要注意答题的规范性.平时多关注社会热点, 注意把课本知识与实际生活相联系.做综合运用题时要注意按顺序、分步骤、分层次解答, 注意语言简练和各部分之间的逻辑关系.
1. 计算题:
“数与式”“特殊角的三角形函数值”的计算, “分解因式”“圆”中的计算等.这里的计算难度略高于填空题和选择题中的计算, 考生要注意语言表达的准确和格式的规范化.
2. 方程与不等式:常有用换元法解的整式方程, 考虑检验的分式方程, 解不等式并将解在数轴上表示等.
3. 作图题:
利用基本作图或它们的组合去完成.考生应重视作图的准确规范, 特别注意保留作图的痕迹和将作图结论明确化.
4. 图形与证明题:
基本图形的性质或判定的证明题, “相似三角形”与“四边形”相结合, 与“圆”有关的证明, 建立解直角三角形模型来解决实际问题.考生常根据实际添加适当的辅助线 (如平行线、垂线、取中点等) .主要考查学生逻辑推理的条理性、严密性.
5. 求解析式及满足条件的点或线:
考生根据题意初步判断函数类型再加以确定, 常用待定系数法解决, 特定数量、形状、位置关系问题需辅以图形, 并大多归结为方程解决.
6. 组成命题并证明:
给出若干条件, 要求选取适当条件分别作为命题的题设和结论, 组成命题并加以证明.多见“图形与证明”中.考生要会用试探法从简单或熟悉的条件着手, 组成正确的命题, 注意潜伏的易错命题.
7. 补全统计图表:
通过对已有统计图表的认读, 提取有效信息, 补全图表, 再计算表示数据集中程度、离散程度的统计量, 用样本估计总体的思想解决实际问题.
8. 决策分析题:
特点是阅读量大, 信息量大, 学生需要有较强的提取有效信息的能力.常见的是将“方程与不等式”“函数”相结合求最佳方案, “统计与概率”根据统计量结合实际取舍问题.
9. 由特殊到一般的归纳题:
在一组前提条件下, 分别添加不同条件得出相应结论, 最后归纳出一般情形.如“图形与证明”, 讨论点与线段、直线、圆, 直线与圆, 两条直线的不同位置, 根据三角形的分类, 不同特殊四边形的条件下, 得出对应结论再加以归纳总结.
1 0. 动态组合题:
常与图形的变化 (平移、翻折、旋转) 结合, 研究重叠部分面积的最值情况, 求满足条件的点的坐标、函数的解析式、角度、线段的长度、多边形周长的范围或最值问题.或将“相似三角形”与“函数”“圆”结合, 求解析式后研究函数性质, 研究何时相似等.近年出现了与高中数学内容及思维方式靠拢的综合题, 难度较大.
综合性解答题有两类:一是所提的若干问题是并列的, 彼此独立, 互不关联.解答时可不理会这个次序, 各自独立展开, 没有步骤上先后之分;二是所提的若干问题是递进的, 彼此间存在层次上的联系, 后面的解答依赖于前面的结果, 考生要从相对简易题着手, 逐个击破.此类题对考生而言, 得益点是设置有梯度, 让不同层次的同学有不同的收获;受伤点是一旦前面的小题受阻, 后面的只能望题兴叹.考生应善于将前面结论及时添加成为新条件来解决后面的小题.
一、考点扫描
电学知识是整个初中物理的重点，其内容主要包括五个方面：
1. 两种电荷：正电荷和负电荷，电荷之间有相互作用的引力和斥力；导体和绝缘体。
2. 电路：串联电路和并联电路；电路的组成；电路图。
3. 电量、电流、电压、电阻、电功、电功率是初中电学的六个基本物理量；电流表可以测量导体中的电流，电压表可测量导体两端的电压，而导体的电阻和电功率可以通过测量导体中的电流和导体两端的电压，并经过计算间接测得；根据决定导体电阻大小的三个因素，可以制成能够改变电阻大小的变阻器，它能改变电路中的电流。
4. 欧姆定律是电学部分的重点。
5. 串联电路和并联电路的计算是电学部分的重点。
在电学部分的实验中，电流表、电压表、滑动变阻器是三个重要器材；要学会正确选用电流表和电压表的量程，正确选用滑动变阻器的接线柱；要学会按照实验要求连接电路，能识别并说明实验中的错误，并能按照实验步骤进行正确操作。
二、考点分析
（一）填空题
填空题在历年的中考试卷中有着重要的地位，填空题考查的大多是基本知识和基本技能。考查的试题类型包括下面几种：
1. 直接复述型
这类题目是填空的起点题，电学主要考查：基本电压值、导体和绝缘体以及区分常见电路中的串联和并联。
例1：我国照明电路的电压为 V，家用电器之间是 的（选填“并联”或“串联”），家庭消耗的电能是用 表来测量的。
解析：本题主要考查基本电压知识：一节干电池电压为1.5 V、照明电路电压为220 V；照明电路中用电器间的连接是并联连接，用电器与电键是串联连接；电能表是用来测量用电器所消耗的电能的仪表。此题又与同学们的日常生活有着紧密联系。
答案：220；并联；电能。
2. 计算型
其特点是要求同学们通过定量计算，逐步论证才能确定所填内容。准确、熟练、灵活地运用物理公式、概念和规律，是求解此类题目的必要条件。
电学主要考查：I=、 I=、 W=QU、W=Pt等，
此类题越来越多地与生活实际相结合。
例2：10秒内通过某导体横截面的电量为6C，电流做功36 J，通过导体的电流为 A，导体两端的电压为 V。当通过该导体的电流为0.5 A时，它的电阻为 Ω。
解析：主要考查I=、 I=、 W=QU的计算；并要求同学们掌握电阻是导体本身的属性，电阻大小与电压、电流大小无关。
答案：0.6；6；12。
（二）作图题
电学作图题是中考作图题中难度最高的，它的题目类型有电路实物的连接和电表种类的判断。
例3：在图1所示的电路中有一根导线尚未连接，请以笔画线代替导线补上。补上后要求：闭合电键，当滑动变阻器的滑片P向左移动时，电流表的示数减小。
解析：电学作图题较复杂，没有一般步骤可遵守。但首先必须搞清楚电流表、电压表和滑动变阻器在电路中的作用及连接方式，电流表应串联接入电路中。若把电流表移走，那么和电流表串联的元件会变成断路，或整条电路不通；电压表是在电路连接完成后将其并联在待测电路或元件的两端，所以电压表是否连接，对整个电路无影响；滑动变阻器可以串联，也可以并联，且滑片移动方向的不同或连接点的不同，对整个电路都有影响，所以是最复杂，也是最值得引起注意的元件。
本题滑动变阻器的C处已分别连接电灯和滑动变阻器，表明一定是并联电路，电流表应测干路电流。且当滑动变阻器的滑片P向左移动时，电流表的示数减小，表明滑片P向左移动时电阻变大，即应连接B接线柱，故应补上BE导线。
（三）计算题
每年的计算题中必有电学计算题，可分为串联电路和并联电路两类。串联电路的计算大多是含有滑动变阻器的计算，并联电路主要是要分清电流表示数的含义。电学的计算题必然带有电功和电功率的计算。
例4：在图2所示的电路中，电源电压为6V不变，滑动变阻器R2标有“20 Ω 2A”字样。闭合电键后，电流表A示数为0.2 A，电压表V的示数为2V。求：（1）电阻R1的阻值；（2）电流表A的最小示数；（3）电阻R1消耗的最小功率。
解析：此题主要考查串联电路的计算。根据电路可知，电压表V测R2两端的电压。
（1）根据串联电路的特点，可得：U1=U-U2=6 V-2 V=
4V。根据欧姆定律，可得：R1===20 Ω。
（2）当滑片P在最右端时，R2阻值最大，电流最小。根据欧姆定律，可得：I2===0.15 A。
（3）P最小=I22R1=（0.15 A）2×20 Ω=0.45 W。
2018年广东省中考语文考纲主要修改两个方面的内容：（1）基础部分第5、第6点考试内容与要求变动。（2）基础部分的“词语运用”中，试题示例增加1道题；“仿写句子，压缩语段”试题示例增加3道题。详情如下：
一、考试内容与要求具体变动如下表：
类别
2017年考纲细目
2018年考纲细目
基础
5．纠正句子的常见毛病。
5．辨析并修改病句。
6．仿写句子，变换句式。
6．仿写句子，压缩语段。
二、试题示例增加以下题型：
【词语运用】增加考查：用语不得体的一项。
（出自2016年广州市中考语文真题）
4．下面语境中，用语不得体的一项是（）
学校举行书法展示活动，同学们邀请你当场挥毫，你推让不过，说：“好吧，那我只好献丑了。”作品完成后，你谦虚地对大家说：“写得不好，见笑了。”组织活动的老师奖给你一件礼物，你对教师说：“谢谢老师，这礼物我笑纳了。”你的书法老师应你之邀参加了这次活动，你对他说：“感谢您百忙之中光临指导。” A．献丑
B．见笑
C．笑纳
D．光临 【参考答案】C
三、解题方法
语言表达的得体是指能够恰当地使用语言，体现语境和语体的要求。“得体”就是根据语境条件使用语言，即根据内部语境（上下文文体、句式、语言间的搭配和使用习惯等）和外部语境（语言交际的各种情境条件，如说话的目的、场合，需要表达的方式，发话者的身份、职业、处境，受话者的年龄、经历、思想性格、心理需求等），选用恰当的语句来表情达意。【具体要求】 1.要考虑对象。
即根据不同交际对象的社会背景、文化修养、语言习惯等采用相应的语言形式。2.要考虑场合
在不同场合（如正式场合、工作场合、日常生活、娱乐场所等）采用不同的语言形式。
3.要考虑目的。目的不同，语言表达自然有别。如广播稿是念给人听的，所以要多用短句、口语，不容易引起歧义的词和生僻的词等。再如失物招领启事语言要简洁，寻物启事语言要较详细等。
4.要考虑表达方式。
表达方式的差异主要指不同语体所用的表达方式不同。语体分谈话语体和书面语体两大类。谈话语体包括日常谈话、演讲、辩论等；书面语体分为文学语体、政论语体、科学语体、事务语体等。5.要考虑谦敬词的使用。
汉语中不少词是有明显的倾向性，有的用于自谦，称为谦词；有的用于对他人表示敬意，称为敬词。谦词和敬词都有其特定的使用对象和使用范围，不能随意更改。因此，必须辨识、牢记一些常用的谦词和敬词，才能在运用的过程中得心应手，言随旨遣。【谦词分类】 1.“家”字一族：用于对别人称自己的辈分高或年纪大的亲戚。
【家父、家尊、家严、家君】称父亲。
【家母、家慈】称母亲。【家兄】称兄长。
【家叔】称叔叔。
2.“舍”字一族：用于对别人称自己的辈分低或年纪小的亲戚。【舍弟】称弟弟。
【舍妹】称妹妹。【舍侄】称侄子。
【舍亲】称亲戚。3.“小”字一族：谦称自己或与自己有关的人或事物。
【小弟】男性在朋友或熟人之间的谦称自己。【小儿】谦称自己的儿子。【小店】谦称自己的商店。
4.“老”字一族：用于谦称自己或与自己有关的事物。
【老粗】谦称自己没有文化。
【老朽】老年人谦称自己。【老脸】年老人指自己的面子。
【老身】老年妇女谦称自己。
5.“敢”字一族：表示冒昧地请求别人。
【敢问】用于问对方问题。
【敢请】用于请求对方做某事。
【敢烦】用于麻烦对方做某事。6.“愚”字一族：用于自称的谦称。
【愚兄】向比自己年轻的人称自己。
【愚见】称自己的见解。7.“拙”字一族：用于对别人称自己的东西。
【拙笔】谦称自己的文字或书画。
【拙著、拙作】谦称自己的文章。
【拙见】谦称自己的见解。
【拙荆】谦称自己的妻子。
8.“敝”字一族：用于谦称自己或跟自己有关的事物。
【敝人】谦称自己。
【敝姓】谦称自己的姓。
【敝处】谦称自己的房屋、处所。
【敝校】谦称自己所在的学校。
9.“鄙”字一族：用于谦称自己或跟自己有关的事物。
【鄙人】谦称自己。
【鄙意】谦称自己的意见。
【鄙见】谦称自己的见解。10.其他谦词
【寒舍】谦称自己的家。
【寒门】称自己贫寒的家庭。
