等差数列四年级

等差数列四年级（共12篇）

等差数列四年级 篇1

1．找出规律后填出下面数列中括号里的数：

(1)1，3，5，7，()，11，13，()，…(2)1，4，7，10，()，16，19，…(3)1，3，6，10，15，()，28，…(4)l，2，4，5，7，8，()，()，…(5)5，7，11，19，35，()，131； 259，…

2.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。

3.请问13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37共有（）项？

4.那么126,128,130, ……,148,150共有（）项？

5.那么16,18,20, ……,162,164共有（）项？

6.那么120,124,138, ……,280,284共有（）项？

7.练习5（1）1+2+3……+998+999+1000

8、求等差数列46，52，58，……，172共有（）项？ 9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝ 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝ 11、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝

12.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30看了78 页正好看完。这本书共有()页？

13.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了()个英语单词？

14.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有()个？

15.建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有()根。

四年级等差数列练习题二 1、7个连续奇数的和是105，写出这7个数。

2、6个连续自然数的和是69，求这六个数3、8个连续奇数的和是144，求这八个数4、11个连续奇数的和是231，写出这11个数中的最大数和最小数各是多少？

5、有一列数：2,5,8,11,14,17,……（1）它的第十三个数是几？

（2）47是它的第几项？

6、求数列2,2,4,6,6,10,8,14,10,18……的第20项和第25项。

7、在数列4,9,16,25,36,……中，第79个数是多少？

8、等差数列2，6，10，14…..求第98项是多少？

9、工地上将粗细均匀的圆木，堆成一堆，最上面一层有6根圆木，每向下一层增加一根，共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？

10、14+23+32+41+……求等差数列前32项的和

11、等差数列1、4、7…1000中共有多少项？

12、等差数列4、9、14…109中共有多少项？

13、一个等差数列的公差是5，第21项是104，求这21项的和

14、等差数列1001、994、987…14中共有多少项？

15、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？

16、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？

17、有一堆钢管，最上一层有10根，最下一层有50根，而且每层之间相差2根，这些钢管一共有多少根？

18、有一本故事书，小红第一天读了7页，以后每天比前一天多读3页。他读到第9天刚好读完。这本故事书一共有多少页？

19、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?

20、等差数列3，9，15，21…..303是第几项21、2、5、8、11，……302，这个数列共有多少项

22、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？

23、省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位，……这个体育馆的12区共有多少个座位？

四年级等差数列提高题

1、一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？

2、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

3、在1949,1950,1951,…1997,1998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?

4、求自然数中被10除余1的所有两位数的和？

5、按一定的规律排列的算式：3＋1，4＋7，5＋13，6＋19＋……,那么，第100个算式是什么？

6.在13与49之间插入3个数，使这5个数构成等差数列。

7、在4和25中间添上6个数变成一个等差数列，公差是多少？写出这个数列。

8、一个等差数列的公差是6，第45项是268，求这45项的和。

9如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项。

10、等差数列的首项是3，第41项是83，求公差

等差数列四年级 篇2

一、合并意识

分析:不等式的左边是由一个等差数列和一个等比数列对应项相比构成的新数列的前n项和, 所以考虑用错位相减法.

点评:对于“a1+a2+a3+……+anm) ”型不等式的证明首先要想办法对左边求和, 如果不能直接求和可以通过适当放缩后再求和.

二、拆分意识

分析:不等式左边是一个数列的前n项和, 所以考虑将不等式右边也拆成某个数列的前n项和的形式, 逐项比较大小, 可以使数列不等式得以证明.

要证原不等式只需证即可, 进一步用分析法易证上式, 所以原不等式成立.

点评:对于“a1+a2+a3+……+anf (n) ) ”型不等式的证明要么想办法对左边求和, 要么将右边分成n项之和, 逐项比较, 易得结论.

三、放缩意识

在证明“a1+a2+a3+……+anf (n) ) ”时, 如果左边不易直接求和, 可以适当放缩后转化为等比数列求和或裂项求和.

点评:本题显然利用放缩法更容易证明, 但需要观察分析得出放缩不等式, 在学习过程中也需要积累一些常见的放缩不等式, 熟练掌握不等式的放缩技巧和方法.

四、构造意识

证明数列不等式, 如果根据命题的具体结构与特点, 构造数列并利用数列的单调性来证明, 可使证明过程简单清晰, 收到事半功倍的效果.

