波利亚的数学教育思想(共8篇)
摘要:本文对初中数学教学当中常用的数学思想及其实践应用情况进行了探讨,旨在帮助学生建立正确的数学思维。
关键词:初中数学;数形结合;分类讨论;函数;方程
初中是学生数学知识水平与能力的上升阶段,需要他们完成从小学基本算术到高中函数、几何数学的过渡,这对于我们初中数学教师来说是一项挑战。从初中数学开始,一些知识渐渐开始形成体系,一些常用的学科思想以及方法也需要学生了解和掌握,而且它们还可以帮助学生建立正确的数学思维,为以后的深入学习打下牢固基础。
一、数形结合思想
数形结合是学生进入初中以后经常接触的一种数学思想,但是一些教师在实际教学过程中,不注重培养学生的数学思维能力,对常用到的数学思想以及方法避而不谈,这就使得他们在做一些数学题目的时候,不能有针对性的采用有效的解题策略,只会套用教师课堂上所讲解的解题步骤,不能形成正确、科学的逻辑思维。针对此种情况,我们教师应该运用一切教学机会,将课程知识与数学思想联系起来,进而让学生认识到数形结合思想在理解概念、定理以及解题、答题中的巨大优势,并且能够真正应用到今后学习当中,提高他们的学习效率。例如在讲授“探索平行线的性质”这部分内容时,我就借助教材当中的例题应用了数形结合的思想。题目:“如右图所示,AD∥BC,∠A=∠C。证明AB∥DC。”我先让学生用常用的纯几何证明方法解题,过程如下:因为AD∥BC,所以∠C=∠CDE,又因为∠A=∠C,所以∠A=∠CDE。再根据“若同位角相等,则两直线平行”的数学规律,就可以得出直线AB与DC的平行关系。然后我又用“数”与“形”结合的方法进行证明,让学生建立“数”和“形”的概念,进而帮助他们理解数形结合思想,过程如下:因为AD∥BC,根据“若两直线平行,则同旁内角互补”的规律,所以∠A+∠ABC=180°,又因为∠A=∠C,∠ABC+∠ABF=180°,得出∠ABF=∠C,进而就可以知道AB∥DC。这里将图像中“形”的关系转化为能够用于计算的“数”,即两角互补的和为180°,然后再将“数”转化为“形”的相等、平行关系。虽然这道证明题相对简单,但这越能突出“数”与“形”之间的结合、转化关系,而且也利于学生的理解、分析。
二、分类讨论思想
当数学问题有多个解或者有多种情况同时存在时,就需要将问题分类,并逐个进行讨论,然后将得出的各个结果进行组合或者再次分析,最终得出正确答案,这就是数学学习当中常用的分类讨论思想。这一思想在数学试题当中经常遇到,但是由于一些教师在遇到时并不给学生进行介绍,使得他们不知道在何种情况下需要进行讨论,更不懂什么是“分类讨论思想”,在遇到同样的问题时,依旧会出现错误。因此,作为一名初中数学教师要重视这一内容教学,进而帮助学生建立分类讨论的思想。例如:在讲解“分式方程无解”这一数学问题时,我就给学生们介绍了分类讨论思想,题目:“若方程[3/(x-3)]+[ax/(x2-9)]=4/(x+3)无解,则求a的值。”从题干中可以知道,方程需要先除去分母进行化简得出(a-1)x=-21,因为方程没有解,所以要判断什么情况下x的值无效,并且对可能出现的结果进行“分类”,这时,有学生说:“分母为0时,方程是无意义的,也就是无解的情况。”这样我们就分析出x的值可能为-3或者3,再通过x和a的关系式就可以得出a的值为8或者-6。很多学生在进行到这一步时便以为已经得出了正确结果,却忽略了用a表达x时需要满足“a-1”的值不为0的情况,因此,a还有一个值为1。“分类”就是为了让学生正确找出题目中可能出现的情况,这也是解题的关键步骤,而“讨论”是“分类”的补充,是为了得出正确结果。通过这样的教学引导方式,学生便对分类讨论思想有了清晰的认识。
三、函数与方程思想
函数和方程是初中数学中非常重要的两个知识点,随着学生数学内容学习的深入,它们之间的联系会愈加的紧密,因此,就需要我们教师在学生刚接触这两项内容时,就帮助他们建立函数与方程的.思想,让他们认识到这两者之间的重要关系,用一方去辅助另外一方的学习。下面就以“一次函数”和“一次方程”为例,介绍我在教学中怎样引导学生建立它们之间的联系并进行区分。1.从形式上看:函数的表达式为y=kx+b,而方程的表达式为ax+b=0。2.从内容上看:函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;而方程表示的是未知数x的值,最多只有1个值。3.从相互关系上看:函数与x轴交点的横坐标就是相应的方程的根。例如:y=4x+8与x轴的交点是(-2,0),则方程4x+8=0的根是x=-2。通过这样的对比,学生便对函数与方程思想建立了一定的概念,在学习到“二次函数”时,他们也能相应的和“二次方程”进行对比、联系。总而言之,为了提高课堂效果,培养学生的数学逻辑思维能力,教师要利用好课堂教学实例为学生介绍常用的数学思想和方法,并且引导他们在做题练习中正确应用。
参考文献:
乔治·波利亚 (George Polya, 1887-1985) 是著名的数学家、教育家、数学方法论大师.他是20世纪下半叶世界公认的2位数学教育权威之一 (另一位是Hans Freudenthal) .作为一名数学家, 波利亚在众多的数学分支领域都有建树, 留下了以他的名字命名的术语和定理;作为一名数学教育家, 波利亚有丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术;作为一名数学方法论大师, 波利亚开辟了数学启发法研究的新领域, 为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础.本文拟对波利亚的数学启发法思想作简略述评, 并探讨它对我国基础教育数学课程改革的启示.
1 波利亚的数学启发法思想述评
波利亚的数学启发法思想主要表现在以下几个方面.
1.1 关于数学发现的方法
怎样看待数学发现的方法, 这是现代数学方法论研究中的一个关键问题.历史上曾有一个时期, 人们希望找到一种能有效解决一切问题或从事数学发现的“万能方法”, 如笛卡儿和赖布尼兹就曾提出过所谓的“万能方法”.后来, 人们又走向了另一极端, 认为根本不存在任何发现的方法, 如逻辑实证主义者就持这种观点.这就使得关于数学发现方法的研究一度陷入停滞状态.波利亚在上述两极对立之间开拓了一个新的研究方向——数学启发法.他指出, 数学启发法研究就是关于数学发现的方法或模式的研究.波利亚认为, “万能方法”是不存在的, 但是“各种各样的规则还是有的, 诸如行为准则、格言、指南等等, 这些都还是有用的.”我们可以, 而且应当去从事对新的研究工作具有启发与指导意义的一般方法或模式的研究.[1]对于如何进行数学发现方法的研究, 波利亚指出应当从身边熟悉的数学活动 (特别是成功的实践) 中积累数学活动的经验, 概括总结出数学发现的一般方法或模式, 这些方法或模式在以后类似的情况下, 就可起到启发与指导作用.这正是数学启发法的意义所在.
1.2 关于解题的思维过程
波利亚数学启发法研究的一个主要内容是解题的思维过程的研究.这里所说的“题”不是一般意义上的数学练习题, 而是一个数学问题.波利亚对解题的思维过程作了深入细致的研究, 他一方面通过自己亲手解题积累经验, 另一方面仔细观察教学中不同年龄、不同程度的学生的解题过程, 经过多年实践与探索提炼出一张“怎样解题”表, 把解题的思维过程划分为审题、拟订解题计划、实现解题计划和回顾4个阶段.他特别强调指出:“即使是相当好的学生, 当他得到问题的解答并且干净利落地写下论证后就合上书本, 找点别的事来干干, 那他就错过了解题的一个重要而有教益的方面.通过回顾所完成的解答, 通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子, 学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力.”[2]波利亚认为, 在完成解题这一数学活动后, 要通过回顾与反思解题活动的思维过程来抽象概括出一般的方法或模式来.即在解完一个题后应当考虑这样的问题:你能检验这一结果或这一论证吗?你能用不同方法导出这一结果吗?有没有更为简单和直观的方法?你能把这一结果或方法用于其它的问题吗?[2]这正是从事数学启发法研究的基本方法之一.
