高考数学不等式专题

高考数学不等式专题（精选8篇）

高考数学不等式专题 篇1

专题二不等式

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核心背记

一，不等关系与不等式的证明 1-_________叫做不等式．

2．对于任意两个实数a和6，在a=6，a>b，a

(1)性质1：________，称为不等式的对称性，(2)性质2． 一，称为不等式的传递性．(3)性质3：________________ ①推论1:____，称为不等式的移项法则． ②推论2:____（同向不等式可以相加）．

(4)性质4；________（不等式两边同乘非零数值）． ①推论1．____ ②推论2:____ ③推论3:____ 二，基本不等式与不等式的证明

（一）实数大小比较与运算性质之间的关系

四、不等式的应用

1．应用基本不等式解决实际问题

用基本不等式知识解决实际问题是不等式应用的一个重要内容，常出现在选择与填空题中，属中档题．

(1)理解题意，确定量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等式关系，把实际问题抽象（或转化）为不等式问题；(3)回归到实际问题，得出满足实际要求的结论． 2．不等式与函数交汇的命题

用不等式知识解决函数问题是不等式应用的一个重要内容，也是高考的—个热点和难点，常以压轴题的形式出现

3．不等式与解析几何、数列等知识交汇的命题 不等式与解析几何、数列的综合问题在近年的高考中时有出现，近两年更是以压轴题形式出现，因此不等式与数列的综合问题是高考的重点，也是难点． 五、二元一次不等式组与简单线性规划问题

（一）二元一次不等式表示平面区域 1．-般地，二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O的某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）____边界直线，不等式Ax+By+C≥O所表示的平面区域（半平面）边界直线．

2．对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点o，y），使得Ax+By+C的值符号相同，也就是同一半平面的点，其坐标适合____；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合____3．可在直线Az-+B y+C—O的某一侧任取一点，一般取特殊点(x。，y。)，从Ax。+By。+C的____来判断Az-+By+C>O(或Ax+By+C

4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的____．

（二）基本概念

1．线性约束条件：由z，y的____（或方程）组成的不等式组，是对z与y的____． 2．目标函数：____，如z-2x十y，z=≯+，等 3．线性目标函数；关于x,y的____．．

4．可行解：满足____的解(x，y)叫做可行解． 5．可行域：____组成的集合叫可行域． 6．最优解：使目标函数达到____的可行解．

7．线性规划问题：求____在____的最大值或最小值的问题，统称线性规划问题． 参考答案

(二)1．一次不等式限制

2．求最大值或最小值的函数 3．一次函数 4．线性约束条件 5．所有可行解 6．最大值或最小值

7．线性目标函数线性约束条件 规律探究

1．不等式的性质是证明不等式、解不等式、求函数的定义域等问题的依据，必须牢固掌握并会进行推导．

2．应用基本不等式求最值时必须注意“一正、二定、三相等”，一正即必须各项均为正数；二定就是积定则和有最小值，和定则积有最大值；三相等就是必须验证等号成立的条件，这是最容易出错的地方．

4．要学会构造不等式求解或构造函数求函数最值的方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．

5．加强分类讨论思想的复习，加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． 实际应用

参考答案 1．【答案lC 【命题立意】本题考查线性规划，利用线性规划的一般方法求目标函数的最值． 【解题思路】画出可行域如图所示，根据图形，显然兰 P一一z平移到点A(6，o)时，目标函数取得最大值，此时大值z-6．所以选择c 【易错点】解决本题需要注意三条直线斜率之间的关系，否则容易出现错误．

2．【答案】3 【命题立意】本题考查利用基本不等式求解最值

高考数学不等式专题 篇2

1. 中职学生特点

中职学生大部分在初中阶段成绩不太理想, 数学水平有待提高, 在中职教育阶段, 往往不重视文化课的学习, 只注重职业技能的训练。同时由于传统中职学校的教育理念的阻碍, 学生在课堂上很难真正学到知识点。

