高中数学递推数列

高中数学递推数列（精选13篇）

高中数学递推数列 篇1

在递推数列教学时，创设有趣的游戏情境，学生喜欢做游戏，简短有趣的游戏也能激发学生的学习兴趣。

案例：

汉诺塔问题

起源传说：相传在盘古开天辟地创造世界之初，便在印度贝纳雷斯的一座寺庙的一块红木板上插了三根钻石棒，并在其中的一根棒上安放了６４枚纯金圆盘。有一个婆罗门门徒不休不眠地赶到庙里来，然后又费尽了千心万苦把这６４个金灿灿的圆盘移到另一根钻石棒上。等到七七四十九天后，婆罗门门徒终于完成了这项工作，刚要松口气，但只听“轰咙”一声巨响，寺庙、门徒以及世界全都崩溃了！（说得够玄的吧！其实，解开此游戏后，你有的是成功的喜悦和无限的得意）

规则： ①一次只能移一个盘子； ②盘子只能在三个柱子上存放； ③任何时候大盘不能放在小盘上面。递推关系探求 学生自主探求 交流总结

设三根宝石柱分别为：A、B、C，设aE为将A上的铁片按上述规定全部移到C上所需要移动的最少次数，则a1=1，a2=3，a3=7。

当n=3，即A上有3个铁片时，为了能将A上的最下面一个大铁片能移到C上，应先将A上的前2个铁片移到B上。根据n=2时的结论，这样要先移3次，第4次就可将A上的最下面的大铁片移到C上，然后再将B上的2个铁片移到C上，借助A，利用n=2时的结论，又需移动3次，这样一共移了7次，即a3=7。

高中数学递推数列 篇2

一、an + 1= pan+ q ( p≠1 且 q≠0, p, q 为常数) 型

解题策略对于这种类型, 可采用构造法, 对an + 1=pan+ q进行待定系数构造法, 设an + 1+ k = p (an+ k) , 拆开整理得an + 1= pan+ pk - k, 可以知道pk - k = q得到an + 1+p -q 1= p (an+p-q 1) ( 以上这种方法就是待定系数构造法, 以下将不再详细说明这种方法) , 则 {an + 1+p-q 1}是一个等比数列, 公比为p, , 则

例1已知数列{ an} 中, a1= 1, an + 1= 3an+ 2, 求an.

解析an + 1= 3an+ 2变形为an + 1+ 1 = 3 ( an+ 1) , 则 {an+ 1}是公比为3的等比数列,

点评an + 1= pan+ q ( p≠1且q≠0, p, q为常数) 型的解题方法比较简单, 只要掌握这种方法都可以解出an + 1= pan+ q ( p≠1且q≠0, p, q为常数) 型.

二、an + 1= pan+ qn ( p, q 不为 1 和 0 的常数) 型

例2 ( 2008四川理20) 设数列{ an} 的前n项和为Sn, 已知ban- 2n= ( b - 1) Sn. 证明: 当b = 2时, { an- n·2n - 1}是等比数列.

解析由题意, 在ban- 2n= ( b - 1) Sn中, 令n = 1, 得ba1- 2 = ( b - 1) a1, a1= 2.

由 ban- 2n= ( b - 1) Sn,

得ban - 1- 2n - 1= ( b - 1) Sn - 1 ( n≥2, n∈N*) .

两式相减, 得b ( an- an - 1) - 2n - 1= ( b - 1) an.

即 an= ban - 1+ 2n - 1 ( n≥2, n∈N*) .1

当 b = 2 时, 由1知, an= 2an - 1+ 2n - 1.

两边同时除以2n, 得

点评an + 1= pan+ qn ( p≠1且q≠0, p, q为常数) 型的解题方法难度也不大, 只要掌握这种方法都可以迎刃而解.但是特别地要注意当p = q时不能马上采用待定系数构造法去构造数列, 应该先除以qn, 否则易错.

三、an + 1= an+ f ( n) 型

解题策略这种题型需要采用叠加法, 变形为an + 1an= f ( n) , 叠加得到an + 1- a1= f ( 1) + f ( 2) + f ( 3) + … + f ( n) .

例3已知数列{ an} 中, a1= 1, an= an-1 +1/n ( n + 1) ( n∈N, n≥2) , 求an.

