数学七年级下册第九章（精选8篇）
joe 有一个很，他是一个警察局里的美术家，一些人看见了罪犯然后告诉joe，他们告诉joe罪犯都长什么样。然后joe画下罪犯的图片，然后警察就会把照片放在报纸上或者在电视上找到罪犯。他想要画好任何一张关于罪犯的照片，但这个工作有些困难。许多人并不总是意见一致，所以他们可能描述同一个人是十分困难的。同样，他们总是不能很好的记住罪犯“这个罪犯中等身材，并且十分年轻。他有很长的棕色的直头发和大大的眼睛”一个女士说，但另一些女士说:他很高又很瘦，他有一头卷发。他大概有三十岁了。在结尾，真正的罪犯是个很矮和很胖的老男人，并且他又黑色的短头发
用心爱心 专心1
前些天, 笔者听了的一节公开课, 授课内容是人教版七年级 (下册) 第七章《平面直角坐标系》的第一节课.一上课, 授课教师就很快使用自己设计的问题情境就进入了“7.1.1有序数对”之概念教学.我很诧异, 授课教师忽略了这新章节的第一节课的引言部分.那么, 新章节的引言该如何处理呢?
二、教学实践与反思
恰巧的是, 笔者前两天刚讲授过这节课, 在备课的时候, 纠结了许久.要么就是采用类似这位授课教师的处理方式, 很快用自己设计的问题情境就进入了“7.1.1有序数对”之概念教学;要么在“章头” (平面直角坐标系) 好好磨一磨, 重视这新章节的第一节课———引言的教学.经过自己反复备课, 上课之后, 反思如下.
一方面, 每一章的第一节课 (以下称“章头课”) 至关重要, 因为“章头课”的全局性很重要, 需要教师带领全班学生去感悟这新的一章要学习什么, 为什么要学这些;这一章的核心是什么, 在学习过程中要注意什么.具有帮助学生建构统领全章的作用.教师如何组织和引导?干脆就让大家翻开课本, 阅读课本第63页的这段文字.笔者认为, 这段文字和标题并不是摆设, 不是毫无意义的, 其具有重要的教育教学价值.笔者的做法是:带领全班学生授课一边阅读, 一边用问题提醒大家:这章叫什么? (平面直角坐标系) 通过问题“为什么要学习这章”“这章有什么重要性”激起全班学生的质疑与思考, 必要时还要领着大家一起朗读, 激起感悟.山东省高密市曙光中学任得宝老师所言:“文字平铺在纸上, 既无色彩又无动感, 可是经过老师的一读一点, 文字便从纸上立了起来, 学生便看到了生活的本来样子:花儿开了, 人物活了, 海中涌动着波涛, 风里鼓荡这清香.”
笔者认为, 这章头“平面直角坐标系”七个字, 还有许多方面需要我们教师使用提示性问题启发学生.
例如, 问题1:这七字有没有哪些字熟悉的, 相应的概念是什么? (坐标, 这在学习数轴的时候就有这个概念.)
问题2:请大家回忆一下, “坐标”在哪个章节学习过?如何定义“坐标”? (在学习有理数的时候, 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示其坐标)
问题3:还学习了数轴的哪三要素? (原点、正方向和单位长度)
问题4:大家想想看, 为何又要在“坐标”后面加上一个“系”字呢?“坐标系”是什么意思呢?“系”, 可以理解成“体系”.要组成一个“坐标系”, 坐标的数量就不止一个了.到底是要几条数轴才构成这里的体系呢?在后面的学习我们就知道了.
问题5:再来看看这七个字中的“直角”二字, 我们在哪里学习了? (直角表示两条直线或线段相交的特殊情况, 90°的角称为直角) , 在这里到底要求什么构成直角?再思考:既然这里要学习直角的情况, 那是不是还有不是直角的情况呢?
问题6:最后看看这七个字中的“平面”二字是什么意思?既然这有学习“平面”, 那是不是还有非平面, 即立体空间的情况呢? (其实是有的, 三维的情况就是空间直角坐标系了, 还有更多维的情况)
我通过设计以上这些问题, 引导学生在这章的学习中渐渐清晰、明了起来, 引导学生发散性地思考, 激发学生的兴趣.
三、结语
引言课对于每一新的章节的学习是很重要的, 切忌直接翻过各章引言进入第一小节的学习.如何上好引言课?笔者总结如下.
1. 引“全”
对于每一章节的“全貌”在引言部分就有刻画.因此在引言课的教学就需要引导学生描绘一下全章的容貌, 感受一下要学习什么内容.