2. 中职数学教学的难点

根据中职学生的特点, 数学教学难点主要有两点。一是学生基础较差。二是教师在课堂教学过程中, 要结合高考, 侧重于高考涉及知识点的讲授。

二、从高考数学题探讨中职数学不等式教学

“不等式知识是数学基础理论的一个重要组成部分, 它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型, 反映了事物在量上的区别, 是研究数量的大小关系的必备知识, 是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。”[1]不等式这一考点在试卷中多以选择题和填空题的形式出现, 而且难度一般处于容易或中等层次, 所以教师在课堂中应当运用专业基础将知识点传授给学生, 让学生学会灵活运用知识点应对不同类型的题目。

1. 以浙江省2013、2014年高考数学题 (文) 为例分析

参考浙江省2014年高考数学文科试卷, 直接考察不等式这一考点的题目为第12题, 题型为填空题。题目为“若实数x, y满足x+2y-4<0, xy-1<0, x>1, 则x+y的取值范围是?”这道题考查的是不等式组表示的平面区域。在课堂讲解过程中, 首先应当引导学生构建一个平面区域, 如⊿ABC, 并且令z=x+y, 在讲解到这一点时, 应当引导学生注意本题的问题“求x+y的取值范围”, 实际上就是就z的取值范围。同时解出方程组x+2y-4<0, xx-y-1<0, 得出C (2, 1) , 再解出第二个方程组x-y-1<0, x>1, 得出的结果为B (1, 0) , 平移直线z=x+经过点C时, 发现z在这时取得最大值为z=2+1=3, 而当直线z=x+y经过点B时, z取得最小值, z=1+0=1, 所以的范围是[1, 3], 所以x+y的范围就是[1, 3]。

其次是浙江省2013年高考数学文科卷第15题, 同样是填空题, 题目的考察点稍有变换, 但基本考察内容是一样的。题目为“设z=kx+y, 其中实数x, y满足x>2, x-2y+4>0, 2x-y-4>0。”通过和上题对比, 在课堂讲授时仍然是构建平面区域, 如图所示, 根据相关运算得出最终结果k=2。教师在教授课程时可以将这两道题放在一起讲授, 因为两道题虽然考察的知识点差不多, 但稍有变化, 可以检测出学生是否已全面掌握知识点。

2. 课堂教学的侧重点

首先, 中职类学校授课过程的最终目的是希望学生通过高考, 所以很多学校完全以考纲为目标来设置教学内容, 采取完全的应试教学。但是在前文我们已经提到, 中职学生大部分基础较差, 完全按照考纲来教学的话会导致学生根本听不懂教师在说什么。“应试教学不仅违背了数学课素质教育和实际应用的功能, 而且学生实际掌握情况也很不理想, 很大程度上影响了学生学习积极性。”[2]所以教师应当在授课过程中从简到繁, 激发学生的联想和想象, 回忆过去学习过的知识。

其次在课堂教学过程中, 教师是主要知识的传授者, 主体对象是学生。教师在授课过程中应当更加注意学生是否听懂了, 是否学会了知识点的变换运用。

三、总结

近年来中职学校中的文化课也不断受到学校领导的重视, 但是由于中职学生在高考报考专业时只能报考对口或者类似专业, 所以中职学生更需要受到教育部门的关注, 数学作为高考科目中的难点, 教师在课堂教授过程中也应当注意学生的接受能力, 适时改变教学策略, 在老师、学生的共同努力下, 共同学习, 相互促进。

摘要：数学是高考科目中历来是受到老师、家长、学生关注的科目, 高考数学题的设置, 一般侧重于高中数学基础知识的考察以及通过变换题型而增加难度的题目, 不等式这一考点在高考数学中一般出现在选择题或填空题, 属于基础类题目, 对于中职学校学生来说应当是必须得到的分数, 所以在课堂中如何教学才能让学生更好地掌握该知识点成为了教师备课重点之一。

关键词：数学,高考,中职,不等式

参考文献

[1]陈瑞民.中职数学不等式性质教学的五化策略[J].经济研究导刊, 2011 (06) .