叠加得到an- a1=1n ( n + 1) +1n ( n - 1) +1 ( n - 1) ( n - 2) + … +12 × 3=1n1n ( ) + 1+1n1n ( ) + 1+ … +121 ( ) 3=121n + 1.∴ an=321n + 1.

四、an + 1= f ( n) an型

例4已知数列{ an} 满足: a1= 1, 2n - 1an}= an - 1 ( n∈N, n≥2) . 求{ an}} 的通项公式.

点评以上例题可以直接用等比数列的公式做, 上面的做法其实是把简单复杂化, 高考中出现an + 1= f ( n) an型的概率很少, 经常出现的形式为an+1=n + 1/nan或an + 1=n - 1/n + 1an等形式.

点评这类题型有可能出现在高考中的选择、填空, 也可能是大题, 只要掌握了方法, 就很容易解出来.

点评这种题型在高考大题出现的概率比较大, 很多高考数列题都考查了这种题型, 所以掌握这种题型的解题方法很重要.

参考文献

[1]张启水.浅谈新课程背景下高考数列复习[J].考试 (高考数学版) , 2011 (Z2) .

[2]广隶.数列综合问题[J].中学数学教学参考, 2007 (Z1) .

[3]郑一平.近年高考数列考查热点转型分析及复习建议[J].中学数学杂志, 2011 (3) .

[4]王小彦.常见递推数列通项公式的求解策略[J].中学教学参考, 2010 (2) .

递推数列初探 篇3

1.累加法

例1已知数列{an},a1=1，n∈N*，an=an-1+1n2-n（n≥2，n∈N*），求通项公式an．

解：∵ an-an-1=1n2-n=1n(n-1)=1n-1-1n（n≥2）．

∴ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n．

评注：形如an=an-1+f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求和，则可通过恒等式an=a1+(a2-a1)+(a2-a2)+…+(an-an-1)累加求通项．

2. 累乘法

例2已知数列{an}，a1=1，an＞0，(n+1)a2n-na2n-1+anan-1=0（n≥2，n∈N*），求数列an通项公式．解：∵ na2n-(n-1)a2n-1+anan-1=0，∴ ［nan-(n-1)an-1］(an+an-1)=0．

∵ an＞0，∴ an+an-1＞0，∴ nan-(n-1)an-1=0，∴ anan-1=n-1n．

∴ an=a1•a2a1•a3a2…anan-1=1•12•23…n-1n=1n．

评注：形如anan-1=f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求积，则可通过恒等式an=a1•a2a1•a3a2…anan-1累乘求通项．

3.构造法

① 待定系数法

例3已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），求数列{an}通项公式．

解：∵ an=3an-1+2，令an+x=3(an+x)，

∴ x=1，∴ an+1=3(an+1)，∴ {an+1}为等比数列，首项为a1+1=2，公比q=3，∴ an+1=2•3n-1，∴ an=2•3n-1-1．

评注：形如an=qan-1+d（q，d为常数，q≠0，q≠1），可通过待定系数法凑配成an+dq-1=qan+dq-1，构造等比数列an+dq-1求通项，特别的，当q=1时{an}为等差数列．

② 取倒数法

例4已知f(x)=2x2x+1，数列an=f(an-1)(n≥2，n∈N*)，且a1=f(1)，求数列{an}的通项公式．

解：∵ an=f(an-1)，∴ an=2an-12an-1+1，∴ 1an=2an-1+12an-1，∴ 1an=12an-1+1，令1an+x=121an-1+x，∴ x=-2，∴ 1an-2是等比数列，首项为1a1-2=1f(2)-2=-12，公比q=12，∴ 1an-2=1a1-2•qn-1=-12•12n-1，∴ 1an=-2-n+2，∴ an=2n2n+1-1．

评注：形如an=can-1an-1+d（c,d为常数，c≠d,c≠0,d≠0）的递推数列，可通过取倒数1an=dc•1an-1+1c，再通过待定系数法构造等比数列求通项，特别的，当c=d时数列1an为等差数列．

③ 取对数法

例5已知数列{an}，a1=10，an=10a2n-1，(n≥2，n∈N*)，an＞0求数列{an}的通项公式．

解：∵ an=10a2n-1，∴ lgan=2lgan-1+1，令(lgan+x)=2(lgan-1+x)，∴ x=1，∴ {lgan+1}为等比数列，首项为lga1+1=2，公比q=2，∴ lgan+1=2n，∴ an=102n-1．

