《集合与函数概念》优秀教学设计与反思

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇1

新课程标准指出，学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，新教材在总体上为学生构建共同基础，提供发展平台，又兼顾个性发展的选择，强调师生互动，学生在老师引导下，主动积极地参与学习，获取知识，发展思维能力，着眼学生的发展与未来，注重数学应用意识，突出体现数学的文化价值和教学手段的现代化。也就是说，在课堂教学中，尽力做到教材的内容尽量与现实生活中问题相挂钩，让学生感觉到数学就在身边，显示数学的实用性。这方面，人教A版已经做出了很好的示范。教材编写了很多实例，如集合的含义与表示，一开始就从8个集合实例入手，引出元素和集合的含义，而有效教学的理念要求教师在教学中，体现自己的个性，才能促进学生的个性形成和发展。以下是本人通过学习结合平时教学的几点反思。

1、把抽象的教学内容生活化,体会数学就在身边。

【案例一】“指数函数与对数函数”的引入，课本设计了鱼化石中碳14的残留量。其中一个班讲课时用课本的引入，得到讲对数函数时，继续用该引入中的，此时让学生动手探究，学生很不愿意动，原因大概是问题远离他们实际生活，并且数字太繁，当我上另一个班时，我马上把问题改为：“如果你父亲第一个月给你5元零用钱，假设你父亲给的零用钱每月以10%的增长率增加，问多少个月后你父亲给的月零用钱达到500元？”这时学生可来劲了，马上算，还问计算器怎么按，学生所表现出的热情和积极与第一个班我上课时完全不同。

【案例二】初中的函数，教材采用“变量说”，高中提出了“对应说”；人教A版采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言，定义函数的方式介绍函数概念，把“映射”作为“函数”的一种推广。这种安排我在实践中觉得更有利于学生集中精力理解函数的概念。在教学时，我为学生设计他们熟悉的“行程问题”、“比例问题”、“价格问题”，利用图表、图形（如课本第26页的练习2），让学生探究用集合与对应的语言来刻画，从学生熟悉实际背景和定义两个方面，帮助学生理解函数的本质。要求学生认识、描绘以及概括模式。

到了第三章，函数的应用，尽量挖掘与其它学科的联系以及与实际生活的联系，如电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系，保险、物价、抽奖、股票、债券等等。引导和组织学生以学习小组的形式，进行调查和研究，让学生经历丰富的情感体验和实践活动，在情境中展开想象的翅膀，充分发挥思维的潜能，在生活中发现数学，提炼数学，应用数学。

2、合理分配课堂时间，“合作学习”不流于形式 作为新课程倡导的学习方式之一，“合作学习”在形式上成为有别于传统教学的一个最明显特征。它有力地挑战了教师“一言堂”的专制，被认为是学生学会交往、合作，培养团队精神、竞争意识和领袖品质的最有效方式。从新一轮基础教育课程改革的角度看，课堂上“合作学习”主要体现在：学生能够从一定的情境出发，通过多向交流与合作，一同讨论、探究、发现，以此得出某种结论，获取某种知识。但是仔细观察我们不难发现，多数合作学习仅仅停留书本上，有些教师为了赶进度“满堂灌”；有些教师为了今后高考增添许多例题在课堂上讲；还有，培养学生自主学习能力的做法也露出不可避免的局限性，它几乎使课堂教学成为每一个学生的个人行为，学生间缺乏交往和合作。而知识技能主要是靠学生的独立思考和自主的笔头训练，才能保证有机会发展他们的各种能力。所以每节课要合理分配时间，在两者之间取平衡。

【案例三】在学指数函数的性质时，由小组分工合作，分别在同一直角坐标系中画的图象，让小组的同学一起探究，图形特征，从而得到指数函数的性质。在探究过程中，学生在列表时不少人自变量x取1，2，3，图象自然也只画了第一象限内的一小段；而有的画了一、四象限内的部分，就想当然，也就把曲线画穿过轴„„由于是分工，所以学生每人就不需画出所有的图形，有时间指正（或更正）错误，欣赏别人的成功，同时加深对图形的理解，这样既省了时间，又能达到探究互助的目的。

3、学生实际水平、教材内容互相整合，做好初高中教学的衔接，使学生思维发展自然流畅。

许多教师错误地认为只要是教材中有的就一定有用,一定要学,却不能进行正确的筛选,忘记自己既是教材的实验者,更重要的也是教材的修订者和研究者,教师在这次课改中必须明确一个事实那就是“课程实施并非现成方案的照本宣科,而是微观层面的课程再研制过程”.新教材为教师的发展提供了自由发展的空间,但也存在不同的缺陷,因此教学中如果只是依赖手中的教材那将会对学生的学习造成不利的影响.所以我们要认真学习和研究教材,从学生的实际出发，依据课标, 把握方向, 找准定位。

