《实际问题与一元二次方程》说课设计

《实际问题与一元二次方程》说课设计（通用15篇）

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇1

(一)教材分析与学生现实分析

一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。

一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐，本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用

大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。

(二)数学新课程标准要求：

人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:

1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。

2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇2

教学目标

1.进一步掌握解一元一次不等式的步骤, 领悟不等式中的化归思想.

2.结合分析和解决实际问题, 使学生初步掌握建立不等式模型的思想和方法, 并能用一元一次不等式解决实际问题.

情感、态度与价值观

1.通过研究解决实际问题的过程, 培养学生合作交流意识、分类思想和探究精神.

2.体会数学在实际生活中的作用, 激发学生爱数学热情.

重点、难点

1.重点:用一元一次不等式分析解决实际问题.

2.难点:分析实际问题中的相关信息, 将其转化为一元一次不等式.

教学过程

复习巩固

1.解一元一次不等式有哪些步骤?

2.a取什么值时, 式子undefined表示下列数?

(1) 正数.

(2) 小于-2的数.

3.求不等式undefined的正整数解.

新 课

引入课题 实际问题与一元一次不等式.

问题 甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品, 并且又各自推出不同的优惠方案, 在甲商店累计购买100元商品后, 再购买的商品按原价的90%收费;在乙商店累计购买50元商品后, 再购买的商品按原价的95%收费, 顾客怎样选择商店购物能获得更大的优惠?

思 考

甲商店优惠方案的起点为购物款达100元之后;

乙商店优惠方案的起点为购物款达50元之后.

根据甲乙两商店优惠条件的起点, 怎样分情况考虑?

(1) 如果累计购物不超过50元, 则在两商店购物花费有区别吗? (在两个商店购买同样商品消费一样)

(2) 如果累计超过50元, 而不超过100元, 则在哪家商店购物花费小? (购买同样的商品在乙商店购物省钱)

(3) 如果累计购物超过100元, 那么在甲店购物花费小吗?

现讨论情况 (3) .

解 设累计购物x元 (x>100) , 如果在甲店购物花费小, 则50+0.95 (x-50) >100+0.9 (x-100) .

去括号, 得50+0.95x-47.5>100+0.9x-90.

移项、合并同类项, 得0.05x>7.5.

系数化为1, 得x>150.

即累计购物超过150元时在甲店购物花费小.

思考 累计购物超过100元而不到150元时, 在哪家店购物花费小? (乙店购物花费小) 累计购物恰好150元, 在哪家商店购物花费小? (消费一样)

综合 (3) , 本题完整的答案:

①如果累计购物不超过50元 (或正好购物150元) , 则在两店购买同样的商品花费一样.

②如果累计购物超过50元而不超过150元, 则购买同样的商品在乙店购物花费小.

③如果累计购物超过150元, 在两店购买同样的商品在甲店购物花费小.

这就是一个用一元一次不等式解决实际问题的实例.

例 2002年北京空气质量良好 (二级以上) 的天数与全年天数之比达55%, 如果到2008年这样的比值要超过70%, 那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少?

思 考

①2002年北京空气质量良好的天数是 (365×0.55) 天.

②用x表示2008年增加的空气质量良好的天数, 则2008年北京空气质量良好的天数是 (x+365×0.55) 天.

③如何列不等式?

解 设2008年比2002年空气质量良好的天数增加了x, 则undefined

去分母, 得x+200.75>256.2.

移项合并同类项, 得x>55.45.

由x应为正整数, 得x≥56.

答:2008年要比2002年空气质量良好的天数至少增加56天, 才能使这一年空气质量良好的天数超过全年的70% (奥运会) .

从上面的问题可以看出:一元一次不等式的解法与一元一次方程类似, 只是不等式两边同乘 (或除以) 一个数时, 要注意不等号的方向.

练 习

1.当x, y满足什么条件时, 下列关系式成立?

(1) 4x与7的和不小于6; (2) 3y与7的和的undefined小于-2.

2.某工程队计划在10天内修路6 km, 施工前两天修完1.2 km后, 计划发生变化, 准备提前2天完成修路任务, 以后几天内平均每天至少修路为多少千米?

3.采石场爆破时, 点燃导火线后工人要在爆破前转移到400 m外的安全区域, 导火线燃烧速度是1 cm/s, 工人转移的速度是5 m/s, 导火线要大于多少米?

4.学校计划购买40支钢笔和若干笔记本 (笔记本数超过钢笔数) , 甲乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支, 笔记本2元/本.甲店的优惠方式是钢笔打九折, 笔记本打八折;乙店的优惠方式是每买5支钢笔送一本笔记本, 钢笔不打折, 购买的笔记本打七五折.那么购买的笔记本数在什么范围内到甲店更合算?

思考题

为响应“家电下乡”的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购买三种电冰箱的总金额不超过13200元, 已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1200元/台、1600元/台、2000元/台.

①至少购进乙种冰箱多少台?

②若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 则有哪些购买方案?

小结 本节我们学习实际问题与一元一次不等式, 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似, 不等式两边同乘 (或除以) 一个数时, 要注意不等号的方向.用一元一次不等式解实际问题, 首先要找出实际问题中的不等关系, 设出未知数, 列出相应的代数式, 并列出一元一次不等式.

方程与实际问题 篇3

另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设

小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的

平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分

钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）.

A. 3x+5y=1200x+y=16 B. x+y=1.2x+y=16

C. 3x+5y=1.2x+y=16 D.x+y=1200x+y=16

2. 雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌

到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时

从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相

遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客

车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，

则下列方程组正确的是（ ）.

A.x+y=702.5x+2.5y=420 B.x-y=702.5x+2.5y=420

C.x+y=702.5x-2.5y=420 D. 2.5x+2.5y=4202.5x-2.5y=70

3. “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再

打8折（标价的80%）销售，售价为2 080元.设该

电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确

的是（ ）.

A. x（1+30%）×80%=2 080 B. x×30%×80%=2 080

C. 2 080×30%×80%=x D. x×30%=2 080×80%

4. 铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路

的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并

且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵，则

树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用

完.设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的

是（ ）.