波利亚认为, 在解题过程中学生的发现与数学家的发现没有本质的差别和不可逾越的鸿沟.因此, 他对数学家解题思维的每一细微发现都倍感兴趣, 他阅读大量数学家的著作和手稿, 深入探索他们发现真理的思维全过程.波利亚还有目地的观察、研究学生解题的思维过程, 并在斯坦福大学心理实验室进行实验, 获得了一些关于解题过程心理活动规律的独到见解.他对解题思维过程中的各种思维形式如抽象思维、表象思维、形象思维、直觉思维等作了详尽描述和剖析, 总结出了解决问题的一般思想方法:孤立的事实, 将它与有关的事物相对照;新的发现, 将它与熟悉的知识相联系;不习惯的, 与习惯的相类比;特殊的结论, 加以推广;一般的结果, 给予适当的特殊化;复杂的情况, 分解为组成部分;细节, 通过概括获得全貌.
波利亚把研究数学解题作为研究数学发现方法的重要途径, 而且阐述了解题过程本身的价值.他指出:一个重大的发现可以解决一道重大的题目, 但是, 在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现.你要解答的题目可能很平常, 但是如果它激起你的好奇心, 并使你的创造力发挥出来, 而且你如果用自己的方法解决了它, 那么你就能经历那种紧张的状态, 而且享受那发现的喜悦.在一个易受外界影响的年龄阶段, 这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好, 并对思想和性格留下终生的影响.[2]可见, 解题过程中的发现及价值需要通过解题者自己的探索、思考来实现和感悟.
1.3 关于合情推理
关于合情推理的研究是波利亚数学启发法研究的另一重要内容.波利亚在著作《数学与猜想》中通过大量的实例论述了合情推理, 并总结了合情推理的一般模式.他指出:“数学的创造过程是与其它知识的创造过程一样的, 在证明一个定理之前, 你先得猜测这个定理的内容, 在你完全作出详细的证明之前, 你先得猜测证明的思路.你要先把观察到的结果加以综合, 然后加以类比, 你得一次又一次地尝试.数学家的创造性成果是论证推理, 即证明, 但是这个证明是通过合情推理, 通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发现过程的话, 那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置.”[3]这就是说, 要反映数学发现的过程, 就必然有合情推理的成份.对于合情推理与论证推理 (演绎推理) 的关系, 波利亚认为:“论证推理是可靠的、无疑的和终决的.合情推理是冒险的、有争议的和暂时的.它们相互之间并不矛盾, 而是互相补充的.”[3]因此, “一个对数学有抱负的学生, 不管他将来的兴趣如何, 都应该力求学习两种推理——论证推理和合情推理.前者是他专业也是他从事的那门科学的特殊标志, 后者则是他取得真正的成就所必不可少的.”[3]为了给读者展示猜测的方法, 波利亚在对类比、归纳等合情推理的实例作了详细的分析论述之后, 总结出了合情推理的一般模式.波利亚把合情推理的结论比作一个有方向和大小的力, 在合情推理中, 方向为前提所表达、所蕴含, 但强度 (大小) 却不为前提所表达、所蕴含.因此, 方向与个人无关, 而强度却与个人有关.这正是合情推理的本质.同时波利亚还指出:“我不相信有十拿九稳的方法, 用它可以学会猜测”;但是, “假如我们能从一种情形学到适用于其它一些情形的某些东西, 那么这种情形就是有启发性的, 可能适用的范围越广就越有启发性.”[3]也就是说, 合情推理的模式和方法只是一种启发性的.
2 波利亚的数学启发法思想对我国数学课程改革的几点启示
波利亚倡导数学发现方法的研究, 他把研究数学解题活动作为进行数学发现方法研究的重要途径, 他指出应当从身边熟悉的数学活动特别是数学解题活动中积累数学活动经验, 概括总结出数学发现的一般方法或模式.波利亚通过多年的研究与反思总结出的数学发现的一种重要思维方式就是合情推理, 即从特殊到一般的归纳思维.
我国传统的数学教育只注重知识技能 (双基) 的培养和演绎思维 (论证推理) 的训练, 这样的教育不能完全满足国家发展的需要和学生发展的需要.因为, 目前国家发展需要创新人才, 学生也需要创新能力来应对市场经济的挑战.有学者指出, 创新至少需要3个条件:创新意识、创新能力和创新机遇, 而前两个条件是在基础教育阶段养成的.其中, 创新能力依赖于3个方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累.我国的中小学数学教育对于“知识的掌握”做的很好, 对于“思维的训练” (包括演绎思维和归纳思维) 只作好了一半, 对于“经验积累”几乎空白.可见, 我国的数学教育在满足国家发展的需要和学生发展的需要方面只做了一半工作.[4]要解决上述问题, 必须改变我国数学课程重结果轻过程, 重演绎轻归纳的状况.从波利亚的数学启发法思想中可以得到如下几点启示.
2.1 数学课程应关注数学发现活动, 在活动中积累数学活动经验
如上所述, 创新能力形成的条件之一是经验的积累, 这里主要是指创新活动的经验, 这种经验是学生在亲自或间接经历了创新活动过程而获得的.在数学学习中, 这种创新活动主要表现为数学发现活动.我国传统的数学课程只关注数学发现活动的结果, 而对发现活动本身关注不够, 因此, 学生数学发现的经验几乎空白.波利亚早在20世纪40年代就提出要开展数学发现活动的研究, 他以研究解决数学问题活动为突破口, 总结出了解决数学问题的模式和方法.他指出, 应当从身边熟悉的数学活动中积累数学活动的经验, 概括总结出数学发现的一般方法或模式.
我国新一轮基础教育数学课程改革中, 提出数学课程内容要与学生的生活经验相联系, 要创设情境引导学生开展数学探究活动、发现数学结论.但在具体操作中, 我们缺乏这方面的研究和积累, 做的并不好.我们从波利亚数学启发法思想中可以得到一些启迪.一方面, 数学课程应关注数学发现活动, 使数学的学习过程能反映出数学的发现过程.作为课程设计者和研究者, 应当开展关于数学发现活动的研究, 积累数学发现的经验和资料.波利亚的著作能为我们提供一些这方面地借鉴.另一方面, 要引导学生对自己的数学活动进行回顾与反思, 尤其是通过对身边熟悉的数学活动的反思来积累数学活动经验.这也是一种良好的数学学习习惯.
2.2 数学课程内容应充分暴露数学发现的思维过程, 引导学生亲历、体验数学发现的活动过程
我国传统的数学课程注重数学发现的结果, 而忽视了数学发现的过程, 主要表现在教科书中只呈现现成的数学知识, 而看不到这些知识的获得过程, 教学中也只注重知识的传授, 而忽略了获取知识的方法.这对于培养学生的数学思维能力特别是创造性思维能力是极为不利的.波利亚以其从事数学研究的亲身体验和数学启发法研究的成果告诫人们:方法与结果相比前者更为重要, 教学中应把培养“有益的思考方式, 应有的思维习惯”放在首位, 而把传授知识置于次要一点的地位.他认为与其给人以死板的知识, 以知识的宝藏, 不如给人以活的、生动的方法, 以点石成金的手段.
