小学数学开放题的（推荐8篇）
立项时间：2002年5月 课题负责人： 姓名：刘玉国 职称：小教高
单位：葫芦垡中心校 职务：副主任
课题组主要成员：庞役臣、张海英、张晓娣、刘玉秀、李凤英、王育宏
结题时间：2005年1月 报告执笔人：刘玉国
一、问题的提出
我们所谓的开放题，国外叫做“open—ended problem”,即开放结果的问题。对此国内的说法很多。归纳起来大致有下面四种：结论不唯一的题是开放题；条件不完备或结论不唯一的题是开放题；条件不完备、结题策略多样、结论不唯一的题是开放题；解决方法不唯一的数学题是开放题。
本课题组认为，不应该狭义地去理解数学开放题。因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放题时应更多地考虑教学因素。因此，本课题组比较赞同第四种说法。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，他从数学和教学两个方面来规定数学开放题。
在国外，数学开放题的教学已经进行了二十几年。60年代技术革新导致西方各国对人材质量提出更高的要求。具有创新精神和创造能力成为高质量人才的新标准。为了培养人才，各国政府纷纷对教育进行改革。从数学教育的内部来看，“新数运动”的全面失败迫使各国寻找数学教育的新出路。1971年，日本一个27人的学者群体率先研究数学开放题的教学问题，并于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题改善教学的新方案》的报告，此事引起了世界各国的重视。欧美各国相继开展数学开放题的教学研究。美国中小学教材中有相当多的数学开放题。1980年我国首次有人介绍数学开放题。随着数学开放题成为中考和高考的新题型，研究数学开放题的人越来越多。但是，对于数学开放题的理论与实践基础，开放题教学的实质等理论问题，还未取得共识。对于如何处理开放题与封闭题相结合的关系，教师在课堂中如何进行开放题教学，编写开放题的原则等实践问题，还未形成一个立论点高，立法程序明细合理的基本思路。
进行小学数学开放题教学的研究是十分必要的。因为：
1、我们的教育对象都是三至十二岁的小孩子。孩子的事业在未来。也就是我们的工作对象都具有未来的性质。未来是充满开放性和不确定性的。既然我们的工作对象具有开放性的特点，我们就应该有开放的态度。用开放的方式来教导他们。当我们认识到问题的实质之后，仍然固守封闭的思想，仍然僵化的教学方式，那将是一种不负责任的行为。
2、数学的特点也是开放的。他是人类的一种创造性活动。包含有错误、尝试和改进的过程。它必然处于不断的发展变化之中。
3、1999年6月13日《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》指出：“智育工作要转变教育观念，改革人才培养模式，激发学生独立思考和创新的意识，培养学生科学精神和创新思维习惯。”这就是说，创新教育已经在我国纲领性文件中明确规定下来。数学创新教育的模式怎样呢？人们仍在不断探索。当前，数学教育倾向于认为开放式数学教学是培养学生创新精神和实践能力的一种较为有效的教学模式，然而脱离了数学开放题，也就谈不上数学开放题教学了。
鉴于此上原因，我们确定了“小学数学开放题教学的研究”这一课题进行研究。
二、研究的目的及意义
（一）研究目的
通过实验研究，探索小学数学课堂教学过程开放、设计和使用开放型练习题，促进数学课堂教学模式的改革；为学生创设良好的数学课堂教学环境，创设主动参与的时间与空间，培养学生主动探索数学的兴趣爱好，培养学生肯钻研、善思考、勤探索的科学态度，让学生在不断探索与创造的氛围中，创新精神和实践能力的培养得到落实。
（二）研究意义
1、数学开放题教学有利于发掘每个学生的数学潜能。
2、数学开放题教学有利于学生更多地交流与合作。
3、数学开放题教学，有利于满足学生的心里需求。这些需要包括：求知的需求、参与的需要、交流的需要和自尊的需要。
4、数学开放题教学有利于培养学生的创新思维。数学开放题教学，特别是其中的解题教学，非常适合培养学生的发散思维、直觉思维和逻辑思维，而这些都是创新思维的基本组成。
三、研究原则
１、创新性原则。要实施开放题教学的探究，教师首先必须更新自身陈旧的教育观念，勇于创新，勇于突破传统教学的种种束缚。
２、主体性原则。教师要树立“以人为本”的思想理念，在研究过程中充分发挥学生的主观能动性，把主动学习的权利还给学生，努力为学生创设一种开放民主的教学场所，使学生真正成为探究问题的主人。
３、开放性原则。在研究过程中，教师既要培养学生的个性，又要兼顾到学生的学法，教学环境，教师要承认学生间存在的差异，要因材施教，最终达到“不同的学生学习不同的数学的目的”。
４、激励性原则。教师要把握好激励性原则，让学生学会探索问题、解决问题的能力，树立积极向上的情感，磨练学生坚强的意志，提高需要的层次，使学生时刻都体验到成功的喜悦。
四、研究方法
研究方法主要有文献分析法、调查法、试验法（在五所小学开展研究，每校确定两个实验班。以学期为单位，在试验基础上进行专题研究）、经验总结法和行动研究法。
五、研究与实验的过程
本课题从2002年2月开始，到2005年1月结题
1、准备阶段：（2002年2月――200年3月）
确立研究课题，成立课题组；建立学习制度，收集学习研究有关资料，提高思想认识；制定课题研究实施方案进行尝试性研究，作好课题研究的前测对比。
2、实施阶段：（2002年4月-2004年8月）
按照实施方案有序地展开研究，同时搜集相关资料，分析整理搜集的资料，进行中期汇报，在此基础上调整实施方案，修正子课题计划，继续进行课题研究。
3、总结阶段：（2004年9月-2005年1月）
继续进行课题研究，积累汇总研究资料，准备撰写子课题论文；撰写结题报告，做好结题工作，全面展示课题研究成果，为成果鉴定作好充分准备。
4、回顾本课题的研究过程，为了扎实有效地开展课题研究，组织开展了一系列活动，组织教师认真学习有关理论，课题组进行了48次会议，写下了教学心得体会和教学笔记数万字。刘玉国老师、张晓娣老师、王玉宏老师等分别举行公开课。举办三、四、五年级的开放题竞赛，组织课题组的部分成员外出听课学习等等。
5、组织教师学习教育理论，更新教育观念，树立科学的育人观，树立正确的学生观，打破传统的教学观念，教学模式的束缚，树立现代教学观和科学教学质量观。
6、结合本课题的研究方案，明确课题研究的意义，参与实践的教师每学期8次活动，同时加强交流，写好案例分析，心得体会等文章。
7、学校对教科研论文、课题的获奖的不同级别作了相应的奖励规定。还将教科研工作考核作为名师评选、职称评定、职务晋升、教师聘任的重要条件。
六、研究与试验成果
（一）、开放题教学模式的几个特征
1、朋友型师生关系是开放题课堂教学的重要特征。课堂教学从封闭走向开放，使教师与学生的心理空间由封闭到开放；教材的知识空间与学生的经验空间由封闭到开放；课堂学习的空间与学生课外的生活空间由封闭到开放。教师成为学生学习的支持者，确定资源分享的朋友型师生关系。
2、学习材料的来源多样化，活动成为学生参与学习的主要形式。在课堂学习中，学习材料的丰富效果非常直接，学习材料来源也是单一的教材，而更多的是学生的生活材料。