高考数学不等式专题 篇3

关键词：高三数学;专题复习;有效教学

围绕“如何能使高三的专题复习课更加有效”这一主题，2012年10月14日，本人在我校高中数学教研组主题研讨会上开了一段片段教学“应用基本不等式求最值问题”，以下呈现该片段教学的教学设计，希望能与同行进行交流，以期抛砖引玉。

一、教学目标

（1）知识目标：熟练理解掌握课本两个基本不等式，并能灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

（2）能力目标：培养学生的观察分析，拓展延伸，发现新结论与新方法的能力;培养学生抽象概括，转化化归以及应用数学知识解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：课堂教学中，学生通过对基本问题与基本方法的观察分析，拓展延伸，培养了细心观察，敢于探索，大胆发现的科学创新精神与能力。循序渐进的问题设置，激发了文科学生学习数学的自信心与积极性，提高了学习效率。

二、教学重点

基本不等式的回顾与拓展，灵活选用基本不等式解决一类求最大与最小值的问题。

三、教学难点

（1）理解应用基本不等式求最值的三个条件：“一正、二定、三相等”。

（2）灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

四、学生特征分析

教学对象是高三文科班学生，数学基础相对较弱;从学习数学的心理角度分析，相当部分学生害怕数学。学习方式更趋于背与记，思维不够灵活，学习数学效率较低。比较适合的教学方式是教师表达数学方式通俗易懂，如教师语言通俗易懂，错综复杂关系，抽象问题借助图表表述使其更生动形象等。问题的设置简单精致而内涵丰富，教学过程循序渐进等。

五、教学方法

引导学生回顾基本不等式及成立的条件，并在此基础上启发学生探讨几个基本不等式的内在联系，进一步发现新的不等式及在解决数学问题中的应用;在对例题的分析过程中，引导学生在对已知条件分析透彻的前提下恰当进行问题转换。求最值问题的关键是锁定目标函数，根据题设条件与目标函数的特征灵活选择基本不等式求目标函数的最值。

六、本节课的构想

本片段教学构想分成两部分，其一：加深对基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引导学生对基本不等式进行回顾的基础上，引导学生对基本不等式的简单证明、成立的条件进行理解与分析，然后进一步引导学生揭示基本不等式的内在联系，发现新的基本不等式及其应用。目的在于使复习课能够以点带面，夯实基础，形成知识体系;其二：灵活选用基本不等式解决最值问题。应用基本不等式解决有关最值的问题是新教材、新课标、新考纲的要求，教学时，我根据文科学生的特点，设置一些学生熟悉的、简单精致但蕴含丰富数学思想的问题，引导学生进行观察、分析与转化，让学生学会如何根据题设条件灵活选用基本不等式来解决最值问题，提高学生分析与解决问题的能力，提高学习效率。

七、教学过程

过程1：引导学生对基本不等式进行回顾：

师：同学们，请你们回顾一下，我们学过哪些基本不等式呢？（教师板书）

预设：学生平时应用较多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）当且仅当a=b时取等号。

师：在应用基本不等式ab≤求最值时，常要求a>0，b>0，请同学们思考一下，a，b在实数范围内会成立吗？为什么？

预设：在教师引导下，学生对不等式进行等价变形，能发现在实数范围内不等式也会成立。

师：还有其他的基本不等式吗？（学生疑惑）

师：我們来看看这几个基本不等式之间的内在联系：我们对这几个基本不等式进行归纳，发现它们之间的关系无非就是两个数的和与积的关系，平方和与积的关系，我们用一个三角形的示意图来揭示它们之间的关系如图，这个图引导我们进一步思考：两个数的和与平方和之间有没有一个不等式相联呢？

师：能不能从a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）这个不等式上找到答案？观察这个不等式，左边已是平方和，右边能否转化为和？如何转化？只要在不等式的左右两边同时加上a2+b2，就得到联系平方和与和的不等关系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。补充结构图：

过程2：应用基本不等式求最值：

师：今天这节课我们来解决一个问题：灵活选用基本不等式解决有关最值的问题。

利用基本不等式求最值的方法的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得到等号）

（2）当两个正数的积为常数，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），当且仅当a=b时取等号。

（3）当两个正数的和为常数，则这两个正数的积有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与积时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（5）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

