加法交换律（精选11篇）
教学目标：
1、理解掌握加法交换律和乘法交换律，并会用字母表示。
2、经历观察、归纳、猜想、验证的过程，培养学生的观察、概括能力，体验获得数学知识、探索数学规律的常用策略。
3、在探索规律的过程中，渗透变与不变和归纳猜想的数学思想方法。教学重点：经历观察、归纳、猜想、验证的过程，培养学生的观察、概括能力，渗透归纳猜想的数学思想方法。教学难点：归纳猜想的数学思想方法渗透。教学过程：
一、情境导入
同学们，今天我给大家带来一个小故事：小猴子吃桃子。小猴子最喜欢吃桃子了，猴妈妈每天上午发给小猴3个桃子，下午发2个。时间长了，小猴不高兴了，怎么每天下午都少一个桃子啊？于是，猴妈妈每天上午发给小猴2个桃子，下午发3个。这下，小猴子高兴地笑了。
听完这个故事，你想对小猴说点什么啊？
同学们真聪明，能够抓住桃子的变与不变进行分析。
今天，我们就抓住数学中的变与不变来探索规律。（板书：变与不变）
二、探索规律
（一）加法交换律
1、咱们在数学运算中已经学习了加法、减法、乘法、除法，根据你的学习经验，想想在运算的过程中，有没有数的位置变了，而得数不变的现象呢？你认为在什么运算中有？ 生：加法、乘法
2、你能举出一个加法算式的例子吗？ 师适时板书，示范写法。(比如：2+5=5+2 2+5=7，5+2=7，交换加数的位置后，得数不变，用等号连接。）有同学说乘法中也有，也请你举例来验证一下。
3、观察并思考：
（出示幻灯片，学生理解并说出算式）
4、反馈：
现在我们以黑板上的几道算式为例，请你仔细观察一下左边的加法，你发现什么规律没有？看看什么变了？什么没变？
生：加数位置变了，得数没变。
师：出示定律：两数相加，交换加数位置，和不变。
这是我们数学运算中一个很重要的运算定律，你能给它起个名字吗？（板书：加法交换律）
5、用字母表示：
加法运算中有这样一条运算定律——加法交换律，我们可以写出多少个这样的算式？
能不能想个办法，用一个式子就能表示出这个定律呢？可以同桌
商量一下。
反馈：字母、符号等。
（二）乘法交换律
通过刚才加法交换律的学习，现在请你观察这些乘法算式，你一定有所发现，你想对大家说什么？ 生：乘法交换律（师板书）字母表示（师板书）
（三）联系旧知
刚才我们通过举例、观察、归纳概括出了加法交换律和乘法交换律。其实，这两个运算定律我们很早就接触过了。比如，我们一年级学习的看图写两个加法算式，应用了什么定律？再比如，二年级学习的根据一句乘法口诀写两个算式，应用了什么定律？所以说，这两个定律我们已经接触过了，只是今天我们把它归纳概括出来了。
三、达标检测：
1、完成练一练1.2.3题
2、比比谁算得快！（本节不做）
25+49+75 60+58+40 50×18×2 40×12×5
四、猜想验证
1、通过刚才的学习，我们归纳概括出了加法的交换律和乘法的交换律，知道两个数相加或两个数相乘，存在交换律。那么三个数相加或相乘，是否也可以用交换律？减法和除法是否也存在交换律呢？
2、用刚才的学习方法，同桌两人合作，举例进行验证。
3、反馈：
请你汇报的时候先说你的猜想是什么？再说怎么验证的？最后说结论是什么。
师小结：加法和乘法，我们写出了几百个算式，都符合交换加数位置，和不变。交换因数位置，积不变。而减法或除法中，只有被减数、减数相等或者被除数、除数相等的时候得数不变，其他的时候都不行。那我们能说减法和除法有交换律吗？因为我们能够举出一些反例，证明交换位置以后，结果变了，所以这个猜想不成立。
五、学习总结
今天，我们一起探索，归纳概括出了加法的交换律和乘法交换律，我发现大家很会学习。现在我们一起来回忆一下我们的学习过程好吗？
一、使学生学会猜想、验证和总结
教师在进行加法交换律的教学时,可采用探究式的教学结构“提出问题→引发猜想→验证猜想→归纳总结→拓展延伸”。学生根据验证的步骤、验证的格式以及举例验证的要求,知道举例验证时要全面(小学阶段主要运用不完全归纳法举例验证),并学会寻找反例,初步掌握运算规律研究的方法结构和步骤,初步建立研究意识和结构化的思维方式,为后续的主动探究其他的运算规律做好充分准备。这样由学生自己猜想、验证和总结,体现出规律性知识学习的重要教育价值,培养了学生的探究意识和能力。
二、使学生学会知识迁移
加、减、乘、除四种运算之间本身就是紧密联系的,其具体练习内容包括:一是减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,乘法是加法的简便运算,除法是减法的简便运算;二是乘法具有与加法相类比的运算定律,除法和减法之间也有相类比的运算性质;三是乘法与加、减法之间有运算性质,除法与加、减法之间也有运算性质。所以,教师引导学生学习知识时要有整体意识,不要拘泥于一个知识点,而要使学生知道这个知识点的来龙去脉,了解各个知识点之间的联系与区别,学会自己对已学的知识进行归纳整理与延伸。在探究加法交换律的基础上,教师可以引导学生进行以下五个层次的进一步探索,并形成运算方法的知识梳理表。
第一层次,这个层次中教师可从以下几个问题着手进行拓展,如已知两个数相加,交换加数的位置,和不变,那么三个数相加呢?四个数相加呢?分数相加呢?小数相加呢?在这个层次的学习中,学生可以借助计算器计算,等学生到了一定程度之后,教师可以继续从加法交换律角度进行拓展。
第二层次,这个层次中教师可提出问题:已知加法有交换律,那减法、乘法、除法也有交换律吗?为什么?教师可带领学生由加法拓展到减法、乘法和除法,并按照加法交换律的探究模式进行探究,从而解决问题。
第三层次,这个层次中教师可提出的问题有:加法除了有交换律,还有其他运算定律吗?加法结合律适用的范围是什么?减法、乘法、除法有结合律吗?教师可引导学生从这些问题入手进行探究。
第四层次,教师先提出问题:已知减法和除法没有交换律和结合律,那么减法和除法就没有其他的运算定律了吗?然后让学生自行探究问题。对于一般的学生而言,只要知道减法性质和除法性质就可以了,而学有余力的学生,则可以进一步掌握减法差不变性质和除法商不变性质。
国标本苏教版小学数学教科书四年级下册第56至58页。
教学目标：
1让学生在经历探索加法交换律和加法结合律的过程中，理解并掌握加法交换律和加法结合律，初步感受到应用加法运算律可以使一些计算简便。
2在探索运算律的过程中，发展学生的分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。
3让学生在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心，初步形成独立思考和探究问题的意识和习惯。
教学过程
一、教学加法交换律
1创设情境，引发思考
28个男生在跳绳
17个女生在跳绳23个女生在踢毽子
观察这幅图，你能提出哪些数学问题呢?学生可能会提出以下问题：
(1)
参加活动的一共有多少人?
