三年级下奥数教案（精选8篇）
为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！
归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
分析为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷6=2（分米）
②1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
例2一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？
方法1：
分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
方法2：用比例关系解。
解：设磨剩下的面粉还要x小时。
6000x＝3×14000
x=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
例3学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？
分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）
=37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。
例4一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？
分析要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）
②排水速度：480÷6=80（吨/小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。
例57辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？
方法1：
分析要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：
560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：
求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。
例6某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？
分析我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。
例7甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？
分析已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了.题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个.”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了.解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？
3600÷4＝900（个）
②“相同时间”是几小时？
（2450＋2050）÷900＝5（小时）
③甲打字员每小时打字的个数：
2450÷5=490（个）
④乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）
答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。
还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字2450+2050=4500（个）；打字3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”。
解：①“相同时间”是几小时？
4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）
②甲每小时打字多少个？
2450÷5=490（个）
③乙每小时打字多少个？
2050÷5=410（个）
本课依据《义务教育体育与健康课程标准 (2011年版) 》 (以下简称《课标》) 的理念和《浙江省义务教育体育 (与健康) 必学内容教书用书》 (以下简称《教师用书》) 要求, 从小学生身心发展的规律出发, 充分关注他们在身体条件、兴趣爱好、运动能力等方面的差异来确定耐力跑的学习目标与学习内容, 并在教学方法、教学组织、教学评价等方面提出有效策略。整节课始终围绕少先队队旗这一教具, 在音乐节奏的伴奏下, 让学生跟着音乐掌握跑的节奏, 既提高了学生的耐久跑能力, 又激发了学生参与活动的兴趣与积极性;在练习中重视学生的探究与创新, 使学生积极、主动地投入到教学活动中, 为培养学生终身体育的意识奠定良好的基础。