过程3：典例分析

例1：已知一个直角三角形的斜边长为2。

（1）求这个直角三角形面积的最大值;

（2）求这个直角三角形周长的最大值。

设计意图：这个问题的设置是在研究课本例题的基础上进行变式，克服学生的思维定势，引导学生根据题设条件与目标函数的关系恰当灵活地选用基本不等式（选择平方和与积以及平方和与和的不等关系）解决问题。

例2：若两个正数a，b满足ab=a+b+3：

（1）求ab的范围;

（2）求a+b的范围。

设计意图：培养学生观察分析问题的能力，引导学生根据题设条件与问题灵活选用基本不等式（选择和与积的不等关系）解决问题。其中渗透了已知与未知之间的转化化归思想（已知和与积的关系，要求积的范围，如何把和转化为积;要求和的范围，又如何把积转化为和）以及换元的思想。

例3：三角形△ABC中，A，B，C所對的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求角B的范围。

设计意图：这个问题综合性较强，涉及数列，三角函数，余弦定理及基本不等式知识，目的在于训练学生综合应用知识的能力。教学中，我引导学生把已知条件分析透彻，由已知：2b=a+c，给出的是三角形边的关系。要求三角形角的范围，引导学生思考：如何将三角形的边与角联系起来？三角函数！根据已知条件特点，将目标函数定为角B的余弦！

（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的范围为：

cosB===-≥-=（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的取值范围为：（0，]。

过程4：总结与提升：

引导学生对例题进行回顾与反思，提炼解题方法。

常见问题的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得等号）

（2）当涉及两个正数的和与积关系时，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

当且仅当a=b时取等号。

（3）当涉及两个正数的平方和与积的关系时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和的关系时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）三个基本不等式之间的三角关系

参考文献：

陈日斌.巧用基本不等式变形解题[J].高中数学教与学，2014（1）.

数学总复习方程与不等式专题测试 篇4

一、选择题 1．点

A(m4，12m)在第三象限，那么m值是（）。

Ａ．m

Ｂ．m

4Ｃ．12

m4

Ｄ．m4

2．不等式组

x3的解集是x>a，则a的取值范围是（）。

xa

Ａ．a≥3B．a=3Ｃ．a>3Ｄ．a <3 3．方程

2x x－4－11

x＋2的解是（）。Ａ．－1B．2或－1Ｃ．－2或3Ｄ．3 4．方程

2-x35Ｃ． 7Ｄ．-7 5．一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为（）。A．x1=1，x2=-3B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3D．x1=-1，x2=-3

6．已知a，b满足方程组

a2b3m，则ab的值为（）。

2abm4，Ａ．1

Ｂ．m

1Ｃ．0

Ｄ．1

7． 若方程组

3x5ym2的解x与

y的和为0，则m的值为（）。

2x3ym

Ａ．－2B．0Ｃ．2Ｄ．4 8．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x1·x2等于（）。

Ａ．2B．－1Ｃ．1Ｄ．－2

9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使

整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）。A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=0

102x

x－1－m＋1x＋1x＋xx产生增根，则m的值是（）。

Ａ．－1或－2B．－1或2Ｃ．1或2Ｄ．1或－2

二、填空题

11．不等式(m-2)x>2-m的解集为x<-1，则m的取值范围是__________________。

12．已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=_________，这时方程的另一个根是_________。