A. 5（x+21-1）=6（x-1） B. 5（x+21）=6（x-1）

C. 5（x+21-1）=6x D. 5（x+21）=6x

5. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格

为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，

下面列出的方程正确的是（ ）.

A. 100（1+x）=121 B. 100（1-x）=121

C. 100（1+x）2=121 D. 100（1-x）2=121

6. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，

对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为

256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列

方程正确的是（ ）.

A. 289（1-x2）=256 B. 256（1-x）2=289

C. 289（1-2x）=256 D. 289（1-x）2=256

7. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，

其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，

甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕单价是甲种

雪糕单价的1.5倍，若设甲种雪糕的单价为x元，

根据题意可列方程为（ ）.

8. 为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某

路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完

成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这

项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，

可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间

为x天，由题意列出的方程是（ ）.

9. 顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆

的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的

人数各是多少人？

10. 某部队要进行一次急行军训练，路程为32千米.大部

队先行，出发1小时后，由特种兵组成的突击小队

才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已

知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部

队的行进速度？

11. 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备

做萝卜排骨汤.

妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重

量的这两样菜只要36元.”

爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价

上涨20%.”

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨

的单价分别是多少？”

请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价

（单位：元/斤）.

12. 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资

者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满

后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，

投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年

可以获得的租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺

款，2年后每年可以获得的租金为商铺标

价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理

nlc202309081511

费用.

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得

的投资收益率更高？（注：投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选

择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益

将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？13. 如图1，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相

连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原

料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.

已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为

1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输

费15 000元，铁路运输费97 200元.

求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往

B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料

费与运输费的和多多少元？

14. 如图2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌

三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可

利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，

试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.

15. 某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情

见下表）.

设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正

整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：

（1）用含有t的式子填写下表：

（2）当t为何值时，两种计费方式的费用相等；

（3）当330

钱（直接写出结果即可）.

16. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范

围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅

售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售

1部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部.月

底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在

10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10

部以上，每部返利1万元.

（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价

为 万元；

（2）如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划

当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？

（盈利=销售利润+返利）

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇4

尊敬的各位评委老师：大家好！

今天我说课的内容是《实际问题与一元一次不等式》，课题选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（七年级下册）》第九章第二节第2课时．下面我分别从教学内容的分析、教学目标及重、难点的确定、教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来说明我对这节课的教学设想。

设计理念：《数学课程标准》指出：新课程实施的基本点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

一、教学内容的分析

本节课是在学生学习了用一元一次方程解决实际问题、不等式的性质、一元一次不等式的初步解法等知识的学情上，继续结合一些实际问题，主要学习两方面内容：第一：强化如何解不等式，再次归纳解一元一次不等式的一般步骤。第二：如何用一元一次不等式解决实际问题，引导学生完成抽象过程，建立数学模型进行分类讨论，再将数学问题转化为实际问题进行解答。其中前者性质属于基本技能的学习与提升，后者属于数学知识的实际应用。通过对两部分知识的学习使学生掌握一元一次不等式的解法，体会不等式与方程的联系与区别，体会不等式是解决涉及求未知数取值范围的有力工具，是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型，本节课的学习既是对已学知识深化和运用,又是为下一课时以及下一节一元一次不等式组的学习奠定基础。

二、教学目标及重、难点的确定

1、教学目标：

《初中数学新课程标准》对本节课的教学要求为：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式解决简单的实际问题。

根据本课教材的特点、课标对本节课的教学要求以及本班学生现有的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标：（1）知识目标：

会从实际问题中抽象出数学模型，能用不等式熟练地表示出不等关系。（2）能力目标：

通过思考、观察、类比等实践活动，感知方程与不等式的内在联系，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，提高分类讨论问题的能力，体会不等式和方程同样都是刻画现实世界数量关系的重要模型，体会数学建模的思想。（3）情感目标：

在数学学习和探究的过程中，形成实事求是的态度和独立思考的习惯；在解决问题的同时，学会与其他同学交流，形成互帮互助的意识。2.教学的重点和难点：

以不等式为工具，分析问题、解决问题是本章的重点，掌握一元一次不等式的解法及解集的几何表示是本章的基本技能也是本节课的重点之一。根据考试说明所要求的会用移项法则解一元一次不等式，能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式是本节的重点之二。结合本班学生目前的教学实情以及考虑到本课时是《实际问题与一元一次不等式》，本课时的教学重点为：掌握用一元一次不等式解决实际问题。由于学生初次接触含有不等关系的实际问题，因此对于如何分析出其中的不等关系，并应用一元一次不等式描述不等关系，从而解决实际问题有一定难度，所以本节课的教学难点：用一元一次不等式抽象出隐含在实际问题中的不等关系。

三、教学方法的选择：

根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，在本节课的设计中，我主要从学生已有的学习经验出发，通过对一个具有层次性、挑战性的实际问题分层理解、引出一元一次方程，再对题目作相应的修改，从而引出一元一次不等式，这样促使学生思考、类比从而探究出解决问题的新方法并对该新方法进行有梯度的训练。此外在讲解例2之前，展示一系列身边商场的图片，激发学生的好奇心以及兴趣。在整个学习中，教师激发学生小组合作探究，引导学生独立思考、主动学习，并适时恰当地引导、帮助学生找到解决问题的方法。使学生感受数学学习中类比、分类讨论的思想，体会从方程到不等式的迁移，同时使学生经历将生活中的数和数量关系转化为数学符号的具体建模过程，体会不等式作为刻画现实世界数量关系的重要模型的价值。因此，本节课采用的教学方式是启发式、小组合作教学方式，用到类比、分类讨论的思想。

四、教学过程的设计

以我们学校正在实施的课改理念为中心，以学习单为载体，《学习单》教学模式：遵循“先学后教”、“以学定教”的教学理念，充分发挥学生自主学习、自主探究，小组合作交流积极性。课堂教学中师生、生生互动是我们展示才艺传递信息的主要形式。从本班学生的实际学情为出发点本节课的教学程序主要分为：复习引入，启发引导；创设情境，激趣思考；探究新知，解决问题，尝试练习；方法总结，深刻理解；课堂小结；课后分层练习六个环节进行。