【案例四】二次函数是中学应用广泛的初等函数，曾经是初中阶段的学习重点，由于初中的教学要求仅限于作图、确定函数解析式和理解函数的基本性质，随着函数概念和性质学习的不断深入，高中教材没有设计独立的章节引导学生学习，我在教学中，充分利用二次函数作为载体，把函数的性质（单调性、奇偶性、最大值与最小值）的学习逐步引向深入，二次函数的“升级”，正好是初高中数学教学的衔接，再一次贴近学生的思维过渡期。

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇2

1.下列集合不同于其他三个集合的是()

(A){x|x=1}(B){y|(y-1)2=0}

(C){x=1}(D){1}

2.设集合A={x|∈Z且-10≤x≤-1},{|x∈Z且|x|≤5},则A∪B中元素的个数是()

(A) 11 (B) 10 (C) 16 (D) 15

3.下列各组函数是同一函数的是()

①,f(x)=|x|与,f(x)=x0与g(x)=1④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1

(A)①②(B)①③(C)②④(D)①④

4.已知函数,则f(f-2))的值是()

(A) 2 (B)-2 (C) 4 (D)-4

5.已知:函数的定义域为[0,4],则函数g(x)=fx+2)的定义域为()

(A)[0,2](B)[-2,0](C)[2,4](D)R

6.已知函数,x∈[3,6],则f(x)的最小值是()

(A) 1

7.奇函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0)上递减,若ab<0,且a+b>0,则f(a)+f(b)与0的大小关系是()

(A)f(a)+f(b)<0(B)f(a)+f(b)0(C)f(a)+f(b)>0(D)f(a)+f(b)0

8.设集合,且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()

9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的取值范围是()

(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2) U (2,+∞)(D)(-2,2)

10.函数y=f(x与y=g(x有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则

(A)是奇函数但不是偶函数(B)是偶函数但不是奇函数

(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数

11.直角梯形ABCD如图1(1),动点P从B点出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的距离为x,AABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图1(2),则ΔABC的面积为()

(A) 10 (B) 16

(C) 18 (D) 32

12.已知函数f(x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f()的值是()(A)0 (B) 12 (C) 1 (D)

(A)0 (B) 12 (C) 1 (D)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)

13.函数的定义域为______.

14.用列举法表示集合:

15.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=______.

16.某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)满足二次函数关系如图2,则每辆客车营运——年,其营运年平均利润最大______.

二、解答题(本大题共6个小题,满分74分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤)

17.(本大题12分)已知集合A={x|a-1

18.(本大题12分)已知二次函数f(x)=x2+ax+b,A={x|f(x)=2x}={22},试求f(x)的解析式.

19.(本大题12分)已知函数(a∈R,a=1),讨论f(x)在(-1,+∞)的单调性,并求其在区间[1,4]的最大值.

20.(本大题12分)为了预防甲型流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),如图3所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;

(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.

21.(本大题12分)设函数

(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;

(2)确定a的值,使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域.

22.(本大题14分)设f(x)=x-2ax(0≤x≤1)的最大值为m(a),最小值为m(a),试求M(a)及m(a)的表达式.

集合与函数概念检测试题参考答案

一、1.(C) 2.(C)3.(C) 4.(C) 5.(B)6.(B) 7.(B) 8.(C)9.(D) 10.(B)11.(B) 12.(A)

二、13.[-1,2) U (2,+)

14.{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}15.f(x)=-x2-2x-3 16.7,2

三、17.解：A∩B=Ø

(1)当A=时,有2a+l≤a-1⇒a≤-2;(2)当A≠时,有2a+1>a-1⇒a>-2.又因为A∩B=,则有2a+1≤0或a-1≥1⇒a≤—或a≥2所以或a≥2由以上可知或a≠2

18.解:由{x|f(x)=2x}={22}得方程x2+ax+b=2x有两个等根都为22

.根据韦达定理解得84.,所以f(x)=x2-42x+4

19.解:在(-1,+∞)上任取x1,x2且x1x1>-1,f(x2)-f(x1)=,因为x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.

所以当a>1时,f(x2)>f(x1),f(x)在(-1,+∞)上为增函数.当x=4时取得最大值.

当a<1时,f(x2)

20.解:(1)依题意:当t∈[0,0.1]时,设y=kt(t为常数),由图可知,图象过点(0.1,1).所以1=0.1k,所以k=10,所以y=10t(t∈[0,1.1].

当t∈[1,+∞)时,(a为常数)

由图可知,图象过点(0,0.1)

所以,所以t=0.1.

综上,

(2)依题意t∈[0.1,+∞),所以

因为在R上是减函数,所以,-0.1>0.5,所以t>0.6.至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.

21.解:(1)因为f(x)的定义域为R,所以xI<*2,则.因为x1

(2)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),即,解得:a=1.所以.

由以上知，因为2x+1>0,所以-1

所以f(x)的值域为(-1,1).

22.解:f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2(0≤x≤1),对称轴为x=a.

(1)①时,M(a)=f(1)=1-2a,②时,M(a)=f(0)=0,所以

(2)①a<0时,m(a)=f(0)=0,

②0≤a≤1时,m(a)=f(a)=-a2.