所以数列{an}为递增数列, 故, 当且仅当n=2时取等号, 故原不等式成立.

点评:若要证明“f (n) >g (n) ”型的数列不等式, 可以构造数列{f (n) -g (n) }.

专题四 数列及其应用（2） 篇3

1. 已知数列[an]为等差数列，且[a1+a7+a13=4π]，则[tan（a2+a12）=]（ ）

A. [3] B. [33]

C. [-33] D. [-3]

2. 已知方程[（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0]的四个根组成一个首项为[14]的等差数列，则[m-n]等于（ ）

A. [1] B. [ 34]

[C. 2] D. [ 12]

3. 在等比数列[an]中，[a7?a11=6]，[a4+a14=5]，则[a20a10=]（ ）

A. [23]或[32] B. [23]

C. [32] D. [13]或[-12]

4. 设等比数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S6S3=3]，则[S9S6=]（ ）

A. 2 B. [73]

C. [83] D. 3

5. 已知数列[an]为等差数列，若[a11a10<-1]，且数列[an]的前[n]项和[Sn]有最大值，则使得[Sn>0]的[n]的最大值为（ ）

A. 18 B. 19

C. 20 D. 21

6. 数列[an]满足[1an+1-1an=d]，[（n∈N*，d]为常数），则称数列[an]为“调和数列”. 已知正项数列[1bn]为“调和数列”，且[b1+b2+…+b9=90，]则[b4?b6]的最大值是（ ）

A. 10 B. 100

C. 200 D. 400

7. 已知函数[f（x）=（4-a2）x+4，x≤6，ax-5，x>6，][a>0，][a≠1]， 数列[an]满足[an=f（n）（n∈N*）]，且[an]是单调递增数列，则实数[a]的取值范围是（ ）

A. [[7，8）] B. [（1，8）]

C. [（4，8）] D. [（4，7）]

8. 已知数列[an]满足[a1=1，][a2=2，][an+1+anan][=an+2-an+1an+1][（n∈N*）]，则[a13]等于（ ）

A. [26] B. [24]

C. [212×12！] D. [213×13！]

9. 已知数列[an]为等差数列，[a1<0]且[a1+a2][+a3+…+a100=0]，设[bn=anan+1an+2n∈N*]，当数列[bn]的前[n]项和[Sn]最小时，则[n]的值为（ ）

A. [48] B. [50]

C. 48或49 D. 48或50

10. 数列[{an}]的通项[an=n2（cos2nπ3-sin2nπ3）]，其前[n]项和为[Sn]. 则[S100]的值为（ ）

A. [152003] B. [-672]

C. [-301996] D. 以上都不对

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知正项等比数列[an]的公比[q≠1]，且[a2，a4，a5]成等差数列，则[a1+a4+a7a3+a6+a9=] .

12. 为了保护环境，某地决定从2013年到2017年五年间完成全部退耕还林任务，计划每年退耕的土地数比上一年递增10%，则2013年应退耕土地面积与全部应退耕土地面积之比为 . （参考数据：[1.14=1.46]，[1.15=1.61]，[1.16=1.77]）

13. 已知数列[an]满足：[a1]为正整数，[an+1=an2，an为偶数，3an+1，an为奇数，] 如果[a1+a2+a3=29]，则[a1=] .

14. 把数列[{12n-1}][（n∈N*）]的所有项按照从大到小的原则写成如图所示的数表，其中的第[k]行有[2k-1]个数，第[k]行的第[s]个数（从左数起）记为[A（k，s）]，则[A（5，12）]表示的数是 ；[12013]这个数可记为[A] .

[1]

[13] [15]

[17] [19] [111] [113]

[115] [117] [119] [121] … [129]

…

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 在数[1]和[100]之间插入[n]个实数，使得这[n+2]个数构成递增的等比数列，将这[n+2]个数的乘积记作[Tn]，再令[an=lgTn]，[n≥1].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[bn=tanan?tanan+1]，求数列[bn]的前[n]项和[Sn].

16. 某企业为了适应市场需求，计划从2010年元月起，在每月固定投资5万的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的20%，但每月追加部分最高限额为10万元. 记第[n]个月的投资额为[an]（万元）.