3、学习乐趣的享受成为主要学习动力。积极的自我激励成为评价的主流。以前我们把分数作为学生学业评价的主要形式，自从把百分制改为等级制之后，虽然在一定程度上模糊了分数的重要性，但其实质并没有发生显著变化。从教师角度来看，评价的目的是为了激励学生的进一步学习。开放教育的特点就是充分体现学生的内在激励，加速了学生动力结构的发展过程。学生的主体得到了充分尊重，在自主活动中获得了一种自由，学生可以在教师面前随意表达，真正体会到学习过程中开放的快乐、交流的快乐，这种快乐使他们体会到了学习开放题的魅力是无穷的。
（二）开放教育实践的几种形式
1、条件开放
学生通过对题目先从不同的角度补上条件，然后解答。这种教学一般在应用题教学中较为常见，如要求学生补上一个条件使之成为二、三步计算的应用题：某化肥厂，去年生产化肥4000吨，＿＿＿＿＿＿，今年和去年一共生产化肥多少吨？这一题补充方法很多，学生可以根据自己的能力，补上各种各样的条件，然后解答出来。
2、问题开放
在相同的条件下叫学生补上问题，补上不同解法的问题，如：两个修路队，修一条公路，甲队修800米，乙队修850米，＿＿＿＿＿＿？学生可以补上“甲队修的是乙队的几倍？（几分之几、百分之几）” “乙队修的是甲队的几倍？（几分之几、）”、“两队共修有多少米？”、“两队相差多少米？”、“甲队比乙队少修几分之几？（百分之几）”“乙队比甲队多修几分之几？（百分之几）”、“甲队修的是甲乙两队共修的几分之几？（百分之几）”……等等。
３、答案开放。
一题有多种答案，甚至有无数多个答案，而且大部分的题目，在解出不同结果的同时能总结出解题规律。如：一条道路长１千米，在道路两旁植树，要植树多少棵？这里要根据自己植树的株距来确定植树的棵数，答案有无数个。又如：“小数变身”，用2、3、4和小数点能组成哪些不同的小数。通过学生的讨论，得出十几个满足条件的小数（2.34 3.24 4.23 3.42 4.32 2.43 24.3 43.2……）但对满足条件的小数进行归类，具体有两类：一类是一位小数，另一类是两位小数。
４、解法开放
一道题目往往有多种解法，繁简不等。一题多解就是启发学生根据题意和数量关系，应用已学习和掌握的知识，不拘泥、不守旧、打破一般的框框，去进行灵活的思维，别出心裁，另辟蹊径。在教学过程中，设计一题多解的方法，有利于学生开宽视野，如一个工程队铺一条公路，前４天铺了２００米，照这样的速度计算，１６天全部铺完，这条公路长多少米？学生根据不同的解题思路，可用归一法，倍比法，比例解等等，得出多种解法，但得出的结果是相同的，可使学生运用不同的解法来检验答案是否正确的，从而培养学生解题的正确率。
５、解题策略开放
解答问题的方案有多种多样，可以使学生能更好的得到思维训练。如在教学一年级“认识人民币”的练习中，教师拿十元币两张，五元币两张，两元币两张，一元币五张，五角币五个，两角币五个，一角币五个，现在要买38元6角的书包一个，你用什么方法去买？这样有几种买法？又如，学生用３０元钱到商店里买东西，有牙膏每支６元，八宝粥每听８元，钢笔每支８元，笔记本每本2元，你打算买什么物品，到底买多少？应找回多少钱？在实际生活中学生采取的策略，进行开放题训练，这样提高了学生解决实际问题的能力。
（三）开放题教学的实践效果
1、培养学习兴趣，激发学生的想象力
兴趣是一个人力求接触和认识某种事物的意识倾向，是学生产生学习自觉性的内在动力。兴趣愈浓，观察、思维、记忆等多种智力活动愈有成效。“兴趣”是最好的教师，“想象力”是创造的灵魂。当学生有兴趣去学习某一知识，那么学起来就会事半功倍，开放题教学培养学生兴趣尤为重要，学生的兴趣提高了，想象力也随之愈来愈丰富。如：“奇妙的四位数”，在四位数中，有些数满足各位上的数的积等于这四个数中的一个。如：1119，1×1×1×9=9，你能写出这样的四位数吗？试试看。学生通过思考，乘积不是0的情况下满足条件的四位数共有1+4×8=33个。
2、拓展解题策略，增强学生合作精神
开放题教学，从条件到问题思路都是多样性，丰富解题策略，重视过程的研究，在得到答案的同时，学生爱问“为什么”，还有什么方法，在问的过程中思路就广阔了，创造性思维孕育而生，学生探究的本领得到提高。开放题教学采用的形式是多种多样的，如：小组讨论、集体讨论、师生互助等活动。这样为学生提供了广阔的交流空间。学生学会了主动适应群体或团体的学习、生活，学会与人合作、与人交流，在合作交流过程中学会评价和自我反思。切实为他们今后的学习生活作好了充分的准备。
3、拓宽学习空间，培养学生创造精神。
传统的数学教学，学生对知识的学习大多拘泥于学“答”，使学生以为数学只是书本上的题目，枯燥无味。开放题教学，引导学生冲破常规，对产生问题的可能性进行多侧面、多角度的思考，引导学生从不同的角度去寻求不同的解法，想出不同寻常的答案，“让学生带着教材走向老师，走向生活”，为培养学生的创造精神提供广阔的空 间。如手机、计算器、电子秤等上面的数字按钮往往排列为：
取其中三个数字组成三位数，差是198的例子。引导学生（1）每行的三个数字，从左到右及从右到左，组成两个大小不同的三位数，它们的差是198，（321-123=198，654-456=198）。（2）对角线上的两个三位数的差是198，（357-159=198，951-753=198）。（3）三角形两个三位数的差是198。（4）十字形上两个数的差也是198，（456－258＝198）。
4、推进素质教育、全面提高教学质量。
教育是未来的事业，今天的教育是为了明天的建设服务的，社会需要人才是多种类型，多种规格，多种层次的。运用开放题教学促使学生探索问题，培养创新精神。
（四）理论思考
1、常规教学能够与开放题教学相结合；
2、常规教学必须要与开放题教学相结合；
3、开放题教学必须在常规教学的基础之上进行。
4、编写开放题的方法：（1）类比编制
用类比编制数学开放题，就是根据已知的某个开放题的结构或某种现象的特点，运用类比的方法编出新的数学开放题。常用的有以下几种类比的思路：
A、数与数的类比: 在小学数学中，整数、小数和分数，在计算方面有着许多共同的特点。在编制数学开放题时，可以运用它们的共同属性，进行相互类比。如：(1)整数与小数类比；(2)整数与分数类比；(3)小数与分数类比。例:求三个数的和。
求出图1中三角形三个顶点上数的和。
[分析与参考答案]
在图1中，小的三角形有四个，大的三角形有一个，共有五个三角形，相应的五个算式是：2+3+6=11，3+6+7=16，8+3+7=18，6+7+1=14，2+8+1=11。
如果把例2中的数换成小数或者分数，就可以得到新的开放题
B、形与形的类比
不但数与数可以类比，形与形也可以类比。形与形之间主要是线、面和体的类比，具体地说：(1)线与面的类比；(2)面与体的类比。
例:下图中有许多线段，有一些线段包含CD，请你写出包含CD的线段。
这是一个关于线段的开放题，可以类比出下面这个关于面的开放题：
带圈正方形：
在3×3的方格纸中，可以找出许多正方形，下图中有一个圆圈“○”，请你把所包含这个圆圈的正方形涂上阴影。
C、文学与数学的类比
文学与数学看上去似乎毫不相干，其实它们常有着许多的相似之处，运用这些相似，利用文学中的某些词或者句子的结构就能类比出开放题。
例
3、写出回文数。
“牙刷刷牙”这句话从左往右读和从右往左读完全一样。717这个数从左往右读和从右往左读也完全一样，请你写出满足从左往右读和从右往左读一样的三位数。
[分析与参考答案]
在3×3的方格子中，边长是1的正方形有9个，显然最中间的这一个小正方形包含圆圈，如图(1)。边长是2的正方形有4个，边长是3的正方形有1个，这些正方形都包含圆圈，如图(2)至图(6)。