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇3

关键词：变量与函数；概念教学；案例分析；教学反思

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-247-02

2015年7月22日-8月5日，由兵团教委，教研室组织的中学数学继续教育培训在石河子大学成功举行。本次活动是全疆数学教师的再教育，再深造。其中由兵团教研室杨卫平主任组织的“变量与函数”说课活动引起了大家的关注。作为普通教师的一员，笔者有幸参加了观摩活动，深受启发。下面从以下几个案例提出自己的反思：

案例一：例1、日气温变化图：图18.1.1是某日的气温变化图，根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应.

例2、高尔夫球的轨迹

我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度.此时高度h随着水平距离l的变化而变化。

例3、水中的波纹

把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹。

面积S随着半径r的变化而变化.每一个半径r都有唯一的面积S与之对应.

反思：考虑实例要尽量贴近学生的生活，此案例对课本上提供的例子作了修改，选择了"一日内的温度变化"、"高尔夫球的运动"、"水中的波纹"这样三个例子.如果后两个例子学生在生活中根本没有经验，学生理解起来会有困难。

案例二：例1、《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？”

例2、我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

反思：此案例的设计意图是想从学生的生活入手，但现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题.当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。否则，教师不易控制课堂节奏，会在这一环节浪费大量时间，这样的引入是否有必要？

案例三：问题一：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.

1、请同学们根据题意填写下表：

t/时12345t

s/千米

2、在以上这个过程中，变化的量是______。不变化的量是__________。

3、试用含t的式子表示s=__________，t的取值范围是 _________。

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.

问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？

1、请同学们根据题意填写下表：

售出票数（张）早场150午场206晚场310x

收入y （元）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是__________.

这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.

问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含m的式子表示l？

1、请同学们根据题意填写下表：

所挂重物（kg）12345m

受力后的弹簧长度l（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含m的式子表示l. l=___________m的取值范围是_____。

这个问题反映了_________随_________的变化过程.

问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢？怎样用含有圆面积s的式子表示圆半径r？ 关系式：________

1、请同学们根据题意填写下表：

面积s（cm2）102030s

半径r（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是__________

这个问题反映了___随___的变化过程.

问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为sm2，怎样用含有x的式子表示s呢？

1、请同学们根据题意填写下表：

长x（m）1234x

面积s（m2）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示s=_______________，x的取值范围是 __________。

这个问题反映了矩形的__随__的变化过程.反思：此案例引用了课本的五个实例。第三个例子，由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象.过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎.

综合以上案例分析：

函数的概念教学反思 篇4

一、备课要完备，上课按照备课来走

备课要多研究课本，研究课本的题目设置，备课前还要翻看海南省五年来高考题，以做到和编书者出题者步调一致。比如新课改后课本多是举例引入或得出概念、公式、定理，淡化逻辑证明，而高考更多是考基础性常规题，那么老实备课的时候就要注意重视应用，淡化理论。

我个人的问题是上课思路容易混乱，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。那么解决方法就是(1)备课的时候，通过举例和好玩的生活实例直接引入核心内容，从直观上接受重点“任意x唯一y”，尽可能简化解释，多做具体示例;(2)上课时铺开课本和备课本，是不是扫两眼，禁止临时加话。(3)在备课基础上，上课讲完备课的内容即可，在各内容之间加一句简单的承上启下的连接就行了。

二、对学生睡觉者记名上报德育处，没有观众的表演没有激情

我认为学习是学生的权利，而不是我强迫学，所以之前我从不管学生讲话玩手机睡觉。但是后面发现居然有一大片睡觉，而且我明明很有激情，讲着讲着我就困了。于是我采用了请班长科代表记名，每堂课交名单给我，期末汇总上交德育处的方法，正好12月12日学校在升旗时，发布了一个自动退学处分，学生都是害怕开除的，所以后面每节课，只有个别自我放弃的学生睡觉了。上课一眼扫下去，都坐得端端正正，我就有更多表演的欲望和随机应变的串场内容。

三、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高难度带来的乏味

数学对海南学生来说，难是肯定的，所以极易疲惫。老师要充满爱的去搞笑，娇嗔耍宝装萌讲笑话，或者夸张发音，故意带口音，跟学生一唱一和瞎说，都可以带来学生一笑。长期还会融洽师生关系，得到学生的喜爱。

四、核心还是重点反复强调，难点要技巧性突破

对一个老师来说，不管你的课堂多么生动活泼，这只是形式，核心还是在知识点够不够精简好记，重点难点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了，这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己想透了没，找到合适的讲授或类比方法没。突破完全在一瞬间一个简单的道理，千万不要把师生都绕进去。

每章结束后，我会和学生一起在书皮上把本章核心知识点简洁总结，方便翻看。不重要的不需要记忆，我会直接告诉学生。

《集合的含义与表示》教学反思 篇5

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式。倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，以发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

