《数系的扩充与复数的引入》教学反思

《数系的扩充与复数的引入》教学反思（推荐3篇）

《数系的扩充与复数的引入》教学反思 篇1

数学组：谢瑞萍

《数系的扩充与复数的引入》这一部分是在高二下学期学习的, 新课标的基本要求是：在问题情境中了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示和几何意义，能进行代数形式的四则运算和几何意义。

本着面向全体学生，巩固基本知识，强化基本技巧为出法点，而且复数这一部分在高考中的难度相对比较低，在教学设计时，我选择了常见的三种题型，进一步让学生学习了复数的概念及有关定义、复数的运算和利用复数的几何意义。为了提高课堂的教学效率，通过制作了PPT演示文稿，展示数的发展历史，把例题事先制作好，然后再黑板上进行演算。然后还是由于时间有限没有给学生们足够的时间让他们先进行思考，使部分学生有拖着走的感觉。

《数系的扩充与复数的引入》教学反思 篇2

( 1) 目的性原则: 导入要针对教材内容明确教学目标, 抓住教学内容的重点、难点和关键, 从学生实际出发.

( 2) 关联性原则: 导入要具有关联性, 要善于以旧拓新、温故知新. 导入的内容要与新课的重点紧密相关, 能揭示新旧知识联系的交点, 使学生认识系统化.

( 3) 科学性原则: 导入设计应该建立在科学的教学理论系统基础之上, 要确保导入内容本身的科学性.

( 4) 简洁性原则: 导入要精心设计, 力争用最精练的语言, 集中学生注意力, 使学生接受或掌握, 并在课堂教学中行之有效.

( 5) 启发性原则: 富有启发趣味性的导入能引导学生发现问题, 激发学生解决问题的强烈愿望, 能创造愉快的学习情景, 促使学生自主进入学习, 起到抛砖引玉的作用.

经查阅资料“数系的扩充与复数的概念”这一课的引入方式主要代表有三种:

( 1) 从一元二次方程式着手. 当判别式为负时方程没有实数解, 若要求这个方程非得有根, 那么到底要引进什么样的新数呢?

分析: 导入方式 ( 1) 在复习旧知的基础上, 直接切入主题, 是一种直S接法与复习法结合的导入方式. 这种方式没有与课题非常切合, 缺少了如何导入数系扩充的过程, 自然学生也无法体会数系扩充的由来, 于是学生只是认为这是为了解方程而去创造一个新的数, 却不知为何生活中需要有虚数. 这样的导入方式很容易让学生认为: 数学学习只需要不断地“接受、模仿与记忆”, 强化练习与记忆, 那么这节课的教学效果的好坏就只需要取决于学生接受、模仿与记忆的能力的强与弱. 教育家弗赖登塔尔认为“学习数学的唯一正确途径是实现再创造”, 也就是由自己去发现或创造出新知; 教师在学生学习的过程中, 始终是一名引导者, 时刻以学生为主体, 引导学生进行“再创造”的工作. 新课程标准倡导一种自然而有效的学习方法, 即在做数学中学数学, 显然导入方式 ( 1) 没有遵循目的性与科学性原则, 因此不可取.

( 2) 环节一: 回顾自然数→整数→有理数→实数的发展历史, 提出以下的问题: 自然数的历史是怎样的? 无理数又是如何产生的? 在历史上, 数是如何一步一步地得到扩展的? 在数集从整数集扩展到实数集后, 除了对四则运算加减乘除封闭外, 正数能进行开方运算, 但负数呢?

环节二: 我们先来看看四个解方程的例子.

例请分别在我们学过的整数集、有理数集、实数集中解下列方程.

( 1) 3x + 5 = 1; ( 2) x2= 4; ( 3) x2= 2; ( 4) x2= - 1.

分析导入方式 ( 2) 是多种导入方式的集合体, 分别是复习法、悬念法、类比法和数学史法. 分析方式 ( 2) , 其符合导入方式选用的五大原则, 当教师以提问的形式带领学生回顾实数的发展历程后, 设计了4个小题目, 而第4个小题恰好落在学生的“思维最近发展区”, 学生跳一跳就能触摸新知, 激发了学生的求知欲. 从中可以看出教育者的教学理念是: 数学学习的主要目的是不仅仅为了习得数学知识, 还要提高学生的数学思维能力, 倡导学生积极主动参与学习活动, 做学习的主人, 提高数学思维能力. 这种导入方式, 体现了新课程理念中倡导积极主动的发现学习方式, 注重提高学生的数学思维能力的基本理念, 因此, 此导入方式是一线教师参考的蓝本.

( 3) 环节一: 与方式 ( 2) 中回顾数的发展历史一样, 带领学生复习旧知.