(2)变封闭题为开放题
A、将封闭题适当改变条件或问题使之成为开放题。B、将封闭题增加多余条件使之成为开放题。C、删除封闭题的条件或问题使之成为开放题。（3）结合学生生活实际编写开放题。
（五）开放题教学的体会
小学数学开放题教学的探究和实践，能更好地发挥学生学习的主动性，极大地激励学生学习的积极性，使学生感到开放题新颖亲近，变得摸得着、看得见，易于接受，从而激发学生内在的认知需要，变“要我学”为“我要学”，教师利用学生已有的生活原型联系实际学数学，实现了“数学教学法生活化”，真正让学生把知识用于生活，提高了应用能力，达到学而之用的效果。开放题教学能全方位培养学生的创造能力，更好地满足了学生的心理需要，更好地启迪了学生的思维，更好地拓展了学生的空间，使学生的创新意识和能力得到较好的培养。
经过这三年的实践和研究，我们看到许多方面在发生着悄然变化：
1、建立了民主、平等、和谐的师生关系，使学生得到生动活泼、主动的发展。教师开放的教学观，注重发展的教学评价为学生创设了一个没有束缚的、充满民主、和谐、平等、自由的学习氛围，使学生成为课堂的主角。在教师亲切的眼神、会心的微笑、生动的语言中学生感受到学习的愉快，感受到爱和尊重、乐观和自信，也敢于发表自己的见解、提出自己的观点，从而能大胆探索。我们曾对学生作过一些问卷调查。从调查情况来看，多数学生对学习数学充满信心；在学习中，学生的个性、想法多数能得到老师的尊重；遇到困难时，一般能想到向老师、同学、网上求助；与数学老师的关系多数良好；有的还对老师提出了一些希望和建议。
2、培养了学生的非智力因素，促进学生全面发展。开放性教学打破了师道尊严，讲究师生平等，教师对学生的思维预先设置的限制减少了，便于学生充分发挥自己的个性，为学生提供了具有开放性和选择性的发展空间，有利于促进学生的兴趣、动机、情感、意志、性格等非智力因素的健康发展。多数学生在课堂上情绪高涨，思维敏捷、想象力丰富，学习积极性和主动性得到了充分发挥。如在学习《认钟表》时，学生对钟表有了一定的认识后，教师让学生画钟表，画着画着有的学生哼起了歌，几分钟后，一幅幅作品展现在大家眼前。
3、学生的创新意识和创新精神得到了培养。
在开放性教学中，教师不仅接受学生提出的不同见解，并且鼓励用不同的方法来解决问题。学生在适宜的学习环境中大胆质疑、热烈讨论、合作学习、情感交流、思维碰撞、积极探索，敢于标新立异，在参与学习的全过程中创新意识和创新精神得到了充分发展。如在填数：＿、＿、＿、9、＿、＿、＿。学生从一个一个地顺着数和倒着数来填；有的从单数来考虑顺着数、倒着数；也有的学生三个三个来顺着数、倒着数；更有学生想到这样填：1、4、5、9、14、23、37。在教学中，有许多精彩的意外让教师始料未及。
4、学生的思维品质得到了锻炼。
开放性教学不仅要解决开放性的问题，也表现在问题解决策略的开放性。学生在探索多种结果和解题策略的过程中，培养了思维的广阔性；开放性问题大多能进一步引伸、拓宽为新的问题，学生在探索出一些结论后，还能进行较深层次的分析，发现隐含的结论和更一般、内在的规律。这样，学生思维的广阔性就得到了发展。在问题解决的过程中，学生的独立思考和相互讨论、辩论，培养了他们思维的灵活性和批判性。这些均有助于培养学生良好的思维品质。这三年来，五所学校的十个实验班在三次房山区统一抽测中数学平均分都在95以上，名列房山区前茅。中考成绩总计4名学生考入市重点中学，15名考入良乡附中，23名考入良乡一中。高考成绩7人考入重本。
5、促进了教师教学方式的改变和学生学习方式的变革。
在实践中，我们所倡导的一些基本模式正是体现以学生为主体，以思维训练为主线，以探究为主的思想。我们根据学生的学习、生活活动为线索来设计教学；强调小组合作学习；加强动手操作；重视情景的创设、氛围的营造；充分发挥现代教育媒体的优势；重视教、学过程的互动；特别是实践活动的组织和实施。如六年级学习统计后，组织开展《假日小队》，分小队去了解统计家庭中家用电器、交通工具使用情况、街头广告中常用错别字出现情况等。学习利率之前，指导学生去银行采访了解相关情况，获得教材中所没有的信息。学习百分数后，在生活中收集百分数应用的资料，到商店去了解打折等知识。围绕某一个主题试写小论文、编写数学墙报、手抄报……在社会调查、实践活动中，让学生学习“活”的数学，开拓了学生的视野。
6、通过研究与实践，造就了一支年轻的具有现代教育意识的科研型、创新型的教师队伍。
在实践和研究中，老师们积极参与教科研工作，他们主动学习教育教学理论，钻研教材和教法，互相交流经验，积极探索课件的制作，形成了良好的教研氛围。通过研究课、试验课、观摩课等，提高教师的教育教学水平，特别是青年教师，在实践中收益匪浅，在各级各类比赛中脱颖而出。这三年来，数学组刘玉国老师做区级数学研究课三次，市级研究课一次，并受到了各区教研员特别是全国特级教师刘德武老师的一致好评。2004年12月刘玉国老师被评为房山区小学课堂教学改革先进教师。二位老师获区级评优课一等奖，一位老师获区级评优课二等奖。同时，参与研究的老师结合教学实践，撰写了多篇论文，也得到了较好的回报：一篇论文在《中国新世纪教育教学论坛》上刊登；有1篇论文在全国教育教学优秀论文评比中获二等奖，在房山区学术年会论文评比中5篇获一等奖，10篇获二等奖；有1篇案例与反思在房山区小学数学高年级段教案评比中获一等奖；中心校课件评比中获一等奖三个，二等奖3个。在中心校“学习新理念，转变教学行为论文评选中二人获一等奖，三人获二等奖。
七、研究后的一些思索：
1、“开放”的程度控制要突出学生的主体性，同时不能脱离教师的指导作用，两者不能偏废。开放性的课堂教学是以学生为主体的教学，较传统教学的师生关系结构发生重大变化，教师的指导形式在开放性的课堂教学中相对隐蔽，因而这样的控制难度相对更大。在教学中，要发散学生的思维，又要择优，要组织讨论，又要防止喧闹、防离题……把握这些开放的度，需要教师要有熟练的驾驭课堂的能力。
2、要处理好课堂教学模式与开放性教学之间的关系，争取最佳效果。开放性的课堂教学没有固定的程式，因此教师在教学中要把握课程标准，吃透内容，并结合具体的课时内容进行选择、拓展。
3、开放题只是开放性教学策略的一种载体，一题多解、一题多问等只是一种形式，目前没有形成系统，需要教师在实践中有意识的进行探索。特别是课改之初，现行三至六年级的教材中有许多内容滞后于新课程的教育理念，需要教师把握好教材内容的开放度。
4、数学教学中开放性教学策略运用的宗旨是教会学生思索，培养学生的数学素养，发展学生运用所获得的知识的能力，应当强调让学生积极主动地通过自我发展、自我实践去获得能力。如果学生能够把知识真正内化到自身的认知结构中去的教学策略，才是最有效的。
5、开放性的教学主要是为学生的自主探究提供一种时空，而探究性的学习与接受性学习并非相互对立、排斥，在更新教学观念时要防止对接受学习的全盘否定。事实上，开放性、探究性学习只是有效学习方式之一，教师对其应有正确的认识，不能把其视为唯一的有效学习方式。在教学实践中不可能一点不讲授。在研究中必须保持科学严谨的审慎态度，防止走极端。
6、由于研究的时间比较短，在新课改的教育理念下开展研究的时间更短，因此，深入的不够。为了更好的开展新课程实验，为了更好的开展新课程实验，我们在学校的主课题中确定了下期研究目标：小学数学开放性探究性学习课程特征及其策略研究。