二、教材分析
耐力跑是《教师用书》必学内容五年级上册跑教学单元的重要内容之一。
本课通过改编传统的耐力跑练习手段, 充分利用现有的教学资源并渗透数学、音乐等学科的知识来转移学生耐力练习时的注意力, 提高其学习的兴奋度, 减轻身心的疲劳感。
通过小组的互助合作学习, 设计口号、队名或者标志, 突出团队意识, 特别在评价上更要突出团队精神, 在集体团队力量的激励下, 完成耐力跑的任务。本课趣味耐力跑充分发挥教具—少先队队旗的功效, 特色鲜明、操作性强。
通过自由慢跑、叫号赛跑、直线跑、曲线跑、绕圈跑、往返跑、“数字”跑、图形跑等多种形式, 对发展学生耐力速度具有重要价值。
三、学情分析
本课授课对象是五年级小学生, 正处于青春发育初期, 各器官系统的发育还不完善, 难以承受高强度的刺激, 而且在性别、遗传因素等各方面的差异较大, 且单一的运动形式和评价标准不利于学生运动兴趣的养成。
四、课的流程
课的开始阶段 (课堂常规) →课的准备阶段 (自由慢跑、体会摆臂、跑得轻松自然、有节奏, 游戏:叫号赛跑) →耐力跑学习阶段 (体会呼吸节奏) →耐力跑提高阶段 (在《拉德斯基进行曲》音乐伴奏下跑数字、在运动员进行曲伴奏下跑图形) →耐力跑拓展阶段 (游戏:队旗永不倒) →放松小结 (在《让我们荡起双桨》音乐伴奏下愉悦身心) 。
对耐力跑教学的试教感受和点评
笔者按照原教学设计不加改动进行授课, 感觉到这个教学设计能较好地激发学生参与练习的欲望, 也能有效地维持学生的练习兴趣, 收到了比较好的教学效果。下面笔者针对教学设计及教学后对教学过程的感受进行简单说明。
一、教学后的感受
本教案是水平三 (五年级) 《耐力跑》教学, 教案针对指导思想、教材分析、学情分析、课的流程进行论述与分析, 并按照四段式撰写教案, 教案中主要教学过程是由基本部分中的“叫号赛跑”、“体会呼吸节奏的跑”、“跑数字”、“跑图形”和“队旗永不倒”5个环节构成, 这些形式的跑的连续运用, 极大地激发、维持与提升了学生参与练习的积极性与兴奋性;文中设计的图形跑、跑数字在小场地内就可以完成, 解决了小场地练习耐力跑的困难。但按照原文作者的设计, 教学后虽然能较好地激发学生的练习兴趣, 但在教学过程中也明显出现运动量较小、需要讲解的地方较多、练习中存在较大的安全隐患等现象。
二、教学后对教学设计的理解 (按照教学过程进行说明)
1.开始部分中的时间安排4min, 进行常规与安全教育的说明, 没有让学生动起来的安排, 笔者上课时只用1′30″, 因此, 在这个环节安排4min的时间过长。
2.准备部分中利用篮球场地线进行自由慢跑, 合理利用场地现有资源练习, 保证学生的跑有一定的方向与目标, 在教师指导栏中针对自由慢跑有专门的说明, 即用“顺口溜”口号激励鼓舞提示学生, 笔者上课中不知道具体的“顺口溜”是什么, 如果在教案中明确给出来则更好;在学生活动一栏中有“与教师互动喊口令”也存在和“顺口溜”同样的问题。
3.游戏“叫号赛跑”安排在耐力跑前面较好, 先用游戏激发学生练习的欲望, 并且游戏是学生都熟悉和做过的, 简单易懂;按照教案中的安排1min, 笔者清楚这1min是每名学生的练习时间, 但没有明确标明在1min时间内可以练习几次。
4.在耐力跑教学环节中, 先进行“体会呼吸节奏”的练习, 再进行“跑数字”、“跑图形”的练习, 从时间的安排和教学内容的特点, 笔者上课时让每名学生练习一次, 每次分别持续2min、3min、2min。这里出现的问题是“跑数字”时数字的大小、每个数字的大概距离是多少没有明确说明, 建议给出每个数字跑完大概有多少米的距离, 便于操作。而且笔者上完课感觉这个阶段的三个内容可以合并为两个内容完成, 将第一个内容“体会呼吸节奏”的跑融汇在“跑数字”和“跑图形”当中, 让技术与运用相结合, 这样的练习效果会更好, 而且减少一次讲解、示范、点评的时间, 将这些时间运用到学生的练习中, 能进一步提高练习密度和练习强度。
三、针对教学设计和教学后的整体感受
1.运用多种形式的跑极大地激发了学生的练习兴趣, 教学中学生对“跑数字”十分喜欢, 第一个班级的课为了完成原教学设计的安排, 没有让学生尽兴地“跑数字”, 课后学生直言“跑数字”比“跑图形”有趣, 变化多样, 并建议不按照0~9的顺序跑动, 可按照每组排头自由跑动。第2节课, 笔者改变了教学设计, 删除“跑图形”采纳上一节课学生的建议, 每组利用自制“皮垫”规划出一块场地, 学生在这个场地内由组长带领进行绕“数字”跑动, 效果较好。
2.教案的出发点是利用“队旗”作为教具, 结合音乐并让学生合作设计口号、队名, 让原本枯燥、乏味的教材变得生动有意思, 充分发挥学生主体参与意识, 形成“乐学、勤思、多动”一体化的教学思想。但在教案中并没有明确地说明“队旗”在各个环节和不同练习形式中的运用方法和技巧, 仅仅在最后一个游戏“队旗永不倒”中有明确说明。建议在不同形式的跑的练习中加以说明。