（1）求[an]与[n]的关系式；

（2）预计2010年全年共需投资多少万元？（精确到0.01，参考数据：1.22=1.44， 1.23=1.73， 1.24=2.07， 1.25=2.49， 1.26=2.99）

17. 已知数列[an]与[bn]满足[bn+1?an+bn?an+1][=（-2）n+1]，[bn=3+（-1）n-12]，[n∈N*]，且[a1=2].

（1）求[a2，a3]的值；

（2）设[cn=a2n+1-a2n-1]，[n∈N*]，证明[cn]是等比数列；

（3）设[Sn]为[an]的前[n]项和，证明[S1a1+S2a2+…+S2n-1a2n-1+S2na2n≤n-13][（n∈N*）].

18. 设数列[an]满足：[a1=2]，[an=2（2n-1）nan-1][（n∈N*]且[n≥2）].

（1）分别求[a2，a3，a4]的值，并观察它们是否在杨辉三角形中？

（2）写出数列[an]的一个通项公式，并加以证明；

（3）求证：[a1+a2+…+an≤23（4n-1）， n∈N*].

六年级奥数之数列求和测试题 篇4

1.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

2.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

4.某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根?

5.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

6.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

1.求首项是13，公差是5的`等差数列的前30项的和。

2.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

3.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下。问：时钟一昼夜打多少?

5.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

6.将自然数如下排列，

1 2 6 7 15 16 …

3 5 8 14 17 …

4 9 13 18 …

10 12 …

11 …

…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列?

7.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛)在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少?

8.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)下面的数的总和是 ____ .

0 1 2 …49

1 2 3 … 50

48 49 50 …98

四年级作文：朋友四年级作文 篇5

咳咳咳随着一声声咳嗽声，我感冒的病情也越来越重，爸爸不得不给我请三天假，回家好好养病。可是三天过后，我回到班里，发现同学们已经学了许多新知识，自己翻开作业本看了看有很多题不会做。要知道，我们现在已经是六年级了，每次考试都很重要，过些天又要月考了，哎!这可怎么办啊，我正在发愁时，突然，一只手轻轻地拍到我的肩上说：没关系的，放学后我会给你补的。我回头一看，果然是她，我的好朋友笑笑。于是每天晚上，她都会带着笔记本来我家，一讲就是两个小时，他讲得那么耐心，我认真地听着，每次离开我家时大都已经过了十点了。

记得有一次晚上，补课就差一节课的内容了，可老天却这么无情，下起了大雨。我想她一定会来的。但是，过了很长时间都没看到她的身影。我开始着急了，忽然，我从雨帘中蒙蒙胧胧地看到一个人，是她!是她!我的好朋友笑笑，她来了，她来到屋里，我看到她衣服都湿透了，我问她怎么来的，他说今天家里没有大人，只好自己走过来的，雨太大了，所以才淋成这样。我赶紧递给她一条毛巾，让她擦擦头发和脸上的雨水。在讲课中她也一直在咳嗽，但她为了帮我还是坚持把课给我补完。

四年级作文：朋友四年级作文 篇6

朋友是什么，朋友是有福同享，有难同当;朋友是在你快乐的时候和你一起快乐，在你伤心的时候，默默地为你驱赶心灵的阴霾;朋友是除了家人，最重要的人。所以拥有一位好朋友是多么的重要，而我在生活中也有一位像上面所说的很重要的一个知心朋友。

记得那是几个月前的一天，我在家里和妈妈闹了矛盾，和妈妈因为一些小事吵了架，在家里受了委屈，我从家里跑了出来，没有地方可去，只好去了我的朋友及家。她见我哭着走了进来便连忙问我为什么哭。我把我为什么哭的原因，和和妈妈吵架的经过一五一十都告诉了她，她听了，便对我说：“这就是你的不对了，你不管怎么样都不应该和家人顶嘴。”我听了她的话说：“你为什么不帮我，还说是我的错。”她听了耐心的对我解释道：“我不是不帮你，你本来就不应该还长辈顶嘴，没事，这都不重要，只要你去和你妈妈道个歉，所有的事情都会云消雾散的。”我听了她的话，觉得她说的对。我去和妈妈道歉之前，她还一直给我加油，鼓励我。这才使我有了去对妈妈道歉的勇气。我回到家，一进门就看见妈妈便对她说：“对不起，是我错了。”妈妈听了我的话，笑了笑，就这样，我和妈妈就又和好如初了。