(2)
跳绳的有多少人?
(3)
跳绳的男生比跳绳的女生多多少人?
(4)参加活动的女生一共有多少人?
教师选择学生提出的一个问题：跳绳的有多少人?你是怎样列式计算的?
学生列式：28+17和17+28
2师：比较这两道算式，像发现有什么不同呢?
生：前一个是男生人数加上女生人数，后一个是女生人数加上男生人数。
师：得数相同的算式我们可以用等号把它们连成等式。
3师：你能再说出几个这样的等式吗?
教师巡视，相机展示学生中出现的两种举例情况：
(1)先写出12+23和23+12，计算后，再在两个算式之间添上“=”。
(2)不计算，直接从左往右依次写下“12+23=23+12”。
师：比较这两种举例的情况，你想说些什么?
学生可能回答：不去计算就不能真正验证这两个算式是否真的相等。
设计意图：在巡视中找到学生普遍存在的细节问题，通过辨析使学生认识到这样做是很草率的，培养学生严谨求实的数学学习作风。
教师在巡视中找到下面类似的例子，如果没有，则教师自行出示：
(1)7+8=8+7，2+9=9+2，4+7=7+4
(2)5+4=4+5，30+15=15+30，200+500=500+200
师：比较这两位学生的举例，你有什么要说的吗?
学生可能回答：前一个同学只举了一位数相加，交换加数和不变，只能说明一位数相加，和不变。后一个举例比较全面。
设计意图：这是培养学生严密推理，科学举例的重要手段。
学生举例，老师相机板书等式，并追问：介绍一下你是怎么写的，得数是否相等呢?
4仔细观察这些算式，你发现了什么规律呢?根据学生回答，相机引导学生发现规律。
5你能用自己喜欢的方式表示出这个规律吗?教师适当提示：用符号、文字、字母等表示。
学生可能有的表达方式：
(1)○+□=□+○
(2)甲数+乙数=乙数+甲数
(3)a+b=b+a
设计意图：能够使用符号是数学表达和进行数学思考的重要形式，给学生用字母表示加法结合律的机会，培养学生运用符号来表示变化规律的符号意识。
6小结：两个数相加，交换加数的位置和不变这一规律叫做加法的交换律(板书：加法交换律)，通常用字母表示：a+b=b+a。
7加法交换律虽然我们今天才认识它，其实在很早的时候我们就在使用它，你知道它在哪些地方用到吗?
生：加法计算的验算。
出示课本想想做做第3题：
3计算下列各题，并用加法交换律进行验算。
357+218409+29677+845
690+174583+68195+367
组织学生分组任选一组算式进行计算并验算。
设计意图：联系过去所学过的加法验算进行教学，沟通新知与旧知之间的联系，透彻了解加法交换律，激发起学生内在的学习动机。
二、教学加法结合律
1结合情境初步感知加法结合律。
教师再选择一个问题；参加活动的一共有多少人?
师：你打算先求什么?怎样列综合算式呢?
学生列算式：(28+17)+2328+(17+23)
师：这两道算式都能求出参加活动的总人数，你会计算吗?学生分组计算。
学生汇报：两道算式都等于68人，因此可以用等号连接。
师：两道算式有什么不同?为什么得数相同呢?
生：一个是先把跳绳的人数合起来，再加上踢毽子的人数。另一个算式是先把女生的人数合起来，再加上男生的人数。
2教师出示：算一算，下面的。里能填上等号吗?
(45+25)+13○45+(25+13)
(36+18)+22○36+(18+22)
学生计算并判断。
3师：你能举出类似的例子吗?
相机引导学生举出一位数相加、两位数相加、三位数相加的等式。
4师：观察这些等式，你有什么发现呢?
组织学生相互交流后汇报。
师：你能用字母a、b、c代表这三个加数，然后把上面的规律表示出来吗?
学生独立写后回答，师板书：(a+b)q-c=a+(b+c)
5小结：三个数连加，改变运算顺序，和不变。这就是加法结合律。
(板书：加法结合律)
设计意图：加法结合律的教学流程与教学加法的交换律整体差不多，但更侧重于学生的自主学习。
三、巩固练习
1口答58页想想做做第1题。学生口答，教师组织验证。
2组织学生解决课本58页想想做做第2题，学生口答。
3师出示：(8+6)+3=8+(4+6)
师：这里运用了什么规律?你有什么要说的吗?
生：里面的加数出现了变化，左右并不相等。
设计意图：不仅让学生注意到不能马虎，也渗透了加法结合律只是改变了运算的顺序，不能改变数字的大小。
4渗透简算意识。
组织男女学生计算比赛，直接写得数，半分钟，看谁的速度快!女生做左边一组，男生做右边一组。
45+(88+12)(45+88)+12
(75+25)+4875+(48+25)
师：你们有什么要说的吗?
男生：不公平，我们做的这两题不能凑成整数，而她们算式中的括号内的数字可以直接凑成整数。
师：能不能把你们的算式变得好算一点呢?
生：能!