一、复习引入，启发引导

教师首先通过一道方程和一道不等式：（1）1000.9(x100)）=500.95(x50)

（2）x+365×0.6> 0.7×365 为本节课能够顺利开展、节省时间做好铺垫。接着以一道修改后的方程题引出本节课的例1，这样循序渐进地过渡到新课中去，也符合学生的认识规律。注意的问题是：对于本题部分学生不知道怎么设未知数，因为问题中出现了“至少”词语，导致无从下手。教师可以这样来引导学生：它与一元一次方程设未知数是一样的，当你求出不等式的解集后再做判断，这样问题中反映出的不等关系的词语会与你算出的结果一致的。尝试练习1：通过类比的思想，学生自己尝试模仿练习，加深学生对新知识的理解与应用

二、创设情境、激趣思考

教师展示一系列学生身边商场的促销图片，激发学生的好奇心以及兴趣，从而引出例2，（此题不好理解，教师要求小组1号、2号学生掌握，而其它学生作了解。）

三、探究新知，解决问题 引导分析：

甲的优惠方案的起点为购物款达到 元后； 乙的优惠方案的起点为购物款达到 元后；

（1）如果累计购物不超过50元，在两家商店购物花费有区别吗？为什么？

（2）如果累计购物超过50元不超过100元，在两家商店购物花费有区别吗？为什么？如果有，则在哪家商店购物花费小？

（3）若累计购物超过100元，设累计花费x元，则在甲商店需要花费 元，在乙商店需要花 元。

此时，两家商店都有优惠，究竟到哪家购物更优惠呢？可能有几种情况？（分类讨论思想的体现）（4）购物累计达到多少钱时（超过100元），在哪家购物花费更少？ ①当选择任意商店时候，列出等式

②当选择 商店时候，请列出不等关系： ③当选择 商店时候，请列出不等关系：

[设计目的] 这是一个生活中常见的购物问题，与学生生活距离较近，体现出数学来源于生活，服务于生活的理念，并且有利于激发起学生的学习兴趣，使学生体会到学数学的价值，也充分体现了《课标》的基本理念：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学。对于下列不等式

50+95%(x-50)>100+90%(x-100)50+95%(x-50)<100+90%(x-100)或着：

设计目的：该问题的设计不仅可以解决学生预习导学中存在的问题更能引出本节课所需突破的重点，起到承上启下的作用。

教师提问：我们学习过的解一元一次不等式的方法是什么？能用此方法解决上述不等式吗？

老师根据学生的回答继续引导，加入我们用不等式的性质解决上述这不等式很麻烦，有没有更简单的方法呢？教师可以引导学生采用特殊值法辅助判断。

尝试练习2：通过类比的思想，学生自己尝试模仿练习，加深学生对新知识的理解与应用 [设计目的]此环节是为了落实本节课的教学重点而设计。

四、方法总结，深刻理解

学生自由回答，老师围绕以下问题引导：

1、你对本节课内容有哪些认识？

实际问题————审题、设未知数————根据不等关系列出不等式————建立数学模型（一元一次不等式）————解一元一次不等式————数学问题的解————实际问题的解

2、本节课你了解到了哪些数学思想？ 类比思想、分类讨论思想、特殊值法

[设计目的]通过小结，引导学生回味本节课的主要内容，体会数学的思想方法，并为学生提供课下继续思考的空间。

五、课后分层练习

这一环节我主要设计道习题： 第一题：务实基础---修筑高楼

中山市某旅游区向本地游客优惠开放，每张票20元.另外，每天还将售出每张60元 的普通票300张，如果要保持每天票房收入不低于20000元，那么平均每天至少应出售本地优惠票多少张？ 第二题：巅峰对决——服务生活

A购物中心和B购物中心以同样的价格出售同样的商品，现在两家商场服装专柜打出这样的广告：

母亲节快到了，阿芳想去购买衣服送给妈妈以尽孝心，不知道选哪家商场，请你做她的参谋，去哪家商场购物能获得更大优惠？

《实际问题与方程》教学设计 篇5

教学内容：教科书第78页的例4 教学目标：

1、解决实际问题中的有关和、差、倍的数量关系。

2、初步学会设计一个未知数，列方程解答含有两个未知数的实际问题。

3、培养学生学会比较、分析、并能应用已学知识解决实际问题的能力。教学过程：

一、复习

1、、学校图书组有女生x人，男生为女生的2.5倍，男生有（）人，男女同学共（）人。

2、果园里有桃树45棵，杏树的棵数是桃树的3倍，两种树一共有多少棵？

二、探究新知

教学教科书第78页的例4。

1、分析题目的已知条件和问题。

2、分析本题的数量关系。

请学生说出数量关系，教师板书。

陆地面积 + 海洋面积 = 地球表面积

教师：这道题目中有两个未知数，而这两个未知数之间存在着倍数关系。我们在解题时，只要设其中的一个未知数为x，而另一个未知数就可以用这个未知数来表示，为了解方程方便，通常情况下，设一倍数为x。

3、列方程解应用题。

解：设陆地面积为x亿平方千米，海洋面积就为2.4x亿平方千米

x + 2.4x = 5.1（1 + 2.4）x = 5.1

3.4x = 5.1

3.4x÷3.4 = 5.1÷3.4

x=1.5 提问：1.5表示什么？（1.5表示陆地面积是1.5亿平方千米）那海洋面积该怎样求呢？

一种：5.1－1.5＝3.6（亿平方千米）另一种：2.4 x＝2.4×1.5＝3.6（亿平方千米）

答：陆地面积是1.5亿平方千米，海洋面积是3.6亿平方千米。引导学生进行检验。

三、巩固训练

1、果园里种着桃树和杏树，杏树是桃树的3倍。（1）桃树和杏树一共180棵，桃树和杏树各有多少棵？

（2）杏树比桃树多90棵，杏树是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？

学生独立完成，教师评讲

2、课本81面6、7、8题

四、课堂总结：今天你学了什么？有什么收获？（小组同学相互交流）

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇6

教学目标：分析稍复杂的两步计算的应用题的数量关系，寻找等量关系式。

教学重难点：找等量关系式列方程。

教学过程：

一、忆旧引新

说说下面各题的等量关系：

如：①、红花是黄花的3倍

②、红花比黄花的3倍多2朵。(等)

二、兴趣谈话引入新例(74页例2)，后出示情景图。

1、让生说说从图中知道了哪些信息?要解决什么问题?