评注：形如an=can-1p（c，p为常数，an＞0，c＞0,p＞0，p≠1），两边取对数lgan=plgan-1+lgc，再通过待定系数法构造等比数列求通项，当p=1时，数列{lgan}为等差数列．

④ 换元法

例6已知数列{an}，a1=1，an=2an-1+3n（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式．

解：∵ an=2an-1+3n，∴ an3n=2an-13n+1，

∴ an3n=23•an-13n-1+1，令bn=an3n，bn+x=23（bn-1+x），

∴ x=-3，∴ {bn-3}为等比数列，首项为b1-3=-83，公比q=23，∴ bn-3=an3n-3=-83•23n-1=-2n+23n，∴ an=3n+1-2n+2．

评注：形如an=qan-1+dn（q，d为常数，q≠0，d≠0，q≠1，d≠1，d≠q）的递推数列，可变换成andn=qd•an-1dn-1+1，令bn=andn，转化为bn=qdbn-1+1，通过待定系数法求通项．特别的，q=d时，bn为等差数列．

4.数学归纳法

例7已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*），求数列{an}的通项公式．

解：∵ a1=1，4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*)，∴ a2=73，a3=135，a4=197．

猜想： an=1+6(n-1)2n-1．

下证：当n=1时，猜想成立．当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=1+6(k-1)2k-1则当n=k+1时，有ak+1=2-1ak-4=2-16k-52k-1-4=6k+12k+1=1+6［(k+1)-1］2(k+1)-1．

∴ 当n=k+1时也成立．综上可知an=1+6（n-1）2n-1成立．

评注：数学归纳法求通项公式遵循“归纳，猜想，证明”，三步曲．

从数列的递推关系式求出数列通项的过程中，有时需要构造一个全新的数列，有时需要从特殊归纳到一般结论，这实际上是一次思维的整理，和创新的过程．

高中数学递推数列 篇4

知识归纳

1.等差数列这单元学习了哪些内容？

定等差数列通义项前n项和主要性质

2.等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n≥2，an －an－1＝d(常数)3.等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? n(a1an)n(n1)d na122SnSn＝An2＋Bn(A∈R)注意: d＝2A!6.你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；

④ 每n项和Sn , S2n－Sn ，S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.知识运用 1.下列说法:(1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列(2)若{an} 为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列(3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 则{an}为等差数列.其中正确的有（(2)(3))2.等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2，2a＋3, 则an＝ 3n－2.3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27.4.等差数列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0.5.等差数列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10，a3＋a15＝ 20.6.等差数列{an}, S15＝90, a8＝.7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为

（A)

A.a11

B.a10

C.a9

D.a8 8.等差数列{an}，Sn＝3n－2n2, 则(B)A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差数列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.2.等差数列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一个最大？

高中数学递推数列 篇5

教学目标：

1.了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；

2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．

教学重点：

1．理解数列的概念；

2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：

1．理解数列是一种特殊的函数；

2．会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式.教学方法：

采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题．

教学过程：

一、问题情境 1．情境：

剧场座位： 20，22，24，26，28，．．．（1）彗星出现的年份： 1740，1823，1906，1989，2072，．．．（2）细胞分裂的个数： 1，2，4，8，16，．．．（3）“一尺之棰” 每日剩下的部分： 1，1111，，．．．（4）24816各年树木的枝干数： 1，1，2，3，5，8，．．．（5）我国参加6次奥运会获金牌数： 15，5，16，16，28，32．（6）2．问题：

这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？

二、学生活动

思考问题，并理解顺序变化对这列数字的影响．

三、建构数学

1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，．．．，an，．．．，简记为an． 2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．，a2称为第2项，．．．，an称为第n项． a1称为数列an的第1项（或称为首项）说明：数列的概念和记号an与集合概念和记号的区别：（1）数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；（2）数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复． 3．有穷数列与无穷数列．

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．数列是特殊的函数．

在数列an中，对于每一个正整数n（或n｛1，2，…,k｝），都有一个数an与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集｛1，2，…,k｝）为定义域的函数

*anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)（i1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列

f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…．（强调有序性）

说明：数列的图象是一些离散的点． 5．通项公式．

一般地，如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

四、数学运用 例2．已知数列an的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：

n(1)n（1）an；（2）an．

n12n

例3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）1，1，1；

五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．数列的概念；

2．求数列的通项公式的要领．

4）0，2，0，2． 3

数列递推公式求通项小结 篇6

一、型如 an +1= λan+ c( λ ≠ 1,c ≠ 0)

例1已知数列{an} 有a1= 1,an +1= 2an+ 1,求通项an.