通过这件事，我感受到朋友对我多重要，如果这件事没有她，我就不会觉得是我自己错了，如果不是她我也不会有勇气去和妈妈道歉，并和妈妈和好如初，所以每个人都珍惜你身边的好朋友吧。

《等差数列》检测 篇7

班级姓名

一、选择题(每小题5分，共25分)

1、设数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则数列{an}开始递增的最小项是

A、a1B、a2C、a3D、a2和a32、已知数列{an}的前n项和公式Sn＝2n2－n＋1，则数列{an}的一个通项公式为

2,n1A、an＝4n－3B、an＝ *4n3,n2,nN

C、an＝4n－2D、an＝4(n－1)

3、数列{an}满足a1＝0，an＋1－an＝2n，则a2009的值为

A、2007×2008B、2008×2009C、20092D、2009×30004、在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a5＝4，an＝33，则n为 3

A、48B、49C、50D、515、设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13等于

A、120B、105C、90D、75

二、填空题（每小题4分，共16分）

6、若等差数列{an}的a3＝5，a8＝13，则{an}的通项公式为

7、设Sn为等差数列{an}的前n项和，S5＝10，S10＝－5，则公差d＝。

8、已知等差数列{an}的各项所对应的点在在函数y＝kx－2的图象上，且当x＝5时y＝18，则an＝。

9、已知数列{an}满足a1－0，an＋1＝

三、解答题（９分）

10、已知函数f(x)＝

⑴求an；

等差数列教案 篇8

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学环节 情境设计和学习任务 学生活动 设计意图 创设情景 在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。

这个问题该怎样解决呢? 倾听 课堂引入 探索研究 由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，…

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5 观察分析，发表各自的意见 引向课题 发现规律 思考：同学们观察一下上面的这两个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②

看这些数列有什么共同特点呢? 观察分析并得出答案：

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;

由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。 总结提高 [等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。 学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。 通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。 提问：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件? 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

所以就有 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则 深入探究，得到更一般化的结论 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。 总结提高 [等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。

等差数列教案（精选） 篇9

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

依据课标 “等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。

二． 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征性质并能运用性质解决一些简单问题．

过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三．教学的重点和难点

重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→性质发现→简单应用；

（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；

（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。四．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式

五．教学过程.1.复习引入

回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即anan1d（n2.nN)

（让学生自己列举等差数列的例子，教师给出一特殊等差数列）2.根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：

①有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和

a1ana2an1a3an2

②已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=（公差的计算：d =anan1）

③等差数列中，若mnpq，则amanapaq（让学生推

广：mn 的情况）

④若anbn是等差数列，则ankkananbn也是等差数列，公差分别为d、kd、d1+d2

3.知识巩固

例1.等差数列an中，已知a2a79,a34，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2a7=a1da16d9

a3a12d4

解得：

aman

mn

101则a6a15d5 a d

3解析二：由性质③得a2a7a3a6易得a65

变式：等差数列an中，a58,a22.则a8例2.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有（）

A、a1a1010 B、a2a1010C、a3a990D、a5151 解析：根据性质1得：a1a101a2a100a49a502a51，由于

a1a2a3a1010，所以a510，又因为，a3a992a510，故正确

答案为C。

课堂练习：等差数列an中，a第六项是多少？ 4.小结

引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。5.作业布置：

（1）.书面作业：教材P681.3

（2）请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能

发现其他的性质？

六．教学设计说明

1．复习引入.本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．性质发现

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．知识巩固

通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.2,a5.则数列a4的n

4．作业布置弹性化．

等差数列证明[推荐] 篇10

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Sk

k(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22

(k1)(a1ak1)k(a1ak)

+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1

(n1)(a1an1)n(a1an),Sn

所以anSnSn1

n(a1a2)(n1)(a1an1)

 22

(n1)(a1an1)n(a1an)

同理有an1

从而an1an

(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)

n(a1an)

等差数列测试卷 篇11

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()

A．S7B．S8C．S1

3解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，1∴3a1＋18d＝p，解a7.3

13×(a1＋a13)13∴S13＝13a7＝p.23

答案：C

12．等差数列{an}中，已知a1，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()3

A．48B．49

C．50D．

511212解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝d＝，令an＝33＝(n－1)×，可解得n3333

＝50.故选C.答案：C

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()

A．2B．3

C．4D．5

解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝

值为4.故选C.答案：C

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为()

