逆向思维训练

逆向思维训练（精选7篇）

逆向思维训练 篇1

No.1反义词

游戏目的：在游戏过程中积累孩子的词汇量，发展逆向思维记忆力及思维的流畅性和敏捷性。

游戏玩法：这是一个无论何时何地都可以进行的游戏。你要根据孩子的实际情况，说一些词语，要求孩子在比较短的时间内说出这个词语的反义词。比如你说“白天”，孩子就要说“黑夜”;你说“大树”，孩子说“小树”等等。

No.2找图形

游戏目的：让孩子能根据形状、颜色标记对图形进行双维排列，体验给图形定位的方法，发展逆向思维及立体思维。

游戏准备：双维排列底板一块，一些与图上的标记相对应的图形，如红色的方形、蓝色的三角形等。

游戏玩法：这可是一个孩子与你轮流进行的游戏哦!你可以先和孩子一起猜拳，决定谁先玩。赢的一方可以随意说出一个空格(如横三竖三)，让对方找出相应的符合条件的图形放上去。如果找错了图形，就不能放上去。

看一看，是谁找到的图形多呢?你和孩子谁比较厉害一点呢!

No.3我是小法官

游戏目的：训练孩子的空间想像能力和逆向思维能力。

游戏准备：粗细不同的3根小棒，绳子3根

逆向思维训练 篇2

一、在概念教学中, 渗透思维的可逆性

1.逆用定义.数学定义中有的是可逆的, 学生在解题中往往习惯于正向使用定义, 而对定义的逆用却缺乏自觉性, 以致影响了解题质量.其实, 许多数学问题逆用定义来分析, 更加简捷明快, 干脆利索.同时, 在概念教学中渗透逆向思维, 也是深化概念、掌握技巧的重要途径.

例1 不等式ax2+abx+b>0的解是2

解 逆用二次不等式解集的定义, 可知2和3是方程ax2+abx+b=0的两根, 由韦达定理知两根之积为undefined, 故undefined, 所以undefined

例2 首项系数不相等的两个二次方程 (a-1) x2- (a2+2) x+ (a2+2a) =0 (1) 及 (b-1) x2- (b2+2) x+ (b2+2b) =0 (2) (其中a, b为正整数) 有一个公共根, 求undefined的值.

分析 此题若逆用方程根的定义, 可以得到以下更简捷的解法.

解 由条件知a>1, b>1, a≠b.设x0是方程 (1) , (2) 的公共根, 显然x0≠1 (否则a=b) , 于是, 将x0代入方程 (1) , (2) , 并整理得

(1-x0) a2+ (xundefined+2) a- (xundefined+2x0) =0. (3)

(1-x0) b2+ (xundefined+2) b- (xundefined+2x0) =0. (4)

逆用方程根的定义可知, a, b是方程 (1-x0) y2+ (xundefined+2) y- (xundefined+2x0) =0的两个相异正整数根.

undefined

从而ab=2+a+b, 有 (a-1) (b-1) =3.

由a-1, b-1均是正整数, 得

undefined

或

undefined

即

undefined

或

undefined

故undefined

2.执果索因.从肯定结论入手进行推理, 推得符合条件或易证的命题, 而推理的每一步均可逆, 于是证得原命题成立, 这种“执果索因”的分析法便于找到解题的途径.

例3 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn, 求所有的无穷等差数列{an}, 使得对于一切正整数k, 都有Sk2= (Sk) 2成立.

分析 按照一般恒成立问题来处理, 难以求出通项公式, 故假设结论成立, 逆向思维, 执果索因, 由特殊到一般进行探索.

解 设数列{an}的公差为d, 则在Sk2= (Sk) 2中分别取k=1, 2, 得

undefined

即

undefined

由 (1) , 得a1=0或a1=1.

若a1=0, 代入 (2) , 有d=0或d=6;

若a1=1, d=0, 则an=0, Sn=0, 从而Sk2= (Sk) 2成立;

若a1=1, d=6, 则an=6 (n-1) .