2、让生根据信息和问题列出题中的等量关系式，列出方程并解方程。

板书：黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数

解：设共有x 块黑色皮。

2x -4=20

2x=20+4

2x =24

x=24÷2

x =12

答：-----------------。

3、引导生用不同方法列方程。

4、小结：列方程解决问题的主要步骤：①弄清题意，设未知量为x 。②分析题意，找等量关系。③根据等量关系列出方程。④解方程。⑤检验。

三、巩固拓展：

1、1.根据方程列出等量关系式。

粮店运来72吨大米，比运来的面粉的3倍多12吨。运来面粉多少吨? 根据( )，列方程：3x +12=72

根据( )，列方程：72-3x =12

2.先说说下列各题的数量关系，再列方程解决问题。

花布每米35元，比黄布的3倍少12元。黄布每米多少元?(提示取值)

四、作业：书本第75～76页第5、6、9题。

教学反思：

用方程解决实际问题应注意的问题 篇7

王忠明

(四川省资中县重龙镇西街小学, 四川资中641200)

摘要:学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

关键词:算术方法;等量关系;方程;解决问题

方程是代数的初步知识, 也是学生从算术思维飞跃到代数思维分析现实生活中的数量关系的重要载体。学好方程的知识, 可以使学生不但在数的概念上有所扩展, 而且能简明地表达日常生活中数量关系的一般规律。这对学生进一步认识数的本质, 开拓解题思路, 发展他们抽象的思维能力具有极大的促进作用, 而且有利于中小学数学教学的衔接。因此, 在小学阶段教学好方程的知识, 并用之解决简单的实际问题就显得尤为重要。用方程解决实际问题应注意以下几点:

一、善于寻找题中的等量关系

找等量关系式是根据题意列方程的关键。有些数学问题数量关系复杂, 学生一时不易找出隐含的等量关系, 以致列不出方程, 因此找题中的等量关系应在教学中引起高度重视。训练找等量关系的能力, 可以从数量关系比较明显的问题开始, 再过渡到数量关系较复杂的问题, 可以组织找等量关系的专项练习。例如: (1) 一桶油, 用去30千克, 还剩下20千克。等量关系:一桶油的重量-用去的重量=剩下的重量。 (2) 六年级一班和二班共有学生90人。等量关系:六年级一班的人数+六年级二班的人数=两个班的总人数。 (3) 三年级学生开展兴趣小组活动, 书法组人数是音乐组的3倍。等量关系可以选择用除法的, 也可用乘法的。一般来说, 含有除法的等量关系式, 较之含有乘法的等量关系式, 无论在列方程、解方程等方面都要麻烦些, 这点应向学生说明。所以其等量关系我们选择乘法的。即书法组的人数=音乐组的人数×3。总之, 通过教学, 要达到使学生熟练掌握找题中等量关系式的常见方法。

二、善于从不同角度布列方程

列方程的实质是把题中的“生活语言”转化为“代数语言”, 即把文字等量关系式用已知数与未知数代入即得方程。教学时, 要鼓励学生根据不同的等量关系式列出不同的方程, 然后加以比较, 找出较好解法, 以提高学生灵活运用方程解决实际问题的能力。

小学中的实际问题并不十分复杂, 一般直接设未知数, 即求什么设什么。有时也需间接设未知数, 即设与要求的问题紧密相关的中间问题为X。设好未知数后, 有时要根据等量关系写出某些代数式, 这也是列方程中的重要一环, 值得注意的是:根据某一等量关系建立起代数式, 就不能再根据这一等量关系布列方程, 否则会出现恒等式, 而不是我们要求的方程。

比如:小红的故事书的本数是科技书的4倍, 故事书和科技书共200本。她的故事书和科技书各有多少本?首先设未知数可以选择故事书, 也可以选择科技书。设好未知数后, 要根据其中一个等量关系表示出另一个未知数的代数式。如果设科技书有X本, 用第一个等量关系表示故事书为4X。那么列方程就只能根据第二个等量关系来列即X+4X=200。还可列出200-X=4X和200-4X=X的方程, 从中选出最方便解的方程。

三、加强求未知数 (解方程) 的训练

解方程是列方程解决实际问题的重要步骤。方程会列了, 还必须具备一定的解方程的能力, 现实教学中不少学生能把方程列出来, 却没有办法求出解来。一方面是学生所列的方程太复杂, 对所布列的方程没有进行优化, 另一方面由于解方程的能力有限, 人教版新课标教材在编排时回避了形如:20&#247;X=2.5和120-X=50这样的方程, 未知数处于除数和减数的位置如何解。尽管教材回避了, 但对于提高学生解方程的能力来说, 教学生对这类方程如何解是必要的。

四、灵活地运用算术解法与方程解法

解决数学实际问题的算术解法与方程解法既有联系, 又有区别。两者最明显的区别在于:方程解法中未知数可以参加列式与运算;而算术解法中则不能。正因为如此, 方程解法就可降低分析推理的难度。

教学列方程解决问题以后, 有些问题可以让学生分别用算术方法和方程方法来解, 通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同, 并能根据题目不同特点, 灵活选择解法。一般来说, 顺向思维的题宜用算术解法;逆向思维的题宜用方程解法。

列方程解决实际问题时, 还应注意一些问题。如:要重视检验, 它既能保证解答的正确性, 又能培养学生认真负责的态度;而且由于中学里方程的解不一定是唯一的, 有时有几个根, 有时不一定有合理的根, 所以解的根必须检验。小学里养成了检验答案的习惯, 对以后的学习大有好处。

摘要：学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇8

一、 从一个经典问题谈起

当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少.