一、教学策略：

《集合的含义与表示》这节课作为高中的起始课，其特点是概念多，符号多。教学任务是：使学生了解集合的含义，体会集合元素与集合的属于关系，知道数集及其专用符号，了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，会用集合语言表示数学对象。针对教学任务及其特点，在教学过程中，我首先对集合及其创始人康托做了一个介绍，接着介绍了集合在数学中的基础地位，让同学们感到学好这堂课的重要性（目的是以学生为中心，充分调动学生的学习积极性）其次，通过一些问题引导学生阅读课本相关内容，并结合学生已有知识经验及课本知识让学生们举出生活中的一些例子，进而再举出数学中这样的例子（目的之一是通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的关系；二是让同学们体会数学知识来源于实践），对于集合中元素的特点这一教学难点的教学，我仍然采用一些学生熟悉的例子引导学生理解和掌握。在例题的选取上我结合学生的认知能力，多角度多层次的选择例题以使学生掌握本节知识。

二、教学中的不足

1、教学经验不足，对课堂的驾驭能力，对教材的把握及处理能力还需要加强。

2、对学生要加强信心的培养，作为起始课，树立学生学习数学的信心非常重要。以免在第一节课就令学生产生害怕和抵触心理。

《变量与函数》教学反思 篇6

函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是：1 有两个变量，2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应;函数的实质是：两个变量之间的对应关系;学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。

在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现

为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不同的提问方式：1.教师问，学生答;2.学生自主回答;3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中，让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题，在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义，由“问题中分别涉及哪些量?哪些量是变化的，哪些量是始终不变的?”一系列问题，在借助生活实例回答的过程中，归纳总结出变量与常量的概念，并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程，学生初步接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义，我设置了以下二个问题：1.在前面研究的每个问题中，都出现了几个变量?它们之间是相互影响，相互制约的。2.在二个变量中，一个量在变化的过程中每取一个值，另一个量有多少个值与它对应?来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系，借助函数图像，使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式，使学生体验从具体到抽象的认识过程，及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去，加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力，我准备了一道思考题，Y2=X中对于X的每一个值Y都有唯一的值与之对应吗?Y是X的函数吗?为什么?帮助学生把握概念的本质特征，注重学生的过程经历和体验。变量与函数的概念是学生数学认识上的一次飞越，所以我根据学生的认知基础，创设一定条件下的现实情景，使学生从中感受到变量与函数的存在和意义，体会变量与函数之间的相互依存关系和变化规律，遵循从具体到抽象、感性到理性的认知规律，以教师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究新知。让学生领悟到现实生活中存在的多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题，分析问题和解决问题，并培养学生合作意识，探究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人。

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇7

集合部分几乎是高考必考内容，而函数部分则是高考的重点，不等式或者单独命题或者与其他相关知识相结合综合考查考生的分析问题、解决问题的能力.集合部分如果单独考查，主要考查集合与集合之间的关系以及集合的基本运算.函数相关性质的考查，是高考考查的重点.而且通常会与集合、不等式、方程、数列等知识结合，考查考生的综合能力.不等式部分具有一定的特色，其中线性规划部分是考查的重点，而解不等式以及基本不等式也不能轻视.

从题型上来讲，集合部分的考题主要以选择填空题的形式出现.就基本初等函数题目而言，考查范围涉及到函数的方方面面，难度覆盖面也很广，但也基本以选择填空题的形式出现.不等式部分的考题大致也是以选择填空题出现.

从难度上来讲，如果单纯考查集合的概念以及相关运算，属容易题.但是如果将集合与排列组合、数列等知识相结合，则难度变大，属难题.高考对函数知识要求是很高的，考查函数单一性质的简单题目不多；大都是函数性质之间的综合考查，例如图像与解不等式结合、周期性、单调性、奇偶性相结合等等，较难题的比例较大.而不等式部分的题目由于知识点的限制，以及素质教育的需求，难度有所下降，属中等难度题.

本专题全国高考客观题主要考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数的零点、导数的几何意义、定积分（仅限理科）等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题.

理科在“函数导数与积分”的考查：利用定积分求面积，利用导数研究函数的性质，以求函数的单调性、极值、最值为主，考查不等式的相关问题.

函数、导数选择题考查函数单调性与奇偶性、定积分求面积、由解析式找图像、利用导数求切线、距离最值问题、利用导数研究函数的单调性等，填空题考查基本的初等函数与函数的性质.

文科在“函数导数”的考查：函数的基本性质主要考查函数的单调性、奇偶性等，难度通常为中等，基本初等函数通常考查指数函数与对数函数，有时候会与函数的图像、函数与方程等相结合，考查数形结合思想的灵活应用，有时候也会融入导数的应用等，这类题目通常难度偏大，一般作为选择题或填空题的压轴题出现.

对导数的考查通常以函数的单调性、函数的极值或最值、不等式的证明或不等式恒成立问题为载体，考查导数的综合应用.在解决这类问题时，有时候需要对问题进行转化或构造相应的函数，因此对等价转化、数形结合的数学思想也有较高的要求，正确求出函数的导数，并灵活应用导致与单调性的关系是解题的关键.从这几年的命题规律来看，这一部分通常出现在第20题或21题的位置，题型比较稳定. 小题中主要考查基本初等函数、函数的性质等，而解答题中主要考查导数在解决函数问题中的综合应用，且ex或lnx总会出现其一，小题中有时候也会对导数进行考查.