由S3=18, (S3) 2=324, 可知S9≠ (S3) 2,

故所得数列不合题意.

若a1=1, d=6, 代入 (2) , 有4+6d= (2+d) 2,

解得d=0或d=2;

若a1=1, d=0, 则a1=1, Sn=n, 从而Sk2= (Sk) 2成立;

若a1=1, d=2, 则an=2n-1.

Sn=1+3+…+ (2n-1) , 从而Sk2= (Sk) 2成立.

综合可得, 有3个满足条件的无穷等差数列:

①{an}:an=0, 即0, 0, 0…;②{an}:an=1, 即1, 1, 1…;③{an}:an=2n-1, 即1, 3, 5….

3.用性质、法则、公式、定理.有些数学问题所给的数式结构隐含着某些公式、法则、定理的特征.此时, 如能逆向联想, 借助这些法则、公式、定理进行调节、转化, 则可使问题获得简捷、直观、通俗的解法.

例4 已知α, β是方程x2+5x+2=20的两根, 求undefined的值.

分析 先求α, β再代入计算是十分繁杂的, 但如果能用二次根式的性质undefined, 顺用和逆用完全平方公式, 问题就变得简便了.

解 ∵α, β是方程x2+5x+2=20的两根,

undefined

二、转换思维角度, 反向举例

学生数学能力的高低在一定程度上取决于思维转换能力的强弱和转换速度的快慢.在遇到数学问题正向求解受阻时, 考虑逆向探求;直接求解繁琐时, 考虑间接求解.这样长期坚持训练, 不仅可提高思维转换的速度, 而且可培养思维的可逆性、灵活性和深刻性.

例5 从n个机场各起飞一架飞机, 都飞往最近的机场.证明:在任何一个机场降落的飞机都不超过6架.

分析 若直接去证明这个问题很困难, 如果我们能证明原命题结论的反面都是假的, 从而就能肯定原命题是真的.

证明 如图, A1, A2, A3, …, Am-1, Am表示m个机场, 假设机场O降落的飞机超过6架, 它们来自m (m≥7, m∈N) 个机场.

∵∠A1OA2+∠A2OA3+…+

∠Am-1OAm=360°,

∴其中必有一个角小于60°.

不妨设∠A1OA2<60°,

并设OA1≥OA2, 连接A1A2.

则∠A2≥∠A1, ∴∠A2>60°.

即∠A2>∠A1OA2, ∴OA1>A1A2.

于是机场A1的飞机应飞往机场A2, 这与上面的假设“机场A1的飞机飞往机场O”矛盾, 故假设不成立, 即原命题正确.

三、反客为主, 培养逆向思维

受思维定式影响, 人们在解题时, 总是把注意力集中在某些地位比较醒目的主元素上, 这在很多情况下是正确的.但在某些特定的条件下, 若能“反客为主”, 变换主元, 常能取得出人意料的效果.

例6 已知曲线系Ck的方程为undefined, 试证明对坐标平面内任一点 (a, b) (a, b≠0) , 总存在Ck中的一椭圆和一双曲线通过该点.

分析 此题若是以x, y为主元, 则自然会从曲线系方程的角度去思考, 但这条路是很难走通的.若注意到当k<4, 4

解 将 (a, b) 代入Ck的方程, 并以k为主元整理, 得

k2+ (a2+b2-13) k+ (36-4a2-9b2) =0.

令f (k) = (a2+b2-13) k+ (36-4a2-9b2) , f (k) 表示开口向上的抛物线, ab≠0.

且f (4) =16+4 (a2+b2-13) + (36-4a2-9b2) =-5b2<0,

f (9) =16+9 (a2+b2-13) + (36-4a2-9b2) =-5b2>0.

结合f (k) 的图像可知:f (k) =0在 (-∞, 4) 和 (4, 9) 内分别有根, 从而原命题得证.

四、利用题组, 类比训练逆向思维

“题组”不同于“题海”.题组教学是将一组相近、相似或形同质异的问题放在一起, 进行辨析对比、分析综合, 达到强化“三基”、提高能力之功效.