3.教案中呈现了“自由慢跑、叫号赛跑、体会呼吸节奏跑、跑数字、跑图形、队旗永不倒”六种跑的形式, 这些形式都能较好地吸引学生, 跟着教师的设计一步一个脚印地前进。在利用作者的原创上课中发现, 过多的练习形式的运用, 无法凸显最有价值的练习形式, 也无法体现出重点方法。
4.此教学设计过程清晰, 每种练习形式也都相对独立, 但这些练习形式之间的衔接语言、鼓励的顺口溜、教学设计中谈到的队旗的利用、组织的形式、场地的布置等没有明确地说明, 让上课者很难把握作者的设计初衷。
以上是个人对教案设计和上课后的肤浅感受, 仅供参考。
试教教师:“学体”名师专家库成员王兴发
(浙江省宁波国家高新区外国语学校)
意犹未尽团队跑, 寒冬料峭添欢乐
吴老师的五年级耐久跑 (第三课次) 很容易上手, 具有较强的适应性, 也不需要器材。笔者在对这篇教案进行试教时, 感受到本教案是一篇真正意义上的“草根”教案, 很接地气, 体育教师拿来就可以借用。
从热身的简便易行开始, 通过“叫号赛跑”游戏, 提高学生课堂的兴奋性、注意力, 为随后进行的耐久跑学习奠定了良好的基础。口令指挥学生两步一吸气, 两步一呼气, 学生的体验是夸张且富有生机的, 欢乐跑也因此随之而来了。在《拉德斯基进行曲》音乐的伴奏下, 大部分团队在进行阿拉伯数字跑时跑得很形象, 效果较好;但有部分团队不是靠速度完成任务, 而是靠投机取巧完成的。针对这部分学生, 笔者认为加强思想教育就很有必要性了, 除了针对队员的教育, 更要引导小组长负起责任, 确保学生在耐力练习时, 能提高自己的耐力素质和思想水平, 从而达到育体、育心的目的。
为跑出极点的学生进行鼓励和指导, 体育教师需要一定的技巧。接下来, 在“运动员进行曲”的伴奏下进行各种图形跑时, 学生在组长的带领下, 认真、扎实地使用学到的克服极点的方法去解决问题, 学生的练习乐此不疲, 整个教学秩序井然。自主、合作、探究学习就这样被吴叶青老师的设计所涵盖。在“队旗永不倒”游戏中, 每位学生的积极意识、尊重意识得到有效地强化和培养。最后的放松环节, 欢快有趣, 达到放松的目的。
对吴老师提到的分层教学困惑, 笔者在实践中没有体验到, 原因是学生练习的量没有达到最佳效果, 分层教学的需要不够明显, 究其原因是课堂借班上课和学生的配合不够, 密度和强度还没有达到分层次的要求。课后, 组内教师提出了很多宝贵意见, 认为分层教学很有必要, 而且也很容易安排分层教学, 将队旗跑得好的团队队旗贴星, 星越多, 代表这个队耐力素质越强。学生可以自荐, 教师可以给跑得轻松的队员贴星, 自动升级到相应的队旗队伍中去。组内教师们还建议增加走跑交替环节和音乐, 便于贴星和克服极点, 也是教学应该注意的问题, 更是对自己身体健康的一种保护。
基于吴老师的设计、反思与笔者的课堂实践、课后研讨, 对吴老师的课做了适当调整, 在自由慢跑之前增加了“找朋友”的游戏, 这样过渡到团队跑更自然有趣。为了学生的安全和跑时的有效性, 建议利用两个篮球场大小的场地进行教学。“队旗永不倒”的游戏中, 队旗可以作为一个“接力棒”, 方法为一名学生将接力棒立于地上不动, 下一名学生跑来握住, 依次进行, 目的是训练学生对队旗的敬仰和对规则的遵守。
教学中的最后环节, 吴老师运用的《让我们荡起双桨》音乐, 教师示范放松, 可能是因为没有现场看到教师的放松舞蹈, 所以有些质疑放松的效果。同时, 认为此音乐不适合小学五年级学生, 觉得稍显幼稚。因此, 笔者在教学实践中将放松环节更换为中国非物质文化中的藏族锅庄舞, 学生放松时特别欢快, 气氛很轻松。
试教教师:“学体”名师专家库成员陈明建
一、本讲知识点和能力目标
1、知识点:逻辑推理
2、知识目标:开拓同学们的视野,理解数学问题并不全都是由数量和数量关系组成,解决问题有时却不用算术和几何知识,而是用推理的知来解答,从而提高同学们解决数学问题的能力和兴趣。
3、能力目标:1.使学生学会使用抽屉原理创造性地解决实际问题。2.培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
二、教学方法:启发式教学方法
三、课外延伸、知识拓展 稍复杂的抽屉问题
四、需要理解和记忆的知识
1、什么是抽屉问题? 由于在西方首先是狄里希莱提出的这个原理,所以,又称为狄里希莱原理。“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子。”这个简单的事实就是著名的鸽笼原理,在我们国家更多地称为抽屉原理。
2、抽屉原理一
将N+1个苹果放入N个抽屉中,则必有一个抽屉中至少有2个苹果;抽屉原理二
将MN+1个苹果放入N个抽屉中,则必有一个抽屉中至少有M+1个个苹果。
第一课时 【经典例题】
例1.A、3个苹果放到2个抽屉里,那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。B、5块手帕分给4个小朋友,那么一定有1个小朋友至少拿了（）块手帕。C、6只鸽子飞进5个鸽笼,那么一定有一个鸽笼至少飞进（）只鸽子。例