【错爱】表示感谢对方的关心、爱护。
【犬子】称自己的儿子。【过奖、过誉】用于自己受到表扬或夸奖。【涂鸦】称自己字写得不好或画画得不好。
【马齿徒增】称自己白白增长年岁。
【抛砖引玉】用自己粗浅的、不成熟的意见引出别人高明的意见。【敬词分类】
1.“令”字一族：用于对方的亲属或有关系的人。【令尊】尊称对方的父亲。
【令堂】尊称对方的母亲。
【令郎】尊称对方的儿子。
【令爱、令嫒】尊称对方的女儿。
【令兄】尊称对方的兄长。
【令弟】尊称对方的弟弟。
2.“拜”字一族：用于自己的行为动作涉及对方。
【拜读】指阅读对方的文章。
【拜辞】指告辞对方。【拜访】指访问对方。
【拜服】指佩服对方。【拜贺】指祝贺对方。
【拜识】指结识对方。【拜托】指托对方办事情。
【拜望】指探望对方。3.“奉”字一族：用于自己的动作涉及对方时。
【奉达】告诉，表达（多用于书信）。
【奉复】回复（多用于书信）。【奉告】告诉。
【奉还】归还。【奉托】拜托。
【奉劝】劝告。【奉送、奉赠】赠送。
【奉迎】迎接。奉托:拜托。
4.“惠”字一族：用于对方对待自己的行为动作。
【惠存】请保存（多用于送人相片、书籍等纪念品时所题的上款）。
【惠临】指对方到自己这里来。
【惠顾】来临（多用于商店对顾客）。
【惠允】指对方允许自己（做某事）。
【惠赠】指对方赠予（财物）。5.“恭”字一族：表示恭敬地对待对方。
【恭贺】恭敬地祝贺。
【恭候】恭敬地等候。【恭请】恭敬地邀请。
【恭迎】恭敬地迎接。6.“垂”字一族：用于别人（多是长辈或上级）对自己的行动。【垂爱】称对方对自己的爱护。
【垂青】称别人对自己的重视。【垂问、垂询】称别人对自己的询问。
【垂念】称别人对自己的思念。7.“贵”字一族：称与对方有关的事物。
【贵干】问人要做什么。
【贵庚】问人年龄。【贵姓】问人姓。
【贵恙】称对方的病。【贵国】称对方国家。
【贵校】称对方学校。8.“高”字一族：称别人的事物。
【高见】高明的见解。
【高就】指人离开原来的职位就任较高的职位。【高龄、高寿】用于问老人的年龄。
【高攀】和他人交朋友或结成亲戚。
【高足】称呼别人的学生。
【高论】称别人的议论。9.“大”字一族：尊称对方或称与对方有关的事物。
【大驾】称对方。
【大名】称对方的名字。
【大庆】称老年人的寿辰。
【大作】称对方的著作。【大札】称对方的书信。
10.“敬”字一族：用于自己的行动涉及别人。
【敬告】告诉。
【敬贺】祝贺。【敬候】等候。
【敬请】请。【敬谢不敏】表示推辞做某件事。11.“屈”字一族。
【屈驾】委屈大驾（多用于邀请人）。
【屈就】委屈就任（用于请人担任职务）。
【屈居】委屈地处于（较低的地位）。
【屈尊】降低身份俯就。12.“光”字一族：表示光荣，用于对方来临。【光顾】称客人来到（多用于商家欢迎顾客）。【光临】称宾客到来。
13.“俯”字一族：公文书信中用来称对方对自己的行动。
【俯察】称对方或上级对自己理解。
【俯就】用于请对方同意担任职务。
【俯念】称对方或上级体念。
【俯允】称对方或上级允许。14.“华”字一族：称对方的有关事物。
【华诞】称对方生日。
【华堂】称对方的房屋。【华翰】称对方的书信。
【华宗】称人同姓。15.“叨”字一族。
【叨光】沾光（受到好处，表示感谢）。
【叨教】领教（受到指教，表示感谢）。
【叨扰】打扰（受到款待，表示感谢）。
16.“雅”字一族：用于称对方的情意或举动。
【雅教】称对方的指教。
【雅意】称对方的情意或意见。
【雅正】指正批评（把自己的诗文书画等送给人时）。17.“玉”字一族：用于对方身体或行动。
【玉体】称对方身体。
【玉音】（多用于书信）尊称对方的书信、言辞。
【玉照】称对方的照片。
【玉成】成全。18.“芳”字一族：用于对方或与对方有关的事物。
【芳邻】称对方的邻居。
【芳龄】（多用于年轻女子）称对方的年龄。
【芳名】（多用于年轻女子）称对方的名字。19.其他敬词：
【鼎力】（用于请托或感谢）大力。
【足下】称对方。
【包涵】请人原谅。
【斧正】请人改文章。
【留步】（用于主人送客时客人请主人不要送）止步。【笑纳】（用于请对方收下礼物）请接纳收下。
【指正】（用于请人批评自己的作品或意见）指出错误，使之改正。【赐教】给予指教。
【璧还】归还物品。
【久仰】（多用于初次见面）仰慕已久。
四、实战训练 1.下列语境中，用语不得体的一项是（B）
“老刘，小女下个月举行婚礼，您是月老，一定要来参加内子的婚礼，到时候我可是恭候您的大驾哟！”
“那是当然！这么重要的事情，我一定前去！说起来，这两个孩子也是有缘，我无意中那么一提，还真成就了这段姻缘，为这，你那准女婿还特地来我家拜谢过呢。”
A.小女
B.内子
C.大驾
D.拜谢
【解析】内子：和他人交谈时，对子妻子的称呼，不能理解成自己的孩子。2.下面语境中，用语不得体的一项是（C）“老兄，贵店的生意越发好了。”
“哪里哪里，最近有件烦心事，犬女的成绩退步得厉害，正想请您讨教呢！” “我有一些书籍或许可以帮助到您，小弟愿奉送几本。” “那太感谢了！”
A.贵店
B.犬女
C.讨教
D.奉送 【解析】讨教：敬辞，指向别人学习、请教，此处应为“赐教”。3.下面语境中，用语不得体的一项是（D）学校的艺术节表演，同学们推荐小明当导演写剧本，他说：“既然大家如此信任，当尽我绵薄之力。”剧本完成后，他请老师们来看：“学生不才，请各位师长雅正。”根据剧本的设定，他选择了小红做主演，对小红说：“欢迎你加入我们的演出队伍。”演出取得巨大成功，校长登台祝贺：“你的作品异彩纷呈，在此我仅代表学校对你表示衷心的谬赞。”
A.绵薄之力
B.不才
C.雅正
D.谬赞
【解析】谬赞：谦辞，意即“过奖”，是别人夸奖自己后，自己表示谦虚的客套话，不能用来表示对别人的夸赞。
4.下面语境中，用语不得体的一项是（B）
《悟》这题目我喜欢，但拙笔一时难就。你在一旁奋笔疾书，令人好不羡慕。我忍不住屈尊窥探。你却停下笔，把大作移至我前面，笑嘻嘻地说：“才子，请斧正。”
A.拙笔
B.屈尊
C.大作
D.斧正 【解析】屈尊：敬辞，委屈位尊者，只能用在对方身上。5.下面语境中，用语不得体的一项是（A）招聘会上，我代表公司垂问眼前的应聘者：“先生贵姓？对我公司的运营状况有何高见？”此人从容应对：“免贵姓李，依在下愚见，贵公司的市场策划尚有提升空间，我愿应聘市场部经理一职，凭借自己多年市场营销的经验为公司长远发展贡献力量。”
A.垂问
B.高见
C.在下
D.愚见 【解析】垂问：敬辞，俯问，下问，适用于别人对自己的询问。6.下面语境中，用语不得体的一项是（A）
非常感谢您在千百店铺中有幸选择了鄙店。您的选择是对我们最大的支持与肯定。我们将在本月推出新产品，欢迎垂询、惠顾。
A.有幸
B.鄙店
C.垂询
D.惠顾 【解析】有幸：敬辞，指有运气、机会好，只能用在自己身上。7.下面语境中，用语不得体的一项是（B）
春节期间，小刘诚邀部分老师参加自己的生日聚会，老师们慨然应允。会上，小刘动情地对老师们说：“各位尊长的奉陪让学生倍感荣幸，以后若有需要，可屈驾到敝处找我。”说完从手提包中拿出一叠名片，一一呈交给在座的老师。A.诚邀
B.奉陪
C.屈驾
D.敝处
【解析】奉陪：敬辞，是以诚恳的敬意陪伴别人的客套话，只能用在自己身上。8.下面语境中，用语不得体的一项是（C）
那天，我冒昧到您府上拜会，您恰好有事外出。见令堂身体硬朗、步伐稳健，又见垂念多日的贤侄学业有成，我深感欣慰。若有空，请来寒舍一叙。A.冒昧
B.令堂
C.垂念
D.贤侄 【解析】垂念：敬辞，指别人对自己的挂念。
9.下面语境中，用语不得体的一项是（D）
教育界泰斗黄老今天到校视察。校长亲自到校门口恭迎。参观完校园之后，校长作了汇报，黄老听了高兴地说：“校长的汇报很全面，也很透彻，真是抛砖引玉，下面我来补充几点。”
A.泰斗
B.视察
C.恭迎
D.抛砖引玉
【解析】抛砖引玉：谦辞，比喻用自己不成熟的意见或作品引出别人更好的意见或作品，不能用在对方身上。
10.下面语境中，用语不得体的一项是（B）
小王，听说最近几天令弟要到西安出差，恰好愚弟在西安交大就读。想请令弟帮忙捎去家母亲手缝制的衣物。劳驾您问问令弟方便否。谢谢！A.令弟
B.愚弟
C.家母
D.劳驾
【解析】“愚”，是谦辞，用于自称，应用“舍弟”。“舍”，用于别人称自己的辈分低或年纪小的亲戚。
11.下面语境中，用语不得体的一项是（D）
昨日同事给儿子我办满月酒，我本要参加，突然一老朋友莅临寒舍，针对时下某现象我发表了拙见。不知不觉时间已晚，我只好拿起手机发送短信衷心祝福同事的令郎健康快乐成长，前程远大。
A.参加
B.莅临
C.寒舍
D.令郎
【解析】“令郎”，敬辞，用于称说话对方的儿子，但不能指称第三方的儿子。12.下面语境中，用语不得体的一项是（B）
星期天，我携内人和儿子去做客，主人有事失陪，孩子调皮，玩耍时弄坏了人家的花瓶。等到主人回来，我们满怀歉意地说：“真是事出意外！犬子太过顽皮，碰碎了您家这么贵重的花瓶，敬请原谅，我们一定照价赔偿。”主人笑着说：“区区小事，何足挂齿？”
A.内人
B.失陪
C.犬子
D.何足挂齿
【解析】“失陪”是客套话。表示因故而不能陪伴对方，多指中途先走。不应该用在别人身上。
13.下面语境中，用语不得体的一项是（D）
王老师，前段时间，烦请您指正小女的作文。承蒙您的赐教，孩子按您的指点修改后，在此次的作文大赛中取得了一等奖的优秀成绩。下周我将携小女登门拜访，光临贵舍，以表谢意。
A.指正
B.赐教
C.拜访
D.光临 【解析】光临：敬辞，称宾客到来，不能用在自己身上。14.下面语境中，用语得体的一项是（A）在全县语文课程研讨会上，教育局领导康副局长惠临会场讲话，他提出了关于语文课堂与传统文化教育的刍议。他指出，当今语文课堂不能过于创新，应与传统文化教育对接。最后要求全体老师要多读教育家的拙著，在此次研讨会上各抒己见，勇于说出自己的鄙见。
A.惠临
B.刍议
C.拙著
D.鄙见
【解析】刍议：指自己不成熟的言谈议论，亦指浅陋的议论，多用于第一人称时的自谦之语。拙著：谦称自己的著作。鄙见：谦辞，称自己的见解粗陋。15.下面语境中，用语不得体的一项是（B）
七点钟时，小文突然想起今天约好五点钟要还小东几本书，就对其他的伙伴说：“小弟有事先行一步。”赶紧回家拿书赶到小东家，发现小东一直在家等他。小文边还书边满怀愧疚地对小东说：“多谢敬候，未曾按时还回，惭愧惭愧，现如数奉还，还请见谅！”
A.小弟
B.敬候
C.奉还
D.见谅 【解析】敬候：敬辞，恭敬地等候，适用于自己对别人的等候。16.下面语境中，用语不得体的一项是（C）
感谢您，杨老师！众所周知，您是一位著名的作家，作品广为流传。我在上中学的时候就拜读过您的作品，久仰您的大名，十分渴望成为您的高足。今天您和尊夫人应邀出席我们的文学社成立仪式，我代表文学社全体成员对您表示衷心感谢。
A.拜读
B.久仰
C.高足
D.尊夫人 【解析】高足：敬辞，是对别人学生的尊称，不能用在自己身上。17.下面语境中，用语不得体的一项是（D）
9月10日校庆那天，学校邀请到了诺贝尔文学奖获得者莫言先生做文学讲座。主持人发言如下：各位尊敬的校友，母校60周年华诞，掌声欢迎莫言先生拨冗前来共襄盛典，并感谢莫言先生荣幸地参加我们的庆典活动。A.华诞
B.拨冗
C.共襄
D.荣幸