我国新一轮基础教育课程改革中, 提出了三维课程目标, 将“过程与方法”作为课程的目标明确提出来.但是, 在数学课程内容处理上如何体现过程性目标, 在教学过程中如何实现过程性目标等, 都还是令人感到困惑的问题.受波利亚数学启发法思想的启发, 笔者认为我国数学课程要更好的体现过程性目标, 一方面, 课程内容编排与处理应为学生留有充分的独立思考的空间, 使学生充分发挥自己的个性和创造性, 亲历数学发现的活动, 自己积累数学活动的经验、归纳总结解决问题的方法;另一方面, 课程内容要展示数学知识发现的共性, “复原”数学知识的发现过程, 要根据数学知识的发现过程来设计数学活动, 引导学生体验数学发现的活动过程.这方面, 波利亚的著作为我们提供了典范.波利亚认为, 学生的数学学习活动本质上是一种类研究活动, 学生的数学学习活动与数学家的研究活动只有难易程度的差别, 而没有本质的差别和不可逾越的鸿沟.因此, 作为课程设计者或教材编写者, 要注重研究和揭示数学知识的发现过程, 这个过程不一定是历史上发现该知识的数学家当时发现的真实过程, 可能是我们自己“复原”的数学结论的发现过程, 我们也不必要求学生遵循这样的过程, 但这种过程的揭示对学生尤其是对于刚开始尝试解决问题的学生的思维会有一定的启迪作用.
2.3 数学课程应演绎与归纳并重, 促进学生认识归纳思想对数学发现的作用以及演绎和归纳思想在数学发展中的作用和价值
我国基础教育阶段的数学课程长期以来以逻辑性、严密性、系统性为首要的原则, 这对于数学教育的影响是深刻的.但过份强调严格性, 也产生了一些消极成份.如我国传统的数学课程内容可以说是极度的形式化, 过份强调抽象、严谨、逻辑等形式化侧面, 坚决反对、排斥任何的非形式化.在这样的教材体系中, 容不得半点猜测的成份.我国新一轮基础教育数学课程改革对于合情推理给予了一定的重视, 而对论证推理的要求比以往有所减弱.在课程实施中, 教师由于受传统思维定势的影响, 对此感到困惑, 这也成为课程改革争议的问题之一.
如前所述, 我国的数学教育在“思维的训练” (包括演绎思维和归纳思维) 方面只作好了一半, 即演绎思维训练做得较好, 而归纳思维训练则被忽视.重演绎本质上是关注结果, 这对于培养数学创新能力是极为不利的.事实上, 数学创新能力的培养主要靠的不是演绎推理 (演绎思维) , 而是合情推理 (归纳思维) .
回顾数学的发展历程, 数学结论的发现和创新主要靠的是实验、观察、类比、归纳、联想、猜测等合情推理, 而演绎推理则只是真理到手后的论证.除波利亚外, 许多数学家都根据自己的研究实践和经验论述了合情推理在数学发现中的作用.数学家拉普拉斯曾说:“数学中达到真理的主要方法, 是归纳和类比.”数学家欧拉也说过:“今天已知的数的性质, 大部分都是通过观察发现的, 并且远在能严格证明它们之前, 就被发现.”吴文俊院士也曾指出:“学校里给的数学题目都是有答案的, 已知什么, 求证什么, 都是清楚的, 题目也一定是做得出的.但是将来到了社会上, 所面对的问题大多是预先不知道答案的, 甚至不知道是否会有答案.这就要培养学生的创造能力, 学会处理各种实际数学问题的方法, 但要做到这一点, 光凭演绎推理是不够的.”可见, 数学知识的发现过程往往是非严格的, 即非形式化的, 只有以结果的形式表现出来的数学知识才能够做到严格化.正如波利亚所指出的:数学知识是通过猜想、合情推理等非严格逻辑思维而发现的, 只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话, 那么就应当让猜测、合情推理占有适当的地位.波利亚把教会学生猜想作为培养学生创造性能力的一种得力手段, 并且认为教猜想也就是为学生今后的发明创造做准备工作.他向教师呼吁:让我们教猜想吧!
我国的数学课程应当从波利亚的数学启发法中受到裨益.一方面, 在数学课程中应给合情推理应有的地位, 克服以往重演绎轻归纳的倾向, 在演绎与归纳之间寻求恰当的平衡.在数学教学中要既教证明又教猜想, 既教论证推理, 又教合情推理.另一方面, 应注重实质, 淡化形式, 不必过份追求理论的完整性严密性, 而应注重解决问题的“通法”.特别是数学课程内容应增加探究性内容, 以培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力, 使学生理解和掌握数学发现的方法———合情推理 (归纳思维) , 认识归纳思想对数学发现的作用以及演绎和归纳思想在数学发展中的作用和价值.
参考文献
[1][美]G.波利亚.数学的发现[M].呼和浩特:内蒙古人民教育出版社, 1980.
[2][美]G.波利亚.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社, 2002.
[3][美]G.波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社, 1984.
[关键词]小学数学;波利亚数学启发法;启示
波利亚是著名的数学教育家,他的教育思想对数学教学有着强烈的启示作用。事实上,数学启发法更像是后人总结的波利亚的教育思想之一,波利亚本身是这么说的:“可以机械地被用于解决一切问题的万能方法是不存在的,但我们仍然可以通过对于解题活动,特别是已有成功实践的分析总结出一般性的思维方法或模式,它会给你指出整个或部分解题途径,它或多或少地清楚地向你建议该怎么做。”从这段表述我们可以看出,波利亚的数学启发法的关键不在于方法的名称,而在于其透露的思想,即小学数学教学中一方面不需要刻意寻求万能方法,但另一方面又要注意总结,尤其是培养学生的自我总结能力,以便提高自己的问题解决能力。
一、数学启发法是一种宏观思维
小学数学教师最缺的并不是指导学生应试的能力,相反,最缺的往往是一种宏观思维。在目前的评价体制下,数学教师的视野其实非常狭窄,不足以从数学方法论的角度去看待自己的教学,因此能够教给学生的往往也只是一种浅层次的解题能力,而没有学会用数学去教学生。
因此,之所以这里说数学启发法是一种宏观思维,就是因为笔者想通过波利亚的数学启发法思想,给自己提供一种视野更为开阔的教学思维。譬如小学数学中常有一些运用特殊方法解题的例子,如穷举法、极限法等。波利亚曾经给出了这样的一个例子:两个人在一张桌上放硬币,要求硬币不能重叠,放下最后一枚硬币者判胜。问先放者胜还是后放者胜?这其中有着丰富的数学思维,最有意思的就是极限法,即假设桌子与硬币一样大(结果是谁胜呢);在此基础上还可以拓展,即先在桌子的中央放一枚硬币,那其后对方每放一个位置,自己也能找到一个对称的位置,那自己必胜。这其中的思维是什么?看起来与数学无关,其实却是数学上常用的思维,这也就是笔者所强调的宏观思维。
二、数学启发法是一种教学意识
数学启发法更应当成为教师的一种教学意识,也就是日常的数学教学中,教师要有这种“启发法”的意识,要学会引导学生去总结不同问题背后用到的解决方法的相似性,进而将这些问题进行归类总结,这样就能提高自己的解决问题能力,从而也就提高了启发法的教学效果。
那教师的这种启发法教学意识怎样才能形成呢?笔者以为有如下两种途径可供尝试:
其一,教学中要有“启发”的意识。分析和总结是波利亚关于启发法表述中的两个关键词,而中国传统教育本就强调启发,即所谓不愤不启,不悱不发。在实际教学中,启发意识的存在意味着对灌输式课堂的抵抗,意味着将学生置于真正的学习主体的地位。根据学习心理的有关研究,人的意识决定了人的行为,因此在课堂上启发意识的存在是非常重要的。
其二,教学中要有“法”的意识。启发法更高的境界是帮学生建立“法”的意识,即启发法不只是适用于某一道习题,而是有可能适用于一类问题的解决。这就需要通过多个问题的解决并进行总结,以让学生形成法的意识。如以上所举的例子中,启发的关键在于圆的面积的推导与等量关系的建立,而这种意识正是“法”的意识。