点评: 型如an +1= λan+ c( λ≠1,c≠0) ,设它可变形为an +1+ x = λ( an+ x) ,与已知条件比较,待定系数知x,再换元bn= an+ x,知{ bn} 是等比数列且公比q = λ.

二、型如 an +1= λan+ ( An + B) ( 其中 λ ≠ 1)

例2已知数列{an} 有a1= 1,an +1= 3an+ n,求通项an.

点评: 型如an +1= λan+ ( An + B) ( 其中λ≠1) ,设它可变形为an +1+ x( n + 1) + y = λ[an+ xn + y],与已知条件比较,待定系数知x,y,这时可换元bn= an+ xn + y,则原式化为bn +1= λbn,可知{ bn} 是等比数列且公比q = λ; 若λ = 1,直接叠加法可得an.

三、型如 an +1= λan+ Aqn -1( 其中 λ ≠ 1,q ≠ λ )

例3已知数列{an} 有a1= 1,an +1= 3an+ 2n,求通项an.

解: 设an +1= 3an+ 2n可变形为

即an +1= 3an+ x·2n -1,与已知条件比较,得x = 2,这时( * ) 为

点评: 型如an +1= λan+ Aqn -1( 其中λ≠1,q≠λ) ,设它可转化为an +1+ x·qn= λ[an+ x·qn -1],与已知条件比较,待定系数知x,这时可换元bn= an+ x·qn -1,则原式化为bn +1= λbn,所以{ bn} 是等比数列且公比为λ; 若λ = 1,直接叠加法可得an; 若λ = q两端除qn +1后叠加法可求.

四、型如 an +1= r( an)λ( r > 0)

例4已知数列{an} 有求通项an.

点评: 型如,两边取对数可得,这类似于第一种情况,按前面的方法处理即可.

五、型如 an +1=(Aan)/(Ban+ A)

例5已知数列{an} 有,,求通项an.

点评: 型如,取倒数得则可换元,知,即{ bn} 是等差数列且公差为B/A,进一步由 { bn} 的通项知{ an} 通项.

六、型如 an +1=(n + 1)/(n)an+ ( n + 1) cn,其中{ cn} 是等差( 或等比) 数列

例6已知数列{an} 有a1= 1,求通项an.

七、型如 an +1= f ( n) ·an+ [1 - f ( n) ]

例7已知数列{an} 有求通项an.

点评: 型如an +1= f ( n) ·an+ [1 - f ( n) ],可变形为an +1- k = f ( n) ·( an- k) ,换元bn= an- k,得bn +1= f ( n) ·bn,取n = 1,2,3,…,( n - 1) ,叠乘法得bn,进一步知an.

用递推数列解决两类问题 篇7

问题1 甲、乙、丙三人练习传球,当球从某人手中传到另一人手中时,称为一次传球,但不能自己传给自己. 从甲开始,传球5次后,球仍回到甲手中,共有多少种不同传球方法?

分析 由于所涉及传球次数较小,故利用枚举法最适合;但是不利于发现一般的结论,因此本文对第二次接球的人是否为甲进行分类讨论,从而找到相邻两次传球之间的递推关系.

解 形如甲×甲××甲型传球有2×2=4种；形如甲×乙××甲型传球有1+2=3种；形如甲×丙××甲型传球有1+2=3种；故共有10种不同传球方法.

评注 上述解法利用甲×甲和甲×#(#:表示这次接球的人不是甲)把5次传球降为3次传球问题.利用同样的思路我们可以得到如下传球n次的一般计数方法.

【传球问题】 包含甲、乙在内的m(m≥3)个人练习传球,设传n球次,当球从某人手中传到另一人手中时,称为一次传球,但不能自己传给自己.

Ⅰ.球首先从甲手中传出,经过n次传球后,仍回到甲手中,共有多少种不同方法?

Ⅱ.球首先从乙手中传出,经过n次传球后,传到甲手中,共有多少种不同方法?