函数与导数版块，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识.《考纲》是这样诠释：这是因为函数的基础知识在现实生活及其他学科中有着广泛的应用，运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的一些重要数学模型，而且函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和其他学科的重要基础，因此对函数知识和思想方法的考查是高考的一个聚焦点.高考考纲对集合、简易逻辑、函数、导数的考查要求：

“了解”层次的知识

（1）集合、映射的概念；

（2）指数函数模型的实际背景；

（3）对数在简化运算中的作用；

（4）指数函数与对数函数互为反函数；

（5）幂函数的概念；

（6）函数零点与方程根的关系；

（7）指数函数，对数函数，幂函数的增长特征；

（8）函数模型的广泛运用；

（9）定积分的基本思想与概念；

（10）微积分基本定理的含义.

“理解、掌握”层次的知识

（1）集合的含义与表示，集合间的基本关系和集合的基本运算；

（2）理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义；

（3）理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；

（4）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点；

（5）理解对数的概念及其运算性质；

（6）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.

“会用”层次的知识

（1）会求一些简单函数的定义域与值域；

（2）会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）能简单应用不超过三段的分段函数；

（4）会用基本初等函数的图像分析函数的性质；

（5）能求简单函数的导数，能求简单复合函数（内为一次函数）的导数；

（6）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）；

（7）会用导数求函数的极大值，极小值，会求闭区间上函数的最大值，最小值（其中多项式函数不超过三次）.

二、高考怎么复习

以下重点谈谈函数与导数的复习：

（一）调整复习策略，重新定位

根据近几年全国课标卷以两小一大的题量、进行比较全面的考查，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，常以初等函数为背景设计综合题，一般以压轴题的形式出现的特点.因此函数与导数的复习应突出基础性和综合性，要准确理解概念，掌握通性通法，学会融会贯通，要会利用函数解决某些简单的实际问题.

尤其要关注以下几个问题：

一是关注函数的图像与性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值等基本内容，强化化归与转化、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法在解题中的作用.

【例1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）

A. f（x）g（x）是偶函数 B. f（x）g（x）是奇函数

C. f（x）g（x）是奇函数 D. f（x）g（x）是奇函数

【解析】设F（x）=f（x）g（x），则F（-x）=f（-x）g（-x），∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴F（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），F（x）为奇函数，选C.

【点评】本题主要考查函数性质.要求熟练掌握函数常见性质和解题的常见方法.

二是关注函数与方程、不等式、数列等相结合的综合问题，要发挥导数的工具性作用，如应用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式的证明等.

【例2】设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（ ）

【点评】导数的综合应用，函数图像是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现.

三是关注实际生活中的应用问题，掌握解决这类题型的一般步骤.

（二）从四个方面突破函数与导数复习难关.

1. 突出函数概念、性质的基础作用

①函数概念性强，函数性质是数学解题的重要工具，尤其是函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等是高考的重点.这些性质在具体问题的解决中有着重要的基础作用，因此在复习中对每一个概念、性质必须让学生正确地理解与掌握，只有对每一个概念的内涵外延全面的把握，准确的理解，才能在应用时得心应手.

【点评】本题对互为反函数的图像的特征提出了一定要求.全国卷的考察有时会涉及反函数的基本知识，这点要引起重视.

②尤其要重视函数的概念、图像及变换的复习，分段函数、绝对值函数蕴含着分类讨论与数形结合思想要引起足够重视.二次函数的最值讨论、二次不等式解的讨论与二次函数零点分布是导数题基础，要过好关.平时多训练利用函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的关系描绘函数图像，掌握图像的平移、翻折、对称变换，能够自觉运用图像解题（数形结合法），其中对称性蕴含着从特殊到一般的数学思想要重点加强.

【例4】已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0若f（x）≥ax，则a的取值范围是（ ）

A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. [-2，1] D.[-2，0]

【解析】

当a>0时，y=ax与y=f（x）恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x>0，则f（x）≥ax恒成立.

若x≤0，则以y=ax与y=-x2+2x相切为界限，

由y=ax，y=x2-2x，得x2-（a+2）x=0.

∵Δ=（a+2）2=0，∴a=-2.作出函数图像，利用数形结合易知答案选D.

【点评】抓住函数的图像翻折和单调性并发现“临界点”是快速解不等式的重要依据，如果把式f（x）≥ax具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高.

③导数应用中求函数单调区间、极值、最值求解是基础，讨论函数单调区间、极值、最值是热点，特别是函数在区间上单调与不单调问题解决思想方法丰富应受到重视.函数零点问题有多种转化形式也是热点，多训练应用函数与方程思想解决零点问题.

2. 强化导数在函数问题解决中的工具作用

①近几年函数高考题型发生的明显的变化，多为可利用导数知识求解的问题.为适应新高考需要，函数解题必须充分发挥导数的工具作用，根据新的教材特点改变解题方法和途径，避免复习时把函数与导数等知识分割开来.应在复习中互相渗透，尽可能利用导数等知识居高临下的研究函数的性质及图形变化特征，发挥导数在解题中的应用.特别要关注导数的几何意义以及性质的内涵，能熟练应用结合意义和性质灵活处理函数问题.导数几何意义与切线相关问题基本是必考点，熟练导数运算.