2. 引“法”
数学中的许多知识是相互关联的, 尤其是在学习方法方面更是有相互联系的.例如, 在人教版第九章《不等式与不等式组》的引言教学中, 需要介绍不等式与不等式组的学习方法, 类比等式和方程的学习, 从定义、不等式的性质、解法和应用几个方面学习.本章最重要的是类比的学习方法, 因为学生已经掌握了等式与方程的学习过程———定义, 等式性质, 解法和应用.为学生学习新的一章指引方向, 将大大提高学生的学习效果和效率.
3. 引“源”
第三节 电生磁 1.人感知声音的基本过程是:外界传来的声音引起
1．声是由物体的说话时敲振动,这种振动经过及其他组织传
鼓时在振动；风吹树叶哗哗响，在振动。给，听觉神经把信号传给，这样人就2．物理学中把传播声音的物质叫做，体、听到声音了。
体、体都能传声，真空传声。3．声音是以 4．声速的大小跟介质的有关，还跟介质的 有关。15℃时空气中的声速是m/s。5．声音在水、空气和玻璃中的传播速度由快到慢排列顺序是、、。6．一次闪电过后约3s才听到雷声，那么闪电发生处离你约m.7.人要想听到自己的回声，距离障碍物至少m。8甲在足够长的自来水管（管内有水）一端敲击一次 ,乙在另一端用耳朵伏管能听到（）A．一声B.最多两声C.三声D.四声 9.百米赛跑时,计时员应以()A.听到发令枪响开始计时B.看到举枪开始计时C.看到发令枪冒烟开始计时 D.看到运动员起跑开始计时10.下列现象中,由于空气柱的振动而发声的是()A.讲话发声B.敲钟发声 C.蝉发声D.吹竖笛发声 班级：姓名：学号：
2．声音通过骨、骨也能传到听觉神经，引起听觉。这种传导方式叫做。3．声源到两只耳朵的一般不同，声音传到两只耳
朵的、及其他特征也就不同。这些差异就是判断声源方向的重要基础。这就是效应。
4．蛇,没有耳朵，它总是把头部紧贴在地面，不四处观望,却能知道周围是否有猎物出没。蛇感知声音的途
径是（）A．骨传导B.空气C.气味D.耳传导系统 5.要想使人们在剧场里听到立体声效果（）
教学目标： 知识与技能：
（1）知道什么是浮力及浮力产生的原因，知道浮力的大小跟那些因素有关。（2）学习用弹簧测力计测浮力的大小。过程与方法
（3）通过实验与探究，感受浮力、认识浮力。
（4）经历探究浮力的大小与哪些因素有关的过程，学习使用控制变量法。情感态度与价值观
（5）亲身参与科学探究的过程，在活动中大胆提出自己的猜想，能实事求是地记录数据，并根据实验数据提出自己的见解，有与他人合作交流的愿望。
教学重点
（1）浮力的概念的建立。（2）“称重法”测浮力。教学难点
（1）浮力产生的原因。
（2）浮力的大小与那些因素有关。教学过程
一、引入新课
传说大约两千年前，罗马统帅狄杜进兵耶路撒冷，攻到死海岸边，下令处决俘虏来的奴隶。奴隶们被扔入死海，并没有沉到水里淹死，却被波浪送回岸边。狄杜勃然大怒，再次下令将俘虏扔到海里，但是奴隶们依旧安然无恙。狄杜大惊失色，认为奴隶们受到神灵保佑，屡淹不死，只好下令将他们全部释放。由此引入浮力。
二、进行新课
（一）什么是浮力
[多媒体展示]：图9-1图片
[讨论]：（1）这里面的物体除了受重力以外，还受什么力？ 方向如何？（2）浮力的施力物体和受力物体分别是什么？浮力的方向是怎样的？ [总结]：液体和气体对浸在其中的物体产生向上的浮力。一般用F表示。
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[学生活动]：浮力的现象在我们的生活中很普遍，能否列举几个事例呢？学生尽可能列举一些常见的事例。
[学生实验]：比较金属块在空气和水中时弹簧测力计的示数。实验后请学生汇报实验方法、观察到的现象和实验结论。
[总结]：金属块浸入水中后弹簧测力计的示数变小，说明石块受到了向上托的力，可见石块在水中受浮力。
[提问]：刚才的实验说明沉在水中的物体也受到浮力，你能通过实验进一步知道石块受到的浮力是多大吗？
[讨论]：弹簧测力计的示数减小是由于金属块受到浮力造成的，所以弹簧测力计减小的示数等于浮力。
[总结]：浮力=物重G-物体浸在液体中时弹簧测力计的示数F，即 F浮=G-F [讨论]：如果换用其他液体进行实验，你也会得到同样的结果吗？ [总结]：浸在任何液体物体都会受到液体竖直向上的托力，这就是浮力。
（二）浮力是怎样产生的
[引入]：我们知道了什么是浮力，不禁想到浸在液体中的物体为什么受到向上的浮力？ [演示实验]：取一个去掉底的饮料瓶，瓶口朝下放置，把一个乒乓球防入瓶内，乒乓球落在瓶颈处。当向瓶内倒水时，乒乓球是否会浮起？先让学生猜一猜。倒水后乒乓球并没有浮起来。再将饮料瓶的下部浸入大水槽中，看此时乒乓球会怎样？
[讨论]：为什么开始乒乓球没有浮起来？当饮料瓶下部浸入大水槽时，乒乓球为什么浮起来了？
[学生阅读]：教材活动2中的内容，并思考讨论其中问题。
[总结]： 因为液体的压强随深度的增加而增大，所以物体下表面受到的压强比上表面受到的压强大。浮力就是由于液体对物体产生的向上和向下的压力差产生的。
[学生活动]：根据浮力产生的原因分析回答刚才乒乓球的两种情况。
（三）浮力的大小跟那些因素有关
[多媒体展示]：钢铁制造的万吨巨轮浮在水面上；人悠闲地躺在死海中看书。[提出问题]：看到上述情景，你想到了什么？浮力的大小可能跟哪些因素有关呢？请同学们联系生活实际说一说。