【解析】荣幸：谦辞，指荣耀而幸运。一般是表现自己谦虚的意思。18.下面语境中，用语不得体的一项是（）看完电影《无问西东》，贤弟我心潮澎湃，有了一些拙见，著成小文《不忘初心》。现呈请兄长过目，还望指点一二。
A.贤弟
B.拙见
C.呈请
D.指点
1.（2017湖南邵阳，第5题）在如图所示的简单机械中，属于省力杠杆的是
B
2.（2017江苏连云港，第2题）如图所示，在均匀杠杆的A处挂3个钩码，B处挂两个钩码，杠杆恰好在水平位置平衡。已知每个钩码的质量均为50g，坐在A、B两处各加一个钩码，那么杠杆
A.右边向下倾斜 B.左边向下倾斜
C.仍保持水平位置平衡 D.无法确定杠杆是否平衡
3.（2017山东德州，第3题）如图所示的四种情景中，使用的工具属于费力杠杆的是（）A．食品夹 B．裁纸刀
C．托盘天平D．瓶盖起子
【解析】
A、食品夹在使用时，阻力臂大于动力臂，属于费力杠杆；故A正确； B、裁纸刀在使用时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；故B错误； C、天平在使用时，动力臂等于阻力臂，故属于等臂杠杆；故C错误； D、瓶盖起子在使用时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；故D错误． 故选：A．
4.（2017山东济宁，第6题）如图是一个杠杆式简易起吊机，它上面装了一个定滑轮可以改变拉绳的方向，杠杆OBA可绕O点转动，重物通过绳子对杠杆的拉力为阻力．图中能够正确表示动力臂的是（）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【解析】
由图可知，动力为拉动杠杆的力，动力作用在滑轮与杠杆之间的拉绳上，动力臂为支点到动力作用线的距离，故l2为动力臂． 故选：B．
5.（2017山东枣庄，第5题）如图是小明探究“杠杆平衡条件”的实验装置，实验中杠杆始终处于水平平衡状态，若在C处逐渐改变弹簧测力计拉力的方向，使其从①→②→③，则拉力的变化情况是（）
A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．逐渐变大 D．逐渐变小 【解析】
由图知，测力计在②位置时，其动力臂等于OC，此时动力臂最长；
测力计由①→②→③的过程中动力臂先变大后变小，根据杠杆平衡条件可知，测力计的示数先变小后变大． 故选：A．
6.（2017四川自贡，第16题）如图所示的杠杆正处于水平平衡，若在标杆两边的钩码下再一个钩码（钩码的质量都相同），杠杆将（）
A、还继续处于水平平衡
C、右端下降，左端上升
B、右端上升，左端下降 D、无法确定杠杆的运动状态
7.（2017山东泰安，第9题）如下图所示，正常使用时属于费力杠杆的是（）B
8.（2017浙江丽水，第3题）如图所示，使用时属于费力杠杆的是（）
A． 镊子夹石块 B．
起子开瓶盖
C．
羊角锤拔铁钉 D．
天平称物体质量
【解析】
A、用镊子夹石块，在使用过程中，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆，故A正确； B、用瓶起子开瓶盖，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，故B错误； C、用羊角锤拔钉子，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，故C错误； D、天平在使用过程中，动力臂等于阻力臂，是等臂杠杆，故D错误． 故选A．
9．（2017山东烟台，第8题）踮脚是一项很好的有氧运动（如图），它简单易学，不受场地的限制，深受广大群众的喜爱，踮脚运动的基本模型是杠杆，下列分析正确的是（）
A．脚后跟是支点，是省力杠杆 B．脚后跟是支点，是费力杠杆
C．脚掌与地面接触的地方是支点，是省力杠杆
D．脚掌与地面接触的地方是支点，是费力杠杆 10．（2017浙江温州，第9题）小明在按压式订书机的N点施加压力，将订书针钉入M点
下方的纸张中，能正确表示他使用该订书机时的杠杆示意图是A
11.（2017天津，第13题）如图7所示，某人用扁担担起两筐质量分别为m1、m2的货物，当他的肩处于O点时，扁担水平平衡，已知l1>l2，扁担和筐的重力不计。若将两筐的悬挂点向O点移近相同的距离Δl,则（）
A.扁担左端向下倾斜 B.扁担右端向下倾斜
C.要使扁担恢复水平平衡需再往某侧筐中加入货物，其质量为
D.要使扁担恢复水平平衡需再往某侧筐中加入货物，其质量为
12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.二、填空简答题
1.（2017浙江金华，第19题）在对汽车的发动机做检修时需要引擎盖抬起，抬起过程应用了杠杆原理。图2为引擎盖的受力分析模式图：引擎盖可绕O点自由转动，A为引擎盖重心位置。由图2可知，该杠杆属于
杠杆。在引擎盖抬起过程中，重力G的力臂逐渐。
【答案】省力
变短
2.（2017江西，第6题）如图4所示，是小鹰用扫帚打扫地面卫生的情景，此时扫帚属于 杠杆（选填“省力”“费力”或“等臂”），平时用力扫地，是通过 的方法来增大摩擦，可使地面打扫得更干净。
【答案】费力 增大压力
3.（2017江苏扬州，第29题）“暴走”是一种快速的徒步运动方式。观察分析人走路情形，可以将人的脚视为一根杠杆，如图所示，行走时人的脚掌前端是支点，人体受到的重力是阻力，小腿肌肉施加的力是动力。已知某人的质量为80kg，g=10N/kg。
（l）请画出小腿肌肉施加的拉力F的力臂l1。
（2）根据图片，估算小腿肌肉产生的拉力是
▲ N。
（3）人向前走一步的过程中，重心升高约4cm，人克服自身重力约做了
▲ J的功。（4）通过查阅资料：人以不同方式徒步运动半小时，消耗人体内的能量如上表所示。请你从能量角度分析“暴走”能健身的原因：
▲。【答案】（1）作图如图
（2）400
（3）32
（4）相同时间内暴走消耗能量比散步大得多（暴走比散步功率大，相同时间内做功多）
4.5.6.7.8.9． 10． 11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.三、作图题
1.(2017广东广州，第16题)用力F1把门推开，弹性绳会被拉长，如图16，门处于静止状态。
（1）画出弹性绳对门的拉力F2的示意图。（2）O为支点，画出F1的力臂。
（3）根据杠杆的平衡条件______________________________可知，F1_____（选填“＞”“=”或“＜”）F2。
【答案】
（1）如图所示（2）如图所示
（2）11FL=F2L2
2.（2017山东烟台，第21题）如图为吊车起吊货物的工作示意图，请在图中画出动力、阻力和阻力臂．
【答案】由图知，吊车起吊货物时，O是支点，撑杆施加的是动力F1，方向与吊臂垂直；货物施加的是阻力F2，方向竖直向下；从支点到阻力作用线的垂线段是阻力臂L2．如图所示：
．
3.（2017山东青岛，第（Ⅱ）卷第4题）如图，轻质杠杆的OA:OB＝3:2，物体M的重力为300N，小雨的重力为600N，双脚与地面的接触面积为0.04m。小雨在A端施加竖直向上的力使杠杆水平平衡，求小雨对地面的压强是多少？请写出解题过程，并画出与解题过程相应的受力分析示意图。
2【答案】
图略
4.（2017江苏南京，第20题）如图乙所示，是一个电热水壶的简易图，在图中画出它所受重力的示意图（B为重心）；用力作用在壶盖上A点时，可将壶盖打开，请在A点画出所需最小力F的示意图（O为支点）。
【答案】如图所示
5.（2017江苏苏州，第23题）图乙中，画出力F的力臂，并标上字母l．
【答案】如图所示
6.7.8.四、实验探究题
1.2.（2017江苏苏州，第27题）在“探究杠杆的平衡条件”实验中：
（1）图甲中，为使杠杆在水平位置平衡，应将右端的平衡螺母向 ▲ 侧调节．
（2）图乙中，杠杆恰好处于水平平衡状态，若在A处下方再挂一个钩码，则B处所挂钩码须向右移动 ▲ 格，可使杠杆在水平位置再次平衡．
（3）杠杆处于图甲所示位置时，小李同学就在杠杆上挂钩码进行实验，小明认为这样操作会对实验产牛以下影响：
①杠杆白身重力可能会对实验产生影响 ②可能不便于测量力臂或出现力臂测量错误 ③无法得出杠杆平衡条件 你认为正确的是 ▲ ．
A．①② B．①③ C．②③ 【答案】（1）右（2）1（3）A
3.（2017四川成都，第27题）在“探究杠杆的平衡条件”实验中，每个钩码重力相等。杠杆刻度均匀
（1）平衡时，应该让杠杆静止在 位置。
（2）小周同学所在实验小组完成某次操作后。实验现象如图15所示，他们记录的数据为：动力F1=1.5N，动力臂L1=0.1m，阻力F2=1N,则阻力臂L2= m（3）下列四个因素中，不会带来实验误差的是。A、铁架台自身的重力足够大 B、单个钩码重力不完全相等 C、悬挂钩码的绳套重力偏大 D、杠杆与转轴之间的摩擦偏大
（4）小周同学所在实验小组在完成规定的实验后，他们想进一步探究，如果杠杆受到F2、F3两个阻力，结果会怎样？通过实验，他们得到了图16所示的结果。根据这个结果，可以初步得出。在这种情况下杠杆的平衡条件为：F1L1=.（F1、F2、F3、的力臂分别用L1、L2、L3、表示）【答案】（1）水平（2）0.15（3）A（4）F2L2+F3L
34.5.6.7.8.9． 10． 11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.五、计算题
六、1.（2017重庆A卷，第19题）图16甲是《天工开物》中记载的三千多年前在井上汲水的桔槔，其示意图如图16乙所示。轻质杆杠的质点O距左端l1=0.5,m，距右端l2=0.2m。在杠杆左端悬挂质量为2kg的物体A，右端挂边长为0.1m的正方体B，杠杆在水平位置平衡时，正方体B对地面的压力为20N。求：（1）此时杠杆左端所受的拉力大小为多少牛顿？（2）正方体B的密度为多少千克每立方米？（3）若该处为松软的泥地，能承受的最大压强为4×10Pa，为使杠杆仍在水平位置平衡，物体A的重力至少为多少牛顿？
【答案】
今天查字典的小编为大家整理了化学辅导资料，来帮助大家提高化学的学习能力，希望各位考生在2018年的中考中取得优异的成绩!
1、测定空气中氧气含量实验
(1)现象：产生白烟,集气瓶中的水上升约1/5体积.(2)结论：氧气约占空气体积的1/5.(3)实验成功的关键:
① 红磷要过量;② 容器要密封，不漏气;③ 冷却后再打开弹簧夹。
(4)进入集气瓶中的水少于1/5的原因：
① 红磷不足，氧气未耗尽;② 瓶塞未塞紧，空气进入;③ 未冷至室温就打开弹簧夹。(5)进入集气瓶中的水多于1/5的原因：
①点燃红磷后伸入集气瓶的速度太慢，集气瓶中的空气受热膨胀而逸出。
②止水夹未夹紧，集气瓶中的空气受热膨胀而从导管口逸出。
(6)该实验的不足之处：
①红磷被点燃后再伸入集气瓶内，使部分空气因受热膨胀而溢出集气瓶。
②红磷在空气中点燃会污染空气。
③导管内的空气会影响实验的准确性。
安徽余其权
考点1集合的基本概念
在学习集合的基本概念时,要理解集合元素的三大特征,理解列举法和描述法,能选择合适的语言来表示集合.在解题时,要注意集合中元素的互异性.