11A.63

35C.56

解析：∵{an}是等差数列，D．S15 a3＋a52a4的最大a5a3

用心爱心专心-1-

266a55

∴＝×5＝，故选D.a3a1＋a5(a1＋a5)×5S56

22答案：D

5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若大值，则使Sn>0的n的最大值为()

A．11B．19 C．20D．21 a2＋a8S5

a11

－1，且它们的前n项和Sn有最a10

a11

<－1，且Sn有最大值，a10

∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，19(a1＋a19)

∴S19＝＝19·a10>0，S2020(a1＋a20)

＝10(a10＋a11)<0.2所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B

6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N)的前12项，如下表所示：

*

200920102011A．1003B．1005 C．1006D．2011

解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数

列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－7

2An7n＋45a6

8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.Bnn＋3b6

＝6

1答案：

79．设f(x)＝xn项和的公式的方法，可求得f(－5)

22＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝

x

2＋2

x

anA2n－1

求得．

bnB2n－1

212

∴f(1－x)＝1－x＝＝xx，2222·22＋2

∴f(x)＋f(1－x)xx＝

222＋2设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝2，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝2.答案：2

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.·2

x

·2

x

1＋

·2

x

x

2＋2

2.2

Snn

∵a4－a2＝8，∴d＝4.又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋

n(n－1)

×4＝2n－n，Sn1

则Tn＝2n

n

∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.答案：2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知：f(x)＝－

*

114＋2数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan在曲线y＝f(x)

x

an＋1

上(n∈N)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足{bn}是等差数列．

解：(1)由y＝－点Pnan，－∴－

4＋2

Tn＋1Tn2

16n－8n－3，问：当b1为何值时，数列22

anan＋1

x



an＋1

1在曲线y＝f(x)上，an＋1

f(an)＝－

1an

并且an>0∴

an＋1

14＋，an

a2n＋1

1*

2＝4(n∈N)．

an

数列{2是等差数列，首项2＝1，公差d为4，ana1

112∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，an.an4n－3∵an>0，∴an(2)由an＝

n∈N)．

4n－31

*

2＝2＋16n－8n－3得 4n－3anan＋1

Tn＋1Tn

(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋1Tn

1.4n＋14n－3

令cn＝

Tn，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，4n－3

*

∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N，则Tn＝(4n－3)n＝4n－3n，n∈N，∴bn＝8n－7，n∈N，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．

12．数列{an}满足an＝3an－1＋3－1(n∈N，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；

1*

(2)是否存在一个实数t，使得bn＝n(an＋t)(n∈N)，且{bn}为等差数列？若存在，则求

3出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋3－1

*2

*

n*

n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1(an＋t)－

an－1＋t)

＝n(an＋t－3an－1－3t)31n1＋2t＝(3－1－2t)＝1－33

1要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t

即存在t＝－，使{bn}为等差数列．

213．设f(x)＝

ax*

(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N.x＋a

1

(1)证明数列是等差数列；

an

(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．

解：(1)证明：ann＋1＝f(an)＝

a·aa1

11，n＋aaan

∴

a111na11.＋1aan

n＋1ana

∴1a是首项为11的等差数列． n

a

(2)由(1)知1

a是等差数列，n

∴11

a

a＝1＋(n－1).整理得an＝

na

(a－1)＋n

.(3)ba

n＝an·an＋1＝

11(a－1)＋na(a－1)＋n＋1a2n＋a－1－n＋a

.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T2n＝a11a－1＋a＋111＋a2＋a

＋

…＋

1n＋a－11n＋a



＝a21a1n＋a＝a2

·n＋a－aa(n＋a)nan＋a{bn}的前n项和为nan＋a

等差数列教材教案 篇12

等差数列教材(教案)

