数列教案文

数列教案文（共8篇）

数列教案文 篇1

[第9讲 等差数列、等比数列]

(时间：45分钟)

1．一个由正数组成的等比数列，5倍，则此数列的公比为()

A．1B．2

C．3D．4

2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4＝12，则S12的值为()

A．64B．44

C．36D．22

3．在正项等比数列{an}中，已知a3·a5＝64，则a1＋a7的最小值为()

A．64B．32

C．16D．8

4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S11＝S10，则a1＝()

A．18B．20

C．22D．24

5．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为()

A.23

C．2D．3

6．公差不为零的等差数列{an

}的第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为()

A．1B．2

C．3D．4

7．已知等差数列{an}的前n项和为n1313＝13，则a1＝()

A．－14B．13

C．－12D．－11

8．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前5项和S5＝()

A．20B．30

C．25D．40

9．已知等比数列{an}中，各项均为正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1＝1，则S4＝()

A．7B．8

C．15D．16

10．已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则数列{an}的通项公式an＝________．

11．已知等差数列{an}的公差为－2，a3是a1与a4的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn＝________．

12．已知{an}为等比数列，a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2，则a5＋a6＋a7＝________．

13．在数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝0，a3＝2，bn＝2an＋1(n∈N*)．

(1)求数列{bn}及{an}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.14．数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

(1)求c的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

－15．等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn.(1)求an，Sn；

1(2)数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m(m>1)，使得4Sn－1

T1，Tm，T6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

专题限时集训(九)

1．B [解析] 设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由

5a1（1－q2），解得q＝2.1－q

122．C [解析] 由S8－S4＝12得a5＋a8＝a6＋a7＝a1＋a12＝6，则S12(a1＋a12)＝36.2

3．C [解析] 由a3·a5＝64可得a1·a7＝64，则a1＋a7≥2 1a7＝16.4．B [解析] 由S11＝S10得，a11＝0，即a1＋(11－1)×(－2)＝0，得a1＝20.5．C [解析] a1q5＝(a1q)3，q2＝a21，因为各项均为正数，所以q＝a1＝2.6．C [解析] 由(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)得d＝－2a1，因此可罗列该数列的前6项为a1，－a1，－3a1，－5a1，－7a1，－9a1，则公比为3.13（a1＋a13）7．D [解析] 在等差数列中，S13＝13，得a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝22

－13＝－11，选D.8．C [解析] 由数列{an}是公差为2的等差数列，得an＝a1＋(n－1)·2，又因为a1，a2，2a5成等比数列，所以a1·a5＝a22，即a1·(a1＋8)＝(a1＋2)，解得a1＝1，所以S5＝5a1＋

5×（5－1）·d＝5×1＋20＝25.2

9．C [解析] 由4a3＋2a4＝2a5得q2(q2－q－2)＝0，由题意知q＝2，则S4＝1＋2＋4＋8＝15.3（a1＋a3）10．2n－1 [解析] 由＝S3，得a3＝5，故d＝2，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.2

11．－n＋9n [解析] 由2a1（1－q4）1－q＝a23＝a1·a4n（n－1）可得a1＝－4d＝8，故Sn＝8n＋×(－2)＝2

－n2＋9n.12．24 [解析] 由a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2得q＝－2，由a2＋a2q＝1，得a2＝－1，因此a5＋a6＋a7＝8－16＋32＝24.13．解：(1)方法一，依题意b1＝2，b3＝23＝8，设数列{bn}的公比为q，由bn＝2an＋1>0，可知q>0.由b3＝b1·q2＝2·q2＝8，得q2＝4，又q>0，则q＝2，－－故bn＝b1qn1＝2·2n1＝2n，又由2an＋1＝2n，得an＝n－1.(2)依题意cn＝(n－1)·2n.－Sn＝0·21＋1·22＋2·23＋…＋(n－2)·2n1＋(n－1)·2n，①

＋则2Sn＝0·22＋1·23＋2·24＋…＋(n－2)·2n＋(n－1)·2n1，②

①－②得

－Sn＝2＋2＋…＋2－(n－1)·2

＋23nn＋1＝22－2n＋11－2－(n－1)·2n1，＋＋即－Sn＝－4＋(2－n)·2n1，故Sn＝4＋(n－2)·2n1.bn＋1方法二，(1)依题意{bn}为等比数列，则＝q(常数)，bn

由bn＝2an＋1>0，可知q>0.由2an＋1＋1

2an＋12an＋1－an＝q，得an＋1－an＝log2q(常数)，故{an}为等差数列．

设{an}的公差为d，由a1＝0，a3＝a1＋2d＝0＋2d＝2，得d＝1，故an＝n－1.(2)同方法一．

14．解：(1)a1＝3，a2＝3＋c，a3＝3＋3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴(3＋c)2＝3(3＋3c)，解得c＝0或c＝3.当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝3.(2)当n≥2时，由a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，n（n－1）则an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c2