②关注利用导数破解函数图像的特征、研究方程根及其性质.有些函数直接难作出图像，但利用导数性质得到函数一些特征后再做草图则容易奏效.

3. 把握函数作为高中数学知识中的主干知识

① 函数作为高中数学的重要基础知识，历来是高考的重热点问题，它内容丰富、应用广泛、贯穿于高中教学的始终.函数与导数还经常与常用逻辑用语进行交汇，考查逻辑推理论证能力.

②特别是函数与方程、不等式、数列、向量、最值、求参数的取值范围等知识之间都有密切联系，以这些交汇知识进行命题是命题改革的一种趋势，又由于导数的工具作用，解答题都是把函数与导数连成一体，因此必须予以重视.由不等式恒成立问题求解参数范围是常考题型，要重视对不等式恒成立问题解决方法的总结.

③导数与不等式恒成立问题、不等式证明问题是难点，新课标近几年此类问题的共同特点是避免整体对待，强调讨论分解函数，化归转化为一个相对简单函数或两个函数来突破，这是这类问题解决的一个思维方向.

【例6】已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e2（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时， f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

【解析】（Ⅰ）由已知得 f（0）=2， g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，

而f′（x）=2x+b，g′（x）=ex（cx+d+c），∴a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），

设函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），

F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1），

有题设可得F（0）≥0，即k≥1，

令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

（1）若1≤k0，即F（x）在（-2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，故F（x）在x=x1取最小值F（x1）， 而F（x1）=2x1+2-x21-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，

∴当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，

（2）若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex-e2），

∴当x≥-2时，F′（x）≥0，∴F（x）在（-2，+∞）单调递增，而F（-2）=0，

∴当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，

（3）若k>e2，则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，

∴当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立，

综上所述，k的取值范围为[1，e2].

【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.

研究不等式f（x）>0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：

第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y=f（x）在区间A上的最小值.由于函数y=f（x）带有参数，它在区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论.由于函数y=f（x）的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y=f′（x）在区间A上的零点个数进行分类讨论.

第二种方法，是将不等式f（x）>0作变形，将参数a和变量x进行分离，将不等式转化为h（a）>g（x）（或h（a）

4. 重视函数知识在实际中的载体作用

函数的广泛应用近年越来越受到重视，以函数知识为载体的实际应用题在近年高考中经常出现，学会建立函数模型，应用所学知识解决应用题是数学能力的体现，必需重视和加强.

（三）以思维能力为核心，全面提升能力.

1. 应注重数学思维能力的训练，合理利用有关材料，在知识交汇处设置问题，培养观察、分析、解决问题的能力，特别要培养思维意识，审题中能抓住思维起点，结合有关知识能够合乎逻辑地准确表述推理过程，训练推理论证能力.

2. 高考提倡“多思少算”，但并不意味着不要运算.复习中应关注运算能力的训练，培养合理、准确的运算能力.

3. 重视数学思想在函数与导数解题中的应用.复习中要始终渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等思想，要注意通性通法的训练，淡化特殊技巧.复习时要注意知识的交叉、融合和渗透，帮助学生进行归纳、梳理、总结和提升，从中把握规律，领会本质，掌握数学思想方法，提高学科素养

（四）复习中在全面复习的同时关注课本例习题、发挥典型问题的作用，在精选与挖掘上下工夫，落实提高复习效益.

关键在于如何按照国家《考试大纲》和《考试说明》中的考查内容与要求，提高高三数学复习效益，在有限的时间获得最大的复习效益，高三复习例题的选择与挖掘应有教学价值是提高复习效果的关键，要充分发挥课本例、习题和一些典型问题的作用，通过对例、习题的研究，发挥其应有的价值，再通过引变式、引伸，充分挖掘课本例习题的应有作用，以不变应万变，同时可以帮助学生归纳、提炼必要的数学知识精华，让知识简单化、通俗化、条理化.略举一例以其引起重视.

总之，函数与导数是高考重要考点， 复习中应以全国考试大纲为依据，以考试说明为指导，以函数的基本概念和性质为主线，引导学生利用导数的“工具”作用，培养用导数分析函数性质的意识，渗透数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想方法，提高解决问题能力，以适应高考改革对复习的新要求.