等差数列教材(教案) 课 题：等差数列 教 材：(苏教版数学第二册)§子1.2 等差数列 课 型：新授课 教学目标： 1、知识目标：(1)明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式 (2)会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题 2、能力目标：培养学生具有良好的观察能力、归纳能力、应用能力和创新解题能力 3、情感目标：培养学生具有良好的协作精神和探索精神 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学方法：发现法、观察法、讨论法、讲解法及其组合 教 具：多媒体 内容分析：前面学习了数列的定义及表示数列的几种方法――列举法、通项公式、递推公式等，这些方法从不同的角度反映了数列的.特点，具备这些知识后，为本节课探索等差数列的定义、通项公式等创造了条件。 教学过程： 一、创设情境 教师活动 学生活动 设计意图 1、小明昨天背记了1个英文单词，从今天开始，他背记的单词量逐日增加，依次为：6，11，16，21，……请同学们仔细观察一下，以上数列有什么特点? 学生独立思考后口答 问题是数学的心脏，数学来源于生活 2、提出问题：多少天后他背记的单词量达到301? 表明自己观点 让学生大胆猜想，引发思考，引出新课 二、探索活动 教师活动 学生活动 设计意图 1、交流与发现：(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。注意 ①公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求 ②对于数列{an}，若an-an-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d为公差。 (2)等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d[或an=am+(n-m)d] 学生与同桌交流后回答 探索、研究等差数列的定义及通项公式 2、例题讲解 [例1](1)求等差数列8，5，2……的第20项 (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13……的项?如果是，是第几项? 解：(1)由a1=8,d=5-8=2-5=-3 N=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49 (2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4 得数列通项公式为：an=-5-4(n-1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之得n=100,既-401是这个数列的第100项。 [例2]在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求a1，d，a20，an 解法一：∵a5=10,a12=31,则 a1+4d=10 a1=-2 a1+11d=31 d=3 ∴an=a1+(n-1)d=3n-5 a20=a1+19d=55 解法二：a12=a5+7d 31=10+7d d=3 ∴a20=a12+8d=55 小结：第二通项公式an=am+(n-m)d [例3]梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。 解：设{an}表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33,a12=10,n=12 ∴a12=a1+(12-1)d，即110=33+11d 解得：d=7 因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61, a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103, 答;梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm。 先让学生发表观点，后喊两名中等生板书 学生小组讨论后发表观点并积极上黑板板书 发挥学生优势，画出图形，讨论先求什么 会用通项公式，学会用方程思想解题 做好“条件”转化：学会列方程组解决 培养学生一题多解的能力 学会应用，培养数学建模能力与应用能力 三、巩固练习教师活动 学生活动 设计意图 练习： 1、(1)求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项。 (2)100是不是等差数列2，9，16，……的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由。 2、在等差数列{an}中，(1)已知a4=10,a7=9,求a1与d; (2)已知a3=9,a9=3,求a12。 a1+3d=10 a1+6d=19 点拨：(1)由题意得： (2)解法一：由题意可得： a1+2d=9 a1=11 a1+8d=3 d=-1 ∴该数列的通项公式为：an=11+(n-1)×(-1)=12-n, ∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d, 即：3=9+6d, ∴d=-1 又∵a12=a9+3d, ∴a12=3+3×(-1)=0 喊4名中等学生板书 喊2名中等学生板书： 令7n-5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项 喊2名中等学生板书 喊2名中等学生板书，注意对照 会用通项公式 会判断一数是否为某一数列的其中一项，注意解题步骤的规范性与准确性 会由an,a1,d,n中的三个，求另外一个，培养发散性思维，培养一题多解能力与创新解题能力 四、反思总结 教师活动 学生活动 设计意图 通过本节课的学习，你有什么体会和收获?本课涉及哪些数学知识、思想、方法? 培养学生总结、归纳能力 及时总结，授之以渔 教学反思： 本节课的教学体现了“自主探索与合作交流”的教学理念，学生在探索中获得了数学的“思想、方法、能力、素质”。 一、情境创设，自然有效。 实践证明，通过问题发现问题，符合职业中学学生的认知特点，自然有效。 二、自主探索，惊喜不断。 本课从多层面开展课堂活动，既有民主和谐的师生互动式活动，更有学生的独立思考、演练、小组讨论、观察，发现，总结交流等学习活动，学生在探索过程中学得灵活、踏实、轻松、愉快，体验学习数学的成功和快乐。 三、夯实基础，提高效益。 本课以课本例题、练习为原型，创造性地使用教材，层层推进，激发学生学习潜能，培养学生具有良好的思维特性，渗透基本的数学思想和方法，培养学生数学建模能力，培养学生创新解题能力和应用能力，极大的提高了数学课堂教学效益。 四、新的思考。 1、要注意an=am+(n-m)d和an=pn-q(p、q是常数)的理解与应用; 2、在等差数列通项公式的应用中，应突出它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么两项可以决定一个等差数列。