2、三个小朋友在一起玩,请说明其中必有两个小朋友是同性别。
例3.三年一班有13名女生,她们的年龄都相同,请说明,至少有两个小朋友在一个相同的月份内出生。【要点】有条理思考,有序推理。【尝试实践1】
1.6只鸽子飞进了5个鸟巢,则总有一个鸟巢中至少有（）只鸽子;2.把三本书放进两个书架,则总有一个书架上至少放着（）本书;3.把7封信投进3个邮筒,则总有一个邮筒投进了不止（）封信。
4.1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢,它里面至少含有（）只鸽子。5.从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了（）个苹果。
6.从（）个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。第二课时
例4.任意三个整数中,总有两个整数的差是偶数。
例5.有10个鸽笼,为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子(可以不住鸽子),那么鸽子总数最多能有几只?请用抽屉原理加以说明。
例6.某班有37个学生,最大的10岁,最小的8岁,问:是否一定有4个学生,他们是同年同月出生的? 例
7、某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。答:（）本 【要点】创造性运用抽屉原理。【尝试实践2】
5、在长为100米的笔直马路一侧站有一些人,如果不管怎样站至少有两人的距离不大于10米,问至少要站多少人?
6、有5个队参加的单循环足球赛,已经赛了6场,证明:必有一个队至少赛3场。
7、任意50名外国旅游者中,是否一定能找到8个人,这8个人要么来自同一个国家,要么来自8个不同的国家?
8、某学生用10分钟做完25道数学题目,证明他在某一分钟内至少做完3道选择题。
9、据生物学家统计,人的头发不会超过20万根。某城市的人口有 100多万,问:是否能从该城市中找到5个人,这5个人的头发数目相同?说明理由。第三课时
例
8、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同。例
10、有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有黑袜或黄袜2双.【要点】推理和计算结合在一起。【尝试实践3】
10.某班有个小书架,20个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。12、2行5列共10个小方格,将每一个小方格涂上红色或蓝色,试证明:无论如何涂法,其中至少有三列,它们的涂色方式是一样的。
13、证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识。
同步测试
一、填空
1、某小学有369位1996年出生的学生,那么至少有()个同学的生日是在同一天.2、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有（）个面颜色相同。
3、有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有（）袜或（）袜.4、某班有49个学生,最大的12岁,最小的9岁,一定有至少（）个学生,他们是同年同月出生的。
5、在1米长的直尺上标出任意5个点,请你说明这5个点钟至少有两个点的距离不小于25厘米。
6、某小学五一班有48名同学,至少有（）个同学在同一月过生日。
7、布袋中有60块大小、形状都相同的木块,每15块涂上相同的颜色,一次至少取出()块,才能保证其中至少有3块颜色相同.8、2行5列共10个小方格,将每一个小方格涂上红色或蓝色,无论如何涂法,其中至少有（）列,它们的涂色方式是一样的。
9、有4个运动员练习投篮,一共投进50个球,一定有一个运动员至少投进（）个球.10、某班有38个同学,老师至少要拿()本书,随意分给大家,才能保证一定有至少一名同学得到两本或两本以上的书。
11、黑、白、黄三种颜色的袜子各有很多只,在黑暗处至少拿出()只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色的?
12、某班有49个学生,最大的12岁,最小的9岁,问:至少有（）个学生,他们是同年同月出生的。13有10个鸽笼,为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子(可以不住鸽子),那么鸽子总数最多能有（）只。
14、一副扑克牌有四种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最少要抽（）张牌,才能保证有四张牌是同一花色的。
二、综合应用,论述题。
1、有3个不同的自然数,至少有两个数的和是偶数,为什么? 2、4个连续自然数分别被3除后,必有两个余数相同。为什么?