师：这是我们明天要学习的内容。下课后自己去试一试。
设计意图：通过学生喜闻乐见的方式引发学生思考：原来结合律有如此妙用，从而使学生对于这种规律的学习产生新奇感和好奇心。
四、引申拓展
1加法交换律的拓展。
师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。根据“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”这个结论，你还能提出哪些猜想?
学生在提示下可能会提出以下猜想：
(1)减法中，交换被减数与减数的位置，差不变。
(2)乘法中，交换两个乘数的位置，积不变。
(3)除法中，交换被除数与除数的位置，商不变。
(4)在加法交换律中，两个加数换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，和不变。
在学生出现上述猜想后，师引导学生思考怎样举例来验证。
2加法结合律的拓展。
师：仿照加法结合律，你又会做出怎样的猜想呢?
学生可能会提出以下猜想：
(I)三个数连乘，改变运算顺序，积不变。
(2)三个数连减，改变运算顺序，差不变。
(3)三个数连除，改变运算顺序，商不变。
师：你能举例验证哪一个成立，哪一个不成立吗?
学生分组尝试组织验证。
本节课在教学设计上主要突出以下几点：
1.加法结合律这部分内容是在加法意义的基础上进行教学的，是继加法交换律之后加法的第二个运算定律。学好加法结合律，对于加法的简便计算，提高运算速度和准确程度都有很大的帮助。创设连贯的生活情境，让学生体会到数学知识来源于生活。
在生活情境下学习知识，可以使学生感受到数学知识在生活中应用的广泛性。因此，加法结合律的教学同样在李叔叔骑车旅行的情境下进行，让学生根据笔记本上记录的三天行程的数据提出要解决的现实问题。在这一过程中，使学生充分感受到数学知识来源于生活。
2.调动已有的学习经验，自主发现规律。
因为本内容的学习是在刚刚学习了加法交换律的基础上进行的，所以引导学生迁移运算定律学习经验是学好本内容的基本策略。教学中，利用情境引导学生理解两种运算顺序的意义，在比较运算意义和计算结果的基础上得到等式，并请学生根据此等式的特点，举一些例子，对此类等式的特点展开讨论，然后初步小结得到加法结合律的内容。
课前准备
教师准备多媒体课件课堂活动卡
学生准备学情检测卡
教学过程
⊙复习导入
1.根据加法交换律填空。
20+34=+20
36+()=64+()
a+700=()+()
2.下面的算式哪些符合加法交换律?
(1)230+270=300+200
(2)60+80+40=60+40+80
(3)48+d=d+48
师：上节课我们学习了加法交换律，知道了两个数相加，交换加数的位置，和不变。那么加法还有没有其他运算定律呢?这些运算定律又有什么用途呢?这节课我们就来学习加法结合律。(板书课题：加法结合律)
2、培养了学生探究精神。教学成功的重要前提之一就是要激活学生参与热情，打开思维的闸门，在“多向互动”和“动态生成”的教学过程中凸显知识的活性。
3、精心设计练习。教学中学生有一定的练习量，除了完成课本上的相关练习，我还补充设计了“填空题”，在教学加法交换律结合律之后，都安排了一组练习题强化概念。
教学内容：加法结合律
教材第29页，例2。
教材分析：任意三个数相加，不论是先把前两个数相加，还是先把后两个数相加，仍然只是计算的顺序不同，所以不影响计数的结果。
教学目标：
知识目标：通过学习，使学生理解和掌握加法交换律和结合律。技能目标：
1、让学生学会用符号或字母来表示加法结合律。
2、培养学生抽象概括的能力，引导学生由感性认识上升到一定的理性认识。
情感目标：培养学生探索数学知识的兴趣。
教学重难点：培养学生用加法的运算定律进行简便计算，并用来解决实际问题。
教学过程：
一、复习引入
师： 上一节课我们学习了加法交换律，加法交换律的内容是什么？（学生回答，屏示:两个数相加，交换加数的位置，和不变。）
师：我们还学会用文字、图形和字母来表示加法交换律，哪个同学能帮助老师回忆一下吗？（屏示甲数+乙数=
a+b=）
现在我们利用加法交换律来做一做。
1．练习(抢答)。(屏示：你能根据运算律填一填吗?)屏示：96+35=35+□ 300+ 600=□+□ 35+□=65+□ 76+□=□+76
二、导入新课
1、导入例题2 师：我们上一节课说李叔叔利用五.一长假骑车旅行，到第三天，李叔叔又想到一个问题。（屏示图片李叔叔三天骑车的路程统计。）
师：从这幅图中你能获得哪些数学信息呢？
随着学生的回答，多媒体从左往右展示线段图，出现大括号与问题：
问：你能解决李叔叔提出的问题吗？
学生自己做，老师巡视，从学生中找出(88+104)+96和88+（104+96）列式计算。（实物投影）
师：你给88、104加上了括号，表示什么?(先算88加104)先把第一天和第二天行驶的路程合起来，再加第三天行驶的路程。(屏示动态结合过程)88+（104+96）现在括号加在了什么位置?表示什么?(先算104加96)，也就是先把第二天和第三天骑行的路程算出来，再加第一天骑行的路程。(屏示动态结合过程)2．比较异同点，连成等式。(屏示：(88+104)+96，88+(104+96))两道算式完全一样吗?有什么不同?（学生单独回答）
——第一道括号在前，表示先把前两个数相加，再和第三个数相加。
第二道括号在后，表示先把后两个数相加，再和第一个数相加： 运算的顺序不同，为什么得数还相同呢? ——因为两道算式都是把88、104、96三个加数相加。师：三个加数是相同的，就连先后的位置也相同，所以得数相同，连成等式！(动态屏示等式：)3．感知众多案例，积累感性认识。
老师这里还有两道算式，注意看！(屏示：(13+45)+25，13+(45+25))猜一猜，它们的得数可能会怎样? 认为相同的举手!为什么这么肯定?(因为都是这三个数相加，只不过运算顺序不同，但得数还是相同的)口说无凭！(屏示：?)还得算算！左边?右边?得数确实一样，你们真厉害！(?消失)再看，(屏示：(155+145)+207和155+(145+207))。仔细观察，大胆猜测，它们的结果又会怎样? 同桌分工，一人算一道，看看结果怎样? 汇报：左右得数相同，连成等式!(屏示：“=”)猜得这么准，这些等式是不是有什么规律呢?能说说吗?(屏示三组等式)这三组等式中都是三个数相加，左边都是先把前两个数相加，再和第三个数相加，右边都是?(先把后两个数相加再和第一个数相加)它们的和都怎么样?(不变)。