13．不等式组

x2m1的解集是x＜m－2，则m的取值应为_________。

xm2

14．用换元法解方程2xx14，若设xy，则可得关于y的整式方程为_________。

x1xx

1三、15．解方程：

(1)(2x – 3)2 =(3x – 2)2(2)解方程：112

6x22

13x

16．解不等式组，

x3

3≥x，2

13(x1)8x.17．已知关于x，y的方程组

xy2与x2y5axby1的解相同，求a，b的值。

axby4

18．“十一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元。

（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？

高考数学不等式专题 篇5

四、不等式

一、单选题

1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2021·全国（文））若满足约束条件则的最小值为（）

A．18

B．10

C．6

D．4

3．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

4．（2021·浙江）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）

A．0

B．1

C．2

D．3

5．（2020·浙江）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0

均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）

A．a<0

B．a>0

C．b<0

D．b>0

6．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2020·全国（文））已知集合则（）

A．

B．

C．

D．

8．（2019·全国（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③

B．①②

C．②③

D．③④

9．（2019·浙江）设，数列中，,则

A．当

B．当

C．当

D．当

10．（2019·北京（理））若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7

B．1

C．5

D．7

11．（2018·北京（理））设集合则

A．对任意实数a，B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1）

D．当且仅当

时,（2,1）

12．（2018·全国（理））设，则

A．

B．

C．

D．

13．（2017·全国（理））设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是（）

A．－15

B．－9

C．1

D．9

14．（2017·天津（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

15．（2017·天津（理））设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为

()

A．

B．1

C．

D．3

16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

A．

B．

C．

D．

17．（2017·浙江）

若x,y满足约束条件的取值范围是

A．[0,6]

B．[0,4]

C．[6,D．[4,二、多选题

18．（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

19．（2020·天津）已知，且，则的最小值为_________．

20．（2020·江苏）已知，则的最小值是_______．

21．（2020·全国（文））若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_________．

22．（2020·全国（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.23．（2019·天津（文））

设，，则的最小值为__________.24．（2019·天津（文））

设，使不等式成立的的取值范围为__________.25．（2019·天津（理））设，则的最小值为______.26．（2018·江苏）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

27．（2018·北京（理））若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

28．（2018·天津（理））已知，且，则的最小值为_____________.29．（2018·天津（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

30．（2017·山东（文））若直线过点，则的最小值为________．

31．（2017·天津（文））若，则的最小值为___________.32．（2017·北京（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．

34．（2017·山东（文））若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.四、双空题

35．（2019·北京（文））若x，y满足

则的最小值为__________，最大值为__________.36．（2018·浙江）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

四、不等式（答案解析）

1．C

【解析】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意．故选：C．

2．C

【解析】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.3．B

【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：

目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.4．C

【解析】

法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.5．C

【解析】因为，所以且，设，则的零点为

当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；

当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C

6．B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：

且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.【小结】

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7．D

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【解析】

由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【小结】

本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.8．A

【分析】

根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【解析】

如图，平面区域D为阴影部分，由得

即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

【小结】

本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．

9．A

【分析】

若数列为常数列，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【解析】

若数列为常数列，则，由，可设方程

选项A：时，，故此时不为常数列，且，则，故选项A正确；

选项B：时，，则该方程的解为，即当时，数列为常数列，则，故选项B错误；

选项C：时，该方程的解为或，即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；

选项D：时，该方程的解为，同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.【小结】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.10．C

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【解析】

由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故选C.【小结】

本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.11．D

【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.小结：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.12．B

【解析】.,即

又

即

故选B.13．A

【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z表示直线的纵截距，数形结合知函数在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A

14．A

【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．

15．D

【解析】

目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.16．B

【解析】

因为，且，所以，所以选B.17．D

【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4，目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．

18．ABD

【解析】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，所以，故B正确；

对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD

19．4

【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：

20．【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.21．7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，所以.故答案为：7.22．1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．

23．.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．

24．【解析】，即，即，故的取值范围是．

25．【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．

26．9

【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.27．3

【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.解析：作可行域，如图，平移直线，由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.28．

【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.29．

【解析】①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：

当时，则；

②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：

当或时，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.30．8

【解析】因为直线过点，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8

31．4

【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.32．

【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.33．

【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.34．

【解析】，当且仅当

时取等号.35．.1.【解析】作出可行域如图阴影部分所示.设,则.当直线经过点时,取最小值，经过点时,取最大值.36．

高考数学不等式专题 篇6

在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

2例1对于x∈R，不等式x2x3m0恒成立，求实数m的取值范围。2解：不妨设f(x)x2x3m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(x)0(xR)，只需

22]。0，即(2)4(3m)0，解得m2m(，2变形：若对于x∈R，不等式mx2mx30恒成立，求实数m的取值范围。2f(x)mx2mx3。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，此题需要对m的取值进行讨论，设