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[猜想与假设]：学生结合上面的情景并联系实际提出猜想，浮力的大小可能与物体的体积、物体的形状、物体浸在液体中的深度、液体的密度、物体的密度有关。
[制定实验方案]：教师巡视辅导，视学生的情况点拔。如研究浮力与哪个因素有关时，需要控制内心量不变？改变哪个物理量？怎样改变？怎样比较浮力的大小？要完成实验需要用到那些器材？需要记录那些数据？等。
[进行实验]：学生实验，实验后分析记录的数据得出结论，作好总结。
[分析论证]：分组实验后，全班集中交流实验结果，各小组汇报实验的方法和数据、结论。
[总结]：浮力的大小跟液体的密度和物体浸在液体中的体积有关；浮力的大小与物体的形状、材料、浸没的深度无关。
[讲解]：并非物体的体积越大受到的浮力就越大，关键取决于物体浸在液体中的部分有多少，物体浸在液体中的体积越大浮力就越大。
[想一想]：游泳者感觉到潜入水中时比浮在水面游泳时受到的浮力大，其原因是什么？
三、小结：这节课你学会了什么？你对浮力有哪些新的认识？纠正了哪些队浮力的错误认识？
四、作业。P87。
1、2。
（四）教学反思：
1、本节课内容增加了许多学生能亲自探究的实验让学生动手去体验、讨论、分析、猜想和实验，从而体现了物理课程的构建，注重让学生经历从自然到物理，从生活到物理的认识过程，经历基本科学探究实践，注重物理学科与其他学科的融合，使学生得到全面发展。也突出了物理课堂的主旋律“活动教学”。
2、本节课的另一个特点是讲练结合，学习新的知识以后及时练习、巩固学习的效果很好。
整节课学生情绪高涨，参与积极，讨论热烈，提高了学生的科学研究能力和增强了学生创新意识，为学生的终身学习打下了基础。
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
一、例题与方法指导
例1.一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
例2.从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市
例3.印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
1.如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？
2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？
3.现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？
4.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
需要考虑吃的顺序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3
5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？
二、能力提升
1.甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？
2.abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd来。
3.一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少个这样的数？
4.3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件。现在25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿的运动衣的号码是多少？
关键词：探究,情境,案例
一、探究活动的设问指向出现不明确
例如, 在讲解“知耻与自尊”的关系时, 新教材引入“耻辱戒指”的故事, 教材P 5探究活动中, “耻辱的事情应该尽快忘记还是牢牢记住?”从教材的设计意图看是要强调牢记耻辱以催人奋进, 但“应该尽快忘记还是牢牢记住”应根据具体的人和事而定。一般来说, 由于自身的过错造成的耻辱才有牢记的价值, 而对于自身没有过错的耻辱, 如果能将它忘记则是人生的一大智慧。也就是说:设问目标指向应明确, 否则会产生误导。建议改为:“由于自己的过失造成的耻辱应该尽快忘记还是牢牢记住?”又如, 在讲解“自尊者豁达”时, 教材P13探究活动2的三个材料及其设问各自独立, 在逻辑上属于并列关系, 第三个设问“……你同意这种看法吗?”应该是针对第三个材料的设问, 而不是三个材料的综合设问。
二、情境材料的选用出现不严谨
例如, 在导入“走向自立人生”时, P33第三课的引言:“后来, 猎人外出再没有回来, 笼子里的小狮子被活活饿死了。那只当年跑出去的小狮子……它顺利地活了下来。”看不出这是一个真实的故事还是一则寓言。从描述事件使用的口吻看, 应该是真实故事, 仔细推敲却发现是个虚构的、漏洞百出的故事。这样的故事有谁在观察记录?有何事实依据和科学依据?——想当然而已。它要告诉学生的道理是浅显易懂的, 在德育的导向性问题上不会有异议, 但在科学性上很值得商榷, 做为教材是不应该出现科学性错误的。如果改为:“有这样一则寓言……”, 是否更加严谨?