参考文献：
1、皮连生的《学与教的心理学》
随着新技术革命的发展,特别是电脑和资讯技术的快速发展,人类正面临一个迅速变化的、开放的社会。为了生存,要求数学教育培养出有更高数学素质、具有更强的创造能力的人。从数学教育内部来看,“新数”运动的急剧衰落,人们在对历史的反思中认识到数学教学模式应在综合化的过程中得到优化,在这一过程中,开放题被认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型,它的出现是时代呼唤的结果。
数学开放题作为一种与传统数学“封闭题”相对的全新习题类型,它的出现引发了数学教学的一次重大变革,是培养学生创新精神和思维能力的一个重要切入口,更是落实《义务教育数学课程标准 (2011年版)》中关于学生创新能力、思维能力培养的重要抓手。数学开放题的中国化道路已有30多年,其实践主要集中于中学,近几年来不少小学教师也尝试将开放题引入课堂教学,进行了可贵的实践研究,收到了较好的效果,本文试图对小学开放题教学的独特价值进行一些厘清。
一、学习机会:每一个学生都有兴奋点
新课程改革以来,愈来愈重视学生课堂学习主体地位的确立,倡导不同的学生在数学上得到不同的发展,从某种意义上说因材施教成为数学教育最为关切的目标之一,而学生的主体意识的形成和确立,需要有合适的时机和平台。开放题问题解决过程中所呈现出的挑战性能有效激发学生的好奇心和求知欲,从而为学生主动学习创造了条件,开放题问题答案的不唯一,解题方法的不唯一使得每一个学生都有问题获解的机会,并在尝试解决问题的活动中获取一些知识或者方法,为“数学教育面向全体学生”这一教育理念的可操作性奠定了坚实基础。
1. 让因材施教成为可能。
学生已有数学知识及数学学习能力之间的差异是客观存在的。教师为了在课堂上尽可能多地照顾这种差异,总是使出浑身解数,尝试不同的方法,如根据不同的学习内容决定采用同质分组还是异质分组,分层作业等等,保证了因材施教得以践行。这种方法存在的弊端主要是:长此以往,教师的工作量特别大,实际操作往往难以落到实处。开放题由于答案不唯一,解答时,有些答案可能容易得到,有些答案却难以找到;开放题解题思路的不唯一,有些孩子在条件的丛林中迷失方向,有些孩子则能从无序的条件中厘清思路,追寻正确的解题路径;有些孩子解题时是盲目地瞎凑,找到一个算一个,而有些孩子则试图寻找规律,有序思考、逐步逼近问题本质,尽可能避免答案重复或遗漏……正是开放题的这种多层次性,能适应多层次的学生,为因材施教提供了极好的教学元素。不同的学生即使同时解答出某个开放题,其做出答案数量的多少,考虑问题的视角,更能反映学生的思维水平,体现出不同的层次。
2. 让体验成功成为可能。
从某种意义上来说,数学学习的目的正在于让学生通过数学活动体尝成功,感受到学习数学的乐趣,亲历从“数学好玩”到“玩好数学”的自觉过渡。开放题教学形式的开放决定了学生学习活动可以是单兵作战,也可以团队协同;可以是畅所欲言,也可以是实践操作。学习过程中,师生之间的教学关系已融洽为平等的合作伙伴关系,学生能以轻松、愉快的心情进行学习。
开放题宽松的解题环境和答案的不唯一性,学生可以根据自己的经验、知识水平、认知能力,按自己的意愿选择思维方式解决问题。从而为不同水平层次的学生找到适合自己现实水平的答案提供了可能,每个孩子都能享受到“做数学”的成功乐趣,激发自我数学学习的积极性,增强学好数学的自信心,让数学为己所用。
二、思维品质:每一种品质都有落脚点
开放题教学,从教学形式上看,变传统意义上的单一的教师讲解、提问为师生共同研究问题的知识与能力的综合训练,变传统的个体操作为集中交流合作,在活动中触发思维的火花。开放性问题引入课堂,能有效激发学生敢于从多角度去思考问题,从不同方向对问题发起攻击,亲历知识的发现、掌握、内化,主动建构知识体系,在问题解决的进程中培养学生思维的深刻性、灵活性、发散性和批判性等良好品质。
1. 思维的深刻性。
一般而言,一道开放题中至少包含两个及两个以上的数学知识点。这就要求学生能从不同角度观察面临的问题,在阅读、梳理已知条件中发现矛盾点、薄弱点、异常点,进而对问题作出全面、深入、正确的判断,沟通式、形结构等多方面的关联,透过现象掌握本质,然后在自己原有知识基础上,联想有关条件或目标,将问题转化,找到自己独到的解题答案,从而有利于培养学生思维的深刻性。
2. 思维的灵活性。
思维的灵活性是指在处理问题中所表现出的随机应变能力。开放题是一种较为特殊的习题,解题思路的不确定性、问题答案的不唯一性等特性,决定了学生必须善于遴选题目中所提供的信息,进行合理的剔除、排列、组合、探究,并能及时调整思维角度、改变原来的思维过程,不固执己见,不拘泥于陈旧的方法,并善于由已知条件提出新的设想和解决问题的方案,从而有利于培养思维的灵活性。
3. 思维的发散性。
开放题的解题策略是非常规的,没有固定的、现成的模式可以遵循,既往的那种依靠死记硬背、机械模仿式的经验法是找不到问题的正确答案,这就要求学生打破原有的思维模式,充分调动自己的知识储备,展开广泛的联想和想象,从多方向、多角度进行思考,运用多种思维方法,如联想、猜测、直觉、类比等进行思考和探究,来探求开放题的多种答案。从这个意义上说,开放题教学可以有效锻炼学生思维的发散性。
4. 思维的批判性。
在现代社会,批判性思维被普遍确立为教育的目标之一,它既是一种思维技能,也是一种人格或气质;既能体现思维水平,也凸显现代人文精神。开放题的解题思路或问题答案常常是未知的或不确定的,有的有待于猜想,有的存在多种可能……这就为培养学生的反省性思维提供了极好的机遇与素材,在对问题条件进行解释、分析、评估、推论、说明、自我校准中逐步厘清条件与问题之间的内在逻辑关系,渐次逼近问题内核,学生运用各种思维形式排除不可能发生的情况,作出正确的选择与判断。我们常常使用多余型开放题,将题目中的有用条件和无用条件混在一起,产生干扰因素,在学生求解过程中不自觉地训练了求真、开放思想、分析性、系统性、自信心、求知欲、认知成熟度等思维倾向,培养学生思维的批判性。
三、创造能力:每一星火花都有生长点
21世纪中国教育的主旋律就是激发学生的创新意识,培养学生的创造能力,作为基础教育启蒙阶段的小学教师更应顺应时代发展的潮流,革新教学思想,创新教学方法,尝试选用对学生创造能力更有帮助的数学习题。在开放题解答过程中能主动将自己的角色定位为学习的示范者、启发者、鼓励者、指导者、合作者,不再是讲授解答的权威。通过课堂观察,洞悉学生的需求,及时调控研究方向,给予学困处、学疑处必要的帮助、点拨、指导,为每个孩子提供表现潜在探索欲和创造力的机会,促使孩子的创造力得到不同程度的发展和提高。
1. 有利于强化学生的创新意识。
创新意识是人们根据社会和个体生活发展的需要,引起创造前所未有的事物或观念的动机,并在创造活动中表现出的意向、愿望和设想。它是人们进行创造活动的出发点和内在动力,是创造性思维和创造力的前提。
传统数学习题最鲜明的特征就是每道题仅存在唯一的答案,学生只须找到一个答案即大功告成,而不必再进一步思考下去;开放题答案不唯一,在同一题里解题路径也不尽相同。把数学开放题融入课堂教学,进行有系统地训练,能有效拓展学生解决问题的视域,强化学生从多角度思考问题的意识和习惯,激发学生学习的内生动力,以饱满的热情主动参与知识的建构过程。这一过程不仅培养了学生不断进取的探究精神,还强化了学生的创新意识,提升了学生的创新自主性。