分析 由于经过n次传球后要求回到甲手中与经过n-2次传球后的情形有比较密切的关系,故我们可以先寻找它们之间的递推关系.

解 a璶表示球首先从甲手中传出, 经过n次传球后,仍回到甲手中的方法种数；

b璶表示球首先从乙手中传出, 经过n次传球后,传到甲手中的方法种数；

由上述记法,易知球从除甲之外的任何一人手中传出,经过n次传球后,传到甲手中的方法种数均为b璶.

一方面,对每个传球的人来说,每次传球的方法有(m-1)种,所以经过n次传球后,传到甲手中的方法种数为(m-1)n.而经过n次传球后,传到甲手中有以下两类情形：一类是球从甲手中传出,共有a璶种方法;另一类是球从非甲手中传出,共有C1璵-1·b璶种,故有等式(m-1)n=a璶+(m-1)·b璶①

另一方面a璶种方法,又可以分为以下两种情形:

第一种甲经过2次传球后,回到甲手中,形如 甲×甲……则共有C1璵-1·a璶-2；

第二种甲经过2次传球后,未回到甲手中,形如 甲××……则共有A2璵-1·b璶-2；

故又有等式a璶=(m-1)a璶-2+(m-1)(m-2)b璶-2…………②联立①②可得

a璶=a璶-2+(m-2)(m-1)n-2，即a璶-a璶-2=(m-2)(m-1)n-2且a1=0,a2=m-1，由累加法易得:

当n为偶数时a璶-a2=(m-1)n-(m-1)2m

当n为奇数时a璶-a1=(m-1)n-(m-1)m,故有a璶=(m-1)n+(-1)n(m-1)m代入①式得b璶=(m-1)n-(-1)nm.

问题2 某人给4位朋友写信,写好4封信与4枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

分析 A、B、C、D表示写给4位朋友的信封;与之对应的4封信分别用小写的a、b、c、d表示.由枚举法容易得到所有的信装错了信封共有9种情形.

解 不妨设a装进B信封,此时装信工作分为以下两类:

一是b装进A信封,有1种情形;二是b不装进A信封,有2种情形.故a装进B信封共有3种情形,同理可知c或d装进B信封也各有3种情形,因此4封信都装错了信封的概率为: P4=94!=924=38

评注 利用上述解法的思路可以得到如下更为一般情形的概率算法.

【错装信封问题】 某人给n位朋友写信，写好了n枚信封与n封信后，交给粗心的秘书，求所有的信装错了信封的概率是多少？

分析 由题意易知,错装n封信的前提一定要保证前面的n-1封信必须装错,故错装n封信的情形与错装n-1、n-2封信的情形有较密切的关系,所以应先寻找他们之间的关系式.

解 A、B、C、D……表示写给n位朋友的信封;与之对应的n封信分别用小写的a、b、c、d……表示.a璶表示n封信中没有一封配对的装法种数；则P璶=a璶n!表示“所有的信都装错了信封的概率”.

不妨设a装进B信封,可以分为以下两类:

巩固练习：

1．甲、乙、丙三人练习传球，从甲开始，问传球6次后仍传给甲的方法数是多少?

2．甲、乙、丙三人练习传球，从乙开始，问传球6次后传给甲的方法数是多少?

3．甲、乙、丙、丁四人练习传球，从甲开始，问传球5次后仍传给甲的方法数是多少?

4．甲、乙、丙、丁四人练习传球，从乙开始，问传球5次后传给甲的方法数是多少?

5．某人给5位朋友写信,写好5封信与5枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

6．某人给6位朋友写信,写好6封信与6枚信封后,交给秘书,求粗心的秘书把所有的信装错了信封的概率是多少?

参考答案:

有关排列、组合这一章内容在高考所占比重不大,但试题一般都以实际应用题形式出现,主要考查学生运用数学知识解决实际问题的能力,还能较好区分出学生的思维品质；而且试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提倡素质教育”的今天,本章考题是最好的体现.通过对一些趣味性较强且具有一定规律性的问题进行归纳总结,一是有利于激发学生研究问题的兴趣；二是提倡学生自主学习,对于一些问题能做到事半功倍之效.

参考文献

[1] 贾凤山.《走向高考》, 人民日报出版社,2007,4.

[2] 颜培强. 利用递推思想解决计数问题[J]. 中学数学杂志,2004,3.