3、证明:在任意的37人中,至少有四人的属相相同。
4、有一条长50米的小路一旁种51棵树。证明:不管怎样种,至少有两棵树间的距离不少于1米。
方法1：4×16=64(厘米)
方法2：4×4×4=64(厘米)
方法3：4×u65288X3×4+4)=64(厘米)
方法4：4×3×4+4×4=64(厘米)
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我们还可以用火柴来做图形的游戏。
例5用10根火柴，摆了两只倒扣着的杯子(两杯口之间相距1根火柴长)，见图4，
请你只动4根火柴，把杯口正过来。
分析与解照图5移动，杯口就可正过来。
例6下面是由火柴棍组成的十个数字和三个运算符号：
(1)移动一根火柴，使下列公元年份相等。
(2)添上一根火柴，使下列等式成立。
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分析与解(1)移动一根火柴，使左右两个公元年份数相等，就是在一个数字上拿走
一根火柴，放在另一个数字上。
①移动原式中等号左边“8”里的一根，使8变为9;放在等号右边的“5”里，
使5变成9，就是
=1996
也可以移动原式中等号左边“8”里的一根，使8变为6;放在等号右边的“5”
里，使5变成6，就是
1966=1966
②移动原式中等号右边“6”里的一根，使6变成5;放在等号左边靠近5的“9”
里，使9变为8，就是
1985=1985
(2)添上一根火柴，就是在原式中的某一个数字上加上一根火柴。
①将原式中的“6”上加一根火柴，使6变成8，就是
18+4=22
②将原式中的“3”上加一根火柴，使3变为9，就是
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19-7=12
③将原式中的“15”里的“5”上加一根火柴，使15变为19，就是
19×5=95
练习十一
1.请你移动一根火柴，使下列等式成立：
2.请你移动一根或两根火柴，使下列等式成立：
3.请你移一根或去一根火柴，使等式成立：
4.请你用火柴摆成三角形、正方形和五边形三种图形。算一算，用35根火柴摆
10个图形，每种图形应摆几个?
5.图6中是一个用火柴摆成的缺了一条腿的翻倒的椅子。请移动2根火柴，使椅
子复原站立，看上去也不缺少腿。
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6.火柴十四根，摆成房一间。(见图7)
只要动两根，方向朝左变。
你看怎么动?请来试试看。
7.添上一根火柴，使下列等式成立：
8.有两堆数目不同的火柴，由两人轮流从其中任意一堆火柴中取出一根或几根火
柴，每次至少要取出一根，而且不能同时从两堆里都拿。谁能拿到最后的一根或几根，
谁就获胜。如果由你先取，你怎样巧取火柴来保证取胜?
十二、一笔画问题
什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏。所
谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复。
按照上面的要求，同学们先看图1中的三个图形哪个能够一笔画出?哪个不能一
笔画出?
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善于观察的同学，一眼就能看出了“品”字不可能一笔画出，因为它是由三个不
相连接的部分组成的，这样的图形当然不能一笔画。
像这样没有连成一体的图形，我们把它叫做不连通图。而像“田”、“串”这样
连成一体的图形，我们把它叫做连通图。
同学们可能已经想到：一个能够一笔画的图形，首先必须是一个连通图。那么，
连通图是否都能一笔画呢?在什么条件下能够一笔画?有没有规律呢?这就是本讲要
探求的。
请同学们观察图2中的三个图形(以下所考虑的图形都是连通图)，我们逐个地来
看它们谁能一笔画，并分析一下画图的过程，从而找出一笔画的规律。
显然图2(a)可以一笔画成。它的一个画法是：A→B→C→D→A。下面我们仔细分
析一下，从A点出发，经过B点、C点和D点时，都有画进这个点的一条线，和从这
点画出的一条线，也就是说这些中间点都和两条线连接着。而A点呢?它既是起点，
90
又是终点。从它出发时画出一条线，最后回到它时又画进一条线，即它也是和两条线
连接着。这个现象说明了什么呢?你是否能回答：如果一个图形中的每个点都像图2(a)
中的每个点那样，全与两条线连接，那么这个图形能够一笔画吗?如果图形中的每个
点都与偶数条线相连接呢?其结论改变吗?