三、案例材料的取材不够科学
例如, 在讲解“扬长避短, 自强的捷径”时, P55探究活动1中讲道, 被誉为童话大王的郑渊洁, 小时侯数学常常不及格。数学学不好, 他就在写作方面发展自己, 走上了童话创作的道路。郑渊洁的个案的确是扬长避短的成功案例, 但他的成功道路并不能用于指导现在的中学生, 甚至可能对普通教育阶段的学生产生误导, 如果义务教育阶段的学生都回避开自己不喜欢或读不好的学科, 其总体学习成绩自然会大大受到影响。准确地说:扬长避短只适合在选择自己的职业、专业等人生方向上, 不适合作为基础教育阶段的学习指导。小学时候的郑渊洁已经将写作做为职业发展方向, 事实证明他的避短是成功的。但由于不适合作为当前应试教育的成功案例, 所以建议换作其他案例。
四、专题内容的设计出现不全面
例如, 在讲解“让挫折丰富我们的人生”时, 对学生进行挫折教育是必要的也是及时的, 但我发现教材在内容的设置上基本是“事后挫折教育”。教材只强调“人生难免有挫折”, 并没有告诉学生许多挫折完全是可以避免的, 比如平时不认真学习必然遭受考试失败挫折, 醉驾早晚会家破人亡;有许多挫折虽然不能避免却可以将损失和伤害减少到最低, 如各种自然灾害的预警;还有许多挫折是无法甚至是不可能战胜的, 如某些疾病。挫折的预防教育与事后应对教育都是必要的, 挫折的预防教育应优先于事后教育。
五、知识重点的行文表述上出现不明确
一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点 2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域： 3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点 边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点 导集：的聚点的全体称为它的导集 注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于 2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域 例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集
二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域：D 值 域： 注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限 1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限 例1.设证明：，要使不等式，求证 成立，只须取，于是，，总有，即 例2.不存在，其中 证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在 例3.求极限 五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则 解：令 例5...(分子有理化)第二节 偏导数 引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念 1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而 处有增量时，相应地有增量.若极 存在，则称此极限值为函数在点处对的 ； 或 注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为 例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续 例如：函
数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数 例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数 1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数 记作：； ；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数 注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数 2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；； ；； ；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无 关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实
上，；
而，，于是，，即 那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理： 2.二阶混合偏导数的性质 定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即 注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个
第三节 全微分