【说明】在这样一个貌似复杂的“开支问题”的背后，隐藏的是一个有关一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用问题. 同学们，涉及方案选择时，不等式有时要与方程联系起来哦！

三、 一元一次不等式，助你成为决策者

例3 为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：

如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2 300元，求最省钱的租车方案.

【分析】设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（6-x）辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物资和每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案.

解：设租用甲种货车x辆，租用乙种货车（6-x）辆，

即A型住房建48套，B型住房建32套；

当a=1时，三种建房方案利润相等；

当a>1时，x=50时，W最大，即A型住房建50套，B型住房30套.

【说明】这个问题对我们七年级的同学来说小有难度哦，尤其是（2）（3）两问，把此前我们经历的“静态”的利润，转变成了“动态”的. 这就需要我们对W=480-x是如何变化的有个初步的感悟. 同学们可以试一试，相信随着逐步深入的学习，你会更有启发.

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇9

【知识与技能】

会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】

经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度】

通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.【教学重点】

构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】

会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.一、导学 1.导入课题：

问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？

问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

本节课我们学习一元二次方程的应用.(板书课题)2.学习目标：

列一元二次方程解有关传播问题的应用题.3.学习重、难点：

重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.难点：探究传播问题中的等量关系.4.自学指导:(1)自学内容：教材第19页“探究1”.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：

①设每轮传染中平均每人传染了x人.第一轮传染后共有x+1人患了流感；

第二轮传染中的传染源为x+1人，第二轮后共有x+1+x(x+1)人患了流感.根据等量关系“经过两轮传染后，有121人患了流感”列出方程x+1+x(x+1)=121.本题的解答过程：

设每轮传染中平均每人传染了x人.由题意列式可得x+1+x(x+1)=121, 解方程.得x1=10,x2=-12(不符合题意，舍去).平均一个人传染了10个人.②能有更简单的解方程的方法吗？怎样求解？ 对方程左边提取公因式.(x+1)(x+1)=121 ③如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？ 经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感 n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n.④某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意1+x+(1+x)x=81,(1+x)2=81,x+1=9或x+1=-9.解得x=8或x=-10(舍去).三轮感染后被感染的电脑台数为(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台.⑤某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少个小分支? 设每个支干长出x个小分支.根据题意，得1+x+x2=91，即(x-9)(x+10)=0.解得x1=9,x2=-10(舍去).∴每个支干长出9个小分支.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学 1.师助生：

(1)明了学情：了解学生是否会寻找等量关系、列方程，对“两轮传染”是否真正理解.(2)差异指导：指导学生寻找等量关系、列方程的过程.2.生助生：小组内互相交流、研讨.四、强化

1.点一名学生口答探究提纲第③题，点两名学生板演第④、⑤题，并点评.2.“传播问题”的两种模型： 问题④：传染源参与两轮传染； 问题⑤：传染源只参与第一轮传染.3.总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后要检验根是否符合实际意义.五、评价

1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？ 2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、小组相互交流情况以及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：

(1)教师引导熟悉列一元二次方程解决实际问题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解决实际问题的一般思路，有利于学生掌握列一元二次方程解决实际问题的方法.(2)传播类问题是一元二次方程中的重点问题，经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，进一步锻炼学生分析问题、解决问题的能力.1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.一、基础巩固(70分)1.(10分)生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(B)A.x(x+1)=182

B.x(x-1)=182

C.2x(x+1)=182

D.x(1-x)=182×2 2.(30分)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,解得x1=7，x2=-9(舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)第三轮被传染的人数为(1+x)2·x=(1+7)2×7=448.答：第三轮将有448人被传染.3.(30分)参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？

解：设共有x个队参加了比赛.依题意x(x-1)=90.解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.二、综合应用(20分)4.(20分)有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？

解：设每轮平均一个人向x人发送短信.由题意，得x+x2=90.解得：x1=9，x2=-10(舍去).答：每轮平均一个人向9个人发送短信.三、拓展延伸(10分)5.(10分)一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,则这个两位数是多少？

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇10

吴炳诚

2012-5

1）[教学设计

教学设计

课题：9.2实际问题与一元一次不等式（1）教学目标： 知识与能力目标：

会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；

过程与方法目标：

通过观察，实践，讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，渗透分类讨论思想； 情感态度与价值目标：

在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求 是的态度和独立思考的习惯。教学重点：

弄清列不等式解决实际问题的思想方法 教学难点：

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型

教学过程： 1.创设情境

还有一个多月就要放暑假了，同学们假期有什么打算呀？ 老师准备和朋友去西藏旅游，但是在旅行社报名时遇见了一些困难，老师想请同学们用数学知识帮帮老师。

问题1：假设5人去旅游，各旅行社的收费标准相同，均为每人1000元，中国旅行社可以打八折，蓝天旅行社的优惠方案是一人免费，其他人打九折。

请问选择哪一家更优惠？如果是8个人或10个人呢？ 怎样选择旅行社才能获得更多的优惠呢？ 中国旅行社：1000×0.8×5=4000

蓝天旅行社：1000×0.9×（5-1）=3600 8人时蓝天旅行社优惠，10人时中国旅行社优惠。

先让学生分析“哪一家旅行社更优惠是受到什么因素的影响？”，教师适时提出问题“什么时候中国旅行社更优惠？什么时候蓝天旅行社更优惠？”，“两家旅行社的收费会相同吗？”。

设旅行的人数为x,则中国旅行社的收费为1000×0.8x，蓝天旅行社的收费为1000×0.9×（x-1），当中国旅行社优惠时，则有 1000×0.8x<1000×0.9×（x-1）当蓝天旅行社优惠时，则有 1000×0.8x>1000×0.9×（x-1）当两家旅行社相等时，则有 1000×0.8x=1000×0.9×（x-1）得出结论：当x<9时选择蓝天旅行社，当x>9是选择中国旅行社,当x=9时两家旅行社收费一样。2.合作探究