(2)已知集合A={1,3,a},集合B={1,a２-a+1},若B⊆A,则a=_____.
解析:(1)集合A表示的是函数y = (4-x)1/2的定义域,集合B表示的是函数y=x２+1的值域,则A={x|x≤4},B={y|y≥1}, 故A∩B={x|1≤x≤4}.
(2)若a２-a+1=3,即a２-a-2=0,则a =-1或a=2;若a２-a+1=a,即a２-2a+1 =0,则a=1.当a=1时,A中有两个相同的元素1,与集合元素的互异性矛盾,因此,a=1应舍去.所以满足题意的a的值为-1,2.
考点2集合的基本关系
反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.同时注意求真子集时千万不要忘记“空集是任何非空集合的真子集”.同时,A不是A的真子集.
例2 (1)设集合P={m|-1<m<0},Q ={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是( ).
(A)PQ (B)QP
(C)P=Q (D)P∩Q=Q
解析:(1)Q={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},对m分类:
1当m=0时,-4<0恒成立;2当m<0时,需要Δ=(4m)２-4×m× (-4)<0,解得-1<m<0.
由12知,-1<m≤0,所以Q={m|-1< m≤0}.故选A.
(2)根据集合相等的含义,方程ax２+bx+ 1=0的解只有一个,为x=1.当a=0时,由x =1是一次方程bx+1=0的解,得b=-1.
当a≠0时,由x=1是二次方程ax２+bx + 1 = 0的两个相同的实数根, 得
考点3集合的基本运算
认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想.一定要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.
(A)(-∞,0)∪(1,+∞)
(B)(-∞,-3]∪(2,+∞)
(C)(-∞,-3)∪(2,+∞)
(D)(-∞,0)∪[1,+∞)
(2)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则图1中阴影部分表示的集合为( ).
(A){0,2}
(B){0,1,3}
(C){1,3,4}
(D){2,3,4}
考点4集合中的含参问题
所谓集合中的参数问题,是指集合{p|p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题,解答这类问题类似于其他含有参数的问题,灵活性极强,难度也很大.在求集合中字母的取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误. 在有关子集问题的讨论中不要忽视对空集的讨论.
综合(1)(2),得m的取值范围是m≤3.
考点5集合的交汇题
将集合问题与其他知识交汇命题,既可以考查集合知识,又可以考查相关问题.
例5已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y ≥0},H={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω 内随机投一点P,则点P落入区域H的概率为( ).
(A1 /3 (B)2 /3
(C)1 /9 (D)2/ 9
解析:作出两集合表示的平面区域如图3所示.容易得出Ω 所表示的平面区域为三角形AOB及其边界,H表示的区域为三角形OCD及其边界.容易求得D(4,2)恰为x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.可得S△AOB=1 /2×6 ×6=18,S△OCD=1 /2×4×2=4.所以点P落入区域H的概率为4 /18=2 /9.故选D.
考点6四种命题及其关系
主要考查“若p则q”形式命题的四种命题的写法及其相互关系,以及真假判断,在判断真假的同时还考查对数学知识的理解和运用.
例6原命题为“若z１,z２互为共轭复数, 则|z１|=|z２|”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( ).
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
解析:设z１=a+bi,z２=a-bi,且a,b∈R, 则|z１|=|z２|=( a２+b２)1/2,因此原命题为真,所以逆否命题为真.当z１=2+i,z２=-2+i时,满足|z１|=|z２|,此时z１,z２不是共轭复数,因此原命题的逆命题为假,所以否命题为假.故选B.
考点7全称命题、特称命题及其否定
对一个全称命题或特称命题进行否定时, 通常将命题两个地方进行改变,一是量词要改变,二是结论要进行否定.判断全称命题与特称命题的真假时,主要根据命题本身涉及的知识进行判断,判断一个全称命题为真或一个特称命题为假,需要进行严格的逻辑推理,但可通过一个反例说明一个全称命题为假,举一个特例说明一个特称命题为真.
例7给出下列四个命题:
1命题“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是 “存在x０∈R,有x０２≥0”;
2“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定是:“任意x∈R,均有x２-x<0”;
3任意x∈[-1,2],x２-2x≤3;
其中真命题的序号是(填写所有真命题的序号).
解析:对于1,“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是“存在x０∈R,有x０２<0”,因此1错误. 对于2,命题“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定应是“任意x∈R,均有x２-x≤0”,因此2错.对于3,任意x∈[-1,2],x２-2x=(x- 1)２-1∈[-1,3],因此3正确.对于4,当x= 0时,,因此4正确.故填34.
考点8含有逻辑联结词的命题的真假判断
判断含有逻辑联结词的命题的真假时,应首先判断组成这个命题的每个简单命题的真假,然后根据真值表判断这个命题的真假.对于求参数的取值范围问题时,先把每个命题为真时参数的取值范围求出来,再根据含逻辑联结词的命题的真假,分析每个简单命题的真假情况,最后确定参数的取值范围.
(A)命题p∨q是假命题
(B)命题p∧q是真命题
(C)命题p∧(﹁q)是真命题
(D)命题p∨(﹁q)是假命题
(2)设p:关于x的不等式aｘ>1的解集为{x|x>0},q:函数y=lg(x２-4x+a)的定义域为R.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则a的取值范围是.
解析:(1)对于命题p,取x=3,则3２>2３, 即9>8,因此命题p为真命题;对于命题q,取x=-π,则sin x=sin(-π/2)=-1,此时sin x>x,因此命题q为假命题.所以命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∧(﹁q)是真命题,命题p∨(﹁q)是真命题.故选C.
(2)p真时,a>1;q真时,对任意x∈R,x２-4x+a>0恒成立,则 Δ=16-4a<0,即a >4.
若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p,q是一真一假.
综上,a的取值范围为(1,4].
考点9充分条件与必要条件的判断
判断充分、必要条件,一般有三种方法:定义法、等价法以及集合法.所以在判断充分、必要条件时应关注三点:(1)要弄清先后顺序.例如,“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B.(2)要善于举出反例.当从正面判断或证明一个命题的真假不易进行时, 可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化.例如,劭p是﹁q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件.
例9设a,b∈R,则“a３-a２b<0”是“a< b”的( ).
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
解析:若a３-a２b<0,即(a-b)a２<0,则a ≠0,可得a<b,所以充分性成立.若a<b,则a -b<0,但是当a=0时,(a-b)a２=0,所以必要性不成立.故“a３-a２b<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选A.
考点10充分条件与必要条件的探求
求一个命题的充分条件或必要条件时,一是直接对选项进行分析寻求,二是先求出充要条件,再在此基础上进行扩大或缩小范围得到相应的条件.
(A)a<0 (B)0<a<1 /2
(C)1/ 2<a<1 (D)a≤0或a>1
解析:因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2ｘ+a(x ≤0)没有零点函数y=2ｘ(x≤0)与直线y= a无公共点.由数形结合,得a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a>1,应排除D.
当0<a<1/ 2时,函数y=-2x+a(x≤0) 有一个零点,即函数f(x)有两个零点,此时0 <a<1/ 2是函数f(x)有且只有一个零点的既不充分又不必要条件,应排除B;同理,可排除C. 故选A.
考点11充分条件与必要条件的应用
在研究此类问题时,一定要注意区间端点值的检验,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
例11已知p:1<2ｘ<8,q:不等式x２- mx+4≥0恒成立.若劭p是劭q的必要条件,求实数m的取值范围.
解析:由p:1<2ｘ<8,得0<x<3.
又﹁p是﹁q的必要条件,所以p是q的充分条件.所以不等式x２-mx+4≥0对 x∈ (0,3)恒成立.
配套练习:
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(A)(1,4)(B)(3,4)
(C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4)
练习3给出以下四个命题:1若ab≤0,则a≤0或b≤0;2若a>b,则am２>bm２;3在 △ABC中,若sin A=sin B,则A=B;4在一元二次方程ax２+bx+c=0中,若b２-4ac<0, 则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、 逆否命题全都是真命题的是( ).
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分又不必要条件
练习5命题“x∈[1,2],x２-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ).
(A)a≥4 (B)a≤4
(C)a≥5 (D)a≤5
练习6已知命题p:x２+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁p是﹁q的一个充分不必要条件,则a的取值范围是( ).
(A)[1,+∞)(B)(-∞,1]
(C)[-1,+∞)(D)(-∞,-3]
练习7 (1)已知集合A={(x,y)|y=x+ 1},B={(x,y)|y=2x},则A∩B=.
(2)设集合A={x,x２},且1∈A,则实数x =.
练习8 (1)已知集合A={x|log２x≤2}, B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.
(2)已知集合A={x|x２-2x-3≤0},B= {x|x２-2mx+m２-4≤0},若A∩B=[0,3], 则实数m的值为.
练习9已知集合M为点集,记性质P为 “对(x,y)∈M,k∈ (0,1),均有(kx,ky)∈ M”.给出下列集合:
1{(x,y)|x２≥y},2{(x,y)|2x２+y２< 1},3{(x,y)|x２+y２+x+2y=0},4{(x,y)| x３+y３-x２y=0}.
其中具有性质P的点集序号是.
练习10 (1)已知命题p:x>0,总有(x +1)eｘ>1,则劭p为.
(2)已知f(x)=x２+2x+m,若同时满足条件:1x∈R,, f(x０)≤10,则m的取值范围是.
练习11设命题p:函数f(x)=(a-3/2)ｘ是R上的减函数,命题q:f(x)=x２-4x+3在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
练习答案:
1.D.2.B.3.C.4.C.5.C.6.A.
7.(1){(1,2)}.(2)-1.
8.(1)4.(2)2.
9.24.对于1:取k=1 2 ,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但(1 2 ,1 2 )∉{(x,y)|x2≥y},因此
1是不具有性质P的点集.
对于2:∀(x,y)∈{(x,y)|2x２+y２<1}, 则点(x,y)在椭圆2x２+y２=1内部,所以对0 <k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x２+y２=1的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x２+y２<1},因此2是具有性质P的点集.
对于3:原式可化为(x+1/ 2 )2+(y+1)2= 5 /4 ,点(1 /2 ,-1 /2 )在圆上,但点(1/ 4 ,-1 /4 )不在圆上,因此3是不具有性质P的点集.
对于4:∀(x,y)∈{(x,y)|x３+y３-x２y =0},对于∀k∈(0,1),因为(kx)３+ (ky)３- (kx)２· (ky)=k３(x３+y３-x２y)=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x３+y３-x２y=0},因此4是具有性质P的点集.
综上,具有性质P的点集是24.
10.(1)存在x０≤0,使得(x０+1)eｘ0≤1.
(2)1<m≤2.
11.a的取值范围为(3/ 2 ,2)∪[5 /2 ,4].
二、函数与导数部分
河南张桂霞
考点1函数的概念与表示法
对函数的概念与表示法考查的常见内容有:函数值的求解、表达式的求解以及根据函数的对应关系判断函数具有的一些特征等.利用函数的概念解题时,要抓住函数的定义域和对应关系两个核心要素,当函数的对应关系无法用解析式表示时,要从对应关系的本身进行分析判断.
例1设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以4的余数,对任意的x∈N,给出以下式子:1f(x)≠ g(x);2g(2x)=2g(x);3f(2x)=0;4f(x) +f(x+3)=1.其中正确的个数是( ).
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
解析:当x是4的倍数时,可知f(x)= g(x)=0,所以1不正确;当x=2时,g(2x)= g(4)=0,而2g(x)=2g(2)=4,此时g(2x)≠ 2g(x),所以2错误;当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确,即3正确;当x∈N时,x和x+3中必有一个奇数、一个偶数,所以f(x)和f(x+3)有一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确,即4正确.故答案为C.
考点2函数的定义域
函数的定义域的考查角度有两个:一是单独考查,主要考查与分式、对数式、根式等有关的函数的定义域的求法,二是与函数的性质、导数的应用等交汇在一起进行综合考查.对于复合函数,其定义域确定的原则是:(1)如果函数f(x)的定义域是A,则f[g(x)]的定义域是使得函数g(x)∈A的x的取值范围.(2)如果f[g(x)]的定义域为A,则函数f(x)的定义域即是函数g(x)(x∈A)的值域.