4．猜测规律，举例验证。
这个发现，会不会仅仅是一种巧合呢?如果换成其他的三个数相加，左右两边的得数还会相同吗?你能不能再举些例子来验证?同桌互相验证，全班汇报。
像这样举出的例子，被同桌证实和不变的举手！有没有同学举出的例子左右两边和不相同的?这样的例子能举完吗?(屏示省略号)5．归纳加法结合律。
师生共同小结：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加；也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。
师：这个规律就是我们今天要认识的一个运算律——加法结合律。(学生齐读加法结合律，板书：加法结合律)师：加法结合律告诉我们，三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数，也可以先把后两个数相加再加上第一个数，它们的和不变。
加法结合律也可以用图形来表示，如果用图形来表示，应该怎样体现先把前两个相加，或者先把后两个数相加呢？（屏示:△+□+○=△+□+○）添括号怎么添呢？
用字母表示加法结合律呢? 应该怎样体现先把前两个相加，或者先把后两个数相加呢？（屏示：a+b+c= a+b+c）(板书：(a+b)+c=a+(b+c))4 6．小结。三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加；也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。(突出：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。)
四、巩固练习。(作业纸)1．你能在方框内填出合适的数吗?(45+36)+64=45+(36+□)(72+20)+□=72+(20+8)560+(140+70)=(560+□)+□ 2．你能把得数相同的算式连一连吗?(1)72+16 A．(75+25)+48(2)45+(88+12)B．16+72(3)75+(48+25)C．(45+88)+12 真了不起！完成得这么好，还有两道算式也想请你们来试一试，如果这两道算式得数相同，你就起立证明自己的观点，看谁反应快！准备！
(84+68)+32 84+(68+23)哎，站起又坐下去，怎么回事?（不能连!）为什么?(三个加数中有一个不同了)哪个加数不同?一个是32，一个是23，既然两边不等，那你知道哪边大吗?现在你有什么想说的?(看题要仔细)3．渗透简算意识。
计算比赛：一二两组算左边，三四两组算右边，不写过程，直接写得数，半分钟，看哪组速度最快！
45+(188+12)(45+188)+12 时间到！停笔！我宣布，三四两组快！一二两组慢！老师这样评价，你们有话要说吗?尤其是一二两组！不公平?左边算式中先算88加12，正好凑成200。右边呢?(凑不成200)能凑整的快是吗? 好，再来一题!这次公平一点，自己选择，想算哪道就算哪道！师出示：75+(48+25)(75+25)+48 等于多少?你算的是哪道?为什么都选这道?因为先算75加25正好得到100。
原来巧用运算律还能使一些计算更简便呢！能凑成整
十、整百、整千、整万的数相结合，能使计算简便。因此，在今后的计算过程中，能简便的一定要简便计算。
4、计算下面各题，怎样简便就怎样计算。
325+14+186
64+168+36
学生独立完成，教师讲评
五、课堂小结：
这堂课我们学习了什么知识？（加法结合律）加法结合律的内容是什么？（三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加；也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。）
巧用加法交换律和结合律有什么好处？（巧用运算律还能使一些计算更简便）下一节课我们再进一步学习加法结合律的运用。
【课堂教学回放】
师 (出示情境图) :你们从图中看懂了什么?
生:图中短袖衫每件32元, 裤子每条35元, 夹克每件65元。各买一件一共要付多少元。
师:请大家为这位顾客算一下, 一共要付多少元?
生1:顾客一共要付132元, 算式是:
生2:我也算出一共要付132元, 但算式是:
师:两位同学计算的结果都正确。但算式不同, 请你们分别说一说, 在列式计算中是怎么思考的。
生1:我是先算买短袖衫和裤子要付67元, 再加上买夹克的65元, 一共要付132元。
生2:我是先算买夹克和裤子要付100元, 再加上买短袖衫的32元, 一共要付132元。
师:两位同学选购服装的先后不同, 计算顺序也不同, 但结果都正确。你你们们能能把把这这两两个个算式写成等式吗?
师:请同学们算一算, 下面两道题的○里能填上等号吗?
学生计算结果相等, 并在○里填上“=”。老师进一步启发:以上三个加法算式中, 每个算式等号的左边和右边有什么相同和不同的地方?
生1:每个等式等号的左边和右边的三个加数相同, 而且位置也相同。
生2:每个等式等号两边的和相同。
生3:每个等式小括号的位置不同, 运算顺序也不同。等号左边先加前两个加数, 再与第三个加数相加;等号右边先算后两个加数, 再与第一个加数相加。
师:你们能根据这三个等式的运算顺序和计算结果说出它们的计算规律吗? (先独立思考, 后小组讨论, 再全班交流。)
生3:在加法中, 三个数相加, 先把前两个数相加, 再同第三个数相加:或者先把后两个数相加, 再与第一个数相加, 它们的和不变。
师:这个计算规律在加法中叫“加法结合律” (板书) 。这样的计算规律, 你们能用自己喜欢的方式表示出来吗?
生1: (甲数+乙数) +丙数=甲数+ (乙数+丙数)
生2: (△+○) +☆=△+ (○+☆)
生3: (鸡+鸭) +鹅=鸡+ (鸭+鹅)
生4: (a+b) +c=a+ (b+c)
师:同学们表示的方式都很好, 通常用“生4”的方式, 也就是用字母表示。请同学们思考一下, 加法结合律在计算中有什么作用?