[3] 邹明.一类染色问题的计数公式[J]. 中等数学 ,2005,1.

作者简介 刘华湘,男,1979年3月生于福建省龙岩市.2002年毕业于福建省厦门市集美大学师范学院数学系,毕业后至今一直任教于福建省晋江市养正中学.

高中数学递推数列 篇8

教学目标

（一）知识与技能目标 1． 知识的网络结构；

2． 重点内容和重要方法的归纳．

（二）过程与能力目标

1． 熟练掌握数列、等差数列及等差数列前n项和等知识的网络结构及相互关系.2． 理解本小节的数学思想和数学方法．

（三）情感与态度目标

培养学生归纳、整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学习品质．

教学重点

1.本章知识的网络结构，及知识间的相互关系； 2.掌握两种基本题型．

教学难点

知识间的相互关系及应用．

教学过程

一、知识框架图

定义 分类 基本概念

数列 通项公式

一般数列 递推公式

图象法 特殊函数——等差数列

定义 通项公式 等差中项 前项和公式 性质

二、基本题型

1．题型一：求数列通项公式的问题.例1．已知数列{an}的首项a1=1,其递推公式为an1并归纳出通项公式.解法一: a1=1,a22an(nN*且n2).求其前五项,an22a122a212a322a41,a3,a4,a5,归纳得a123a222a325a423an2 n1解法二: an12an111111 又a10,an0 an12anan1an2an2故{1111n11 }是以1为首项,为等差的等差数列(n1)2ana122anan22121.令n=1,2,3,4,5得a1=1,a2,a3,a4,a5, n13253例2．数列{an}中,已知a11,anan12n1(nN*且n2).求此数列的通项公式.解: anan12n1(nN*且n2),且a11.a2a1221,a3a2231,a4a3241, anan12n1.把这n-1个式子两边分别相加可得 ana12[234n](n1).ann2(n2,且nN*).而a11也适合ann2.故数列{an}的通项公式为ann2(nN*).例3．数列{an}中, a11,ann(nN*且n2),求此数列的通项公式.an1n1解: anna2a3a4an(nN*且n2)且a11, 2,2,2,,n.an1n1a13a14a15an1n1把这n-1个式子两边分别相乘可得

2an234n2,而n1也适合.,.即ann1a1345n1n1故{an}的通项公式为an2.n12．题型二：等差数列的证明与计算.例4．设Sn 为数列{an}的前n项和,已知S1 =1,且Sn1Sn2SnSn1(n2),(1)求证{1}是等差数列;Sn(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明: n2时,Sn1Sn2SnSn1, 112(x2), SnSn1{11}是以1为首项,以2为公差的等差数列.SnS1(2)解:11, 1(n1)22n1, Sn2n1SnanSnSn1112(n2), 2n12n3(2n1)(2n3)(n1),1 2an.(n2)(2n1)(2n3)

五、课堂小结

从知识结构、数学思想、数学方法和题型变化等四个方面进行复习总结．

六、课外作业

1．阅读教材；

2． 作业：《学案》P41---P42面的双基训练。

思考题．设函数f(x)log2xlogx2(0x1).数列{an}满足f(2n)2n(nN).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明数列{an}为n的单调函数.解:(1)f(2n)2n得 aalog22anlog2an22n, 即an212n anan2nan10.annn21.又0x1,02an120, an0.故{an}的通项公式annn21.(2)证明:an1an

高中数学递推数列 篇9

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差数列{an}中(1)a34,a716,求a1,d ,11a,d求a5(2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

高中数学递推数列 篇10

类型1 a=a+f(n)。

解法:把原递推公式转化为a-a=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。

例1 已知a=2,a=a+3n+2,求a。

解:∵ a=a+3n+2∴a= a+3(n-1)+2, a=a+3(n-2)+2

∴ a- a=3(n-1)+2………………(1)

a- a=3(n-2)+2………………(2)