例2若函数y=f(x)的定义域是[0,4], 则函数g(x)=f(x+1)/ lg x的定义域是_______ .
解析:因为y=f(x)的定义域为[0,4],所以g (x)中的x需满足即故函数g(x)的定义域是(0,1)∪(1,3].
考点3分段函数
分段函数是高考的一个热点内容,主要考查分段函数的自变量或范围的求解、函数值的求解、参数值或范围的确定等.处理分段函数问题时,一定要明确自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系,代入求解.
(A)1 (B)2
(C)0 (D)-1
考点4函数的单调性及其应用
函数的单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面考查:一是求具体函数的单调性或判断增减性;二是单调性的应用;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查.求函数的单调区间,务必先求函数的定义域,再研究单调问题.
例4 (1)函数f(x)=log1/２(2x２-3x+1) 的单调减区间是_____.
(2)已知a为实数,f(x)=(x２-4)(x- a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求实数a的取值范围.
解析:(1)由2x２-3x+1>0,得函数的定义域是(-∞,1/2 )∪(1,+ ∞).令t=2x２-3x+1,则y=log1/２t.易得t=2x２-3x+1的单调增区间是(1,+ ∞),由复合函数的单调性知, f(x)的单调减区间是(1,+∞).
(2)由题意可知f′(x)=3x２-2ax-4在(-∞,-2]和[2,+∞)上非负.f′(x)=3x２- 2ax-4的图象为开口向上过点(0,-4)的抛物线,由条件得所以实数a的取值范围为[-2,2].
考点5函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性是高考的一个常考知识点, 常见考查角度有:一是判断具体函数的奇偶性, 常见方法有定义法、图象法、赋值法等;二是函数的奇偶性的应用,如求函数值、求解析式、求相关参数的值(范围)等;三是与函数的单调性、 对称性、周期性等融入一起进行综合考查.
(2)已知函数F(x)=eｘ满足F(x)=g(x) +h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若 x∈ [1,2]使得不等式g(2x)- ah(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是______..
考点6函数性质的综合应用
函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题, 常常涉及一些抽象函数.对定义、性质、图象特征的熟练掌握和灵活应用是解决这类问题的关键.
例6 (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点 (-3 4 ,0)对称,且满足f(x)= -f(x+3 2 ),又f(-1)=1,f(0)= -2,则f(1)+ f (2)+ f (3)+ … + f (2 015) =_____ .
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log２a)+f(log1２a)≤2f(1),则a的取值范围是.
解析:(1)由f(x)=-f(x+3 /2 ),得f(x) =-f(x+3 /2 )=f(x+3),所以f(x)是以3为周期的函数.又函数f(x)的图象关于点(-3 /4 , 0)对称,所以f(x)=-f(-x-3/ 2 ).所以f(x +3 /2 )=f(-3 /2-x),则f(x)=f(-x).所以f(-1)=f(1)=1.所以f(-1)+f(0)+f(1) =0.又因为2 015=3×671+2,所以f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(2 015)=671×0+f(1) +f(2)=2.
(2)由题意知a>0,又log1２a=log２a－１= -log２a.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(log２a)= f (-log２a)= f (log1/２a).又f(log２a)+f(log1/２a)≤2f(1),所以2f(log２a) ≤2f(1),即f(log２a)≤f(1).又因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|log２a|≤1,则-1≤log2a≤1,即log21/ 2≤log2a≤log22,所以a ∈[1 /2 ,2].故填[1 /2 ,2].
考点7指数函数
指数函数是高考的重点内容,考查内容主要有:一是指数幂的运算和幂值的大小比较;二是指数函数以及与指数函数有关的函数图象的应用;三是指数函数的性质及其应用.
例7 (1)已知函数f(x)=2ｘ-1/2x,函数则函数g(x)的最小值是 _______.
(2)已知0≤x≤2,则的最大值为_______.
解析:(1)当x≥0时为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0.当x<0时,为单调减函数.所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.
考点8对数函数
对数函数是高考的热点内容,主要考查三个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较; 二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.
例8 (1)设a=log32,b=log52,c=log23, 则( ).
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)c>b>a (D)c>a>b
(2)若logａ(a２+1)<logａ2a<0,则实数a的取值范围是_____.
(2)因为a2+1>1,loga(a2+1)<0,所以0 <a<1.又loga2a<0,所以2a>1,即a>1/ 2.所以实数a的取值范围是(1 /2 ,1).
考点9幂函数
对幂函数的考查主要涉及两个方面:一是幂函数解析式的确定及相关计算问题;二是幂函数的性质(奇偶性、单调性等).
2例9已知幂函数f(x)=xｍ2－２ｍ－３(m∈ Z)的对称轴为y轴,且其图象与x轴,y轴均无交点,则f(x)=______.
解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.又其图象与x轴, y轴均无交点,所以m２-2m-3=(m-1)２-4 (m∈Z)是一个非正偶数.当m２-2m-3=0, 即m=-1或m=3时,f(x)=x０=1(x≠0); 当m=1时,f(x)=x－４.综上可知,f(x)=1(x ≠0)或f(x)=x－４.
考点10函数图象的识别
函数图象的识别是函数图象考查的一个热点内容,通常有两种形式:一是指已知函数解析式,从所给选项中选择出对应的函数图象,二是给出函数图象,选择对应的解析式.
例10函数的图象可能是( ).
解析:函数的定义域为{x|x≠ -1},其图象可由y=１０ｌｎ｜ｘ｜/x的图象沿x轴向左平移1个单位长度而得到,y=10ln|x| /x为奇函数,图象关于原点对称,所以y=10ln|x+1| /x+1的图象关于点(-1,0)成中心对称.可排除A,D.又x >0时,y=10ln|x+1|/ x+1>0,所以B不正确.故选C.
考点11函数图象的变换
变换图象是指给出一些基本图形,然后通过平移、对称、放缩、翻折等方式进行变换,得到新函数的图象,这是考查变图能力的主要方式. 函数图象的变换方式有对称变换、平移变换、坐标变换以及折叠变换等.对于选择题,还可以利用特殊值法(特殊点)、特性法(奇偶性,单调性, 最值)结合排除法求解,这样可以节约考试时间.
例11已知函数, 则f(1-x)的图象是( ).
解析:对于变换前的函数可知x=0时,函数值为1,变换后同样有1-x=0,即x=1时, 函数值为1,即变换后函数过点(1,1),只有答案D符合条件.故选D.
考点12函数图象的应用
应用图象是指善于借助函数的图象作为工具来分析问题、解决问题,实质上就是数形结合的思想.对于方程的根或函数的零点问题,常常可以转化为两个函数图象的交点问题,再利用函数图象来进行处理,非常直观、有效,其中准确作图是正确解题的基础,对能力要求较高.
例12若f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+1 /2|. 若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点 (互不相同 ),则实数a的取值范 围是______ .
解析:函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈ [-3,4]与y=a的图象有10个不同的交点.在坐标系内作出y=f(x)在一个周期内的图象,如图1,可知0<a<1/ 2.故填0<a<1/ 2.
考点13零点的个数
根据零点的定义,y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
例13函数, 的零点个数为 _______.
解析:由, 得 x= -3;, 得x=e2.所以f(x)的零点个数为2.
考点14零点所在的区间问题
求解此类问题的关键是根据零点存在性定理进行分析判断.
例14函数f(x)=ln x-2/ x的零点所在的区间是( ).
(A)(1,2) (B)(2,3)
(C)(1 /e ,1) (D)(e,3)
解析:因为f(1)=0-2=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-2 /3>0,f(e)=1-2/ e >0,f(1 e )=-1-2e<0,所以f(2)f(3)<0. 所以函数f(x)=ln x-2/ x在区间(2,3)内存在零点.故选B.
考点15由零点存在求参数范围
已知函数有零点(方程有根)求参数范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接求方程的根, 再约束根的范围确定参数的范围;(2)分离参数法:先将参数分离,再转化为求函数的值域问题进行解决;(3)数形结合法:先对解析式进行适当变形,然后在同一坐标系中画出函数的图象, 进行观察求解.
例15若函数f(x)=2ax２+2x-3在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围为_____.
解析:若a=0,则f(x)=2x-3,f(x)=0得x=3 /2∉[-1,1],不合题意,因此a≠0.
下面就a≠0分两种情况讨论:
(1)当f(-1)·f(1)≤0时,f(x)在[-1, 1]上至少有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0, 解得1 /2≤a≤5 /2.
(2)当f(-1)·f(1)>0时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是解得a>5 /2.综上,实数a的取值范围为[1/1 2 ,+∞)
考点16导数的几何意义
导数的几何意义的主要考查形式有:一是求曲线在某一点处的切线;二是求有关参数的值或范围.注意:过曲线上一点的切线,该点不一定是切点,所以要先设切点,然后求切点,也就是用待定切点法.
例16已知抛物线C１:y=x２+2x和C２: y=-x２-1/2,如果直线L同时是C１和C２的切线,称L是C１和C２的公切线,求公切线L的方程.
解析:由y=x２+2x,得y′=2x+2,则曲线C１在点P(x１,x１２+2x１)处的切线方程是y -(x１２+2x１)=(2x１+2)(x-x１),即y=(2x１+2)x-x21. 1
因为L是C１和C２的公切线,则12表示的是同一条 直线,所以消去x2得,解得x1= -1 /2 ,此时x2=-1 /2 ,点P,Q重合,两曲线有且仅有一条公切线,方程为y-x+1/ 4=0.
考点17导数的运算
导数的运算常见的考查方式有两种:一是单独考查,直接以常见函数为载体,考查导数四则运算法则及导数公式;二是与导数的应用融合在一起进行考查.
例17设函数f(x)=cos(31/2x+φ)(0<φ <π),若f (x)+f′ (x)是奇函数,则φ =_____.
考点18定积分(理科)
求曲边图形区域的面积问题,是高考考查定积分计算的常见题型,解决这类问题需要结合函数的图象,把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解,先由图形确定积分的上、下限,然后确定被积函数,再用求定积分的方法计算面积.
例18求抛物线y２=2x与直线y=4-x所围成的 平面图形 的面积.
解法1:如图2,由得交点A (2,2),B(8,-4)
考点19利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性是高考重点考查的内容,常见考查形式为:一是求不含参数的函数的单调区间;二是求含有参数的函数的单调区间;三是已知函数的单调情况求参数的取值范围.
例19已知函数f(x)=x２-ax-aln(x -1)(a∈R),求函数f(x)的单调区间.
解析:已知函数f(x)的定义域是(1,
1若a≤0,则(a+2) /2≤1,f′(x)>0在 (1, +∞)上恒成立,所以当a≤0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞).
2若a>0,则(a+2) /2>1,所以当x∈ (1, a+2 2 )时,f′(x)<0;当x∈ ((a+2 )/2 ,+ ∞)时, f′(x)>0.所以当a>0时,f(x)的单调减区间为(1,(a+2 )/2 ),f(x)的单调增区间为((a+2)/ 2 ,+∞).
考点20利用导数研究函数的极值(最值)
利用导数研究函数的极值(最值)也是高考考查的重点,常见考查形式有:一是求函数的极值和最值;二是已知函数的极值或最值求参数; 三是已知函数在给定区间恒成立,求参数的取值范围;四是利用最值证明不等式.
例20已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( ).
(A)(-∞,0) (B)(0,1/2 )
(C)(0,1) (D)(0,+∞)
解析:f′(x)=ln x+1-2ax,由f(x)= x(ln x-ax)有两个极值点,得f′(x)=0有两个不等的实数解,即ln x=2ax-1有两个实数解,从而直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点.过点(0,-1)作y=ln x的切线,设切点为(x０,y０),则切线的斜率为k=1/x0,切线方程为y=1/x0(x-1).切点在切线上,则y0=x0/x0-1 =0.又切点在曲线y=ln x上,则,即切点为(1,0).所以切线方程为y=x1.再由直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点,知直线y=2ax-1位于直线y=0和y= x-1之间,如图3所示,其斜率2a满足0<2a <1,解得0<a<1 /2.故选B.
考点21导数的综合应用
导数的综合应用问题中,通常将函数、方程、不等式等问题结合起来,具有一定的难度和灵活性.常见的题型有:最值与不等式恒成立问题、方程有解或解的个数讨论问题、实际应用问题.求解时要注意对问题进行转化,常常运用到构造函数法、数形结合法等思想方法.