选定了旅行社以后，我们还要去购买一些旅游用品，到了商场又遇见了困难。

问题2：甲乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施：甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费。哪家商场更优惠呢？（提醒学生注意：甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，应考虑那些情况？）分组活动．先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果。

最后教师总结分析：

1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；

2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。

3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：

(1)什么情况下，在两家商场购物花费相同？

(2)什么情况下，在甲商场购物花费小？

(3)什么情况下，在乙商场购物花费小？ 上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。

解：设顾客累计购物x元，则

（1）当x≤50时，显然选择甲、乙商场花费一样；（2）当50〈x〈100时，显然选择乙商场花费少；

（3）当x〉100时，在甲商场花费[100＋0.9（x-100）]元，在乙商场花费[50＋0.95(x-50)]元，① 如果在两家商场购物花费相同，则 100＋0.9（x-100）=50＋0.95(x-50)解得 x=150 ② 如果在甲商场购物花费小，则 100＋0.9（x-100）〈50＋0.95(x-50)解得 x>150 ③如果在乙商场购物花费小，则 100＋0.9（x-100）〉50＋0.95(x-50)解得 x<150 综上所得，当x〈50或x=150时，在两家商场购物花费相同； 当50〈x〈150时，在乙商场购物花费小； 当x>150时，在甲商场购物花费小.3.总结归纳

议一议：依据列方程解应用题的过程，思考列一元一次不等式解应用题的一般步骤是什么? 总结得出步骤：审题，找不等关系(关键词)；

设未知数；列不等式；解不等式；根据实际情况写出答案.4.课堂练习

某单位要制作一批宣传资料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3 00元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费． 哪家公司更优惠？

5、课堂小结

1．如何利用一元一次不等式解决实际问题? 2．如何解所得到的一元一次不等式? 3．解不等式时，需要特别注意什么？

六、布置课后作业：

1、必做题：课本134页 5、6、7

2、思考题：选做题：某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”月租费30元，每分钟通话费o.2元；“神州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元（两种通话均指市内通话）．如果一个月内通话x分钟，选择哪种通讯业务比较合算？ 【评价与反思】

列分式方程解实际问题的几种类型 篇11

一、工程问题

例1 甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？

解：设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件.则乙生产144个这种零件需小时，甲生产168个这种零件需小时.

∴-=-

==

==，

∵x>0，∴ x（x+8）>0，

∴当x>48时，乙先完成任务；

当x=48时，两人同时完成任务；

当x<48时，甲先完成任务.

点评：（1）利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法；（2）当求差的结果无法直接与0比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况.

二、利润问题

例2 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销.商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率=×100%）.

解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：-=10，解方程得x=200.

经检验，x=200是所列方程的根.2x+x= 2×200+200=600.所以商场两次共购进这种运动服600套.

（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：≥20%，解不等式，得y≥200，所以每套运动服的售价至少是200元.

点评：本题反映出售价、进价、利润之间的关系，解答此问题需要弄清总利润与销售量之间的关系.

三、捐赠问题

例3 为了援助在校贫困学生，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款的人数比第一天多50人，且两天的人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？

解：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，由题意列方程=.

解得x =200.检验：当x =200时，x（x+50）≠0，∴x=200是原方程的解.两天的捐款人数x+（x+50）=450， 人均捐款=24（元）.

答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元.

点评：解答分式方程问题的关键有两点：（1）挖掘题意中的相等关系，并根据相等关系列出分式；（2）根据题意确定运算的类型，最后根据法则进行计算.

四、决策问题

例4 某中学库存960套旧桌凳，将之修理后捐给贫困山区学校.甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务.甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元.

（1）甲、乙两个木工小组每天各修理桌凳多少套？

（2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工对质量进行监督，并由学校负担他每天10元的生活补助.现有下列三种修理方案可供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙合作修理.你认为采用哪种方案既省时又省钱.

解：（1）设甲小组每天修理桌凳x套，则乙小组每天修理（x+8）套.

依题意，得-20=.

去分母、整理得x2+8x-384=0.

解得x1=-24，x2=16.

经检验均是原方程的根.但x1=-24<0，不合题意，舍去，此时x2=16，x+8=24.

所以甲小组每天修理桌凳16套，乙小组每天修理桌凳24套.

（2）若由甲小组单独修理，则需：=60（天），总费用为：60×80+60×10=5400（元）；若由乙小组单独修理，则需=40（天），总费用为：40×120+40×10=5200（元）；若由甲、乙两小组合作，则需=24（天），总费用为：24×（80+120）+24×10=5040（元）.通过比较，选择第三种方案既省时又省钱.

点评：（1）从题目中可获得如下等量关系：甲小组单独修理桌凳所用的天数-20=乙小组单独修理桌凳所用的天数.根据上面的数量关系，设适当的未知数，列分式方程便可求解；（2）分别计算各方案所需的费用及时间，进行比较就可确定最优方案了.

五、行程问题

例5 “五·一”期间，九年级一班同学从学校出发，去某景区水洞游玩，学校与景区水洞间的距离如图1所示，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍. 图1

（1）求步行同学每分钟走多少千米？

（2）图1是两组同学前往水洞时的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图像.

完成下列填空：①反映骑车组的函数图像是线段 ；

②已知A点的坐标为（30，0），则B点的坐标为（ ）.

分析：（1）根据图像可知学校与水洞之间的距离为6千米，设步行同学每分钟走x千米，则骑自行车的同学每分钟走3x千米，列方程求解即可.（2）问题的全部信息都隐藏在一次函数图像中，从图形可以看出，线段AM表示从第30分钟才开始出发，而且早于ON到达终点，因此线段AM就是骑车同学的函数图像，骑车同学所用的时间为6÷=20分钟，所以B点的坐标为（50，0）.

nlc202309012237

解：（1）设步行的同学每分钟走x千米，则骑自行车的同学每分钟走3x千米.根据题意，得：=+40，解得x=，经检验，x=是原方程的解.

答：步行同学每分钟走千米.

（2）①AM，②（50，0）.