3)。则△<00m3。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③知m[0，的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

22f(x)axbxc，由aaxbxc0关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数2f(x)x2kx2，在x1时恒有f(x)k，求实数k的取值范围。例2已知函数解：令F(x)f(x)kx2kx2k，则F(x)0对一切x1恒成立，而F(x)是开口向上的抛物

线。

2①当图象与x轴无交点满足△<0，即4k4(2k)0，解得－2

)时F(x)0，只需 ②当图象与x轴有交点，且在x[1，0k2或k13k2F(1)012k2k0，2kk11

2由①②知3k1

)恒成立，构造一个新函数F(x)f(x)k是解题的关键，再利关键点拨：为了使f(x)k在x[1，用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值

如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。af(x)恒成立af(x)max，即大于时大于函数f(x)值域的上界。af(x)恒成立af(x)min，即小于时小于函数f(x)值域的下界。

2例3已知二次函数f(x)axx，如果x∈［0，1］时|f(x)|1，求实数a的取值范围。2解：x∈［0，1］时，|f(x)|11f(x)1，即1axx1 ①当x=0时，a∈R

2axx111112a22axx1(0，1]xx的最大值。设xx②当x∈时，问题转化为恒成，由恒成立，即求

111111u(x)2x(0，1][1，)，u(x)x4。因xx2x为减函数，所以当x=1时，u(x)max2，可得a2。

22111111111v(x)a224。因x2xx2x的最小值。设xxx由恒成立，即求

1x(0，1][1，)，v(x)x为增函数，所以当x=1时，v(x)min0，可得a≤0。

由①②知2a0。

)上的单调性。关键点拨：在闭区间［0，1］上使|f(x)|1分离出a，然后讨论关于x的二次函数在[1，lg2ax1lg(ax)例4若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x1解：由题设知2ax0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(ax)0。原不等式变形为lg2axlg(ax)。

2]，可得2x10 2axax，即(2x1)ax。又x[1，a

f(x)minx11111f(x)12x122x1恒成立。设22x1，在x∈［1，2］上为减函数，可得222f(2)a0a3。综上知3，知3。

lg2ax1lg(ax)关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。

xyxycx2y2xy，对任意正数x、y恒成立？试例5是否存在常数c使得不等式2xyx2y

证明你的结论。c

解：首先，欲使xyx2y2xy恒成立（x、y>0），进行换元令

2baxx2ya3，得2xyby2ab

3

c。∴上述不等式变为2ba2abcab，即12ba2ab12b2a12b2a223ab3abb恒成立。寻求3a的最小值，由a>0，b>0，利用基本212b2a12b2a2223bab3不等式可得3a。c

同理欲使2xyaxy2xyx2y恒成立(x、y0)，令x2yb，2abx312ab2bay2bac3ab，3得∴上述不等式变为

c

即1ba1ba1ba22443ab3ab。寻求3ab的最大值，易得1ba1ba22442c3ab3ab3使上述不等式恒成立 3。综上知存在222

关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值3，左边寻找最大值3，可得c=3

三、变更主元

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

2例6若不等式2x1m(x1)，对满足2m2所有的x都成立，求x的取值范围。

2m(x1)(2x1)0 解：原不等式可化为

2令f(m)(x1)m(2x1)(2m2)是关于m的一次函数。

2f(2)2(x1)(2x1)01132x22 由题意知f(2)2(x1)(2x1)0解得

17122 ∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

f(a)f(b)0f(x)f(1)1ab例7已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。

（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

11fxf2x22。（2）解不等式

21]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。（3）若f(x)m2am1对所有x[1，解：（1）设1x1x21，则

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(x1x2)0x1x2，可知f(x1)f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

11x12112x1211x2x22（2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

1111x|xx42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值。依题意有m22am11，对a∈［－1，1］恒成立，即m22am0恒成立。

令g(a)2mam2，它的图象是一条线段，那么

2g(1)m2m02m(，2]{0}[2，)。g(1)m2m0

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（3），2转换视角变更主元，把m2am0看作关于a的一次函数，即g(a)2mam在a∈［－1，1］上大于等2