例21设函数f(x)=x２+bx-aln x.
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x０是函数f(x)的两个不同零点,且x０∈(n,n+ 1),n∈N,求n;
(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈ (1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
解析:(1)由题意,得f′(x)=2x-a /x+b. 因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f′(2) =4-a /2+b=0.
令f(x)>0,得x>2,令f(x)<0,得0<x <2.
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, +∞)上单调递增.所以函数f(x)至多有两个零点,其中1∈(0,2),x０∈(2,+∞).
所以x０∈(3,4),则n=3.
(2)令g(b)=xb+x2-aln x,b∈ [-2, -1],则g(b)为关于b的一次函 数且为增 函数.
根据题意,对任意b∈[-2,-1],都存在x ∈(1,e),使得f(x)<0成立,则[g(b)]ｍａｘ= g(-1)=x２-x-aln x<0在(1,e)上有解.令h(x)=x２-x-aln x,只需存在x０∈ (1,e)使得h(x０)<0即可.
所以φ(x)在(1,e)上单调递增,则φ(x)> φ(1)=1-a.
1当1-a≥0,即a≤1时,φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(1,e)单调递增,h(x)>h(1) =0,不符合题意.
2当1-a<0,即a>1时,φ(1)=1-a< 0,φ(e)=2e２-e-a.
若a≥2e2-e>1,则φ(e)<0,此时在(1,e)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,
所以h(x)在(1,e)上单调递减,所以存在x０∈(1,e),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意.
若2e2-e>a>1,则φ(e)>0,此时在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,所以在(1,m)上,φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,h(x)在(1,m)上单调递减.所以存在x０∈ (1,m),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意.
综上所述,当a>1时,对任意b∈ [-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立.
配套练习:
练习1设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ).
(A)(-1,1)
(B)(-1,+∞)
(C)(-∞,-2)∪(0,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
练习2 (1)若a=（ln 2 ）/2 ,b=（ln 3 ）/3 ,c=（ln 5）/ 5 , 则( ).
(A)a<b<c (B)c<b<a
(C)c<a<b (D)b<a<c
练习3 (1)设1 5< (1 /5 )b< (1/ 5 )a<1,那么( ).
(A)aａ<aｂ<bａ(B)aｂ<aａ<bａ
(C)aa<ba<ab(D)ab<ba<aa
(2)已知函数f(x)=2ｘ-2,则函数y= |f(x)|的图象可能是( ).
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>a>b (D)c>b>a
练习5已知则下列函数 的图象错 误的是( ).
练习6如图所示,阴影部分的面积是( ).
(A)2（3）1/2
(B)9-2（3）1/2
(C)32 /3
(D)35 /3
练习7 (1)已知定义在R上的函数f(x) 满足2f(x)=f(x-1),若当 -1≤x<0时, f(x)=x(x+1),则当0≤x<1时,f(x) =______ .
(2)在计算机 的算法语 言中有一 种函数 [x]叫做取整函数 (也叫高斯函数).它表示x的整数部分,即表示不超过x的最大整数.如 [2.5]=2,[2]=2,[-0.6]=-1.设函数f(x) =2[x]+[2x+6],若a∈(-2,-3 /2 )则f(a) = .
练习8 (1)的定义域是 .
(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[2, 5),则y=f(2x)的定义域是 .
练习9已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且对任意的a,b∈[-2,2],当a+b≠0时,都有,若f(m-1)-f(12m)>0,则实数m的取值范围是_____ .
练习10 (1)已知函数
(2)设x∈ (-1,1),且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=2x-lg(1+x), 则f(x)= .
练习11 (1)已知函数y=f(x)是R上的奇函数且满足f(x+5)≥f(x),f(x+1)≤ f(x),则f(2 015)的值为 .
(2)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/ y )=f(x)-f(y),f(2)=1,则不等式f (x)- f (1 /(x-3) )≤ 2的解集为_____ .
练习12 (1)已知在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是_____ .
(2)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值 是_____ .
练习13若,则a的取值范围为_____ .
练习14对于实数a和b,定义运算“*”:,且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等 的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_____ .
练习15函数f(x)=2x+x3-2在区间 (0,1)内的零点个数为 _____ .
练习16已知函数f(x)=logax+x-b(a >0且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x) 的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=_____ .
练习17已知函数若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为_____ .
练习18函数f(x)=ln x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是_____ .
练习19设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x +n),则f′(0)=_____ .
练习20已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+2/ x在[1,+ ∞) 上单调,求实数a的取值范围.
练习21若函数f(x)=ex-ax2-bx-1, 其中a,b∈R,e=2.71828… 为自然对 数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值.
练习22已知函数f(x)=x2ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当
练习答案:
1.D.2.C.
3.(1)B.(2)B.
4.A.5.D.6.C.
7.(1)1/ 2x(x-1).(2)-2.
8.(1)[4,6).(2)[0,2).
11.(1)0.
(2)7.因为log2(m-2)+log2(2n-2)= log2(m-2)(2n-2)=3,所以(m-2)(2n-2) =23=8,且m-2>0,2n-2>0.所以4=(m-2)(n-1)≤(m-2+n-1 2 )2,可得m+n≥7,即当m=4,n=3时,m+n的最小值是7.
13.2 /3<a<3/ 2 或a<-1.
15.1.
16.n=2.
17.(1,2).画出函数f(x)的图象如 图2所示.
函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).
当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1= a|x|的图象有3个交点.故a<2.
当直线y1=a|x|(x≤0)与曲线y=|x2+ 5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由, 得x2+(5-a)x+4=0.Δ=0,得(5-a)22-16=0,解得a=1,或a=9舍去),则当1<a<2时,两个函数的图象有4个交点.故实数a的取值范围是1<a<2
18.(-∞,2).
19.n!.
20.(1)f(x)的单调递减区间是(0,1).
(2)a的取值范围为[0,+∞).
因此,当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
当a≤1 /2时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1] 上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b.当a≥e/ 2时,g′(x)≤0,g(x)在[0, 1]上单调递减,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.当1 2<a<e 2时,令g′(x) =0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在 [0,ln(2a)]上单调递减,在[ln(2a),1]上单调递增,于是g(x)在 [0,1]上的最小 值是g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b.
综上所述,当a≤1 /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当1 /2<a<e 2时,g(x)在 [0,1]上的最小 值是g [ln(2a)]=2a 2aln(2a)-b;当a≥e /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.
22.(1)函数f(x)的定义域是(0,+ ∞).
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1/e1/2), 单调递增区间是(1/e1/2,+∞).
(2)当0<x≤1时,f(x)≤0.已知t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).
由(1)知,h(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.
(3)已知s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s> 1,从而
三、平面向量部分
河南曹松峰
平面向量有着极其丰富的实际意义和背景,具有“数”与“形”双重身份,是“沟通代数、几何与三角函数的一种工具和桥梁”,在高中数学中占有重要地位,因此成为每年高考的一项必考内容.
纵观近年来全国各地的文、理科高考数学试卷,对平面向量的考查内容主要有:一是平面向量的线性运算及平面向量基本定理;二是平面向量的数量积;三是平面向量与其他知识的综合.从题型、难度来看,前两部分内容多以中、 低档选择、填空题的形式出现,但也有少量出现在客观题的“把关”位置,考查方向以学生的运算能力、逻辑推理能力和知识迁移能力为主;第三部分既有选择、填空题,也有解答题,有一定的难度.涉及的数学思想方法主要有:数形结合、化归与转化、函数与方程、分类讨论等.
考点1平面向量的运算及平面向量基本定理
单位向量、共线向量、相等向量等基本概念,向量的加法、减法和数乘等运算,都是平面向量中最基本的内容,几乎所有的向量问题都要涉及向量的线性运算.平面向量基本定理是向量坐标化的理论依据,是实现向量代数运算的关键,还是把平面内任意向量进行统一表示的基础,其重要地位和作用不言而喻.同学们在学习时,要注意结合向量数乘运算,理解平面向量的基本定理及其几何意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,熟练运用定理、算理、 运算律等实施计算和推证.
点评:把两个不共线的向量用同一个向量表出,时常需要借助于几何图形,充分利用向量的三角形法则或平行四边形法则来完成转化.
例2在下列向量 组中,可以把向 量a= (3,2)表示出来的是( ).
(A)e１=(0,0),e２=(1,2)
(B)e１=(-1,2),e２=(5,-2)
(C)e１=(3,5),e２=(6,10)
(D)e１=(2,-3),e２=(-2,3)
解析:只有e1=(-1,2)与e2=(5,-2)不共线,且a=2e１+e２,故选B.
点评:此题考查了平面向量的表示.由平面向量的基本定理可知,用两个不共线的非零向量作为一组基底,可以将平面内的任意向量表示出来.
点评:此题将平面向量基本定理和圆的基本性质相结合,情境设计新颖,知识结合贴切自然,侧重于“形”的考查.同学们应有意识地从 “数”与“形”两个不同的角度认识向量,进而解决有关问题.
解析:因为a∥b,所以sin 2θ=cos２θ,即2sinθcosθ=cos2θ,整理、化简,得tanθ=1 /2.
点评:此题由向量共线的坐标运算可以得到一个三角恒等式,从等式的结构入手,化弦为切,从而得解.
例5设D,E分别是△ABC的边AB,BC
解析:求解的关键是将进行向量分解,逐步用线性表出,再利用 “唯一性”比对,即可求得
考点2平面向量的数量积
向量的数量积运算是平面向量的核心内容.在研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、 最值、取值范围等问题时,可借助平面向量数量积代数和几何的双重身份,使问题顺利得到解决.同学们在学习时,应在理解模、夹角、射影等概念的基础上,厘清数量积与实数乘积之间的区别,如,由a≠0,且a·b=0,不能推出b=0; 由a·b=b·c,不能推出a=c;(a·b)·c≠ a(b·c),等等.
例6已知向量a与b的夹角为60°,且a =(-2,-4),|b|=51/2,则a·b=______.
解析:因为,所以
例7如图1,在平行四边形ABCD中,已知
点评:此题利用向量的数量积定义巧妙地指明了三角形中的边角关系,重点考查向量的数量积运算、三角形面积公式等知识以及运算推理能力.正确进行向量的数量积运算是顺利解题的先决条件.
例9已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
解析:此题可以用向量法求解,但对于正方形中的向量问题,用坐标法解起来更为简捷.以A点为坐标原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),易得
点评:向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种常用方法.向量法便于研究涉及直线和各种位置关系的问题;坐标法使平面中的向量与它的坐标建立一一对应关系,以形思数, 以数解形,常常可以事半功倍.
点评:此题由两个向量垂直的位置关系,通过向量的数量积运算得到数量关系,进而联立方程组,解之可得向量a的模.
例11设a,b,c是非零向量,已知命题p: a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b, b∥c,则a ∥c,则下列命题中的真命题是( ).
(A)p∨q (B)p∧q
(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q)
解析:由于a,b,c是非零向量,且a·b= 0,b·c=0,所以可以得到a与b垂直,b与c垂直,但a与c不一定垂直,即a·c=0不一定成立.所以p为假命题.经判断命题q为真命题. 由复合命题的真值表可知A正确.故选A.
点评:此题巧妙地把向量的数量积和向量共线的有关内容设置成为命题,考查命题的否定和复合命题真假的判断,是向量与简易逻辑的完美融合,重点考查向量的基本概念与逻辑思维能力.
例12如图2,设P０是 △ABC边AB上一定点,满足P０B=1/4AB,且对于AB上任一点
(A)∠ABC=90ο
(B)∠BAC=90ο
(C)AB=AC
(D)AC=BC
解法1(利用平面向量数量积的定义):当给出的平面向量的关系式中含有未知量时,常常利用向量数量积的公式及相关性质进行转化,得到与这个未知向量关联的变量的关系式. 本题可以尝试选择PB为变量,从将表示为PB的函数入手.
解法2(向量的坐标运算):如图3所示,建立平面直角坐标系,设A (a, 0),B(b,0),C(0,c),P(x, 0),则当x=b 2时有最小值.由条件知b /2=(b-a)/ 4 ,化简,得a+b=0,即AC=BC.故选D.
点评:此题主要考查平面向量的数量积运算,但由于题目的条件以动点变化的不等式恒成立的形式给出,使得题目的难度有所增大.解决此类问题的思路是转化为代数运算,关键是要明晰数量积运算的三个角度,一是直接利用定义,二是建立坐标系转化为代数运算,三是利用向量线性运算.无论选择哪种方法,都需要适当选择解题的突破口和解题方向.