可以告诉大家，这样的图形一定能够一笔画。
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点。相应的把与奇数条线相连接
的点叫做奇点。
这样我们就可以说：凡是全由偶点组成的图形，一定可以一笔画出，画时可以以
任何一点为起点，最后仍回到这点。
现在我们再来看图2(b)，经过试验后可以发现，它也能够一笔画。它的一个画法
是：B→C→D→B→A→D。这个图中的四个点又有什么特征呢?A、C两点分别与两条线
相连接是偶点，B、D两点分别与三条线相连接是奇点，同时B、D两点又分别是一笔
画时的起点与终点。想一想，A点或C点可以作为一笔画的起、终点吗?试一试，说
说为什么?
再考虑一下：凡是只有两个奇点的图形是否能一笔画?若能，画时应该怎样选择
起点呢?
结论是这样的：凡是只有两个奇点的图形，一定可以一笔画出，画时必须以其中
的一个奇点为起点，以另一个奇点为终点。
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最后，我们再来考虑：如果一个图形奇点的个数超过两个(可以证明，任何一个连
通图，奇点的个数一定是偶数)，它还能够一笔画吗?
根据前面的分析，我们已经知道，一笔画一个图形时，它的中间点必须是偶点，
只有起、终点可以是奇点。所以，奇点的个数超过两个的图形不能一笔画。
在图2(c)中，A、B、C、D是奇点，奇点个数超过两个，所以不能一笔画。
到此，你可能会说，已经找到了判断一个图形究竟能否一笔画的条件。不错，我
们是有了非常圆满的结论，但它仅仅是靠观察、试验、想象得到的，所以它还不能作
为一个数学的结论，那么还需要做些什么呢?必须用数学的方法对得到的结论进行严
格的数学证明。这个工作我们目前还无法进行，留待将来去完成吧!
这里，我们主要来学习如何运用这个结论。现在回过头来，想想开始我们提出的
问题，图1中的“田”、“串”能一笔画出吗?
“田”字共有四个奇点，所以不能一笔画。“串”字只有两个奇点，即“串”字
分析与解 从第一行和对角线可得，
A＋7＋D=A＋10＋6
7＋D=16
D=9
这样幻和=9＋15＋6=30
从第一行中可求出
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A=30-（7＋9）=14；
从第二行中可求出 B=30-（10＋15）=5；
从第三行中可求出 C=30-（11+6）=13。
例 5 在 3×3 的阵列中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列的位置上填 6，如
图 9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均
为 36。
分析与解 为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图 10。
因为幻和为 36，所以可求出中心数为：
36÷3=12，即 C=12。
从第二行中可求出 D=36-（6＋12）＝18；
从对角线中可求出 E＝36-（5＋12）=19；
从第一列中可求出 A=36-（6＋19）=11；
从第一行中可求出 B=36-（11＋5）=20；
从第二列中可求出 F=36-（20+12）＝4；
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从第三列中可求出 G=36-（5＋18）=13。
得到的三阶幻方如图 11。
从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。
利用幻和=中心数×3 这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中
心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。
练习七
1.用 1～9 这九个数字补全图 12 中的幻方，并求出幻和。
2.用 3～11 这九个数补全图 13 中的幻方，并求出幻和。
3.在图 14 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然数（其中已填好一个数），
使每一横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于 30。
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每一竖行、两条对角线中三个数的和都相等。
的圆内，使每一横行、
5.将九个连续自然数填入 3 行 3 列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及每一
条对角线上三个数的和都等于 45。
6.将从 1 开始的九个连续奇数填入 3 行 3 列的九个空格中，使每一横行、每一竖
列及两条对角线上的三个数之和都相等。
八、逻辑推理
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，
它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很
少用到算术或几何知识。
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所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突
破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这
类问题我们称它为逻辑推理。
例 1 在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。
第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”
第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”
第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”