2. 有利于提高学生的创新能力。
创新能力也称为创新力,由多种能力构成,包括分析能力、综合能力、想象能力、批判能力、创造能力、以及整合多种能力的能力等。在开放题的求解过程中,学生必须充分调动自己的知识储备,打破原有的思维模式,用多种思维方法 (如联想、猜测、直觉、类比等) 进行思考和探索,从而为创造能力的,培养提供了可能。
实践活动是创新精神、创新意识的源头活水,更是创造力萌发并转化为现实的坚实土壤。史宁中教授认为:“创新能力依赖于三个方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要。”开放题独特题型特征决定了其求解过程必须依托个性或团队的实践活动,解题的熟练程度依赖于学生知识、思维、经验三位一体的既有水平,在活动中不仅调用已有知识,经历梳理、匹配、重组的思维创新过程,求得正解,从而有效锻炼学生的创新能力。
四、活动经验:每一点积累都有支撑点
帮助学生积累基本的数学活动经验,是《义务教育数学课程标准 (2011年版)》的核心理念之一。小学开放题教学在引导学生思考、讨论、实践、回顾、总结,在分析解决问题的过程中,会形成一定的有效经验,形成知识烙印,就像现场照片一样储藏于大脑之中,当再次遇到“类似”的习题,学生能轻松调取关联经验进行解答。
1. 实践活动, 丰富表象。
数学活动经验具有实践性,是学生在学习过程中获得的,有意义的数学活动经验植根于操作活动,动手尝试、经历才能更加深刻入微。波利亚指出:“学习任何东西,最有效的途径是自己去发现”。许多开放题看上去思路复杂,初看无从下手,需要在反复的条件阅读、体悟、碰撞、整合后借助具体的数学活动,通过手、脑、口多种感官协调活动才能嗅出端倪,增厚对问题表象的认知和理解,从而破解问题,求得正解。在具体的教学过程中,教师要根据学习内容及学生特点,合理选择、组织操作活动,努力追求操作价值最大化。让学生在亲历中体验“做数学”,在体验中实现数学的“再创造”,真正让学生感悟到数学的神奇魅力。
2. 引发思考,积累活动经验。
数学思考是数学活动中最有价值的行为,有思考才会有问题,才会有反思,才会有思想,才能真正感悟数学的本质和价值,也才能在创新意识上得到发展。数学基本活动经验的核心,就是如何思考的经验,既发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验,也就是最终学会运用数学的思维方式进行思考。小学数学开放题,侧重于让学生在实践活动的基础上进行思考,让学生在具体的问题情境中教师要有意识地引导他们积极思考、善于观察、加强分析、合作交流,让学生在活动中发现问题、提出问题,分析问题、解决问题,从而在活动中积累数学活动经验,感悟数学思想和思维方式。
参考文献
[1]唐彩斌.开放题教学与小学数学——访浙江教育学院戴再平教授[DB/OL].http://xkmh.zjer.cn/zjer2/st/super Teacher Article.do?method=show&super Teacher Id=69&category Id=3205&article Id=28460,2012-11-04/2013-10-20.
[2]戴再平等.数学开放题研究[M].南宁:广西教育出版社,2012.
关键词：小学数学;开放题;设计技巧
开放题的出现，可以锻炼学生的解题能力与技巧，培养学生的自主学习能力及学生的自主创新意识和功能，让学生的数学知识探求有路可循。
一、从学生生活经验出发，创设问题情境
开放题的设计技巧之一可以从问题情境着手，从学生的生活经验出发，创设学生比较熟悉的问题情境，这样学生就有信心、有能力去克服、解决它。例如，有关“钟表”的学习中，我们可以设计这样的开放题：“你们喜欢看《动画乐园》栏目吗？这个节目几点钟开始？谁能把这个时间在钟表模具上展示给大家？”另外，还可以为学生设计一些富有新意的问题情境，这样可以激发学生的求知欲望，提升学生的学习兴趣。
二、联系学生生活实际设计，促使学生自主解决问题
数学课上，每一个学生都会有一个共同的愿望，那便是他们希望每个人都能成为数学知识的探求者、揭秘者。所以，我們在布置数学任务的时候，设计的“开放”题目一定要联系学生的生活实际，让学生亲身感觉到数学就在他们身边，促使学生能够积极主动地投入到开放题目的解决过程中去。
例如，在学习“加、减法简便计算”的内容时，学生对于数学中“多加应减，多减应加”的思维方式不能理解，不清楚。所以，可以铺设学生到超市购物的生活情境，小红带121元钱去超市买面粉，一袋面粉95元，她给售货员100元，售货员找给她5元，小红兜里还剩多少元？要求学生依据情境列式，有121-100+5、121-95、100-95+21等等，然后让学生进行对比，就会明白多加应减，多减应加之道理。
三、培养学生思维的宽广性和灵活性
开放题的设计还要着重培养学生思维的宽广性及灵活性。宽广性主要表现在对开放题多思路、多层次的思维。解题时，将题的问题逐步拓展开，让学生的解题思维有序地迁移，使学生能够有能力去解决“开放”类型题目。
在解问题时，可以由一个问题逐步引申出一连串的问题，要求学生敏捷地选择解题方法，从而避免学生无从下手的弊端。这样就可以将学生思维进行拓展，能力得到有效的提高，而思维的灵活性表现在解题时的随机应变，能依据题目的变化，选取合适的解题方法，达到思维创新之目的。
参考文献：
(一)开放教学内容，拓展学生学习范围
随着社会的发展和信息量的不断增加，课本的知识已经无法满足学生学习生活的需要。因此，教师的课堂教学内容要丰富，需拓展教学内容，突破课本的局限。首先，联系生活实际。教师要善于把教学内容与现实生活紧密联系起来，使学生领悟到数学源于生活又高于生活。比如，“用人民币购买物品”、“利息利率计算问题”等都来自于社会生活实际，把这些内容引进课堂，既丰富了教学内容又使课堂教学变得生动活泼。其次，创新教材内容。老师要紧跟时代步伐，灵活使用教材，进行适当的创新。比如，教2至5的乘法口诀的时候，可以让学生先用手指来数数，摸索出5的乘法口诀规律，然后让学生以此类推得出2至4的乘法口诀，既结合了学生的实际，又培养了学生自主学习的意识。最后，精心设计开放题。比如，可以在小学数学教学中设计“小红家离学校有500米，小明家离学校有300米，那么小红家离小明家有多少米?”等开放题来培养学生的辨证思维、发散思维。
(二)采用开放的教学形式，激发学生参与热情
教学内容的开放决定教学形式也是开放的，现代的课堂教学是教师和学生之间相互交流的平台，因此，要采用学生感兴趣的教学形式，让每一位学生都能积极主动地参与到教学中，激发学生的热情，让学生的个性得到张扬。根据小学数学这门学科的具体特点，结合不同的教学内，容灵活地采用不同的教学形式，凭借多种教学手段创造丰富多彩的课堂情境。比如，在学习计算正方形的周长时，老师可以课前布置学生准备正方形的纸板，接着在课堂上进行比赛，看谁的计算方法又快又准。
(三)创造开放的`教学环境，促进学生积极主动参与，培养创新精神
首先，教师要充分地尊重学生，把微笑、爱心、信任、激励带进课堂，以平等的态度尊重和信任每一位同学，避免用冷漠的态度对待学生。建立一种平等的师生关系与民主和谐的学习环境，让同学们敢想、敢说、敢问，敢于发表自己的意见，培养学生的创新意识。