……

a- a=3•1+2………………(n-1)。

由(1)+(2)+…+(n-1)得a-a=3•+2•(n-1),

∴ a=+2n-2+2=(3n-3+4)。∴a=(3n+1)。

类型2a=f(n)a。

解法:迭乘法 即:a=f(n)a=f(n)•f(n-1)•f(n-2)…f(3)•f(2)a。

例2 已知数列a满足a=,a=a,求a。

解:由条件知=,分别令n=1,2,3,…(n-1),代入上式得(n-1)个等式累乘之,即•••…=×××…×,即=。又∵a=,∴a=。

类型3 a=pa+q,其中p,q均为常数,(pq(p-1)≠0)。

解法:①递推两式相减,转化成类型1。②用待定系数法。

例3 已知:a=2a+1,a=1。求a。

解法①:∵a=2a+1, a=2a+1。两式相减得:

a-a=2(a-a),化为=2。

令:b=a-a ,且b=a-a=2。

∴ b=b•q=2•2=2 ,即:a-a=2 。 (同类型1)

解法②:设a+p=2(a+p) a=2a+p。

令p=1,则a+1=2(a+1)。令b=a+1,则b=2b且b=2,∴ b=2 。∴ a=2-1。

类型4 a=pa+q,其中p,q均为常数,(pq(p-1)(q-1)≠0)。

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以q,得:

=•+引入辅助数列b(其中b=),得:b=b+,再用待定系数法解决。

例4 已知数列a中,a=,a=a+(),求a。

解:在a=a+()两边乘以2得:2•a=(2•a)+1

令b=2•a,则b=b+1,解之得:b=3-2()。所以a==3()-2()。

类型5 a=pa+qb,b=ra+sb。

解法:联立递推式。

例5 已知数列{a},{b}满足a=2,b=1,

且a=a+b+1,b=a+b+1, (n≥2)

(Ⅰ)令c=a+b,求数列{c}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a}的通项公式及前n项和公式S。

解:(Ⅰ)由题设得a+b=(a+b)+2(n≥2),即

c=c+2(n≥2)。易知{c}是首项为a+b=3,公差为2的等差数列,通项公式为c=2n+1。

(Ⅱ)由题设得a-b=(a-b)(n≥2),令d=a-b,则

d=d(n≥2)。易知{d}是首项为a-b=1,公比为的等比数列,通项公式为d=。

由a+b=2n+1,a-b=, 解得 a=+n+,求和得S=-++n+1。

从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析,并据其结构特点进行合理变形,是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉,这也是解答数学问题的共性之所在。◆(作者单位:江西省南昌市第十中学 江西省南昌市第三中学)

根据递推公式求数列通项 篇11

一、公式法

递推公式形如an+1=an+d或满足等差、等比数列的形式, 可直接用等差、等比数列通项公式求通项.

二、叠加法、叠乘法

1. 递推公式形如an+1=an+f (n) {f (n) }为可求和数列, 可用叠加法求数列通项.

例1已知数列{an}满足an+1=an+n, a1=1求通项.

解:由已知an+1-an=n, 故an-an-1=n-1, n≥2,

当n=1时, 满足的形式.因此数列{an}的通项为.

(2) 递推公式形如an+1=an·f (n) {f (n) }为可求前n项乘积的数列, 可用叠乘法求数列通项.

例2已知数列{an}满足an=an-1×3n-1 (n≥2且n∈N) , a1=2, 求数列{an}的通项.

解:因为an=an-1×3n-1, 所以 (n≥2且n∈N) , 所以, 所以=3×32×…×3n-1.因为a1=2, 所以 (n≥2且n∈N) .

又因为当n=1时, , 因此数列{an}的通项.

三、构造法

1. 递推公式形如an+1=pan+q (p、q为常数, 且p≠0, q≠1) 这类数列可以通过等式两边同时加上一个量来构造新的以p为公比的等比数列来求数列{an}的通项.

如an+1+m=p (an+m) , 又因为an+1=pan+q, 所以m=, 因此数列就可以化为, 可先求等比数列的通项公式再求{an}的通项公式.

例3已知数列{an}, an=3an-1+2, a1=1, (n≥2且n∈N) , 求数列{an}的通项.

解:由an=3an-1+2, a1=1, 得an+1=3 (an-1+1) , 所以{an+1}是以a1+1=2为首项, 为以3为公比的等比数列.所以an+1=2×3n-1⇒an=2×3n-1-1.

2. 递推公式形如an+1=pan+qrn (p、q、r为非零常数) 的数列

方案1:两边同除以rn+1, 得, 令bn+1=, 则转化为形式 (1) 通过求数列{bn}的通项再求数列{an}的通项.

方案2:两边同除以pn+1, 得, 可通过叠加法求数列的通项, 再求数列{an}的通项.