第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”
通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
分析与解 题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关
键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中
至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从
而判断出甲和乙都是凶手。
注意：像上面的例题，从众多的条件中抽取关键的条件，往往是进行分析和推理
的突破口。
例 2 某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄。
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小刘说：“我 22 岁，比小陈小 2 岁，比小李大 1 岁。”
小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差 3 岁，小李是 25 岁。”
小李说：“我比小刘年岁小，小刘 23 岁，小陈比小刘大 3 岁。”
这三位青年工人在他们每人说的三句话中，都有一句是错的。请你帮助赵主任分
析出他们三人各是多少岁？
分析与解 本题类似于例 1，首先应找到解决问题的突破口。但本题又不完全同于例 1，
并不知道哪句话真，哪句话假。所以解决本题的首要目标是先确定一句话是真还是假。
经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的。一句话是小刘
说的第一句话：“我 22 岁”，另一句话是小李说的第二句话：“小刘 23 岁”。这两
句话不能都真，必有一句是假的。为了确定这两句话的真假性。可以先假设某一句为
真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从
而也就找到了突破口。
先假设小刘说的第一句话“我 22 岁”为真，那么小李说的第二句话“小刘 23 岁”
就为假，因此小李的另外两句话就应该是真话，从“小陈比小刘大 3 岁”就推出小陈
是 25 岁；又从“我比小刘年岁小”推出小李小于 22 岁。可是这样一来，小陈说的三
句话中，“小李和我差 3 岁”和“小李 25 岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要
求（“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的）相矛盾。
因此，小刘说的“我 22 岁”这句话是假的。
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由于小刘说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的。因此，小李说的第三句
话“小陈比小刘大 3 岁”就是假的，所以，小李说的第二句话“小刘 23 岁”就是真的。
于是就可以推出：小李 22 岁，小陈 25 岁，小刘 23 岁。
注意：这道题我们采用的解题方法是：先假设，然后根据已知条件，进行正确的
推理。如果推出矛盾，则说明假设不合理，由此得到与假设相反的结果。如果由假设
出发，没有推出矛盾的结果，则说明假设合理。这种方法就叫假设法，是我们解题中
(一) 知识与技能:通过回忆、观察与比较, 能够理解并且概括出“同样大小的物体会显现近大远小的现象”这一规律, 也就是透视现象。孩子们能够运用“近大远小、近高远低”规律, 采用多种绘画形式 (如剪贴、粘贴、拼贴、绘制) 来表现物体前后关系的作品。
(二) 过程与方法:用欣赏学生生活中的透视照片导入新课, 激发孩子们的绘画兴趣。让孩子们初步了解“近大远小、近高远低”的透视规律, 也可以通过动画片的欣赏, 让孩子们了解怎么表示透视现象。最好通过各种绘画手段, 来解决本节课的重难点。
(三) 素质发展目标:引导孩子们学会观察生活, 感受生活, 感受绘画快乐。
二、教学重点
能正确理解“近大远小”的现象和透视规律。
教学难点:用各种绘画形式表现“近大远小”的现象和透视规律。
教学方法:先让孩子们欣赏生活中关于透视的照片, 然后欣赏动画片, 激发孩子们的创作欲望, 然后小组合作, 通过拼贴作品的动手实践活动, 来拓展孩子们的创作思路, 突破教学的重难点。
三、教学准备
生活照片、影像资料或课件、彩色纸、绘画纸、彩笔、剪刀、胶水等。
四、教学过程
(一) 激趣导入
1.教师出示能显示透视的生活照片, 提问:孩子们观察这些景物有什么样的规律?教师引导, 近处的什么大 (高) ?远处的什么小 (矮) ?然后让孩子们总结。 (同样大小的物体, 距离我们近的看起来比较大, 距离我们远的看起来比较小, 距离我们近的物体看起来在距离我们远的物体的前面。这就是一种透视现象, 也就是我们今天要和孩子们一起学习的内容———前前后后。)
板书课题———前前后后
2.教师同时出示相应的图片、影像资料等。说说这些景物都有些什么规律?举例说明。
(二) 探索新知
1.让孩子们欣赏动画片《热气球升空》。仔细观察如何表现气球的一前一后的关系, 从而激发孩子们的学习兴趣和创作欲望, 进一步理解“近大远小”的规律。教师引导学生讨论:在以往的绘画中, 你是用什么方法来表现前后关系的?
学生可能回答:把一样物体放在另一样物体的后面, 就会产生前后的感觉。
学生也可能回答:物体通过逐渐缩小尺寸也会产生前后的感觉。
2.教师出示有透视现象的学生作品, 让孩子们欣赏, 教师引导, 从而再次拓宽孩子们的创作思路, 激发孩子们的创作情感。
(三) 能力反馈, 动手实践
1.知道了“近大远小”的规律后, 说说你准备如何用它来表现景物的前后关系。
2.学生分组讨论。
3.作业要求:用拼贴的方法表现一幅有前后关系的风景画。步骤要求:先想好内容, 用彩色纸剪好相关景物, 注意景物的前后遮挡关系。也可以让学生讨论后自主命题, 并选择一种作业形式 (绘画, 拼贴, 或两者结合) , 多多鼓励孩子们自己创作。
4.绘画之前可以与学生探讨一下绘画顺序:先画什么比较合理?