点评：本题将分式方程与一次函数的图像结合起来，通过函数图像提供解题信息，只有正确理解函数图像的意义，准确读出信息，才能迅速准确地解决问题.

六、几何问题

例6 如图2，某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为45°.实际开挖时，工作效率是原计划的1.2倍，结果比原计划提前4天完工.求原计划每天挖多少立方米？

图2

解：渠道的横截面的面积为（1.2+0.8+ 0.8+1.2）×0.8=1.6m2，水渠的体积为1.6×1500=2400m3.

设原计划每天挖xm3，则实际每天挖1.2xm3，根据题意得-4=

解这个方程得x=100

经检验：x=100是原方程的解且符合题意.

答：原计划每天挖100立方米.

点评：题中等腰梯形的面积×水渠的长度=所挖土的总量，根据工作时间=工作总量÷工作效率以及关键语“比原计划提前4天完工”，可列出方程求出解.

七、水电节能问题

例6 为了节约用水，某市物价局于2015年8月20日举行了市民用水阶梯价格分级用量听证会，并提出超量加价.若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费）收取；若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8元/m3收费（含污染费和排污费）.

（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年9月起计划平均每月用水量比2014年9月到2015年8月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年9月起计划平均每月的用水量；

（2）小敏家从2014年9月到2015年8月这一年中，有四个月的用水量超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余四个月的用水量与2014年9月到2015年8月的平均每月用水量相等.若按新的交费法，求小敏家从2014年9月到2015年8月这一年中应交的总水费.

解：（1）设小敏家计划平均每月的用水量是xm3，则计划前每月的用水量为（x+4）m3，由题意得=，解得：x=11

经检验：x=8.25是原方程的解，即小敏家计划平均每月的用水量是11m3；

（2）计划用水量为11m3，

超过计划用水量的20%时，用水量=11×（1+20%）=13.2m3，

超过计划用水量的50%时，用水量=11×（1+50%）=16.5m3，

设2014年9月到2015年8月的平均每月用水量为a，

则13.2×4+16.5×4+4a=12a，

解得：a=14.85，

则应交水费为：12×14.85×2.8=498.96（元）.

答：小玲家从2014年9月到2015年8月的这一年中应共交水费498.96元.

点评：本题考查了分式方程的应用。解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.

上期《直线、射线、线段与角的巩固练习》参考答案

1.C；2.B；3.B；4.D；5.130；6.6，2，4；7.60；8.45°；9. （m+n）或（m-n）；

10. 解：设BC=xcm，由题意得

AB=3x，CD=4x.

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=AB=x，CF=CD=2x，

∴EF=BE+CF-BC=x+2x-x.

即x+2x-x=60 解得x=24

∴AB=3x=72cm，CD=4x=96cm

11. （1）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC.

由BE是∠ABC的角平分线，

∴∠EBC=∠ABE，

∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，

得∠ABE=∠AEB=40°.

由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°.

12. 解：∵AC=4，BC=4，∴AB=8，

∵△CDE为等腰直角三角形，且点E不在边BC所在的直线上，

∴可分以CD为腰和底边两种情况，

（1） 以CD为腰，图略，可延长AD至E′，使得DE′=CD，

作OF⊥于AD于F，连接CE′、OE′，根据矩形的性质，易得OF=AB=4，DF=2，

∵△CDE′为等腰直角三角形，

∴CD=DE′=8，

∴E′F=10，根据勾股定理，在△OFE′中，OE′2=OF2 +FE′2

∴OE′==2

（2）以CD为底，图略，分别将点C、点D以顺、逆时针旋转45°交于点E，便是以CD为底边的等腰直角△CDE.

连接OE交CD于点G，

∵OD=OCDE=CEOE=OE，

∴△OCE与△ODE是关于OE对称，且OG、GE分别是△OCD、△CDE的垂直平分线，

∴DG=CG=4，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=4，∴AO=CO=2，

∴OG==2

在等腰直角△DGE中，GE=DG=4，

∴OE=OG+GE=6.

上期《整式的乘法与因式分解》拓展精练参考答案

1.A；2.D；3.C；4.C；5.B；6.8；7.x（x-2）2 ；

8.22010 ；9.a+b=0；10.；

11.b=，原式=3x3-x+；

12.解：（1）（x2y）2n=x4ny2n=（xn）4（yn）2=144

（2）32a-4b+1=（3a）2÷（32b）2×3=27.

13.解：（1）∵x2-2xy+2y2+6y+9=0，

∴（x2-2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，

∴（x-y）2+（y+3）2=0，

∴x-y=0，y+3=0，∴x=-3，y=-3，

∴xy=（-3）×（-3）=9，即xy的值是9.

（2）∵a2+b2-10a-12b+61=0，

∴（a2-10a+25）+（b2-12b+36）=0，

∴（a-5）2+（b-6）2=0，

∴a-5=0，b-6=0，∴a=5，b=6，

∵6-56，∴6

∴△ABC的最大边c的值可能是7、8、9、10.

（3）∵a-b=8，ab+c2-16c+80=0，

∴a（a-8）+16+（c-8）2=0，

∴（a-4）2+（c-8）2=0，∴a-4=0，c-8=0，

∴a=4，c=8，b=a-8=4-8=-4，

∴a+b+c=4-4+8=8，

即a+b+c的值是8.

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇12

例1 双蓉服装店老板到厂家选购 A、B两种型号的服装, 若购进 A型号服装9件, B型号服装10件, 需要1810元;若购进 A型号服装12件, B型号服装8件, 需要1880元, 求 A 、B两种型号的服装每件分别为多少元?

分析:从题目中可发现:①9件A型服装的总价+10件B型服装的总价=1810元, ②12件A型服装总价+8件B型服装总价=1880元, 利用此关系式即可列出方程组。

解:设 A、B两种型号的服装每件分别为x元、y元, 依题意可得方程组:

undefined

解此方程组, 得:

答:A种服装每件90元, B种服装每件100元。

例2 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台, 改进生产技术后, 计划第二季度生产这两种机器共554台, 其中甲种机器产量要比第一季度增产10%, 乙种机器要比第一季度增产20%, 该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?