3. 递推公式形如an+1=pan+qn+r (p、q、r为常数, pq≠0)

解决方案:因为an+1=pan+qn+r, 所以an=pan-1+q (n-1) +r (n∈N, n≥2) , 两式相减得an+1-an=p (an-an-1) +q, 令bn+1=an+1-an, 则bn+1=p·bn+q转化为形式形式 (1) 可求数列{bn}的通项, 再通过叠加法求数列{an}的通项.

4. s递推公式形如 (p、q、r为非零常数)

解决方案:等式两边同时取倒数得:, 令, 则, 转化为形式 (1) 通过求数列{bn}的通项再求数列{an}的通项.

5. 递推公式形如an+1=panq (p、q为非零常数, p>0, q≠1) 且an>0, n∈N*.

解决方案:等式两边同时取以10为底的对数得:lgan+1=lgp+qlgan, 令bn+1=lgan+1, 则bn+1=q·bn+lgp转化为形式 (1) 通过求数列{bn}的通项再求数列{an}的通项.

6. 递推公式形如an+1=pan+qan+1 (p、q为非零常数) , 且p2+4q≥0.

解决方案:令an+1-man=r (an-man-1) , 即:an+1= (m+r) an-rman-1, 又因为an+1=pan+qan-1, 所以m+r=p, rm=-q.

即m、r为方程x23-px-q=0的两个根.

因为Δ=p2+4q≥0, 所以方程必有两个实根, 即必存在实数m、r使得数列{an+1-man}为以a2-ma1为首项, rs为公比的等比数列.所以an+1-man= (a2-ma1) rn-1,

即an+1=man+ (a2-ma1) rn-1转化为形式 (2) .

高中数学递推数列 篇12

第二章 数列

第10课时 等差数列和等比数列的综合应用

教学目标：

将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识，提高学生的实际应用能力.教学重点：

等比数列通项公式和前n项和公式的应用.教学难点：

利用等比数列有关知识解决一些实际问题 教学过程： Ⅰ.问题情境：

Ⅱ.建构数学

Ⅲ.数学应用

例1水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题，全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%，国家确定2000年西部退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？

练习: 某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.8（3）若1.2≈4.3，计算S(精确到1立方米).例2 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375%。，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？

练习: 用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？

Ⅳ.课时小结

Ⅴ.课堂检测

高中数学递推数列 篇13

（一）授课类型：新授

教学目标

（一）知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式．

（二）过程与能力目标 1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2;① 1，6

312，14，18，…； ②

1，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.1098,1.1098......④

23对于数列①，an=2n1;

anan1 =2（n≥2）．对于数列②，an=

12n1；

anan112（n≥2）．

对于数列③，an=20n1;

anan1=20（n≥2）．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2.等比数列的通项公式: ana1qn1(a1,q0)，anamqnm(am,q0)，anAB(A,B0)

n3．｛an｝成等比数列an1anq(nN,q0)

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,;(4)2,1,32821322，…….三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示

1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan1=q（q≠0）

注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛an｝成等比数列an1an=q（nN，q≠0．）

(2)隐含：任一项an0且q0

(3)q=1时，{an}为常数数列．

（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1,q均不为0)

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q； a4a3q(a1q)qa1q；… … … … … … … anan1qa1qn1223(a1，q0)．

迭乘法：由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q；

a4a3q；…；

anan1q

所以a2a1a3a4an1n1，即ana1q(a1，q0)nqa2a3an1nm(am，q0)等比数列的通项公式2: anamq五精讲精练

例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：181232q32 a2a3q12238,a1a2q823163.点评：考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一：教材第52页第1 例2．求下列各等比数列的通项公式：

(1)a12,a38;(2)a15,且2an13an

2解：(1)a3a1qq4q2an(2)2n12或an(2)(2)nn1(2)

n

(2)qan1an32又：a15an5(32)n1

点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

012n15例4． 已知无穷数列105,105,105,10 求证：（1）这个数列成等比数列； ,，110（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

n1证：（1）anan110105n251105（常数）∴该数列成等比数列．

n1（2）anan510105n45101110，即：an110an5．

p1q1pq2（3）apaq105105105，∵p,qN，∴pq2．

∴pq11且pq1N，pq2∴10510n15（第pq1项）． ， 变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业