例7 (1) 求下列函数的定义域、值域或单调区间:

y=log2 (x2+x+1) ;y=log2 (x2+x-2) , 并由此初步概括对数函数定义域为R、值域为R的条件;

(2) 已知函数f (x) =log2 (x2-ax+a) , 试求分别满足下列条件的实数a的取值范围:

①f (x) 的定义域为R;②f (x) 的值域为R.

通过题 (1) 可以调整学生对题 (2) 中第②小题的错误认识, 并能发现更一般的规律, 即函数f (x) =logp (ax2+bx+c) (a≠0) 的定义域 (值域) 为R的等价条件是a>0且b2-4ac<0 (或a>0且b2-4ac≥0) , 从而增强处理逆问题的能力.

(3) 已知函数f (x) =log2 (x2-ax+a) 的定义域为R, 且在 (-∞, 1) 上递减, 求实数a的取值范围. (答:[2, 4])

(4) 已知函数f (x) =log2 (x2-ax+a) 的值域为R, 且在 (-∞, -1) 上递减, 求a的取值范围. (答:undefined

以上两题对逆向思维能力的训练大有裨益.在深刻理解二次函数、对数函数及其有关复合函数性质的基础上, 通过自身的努力可完成求解工作.

五、揭示规律, 增强逆向思维

逆向思维能力也体现于处理逆问题的能力之中.函数中的逆问题, 有时若按常规方法不胜其烦, 如果能在对通法的深思中把握规律, 则可简化解题过程, 并有助于增强逆向思维.

例8 已知函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间undefined上的最大值为3, 求实数a的值.

分析 这一逆最值问题的常规解法是分类讨论, 这样做既要通过a的符号讨论抛物线的开口方向, 又要讨论对称轴与区间的关系, 并当开口向上且对称轴从区间穿过时, 还要看对称轴与区间端点的远近, 方可确定此时的最大值, 故需讨论七种情况, 求解时令人心烦意乱.但细心观察便不难发现:二次函数在闭区间上的最值必在区间端点或顶点取得.若依据这一规律, 采用“赋值验证法”, 分三种情况便可产生简解, 从而提高解决逆问题的能力.

六、数形转换, 提升逆向思维

许多逆问题的处理, 若能巧妙地利用数形结合思想, 由数构形、由形想数, 则可使逆问题求解更简捷、清晰, 并能在数形转换中提升逆向思维能力.

例9 若方程undefined有两相异实根, 求实数p的取值范围.

分析 如从代数方程的角度上加以考虑, 转化为方程在定义域[p, +∞) 上有两相异实根, 借助二次函数求解尚可, 但要对二次函数根的分布较熟.如能利用基本函数图像, 画图分析, 动静结合, 活跃思维, 形象直观.

解 构造函数undefined和y=x, 并在同一坐标系内分别作出它们的图像 (如图所示) .现在让函数undefined的图像由左向右加以平移, 观察、分析易知:

当其图像过 (0, 0) 时, p取得临界最小值, 且为0;

当其图像与直线y=x相切时, p取得临界最大值.

将y=x代入undefined, 得x2-x+p=0.

令 (-1) 2-4p=0, 解得undefined, 从而p的临界最大值为undefined

故所求实数p的取值范围是undefined

综上所述, 培养学生的逆向思维能力, 不仅对提高解题能力有益, 更重要的是改善学生学习数学的思维方式, 有助于形成良好的思维习惯, 激发学生的创新开拓精神, 培养良好的思维品性, 提高学习效果、学习兴趣, 提高思维能力和整体素质.当然, 在中学数学教学中, 要培养学生逆向思维能力, 必须具备丰富而扎实的“双基”知识, 量力而行, 适可而止, 切不可急于求成.只要教师在教学中, 能根据学生的实际水平、教材内容和深广度要求以及学习过程的阶段性来选取典型的基础问题作为逆向对象, 就一定能培养学生的逆向思维能力, 培养跨世纪的创造型人才.