其次，教师要充分信任学生，鼓励学生勇敢地提出不同意见和发表自己的见解，培养学生的创造性思维，让学生体验成功的同时树立自信心。再次，老师对学生要宽容。在课堂上，学生表达自己的观点肯定是希望得到老师的肯定，如果学生回答错误或回答得不完整的时候，教师要充分理解学生，并适当地提醒点拨，这样学生在课堂上才会感觉到轻松愉快，不必担心自己回答问题错误招来老师的批评和其他同学的嘲笑，为学生的全面发展创造良好的条件和环境。
总而言之，新课程改革背景下的小学数学开放式教学具有主体性、创造性、合作性、动态性等特征，因此，在小学数学课堂教学中，教师要设计开放的教学内容，拓展学生学习范围;采用开放的教学形式，激发学生参与热情;创造开放的教学环境，促进学生积极主动参与。这样，才能实现素质教育的目标。
贵州省桐梓县风水乡华通小学
马光均
小学数学应用题教学的效果，往往直接取决于学生学习时头脑中已具备的认知结构和实际的认知加工。学生的学习是决定学习结果的直接因素，故此要充分重视学生原有认知水平，抓住教学这一契机，有准备地计划和选择一些适合学生认知水平的学习材料，设置恰当的教学情景，直接抛出问题，放手主学生自己发现，自己归纳，自己体验。所以，小学数学应用题教学的开放化，更能调动学生学习的兴趣，有效地提高学生分析问题、解决实际问题的能力。
小学数学应用题教学的开放化，是解决现实生活中真实的数学问题的重要途径之一。我们教学的数学问题，它都具有完整的结构：包括适量的条件、唯一的答案、相对程式化的数量关系等。我们的学生正是在这样一种反复训练中学习数学的。在现实生活中，几乎没有哪一个问题拥有的条件是恰好的，问题的答案有时也并不唯一。在具体的执教中，要对应用题的结构作出一些大胆的拓展，以具有开放结构、富于真实意义的教学问题。以使学生在发散性、多维度的思维活动中，提高解决实际问题的能力。小学数学应用题教学的开放化显得十分重要。主要体现在以下几方面：首先结构不完善的应用题的教学。一方面，提供条件不足的应用题，让学生在分析问题的同时学会捕捉欠缺的条件，然后自己提出问题并给予解答。例如：给我们班每位同学都做一块长6分米，宽大分米的手巾，共需要多少布料？解答这一问题时，还需要知道全班的人数。这一组数据可以让学生自己去搜集。另一方面，还可以提供一些纯条件或问题的应用题，让学生自己根据条
件或问题自由展开联想。发散思考。例如：全校共有男654人，女生586人，你可以提出什么问题，然后再解答。让学生可以从各个角度进行分析。并有效地培养学生收集、处理信息的能力。
其次，条件盈余的应用题，要求学生对问题中的数据学会正确的判断，并作出合理的取舍。例如：商店里有100千克大米，每千克4.50元，张阿姨买了20千克，要付多少钱？
对于条件盈余的应用题的开放化的教学，学生要有足够的能力来解决这一问题。用他们自己的方法来学习，学生会更关注学习对象之间的联系、理解也会更深刻，更容易掌握其中 的内在规律、性质和联系。更重要的是更能体会到数学学习带来的乐趣和成功感。
次之，结论不唯一一应用题。这是一种真实情景的数学问题，对培养学生解答实际问题的能力大有神益，这恰恰是传统应用题教学无法比拟的。例如：有一文具店，有各种笔，不同价格的信息表，如果给你50元，你可以怎样来合理地买笔？显然问题的结论是开放的。学生可以用50元钱买任意一种笔，也可以选择其中两种或三种进行搭配，而搭配方案是多种多样的。在小学数学应用题教学的开放化的过程中，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，并要参与到学生的学习过程中去。当产生新知识和旧知识之间的冲突时，把学习研究的主动权交给学生，让他们自己寻找解决的方法。让学生通过猜想、验证、归纳来体会研究过程。以此来培养学生垢思维能力。
小学数学应用题开放化教学的目的是培养学生良好的学习方
5月20日上午，有幸能够听到农安县红旗小学优秀教师的课，活动中的几节课真的让我感受颇深，受益匪浅。同时也让我领略了县里优秀教师的风采。
回到学校我对整个听课的感受进行了一次梳理，让我最受触动的是，作为一次全县开放课活动，作课的老师们，丝毫没有“花拳绣腿”的架子，没有丝毫的作秀，而是给我们一个课堂的本面目，让我看到了纯粹的数学课堂。这几节课让我充分领略了课堂教学无穷的艺术魅力。老师们的课以丰富的人生积淀，深厚的文化底蕴，丰富的教学经验和精湛的教学艺术向我们展示了课堂教学的崇高境界，使我在听课活动中可以说是如沐春风。可以用两个安概括，那就是“实在”，虽然各位老师的水平不一，风格各异，但每一节课都有很多值得我们学习借鉴的东西，这几节课表现了以下优点：
一、底蕴。我非常惊叹于这年轻的老师课堂上能有如此严谨的思维，精练的谈吐，如果没有知识的积淀与认真的钻研难以做到很好的把握课本，又很好的把握学生的。
二、亲和。坐在她们的课堂上，却发现她们的亲和力不仅是在脸上，更是在师生的心里，听这样的课想走神都很难。
三、知识生成。课堂教学中做到体现自主引导合作，推动探究，关注过程，尊重学生个性特征，重视学生的探究体验和感悟发现，培养学生结合自己的经验提出，研究和解决问题的能力。
四、理论联系实际。教师注重数学来源生活，用之于生活，让学生体验了学习数学的乐趣及其中的重要性。
总之，这几节课无一例外地体现着新课论的要求趋势，课堂生动，预设生成与动态生成相结合，目标达成高。无一不渗透着新的教学思想和教学方法，教学策略在他们的课堂上应用的活录活现。但不足的是四年级这节课中，学生回答问题后，教师激励性评价太少。通过听课让我深深体会到作为一名教师应注重以下几点的完善与培养：
1、注意创设情境，从身边熟悉的问题开始，在浓浓的情感交流中导入教学很自然，很亲切。
2、教材分析的深入透彻，教法灵活多样，在组织和引导学生自主学习，合作探究方面也作了很大的努力。
3、多媒体运用的适时恰当，较好的扩充数学的信息，发挥媒体对教学的辅助作用。
关键词：开放题,创新,教学策略
近些年, 教学方法中流行了一种题海战术, 学生顺理成章成了做题的工具, 并且这些题大都运用某种方法就可以得到正确答案. 为了改变这种呆板的模式, 并在教学中充分发挥学生主体地位, 开放题以一种新姿态和灵活多变的方式呈现出来, 学生在老师引导下探究、解决问题. 有效的开放题的教学策略对学生乃至数学学科的发展都有一定的促进作用.
一、什么是“开放题”
开放是相对封闭而言, 封闭题有完整固定的条件, 结论也是唯一的, 与之相对应的, 条件不完备或答案不唯一, 问题本身具有探索性与发展性的习题一般称为开放题.
二、开放题的“新类型”以及相应的教学建议
1.“定义型”开放题
定义是用一个词或者一段话来描述或者规范一个事物的本质属性的简要说明书.
例如高中学习的函数的定义, 在初中学习的基础上引用了数集对其定义: 一般地, 对于两个非空数集A、B, “数集A”中的任意一个元素在“数集B”中都有唯一的“数f ( x) ”与之对应, 其中f: x→y叫做从A到B的对应关系, 映射f:A→B就叫做函数, 记作y = f ( x) . 教师在讲解函数的定时可以把自变量x比作是原材料, 对应关系f是加工厂, 加工厂处理完原材料就得到了成品y ( 因变量)
“定义型”开放题命题巧妙, 考查的知识点较为丰富, 解题方法灵活多样. 这就要求教师在教学时最好用导入设问的方式进行新知识的讲解, 让学生在头脑中有一个与原有知识进行建构的过程, 通过思考再运用类比的方式认识新定义, 解决定义型开放题.
例1 在 () 里填入适当的条件, 使得x = f ( y) .
例2已知y=f (1+x) 2, 那么函数解析式可以是_________ (至少写出三个) .