高考数学不等式专题 篇7

关键词：高考试题,高中数学,不等式教学

一、基于高考试题分析高中数学不等式教学的重要性

不等式是高中数学基础理论的重要组成部分, 高中数学中不等式教学的重要性主要表现在两方面。

一方面是不等式广泛的应用于整个高中数学中。在高中数学中不等式与很多其他方面的知识都有联系。所以说, 高中数学中不等式教学是非常重要的。

另一方面是不等式教学可以提高学生的素养、开拓学生的思维。

二、基于高考试题的高中数学不等式教学有效措施

数学高考试题中, 与不等式相关的试题较多。基于高考试题的高中数学不等式教学有效措施有:

1.培养学生解题的积极性

高考试题主要考察的是学生数学基础知识是否扎实、学生灵活运用数学知识的能力。所以, 在日常数学不等式教学的过程中应当注重培养学生的创新能力、思考能力、实践能力、数学运算能力、空间想象能力等, 提高学生的各方面水平, 学生在面对不等式难题时可以头脑清晰的发散思维, 准确的分析问题, 从而了解问题所要考察的知识点, 进而有效解题。那么, 如何进行不等式教学来提高学生的能力、思维、意识?由于数学知识具有联系性和系统性, 不等式也与现实生活息息相关。在进行不等式教学的过程中, 可以将所教授的不等式知识点与现实事物结合在一起, 使不等式知识形象化、具体化, 更好地进行不等式教学。例如, 在不等式教学中将人们行车结合在一起, 可以用不等式表达不同车辆在一段路程中车速范围, 这可以让学生认识到不等式与事物, 也可以让学生理解不等式如何表达。在进行不等式教学的过程中, 可以开展不等式教学活动, 如教学实验活动、教学实践活动等, 使学生在活动中对不等式知识产生兴趣, 增强学生的求知欲, 提高学生解题的积极性。

2.提升学生数学思维能力

在高中数学中, 不等式的运用会将其与函数、方程、三角、解析几何等结合在一起, 以此来锻炼学生的解题能力、思维能力。为了使学生能够更加有信心的面对高考试题, 在对学生进行不等式教学的过程中应当注重培养学生独立解题能力、数学思维能力, 促使学生在解答不等式试题时能够利用数学思维来思考和分析试题, 进而系统的、合理的、准确的解题。对于学生数学思维能力和解题能力的培养, 数学教师应当结合高中数学实际情况和学生学习情况, 选用适合的、有效的教学方法来教授学生数学知识, 并针对不同类型的不等式题型, 传授适合的解题技巧。长此以往, 相信高中生将会形成数学思维模式, 利用数学思维来进行不等式试题解答。例如, 已知非负实数x、y满足, 求解 (1) 在坐标系中画出不等式所表示的平面区域; (2) 求解z=x+3y的最大值。就此数学来看, 是将不等式与函数结合在一起, 考察学生不等式知识和函数知识。对于此数学试题的解答, 教师首先引导学生在数学试题中寻找已知有用信息, 即x、y为非负实数其次, 要求学生运用不等式知识解答这两个不等式, 所得x、y关系可以解答第一个问题。再利用x、y在坐标轴上的关系, 可以解答第二个问题。所以说, 正确的引导学生进行科学合理的解题, 可以提高学生解题技能, 增强学生的思维能力。