环节二: 已知x2+ y2= 2, xy = 2, 求x + y, x, y的值分别为多少.

环节三: 给予学生解决“环节二的问题”的充分时间后, 提出新的问题: “在上述问题中, 我们看到x + y是存在的, 但x和y却没有实数解, x + y的存在使得我们没有理由怀疑x和y的存在, 但此时的x和y却不是实数, 那么, 它是一种什么样的数呢?”此时给学生介绍数学家引入新数的历程.

分析导入方式 ( 3) 与导入方式 ( 2) 是同样的导入方式, 同样符合选用导入方式的五大原则, 是新课程理念提倡的导入方式. 而与方式 ( 2) 有所不同, 方式 ( 3) 的优点是: 通过求出x + y的值, 这个问题的解答能有效地引起学生的注意力———为什么x + y存在, 而x和y却求不出来, 激发学生解决问题的热情, 同时也为学生学习感悟虚数的存在性提供了情感的保障, 因此这个问题设计得很成功. 从中可以看出设计者的数学理念是: 数学学习的主要目的是在习得知识的同时, 强调发展学生的数学应用意识, 感受数学的文化价值, 倡导“主动·探究·合作”的学习方式. 学生通过参与数学活动, 获得了情感体验, 提高了数学思维能力.

教学是一门技术, 也是一门艺术, 而课堂教学始于引入, 俗语说“好的开始是成功的一半”, 课堂教学引入环节的效果直接影响了一节课的有效性. 因此, 设计一个好的引入方式, 是前线老师提高教学质量的重要举措之一.

参考文献

[1]张红.谈高中数学课堂的导入技能[J].黑龙江科技信息, 2009 (6) :132-164.

[2]许敏.复数引入的教学设计思路[J].上海中学数学, 2005 (4) :27-28.

[3]普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1.北京:人民教育出版社, 2007.

《数系的扩充与复数的引入》教学反思 篇3

数系的扩充与复数的引入是复数的基础内容，它是数学发展史上的一个重要的里程碑，也是高等代数的基础.全国各地每年高考的试卷中基本上都有一道复数题，考查复数的基本概念及其几何意义、复数的代数运算，题型是选择题或填空题，分值4分或5分，难度比较容易.综观历年全国各地高考卷，主要考查复数、纯虚数、共轭复数、复数的模、复数相等、复数的几何表示，考查复数的四则运算.

湖北近几年的高考情况，考查了复数的加法、乘法、除法、[in]的运算，考查了共轭复数、复数相等的概念，考查了复数的几何表示.文科与理科不同，考查了复数的加法、乘法运算、复数的几何意义，难度低于理科.

命题特点

经过认真分析近几年的湖北高考卷和全国各地省市高考卷，我们发现，数系的扩充与复数的引入在近年来高考命题中主要围绕三个方面展开，一是围绕复数的概念及几何意义；二是围绕复数的四则运算及几何意义；三是围绕复数与其他知识交汇.

1. 概念及意义考查重基础、重应用

复数的概念包括：复数定义、复数的实部与虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模，对复数概念的考查仍然注重对考查概念的理解，考查方式不会直接考概念，往往是通过简单的运算来考查概念的应用，以检测学生对概念的理解程度.

例1 设[m∈R]，[z=（m2+m-2）+（m2-1）i]，其中[i]是虚数单位，当[m]为何值时，[z]是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？

解析 由于已知[z]是标准的复数的代数形式，所以由复数为实数、虚数、纯虚数、0的充要条件可得.（1）当[m2-1=0]即[m=±1]时，[z]是实数.（2）当[m2-1≠0]即当[m≠±1]时，[z]是虚数.（3）当[m2+m-2=0]且[m2-1≠0]，即[m=-2]时，[z]是纯虚数.（4）当[m2+m-2=0]且[m2-1=0]，即[m=1]时，[z]是0.

例2 设复数[z=x+yi]，若[i（y+3i）=x+4i]，则[z]=_________.

解析 由条件得[-3+yi=x+4i]，由复数相等定义得[x=-3，y=4]，即[z=-3+4i]，所以[z=-3-4i]，从而[z=（-3）2+（-4）2=5].

答案 5

点拨 复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等，复数共轭的充要条件是实部相等且虚部相反.复数的模是指表示复数的向量的模，若复数[z=a+bi]，则它的模[z=a+bi][=a2+b2]，显然任意复数的模都是非负数，只有零的模为零.