2.“性质型”开放题
性质是在建立在定义基础之上较为具体的刻画出事物的本质特征, 也是一种从客观角度认知事物的形式. 性质型开放题既考察对定义的理解, 还考察学生对定义的认知程度. 性质是一个事物比较灵活的特性, 教师在讲解性质时, 注重培养学生的发现与提出问题的能力, 最好采用多种方式进行教学, 便于学生更好地理解性质, 在此基础上, 解决性质型开放题.
例1已知函数f ( x) = x3+ 3x2+ 4, 它的图像在 (- ∞ , 0], 的趋势大致是____.
如函数的单调性的讲解, 首先让学生先大胆的猜测“单调性的含义”, 通过学生的发言中了解到在学生潜意识里对单调性是怎么理解的, 然后判断一个函数是否具有单调性, 可以用单调性的定义直接判断一个函数在定义域的某个区间上的单调性, 也可以利用计算机画出函数图像, 通过观察判断其单调性, 或者带入特殊点判断其在定义域某个区间上有无单调性.
例2已知函数y = f ( x) 在 (- ∞ , 0) 上是减函数, 在[0, + ∞) 上是增函数, 这个函数可以是______.
3.“定理型”开放试题
定理, 是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题. 虽然定理的证明过程没用严格要求学生掌握, 但是从一名教师的角度, 要适当渗透知识, 让学生在了解来源的基础上, 巧妙的将内容掌握.
三、开放题的教学策略
1. 稳固基础, 开拓创新, 通过设问、思考、讨论、探究, 建构知识的内在结构
教师在进行“定义型”开放题教学时, 要培养学生多思考多交流的能力, 通过设计问题引导学生分析从多维角度分析问题, 获得已知的关键信息, 抓住所考察的知识点, 在头脑中重建网状知识结构. 在这个过程中, 学生不仅是被动地听的对象, 更多的是积极主动的参与者, 通过探讨交流后得出问题可能的答案, 进而将问题解决.
2. 合情演绎, 类比推理, 在理解定义的基础上, 拓展学生的知识层面, 发挥学生的想象力和创造力
教师在进行“性质型”开放题教学时, 首先要讲清楚、解释清楚“性质是什么”以及具有“什么样的性质”; 其次, 教师要在讲解性质的同时, 设计几个问题, 让学生合理的假设, 再通过已有的知识验证猜想, 或者直接如何根据已有的知识印象去解决此类问题. 最后, 这也是很关键的环节, 教师不仅要教学生怎样解决开放性试题, 还要“教”学生怎样提出问题, 让学生通过合作学习, 不断的获取知识, 通过不断地提问一步步挖掘知识.
3. 创设合理情境, 构建模型, 联想实际问题, 解决开放题
教师在开放题教学中, 创设合理的情境是十分必要的, 它不仅可以吸引学生的注意力, 而且可以将一些抽象的数学定义、定理模型化, 教师也可以教会学生利用数学建模的思想来思考并解决问题. 数学与我们的生活有着密切的联系, 我们需要把更多的数学问题在生活中实际化, 让学生从现实生活慢慢去探索数学, 挖掘更多的开放题.
参考文献
[1]孙慧娟.初中数学开放题教学方法初探[J].中国校外教育, 2013 (9) :56.
[2]王学俊.浅谈初中数学开放题教学方法[J].现代阅读, 2013 (2) :88.
关键词：数学开放题 教学设计 编制
数学开放题是70年代开始出现的一种新题型。近年来，经常出现在中考与高考中，与新课改中对学生能力的要求非常匹配。开放题是相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论。也正因为这样，开放题的解题策略往往多种多样。人们在对历史的反思中，认识到数学教学不应建立在“概念-----定理-----例题-----练习”的知识传授型模式上，而应建立在对学生积极鼓励、引导学生进行探索的以学生为中心的创造模式上。开放题被人们认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型。
一、数学开放题的形式与特点
数学命题一般可根据思维形式分成“假设-----推理-----判断”三个部分。一个数学开放题，若其未知要素是假设，则为条件开放题；若其未知要素是推理，则为策略开放题；若其未知要素是判断，则为结论开放题；有的问题只给出一定背景，其条件、解题策略与结论都要求主体在情景中自行设定与寻找，这类可称为综合开放题。
例1、计算
这是一道很简单的封闭题。现作一逆向题：试写一个有关单项式的运算的式子，要求其运算结果是 。
这就是一道条件开放题。
例2、给定平面上有n个点，已知1、2、4、8、16都是其中两点之间的距离，那么点数n最小可能值是多少？
这就是一道策略开放题。
例3、若⊙O1、⊙O2、⊙O3 …… 都是经过点A与B，点P是线段AB延长线上任意一点，从P向⊙O1、⊙O2、⊙O3 ……各圆作切线，切点分别为C1 、C2 、C3……，请判断这些切点在怎样的几何图形上，并证明你的结论。
这就是一道结论开放题。
例4、在一个矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛面积为矩形面积的一半。请给出设计。（第17届国际数学教育心理学会公开课例题）。
由于例4只用了一般性语言来描述问题的背景，这种所给的题目就有相当的不确定性。这样的问题其条件、解题策略与结论都是呈现极大的开放性，称之为综合开放题。
在我们平常教学中，还有一种经常遇到的开放题型-----探索性、存在性开放题。例如：
例5、已知平面直角坐标系中有两点A(-3，4)和B(3，-4)，试判断是否存在对称轴是y轴，且经过A、B两点的抛物线，若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由。
这种类型的题目可归纳为结论开放题。
开放题的出现以及对其教育功能的肯定，一方面反映了对数学教育以及其中各要素的关系思考和审视，反映了人们数学教育观念的转变，另一方面适应了飞速发展的时代需要。
1、当今技术的发展已使社会数学化。数学的应用已渗透到社会的各个方面的时候，我们不应满足于陈旧的、封闭的教学方式。
2、中小学数学教育的目标应当从为少数学生未来的学习需要服务转向为全体学生未来生活和就业需要服务。
3、数学不能仅仅理解为一门演绎科学、数学还有其更重要的一面，即它是一门非逻辑的、生动的、有丰富创造力的科学。
4、学生学习数学不仅是为了掌握数学知识，进行“思想体操”，还应认识到数学的价值，养成量化意识和良好的数感，培养分析问题与解决实际问题能力。
5、数学教学是学生创造（再创造）性的活动过程，尽靠教师的传授，不能使学生获得真正的数学知识。
二、数学开放题的教学设计
数学开放题不仅是供学生练习的题型，而且更重要的是数学教学的一种模式。在某些情况下，教师通过开放题的引进，学生参与下的解决，以及回顾与讨论，使学生在过程中体验数学的本质，品尝进行创造性教学活动的乐趣。
（一）、下面是“同类项概念”开放式教学的简单设计：
准备好配组的同类项卡片，上课后每人发一张，让一个学生去找与自己卡片上单项式成同类项的朋友，找对的同类项朋友坐在同桌，另一个被“挤”出的学生站起来再找。学生在愉快专心的气氛下迅速掌握了确定同类项的法则。合并同类项的法则也可以在同座的讨论中顺利解决。
（二）、下面是“求五角星五个角之和”的开放式教学设计。
1、问题提出
在学习了多边形的概念、性质后向学生提出“五角红旗上的五角星的五个角之和是多少？”对于这个问题，学生依据正五角星的五个角都等于36°，很快就得出他们的和是180°。然后，在此基础上进一步向学生提出“如果我们改变条件，将正五角星改为不规则的五角星，那么它的结论又是怎样的呢？”问题一出，由于条件“不规则五角星”的任意性和结论“五个角的和”不确定性或不可知因素，使学生产生进一步探索的欲望。
2、学生的探索活动