三、数学启发法是一种学习能力
对于教师而言,关键在于研究学生的学习规律,通过学生个体对具体数学知识的学习,去发现他们与数学启发法之间有什么联系点,然后以此联系点为基点并进行发散,进而对学生进行认知策略的培养。
对于学生而言,关键在于认知策略的形成,这里的认知策略指的当然是包括启发法在内的一切认知的策略。作为所有数学学习方法的代表,启发法的精髓在于其实际上在帮学生进行一种方法上的建模。这里不能不提的是一定量的习题训练,无论是理论还是实践均表明,要想形成一定的数学能力,一定量的习题训练是离不开的。题海战术与启发法的区别在于,前者是通过无上限的习题训练来让学生形成一种解题惯性,而后者在于通过富有变式思想的不同类型的习题训练,来让学生能够从中提取出有效的解题方法。显然,后者对于提高学生的学习能力而言,更为有效。
31数学的趣味性教育
数学教育在大学几乎所有专业的培养过程中起着举足轻重的作用。教学质量关系整个大学的教育质量。但是,大学生能否学好数学,归根结底取决于他们学习数学的积极性与热情,这种积极性与热情是建立在对数学的真正了解基础之上的,兴趣是学习最有效的动力。我们常常教育学生要明确学习目的、端正学习态度、刻苦努力等等。这些虽然必要,但是,过分地把学习强调为任务、使命,而忽视学习乐趣的做法是不可取的。所以,我们在数学教育中应结合教材和学生的实际,首先通过介绍数学史、数学家、高等数学在数学中的地位与作用、微积分的应用,使学生走进数学史的长河,追随数学家的足迹,了解高等数学在各个领域发挥的重要作用,体会到数学中人文主义精神,让学生充分感受到数学的生动、实用,以帮助学生明确学习目的、端正学习动机、提高学习高等数学的兴趣,树立学好、用好数学的信心。
如我们在讲微积分之前首先介绍微积分的作用:一切大学的数学课程都是以微积分为基础的,可以说不掌握微积分就无法学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术。
微积分的运用相当广泛,经济学家利用微积分预测全球经济发展趋势;海洋学者利用微积分描述海水流动的理论;气象学者利用微积分描述高空大气层空气的流动;今天几乎每个专业领域都在用某种方式使用微积分。因此,我们在教学中要加强微积分在各领域中应用(经济、政治、军事、生物等)方面的内容,这些应用既要有为了说明某个问题而人工打造的例子,更要有来于真实问题的.例子,使学生所学知识更贴近现实。一方面培养解决实际问题的能力,另一方面提高学习数学的兴趣。
32数学的思想性教育
数学课程在高等学校的人才培养中,不仅是一种工具、一种知识、一种语言,而且也是一种素质、一种思维模式、一种文化。在数学课程的教学中不仅要向学生传授数学知识,而且要在传授知识的同时,传授数学的科学思想、科学方法和科学精神,培养学生的学习能力、分析和解决问题的能力以及创新精神与创新能力。这是目前数学课程教学改革和建设的出发点。知识与科学思想方法可以比喻成“鱼与渔%古人云:“授人以鱼,不如授人以渔这句名言道出了科学思想方法的重要性。因为人们经过多年以后可能忘记学过的具体的数学知识,但是通过数学学习培养起来的思维能力和素质却会长期保留,并受益终身。我们发现,学生毕业以后在实际工作中真正需要用到的具体的数学定理、公式和结论,其实并不很多,但所受到的数学训练,所领会的数学思想和精神,却无时无刻不在发挥着积极的作用,成为取得成功的最重要的因素使他们受益终身。因而在某种意义上数学思想方法的学习比知识本身的学习更有价值。在高等数学中蕴涵着丰富的数学思想和数学方法,因此,数学教师应当以科学知识为载体,有意识地引导学生将隐含于教材之中的数学思想方法进行挖掘、提炼、概括,注重知识的发展过程,并及时强化。使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论,而且领会到数学的精神实质和思想方法,这应该是数学教育努力追求的目标。
加强数学思想方法教育要求在讲授数学概念、定理和方法的同时,揭示其中的辨证思想。高等数学中充满矛盾,如:静止与运动、直与曲、均匀与不均匀、离散与连续、局部与整体、有限与无限。这些变与不变的矛盾渗透到微积分的每个概念中,这些一对一对的矛盾相依存在,又在一定条件下相互转化。这不仅是自然界的普遍规律,也是数学中的普遍规律。在数学教学中对重要的概念,应揭示其产生的客观实际背景,它的内涵与外延的辩证性质,它与邻近概念(相关)的辩证联系以及概念辩证的发展过程。只有当我们站到唯物辩证法的高度才能更加深刻认识和理解全部的微积分,同时也可以加深我们对辩证唯物主义的认识。在高等数学教学中,教师要自觉主动地将唯物辩证法的立场、观点、方法寓于教学内容和讲授方法之中,对学生进行活生生的辩证唯物主义教育和思想教育,以进一步训练学生的数学哲学思维,从而不断提高学生的素质和能力,培养学生实事求是的精神。
33数学的审美性教育
小学数学教学特别是小学高年级的数学教学中,教师要紧密结合应用题的教学,通过对实际问题的研究解决,帮助学生逐步掌握“分析问题结构,处理数据资料,抓住主要矛盾,进行抽象推理,建立数量关系,合理推理求解,检验校正结果”的解决实际问题的基本方法,培养学生将来在急剧变化和剧烈竞争中的适应能力;结合数学计算的正确性、解决方法的简洁性、图形结构的和谐性等特点,来培养学生顽强的学习毅力、实事求是的科学态度、健康向上的审美情趣;结合应用数学知识来解决生产生活中节约原料、节省时间、降低成本、提高效率等数学问题,帮助学生从小养成勤劳简朴、快捷高效的行为习惯,为他们将来能成为具有高度责任感和优良道德品质的社会主义现代化的建设者打下坚实的基础。
人教版小学数学教材第九册“三角形面积的计算”中,通过“你知道吗”的形式,介绍了我国数学名著《九章算术》大约在2000年前就对三角形面积的计算方法作了记载,让学生了解到我国是一个历史悠久的文明古国,在五千年的历史长河中,人民群众通过社会生产实践创造了极其丰富的数学理论,进一步增强学生的民族自豪感的题材。
人教版第十一册的17页的例题1,介绍我国的人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的五分之二,我们可以用来教育学生保持水土,爱护耕地的题材。
人教版第十一册的第十八页的题目:国家一级保护动物丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的四分之一,我国约有多少只?我们可以用以教育学生爱护动物,保护环境的题材。
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这样的题材,在小学数学中比比皆是,关键是我们老师怎么利用这些题材来对学生进行思想道德教育,我认为在数学教学中我们可以培养学生以下几个方面的情操:
1.加强爱国主义教育
2.加强环保教育
3.促使学生养成良好的行为习惯
4.培养学生丰富的情感
The Australian Educational System
澳大利亚的教育质量具有世界一流水准,所有学校教育都是根据个体的需要、能力与兴趣而设,使得每个学生都得以发挥其个人各方面的潜能,并能运用于各行各业中。澳大利亚是个注重教育的国家,全国有42所大学及230多所专科技术学院。这些大学生和专科技术学院几乎都是政府立案的公立学校(两所私立大学),其教育体系各州略有差别,但基本上教育质量是由澳大利亚联邦政府控制管理,所以各校都能保持平均但同时又较高的教育质量。各学校的学历文凭,是被各州相互认同且全国通行的。澳大利亚的学历资格,被世界各国包括我国所广泛承认。
澳大利亚教育系统分为五大部分,它们是:
1.大学;
2.由技术与继续教育学院(TAFE)构成的职业培训系统;
3.为海外留学生提供英语补习课程的英语补习学校(ELICOS);
4.开设商业、饭店管理、航空学课程的私立学校;
5.小学和中学。
澳大利亚的教育体制大致承袭英国的系统,小学6年(即1-6年级);中学6年(7-12年级,即初中4年及高中2年);专科2-3年;大学3年。但是依据科系的不同,其修业年限也有差异,例如:文、商、理科3年,工科4年,法律4年或5年,医学6年。一般要进入专科以上学校进修者,必须完成12年教育。澳大利亚学生在12年级毕业后若想继续进修,可以有两种选择:第一,以实务课程为主的技术与继续教育学院;第二,具有学术理论性质的大学课程。申请资格以12年级的毕业会考成绩为依据。
各级教育
小学 Primary School
在新南威尔士州、维多利亚州、澳大利亚首府行政区和 塔斯马尼亚州,初级中学年限是从7年级到10年级,如同我国的初一到高一;而在西澳大利亚州、南澳大利亚州、昆士兰州和北领地初中年限则为8年级至10年级。澳大利亚的义务教育到此为止。在10年级以后,大部分的学生会进入高级中学11年级及12年级(相当于我国的高二或高三)。
在初级中学里除了必修的课程以外,各个学校还开设有广泛的专长或技术性的选修课程。在高级中学里,虽然几乎所有的学生都会学习英文和数学这两门课程,但是学校并没有设定必修的课程,学生是依据自己兴趣或将来自己可能选择的方向来选修课程的。现在,有的学校甚至设计一些课程,来满足一些不想接受高等教育的学生的需求,而这些课程皆是与技术与继续教育学院(TAPE)密切合作而设计出来的。读完12年级后,学生结业评定是由学校内的测验成绩或校内连续考核加上最后一年的统考成绩组合决定的。这些评定过程虽然因州而异,但是都是衡量学生是否能进入大学或其他高等教育系统的必要条件。大部分的中等学校是综合性的男女合校制。有些学校专门帮助学生进入高等教育体系,这些学校也包括了某些TAFE学院。
大学预科班课程 Foundation Program
澳大利亚的大学预科课程是为全自费的海外留学生设计的课程,为他们所报读的大学本
科学习作准备。澳大利亚的大学预科班是为了帮助那些已经在自己国家完成12年级的高中教育,但是无法直接申请进入澳大利亚的大学的申请者,通常为期一年,但是也有一些学校开设有半年的速成班给成绩较佳的学生。学生在大学预科班所修的课程与将来他们要进入大学所修的课程息息相关。大学预科班与中等教育最大的不同就是学生不参加统考,但是需要成功地完成此课程并由校内教师或讲师评核与测试,以证明他们已经达到某一阶段的学术水平,就可以进入自己所报读并承认这项课程的大学了。
技术与继续教育学院 Technical and Further Education,TAFE
澳大利亚的技术与继续教育学院是全国性认可与互通的职业培训教育体制,主要提供专业技能的训练课程,大部分课程都更具实用性。TAFE学院的职业教育和培训种类繁多,为澳大利亚的劳动大军提供所需技能训练,包括专业、半专业,高级技师、技师及操作员等不同层。TAFE的很多课程是与工业团体共同开办的,以确保提供最切合实际的训练和最新的专业信息。TAFE是三级教育中最大的部门,是澳大利亚高等教育的主力军,有70%的澳大利亚中学毕业生进入其间学习。
澳大利亚全国232所主要的TAFE学院中有98位于主要大城市及各州首府,其余134所则平均分布于各郊区城镇和乡村地区。虽然各州的TAFE有它们各自的行政体系,但是所有文凭资格都是全国互通与承认的,尤其大部分的专科文凭课程更是受到各大学的认可并可以免修或转移部分学分,即这些学校的毕业生在报读大学学位时可以免修部分学分。AFE的学年上课时间为2-12月,课程科系多而且广,从短期的数小时、几个月到长达三年的全日制课程都有;教学方式以课堂上课及实习为主,但是大部分课程也采用大学的上课方式;各科的评分以作业、课堂 讨论、实习和考试为依据。T一般说来,外国留学生可以自由自费申请任何TAFE所提供的课程,包括会计、秘书、营销、企业管理、农业畜牧、土地与海洋资源、建筑、艺术与人文、商业行政管理、经济、资讯科技、工程技术学、医疗保健、电脑、园艺、幼保、服装设计、美容美发、机械师训练、观光及旅店管理等。TAFE也提供各种英语进修课程给海外留学生,如英语强化课程、学术英语课程,同时还有12年级和大学预科班课程。澳大利亚的技术与继续教育学院提供非常广泛的正式与短期的训练课程,主要以实用性教学为主。所提供课程有:硕士证书、学士学位、专科文凭、高级证书、普通证书,只有极少数的TAFE课程提供硕士证书与学士学位,主要还是以专科文凭课程为主。申请专科文凭课程的学生需要至少完成相当于澳大利亚12年级的学校教育,不管是刚跨出大门的毕业生还是成人均可申请,而工作经验、学习动机等,也都是入学申请的评估条件之一。学生虽然未完成12年级的中学教育,但是年龄超过21岁,而有相关的工作经验,也会被学校破格接收。专科文凭的企业年限通常为2年。
高级证书和普通证书课程,通常是短期的训练课程,主要是针对在职人员的在职进修或想进入文凭课程的学生。但是学历程度未达到入学标准的预科课程,申请者须完成相当于澳大利亚10年级的学校教育,修课时间由半年到都有。
TAFE的教育哲学可用两句话来概括,一是因材施教,TAFE有多种课程帮助不同教育程度的学生完成他们的专业技术训练课程;二是有教无类,只要是学生要学一技之长,TAFE学院通常接受学生的入学申请,但是学生要努力学习,才能通过课程拿到文凭。
大学 Universities
澳大利亚共有大学42所,其中36所是纳入国家统一教育体系的公办大学。四所是联邦政府办的特种高等专业学校。两所为私立大学。澳大利亚公民、永久居民和新西兰公民可按“高等教育捐助计划”交付费用在公立大学就读。当然只交部分,其余费用可在找到工作时交付。其高等教育捐助计划“计算所欠债款则以个人所得税方式交付。如欲进一步了解”高
等教育捐助计划",请键入http://www.detya.gov.au.每2个大学生中有一人来自国外,由于他们学成归国不在澳大利亚纳税。大部分外国学生交全额课程费用。
澳大利亚的大学教育始于19世纪50年代,当时的悉尼大学和墨尔本大学都效仿了英国的牛津与剑桥的模式。到1911年,为适应国家飞速发展的需要,六个主要城市都已经拥有了自己的大学。目前分布于澳大利亚各个州的优秀大学有42所。多数大学都位于市区或海边,也有设在乡村的。学校的规模不一,一般有3,000到27,000名学生或更多。澳大利亚全国有一千七百多万人口,澳大利亚大学生人数与全国人口的比例,与世界其他国家相比是属于偏高的。二战后人口的增长和经济的发展使大众对高等教育的需求也随之增长,一批新大学建立起来。同那些老学府一样,新学院也仿照英国的三级教育系统,其特色包括公立身份、政府资助、学院自治、学术倾向和统一认证,并以三年或四年的学位作为基本学位等。后来由于原有的一些高等教育学院经过合并成为大学。这个合并的工作使得澳大利亚高等教育机构的数量减少,但规模扩大,于无形中提高了澳大利亚高等教育的质量及增加了广泛的课程,教学和科研趋于多样化。澳大利亚大学所提供的文凭及学位,都是得到国际认可的。
大学的上课方式,包括课堂上课、个别指导或分组讨论和说明会,还有个人在实验室和图书馆自修,此外在学年中也有其他的附加学术活动。所有课程是于2月或3月开始,但是也有些学校的部分课程于7月中旬开课。澳大利亚各大学的课程都非常注重整体的规划,如课程设计、入学要求、修业时间及修课方法与评估等,因此都能保持一定的教育水准。大学提供的课程有:博士学位、硕士学位、硕士文凭、硕士证书、学士学位、专科文凭。
1.博士学位是大学所提供的最高文凭课程,一般是以研究方式修课,但是有些学校也提供授课方式,修业年限至少三年。