3.将不等式教学生活化

上文以及提及高中数学中不等式知识与函数、方程、三角等知识都有关联。在高中数学教学中, 加强不等式知识与其他知识之间的联系, 可以提高学生灵活应用知识的能力, 更加准确的、快速的解答数学试题。但是, 不等式知识与其他知识联系在一起, 将会大大增加数学学习难度, 学生不易准确的理解和解答试题。对此, 笔者建议在对学生进行不等式与其他知识结合教学的过程中, 将不等式知识与其他数学知识放置在生活情境中, 从而简化知识, 使学生更好地理解和掌握知识点。其实, 将不等式教学与实际生活相融合是非常适合的。因为, 日常生活中本就应用很多数学原理, 将学生生活中的某些事物或情境搬到讲台上, 学生在学习不等式知识时不会产生陌生感, 同时生动形象的不等式教学可以使学生准确的理解不等式意义, 灵活运用不等式。例如, 数学教师在教授学生利用不等式求解最大值和最小值时可以将其与日常生活相结合, 假设某超市一种小商品在过去近20天内销售量与价格均为时间t的函数, 且销售量满足函数g (t) =80-2t (件) , 价格满足函数f (t) -20-1/2t-10 (元) , 求解小商品日销售额的最大值与最小值。通过小商品的引用, 可以使学生理解不等式最大值和最小值求解就是小商品一天之内销售额最大值和最小值, 促使学生更加理解不等式最值问题, 再循序渐进的引导学习不等式最值相关知识和习题, 可以牢固掌握不等式最值知识。所以, 在高中不等式教学过程中, 将实际生活融入到课程中是很有必要的, 可以使不等式知识更加形象、具体并且将不等式与其他知识有效的连接在一起, 提高学生灵活运用不等式知识解题的能力。

三、结束语

在高中数学教学中, 不等式知识属于教学重点, 应当选择适合的、有效的、合理的、科学的教学方法来教授学生, 使学生准确的、牢固的掌握不等式知识点。这样学生在面对不等式与函数、方程、三角等知识结合在一起的试题时可以运用不等式知识, 分析试题, 准确的解题。当然, 选择有效的不等式教学方法是比较困难的, 容易受高中数学教学中客观或主观因素的影响, 致使教学效果不佳。对此, 笔者认为应当通过培养学生解题的积极性、提升学生数学思维能力、将不等式教学生活化等措施来改善不等式教学现状, 提高教学水平, 为使学生数学水平增强而努力。

参考文献

[1]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[J].天津师范大学, 2012

[2]庄琳.高中数学不等式教学的有效性分析[J].新课程 (中学) , 2013 (04)

[3]张金.高中数学课堂教学中的师生协作互动的教学策略研究[A].国家教师科研基金十一五阶段性成果集 (河北卷) [C].2010

均值不等式的专题 篇8

关键词：均值不等式；灵活运用

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-223-02

—、什么是均值不等式

定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞

即均植不等式:（a+b）／2≥√ab

证明:∵（a-b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

又∵a,b均为正数,

∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b

a+b≥2√ab

即:（a+b）／2≥√ab

1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.

2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.

3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.

√ab叫做a,b的等比中项.

4.几何解释:半径不小于半弦.

5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、均值不等式的灵活运用

均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。

例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值

分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值.

解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3

又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0

∴y≥2 +3=5

当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”

∴y的最小值是5

例⒉求函数y=x（8-3x） （0＜x＜8／3）

分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.

解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）

（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0

y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3

∴Y的最大值是16／3

点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（ ）2，

a，b均为正数。

例3：求函数y= （x>1）的最小值。

解：y= = = ==x+1+

=x-1++2

∵x>1，即x-1＞0 ，＞0

y≥2+2=8

当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）

∴y的最小值等于8

点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。

有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！

例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域

解：∵x>-1， ∴x+1 >0

∴f（x）==

= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－ －1时取“=”。

又因为x>-1，故－ －1舍去，所以x= －1时取“=”。

∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】

点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有快捷！

例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。

证明：∵a>b>0，即a-b>0

∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3

当a-b=b= 时，a=2，b=1

∴ a+的最小值为3

点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”

例6：求函数y=x（1-x2） （0

解：∵00

又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）

≤ （ ）3

= × =

当2x2=1-x2，x= ，y2=

y>0 ，x= ，y的最大值等于

点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。

例7：求函数y=3x2-2x3 （0

解：因为y=3x2-2x3 =x2（3-2x）

又00， 3-2x>0

所以y=x•x（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1

点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=x•x，使其和为定值，可用均值不等式。

三、学生易犯错误

1，不注意条件均正。

2，和或积不为定值。

3，取不到最值，也看成了最值！

具体情形—省落

四、点击高考

1999，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问题。最值问题和我们的生活密切相关，学习就是为了指导我们解决生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！

今后高考展望：

1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加新颖。

2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！