问题提出后，学生开始独立思考。很快就有学生提出不少较好的解题方法。如学生甲根据∠AFG＝∠B＋∠D, ∠AGF＝∠C＋∠E,将五角星的五个角都集中在△AGF中，从而得出它们和是180°（图一）。学生乙的方法是考虑平角CIE，由于∠BIC＝∠B＋∠E, ∠BIE＝∠C＋∠CHI, ∠CHI＝∠A＋∠D,于是等于将五角星的五个角都集中在平角CIE中，从而得到它们的和是180°。学生丙的方法与学生甲类似，只不过他是在△ACD中考虑。学生丁的方法也不错，他主要是利用多边形的外角和等于360°，得到五角星的五个角的和就等于五个小三角形的内角和，二次减去中间同一个五边形的外角和，即得到180°。……
从以上的求解结果来看，所用的方法是我们教学中常见的“一题多解”。但我们这里强调的是，先创设是学生思考、探索的情景，再去解题，而不是在条件和结论都很明确的情况下单纯地去考虑它的不同解法。然而，我们探索并不因此结束。如果我们进一步改变条件，比如求图二形状的五个角的和（我们称之为退化五角星），我们又该如何考虑呢？象这样的退化五角星你还能画出一些吗？它们五个角的和求解又有什么规律呢？
3、探索活动的延伸
能力较强的学生很快仿照不规则五角星的求解得到五个角的和也是180°，也有的学生已经画出其他一些退化五角星。这时，教师进一步启发，能不能把这种退化的五角星转化为前面已研究过的不规则五角星呢？请每个小组展开讨论。在教师的启发指导下，一些学生很快地作出将BE平移到B′E′位置（图三）。退化五角星即转化为不规则五角星，且它们的五个角的和相等，即为180°。此时数学中“化归思想”在这里得到很好的体现。许多学生很快得到了如图四所示的一系列退化五角星及其求解方法。
以上探讨的对象都是五角星或退化五角星，那么六角星、七角星、n角星的情况又怎样呢？也就是说，我们能否把它进一步推广呢？
数学开放题教学应注意下列事项：
1、教师对有关问题，事先要做好充分的准备与设计。这样，才能得心应手地应付课堂上可能发生的情况。
2、课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考作出解答。
3、提出的问题不宜过多、过难、要留有余地。
4、教师要善于从学生正确的或不正确的答案中分析他的思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。
5、不要脱离学生的实际水平，对不同思维发展水平的学生，教师要从实际出发，有的放矢地给出一些启发和帮助。
三、开放题的编制
1、弱化陈题条件，使其结论多样化
例6、原题“怎样将一个正方形分割成9个同样大小的正方形？”如果我们把条件加以弱化，去掉“同样大小”这一限制，就得到开放题“怎样将一个正方形分割成9个小正方形？”
假如我们再进一步稍微改变题目中分割成小正方形的个数，又可以得到一些开放题。
2、隐去陈题结论，使其指向多样化
例7、已知函数y＝ax²＋bx＋c的图像（如右图所示），x＝ 是该图象的对称轴，求证：a＜ 。这是一道具有单一结论的陈题。现隐去陈题的结论“求证：a＜ ”，得到开放题“已知函数y＝ax²＋bx＋c的图像（如上图所示），x＝ 是该图象的对称轴，问由此可得到关于系数a、b、c的一些什么结论？”
本题除了原有结论外，还有如下不同结论：
⑴ a＞0, ﹣1＜c＜0 ⑵ 2a＝﹣3b ⑶ abc＜0
⑷ a＋b＋c＜0 ⑸ a－b＋c＞0 ⑹ |a﹢c |＜﹣b
⑺ 2c＜b＜ 或 ＜a＜﹣3c ⑻ b＞
例8、如右图所示，△BAC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O、BC于D、E，连接BD。根据题设条件，找出图中各对相似三角形，并加以证明.（初三第五册126页例）
3、在既定条件或关系下，探讨各种结论
这种方法与上述“隐去陈题结论”方法具有相似之处。不过，隐去结论须以陈题作基础，这里可以更加“任意”和“自由”构建条件或关系，使得在这种情景下引出各种结论。
例9、想高为H的瓶中注水，注满为止。如果注水量V的函数关系图像如下图所示，那么水瓶的形状是（ ）
例10、△ABC中，a＝3，b＝4，由此可以得出什么结论？
本题所构建的条件是相当“任意”的，因此可从三角形的边、角、面积、角平分线、中线、外接圆半径、内切圆半径以及三角形形状等多种角度加以探讨。
⑴ 1＜C＜7 ⑵ B＞A ⑶A＜90°
⑷ 当 ＜C＜5，△ABC为锐角三角形
⑸ 当C＝5或C＝ 时，△ABC为直角三角形
⑹ 当1＜C＜ 或5＜C＜7，△ABC为钝角三角形
⑺△ABC面积为6sinC≤6 ⑻ C边上的中线MC＜7／2
⑼ 设∠C的平分线交BD于D，则AD∶BD＝4∶3；反之，设D是AB上一点，满足AD∶BD＝4∶3，则CD是∠C的平分线。
⑽△ABC的内切圆半径r＜3／2 ⑾△ABC的外接圆半径R≥2
4、给出结论，寻求使结论成立的充分条件
例11、如下图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形满足条件 时，有A1C⊥B1 D1(填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)
本题答案可以⑴ AC⊥BD ⑵ 对角线BD⊥平面A A1 C1C
⑶ BC＝CD且B A1＝DA，等等。
5、比较某些对象的异同点
例12、如下图，B具有立体的特征，试举出与B具有同样特征的几何体，并说明它的特征。H具有立体的特征，问与H具有相同特征的几何体还有那些？你能对其中各几何体的特征异同再作些比较？（日本岛田茂小组成员泽田利夫编制）
6、在实际情境中，寻求多种解法与结论
给出问题的实际情境，建立教学模型，寻求多种解法与结论，这是编制数学开放题的一种重要方法。实际情境可以是社会的、生产的、科技的、经济的、生活的、以及数学本身的。由于实际情境往往是多变因的，动态的，因此可引出多种多样的数学开放题。
例13、一块正方形地中，怎样才能裁成面积相等的四块？
比如：
如果不限定沿直线裁开，其方法就更多了。
四、启示与思考
在数学开放题的教学设计与编制中，下列几点应予以考虑：
1、目前中学数学教材中，习题基本上是为了学生了解和牢记数学结论而设计的。在这种情况下，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向，为了改变这种状况，使数学教学更多地体现积极探究精神，适当增加开放题是必要的。
2、开放题和封闭题在数学教学中，应该是并存而不是互相排斥。按照皮亚杰发生认知论的观点，封闭题主要引起认知结构的同化，而开放题是引起认知结构的顺应。
3、开放题中所包含的条件应为学生所熟悉的，其内容是有趣的，是学生愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题。开放题应具有足够的灵活性，使其能够根据学生的兴趣和能力进行变化的。当学生试图用数学语言表达问题的解答时，他会对数学的本质产生一种新的领悟。
4、开放题应使学生能够获得各种水平的解答。这些解答可以是互不相同的。开放题所反映的现实生活或数学情境中的多种变因，使学生在解答的过程中必须探究某种策略。同时，解完一道开放题后，往往能导出一般结论或是发展成为另一个新的问题。在这种体验之中，学生的概括能力饿迁移能力就会提高。
5、开放题教学体现了学生学习的主体地位。没有学生的积极参与，不可能对开放题作出解答。但是对教师来说，也要求有良好的业务素质及灵活处理问题的临场应变能力。教师既要照顾到学困生的解答水平，也要鼓励优生去寻求更好、更一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富。从某种意义上说，开放题教学要求教师具有一种新的素质。
6、对数学开放题来说，获得多种解答固然重要，但更重要的是获得解答过程。由于开放题比较全面地体现了现代教育目标，因此，在对开放题教学评价时，必须有相应的评价标准和评价手段。
参考文献
1、《数学教育学》 张奠宙 唐瑞芬 刘鸿坤著
2、《数论妙题》 阿尔伯特H贝勒著 谈祥柏译
3、《数学习题理论》 戴再平著
4、《数学教学》 张奠宙主编