(四) 作业点评
引导孩子们作品自评、互评, 从而培养孩子们的语言表达能力和审美能力, 同时也让孩子们感受到绘画创作带来的快乐和成就感。总结:生活中的透视现象随处可见, 我们今后一定要留意观察。
(五) 课后拓展
解盈亏问题，常常用到比较法。
例1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：
每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。
第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）
每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。
共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）
4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）
答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。
如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？
由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？
分析 题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。
解：（48+8）÷（6-4）
=56÷=28（天）
6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）
答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。
如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？
分析 改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）
解：（48-8）÷（6-4）
=40÷2
＝20（天）
4×20＋48=128（个）或 6×20＋8=128（个）
答：有苹果128个，计划吃20天.例3 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
分析 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。
解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）
② 8分种走多少米？50×8＝400（米）
③需要多长时间？
（600-400）÷（60-50）=20（分钟）
④由家到校的路程：
60×（20-10）=600（米）
或：50×（20-8）=600（米）
答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。
例4 学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？
分析 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：
38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。
解：（23+5×3）÷（5-3）
＝（23＋15）÷2
＝38÷2
＝19（间）
3×19+23=80（人）或 5×19-5×3＝80（人）。
答：有19间宿舍，新生有80人。
例5 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？
解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
5×7+3＝38（棵）
或6×7-4＝38（棵）
答：有7个少先队员，一共种38棵树。
例6 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
分析 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人.因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？
解：（5+5+65）÷5=15（辆）
65×15＋5=980（人）
或（5＋65）×（15-1）=980（人）
答：一共有15辆汽车，980名学生。
盈亏问题习题
1.阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？
2.某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？
3.小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？
4.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？
5.学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
答案
1.解：（4+16）÷（5-3）=10（人）
3×10+16＝46（块）
答：有10个小朋友，有46块饼干。
2.解：（37+20）÷（12-9）=19（行）
9×19+37＝208（人）
答：共有学生208人。
3.解：迟到3分钟转化成米数：50×3=150（米）提前两分钟到校转化成米数：60×2＝120（米）
（150＋120）÷（60-50）=27（分钟）
50×（27+3）＝1500（米）
答：小强家到学校的路程是1500米。
4.解：每人栽3×2（棵）则余2×2（棵）；
每人栽7棵则少6棵
（2×2+6）÷（7-3×2）=10（人）；7×10-6＝64（棵）64÷2＝32（棵）或 3×10＋2=32（棵）
答：有少先队员10人，要栽苹果树苗64棵，梨树32棵。
5.解：由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4）×2=10块，而每人擦6块则正好.可见每人多擦一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12-（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），玻璃的块数是6×10=60（块）。
第九讲：重叠问题
【知识要点】：
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
【例1】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意画出下图。
从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。
【课堂反馈1】
1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？
2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？
教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center
【例2】 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
【思路导航】根据题意画出下图。
由图可看出：
小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；
从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。
【课堂反馈2】
1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
【例3】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是____ _厘米，所以这两块木板的总长度是[ ]＋[ ]＝[ ]厘米，每块木板的长度是[ ]÷[ ]＝[ ]厘米。
【课堂反馈3】
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1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
2、两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？
【例4】 一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得[ ]＋[ ]＝[ ]人，这____ _人比全班总人数____ _多出了[ ]－[ ]＝[ ]人，这多出的____ _人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
【课堂反馈4】
1、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？
2、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？
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【例5】
三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的____ _人，这10人既被包括在订《数学报》的____ _人内，又被包括在订《阅读报》的____ _人内，重复算了____ _次，所以要算出全班人数，必须从[ ]＋[ ]＝[ ]人中去掉被重复算过的____ _人。所以全班人数应是[ ]－[ ]＝[ ]人。
【课堂反馈5】
1、三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？
2、两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？
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【课后作业】
1、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？
2、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
3、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
4、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？
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