一、全微分的相关概念 1.偏增量：称为函数对的偏增量 称为函数对的偏增量 2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量 一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分 4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增 不依赖于、，可表示为，其中 而仅与、有关，则称在点可微分，而称 为在点的全微分，记作，即 若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注： 我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1．函数可微分的必要条件 定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数 必定存在，且在点的全微分 证明：由于在点可微分，则有，其，当时，有，从而，即，同理可得，于是 特殊地，令，有，从而有，同理令，有，从而有.于是有，也称之为二元函数微分学的叠加原理 注：定理说明：函数可微分，一定可偏导，且全微分可用偏导数表示.但反之未必，即偏导数存在，函数未必可微分 例如：在点处两个偏导数都存在，但在点却不可微分 事实上，假设在点可微分，则，当时.而，有
不存在，更谈不上等于0，从而假设 不成立，即在点不可微分.2.函数可微分的必要条件 定理2若函数在点可微分，则它在点连续 证明：由于在点可微分，有，其中，于是有，.又的全增量为，从而，这说 在点连续 注：函数连续，未必可微分 例如：函数在点连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分.3.函数可微分的充分条件 定理3若函数的偏导数与在点都连续，则 可微分 注：反之未必 例如：在点可微分，但
在点都不连续(1).先说明在点可微分.设，因为，令，由于，其中，于是，由全微分的定义知在 微分(2).再说明偏导数及在点不连续.易知 , 从而在点 不连续 同理可知 在点也不连续.例1.计算函数的全微分.解：.例2.计算函数在点处的全微分.，有，所以 例3.计算解： 的全微分..第四节 多元复合函数的求导法则 一、一元函数与多元函数复合的情形 定理1.若函数及在点都可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点.(全导数公式)复合而成的函数注：可推广：，，在点.二、多元函数与多元函数复合的情形 定理2.若函数及在点具有对及的偏导数，函数 对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存 ；.注：可推广：由，，复合而成的函 在点两个偏导数都存在，且 ；.三、其它情形 1.函数在点对及的偏导数都存在，函数及在点可导 在点具有连续偏导数，则复合函数在点 存在，且 ；.2.函数在点具有对及的偏导数，在点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且 ；.例1.设，而，求 及.；.例2.设，而 及.；.例3.设，而，求求导数.四、全微分形式不变性:若函数.若函数及也具有连续偏导数，则复合函数的全微 有称此性质为全微分形式不变性.，.与，其中，.例4.解：由于，而，于是，即，比较两端、dy，.第五节 隐函数的求导公式
一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组 注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：.二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数 定理1.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函 数，满足.注：若的二阶偏导数也连续，则有
定理2.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点
且具有连续偏导数的函数，满足 例1.设，求及，.解：令，则，..例2.设，求 解：设，则，.，从而 2.由方程组确定的隐函数组 定理3.若函数与在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且函数行列式 在点不等于零，则方程组在点 确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组，且，；，例3.设，、、、和.解：设方程组，两端对求导得： 或，在 的条件下，有，同理可得，.；
第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 1.一元向量值函数的定义：，(数集)，.注：1°.在R3中，2°.向量值函数称为曲线的向量方程 2.一元向量值函数的极限：设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义，若存在常向量，，：满足，总有，则称为当 时的极限，记作 注：存在、、都存在.3.一元向量值函数的连续性：设向量值函数在点的某一邻域内有定义，则称向量值函数在点连续 注：在点连续、、点连续 4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数在点 存在，则称此极限值为在点的导数或导向量，记作.注：1°.在点可导、、点都可导 2°.是向量值函数 曲线在点处的一个切向量,其指向与的增长方向一致 例1.设，求 解：.例2.设空间曲线的向量方程为，求曲线在点相应的点处的单位切向量