2.硕士学位课程学生可以选择以研究(research)或授课(by coursework)方式进修,通常以上课为主的硕士课程,在完成学业前要写一篇小论文。一般而言,以上课为主的硕士修业年限约一年到一年半,而以研究为主的硕士修业年限则为一年半到两年。
3.修读博士及研究硕士的学生也可以修读部分科目,以辅助他们取得研究学位,当然能否取得学位最重要的评估还是在于最后的论文报告。
4.硕士文凭主要是让学士学生毕业生以强化课程的形式学到专业知识与资格,通常修业年限以一年为主。另外这个课程也招收有工作经验的毕业生,使他们在毕业工作后,继续在特别的领域取得更高的资格。一般来说硕士文凭较硕士学位的修业年限为短,但是课程的要求却更严格。一年的文凭课程相当于硕士学位的第一年,也就是说再花一年时间便可以修得硕士学位。硕士证书课程特别设计提供给学士毕业生以发展专业知识技能,这是一个半年的课程。
5.学士学位课程非常广泛,农、工、理、商、医都有,修业年限三年,但也可能长达六年,主要是依据所攻读的课程的性质而定,另外一般修课时间多加一年就可得到荣誉学位。
6.专科文凭课程的入学要求跟学士课程的要求是一样的,学生完成相当于澳大利亚12年级的学校教育。本课程修业时间2-3年,主要以师资训练教育与护理科系为主。
澳大利亚大学的日常开支的经费来源约一半是由澳大利亚联邦政府提供。其余就是靠学校对学生的收费或其他经营得到的收入了。目前留学生已经占到澳大利亚高校学生总数的15%,这个比例还在不断上升着。由于澳大利亚为英联邦成员,和美国、英国关系密切,往来频繁,教育水平也和这些教育强国相去不远。但澳大利亚地理位置邻近亚洲,亚洲学生来此就读往返容易,又没有时差,与家庭沟通也十分方便,所以有很多东南亚、乃至香港、台湾、韩国和日本的学生选择这里留学。目前在澳大利亚的留学生中有80%以上是来自这些地区的。
随着中国大陆和印度的经济增长,越来越多的中国和印度学生也能够支付起学费而来这里就读。那么对于中国的留学生来说,应该怎么样选择澳大利亚的学校呢?这些学校的具体情况和对比又是怎么样的呢? 我们可以从网上或有关书籍上查到一些有关澳大利亚大学的综合排名和分类排名。但这些排名的侧重往往是偏重于学术等方面,和留学生的客观需求不一定吻合。比如在综合排名上,澳大利亚国立大学始终是排在第一位的。因为这是一所由澳大利亚政府资助的以科研为主的大学。招生上也是以研究生为主,本科生较少。所以学生的总体规模不大,学术气氛浓过校园生活气氛。如果你是一名理论研究者,想获得很高的学术成就,来这里无疑是对的。相反,你只是想学一门好找工作的专业,以便学成留在澳洲,澳大利亚国立大学就不是你的首选了。一方面国立大学的课程与就业市场联系并不密切,另外国立大学地处堪培拉,人口少,工作机会也不多。想平时找些零工打以资助学习的朋友,你应该选择悉尼或者墨尔本。这两个城市人口多,商业活跃,工作机会也就多。你如果喜欢热闹和交朋结友,可以选择入读墨尔本大学或莫那什大学。这两所大学的学生人数都在八万。留学生也有六、七千人之多。不愁找不到志同道合者。
中、小学
澳大利亚公民和永久性居民义务教育的年龄为6岁-15岁(包括小学和初中)。小学一般分为六至七年级,初中则七或八年级至十年级。读完初中后一部分学生将出去找工作。但大多数学生通常升入高中(十一至十二年级)就读。学生高中毕业并通过高中毕业会考后,才可在专科以上高等院校就读。
初中教育
各州学校初中学习年限因初等教育年限的不同而略有差异。新南威尔士、维多利亚、首都区和塔斯马尼亚等州为7至10年级。西澳、南澳、和昆士兰各州及北领地初中为8至10年级。学习的主要科目有英文、数学、科学、人类社会与环境、外语、科技及应用课程、艺术及个人人发展、健康教育和体育等。初中毕业后,有的澳大利亚学生直接找工作,或学习TAFE(职业技术)课程或接受工作技能训练。但绝大部分初中毕业生将进入11至12年级就读高中。
高中教育
澳大利亚的高中教育年限为二年,即:11年级和12年级。高中学生除了继续学习英文和数学外,还须选修其他课程,如外语(德、法、希腊、意大利、日语等)、商业、法律、经济学、工业技术、电脑及电子技术等课程。读完12年级后,学生毕业成绩是由平时校内成绩与统考成绩决定的,高中毕业成绩也是进入大学学习的必要条件。各个学校学年有些差异,但一般通常分为四个学期。除12年级外,学生一般可以在任何一个学期开始时插班。
在决定去澳大利亚留学前,有必要先了解一下在澳的各项花费,自费留学生除须向学校缴纳全部学费外,还须支付医疗保险费,生活费等。
中学
学费因课程和学校的不同差异较大。公立学校比私立学校学费低。一般公立学校7至10年级课程每年学费为7000澳元左右,11至12年级课程每年则为8000澳元左右。每年需8000澳元至10000澳元支付日常生活开支,如:食宿、交通和服装等。
大学
不同专业学费差距颇大,在教室里授课的课程,如经济、商业和法律等每年学费7000澳元至1000澳元不等;在实验室授课的课程如科学、工程和农业等每年学费11000澳元至20000澳元的课程,如经济、商业和法律等;而医科的学费可达每年25000澳元。现在欲去澳大利亚留学,必须预交半年学费。
MBA(Master of Business Administration),工商管理硕士
MBA学费一年由10000澳元至20000澳元不等。
生活费用
数学思想是人们对数学知识及其形成过程的理性认识和基本看法, 是人类思想文化发展的结晶, 是人类思想文化宝库中的瑰宝, 是数学的精髓, 是数学的灵魂, 对数学教育有根本的指导意义, 也是数学教育的目的所在.
数学教育不是简单的把数学知识传授给学生, 而是应该把数学知识的形成过程体现出来, 让学生充分的去体验数学思维的活动和发展过程, 感受和领悟数学知识中所蕴含的数学思想和数学方法, 学会用数学地去发现问题、提出问题、解决问题, 这就是数学教育的目的所在.
一、数学思想贯穿于数学知识结构之中
数学知识是从历史和近代的数学观点以及教育学的观点组织起来的, 其中逻辑化是一个原则, 更深层次的是概念和命题的本质是什么, 最终要形成怎样的数学结构, 组成怎样的体系, 形成怎样的数学思想方法, 这些极富思想性的问题, 如灵魂一样支配着整个数学知识体系.正是这些思想, 概念和命题才会活起来, 才会相互紧扣, 相互支持, 组成整体, 而不只是孤立的知识点.也就是说概念和命题是定型的、静态的, 而思想是发展的、动态的.因此, 把握好数学知识的形成过程, 以及其中蕴含的数学思想方法, 才能以高观点的角度, 组织奸数学学习材料, 引导学生去体验数学活动的本质, 理解并感受数学思想.
二、数学思想是数学教学设计的核心
一般而言, 数学教学设计是运用系统方法对各种课程资源进行有机整合, 对数学教学过程中相互联系的各部分作出整体安排的一种构想.简言之, 数学教学设计就是把数学教学原理转换成数学材料和数学活动的计划.《数学课程标准》明确指出:“数学教学, 不仅需要教给学生数学知识, 而且还要揭示获取知识的思维过程.”因此, 数学教学设计应当是以课程中蕴含的数学思想为指导, 以揭示其内在的数学本质为目的, 对教学资源和教学活动进行构思和设计.
也就是说, 数学教学设计的核心是要充分体现出数学思想发生、形成、发展的过程, 要通过数学活动渗透现代数学思想, 运用现代教学手段实现的新的认识过程.深刻的思想, 才会产生智慧熠烁的创新设计, 构想出精妙的数学教学情景, 引发学生的思维活动, 挖掘出学生的内在潜能, 使其充分参与数学活动, 体验数学知识的发生过程, 只有这样, 才能实现“以学生的发展为本”的数学教育理念.
案例:《球的体积》
教学目标:掌握球的体积公式;形成观察、估算、猜想、构造和论证等能力;完善认知结构.