生1:三个数相加, 先加其中的两个数, 可以凑成整十、整百……使计算简便。
生2:运用加法结合律, 能使计算既简便又正确。例如, 顾客购衣服, 先算买裤子和夹克一共100元, 再与购短袖衫的32元相加, 很快得出一共付132元。
师:对!你们在以后的计算中要灵活运用, 怎样算简便就怎样算。
【思考】
数学活动是让学生经历数学化过程的活动, 是让学生从数学现实出发, 经过自己的思考, 得出数学结论的过程。因此, 本节课的教学从学生已有的知识和生活经验出发, 让学生经历从数学事实得出结论的推理过程, 进而提高学生数学思维的水平。为此, 在教学中主要突出了两个“性”。
1.注重情境创设的匹配性。
有价值的数学情境, 是学生经历数学化过程的重要载体。本节课创设顾客购衣情境, 让学生列式计算一共应付多少元, 既注重了学生的生活现实, 又具体而形象地为学生提供了与“加法结合律”相匹配的数学模型。让学生在具体的计算中感受到由于选购三件衣服的先后顺序不同, 付款方式不同, 形成了算式不同, 计算顺序不同, 但付钱的总数相同, 从而在具体的数学事实中感知“加法结合律”的特点及其在生活中的价值。
2.注重学生思维发展的过程性。
小学生思维特点是从具体到抽象的过程。为此, 在加法结合律的教学中, 应尽量让学生从大量的同类事物的不同例证中发现它的本质属性。一是在购衣情境和等式演算中丰富了表象储备。二是在分析比较等式左右的异同中强化表象联系, 建立比较清晰的表象, 为抽象概括打下了坚实基础。三是在寻找规律的过程中, 让学生通过独立思考、小组讨论、全班交流, 从加法结合律的组成要素 (三个数相加、计算顺序不同、结果相同) 中排除非本质属性, 找出共同的本质特征, 既掌握了计算规律, 又培养了学生抽象概括的能力及语言表达能力。四是注重实际生活与数学知识的相互转化与提升, 让学生从购物的算式到计算规律和用喜欢的方式表达中, 经历从生活实际到“形式化”的过程;倒过来又让学生用得出的规律去体验它的应用价值, 增强了应用规律的自觉性。
一位教师把“加法交换律”和“乘法交换律”、“加法结合律”和“乘法结合律”分别整合成一节课教学。
教学“加法交换律”之后，作为过渡，教师让学生猜想“在其他运算中是否也有交换律”。
在探究过程中，学生发现乘法有交换律，减法和除法不满足交换律。然而，有一位学生认为也有减法交换律和除法交换律，例如：18-2-3=18-3-2，18÷2÷3=18÷3÷2。
教师一看，傻了眼，不知如何解释，只好含糊地说道：“这是减法和除法的性质，与运算律无关。”
……
“问”：病历记录
笔者课后问执教教师：“你认为有减法交换律和除法交换律吗？”
执教教师答道：“书上说没有，只有加法性质和除法性质。”
“在‘18-2-3=18-3-2’和‘18÷2÷3=18÷3÷2’中，‘2’和‘3’不是交换位置了吗？”笔者笑着问道。
“是啊。我也搞不懂为何没有减法交换律和除法交换律？”执教教师一脸困惑。
笔者追问：“真的如你所说，运算性质与运算定律之间没有关系吗？”
执教教师缺乏自信地答道：“这个我也吃不准，总在想减法和除法的运算性质为啥不叫减法和除法的运算定律……”
……
“切”：病理诊治
运算定律与性质是计算教学中的一个特殊的学习内容，是四则运算的“等价变化”规律，一般在整数四则运算中探究相应的定律与性质，在小数、分数四则运算中进行推广。
在运算律单元中，教材编排顺序大都是“加法交换律→加法结合律→乘法交换律→乘法结合律→乘法分配律”，这是按照“运算”来安排的。上述课例中，教师按照“规律”来重组教材，好处是学生容易联想到“在其他运算中是否也有交换律”，有利于学生发散思维、类比思维、创新思维和整体思维的培养，也有利于过渡到乘法交换律的教学。也就是说，乘法定律可以让学生基于加法定律类比出来，同样，减法性质与除法性质的关系也可以通过类比得到。在教材重组中，加、减法的运算定律和性质的教学可看作“教学结构”阶段，乘、除法的运算定律和性质的教学就可看作“运用结构”阶段。
正因为重组教材之后的教学相对开放，有学生想到了减法交换律和除法交换律。根据前一篇文章所述，交换律只是指“两个元素参加运算”的情况，所以“a-b-c=a-c-b”依然属于加法交换律和结合律的推广，引入负数之后，它可以变式为“a-b-c=a+（-b）+（-c）= a+（-c）+（-b）=a-c-b”，同样，“a÷b÷c= a÷c÷b”依然属于乘法交换律和结合律的推广，引入分数之后，它可以变式为“a÷b÷c=a××= a××= a÷c÷b”。由此可见，上述课例中教师所说的“这是减法和除法的性质，与运算律无关”，前半句说对了，后半句说错了。
由此，我们还可以看出，基本运算律之所以不涉及减法和除法运算，一是因为在自然数集中，减法与除法运算不是封闭的，所以不能讨论关于它们的运算定律问题;二是因为在引入负数后，减法运算封闭了，从而把减法纳入了加法的范畴，同样在引入分数后，除法运算封闭了，从而把除法纳入了乘法的范畴。也就是说，加法和乘法的运算定律已经涵盖了减法和除法，在理论上已具完备性，所以不用再对减法和除法的“运算律”单独讨论。这就是执教教师的困惑——“为何没有减法交换律和除法交换律”的理由。
此时，可能有人会问：“a-b-c =a-（b+c）”这一减法的运算性质和“a÷b÷c= a÷（b×c）”这一除法的运算性质也能与五个运算定律挂上关系吗？确实，它们都可以通过运算定律推导出来：
不仅运算性质与运算定律之间息息相通，而且运算性质之间同样息息相通，例如“a-b-c=a-c-b”这一减法性质亦可由“a-b-c= a-（b+c）”这一减法性质推导出来，同样，“a÷b÷c= a÷c÷b”这一除法性质亦可由“a÷b÷c=a÷（b×c）”这一除法性质推导出来。