解：由于，有，进而，于 为指向与的增长方向一致的单位切向量 为指向与的增长方向相反的单位切向量
二、空间曲线的切线与法平面 1.参数式情形：设空间曲线的参数方程为，假设、以及 在上可导，且三个导数不同时为零(1).切线：曲线上的一点处的切线方程为：应点 推导：由于曲线的参数方程为，记向量值函数，参数对 函数导数的几何意义知：向量即为曲线在其上的 处的一个切向量，从而曲线在其上的点处的切线方程为：.(2).法平面：通过曲线上的点而与曲线在点处的切线垂直的平面方程称为曲线在点处的法平面，方程为.其中法向量为 2.特殊式情形：设空间曲线的方程为，且、在点 的方程可改写为，为参数，从而曲线在点 程分别为：(1)..(2).法平面方程： 3.一般式(隐函数)情形：设曲线的方程为，为曲线 又设、，这时方程组在点 某一邻域内确定了一组隐函数，从而曲线的参数方程为，于是切向量为(1)...(2).法平面方程： 例3.求曲线在点处的切线与法平面方程
解：在方程组两端对求导，得，整理得，于是，，故切向量为 ；，或，从而所求切线方程为：.法平面方程为或
三、曲面的切平面与法线 1.定义(1).切平面：若曲面上通过点的一切曲线在点 面为曲面在点的切平面(2).法线：通过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线.2.切平面与法线方程(1).一般式情形：设曲面的方程为，点 的偏导数在点连续 切平面方程：；.推导：在曲面上过点任意引一条曲线，设其参数方程为，且函数 以及在都可导，有方程，对应点 两端对求导，在处，有.记.又为曲线在 处的切向量，由上式可知，即曲面上通过点的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，该切平面以向量为一法线向量(2).特殊式(显函数)情形：曲面：，且函数的偏导数在点连续 切平面方程： 法线方程：.推导：记，有，，故有法向量 例4.求球面在点处的且平面及法线方程 解：设，有，，故所求切平面的法向量为，于是所求切平面方程为：，即，法线方程为：，即 例5.求旋转抛物面在点处的切平面即法线方程 解：设，有，于是所求切平面的法向量为 从而所求切平面方程为，即，法线方程为.第七节 方向导数与梯度 引入:由函数在点的偏导数的几何意义可知：偏导数、只是函数过点沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数在点沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度.一、方向导数 1.定义：设函数在点的某个邻域内有定义，为过点)上另一点，且.若极限的射线(存在，则称此极限为函数在点沿 方向
注：若函数在点，则 的偏导数存在，且
若函数在点，则 的偏导数存在，且 2.方向导数的存在性 定理：若函数在点可微分，则函数在点沿任意方向的方向，其中、的方向余弦 注：1°.可推广：若函数在点可微分，则在点 的方向导数为 2°.方向导数存在，函数未必可微分 例如：在点沿方向的方向导数都存在，但 点不可微分 事实上：由于，从而 沿方向的方向导数都存在 但在点的两个偏导数都不存在，从而不可微分.例1.求函数在点处从点到方向的方向导数 解：由题可知方向就是向量的方向，有 又，.例2.求在点沿方向的方向导数，其中 解：由题可知与方向同向的单位向量为，又故所求方向导数为
二、梯度，，1.梯度的定义：设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，对每一个，称向量为函数在点，或，即.注：可推广：.2.梯度与方向导数的关系(1).沿梯度方向，方向导数达到最大值；(2).梯度的模为方向导数的最大值
推导：设，若函数在点则在点可微分，沿方向的
1.当 这说明函数在一点的梯度是这样一个向量，它的方向是在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值 2.当时，有与的方向相反，函数减小最快，在这个方向上的方向导数达到最小值，3.当 时，有与的方向正交，函数的变化率为零，即 例3.求 解：令，有，于是 例4.设，求(1).在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(2).在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(3).在处变化率为零的方向 解：(1).在点处沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取为(2).在点处沿的方向减少最快，故所求方向可取(3).在点处沿垂直于的方向变化率为零，故所求方向为 或.第八节 多元函数的极值及其求法 引入：在一元函数微分学中，我们讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题 一、二元函数的极值与最值 1.极值：二元函数的定义域为，为的内点，若存在，且，都有(则称在点称为函数的极大值点(极小值点).有极大值(极小值).点统称极大值、极小值为极值；使函数取得极值的点称为函数的极值点 2.最值：设函数的定义域为D，若存在，都(则称为在D上的最大值(最小值).注：1°.极值是一个局部概念，最值是一个整体概念.2°.