摘要：逆向思维是数学思维的一个重要组成部分, 是进行思维训练的载体.加强从正向思维转为逆向思维的培养, 能有效地提高学生思维能力和创新意识.本文以概念、公式逆用、定理等教学及习题中的逆向变式训练等方面阐述了如何加强学生数学逆向思维能力的培养.

关键词：逆向思维,转换,训练,拓展,数学能力

参考文献

[1]徐桂英.例说数学解题中的逆向思维[J].福建中学数学, 2004 (01) .

注重学生数学逆向思维能力的训练 篇3

一、运用典型事例,激发逆向思维兴趣

在人类历史发展的长河中,不乏运用逆向思维取得成功的事例。如我国北宋的司马光,在孩童时就曾用砸缸的方法救出溺水的幼儿,一直为后人传颂;又如古希腊数学家曾用反证法证明了无理数学0的存在,为数学的发展做出了不朽的贡献。在数学教学中只要能够把握有利时机,有计划、有针对性地介绍给学生,即可激发逆向思维的兴趣。

二、逆用概念、定义,培养逆向思维习惯

概念是反映客观事物本质属性的思维形式。定义则是用确定的语言或等号把概念的本质属性表达出来,它是揭示概念内涵的逻辑方式。一般说来,定义中的条件对被定义概念来说都是充分必要条件,所以我们要强调定义的逆用。

概念、定义在数学教学中占有很重要的位置,我们在研究运用它时考虑它的逆向情形,不仅可解决问题,而且还可逐步使学生养成逆向思维的习惯。

在培训学生逆向思维习惯的过程中,一定要特别注意让学生遇到问题“反过来想一想”,但也要避免形式主义的倾向。例如有的学生将语句中的字词颠倒当成逆向思维,把“我吃饭”说成“饭吃我”的笑话。

三、掌握“分析法”,奠定逆向思维基础

所谓“分析法”,是指由题目的结论出发,寻求使结合成立的依据,再观察这些“依据”成立所需的必要条件,继续反求,直至追溯到命题的题设条件为止。其实质是“由果求因”,这是一种非常典型的逆向思维过程,也是数学解题中一种常用的方法。这种方法在日常生活中也常常用到。

如10m=2,10m=3求103m-2n的值,分析从条件无法下手,但我可以从1103m,102n入手,分析即从题目的结论出发,寻求条件与结论的契合点。掌握“分析法”,不能急于求成,要从简单问题做起,由浅入深循序渐进。

四、逆用公式、解题原则和学科方法,培养逆向思维的能力

由人们的认识规律不难发现,正向思维可以习惯地并牢牢地在学生头脑中扎根,而逆向思维不经过系统训练是很难形成的。因此,为了提高学生的逆向思维能力应当引导学生注意逆用法则、解题原则和学科方法。

运用数学解题策略的基本原则。如简单化原则,和谐化简原则等去解题,可以使我们把握解题方向,较好地打开解题思路,但是这很容易使学生形成思维定势,所以我们应适时、适当地引导学生考虑它们的反面,如化简为繁、化同为异等等。这样将会收到意想不到的效果。

在中学数学中,代数、几何之间具有密切的内在联系,在解题过程中学生习惯于用代数方法解几何题、三角题,或用三角方法解几何题,反之就不行了。因此,应及时提醒学生注意将这些学科方法逆用,并将各学科加以沟通,这样,不仅在解题时可以另辟蹊径,而且又培养了学生逆向思维的兴趣和能力。

逆向思维训练 篇4

文章最后写道：凡卡把一封没贴邮票，没有写清地址的信寄出去后，满怀希望做了一个甜美的梦梦见爷爷坐在炕上念他的信。这种结尾暗示凡卡的爷爷将收不到他的信，所以他的愿望只不过是个美丽的梦，是不可能实现的。

如果凡卡的爷爷收到了他的信，他的悲惨命运是否就可以改变了呢？为了深化主题，使学生更深刻了解文章的内容，我逆着文章思路，给同学们留了个想象性作业 ：凡卡的爷爷收到信以后