教学问题设计:
(1) 提出问题V=?;
(2) 目测观察猜想圆柱、半球、圆锥这三者体积的大小关系 (图一) :
(3) 由圆柱和圆锥的体积猜想半球的体积;
(4) 细沙实验——验证猜想;
(5) 构造“祖眶定理”, 证明猜想;
(6) 获得半球体积, 从而获得球体公式;
(7) 运用球体公式解决问题;
(8) 小结提问, 布置作业.
以上的教学设计就是以问题的形式, 结合学生已有的知识和经验, 内化了球体体积公式的数学过程.从“目测”到“猜想”, 这是“发现”;从“猜想”到“实验”是强化“发现”, 构造“祖眶定理”, 证明猜想, 则是在内化数学思想由发现到内化的过程, 是在教师的组织、引导、合作下进行的, 而教师的主导作用的发挥完全取决于课前对教学活动的精心设计和对数学知识所蕴含的数学思想的理解与运用, 学生在目测、猜想、实验的过程中, 充分参与了知识的形成过程, 体验感受了数学思考的活动, 使学习活动变成了学生自主探索、动手实践、合作交流的生动活泼的学习氛围, 学习的主体作用得到了充分的体现.
三、数学思想是数学活动的中轴线
一堂课新就新在思维过程上, 高就高在思想性上, 好就好在学生参与活动的程度上.数学教学活动应突出数学知识发生的活动过程, 强调数学知识与数学思想方法的形成过程, 就是要让学生在思维活动过程中学会数学地思考问题, 体验数学思想, 参与数学模型和数学知识的建构, 逐步形成数学思想方法, 提升学生的观察力、分析力和创造力.
所以, 组织数学教学活动要以数学思想统帅数学活动过程, 以学生的数学思想方法形成和创造精神的培养为目标, 使教学的每个阶段成为形成数学思想, 学习研究方法的有效环节.其次要把握好数学知识内在的逻辑结构, 运用教育学、心理学的认知规律, 安排思维活动的方式和深广度, 把教师启发讲解和学生独立思考巧妙衔接, 合情推理与演绎推理恰当结合, 以发现、探索、研究的方式建构数学教学活动过程.
实践证明如下的设计是具思想性和有效性的:
问题情境:包括实例、情景、问题、叙述等 (意图:提出问题)
学生活动:包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动, 也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动; (意图:体验数学)
意义建构:包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等. (意图:感知数学)
数学理论:包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等. (意图:建立数学)
数学运用:包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等. (意图:运用数学)
回顾反思:包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩 (由过程到对象) 等. (意图:理解数学)
四、教学实录
案例:函数的概念
1. 问题情境
在现实生活中, 我们可能会遇到下列问题:
(1) 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查到我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示, 你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗?
(2) 一物体从静止开始下落, 下落的距离y (m) 与下落的时间x (m) 之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2秒, 你能求出它下落的距离吗?
(3) 如图为某市一天24小时内的气温变化图:
问题1:我们是如何从变量认识函数这个概念的?
2. 学生活动
问题2:在上面的例子中, 是否确定了函数关系?为什么?
3. 意义建构
问题3:如何用集合的观点来理解函数的概念?
问题4:如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点?
(结论:函数是建立在两个非空数集之间的单值对应——概念的胚胎)
问题5:结论是否正确地概括了上面例子的共同特征?
问题6:比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异?
问题7:一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征?
问题8:进一步, 你能举出一些“函数”的例子吗?它们具有上述特征吗?
4. 数学理论
问题9:如何用集合的观点来表述函数的概念?
一般地, 设有两个非空的数集A、B, 如果按某种对应法则f, 对应于集合A中的每一个元素x, 在集合B中都有惟一的元素y和它对应, 这样的对应叫做从A到B的一个函数 (function) , 通常记为y=f (x) , x∈A.
其中, 所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f (x) 的定义域 (domain) , 对应的y值所组成的集合B叫做函数y=f (x) 的值域.
对应法则和定义域是构成一个函数的二要素.
5. 数学运用
(1) 定义的直接应用
例1. (课本) 例2. (课本)
(2) 研究问题:函数的值域.、
例3. (课本P23例”
6. 回顾反思
(1) 变量的函数定义与集合的函数定义有什么区别?
(2) 你认为对一个函数来说, 最重要的是什么?
以上数学教学活动的组织, 就是以函数概念的数学思想为核心, 以问题为线索, 引导学生积极参与探究活动, 实现了函数概念从低观点到高观点的过渡.
阿尔及利亚在1830年就成为法国殖民地,在法国人心中具有特殊的地位。很多法国人将与欧洲大陆隔地中海相望的阿尔及利亚视为法国本土的自然延伸,是法国不可分割的一部分。因此,当阿尔及利亚爆发民族独立运动时,法国人将其视为“反叛”(rebellion)。阿尔及利亚战争爆发后,和平解决印度支那问题的孟戴斯·弗朗斯总理却坚决主张用武力镇压“暴乱”,他明确表示:“阿尔及利亚就是法国,不是我们所保护的国家”;“对于叛乱不要期待我们的任何宽容和妥协……”而当时在野的戴高乐也宣称:“法兰西的主权!这首先意味着,无论在国内还是国外,我们都不应使阿尔及利亚属于法国这一事实发生任何疑问。”
因此,1954年阿尔及利亚战争爆发后,第四共和国历届政府都采取武力严厉镇压阿尔及利亚民族解放运动。不过,尽管法国投入的军事力量不断增加,但收效甚微,相反法军伤亡惨重,军事开支巨大。阿尔及利亚战争的失败导致第四共和国社会矛盾不断激化,法国政局日趋动荡。
一、戴高乐的阿尔及利亚政策
1958年6月1日,戴高乐正式出任内阁总理。上台伊始,他就于6月4日-6日对阿尔及利亚进行了闪电式访问,开始推行其“鞭子与蜜糖”并重的阿尔及利亚政策。首先,戴高乐加大了对阿尔及利亚民族解放阵线的打击力度,对反殖民武装大肆进行镇压。戴高乐政府建立后,将驻阿法军增至80万。戴高乐还与驻阿法军总司令夏尔共同制定了以“重点围剿、分段绥靖”为核心内容的“夏尔计划”。另一方面,戴高乐又不失时机地抛出了他的和平方案和经济诱饵。1958年10月3日,戴高乐宣布实施著名的“君士坦丁计划”,为阿尔及利亚的明天描绘了一幅美好的图景。内容主要包括:在阿尔及利亚兴建大型化工、冶金联合企业;兴建道路、港口、通讯、卫生等公共基础设施;在五年内建造可供100万人居住的住宅,解决阿尔及利亚人的住房问题;将25万公顷土地分给农民耕种;加快发展教育和经济;保证阿尔及利亚人在法国公共事务和政府部门中的代表权等。即推行法国和阿尔及利亚一体化。同时,戴高乐政府还表现出某些和平姿态。1959年1月,法国政府释放了约7000名阿尔及利亚俘虏,并将劫持的本?贝拉等四名阿尔及利亚民族解放阵线的领导人从巴黎桑泰监狱转移到条件较好的埃克斯岛,以体现法国的和谈诚意。