极值与最值的关系：极值可以是最值，但最值未必是极值.例1.函数在点取得极小值，也是最小值.例2.函数在点取得极大值，也是最大值.例3.函数在点既不取得极大值，也不取得极小值 由此可见，并不是每一个函数在其定义域上都有极值点，那么什么样的点可能是函数的 点的必要条件和充分条件，从中得到这些问题的答案.二、极值点的条件 定理1.若函数在点具有偏导数，且在点，注：1.称使成立的点为的驻点或稳定点 2°.可偏导函数的极值点一定是其驻点，但反之未必 例如：函数，在点是其驻点，但在点却不取得极值 那么什么样的驻点才能是极值点呢？下面的极值点的充分条件回答这一问题，并给出求极值的方法 定理2.设函数在点的某一邻域内连续且具有一阶以及二阶连续偏导数，又，令，，则在处是否取得极值的条件如下：(1).时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值.(2).时没有极值(3).时是否取得极值不定，需另行讨论.3.求极值的步骤 第一步：求偏导数，解方程组，得的所有驻点 第二步：对每一驻点，求二阶偏导数的值、、第三步：考察的符号，判断是否为极值，若是极值，判断出是极大值还是极小值 例4.求函数的极值 解：解方程组，得驻点，，.又，(1).在点处，且，故在(2).在点处，故不是极值.(3).在点处，故不是极值(4).在点处，且，故在 值 例5.求函数的极值
共21分)1.（13分）填一填。（1）当你面对北极星时，你的后面是_______，你的左面是_______，你的右面是_______（2）我们已经认识的八个方向分别是_______、_______、_______、_______、_______、_______、_______、_______。
（3）与东南相对的方向是_______，与北相对的方向是_______。2.（4分）小伟家住房平面图 小伟家的厨房在客厅的_______面，客厅的北面是_______，南面是_______，阳台的北面是_______． 3.（2分）正确地计算一道除数是一位数的除法题后，小敏得出余数是4，除数最小时是_______，最大时是_______． 4.（2分）34里面有_______个5，还余_______。
二、判断题（一）(共4题；
共10分)5.（2分）小兰家在小刚家东边。
6.（2分）小小家在学校的东面，方方家在学校的西面，那么小小家在方方家的东面。
（）7.（4分）下面的说法对吗？（1）上午9时就是21时。
（2）在---÷----＝36……5中，除数可以填6，7，8，9这四个一位数。
8.（2分）判断对错：
720个同学在操场上做广播操，如果每行站21人，可以排40行． 三、选择题（一）(共4题；
共7分)9.（2分）淘气看笑笑在北偏东35°方向上，笑笑看淘气在（）方向上． A.北偏西 B.南偏西 C.东偏北 10.（1分）我的右面是西，我的左面是_______。
11.（2分）下面说法正确的是（）A.5千克棉花比5千克铁轻 B.2月是小月 C.中国共产党的生日是8月1日 D.568÷3的商是三位数 12.（2分）5800除以60的商是96，余数是（）A.4 B.40 C.400 四、计算题（一）(共1题；
共5分)13.（5分）我会用竖式计算． 128÷4= 417×33= 285÷5=（验算）五、解决问题（一）(共2题；
共9分)14.（4分）据图回答问题。（1）小池塘在教学楼的_______方向。
（2）计算机教室在教学楼的_______方向。
（3）音乐教室在教学楼的_______方向。
（4）食堂在教学楼的_______方向。
15.（5分）一共有165个足球，每个班级需要40个足球，这些足球一共可以给多少班级上课? 六、填空题（二）(共3题；
共6分)16.（1分）6路公交车从起点站到终点站共有12个站点，如果每两个站点之间相距1000米，问6路公交车从起点站到终点站每次要行_______千米? 17.（3分）估算． 48×40≈_______ 99×21≈_______ 6×91≈_______ 18.（2分）估算(用计算器验算)30×98≈_______ 33×8≈_______ 七、选择题（二）(共3题；
共6分)19.（2分）30减少2，再去乘25，积就减少（）A.50 B.700 C.750 20.（2分）两个数相乘的积（）这两个数相加的和。
A.一定大于 B.一定小于 C.不一定 21.（2分）妈妈买了14盒蛋糕，每盒12个，总共有（）个蛋糕。
A.148 B.158 C.168 八、计算题（二）(共2题；
共12分)22.（2分）两位数乘两位数，积可能_______位数，也可能是_______位数。
23.（10分）竖式计算。
（1）（2）九、解决问题（二）(共3题；
共16分)24.（6分）（1）最高月平均气温甲市出现在_______月，乙市出现在_______月。
（2）两城市最高月平均气温相差_______摄氏度。
（3）_______月份两城市月平均气温相同，有_______个月乙市月平均气温高于甲市，其余_______个月乙市月平均气温低于甲市。
25.（5分）商店有三种书包，它们的价格分别是22元、31元、37元。学校大队辅导员带着同学们的1912元钱为山区的小朋友买59个同样的书包，要求剩余的钱要尽量少.请你帮辅导员估算一下，应该买哪一种书包？ 26.（5分）学校食堂的面积是100平方米.用边长0.8米的正方形砖铺地，100块够吗？ 十、填空题（三）(共6题；