考点3平面向量与其他知识的综合
由于平面向量具有几何与代数的双重身份,它与三角函数、解析几何、函数与不等式等知识的融合型试题常常成为高考命题的重要题眼.数学学科的考试注重学科的内在联系和知识的综合性,学科内在的联系包括各部分知识在发展过程中的纵向联系,以及各部分之间的横向联系;知识的综合性则是从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识、基本技能的考查达到必要的思想深度.
解析:利用模长的计算公式可以将|b|转化为字母的代数运算.因为
点评:向量与不等式结合的题目实际上是以向量为载体考查不等式的知识,解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题,注意转化时不要把向量与实数的运算相互混淆.
例14已知抛物线C:y２=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k的取值可以是( ).
(A)1 /2 (B)21/2/2
(C)21/2(D)2
解析:题目给出的数量积,表明两线段垂直,也就是给出了两个向量的坐标关系式.由题意知,抛物线C的焦点坐标为(2, 0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y２=8x,整理,得k２x２-4(k２+2)x+4k２=0.
设A(x１,y１),B(x２,y２),则
由123可解得k=2.故选D.
点评:近年来的高考试题突出了对向量与解析几何的结合考查,尤其是在客观题的编制上更是注重引入向量知识,通过向量实现形与数的转化,通过向量的坐标运算揭示图形的位置和数量关系.同学们可以通过利用向量的方法推导解析几何中的公式、定理的过程,体悟向量的工具性,逐渐树立应用向量的意识.
(A)[4,6]
解法1:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设D(x,y),则.所以
解法2:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设
点评:此题求解的关键在于由向量的模为1,可以得到点D的运动轨迹是以C为圆心、1为半径的圆,求的范围问题可以转化为求函数最值或转化为距离问题,这样既可以实施代数运算,又可以数形结合解决问题.
例16设θ为两个非零向量a,b的夹角. 已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则有( ).
(A)若θ确定,则|a|唯一确定
(B)若θ确定,则|b|唯一确定
(C)若|a|确定,则θ唯一确定
(D)若|b|确定,则θ唯一确定
解析:此题考查向量模的取值范围.由模长公式,可以尝试通过平方开根号的方法,将问题转化为向量的数量积运算.|b+ta|２=a２t２+ 2abt+b２,设f(t)=a２t２+2a·bt+b２,由于t∈ R,且a２≠0,该二次函数的最小值可在对称轴,即若θ确定,则|b|唯一确定,故选B.
点评:此题考查向量的模、数量积的运算、 二次函数的最值、三角函数等知识以及化归与转化的数学思想、推证运算能力,综合性较强, 有一定难度.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解析:(1)题目给出了向量的模之间的关系,可以尝试把向量的模平方,将向量问题转化为三角函数问题.
点评:平面向量与三角函数相结合的题目, 大多是以三角函数题型为背景的一种向量描述,需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答,如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题等等.
例18如图4,在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)内.
点评:此题考查了平面向量的坐标运算、平面向量基本定理等主干知识,第(2)问与线性规划相结合,对数形结合、化归与转化等数学思想方法的考查自然恰切,很好地体现了新课程的理念和高考的正确导向.
配套练习:
练习1已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( ).
(A)(3 /5 ,-4/ 5 ) (B)(4 /5 ,-3 /5 )
(C)(-3 /5 ,4 /5 ) (D)(-4 /5 ,3 /5 )
练习2设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a/ |a|=b /|b|成立的充分条件是( ).
(A)a=-b (B)a∥b
(C)a=3b (D)a∥b且|a|=|b|
练习3已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于( ).
(A)-21/2(B)21/2
(C)-21/2或21/2(D)0
练习4已知平面向量a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题:
1给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
2给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a =λb+μc;
3给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;
4给定正数λ 和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc;
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线.
则真命题的个数是( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
练习5已知a,b为单位向量,其夹角为45°,则(21/2a-b)·b=( ).
(A)-1 (B) 0 ( C) 1 (D)2
练习6在四边形ABCD中,, ,则四边形的面积为( ).
(A)51/2(B)2(5)1/2(C)5 (D)10
练习7设a,b为向量,则 “|a·b|= |a|·|b|”是“a∥b”的( ).
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
练习8已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ).
练习10定义平面向量之间的一种运算 “⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b=mq-np,下面说法错误的是( ).
(A)若a与b共线,则a⊙b=0
(B)a⊙b=b⊙a
(C)对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)
练习13如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,
练习14向量a,b,c在正方形网格中的位置如图2所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ =____.
练习15设e１,e２为单位向量,且e１,e２的夹角为π/3 ,若a=e１+3e２,b=2e１,则向量a在b方向上的射影为.
练习20如图3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.
练习21已知抛物线C:y２=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,如图4,若,则|QF| =__________.
练习22已知点A(1,-1),B(3,0),C(2, 1).若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为______.
练习23已知a= (cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=21/2,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
(1)求证:tan B=3tan A;
(2)若cos C=51/2/5 ,求A的值.
练习25小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A１,A２,A３,A４,A５,A６,A７,A８(如图5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列和数学期望.
练习答案:
1.A.2.C.3.C.4.B.5.B.6.C.7.C.
8.A.因为a,b是单位向量,且a·b=0,所以|即一个模为槡2的向量与c之差的模为1,可以在单位圆中解得故选A.
9.D.方法一:根据已知条件可知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设
10.B.
20.(2-sin 2,1-cos 2).根据题意可知, 圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了2 1=2弧度,此时点P的横、纵坐标分 别为:
25.(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法有C８２=28种.X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=8/28=2/7.
(2)两向量的数量积X的可能取值为-2, -1,0,1.当X= -2时,有2种情形;当X= -1时,有10种情形;当X=1时,有8种情形. 从而可进一步求出X的分布列和数学期望.
X的分布列如下.
四、三角函数与解三角形部分
山东马继峰
考点1考查三角函数的概念
主要考查运用三角函数的定义求三角函数值.
例1已知角α 的终边经过点P (-2, 51/2),则cosα=( ).
(A)2/ 3 (B)-2 /3
分析:先求出点(-2,51/2)到原点的距离, 然后运用余弦函数的定义求解.
考点2考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用
主要考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
点评:在利用平方关系式求值时,因为要进行开方运算,所以一定要注意对角的范围和三角函数符号的考查.
考点3考查三角函数的图象
主要考查三角函数和复合三角函数图象的画法、变换和应用,其中变换和应用是考查的热点.
例3已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图1所示,则f(0)=( ).
(A)-2 /3 (B)-1 /2 (C)2 /3 (D)1 /2
分析:把函数图象和余弦曲线对照,易发现其上的点(7π /12 ,0)和(11π /12 ,0)分别对应着余弦曲线在周期[-π,π]上的点(-π /2 ,0)和(π/ 2 ,0). 又图象过点(π/ 2 ,-2 /3 ),根据上述信息列方程组,可求出参数A,ω,φ,即可确定函数解析式, 进而可求f(0).
解:依题意,可得
故选C.
考点4考查函数y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的性质
主要考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的定义域、值域(最值)、单调性、周期性、图象的对称性等性质.这是三角函数中的一个考查热点.
例4若函数f(x)=2sin(ωx+π/6)(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离为 π,则函数f (x)的单调递增区间是_____.
分析:因为函数的最大值是2,所以函数f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离应等于1个周期,据此,可求出ω 的值, 进而可求函数的单调递增区间.
考点5考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式
主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用.
分析:易发现,因此分别求出π/ 4+α,π /4-β的正弦值,即可运用两角差的余弦公式求解.
分析:把条件式等号右边的角α化为(α+β)-β,然后用两角差的余弦公式把条件式变形,从中即可求出tan(α+β)的值.
考点6考查二倍角的正弦、余弦、正切公式
主要考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用.
考点7考查简单的三角恒等变换
主要考查综合运用我们在必修4学习的三角公式,进行一些简单的三角恒等变换,解决化简、求值、证明等问题.
分析:先运用二 倍角的正 切公式求 出tan[2(α-π /6 )]的值,然后运用两角和的正 切公式求tan(2α+β).
分析:先依据条件式求出cosβ的值,然后运用降幂公式求cosβ/ 2.
分析:把条件式展开,从中构造出tan(α+ β),求出其值,进而求α+β的值.
考点8考查三角函数和三角恒等变换的综合问题
主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式,进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质,有时还考查三角函数的图象变换、三角方程和三角不等式的解法.
(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)当a>0,且x∈[0,π]时,f(x)的取值范围是[3,4],求a,b的值.
分析:(1)先运用倍角公式和添加辅助角公式,把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后求其单调区间;(2)仍是先把函数化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后依据其函数值的范围,列方程组求a,b的值.
考点9考查正弦定理的应用
主要考查运用正弦 定理求三 角形的边 长和角.
(A)15° (B)75°
(C)105° (D)15°或75°
分析:先运用正弦定理,求出角C,再运用三角形内角和定理求A的值.
例13在△ABC中,BC=2,AB=31/2,则角C的取值范围是____.
分析:先运用正弦定理,用sin A表示出sin C,进而根据sin A的取值范围求出sin C的取值范围,再结合C<A求角C的取值范围.
A,则C∈(0,π ).综上,可知角C的取值范围
考点10考查余弦定理的应用
主要考查运用余弦定理求三角形的边长和角.
例14在 △ABC中,a=1,b=71/2,B= 60°,则c=.
分析:因为已知角B和边b,所以可考虑运用余弦定理列方程,则此方程中只有一个未知数c,解之即得其值.
(A)π /6 (B)π /3
(C)2π /3 (D)5π /6
分析:运用余弦定理的推论,从条件式中分离出cos A并求出其值,进而求A.
考点11考查正弦定理、余弦定理的综合应用
主要考查综合运用正弦定理和余弦定理求三角形的边长和角.
(A)30° (B)60°
(C)120° (D)150°
分析:先运用正弦定理,把sin C = 21/23sin B“化角为边”,然后联立a２-b２=31/2bc,这样,就可以用一边表示另外两边,最后运用余弦定理的推论求A的值.
点评:在本例中,正弦定理的主要功能是进行边角转化,余弦定理的推论的主要功能是求解.根据求解目标,准确运用正弦定理进行边角转化,是本例求解的一个关键.
例17在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=31/2acos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
分析:(1)运用正弦定理,把bsin A = 31/2acos B“化边为角”,即可求出tan B的值,进而求出B的值;(2)先运用正弦定理,把sin C= 2sin A“化角为边”,然后运用余弦定理求a,c的值.
解:(1)已知bsinA=31/2acos B,由正弦定理,得sin BsinA=31/2sin Acos B,即sinB=31/2· cos B,所以tanB=31/2.因为0<B<π,所以B=π/ 3.
(2)已知sin C=2sin A,由正弦定理,得c= 2a.又由余弦定理,得b２=a２+c２-2accos B,即9 =a２+4a２-2a２,解得a=31/2,则c=2(3)1/2.
考点12考查解三角形的实际应用
主要考查运用解三角形知识解答实际应用问题,常见的问题有求距离、求角等.
例18如图2,某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC =60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC= 15°,A地测得最高点H的仰角∠HAO=30°, 求该仪器的垂直弹射高度CH (结果保留根式).
分析:先在△ABC中运用余弦定理列方程求出AC的值,然后在△ACH中运用正弦定理求出CH的值.
解:设AC=x,则BC=x-40.
在△ABC中,根据余弦定理,可得BC２= BA２+CA２-2|BA||CA|cos ∠BAC,即(x- 40)２=x２+10000-100x,解得x=420,即AC =420.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140(6)1/2米.
评注:解三角形知识应用于实际,主要解决实际生活中的测量问题.解答此类问题和别的数学应用题解法一样,一般按建模———解模———回归的步骤进行.
考点13有关三角形的计算问题
主要考查解三角形与三角形面积的综合问题.
例19在△ABC中,若A=2π /3 ,a=7,c= 5,则△ABC的面积等于____ .
分析:先运用正弦定理,求出sin C,进而求出sin(A+C),即为sin B,最后运用三角形面积公式求其面积.
例20已知在 △ABC中,a=1,B=45°, S△ＡＢＣ=2,则b等于( ).