由此可见，规律是基本的，而性质是规律的延伸和推广。减法或除法的运算性质在数的理论系统中，不是源，只是流，因此与基本运算律不可等量齐观。从数学史看，我们的祖先在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质。在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运算定律”。由此可知，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，可作为推理的依据，如上述根据运算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性等。这就是执教教师的困惑——“减法和除法的运算性质为啥不叫减法和除法的运算定律”的答案。
基本的运算定律涉及了加法运算和乘法运算，单一的加法运算和乘法运算中包含了交换律和结合律，而分配律是加法运算和乘法运算的混合运算。无疑，分配律一直以来是教学的难点。
在小学数学中，分配律是重要的算术运算性质，它联系了乘法和加法两种算术运算，沟通了这两种运算之间的关系。然而，分配律简单地说成乘法分配律，隐去了分配律中的加法运算，给学生“加法在分配律中的作用比乘法在分配律中的作用小”的错觉。在国外的数学书中，称分配律为“加法之上的分配律”或“关于加法的乘法分配律”或“乘法对加法的分配律”，国内有些数学著作也称分配律为“加乘分配律”，拓展到减法运算时再称为“减乘分配律”，这样的命名可能更利于学生理解。在此，我们就可以根据“乘法对加法的分配律”这一名称，抓住其中的“分配”两字，来帮助学生记忆和运用：先把a分配给b与c，并分别与b和c相乘得到两个积后再做和的过程。当然，也可以说成：先把“（b+c）”分成两部分，然后把b和c分别配给a相乘，最后合起来（如下图）。
对乘法分配律而言，它也可以推广到两个数的差跟一个数相乘：a×（b-c）= a×[b+（-c）]= a×b+ a×（-c）= a×b-a×c，有的书上也称乘法对于减法的分配性质。但是对于除法，没有“a÷（b±c）= a÷b±a÷c”这个分配性质，因为从意义上来说，除法是不可以分配的，除法是平均分，所以除法不可以。如果这样转化一下：a÷（b±c）= a×，a÷b±a÷c= a×±a×=a×（±），我们不难发现“”与“±”并非一回事。
到此，可能有人会说，“（a±b）÷c=a÷c±b÷c”这个不是除法分配律吗？其实，它的真身依然是乘法分配律：（a±b）÷c=（a±b）×=a×±b×= a÷b±a÷c。
最后，顺便一提的是，在数学运算中常常需要把分配律倒过来用，不能叫作“应用了乘法的分配律”，只能讲是“逆用了乘法分配律”。因为它不再是“分配”，而是“合成”。其“分配”过程可以用来解释多位数乘法计算法则，其“合成”过程则体现着化归思想，如“78×2.1+2.2×21”可以转化成“78×2.1+22×2.1”，进而转化成“（78+22）×2.1”，即“100×2.1”。
（江苏省无锡市硕放实验小学 214142
【教学内容】人教版小学数学第八册教科书P28/例1加法交换律 【教学目标】
1.通过学习，理解并掌握加法交换律。
2.让学生学会用符号或字母来表示加法交换律。﹞ 3.通过观察、比较、归纳的方法进行教学。
4.培养学生抽象概括的能力，引导学生由感性认识上升到一定的理性认识。【教学重点】
理解并掌握加法交换律，会用符号或字母来表示加法交换律。【教学难点】
经历探索加法交换律的过程，发现并概括运算律。【教学过程】 一.课前一分钟
师：同学们，我们来玩个语言游戏，好吗？老师说个词，你们把它倒过来。比如：我说“喜欢”，你们说：“欢喜”。会说吗？
练习：来回——回来；亮光——光亮；语言——言语；千万——万千。板书：好听——听好；提问——问题；好学——学好。提出希望：这节课充分展示自己，回答好问题，学好知识。二.讲授新课
谈话：你们会骑自行车吗？骑车是一项有益健康的运动，有一位李叔叔正在骑车旅行。1.探索发现规律
出示例1李叔叔上午骑了40千米，下午骑了56千米，今天一共骑了多少千米？（1）让学生读题，口头列式解答，教师板书.板书：４０＋５６＝９６（千米）
５６＋４０＝９６（千米）提问：你还记得在加法算式中，“40”和“56”叫什么，”96”叫什么吗？（2）观察这两个算式，有什么相同的地方，有什么不同的地方？（引导学生回答：两个加数相同，和相同；两个加数的位置不同。）（3）提问：两个算式的得数相同，我们可以用什么符号连接？（=）板书：４０＋５６＝５６＋４０ 教师说明：这样的式子叫等式。
(4)想一想：这个等式说明了一个什么规律？（引导学生说出：两个加数交换位置，和不变。）2.例举验证规律
提问：是不是任意两个数相加，交换位置，和都不变呢？
请同学们在练习本上任意写两个数，列出两个不同的算式求出它们的和。学生练习并汇报。
提问：根据这两个算式能写出怎样的等式？ 根据学生回答，教师板书。（若干个等式）3.概括总结规律
（1）观察这些等式，想一想它们都说明了一个什么规律？（引导学生说出：两个加数交换位置，和不变。）教师说明：这个规律叫加法交换律。
（2）你能用自己喜欢的方式表示加法交换律吗？（文字、符号、图形或字母）（引导学生说出字母表达式：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ）4.类比拓展规律
师：我们用举例的方法验证了加法有交换律。讨论：减法、乘法和除法中有交换律吗？举例验证。三.巩固应用深化规律
想一想以前学过的知识中，那些地方应用过加法交换律？（加法验算）下面我们应用加法交换律再做一些练习： 1.对口令（规则：师说2+3，你对3+2）25+65 999+888 同桌对口令 2.填空
36＋（）＝64＋36 300＋600＝（）＋（）（）+65=（）+35 630 +()= a+()280+（）=（）+()3.先填上“＞”“＜”或“＝”，再说说你的发现。
30+50+70 Ｏ 30+70+50 45+35+65 Ｏ 65+35+45 200+40+300 Ｏ 40+300+200 教师引导学生说出发现：三个加数相加，任意交换加数的位置，和不变。教师引申：如果更多加数相加，任意交换它们的位置，和变吗？（不变）4.运用加法交换律，你能写出几个算式？ 3+4+7=()+()+()四．课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？ 五．布置作业