学生根据文章内容，展开丰富的想象。有的说：凡卡的爷爷收到信之后，非常伤心，恨不得立刻把凡卡带回来。可是，自己一日三餐都吃不饱，又怎能抚养凡卡呢？再说，城里那么远，自己连张车票都买不起。面对残酷的现实，他没有去带凡卡。凡卡在日夜翘盼之中被吝啬狠毒的老板夫妇折磨而死。还有的同学写道：凡卡的爷爷看了信之后伤心欲绝，总以为去城里当学徒可以改变一个命运，没想到凡卡更加孤单可怜。他不顾一切来到城里把心爱的小孙孙带了回来。可哪来生活来源呢？最后，爷孙俩都活活地饿死

逆向思维作文 篇5

中国人的谦逊和内敛造就一个千古不变的真理“不要班门弄斧，自取其辱”，正是因为这不知多少有志青年变得碌碌无为。如果他们敢于挑战权威的话。他们也能成功。所以我更要说“班门弄斧未尝不可”。

五千年的文化积沉淀造就了国人的谦逊，使国人成为了公认的儒雅君子，但也同时使国人失去了那种创造力和韧劲，使国人畏怯权威。创造力――一个国家民族发展的动力，失去了创造力，我们国家如何发展!而创造力的源泉是什么?是那种拼劲，是那种敢于挑战权威的冲劲。更是班门弄斧的精神，所以我更要说“班门弄斧未尝不可”。

在历史的长河之中，多少成功人士不就是凭借于班门弄斧的精神而走向成功的吗，他们的名字和事迹是如此熟悉：

毛遂，一个名不经传的门客，就是凭借那敢于班门弄斧的精神，才成就了“毛遂自荐”这个千古流传的故事。

小泽征尔，一位普通的音乐指挥家，也就是凭借着那种敢于班门弄斧的精神，勇于指出乐谱中的错误，在音乐界才脱颖而出。最终成为了世界著名的交响乐指挥家。

爱因斯坦一位普通的物理学家，因对牛顿的理论提出质疑，也是出于那种敢于班门弄斧 的精神，最终提出狭义相对论，使自己走向了不平凡。

同样又有多少人因畏惧权威而迷失自我，走向默默无闻，他们的名字也是历历在目： 舍勒，18世纪瑞典著名的化学家，在1774年发现了氯气，但他因受当时“权威学说”-----一切氯中含有氧的束缚，从而错过了发现氯真面目的机会。

沃泰默，法国著名学者，但也受当时学说的影响，最终于揭示激素存在失之交臂。人非圣贤，孰能无过。人人都有出错的时候，我们为何不能班门弄斧!

初中数学教学逆向思维训练的思考 篇6

一、逆用定义、渗透逆向思维的思想

作为定义的命题, 其逆命题一般总是成立的.若能恰当地在教学中注意引导学生研究它们的逆命题及其应用, 帮助学生建立双向联结, 这对培养学生产生积极的迁移和培养逆向思维是有好处的.因此在教学定义时要不断强化, 以渗透逆向思维的思想.尤其在初一年级就要注意这方面的训练.例如, 在“相反数”概念教学中, 书上通过具体的实例引入, 象+6与-6这两个只有符号不同的数, 一正一负, 就说+6与-6“互为相反数”.还可设计如下提问:-是什么数的相反数?什么数的相反数是1.5?什么数的相反数的相反数是+8, 等等.并在相反数的概念教完后让学生考虑:a+b=0中的a与b之间的关系.同样在绝对值的教学中, 除了通过实例训练学生掌握绝对值定义外, 还要反过来让学生回答绝对值为5的数是什么数等问题.

二、逆用公式、训练逆向思维的习惯

数学公式总是双向的, 可是不少学生只会从左到右运用公式, 对逆用公式, 特别是利用公式变形不习惯, 其实只有会灵活运用公式, 善于把公式从右到左熟练地逆向运用, 才是对公式的真正理解, 进而形成解题技巧, 提高解题能力.

例已知:x2+x+1=0, 求的值.