33又∵a1＝3，c＝3，∴an＝3＋n(n－1)＝(n2－n＋2)(n＝2，3，…)． 22

3当n＝1时，上式也成立，∴an2－n＋2)． 2

15．解：(1)因为c1＋c2＝10，c2＋c3＝40，所以公比q＝4，－－由c1＋4c1＝10，得c1＝2，cn＝2·4n1＝22n1，－所以an＝log222n1＝2n－1.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log2c1＋log2c2＋…＋log2cn＝log2(c1·c2·…·cn)＝log2(21·23·…·22n－1＋＋…＋2n－1))＝log22(13＝n2.111－1(2)由(1)知bn＝22n－12n＋1，4n－12

111111n于是Tn＝[(1－)＋()＋…＋()]＝.23352n－12n＋12n＋1

假设存在正整数m(m>1)，使得T1，Tm，T6m成等比数列，则 m216m4m2－7m－2＝0，2m＋1＝3×12m＋1

1解得m＝－或m＝2.4

数列教案文 篇2

某市教研室对所属学校进行年度督导检查时, 语文教研员意外发现, 各学校的语文教师都没有作文教案。教研员很感奇怪, 在最后的督导检查反馈会上厉声质问语文教师:“作文教案是不是应该写的常规教案?为什么没有作文教案?你没有作文教案怎么开展作文教学?”语文教师听了之后反应强烈:“是啊, 我们从来没写过作文教案!多少年都是这样啊!”“学校也从来没检查过作文教案啊!”“作文教案咋写啊?”

不仅该市, 即便是从全国来看, 语文教师写作文教案的又有几人?长期以来, 语文教师都是这样指导学生作文的:到作文时间了, 教师选一个作文题给学生, 稍微进行一下作文指导, 然后让学生作文;教师批改作文后, 再进行简单讲评。从上世纪80年代以来, 教师们一直都习惯这样操作, 也没有感觉不合适的。绝大部分教师都没有完整的作文教案。即便是实施新课程以来, 仍然是这样操作。现在教研员突然提出这个问题, 着实令人深思:教师为何不写作文教案?

二、原因透析

从上世纪使用的《语文教学大纲》到现在的《语文课程标准》, 在作文方面都是一些政策和理念上的宣示, 缺乏具体的实践路径指向和策略的建构引导, 使语文教师无所参照和依托, 作文教学陷入极度迷茫和散漫的原始状态。就以2002年4月教育部出台的《高中语文教学大纲》为例, 在作文方面进行了九个方面的要求, 主要是:观察生活、感受社会和人生, 负责任地作文, 有个性、有创意地表达, 观点、内容、感情、思路、选材、结构的相关要求, 正确使用各种表达方式, 语言积累, 作文修改、展示和评价, 作文时间和次数要求等, 而且都是很笼统的目标性描述。至于如何落实这些要求, 大纲中只字未提。再看2003年4月教育部颁发的《语文课程标准》, 关于“表达与交流”中的“书面作文”方面同样提出九条要求, 主要是:观察生活、生活经历和体验、感受和思考社会和人生, 负责任作文、表达真情实感, 观点、内容、感情、思路、选材、结构的相关要求, 有个性、有创意表达, 正确使用各种表达方式, 语言修炼, 修改文章、展示和评价, 作文时间和字数要求等。和《大纲》相比, 内容雷同。至于“实施建议”是这样描述的:“在作文教学中, 教师应鼓励学生积极参与生活, 体验人生, 关注社会热点, 激发作文欲望。引导学生表达真情实感, 不说假话、空话、套话, 避免为文造情。指导学生根据作文需要搜集素材, 可以采用走访、考察、座谈、问卷等方式进行社会调查, 通过图书、报刊、文件、网络、音像等途径获得有用信息。应鼓励学生将自己或同学的文章加以整理, 按照要求进行加工, 汇编成册, 回顾和交流学习成果。还可采用现代信息技术演示自己的文稿, 学习用计算机进行文稿编辑、版面设计, 用电子邮件进行交流。”这哪里是教学建议, 除了少有的实践方式的指引外, 更多的则是原则和目标性描述, 根本没有实践路径和策略的具体建构。而且, 没有提供可资借鉴的经验和范例, 又缺乏丰富的教育文化和思想资料作为依托。于是, 广大教师就依据自己的理解和经验, 在自己的“一亩三分田”中随意而为, 吃苦流汗不少, 收效却甚微。时间长了, 就心灰意冷, 淡化作文教学了, 更不要说写完整的“作文教案”了。