例3 设z是复数， 则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z2≥0]， 则z是实数

B. 若[z2<0]， 则z是虚数

C. 若z是虚数， 则[z2≥0]

D. 若z是纯虚数， 则[z2<0]

解析 法一：设[z=a+bi，a，b∈R][?z2=a2-b2+2abi]. 对选项A： 若[z2≥0，]则[b=0?z]为实数，所以[z]为实数真.对选项B： 若[z2<0，]则[a=0]且[b≠0?z]为纯虚数，所以[z]为纯虚数为真.对选项C：若[z]为纯虚数，则[a=0，]且[b≠0?z2<0]，所以[z2≥0]为假.对选项D：若[z]为纯虚数，则[a=0]且[b≠0?z2<0]，所以[z2<0]为真.

法二：经观察，C和D选项可能互相排斥. 取[z=i]，则[z2=-1<0]，所以C为假命题.

答案 C

点拨 实数扩充到复数以后，实数的四则运算法则仍然成立，但实数的有些性质不再成立.如复数的平方不一定非负，复数之间不一定有大小关系，只有实数的平方非负，实数之间才有大小关系.复数的几何意义是近年来高考命题的热点，主要考查复数在复平面内对应点的位置，有时也考查相反复数、共轭复数在复平面内的几何性质.

例4 复数[z1]，[z2]在复平面内对应点[A]，[B]，[z1=3+4i]，将点[A]绕原点[O]逆时针旋转[90°]得点[B]，则[z2=] （ ）

A. [3-4i] B. [-4-3i]

C. [-4+3i] D. [-3-4i]

解析 由复数几何意义得，[A（3，4）]，由[OA⊥OB]，且[B]在第二象限，从而[B（-4，3）]，所以[z2=-4-3i].

答案 B

点拨 复数的几何意义有两种，一是复数[z=a+bi]与复平面内的点[Z（a，b）]是一一对应的；二是[z=a+bi]与平面向量[OZ]是一一对应的.实数可用实轴上的点表示，虚数只能用实轴外的点表示，纯虚数用虚轴上除原点外的点表示.相反复数的对应点关于原点对称，共轭复数的对应点关于实轴对称.

2. 运算考查重基础、重综合

近年来复数的四则运算命题注重基本运算与基本概念综合，在考查基本运算能力的同时考查复数概念的理解水平.四则运算的考查特别注重复数乘法和除法法则以及方程思想.

例5 设复数[z1=1-i]，[z2=3+i]，其中[i]为虚数单位，则[z1z2]的虚部为 （ ）

A. [1+34i] B. [1+34]

C. [3-14i] D. [3-14]

解析 因为[z1z2=1+i3+i=（1+i）（3-i）3+1=3+14+3-14i，]所以[z1z2]的虚部为[3-14].

答案 D

点拨 复数的乘除运算要注意复数乘法法则和除法法则的不同之处，特别是除法法则的分子.复数的实部与虚部都是实数，特别是复数[z=a+bi]的虚部是[b]而不是[bi].

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3. 与其它知识交汇考查重创新

例6 已知集合[M={1，2，zi}]，[i]为虚数单位，[N={3，4}]，[M?N={4}]，则复数[z]= （ ）

A. [-2i] B. [2i]

C. [-4i] D. [4i]

解析 由[M?N={4}]得[zi=4]，所以[z=-4i].

答案 C

点拨 本题考查集合的运算、复数的运算，由于在未引入复数之前，学生所见的数集都是实数集，因此此题命题有一定的创新，但新而不难，属容易题.对于含虚数的数集运算，本质上与实数集的运算没有区别，还是依据集合运算定义来解题.

例7 设[a，b∈R]，[i]是虚数单位，则“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的 （ ）

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析 法一：因为[a+bi=a-bi]，[a，b∈R]，所以复数[a+bi]为纯虚数的充分必要条件是[a=0]且[b≠0]，由[ab=0]得[a=0]或[b=0]，所以“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的必要不充分条件，选B.

法二：若[a=b=0]，则[a+bi=0]，排除A，C项；若[a=0，b=1]，则[a+bi]为纯虚数，排除D项.

答案 B

例8 设[a]是实数，若复数[a1-i+1-i52]（[i]为虚数单位）在复平面内对应的点在曲线[x2+y2=1]上，则[a]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. [±1] D. [±2]

解析 因为[a1-i+1-i52=a（1+i）2+1-i2=a+12+][a-12i]，所以[（a+12）2+（a-12）2=1]，解得[a=±1].

答案 C

点拨 本题是在复数的几何意义和曲线方程的交汇处设计，考查复数运算及几何表示、曲线与方程关系，属容易题.复数共有三种表示代数表示、几何表示和向量表示，几何表示、向量表示提供了复数与解析几何、复数与平面向量融合的依据，因此复数在解析几何、平面向量中有足够的展示舞台.