戴高乐的这些举措赢得了阿尔及利亚上层温和派的好感,他的和平倡议得到他们的积极响应。5月1日,阿尔及利亚临时政府总理阿巴斯在贝鲁特发表演说:“我们准备在中立国境内与戴高乐将军会谈,不提出什么先决条件……我们愿意为同法国政府谈判做好准备。”这是民族解放阵线方面首次表示对谈判感兴趣,并且是在不以法军撤出阿尔及利亚为前提条件的情况下的表态。它一方面说明了阿尔及利亚方面对和平的渴望,另一方面也表明戴高乐的“蜜糖”政策取得了一定的成功。
1959年9月16日,戴高乐提出三种方案供阿尔及利亚人选择:第一种是独立。第二种是一体化,900万穆斯林将享受和法国人同等的权利。第三种方案是,阿尔及利亚人将享有自治权,并同法国建立紧密的联邦关系。戴高乐本人更希望采取第三种方案,即联合的形式。他宣称要在恢复和平后四年内让阿尔及利亚人自决,他强调:“我将以法兰西共和国的名义,一方面要求住在12个省里的阿尔及利亚人肯定地回答他们愿意成为什么样的人的问题,另一方面要求法国人确认这一抉择的结果。”阿尔及利亚临时政府对此迅速做出反应。任命被法国监禁的本?贝拉等五人为谈判代表,与法国政府就阿尔及利亚的地位和前途问题进行谈判。1961年1月8日,法国就是否给与阿尔及利亚自治权的问题举行的公民投票的结果揭晓。在法国本土,赞成票占75%,反对票仅有25%。在阿尔及利亚,赞成票也多达70%。
1961年5月20日,法国政府代表和阿尔及利亚临时政府代表在埃维昂举行正式谈判。经过艰苦谈判,1962年3月18日,法国和阿尔及利亚终于达成结束战争、给予阿尔及利亚独立地位的埃维昂协议。协议的主要内容包括:在过渡时期的权力机构组织方面,“自决投票将使选民表明他们是否愿意阿尔及利亚独立,以及在愿意独立的情况下,他们是否愿意法国和阿尔及利亚在本日各项声明规定的条件下进行合作”,在实现自决之前,“应建立一个临时执行机构和一个维持公共秩序的法院。应由一个高级专员在阿尔及利亚代表法兰西共和国”。“高级专员将是共和国在阿尔及利亚权力的掌握者,特别在防务、安全和维持秩序方面,具有最高的权力。”协议规定。“阿尔及利亚国家对内对外将行使其充分和完全的主权”,同时,法国和阿尔及利亚将在经济、技术和文化方面保持密切的合作关系。法国保持在开采撒哈拉石油和天然气方面的权益,法国公司在同等条件下,有获得采矿许可证的优先权。在军事方面,法国将在实现停火后将逐渐减少在阿尔及利亚的驻军,但在三年内可留驻一支9万人的军队。法国继续租用米尔斯克比尔海军基地15年,阿尔及利亚允许法国使用它需要的某些军事设施等。4月8日,法国和阿尔及利亚公民投票,分别以90.7%和99.72%的赞成票的压倒性多数通过了埃维昂协议。1962年7月3日,法国和阿尔及利亚临时政府以互换信件的形式正式确认阿尔及利亚独立。
二、戴高乐的非殖民化思想
纵观戴高乐解决阿尔及利亚问题的整个过程,可见其言论前后不乏矛盾之处,这是其阿尔及利亚非殖民化思想中新与旧、进步与落后因素交织特点的体现,也反映出非殖民化进程作为一个崭新课题的艰难与复杂。从个人角度而言,戴高乐从小接受的是法兰西帝国就是法兰西的教育,是典型的坚持维护法国的殖民帝国的旧军人。战时戴高乐领导的“自由法国”正是借助了法兰西殖民帝国的人力、物力才发展壮大起来。戴高乐也认识到,战后法国的复兴在很大程度上建立在法兰西殖民帝国的繁荣之上。为了法国的光荣和伟大,他坚持维护殖民帝国的完整,甚至不惜用武力镇压殖民地人民的反抗斗争。即使在承认阿尔及利亚独立的前夕,戴高乐仍然念念不忘昔日帝国的荣光。他说:“我们法国人建立我们帝国时,正是我们处于国内活动达到顶峰的时期,……这是一件伟大的人类事业,尽管有这样那样的错误和弊病,以及各种低级的宣传,这件事对法国来说始终是光荣的。”
尽管如此,戴高乐也认识到,第二次世界大战改变了几个世纪以来宗主国对殖民地的绝对优势地位,非殖民化已成为一股汹涌而来的历史大潮。早在领导自由法国在北非坚持抗战的时候,面对阿尔及利亚人提出的“阿尔及利亚宣言”,以及建立法阿联邦、取代传统的宗主国与殖民地关系的要求,戴高乐领导的法兰西民族解放委员会采取了增加地方议会穆斯林人数、宣布部分穆斯林可获得法国公民权等权宜之计,来安抚阿尔及利亚土著居民。同时,他又不遗余力地挽救因本土战败而岌岌可危的法兰西殖民帝国。1944年1月30日,戴高乐在布拉柴维尔召开的法属非洲代表大会开幕式上发表讲话,宣称法属非洲
国家同法国结成紧密联系的整体。是它们获得进步和发展的最好选择。他强调:“我们认为,关于将来的世界生活,闭关自守的政策对于任何国家都是既不可取,也是不可能的……但是法属非洲,与那些居民生活在我们旗帜下的其他地方一样,假如人们在本地不能在精神和物质方面得到什么益处,假如他们不能逐步提高在本地参与管理自己事务的水平,那就谈不上任何进步,法兰西有责任使他们将来做到这一点。”
二战后国际形势发生了深刻的变化,传统的殖民主义体系已越来越不能为宗主国带来经济上的收益,相反会成为其沉重负担,特别是在陷入旷日持久的殖民战争时。传统的宗主国从殖民地获取原料和初级产品,并将其作为市场倾销剩余产品的经济结构已不再适应全球化时代经济发展的需要了。戴高乐也强调,“过去使某些文明国家把某些不文明国家的人民置于他们直接控制下的那些理由,在前殖民者的思想里也正在消失。现在,对强国来说,它们的前途,它们的安全以及它们采取世界性行动的可能性,取决于自身的发展,取决于与前殖民地国家的合作。”
不过,虽然意识到世界已发生根本性的变革,但戴高乐在阿尔及利亚非殖民化过程中仍始终幻想维持法兰西殖民帝国,希望通过自治或自决形式保留法国在阿尔及利亚的特权。戴高乐并未从一开始就提出积极的非殖民化政策,也并未打算主动地、有计划地给予阿尔及利亚独立地位。他最初的构想是通过军事上的胜利,来迫使民族解放阵线武装放下武器,争取阿尔及利亚上层民族主义精英的合作,通过有限的政治改革,来加强法国对阿尔及利亚的统治。但在军事胜利无望、国内经济社会形势恶化、国际上日益孤立的不利局势影响下,戴高乐不得不从原有的立场上后退,先是承认“阿尔及利亚人的阿尔及利亚”,后是认可“阿尔及利亚共和国”,到最后终于艰难地承认阿尔及利亚独立。这种转变是艰难的,它既说明阿尔及利亚的独立是民族解放阵线等民族力量长期斗争的结果,也体现了戴高乐作为一个现实主义政治家在处理历史遗留问题上的勇气和战略眼光,以及灵活务实的政治手腕。对于旧帝国军人出身的戴高乐来说,迈出非殖民化的第一步并最终给予前殖民地独立地位殊非易事,也曾使他痛苦万分。他坦言:“对于一个像我这样年龄和像我这样教育出身,成为由他自己倡导的这样一项变革事业的主持人,这确实是残酷的。……因此,就我来说,要在那些地方移交我们的权力,卷起我们的旗帜,合上这部伟大的历史,是一种多么痛苦的精神上的考验啊!”
这种痛苦是有价值的。阿尔及利亚战争结束后,法国政治趋于稳定,经济发展速度加快。1950-1960年法国国民生产总值年均增长率为4.6%,而结束阿尔及利亚战争后,1960-1970年增长率则达到5.8%。著名经济学家奇波拉指出,非殖民化,特别是从阿尔及利亚的撤退对法国经济发展产生了重要的积极影响。其一,约100万法国移民返回本土,成为新的技术劳动力。其二,对殖民地的经济援助负担大为减轻,法国增加了国内投资。其三,放弃特权后,法国在前殖民地的垄断企业采取了更为健康和更符合经济规律的经营方式,这有益于经济的持续发展。由此可见,戴高乐的非殖民化政策在使阿尔及利亚人获得渴望已久的独立地位的同时,也使法国历史翻开了新的一页。
参考文献:
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