由于方程x2+x+1=0无实数解, 故先求x再代入行不通, 细致观察发现, 若能求出x3的值, 问题就可解决了, 因为 (x-1) (x2+x+1) =x3-1, 故逆用公式有x3=1, 则.

在不少数学习题的解答中, 都需要将公式变形, 逆向使用, 而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功.因此, 我们在教学中应有意识加强这方面的训练, 以培养学生逆向思维.

三、逆用定理和法则、激发逆向思维的兴趣

在学习数学定理后, 引导学生探索其逆命题, 再去判断或论证逆命题的正确性, 进而启发他们用这些逆定理去解决一些问题, 这也是训练学生逆向思维的有效方法.

例如, 一元二次方程根的判别式定理的教学中, 在学生充分理解掌握的基础上, 可以组织学生讨论得到:若以ax2+bx+c=0 (a≠0) 为大前提, 余之为题设和结论可得逆命题:对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 若有两个不相等实根, 则Δ>0;若有两个相等实根, 则Δ=0;若没有实根, 则Δ<0.若以ax2+bx+c=0 (a≠0) 为题设, 反之可得相应逆命题.此结论在解题中大有作用.

另外代数的法则逆用也能有效培养学生的逆向思维.例如, “若干个因式中只要有一个等于零, 那么它们的积为零.”有其反面“若干因式的积为零, 则这些因式中至少要有一个等于零”成立.利用此结论可轻松解决下例.

例已知x, y, z是不等于零的实数, 且 (x+y) (y+z) (z+x) =0.

按习惯方法可能先将结论化为 (x+y+z) (xy+yz+zx) =xyz, 然后把已知条件变形为上式, 再想法完成解答.但运用可逆法则, 由条件知x+y、y+z、z+x中至少有一个为零, 不妨设x+y=0, 即x=-y, 代入后可证出结论.

四、重视反常规运算、提高逆向思维的自觉性

以退求进, 事半功倍.在数式的化简求值等问题中, 通过合并同类项、分式通分相加减、分式约分、分母有理化等正常的运算手段, 一般都能使问题推向前进, 得以解决.但有些问题却需要我们逆着这些常规运算手段进行, 即运用单项式分项, 分式裂项, 和分子有理等方法才能使问题别开生面地得到解决, 教学中注意这方面的训练, 也是培养逆向思维的重要方面.

先分别计算两边或去分母, 照此运算太繁, 且易错, 在教学中可引导学生以退求进, 逆着分式通分相加而行, 即将各分式裂项得:

解得x=7.

五、正难则反、促成逆向思维形成

有些问题按照一般思维方式寻求解题途径比较困难, 甚至无从下手, 在这种情况下若引导学生逆向思维, 将已知和未知转换, 则容易解决.

例对方程 (1+a) x4+x3- (3a+2) x2-4a=0, 试求x值, 使对任意实数a都有实数解.

此题是一个关于实数x的四次方程求解讨论题, 很难下手, 若注意到方程中系数a的次数仅为一次的特点, 逆向思维, 把x看成常数, 将原方程化为a的方程. (x4-3x2-4) a=2x2-x3-x4, 此时对a的一元一次方程根情况讨论.可知必须有x4-3x2-4=0且2x2-x3-x4=0, 从而求出x=-2.

综上所述, 在数学教学中注重对学生进行逆向思维训练, 能够保证思维的流畅和变通, 促使他们由单向思维向双向思维发展, 这对培养学生的灵活性和创造性十分有效.

摘要：逆向思维是思维的创造性和独创能力的基础.因此, 在教学中我们要注意培养学生的逆向思维.

逆向思维训练 篇7

关键词：反思思维策略；反思思维过程；反面入手

数学问题的解决，有许多是可以从条件出发，进行正面的、顺向的思考而获得结论，这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，这是我们首先应该承认的.然而，任何事物都有正反两个方面，也有许多问题从正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜.另一方面，数学问题的解决经常是通过提问引导，给学生思维空间，教师在数学教学中应注意培养学生反思思维习惯，提高学生参与意识，促使学生积极地参与反思学习的实践。下面就几个方面谈谈我对逆向与反思维训练的体会。

一、命题中体现为逆否命题

逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.