例9 设复数[x=2i1-i]（[i]是虚数单位），则[C12013x+C22013x2]

[+C32013x3+…+C20132013x2013=] （ ）

A. [i] B. [-i]

C. [-1+i] D. [1+i]

解析 ∵[x=2i1-i=i（1+i）=-1+i]，

∴[C12013x+C22013x2+C32013x3+…+C20132013x2013]

[=（1+x）2013-1=][i2013-1=i-1].

答案 C

点拨 课本上的二项式定理，是指在实数集内的二项展开问题.但引入复数后，它的适用范围可以扩大到复数集. 本题易错点是对二项式展开式的项数出现记忆错误.从上可得知，复数也可以作为数学中的活跃元素，自然地加入到其它知识之中，这就给复数考题的命制提供了更大的空间，但由于高考对这部分内容的要求不高，所以创新题不会太难.

备考指南

数系的扩充与复数的引入是高考必考的内容，在复习备考过程中，一定要认真研读考试大纲和考试说明，把握复习的度.不可穿新鞋走老路，拔高高考要求，补充特殊复数的运算性质、复数模的运算性质、复数的三角形式、实系数一元高次方程，加大学生的课业负担，劳而无功.

复习的重心应放在复数相等的充要条件和复数的四则运算上，其中特别要注意近几年的热点问题，也就是在复数的基本概念、几何意义与复数的四则运算相互交织的问题，应加强这方面的训练. 另外还要注意高考的冷点，近几年的湖北卷一直没有考查共轭虚数、复数的模和复数的加法、减法的几何意义，有可能在今后的高考中出现，所以在备考中要覆盖这些知识点.

限时训练

1. 若复数[z]满足[iz=2+4i]，则在复平面内，[z]对应的点的坐标是 （ ）

A. [（2，4）] B. [（2，-4）]

C. [（4，-2）] D. [（4，2）]

2. 已知[i]为虚数单位， 则复数[i2-i]的模等于 （ ）

A.[5] B.[3]

C.[33] D.[55]

3. 在复平面内，复数[z]（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 （ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

4. 若复数[z]满足[（3-4i）z=|4+3i|]，则[z]的虚部为 （ ）

A. [-4] B. [-45]

C. 4 D. [45]

5. [i]为虚数单位，则[（1+i1-i）2013]= （ ）

A. [-i] B. -1

C. [i] D. 1

6. 设[i]为虚数单位，若复数[z=m2+2m-3+m-1i]是纯虚数，则实数[m=] （ ）

A. [-3] B. [-3]或[1]

C. [3]或[-1] D. [1]

7. 若[z∈C]且[|z|=1]，则[|z-2-2i|]的最小值是 （ ）

A. [22] B. [22+1]

C. [22-1] D. [2]

8. 已知复数[z1=m+2i，z2=3-4i]，若[z1z2]为实数，则实数m的值为 （ ）

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A. [83] B. [32]

C. [-83] D. [-32]

9. 设[z1，z2]是复数，则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z1-z2=0]，则[z1=z2]

B. 若[z1=z2]，则[z1=z2]

C. 若[z1=z2]，则[z1?z1=z2?z2]

D. 若[z1=z2]，则[z12=z22]

10. 设复数[z=（1-i）n]，其中[i]为虚数单位，[n∈N*].若[z∈R]，则n的最小值为 （ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

11. 已知复数[z1]满足[（z1-z2）（1+i）=1-i，]复数[z2]的虚部为2，且[z1?z2]是实数，则[z2]等于______.

12. 已知[a，b∈R]，[i]是虚数单位.若[（a+i）（1+i）=bi]， 则[a+bi]= .

13. 在复平面内，[O]是原点，[OA]，[OC]，[AB]表示的复数分别为[-2+i，][3+2i，1+5i]那么[BC]表示的复数为 .

14. 若[z=2]且[z+i=z-1]，则复数[z]=________.

15. 已知复数[z=（2m2+3m-2）+（m2+m-2）i][（m∈R）]根据下列条件，求[m]的值.

（1）[z]是实数； （2）[z]是虚数；

（3）[z]是纯虚数； （4）[z=0].

16.已知复数[z1=3a+2+（a2-3）i，z2=2+（3a+1）i][（a∈R，i是虚数单位）].

（1）若复数[z1-z2]在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数z1是实系数一元二次方程[x2-6x+m=0]的根，求实数m值.

17. （1）把复数[z]的共轭复数记作[z]，已知[（1+2i）z=4+3i]，求[z]及[zz].

（2）求虚数[z]，使[z+9z∈R]，且[z-3=3].

18. 设[z]是虚数，[ω=z+1z]是实数，且[-1<ω<2].

（1）设[u=1-z1+z]，求证：[u]是纯虚数.

（2）求[ω-u2]的最小值.