(A)4( 2)1/2(B)3
(C)5 (D)411/2
分析:运用含sin B的面积公式,先求出c, 然后运用余弦定理求b.
点评:本例是一个与三角形的面积有关的问题.已知三角形的面积,求三角形的边或角, 有的可直接求解,有的则需借助正、余弦定理求解.求解时,常选用含有已知角的面积公式.
配套练习:
练习1若点P(m,n)(n≠0)为角420°终边上一点,则n/ m等于( ).
(A)-2 (B)2
(C)-1 (D)1
练习3已知tanθ=2,则sinθcosθ =( ).
(A)-2 /5 (B)2/ 5
(C)±2 /5 (D)4/ 5
练习4把函数y=cos(x-π /6 )的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值为( ).
(A)π /12 (B)π/ 6
(C)π /3 (D)π /2
(A)ω=π/ 6 ,φ=π /3
(B)ω=φ=π/ 3
(C)ω=π/ 3 ,φ=π /6
(D)ω=6,φ=π /6
练习6已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0 <φ<π)为偶函数,其部分图象如图2所示,A, B分别为最高点与最低点,并且A,B两点间距离为2(5)1/2,则ω,φ的值分别是( ).
(A)ω=π /2 ,φ=π /4
(B)ω=1/ 2 ,φ=π/ 2
(C)ω=π/ 4 ,φ=π/ 2
(D)ω=1/ 4 ,φ=π /2
练习7若直线x=π /4是函数f(x)=A· sin(x+φ)(A>0)的图象的一条对称轴,则y= f(π 4-x)是( )./
(A)奇函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称
(B)偶函数且图象关于直线x=π/ 2对称
(C)奇函数且图象关于直线x=π /2对称
(D)偶函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称
(A)1 /2 (B)-1 /2
(A)7 (B)1/ 7
(C)-7 (D)-1 /7
(A)3/ 2 (B)3/ 4
(C)1 /2 (D)-1 /2
(A)最小正周期为π的偶函数
(B)最小正周期为π的奇函数
(C)最小正周期为2π的偶函数
(D)最小正周期为π/ 2的奇函数
练习14如图3,在四边形ABCD中,B= C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( ).
练习21在锐角 △ABC中,BC=1,B= 2A,则AC的取值范围为____ .
练习23设 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=1/ 4 ,则sin B= ____.
练习24在△ABC中,若sin2A-sin2B =2sin Bsin C,c=3b,则角A的值为____ .
练习25如图4,为测得河 对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,在C处测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得 ∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.
(1)求cos A的值;
练习28为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪.如图5,要求在考点A周围1千米处不能收到手机信号.检查员抽查A考点,在考点正西约31/2千米B处有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手 机接通电话,以每小时12千米的速度沿 公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?
练习29如图6,为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内.用海底探测仪测得 ∠BAC=30°, ∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,A,B两点的距离为31/2海里.
(1)求△ABD的面积;
(2)求C,D之间的距离.
练习答案:
1.D.2.A.3.B.4.B.5.B.6.C.
8.D. 9.A. 10.B. 11.A. 12.D.
所以函数f(x)的值域为[-3,3 /2 ].
28.如图所示,过点A作AM与公路所在的直线垂直于点M ,
在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,所以△ACD是正三角形,所以CD=1千米.
由BC/ 12×60=5,得在BC和CD上各行使5分钟.
答:最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟考点才算合格.
29.(1)在 △ABD中,因为 ∠BAD = ∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°,所以∠ADB =60°.
(2)因为 ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC=45° +75°=120°,∠BAC= ∠BCA=30°,所以BC =AB=31/2,所以AC=3.
中国近代史是从１８４０年的鸦片战争开始，到１９４９年新中国成立前夕的一百多年的历史。它是一部中国人民饱经忧患的屈辱史，也是一部中国人民坚强不屈的抗争与探索史。
通过对中国近代史的学习，可以使我们了解国情，培养爱国主义精神，提高文化素质；可以使我们从这段苦痛的历史中，汲取教训，励精图治，做好今天的事，谱写中国的美好未来。
笔者认为，２００９年历史中考，除关注中国近代化的探索、中国人民的抗日战争等知识外，也会关注一系列周年事件。
一、重点考点一：１８３９年虎门销烟
鸦片的输入，给中华民族带来了深重的灾难。１８３９年，林则徐到广州禁烟。６月３日，林则徐下令将缴获的全部鸦片在虎门海滩当众销毁。虎门销烟，显示了中华民族反对外来侵略的坚强意志。
二、重点考点二：１９１９年五四运动
１９１９年５月４日，北京三千多名学生在天安门前集会演讲，随后举行游行示威，要求“外争主权，内除国贼”、取消“二十一条”、反对在对德“和约”上签字、惩办卖国贼曹汝霖等人。６月初，上海等地工人参加罢工，支持学生斗争。北洋政府被迫释放被捕学生，罢免曹汝霖等卖国贼的职务，拒绝在对德“和约”上签字。五四运动取得初步胜利。五四运动，是一次彻底地反对帝国主义和封建主义的爱国运动，是中国新民主主义革命的开始。
在五四运动中，青年学生表现出了坚决的斗争精神和伟大的爱国主义精神，这是我们每一个青年学生应该继承并发扬光大的。
三、重点考点三：１９４９年解放战争的胜利
抗日战争胜利后，以蒋介石为首的国民党，在美国的支持下，阴谋发动反共反人民的内战。为了尽一切可能争取国内和平，戳穿蒋介石假和平的阴谋，１９４５年８月，毛泽东在周恩来等人陪同下，到达重庆，同国民党进行谈判，达成和平建国的“双十协定”。
１９４６年６月，蒋介石撕毁“双十协定”，国民党军队对中原解放区发动疯狂进攻，全面内战爆发。１９４７年３月，国民党军队二十多万人大举进攻陕甘宁解放区。中共中央主动撤出延安。彭德怀、贺龙率领西北人民解放军，进行多次战役，粉碎了敌人的进攻。
１９４７年夏，刘伯承、邓小平率领晋冀鲁豫解放军主力，强渡黄河，向国民党统治区发动大规模进攻。刘邓大军挺进大别山，揭开了人民解放军战略进攻的序幕。随后，其他各战场的人民解放军也转入进攻。
从１９４８年９月到１９４９年１月，人民解放军发动了举世闻名的辽沈、淮海和平津三大战役。辽沈战役的胜利，解放了东北全境。淮海战役的胜利，奠定了解放长江以南各省的基础。平津战役的胜利，使华北全境基本解放。１９４９年４月，人民解放军百万雄师，分三路强渡长江。４月２３日，人民解放军解放南京，统治中国２２年的国民党政权垮台。人民解放战争胜利的主要原因有：人民要求和平民主，蒋介石打内战不得民心；中国共产党战略、战术运用正确得当，人民解放军英勇善战；人民群众的支援。
【跟踪训练】
一、单项选择题
１．鸦片俗称大烟，由罂粟果的汁烘干制成，是一种麻醉毒品。现在你们班准备出一期与禁毒有关的黑板报，在收集清朝禁烟运动的相关材料时，下列历史人物中点击率最高的将是（）
ＡＢ Ｃ Ｄ
２．每年的６月２６日是联合国确定的国际禁毒日，但我国政府在６月３日就开始了禁毒宣传月活动。这与下列哪一历史事件有直接关系（）
Ａ．虎门销烟Ｂ．鸦片战争
Ｃ．第二次鸦片战争Ｄ．太平天国运动
３．２００１年８月３０日，与北大红楼遥相呼应的大型浮雕作品《翻开历史的一页》（如下图）落成。这件浮雕作品位于皇城根遗址公园沙滩路口。请判断这一作品是为了纪念我国历史上的哪一历史事件（）
Ａ．新文化运动Ｂ．中国共产党成立
Ｃ．五四运动Ｄ．国共第一次合作
４．历史课程标准明确规定，通过学习，学生知道纪年方法，正确计算历史年代。请快速准确地算出五四爱国运动爆发的那一年是民国多少年（）
Ａ．民国七年Ｂ．民国八年
Ｃ．民国九年Ｄ．民国十年
５．徐洋在翻阅历史书籍时，看到右面这幅画：一群游行的人手举的旗帜和横幅上写着“外争主权，内除国贼”、取消“二十一条”、反对在对德“和约”上签字等标语。你认为这幅图片反映的历史事件是（）
Ａ．公车上书Ｂ．五四运动
Ｃ．西安事变Ｄ．七七事变
６．抗日战争胜利后，蒋介石三次发电报邀请毛泽东赴重庆进行和平谈判，其真实目的是（）
①为发动内战赢得准备时间 ②欺骗人民，将发动战争的责任嫁祸到共产党身上 ③积极争取国内和平 ④希望同共产党合作，建立和平、民主的新中国
Ａ．①②Ｂ．③④Ｃ．①③Ｄ．②④
７．国民党民主派人士柳亚子先生赋诗称颂毛泽东的某一行动是“弥天大勇”、“霖雨苍生”。这里的“某一行动”指的是毛泽东参加
（）
Ａ．秋收起义Ｂ．井冈山会师
Ｃ．长征Ｄ．重庆谈判
８．某校要举行元旦历史剧联欢晚会，你班抽到的任务是编排《西安和平谈判》和《重庆谈判》两个节目，你班王浩同学在两个节目中都要出场。他将出演的是以下哪个历史人物（）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
９．战争的最高境界是制止战争、是和平。毛泽东曾称赞他是民族的功臣，为和平解决北平战事问题和减轻人民的战争痛苦树立了榜样。他是（）
Ａ．张学良 Ｂ．李宗仁 Ｃ．傅作义 Ｄ．杨虎城
１０．在老师的指导下，某中学的历史兴趣小组搜集到了以下电影的宣传画。其中哪一幅宣传画所反映的战役的胜利奠定了解放长江以南各省的基础（）
１１．人民英雄纪念碑共有８幅汉白玉浮雕，镶嵌在碑座四周。从东面起，主题分别为“虎门销烟”、“金田起义”、“武昌起义”、“五四运动”、“五卅运动”、“南昌起义”、“抗日游击战争”、“胜利渡长江”，形象、概括地表现了百余年间中国革命的艰苦历程。以下是其中的４幅浮雕，哪一事件后统治中国２２年的国民党政权垮台（）
二、材料分析题
１２．阅读材料，回答问题。
材料一：“外争主权，内除国贼”、取消“二十一条”、反对在对德“和约”上签字。
材料二：中国的土地可以征服，而不可以断送！中国的人民可以杀戮，而不可以低头！
材料三：６月５日，上海日商纱厂的中国工人首先罢工……接着，机器、纺纱、印刷、公共交通、码头、船坞等行业的工人相继罢工。
（１）以上三则材料共同反映了我国历史上的哪一历史事件？２００９年是这一历史事件多少周年？
（２）根据材料，请你说出这一历史事件的性质。材料一提到的口号中哪一个最能体现该事件的性质？
（３）我国现在的哪个节日源于这一历史事件？
１３．阅读材料，回答问题。
材料：上图是人民英雄纪念碑，它上面篆刻的碑文是：三年以来，在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄们永垂不朽！三十年以来，在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄们永垂不朽！由此上溯到一千八百四十年，从那时起，为了反对内外敌人，争取民族独立和人民自由幸福，在历次斗争中牺牲的人民英雄们永垂不朽！
（１）材料中的“三年以来”指什么时期以来？
（２）材料中的“三十年以来”指什么事件以来？它标志着什么？
（３）材料中的“上溯到一千八百四十年”指什么事件？它标志着什么？
（４）材料中的“内外敌人”指的分别是什么？
１４．２００９年是新中国成立６０周年，请你仔细观察以下５幅图片，根据图片所反映的重大历史事件之间的内在联系，以“中华人民共和国的成立”为主题，写一篇２００字左右的历史小文章。
参考答案：
一、１．Ａ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｂ ５．Ｂ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｃ ９．Ｃ １０．Ｂ １１．Ｄ
二、１２．（１）五四运动。９０周年。（２）五四运动是一次彻底地反对帝国主义和封建主义的爱国运动。“外争主权，内除国贼”。（３）五四青年节。
１３．（１）解放战争时期。（２）五四运动。五四运动是中国新民主主义革命的开始。（３）鸦片战争。中国开始从封建社会逐步沦为半殖民地半封建社会，是中国近代史的开端。（４）本国封建主义和外国资本主义（或封建势力和帝国主义）。
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