共11分)27.（1分）明明家有3口人，原来居住面积是75平方米．搬入新居后，人均面积是40平方米．明明家新居面积比原来多了_______平方米。
28.（2分）在横线上填上合适的单位名称。
一间教室的面积大约是50_______ 一盒牛奶约250_______ 29.（1分）农场有一个长500米、宽400米的长方形实验田，共产小麦120000千克，平均每公顷收_______千克小麦． 30.（3分）6平方米=_______平方分米 2吨=_______千克 5000cm2=_______dm2 31.（2分）把39.85的小数点向右移动一位，小数就_______，向左移动两位，小数就_______。
32.（2分）填上适当的单位名称。
小华每分钟步行61_______，卡车每小时行40_______。
十一、判断题（三）(共5题；
共10分)33.（2分）李明家客厅的面积是80平方厘米。（判断对错）34.（2分）学校操场的面积大约是720平方米。
35.（2分）判断对错.142厘米就是14.2米.36.（2分）小明跑50米用了8.8秒，小强用了9.1秒。小强的成绩好。（判断对错）37.（2分）面积单位比长度单位大。（判断对错）十二、选择题（三）(共3题；
共6分)38.（2分）测量文具盒表面的面积，用（）面积单位比较合适． A.平方厘米 B.平方分米 C.平方米 39.（2分）边长是1分米的正方形，面积是1平方分米，可以写成（）A.1bm2 B.1cm2 C.1dm2 D.无选项 40.（2分）（2015•吉安）3.1 与3.相比（）A.3.1 大 B.3.大 C.一样大 十三、计算题（三）(共1题；
共5分)41.（5分）用竖立计算，并验算． ①3.79+43.3= ②605×47= 十四、解决问题（三）(共2题；
共10分)42.（5分）一块长方形画布．长是40分米，宽是15分米，这块画布的面积是多少平方分米?合多少平方米? 43.（5分）小东带了9.5元去买文具.他买了一枝圆珠笔和一本笔记本，一共用去多少元？还剩多少元？ 十五、填空题（四）(共4题；
共12分)44.（2分）学校组织秋游，上午8：30分出发，下午3时回到学校，整个活动经过了_______小时 _______分钟。
45.（2分）小明感冒了，到医院拿了药，医生嘱咐他每隔6小时服一次药．他第一次服药是9∶30；
第二次应是_______；
第三次应是_______． 46.（7分）××商店 9 ︰ 00 ～ 12 ︰ 00 收款情况统计表 ①5个收款台共收入_______元？填在“合计”栏内． ②每个收款台统计了_______时间的收入？ ③一收款台平均每小时收款_______元？ 二收款台平均每小时收款_______元？ 三收款台平均每小时收款_______元？ 四收款台平均每小时收款_______元？ 五收款台平均每小时收款_______元？ 47.（1分）有红、黄、蓝、白颜色的4面小旗，每次升起两面，有_______种不同的升法？ 十六、选择题（四）(共2题；
共4分)48.（2分）下面的年份是闰年的是（）A.1900年 B.1982年 C.2000年 D.2200年 49.（2分）小明9:10到电影院时，电影已经开始了半小时，电影是（）开始的。
A.8:40 B.9:50 C.9:00 十七、转化题(共1题；
共1分)50.（1分）刘波是1986年7月12日出生的，到2005年生日时，他满_______周岁。
十八、解决问题（四）(共4题；
共16分)51.（1分）中华人民共和国是1949年10月1日成立的，到今年10月1日是建国_______周年． 52.（5分）奇思的爷爷才过了17个生日，他可能多少岁了？ 53.（5分）周日小勇、爸爸、妈妈互相变化角色，体验一天的生活，他们的角色可以怎么变化?请写出来 54.（5分）足达超市举行商品促销活动，所有食用油买5瓶送1瓶。一种食用油每瓶76.8元，某食堂买了12瓶，一共花了多少钱？ 参考答案 一、填空题（一）(共4题；
共21分)1-1、1-2、1-3、2-1、3-1、4-1、二、判断题（一）(共4题；
共10分)5-1、6-1、7-1、7-2、8-1、三、选择题（一）(共4题；
共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、四、计算题（一）(共1题；
共5分)13-1、五、解决问题（一）(共2题；
共9分)14-1、14-2、14-3、14-4、15-1、六、填空题（二）(共3题；
共6分)16-1、17-1、18-1、七、选择题（二）(共3题；
共6分)19-1、20-1、21-1、八、计算题（二）(共2题；
共12分)22-1、23-1、23-2、九、解决问题（二）(共3题；
共16分)24-1、24-2、24-3、25-1、26-1、十、填空题（三）(共6题；
共11分)27-1、28-1、29-1、30-1、31-1、32-1、十一、判断题（三）(共5题；
共10分)33-1、34-1、35-1、36-1、37-1、十二、选择题（三）(共3题；
共6分)38-1、39-1、40-1、十三、计算题（三）(共1题；
共5分)41-1、十四、解决问题（三）(共2题；
共10分)42-1、43-1、十五、填空题（四）(共4题；
共12分)44-1、45-1、46-1、47-1、十六、选择题（四）(共2题；
共4分)48-1、49-1、十七、转化题(共1题；
共1分)50-1、十八、解决问题（四）(共4题；
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