《一次函数》教学设计与反思 篇8

一、教学设计的基本理念 我是本着“让学生知道数学源于生活，用于生活，向学生传播一种观念和思想方法是教学设计的最高境界”这一教学设计理念来安排本节课的教学活动的。具体体现在：

1、教学目标确定上： 本节课的教学内容是《一次函数》的最后一个课时，教材仅通过一个例题和一个练习的形式呈现一次函数的简单应用，这是今年初二教材刚调整后的安排，并在本章末增设了运用一次函数选择最佳方案的三个问题作为课题学习，突出了一次函数应用的地位和作用。分析教材的修改意图，结合课程标准的要求，我确定了本节课的教学目标：

（1）加深一次函数有关知识的理解和运用，分段列出一次函数解决实际问题为知识技能目标；

（2）经历解决问题的过程，体验数学的应用价值为过程方法目标；

（3）在解决问题的过程中培养学生乐于接触社会环境中的数学信息，增强学好数学的自信心为情感目标；把发展自主探究、合作交流，通过用一次函数解决实际问题，了解数学本质作为本节的重点和难点。同时选择指导学生自主学习、发展思维、自我反馈、提高能力为教学方法。

2、教学内容选材上：以学生小亮星期天的经历为知识背景，设置了银行存钱、购糖果、逛玩具柜台、冷藏食品柜台、乘出租车回家等五个问题情境，包含了一般一次函数、分段一次函数两层知识，渗透了函数变化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。严格地说，问题1与问题5的图象是一些点和一些平行的线段，鉴于学生的认知特点，自变量取整数时，为简单起见不必细分，初略考虑实际问题。

3、教学活动设计上： 安排了五个环节。创设情境、导入新课----通过小亮星期天的活动故事导入，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值。知识准备、温故知新----通过思考、交流，巩固一次函数的知识为开展学习活动做铺垫。尝试闯关、探求新知----通过问题情境，指导学生探究交流、反馈提高，体会解决实际问题的过程，感知数学建模思想。归纳总结、反思提高----通过发言交流，加深对本节知识的理解和掌握。布置作业、分层训练----通过作业训练，加深对本节知识的理解和运用，尤其是选做题和实践作业，体现 “不同的人在数学上得到不同的发展”，“生活中处处有数学”的基本理念。

4、重难点突破上： 问题情境2是本节课的重难点，预计学生在分析过程中会有困难，于是我先设计一个填表，让学生先从特殊数值来感悟分段函数的特征。如果学生没有问题可直接进入第二问，如果学生有不同的答案，就给学生创造一个讨论的机会，道理会越辩越明，更有利于下一问题的解决。第二问我先设置了两个由浅入深的思考题，暴露整个思维过程，帮助学生理清思路，学会怎样从实际问题中抽象出函数解析式和图象，体会并感知数学建模思想。同时让学生先思考再交流，待小组意见一致了再在练习本上独立完成，学生展示、补充，教师点评，从而突破本节重难点。

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇9

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={ab|aP,bQ}，若P{0,2,5}，Q{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）

（2）设U{(x,y)|xR,yR}，A{(x,y)|2xym0}，B{(x,y)|xyn0}，那么点P(2,3)A(CuB)的充要条件是________

（答：m1,n5）；

（3）非空集合S{1,2,3,4,5}，且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有_____个

（答：7）

二．遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合A{x|ax10}，Bx|x23x20，且ABB，则实数a＝___.1（答：a0,1,）

2三．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

2n1，为2n，2n1，2n2.如

满足{1,2}M{1,2,3,4,5}集合M有______个。

（答：7）

四．集合的运算性质：

⑴ABABA；

⑵ABBBA；

⑶AB痧uAuB；

⑷A痧uBuAB；

⑸ðuABUAB；

⑹CU(AB)CUACUB；

⑺CU(AB)CUACUB.如：设全集U{1,2,3,4,5}，若AB{2}，(CUA)B{4}，(CUA)(CUB){1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A{2,3}，B{2,4}）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：x|ylgx—函数的定义域；y|ylgx—函数的值域；(x,y)|ylgx—函数图象上的点集，如

（1）

设集合M{x|y，集合N＝y|yx2,xM，则MN___

（答：[4,)）；



（2）设集合M{a|a(1,2)(3,4),R，N{a|a(2,3)(4,5)，R}，则MN_____

（答：{(2,2)}）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间[1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围。

（答：(3,)）

七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________

（答：⑴⑶）

八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若

﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？ 如：

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________

（答：在ABC中，若C90，则A,B不都是锐角）； x

2,a1，证明方程f(x)0没有负数根。（2）已知函数f(x)ax

x

1九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若AB，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：（1）给出下列命题：

① 实数a0是直线ax2y1与2ax2y3平行的充要条件； ② 若a,bR,ab0是abab成立的充要条件；

③ 已知x,yR，“若xy0，则x0或y0”的逆否命题是“若x0或y0则xy0”；

④“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是假命题。

其中正确命题的序号是_______

（答：①④）；

（2）设命题p：|4x3|1；命题q:x2(2a1)xa(a1)0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

（答：[0,]）

十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的bb

形式，若a0,则x；若a0,则x；若a0,则当b0时，xR；当b0时，x。

aa

如

已知关于x的不等式(ab)x(2a3b)0的解集为(,)，则关于x的不等式

(a3b)x(b2a)0的解集为_______

（答：{x|x3}）

十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？

设a0,x,x是方程ax2bxc0的两实根，且xx，则其解集如下表： 如解关于x的不等式：ax(a1)x10。

（答：当a0时，x1；当a0时，x1或x当a1时，1

11x；；当0a1时，当a1时，x；

aa

x1）a

十二．对于方程ax2bxc0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次

若a0，则一定有b24ac0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）a2x22a2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是_______