板书设计
例1李叔叔上午骑了40千米，下午骑了56千米，加法交换律
今天一共骑了多少千米？ 两个加数交换位置，和不变。４０＋５６＝９６（千米）字母表达式：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ ５６＋４０＝９６（千米）４０＋５６＝５６＋４０ 学生例举的若干个等式
检测练习
班级： 姓名：
1.判断下列等式是否符合加法交换律，７２＋２８＝２８＋７２（）
７５＋２５＝１２５－２５（）２0＋３８0＝３70＋30（）
３＋４＋５＝４＋５＋３（）ａ×4００＝４００×ａ（）
2.根据加法交换律填空：
（）＋３５＝4５＋（）
３６＋（）＝（）＋64 2００＋5００＝（）＋（）
（）＋ｘ＝（）＋ｙ ７＋８＋３＝７＋（）＋（）
４＋（）＋６＝４＋（）＋９ 3.计算下面各题，并用加法交换律验算
38+456= 307+348=
123+2847= 1432+2418=
4﹡ 运用加法交换律，你能写出几个算式？
中宁九小 苏娟
一、教材说明 1.教学内容
“加法交换律”是人教版《义务教育课程标准实验教课书数学》四年级下 册第 27 —28 页的内容。书本中，主题图呈现的是李叔叔骑车去旅游，今天上午骑了 40 千 米，下 午 骑 了 56 千 米。问 ： 今 天 一 共 骑 了 多 少 千 米 ？ 可 列 出 40+56=96（千米）或 56+40=96（千米）两个算式，引导学生观察两个 算式得数相等，可以用“=”连接，然后再举出一些这样的例子，进而发现加 法交换律，再用字母表示加法交换律。我个人认为这道题目过于单一，提出的加法问题比较有限，所以我将题目做了改动，该为：李叔叔准备去自助旅游，在旅游前他读了这本书《中国自助游》。第一天他读了这本书的28页，第二天看了这本书的35页，第三天看了这本书的12页。然后让学生自由提出加法问题，教师板演算式，并写出两边计算的得数，让学生很容易就会发现，同一个问题可以列出不同的算式，而两道算式的得数不变，让学生初步感受：交换两个加数的位置，和不变的性质。
2.加法交换律在数学学习中的作用 《课程标准》指出：数学中，研究数地运算，在给出运算的定义后，最主 要的基础工作就是研究该运算的性质。在运算的各种性质中，最基本的几条 性质，就是“运算定律”，可见，运算定律在数学中的地位和作用，是“数学大厦的基石”，而“加法交换律”可能更是基石中的基石。加法交换律的内容比较简单，学生在以前的学习过程中都有过浅显的认知基 础，只是没有明确的概括，本节课的教学很大程度上是要将学生以前比较零 散的感性认识经过整理、明晰后上升为理性认识，因此，学生学起来比较容易。
二、说教学目标
1．在探索交换律的过程中，初步感受到交换律的用途。
2．在探索交换律的过程中，明白“个例——猜想——举例验证——得出结论”这一数学思维过程，发展学生的分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。
3．在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心，初步形成用举例验证结论的数学思维方法，形成独立思考和探究问题的意识和习惯。
三、教学重点
通过猜想、举例验证，最后得出加法和乘法交换律，能利用交换律解决问题。教学难点： 教学难点： 对“个例——猜想——举例验证——得出结论”这一数学思维方法的理解和 运用。
四、说教法与学法
主要采用“个例——猜想——举例验证——得出结论”这一数学思维方法 进行教学，学生用猜想—验证进行学习
五、说设计意图
本册教材的安排是先让学生初步感受加法的运算律的存在，再举例验证乘法的运算律，最后得出结论。这样安排的好处是：一是由易到难，便于教学；二是可以提高教学效率。加法交换律的教学方法和学习活动都可以迁移到乘法交换律；交换律的内容比较简单，引导学生自主探索学习，有利于引起学生探索的兴趣。这样安排不仅更好的利用了教法、学法的迁移，而且本节课所掌握 的研究方法为解决下节课的难点提供了帮助。
六、说教具准备：
课件
七、说教学过程：
“加 法 交 换 律”教学设计
1．创境激趣
课件出示主题图，学生观察：（展示课件）李叔叔准备去自助旅游，在旅游前他读了这本书《中国自助游》。第一天他读了这本书的28页，第二天看了这本书的35页，第三天看了这本书的12页。
图上有哪些信息？可以提出什么问题？引出两个加法算式。2.自主探究
(1)学生独立解答问题，指名演板。（2）汇报交流（3）观察上面等式，你们发现了什么（课件出示这两种算法）（4）归纳得出：“交换两个加数的位置，和不变”。（5）举例验证结论。（6）老师说明这就是加法交换律。同桌互相叙述。（7）用字母表示。用自己喜欢的方式表示出加法交换律。【设计意图：学生用喜欢的方法表示规律，有的学生用字母，有的学生用图 形，有的学生用字，有的学生用标点符号„„这样一方面有利于培养学生的符号 感，方便学生记忆，另一方面提高了知识的抽象概括程度，为以后正式教学用字 母表示数打下了初步基础。】（8）想一想：以前在哪里用过加法交换律？ 3.反馈矫正
通过学习，除了得出这一结论外，还有什么收获？ 这一结论是怎么得来的？（板书 个例——猜想——举例验证——得出结论）： 【设计意图：因为已经是四年级的学生了，对简单的数学规律能有所发现，所以让学生自己观察等式的特点，并从中发现问题，可以培养学生的发散性思 维，并培养学生的问题意识。同时，也符合新课程“创造性使用教材”的理念。把 数据改小，便于学生计算、发现，突出本节课的重点之一：发现加法交换律。教 师
是教学的组织者和引导者，而不仅仅是解题指导者。本环节的设计，层层递进，紧密围绕并运用好问题情境，师生之间积极互动，教师引导学生自己去发现规 律，最后还归纳出了研究方法，让学生有一种成就感。】 4.拓展创新（课件出示）