分析:由题意可知;①工厂第一季度生产的甲种机器台数+该季度生产的乙种机器台数=480台。②由于改进技术, 工厂在第二季度生产的甲种机器台数+该季度生产的乙种机器台数=554台, 而工厂在第二季度生产的甲、乙两种机器台数分别是 (1+10%) ×第一季度生产的甲种机器台数; (1+20%) ×第一季度生产的乙种机器台数。利用①②两关系式即可列出方程组。

解:设该厂第一季度生产甲种机器 x台, 该厂第一季度生产乙种机器 y台。

依题意可得:

解此方程组, 得:

答:第一季度生产的甲、乙两种机器分别为220台和260台。

例3 一船在静水中每小时走15千米, 从 A地到 B地, 顺流行驶需8小时, 回来时逆流行驶6小时后在离A地58千米处发生故障, 求 A、B之间的距离及水速?

分析:船在逆流行驶时的速度=静水中船的速度-水速,

船在顺流行驶时的速度=船在静水中的速度+水速。

由题意得:①顺流行驶时船的速度×顺流行驶时间 (8小时) =A地到 B地的距离。

②逆流行驶时船速×逆流行驶时间 (6小时) =A地到B地的距离-58千米。

由①②两关系式可得方程组。

解:设水流速度为x千米/时, 则逆流行驶时船的速度为: (15-x) 千米/时, 顺流行驶时船的速度为 (15+x) 千米/时, A地到B地的距离为 y千米。

依题意得:

解此方程组得:

《实际问题与一元二次方程》说课设计 篇13

1.一辆汽车平均每小时行驶60千米，x小时共行驶（）千米。2.小明骑自行车每分钟能行x米，那么15分钟能行（）米。

3.甲车每小时行40千米，乙车每小时行52千米，两辆车各行驶了x小时，两车共行驶了（）千米。

这是我们以前学过的速度、时间和路程之间的数量关系。今天这节课，我们就继续运用所学知识来解决问题。（板书课题：解决问题）

二、合作交流，探究新知。

（一）、明确问题，提出要求。

小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？

1.指名读题目。请同学们思考：你从题目中得到了哪些数学信息？（提问）2.你有什么要提醒同学们注意的吗？（统一单位）

3.有没有不明白的地方？（相距、同时出发、相向而行、相遇各是什么意思？让学生表演）

（二）、合作交流、汇报结果

师：你能用图把这道题的意思表示出来吗？

1、小组交流画图方法，学生尝试独立画图，指一生上黑板画，师指导完成。

2、学生根据黑板上的图完善自己的图。师：我们用画图的方法来表示题目的信息及问题，是小学数学里面一个很重要的思想方法——数形结合的方法。

3、观察线段图，说出等量关系。小林骑的路程+小云骑的路程=总路程

小林的速度×相遇时间+小云的速度×相遇时间=总路程

4、列方程解答问题，指名板书。师：列方程解决问题要记着检验。这类问题的解决方法，大家学会了吗？敢接受挑战吗？（约定：我思考，我练习，闯关没问题！）

三、巩固练习

挑战一：口头设未知数，只列方程，不计算： 1.两列火车从相距570km的两地同时相向开出。甲车每小时行110km，乙车每小时行80km。经过几小时两车相遇？

2.甲乙两个打字员同时开始合作打印一份360页的书稿，甲每小时打8页，乙每小时打10页，她们合打几小时才能打完这份书稿？

师：其实，这道题也是运用了类似的等量关系，它是解决这类问题的法宝。刚才是相遇时间未知，如果速度未知，你能根据它列方程吗？

3.小明和小红在校门口告别，7分钟后他们同时到家。小明平均每分钟走45m，小红平均每分钟走多少米？

挑战二：甲乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船落后乙船57.6km。甲船每小时行32.5km，乙船每小时行多少千米？

四、课堂总结、畅谈收获

师：今天这节课，我们通过阅读与理解，理清了题目的信息与问题；然后借助线段图分析与解答了问题；在刚才的回顾与反思中，大家谈到了自己的收获。我们还学习了数形结合的方法，希望在家在今后的学习中给，有意识地培养这种思想，它会使你的思维更加灵活、更加深刻。

实际问题与一元二次方程教学反思 篇14

一、学生计算能力总体差.

如:最后计算题解一元二次方程时出错和一大题的一半出错.

二、基础知识掌握不扎实如:

填空题7题和10题,学生对一元二次方程和一元一次方程的条件理解不透彻

根据题意列方程审题不清

三、基本的概念定理不清楚

如:选择题14和15题有关角平分线和垂直平分线定理的考查好多学生出错.15题是有关一元二次方程和一元一次方程和整式方程,分式方程的考查,包括有优生都出错.

四、证明题逻辑思维不条理

对于95%的学生证明步骤依然是他们的弱点,是初三阶段的训练目标.

《椭圆及其标准方程》说课设计 篇15

关键词：解决问题；引导；巩固

教材内容的分析

1． 教材内容

本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.

2. 教材的地位及作用

“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.

3. 教学的重、难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．

难点：椭圆的标准方程的推导．

因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．

疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．

教材目标的确定

1. 教情、学情分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.

2. 教学目标

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.

知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.

能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.

情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.

教法与学法

1. 教法

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.

2. 学法指导

在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.

教学过程的设计

1. 创设情境，复习引入

以“嫦娥奔月”引入

2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？

图1

设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.

2. 动手实验，归纳概念

教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．

设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.

3. 启发引导，推导方程

由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.

（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标

引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.

（2）写出动点M满足的集合

根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.

（3）化简

带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.

（4）归纳小结

这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.

设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

拓展引申，对比分析

引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.

设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.

运用拓展、提高能力

例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.

例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.

（1）+=1；

（2）+=1；

（3）3x2+4y2=1；

（4）x2+=1.

例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.

例2求适合下列条件的椭圆标准方程.

（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.

例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.

课堂练习

（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；

（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；

（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.

回顾反思，提升经验

总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.

（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；

（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；

（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；

（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.

说课总结