（答：(1,2]）；（2）关于x的方程f(x)k有解的条件是什么？(答：kD，其中D为f(x)的值域)，特别



地，若在[0,]内有两个不等的实根满足等式cos2x2xk1，则实数k的范围是

_______.（答：[0,1)）

十三．一元二次方程根的分布理论。方程f(x)ax2bxc0(a0)在(k,)上有两根、在(m,n)上有两根、在(,k)和(k,)上各有一根的充要条件分别是什么？

0f(m)0、f(k)0）。根的分布理论成立的前提是开f(n)0



mbn2a

f(x)0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令xn和xm检查端点的情况．

b

2如实系数方程x2ax2b0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值

a

1范围是_________

（答：（，1））

0

（f(k)0、b

k2a

十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax2bxc0的两

个根即为二次不等式ax2bxc0(0)的解集的端点值，也是二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点的横坐标。

如（1）ax的解集是(4,b)，则a=__________

（答：）；

（2）若关于x的不等式ax2bxc0的解集为(,m)(n,)，其中mn0，则关于x的不等式cx2bxa0的解集为________

（答：(,

11)(,)）； mn

（3）不等式3x22bx10对x[1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______

《实际问题与二次函数》教学反思 篇10

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

《集合与函数概念》优秀教学设计与反思 篇11

（一）教学设计与教学反思

一、教材分析

三角函数的诱导公式是职高基础模块第五章的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义的基础上，利用对称思想发现任意角 与＋2K终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.二、学情分析

本节课的授课对象是高一机电班学生，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容.三、教学目标

(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；

(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；

(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；

(4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．

四、教学重点和难点

1.教学重点

理解并掌握诱导公式.2.教学难点

正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式.五、教法学法以及预期效果分析 “授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析.１．教法

数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质.在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2．学法

“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情.如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题.在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题、共同探讨、解决问题

简单应用、重现探索过程、练习巩固。让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习.3.预期效果

本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.六、教学流程设计

（一）创设情景

1．复习锐角300°，450°，600°的三角函数值；

2．复习任意角的三角函数定义；

3．问题:由，你能否知道sin2100°的值吗？引如新课.设计意图

自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法。

（二）新知探究 1.让学生发现

300°角的终边与2100°角的终边之间有什么关系？

2、让学生发现300°角的终边和2100°角的终边与单位圆的交点的坐标有什么关系；

3、Sin2100°与sin300°之间有什么关系？ 设计意图

由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度，为同学们探究发现任意角与的三角函数值的关系做好铺垫。

（三）问题一般化 探究一

1、探究发现任意角的终边与的终边关于原点对称；

2、探究发现任意角的终边和角的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称；

3、探究发现任意角与的三角函数值的关系 设计意图

首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二。同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进。

（四）练习

利用诱导公式(二),口答下列三角函数值.(1).(2).(3)..喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题.（五）问题变形

由sin300°=-sin60° 出发，用三角的定义引导学生求出 sin（-300°），Sin150°值,让学生联想若已知sin300°=-sin60° ,能否求出sin（-300°），Sin150°）的值.学生自主探究

1．探究任意角 与 的三角函数又有什么关系； 2．探究任意角 与 的三角函数之间又有什么关系.设计意图

遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果 诱导公式

（三）、（四）给出本节课的课题 三角函数诱导公式 设计意图 标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结。

（六）概括升华 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符合.（即：函数名不变，符号看象限.）设计意图

简便记忆公式.。

（七）练习强化

求下列三角函数的值：（1）sin(-100°)；(2).cos(-20400°).设计意图

本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的。

学生练习

化简：.设计意图

重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用.（八）小结

实际问题与二次函数 教学反思2 篇12

思

今天很高兴来上一堂《实际问题与二次函数（第1课）》的异地教学评选课，对我来说是第一次，所以上课前一直都有点担心和紧张。到三中后，学生的亲切笑容，令我所有的担心都没有了。因此这堂课在情感上我觉得是称心如意的，同时学生能很积极配合我的教学，真的很感激三中的老师和学生，令我再一次体现到当一名数学教师的喜悦！

这节课重点解决实际问题中的面积问题，我的目的是通过这节课我能解决三个问题1.建立二次函数关系式；2.用配方法或公式法求最值；3.自变量的最值范围与最值的关系。在课前我一直认为第一点不用建立坐标系不会太难，并且矩形面积对初三学生来说不会有什么问题，所以有在上课时对图形的认识这一点的分析上是欠缺的，当发现矩形的一边为x另一边很多学生表示成60-2x时，我发现学生在建函数关系式时分析图形能力比较差，所以在变式练习1、2、3我就先放手让学生写关系式，同时加强巡查及对学生的指导，然后分析学生错误给出正确遥解答。通过变式之后，学生基本能解决全闭合矩形与半闭合矩形和多边矩形的面积与过的关系，从而正确列出函数关系式。

导数与函数的单调性的教学反思 篇13

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。