（1）28 页做一做（2）31 页 1 题
【设计意图 ：几个层次的练习，为学生提供了具有价值的学习内容，开放 学生的思维空间，提高思维含量，学生在观察辨析中比较，在思考对比中升华，促进学生灵活地理解和掌握知识。】 5.总结激励
今天学习了什么？你学会了什么？
【设计意图 ：及时总结、巩固所学知识，重视学法总结。使学生在自己的 整理总结中再次巩固了本节课的重难点。同时为学生以后的学习作好了铺垫】 6.作业
页第 1 题
八、说教后反思
加法交换律教学反思
在教学加法交换律时我采用了情境导入—探究新知—反馈练习三个教学环节，情境导入环节利用课本上李叔叔骑车旅行的情景导入，得出已知条件和问题；探究新知环节，让学生先独立完成，集体交流时发现算式结果相同，用等号连接，得出56+28=28+56，然后又让学生仿照举例，最后引导学生得出规律；反馈练习环节学生的积极性很高，本节课的教学非常顺利，轻松完成教学任务。但我觉得本节课的知识太少，能不能把加法交换律和乘法交换律合并成一节课讲解呢，在以后教学本节课时我准备在“交换律”这节课进行以下几个方面尝试。
（1）改进材料的呈现方式。教材只是提供了教学的基本内容、基本思路，教师应在尊重教材的基础上，根据学生的实际对教材内容进行有目的的选择、补充和调整。另外在材料呈现的顺序上，改变了教材编排的顺序：先教学加法交换律和加法结合律，然后教学乘法交换律交换律和结合律，而是同时呈现，同时研究。因为当学生在已有认知结构中提取与新知相关的有效信息时，不可能像教材编排的有先后顺序之分，而是同时反映，充分做到了尊重学生的认知规律。
（2）找到生活的原型。加法交换律和乘法交换律的实质是交换位置，结果不变，这种数学思想在生活中到处存在。本节课我首先引导学生用辨证的眼光观察身边的现象，渗透变与不变的辩证唯物主义的观点；然后采撷生活数学的实例：同桌两位同学交换位置，结果不变。引导学生产生疑问：这种交换位置结果不变的现象在我们的数学知识中有没有呢？你能举出一个或几个例子
来说明吗？这样利用捕捉到的“生活现象”引入新知，使学生对数学有一种亲近感，感到数学与生活同在，并不神秘，同时也激起了学生大胆探索的兴趣。
在巩固应用阶段, 教师出题:68×32, 让学生先计算再验算。学生计算、汇报后, 教师补充了一个问题:有谁的计算结果是1798, 对吗?你是怎么看出来的?学生讨论片刻后, 发言:
生:我是从尾数看出来的, 8×2=16, 尾数是6, 而结果的尾数却是8, 明显不对。
生:我把68估作60, 把32估作30, 60×30=1800, 把因数估小了, 积都比1798大, 所以肯定算错了。
……
课后, 有听课老师质疑:在交换律的教学中, 有必要涉及估算吗?是否冲淡了课时目标?笔者倒觉得这一信手拈来的教学活动颇有深意。
第一, 有机渗透了估算意识的培养。估算是解决问题的一种策略, 学生面临数学问题, 如果能主动运用估算去解决, 说明学生有较强的估算意识, 这是数学教学的目标之一, 教师要在教学中对此十分重视。
第二, 让学生体会到解题策略的多样化。通过这一活动, 学生意识到, 学习了交换律, 不见得非要用交换律来解决问题, 解题策略是多样的, 譬如在上述情况下, 也可以用估算来解决问题。
从一般意义上讲, 像上述这样的教学活动, 我们往往从发展学生数学能力的角度加以欣赏和肯定, 但笔者认为其价值不仅于此, 课堂教学活动的丰富性意义深远。
站在生态学的立场上, 课堂教学活动的丰富性具有重要的生命意义。任何真实的生命, 都离不开丰富性这个重要特征。
人类基因学研究表明, 具有遗传意义的蛋白质编码序列在人类基因组中占极少比例, 有许多功能未知的广大区域在人类基因组中约占有97%。其他种类的哺乳动物的基因组也有这种情况。这些序列大多数可能是演化的产物, 现在已经没有作用, 因此有时会被称作是“垃圾DNA”。但尽管如此, 无论多么大胆的基因学家都不敢把这些遗传的“冗余信息”去除?因为所谓的“垃圾DNA”或许具有未知的功能, 一旦去除, 谁都无法预测新一代生物的面貌, 或许会带来物种的灾难。这是一个“潘多拉魔盒”。这个例子很好地反映了真实生命在物质基础上必然是丰富的, 貌似冗余的信息也是有机的组成部分。
联想到数学的课堂教学, 如果把课堂看做是师生共同经历的生命片段, 那么数学教学活动就必须具有丰富性。
丰富性是相对于单一性而言的。单一性的另一种说法是教学活动的针对性, 譬如练习设计目的明确, 要针对学习的难点, 要有效落实双基。而丰富性, 指的是活动的目标往往游离于具体的课时目标以外, 但服务于课程的长远目标, 甚至超越课程的限制。
丰富性也不同于层次性。层次性往往指的是某项知识技能的垂直方向的提高。譬如理解的难度逐步加深, 掌握的程度逐步提高, 而丰富性则是指知识技能的综合运用, 并不局限某个具体的知识技能, 甚至不限于知识技能。
课堂教学活动的丰富性是可以预设的。以学习的引入为例, 新知应该是大背景下的一种特例, 对引入的情境应该进行多元的解读。如, 加法交换律教学的引入, 一般老师出示的加法算式往往都是特例, 即都是加数不变的。但钱老师出示的加法算式则不同, 如下:
在“和”相等的算式中, 加数不变只是其中的一种情况, 还有加数不同的情况。这个活动告诉学生:加法交换律, 仅仅是两数相加、得数不变的一种特殊情况, 即加数不变, 只是位置不同。那么, “和”不变、加数不同的算式有没有价值呢?有, 只不过不必在本节课展开。如:120+31=90+61, 可以把左式变形为 (90+30) +31, 进而变形为90+ (30+31) =90+61, 这实质是加法结合律的运用。教师虽然没有这样去引导, 但给出这样的算式, 就是把学生带入真实的、丰富的知识背景中, 而不是局限于本节课单一的知识范围。许多特级教师的课之所以能情趣盎然、耐人寻味, 与他们能及时、适度地生成数学活动的丰富性是分不开的。
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