例1.（ab-2）2+（b-2）2≠0的充要条件是 。分析：从正面入手ab-2与b-2中至少有一个不等于0，即或ab-2≠0或b-2≠0，ab≠2或b≠2，得a≠1或b≠2，这对很多同学而言都有一定的理解障碍，但如果从反面来看，（ab-2）2+（b-2）2=0的充要条件是：ab=2且b=2能得到a=1且b=2.那么利用逆否命题即能得到（ab-2）2+（b-2）2≠0的充要条件是a≠1或b≠2.从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.

二、反思思维过程，确定解题关键，寻找解题的最佳方案

在学生把问题解答之后，要求他们回顾解题过程，概括解题的关键.通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然、有条理，这样才能发现思维过程中的不足，完善思维过程，培养思维的严谨性、创造性和灵活性.高中数学第二册（上）第22页例4：已知|a|＜1，|b|＜1.求证：■＜1教学中，证完该题后，要求学生对其进行变式研究（留给学生足够的时间），然后请同学展示研究成果.小组1：若|a|＜1，|b|＜1，则■＜1 小组2：若|a|＜1，|b|＜1，则■＜1 略加启发：题中的字母可具有丰富的内涵.小组3：若α、β≠kπ+■，k∈Z，则■＜1 小组4：若x、y同号，则2x+2y＜1+2x+y学生通过改变原题的条件和结论，对原题外在形式表达进行了改变，这使得对问题的本质认识得更透彻.

三、反思思维策略，引导总结回顾，掌握数学基本思想方法

学生在解题是往往满足于做出题目，而对自己的思维策略却从来不加以评价.作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄，方法不当，逻辑混乱，叙述冗长等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性，因此，教师必须引导学生评价自己的思维策略.通过对知识的总结回顾，开阔学生的视野.

例2．已知a、b为正数，且ab=a+b+3，求ab的取值范围.

法一：ab=a+b+3≥2■+3 ■≥3 ∴ab≥9

法二：设ab=k 则a+b=k-3 a、b是x2-（k-3）x+k=0兩根 Δ=（k-3）2-4k≥0 k≥9或k≤1

∵a+b＞0 ∴ab=a+b+3＞3 ∴ab≥9

法三：a=■ ∵a＞0

∴b-1＞0 ab=■=（b-1）+■+5≥9

法四：（a-1）（b-1）=4 ab=a+b+3（a-1）+（b-1）+5≥9

四、反思思维定势，巧设陷阱，加深对数学概念、定理、公式的质的理解

学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程，即以自我反思为前提条件.因此在平时的教学中，教师要善于创设陷阱，让学生尝试错误，引导其反思，自我发现思维中存在的矛盾.

例3.已知函数f（x）=（a2-1）x2-2bx+1-b2，当a、b为何值时，f（x）≥0 对x∈R恒成立？

解：当且仅当a2-1＞0且时，Δ=4b2-4（a2-1）（1-b2）≤0，对x∈R，f（x）≥0恒成立.

反思：解题开始就先入为主，认为f（x）是二次函数.忽略了对a2-1=0时f（x）为一次函数的情况.

五、排列组合、概率中体现

对于某些排列的正面情况较复杂，而其反面情况较简单时，可先考虑无限制条件下的排列，再减去其反面情况的总数.在概率计算中则可以通过1减去其对立事件的概率.

例4.四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（?摇?摇）种.

（A）150?摇?摇（B）147?摇?摇（C）144?摇?摇（D）141

分析与解：该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；若有考生能想到“通过求得问题的对立面”（即4个点共面的情况）这种间接方法求解的话，则问题变得较为明朗、易解，具体解法如下：从10个点中取出4个点的取法有?摇C410种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有4C46?摇种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFGH）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种（如△BCG）；所以符合条件的取法数为：?摇C410-4C46?摇-3-6=141种.故选D.