至今为止, 各级教育行政部门没有推出权威的、有很高实践价值的, 并且为广大教师乐于接受的作文教学实践指导用书。新课程改革开始实施, 面对着新的教育理念和作文理念的提出, 广大教师显得手忙脚乱, 不知所措。一些省级的教育行政部门开始编写配套的新课程作文教学用书。这些资料, 虽然以课程理念为指导, 对各阶段、各年级的作文有了一个大体的设计和规划, 而且围绕课程目标, 在作文知识、技法和经验上进行了较系统的介绍、阐释和举证, 但因为零散、杂碎、粗糙, 实践价值不高, 所以, 教师大多不用。作文指导上, 仍然是各敲各的锣、各吹各的号。一个学校、一个年级很难有统一的安排和总体规划。有些教师在学生学习初始阶段, 干脆就不让学生写作或者少量写作, 在大考来临之际, 就推出一些“套路”或“模式”, 让学生强化写作。提起作文, 教师叫累, 学生喊苦。自新课程实施以来, 作文指导方面的真实情况和上世纪的情况没有大的区别, 广大语文教师仍然沿用的是原先的一套作文指导策略, 学生的写作水平没有实质性改善。

专家、学者脱离实际、高谈阔论, 引领缺乏明确的指向性;一线的名家、名师的实践经验个性化的成分居多, 不能从本质上诠释作文指导的规律和路径, 教学缺乏有很高实践价值的作文经验资料。长期以来, 一些专家、学者经常居于“云端”, 手捧“天书”, 传递着一些“理念”和“术语”, “高谈阔论”一些“规律”“本质”“意蕴”等, 缺乏有效的实践指向和策略建构, 让一线的教师如坠十里迷雾之中。当然, 也有一些一线教师在自己大量的实践基础上, 总结出了一些对他本人来说是有效的“模式”和“策略”, 但因为这些名师的经验和策略多带有突出的个性化色彩, 所以很多教师在模仿、实践之后, 效果很不理想, 于是又回归原始状态。这些年来, 很时尚、很流行的“新概念作文”“绿色作文”“体验作文”“个性作文”等, 往往是起始阶段喊得震天价响, 应者如云, 然而时日不长, 不足以持久。如此等等, 理论素养并不都很高的教师, 在严重缺乏可以信赖的作文经验资料的背景下, 怎能对学生进行有效的作文指导呢?

无须讳言, 各级教育行政管理部门和学校对教师作文教案也疏于引领和管理。也可能受诸多因素的影响, 各级教育行政管理部门和学校管理者从来没有或很少对教师的作文教案进行过引领, 提出过明确的目标指向、总体规划和规范要求, 甚至从不提作文教案。检查教案实际上只检查文本教案, 根本不提作文教案;各种教案评比活动, 也往往不提作文教案;各种各样优质课评比, 也很少看到教师上作文指导课。很多管理者也认为, 作文问题很大, 作文指导也很成问题, 但这一问题在全国语文教育界极为普遍, 所以, 很多教学几十年的老教师, 在这方面经验积淀都很贫弱, 真正成型的作文教案没有几个。年轻一点的教师更是缺乏相关的经验储备, 大多教师提起写作文教案, 都很茫然, 不知道格式是什么, 写什么, 怎么写。如此种种, 积重难返, 着实令人心忧。

大量的作文实践经验告诉我们, 学生的作文能力是读出来的, 练出来的, 不是凭教师的精心指导, 学生就能写出锦绣文章的。我们纵观中外文学史上那些文学巨擘, 有几个是靠教师的有效指导, 就能创作璀璨环宇的煌煌巨著?再考察这些年来, 各省高考满分作文的作者, 又有几个是靠名师的指点就能写出一手漂亮文章的?其成功的经验主要在于大量的阅读和作文实践。实事求是地说, 教师指导所起的作用微不足道。没有丰厚的阅读积淀, 没有艰苦的练笔和深刻感悟, 纵然是遇神人指点, 也难以写出文采斐然的佳章。当然, 在思维方法、观察人生和社会、作文知识和技法方面, 教师可以对学生作适当的引导和指点, 但从根本上说, 作文能力的提升还靠学生自身的修为和历练。正像著名专家王荣生所说那样, 作文不可教, 尤其是“文学性的散文”。试问, 神来之笔如何教?精妙的构思如何指导?这恐怕也是教师疏于写作文教案的原因之一。

三、因应之策

国家或省级教育行政部门应组织一流专家, 编写权威实用的作文教学用书, 给教师的教提供有用的明确指向、参考和凭借。几十年来, 权威的实用的作文教学用书的缺失, 不仅严重影响到教师作文指导的品质, 而且已经深深妨碍了作文教学的健康发展。基于此, 国家或省级教育行政部门应组织一流专家, 以新课程理念为指导, 以古代优秀作文理论和现当代优秀的作文范例为支撑, 编写权威的实用的作文教学用书。内容包括:总的作文宏观规划和作文目标分解, 教学实践路径指向和策略建构, 生活储备, 文学积淀, 作文知识积累, 文章技法识记和实践, 美文赏析, 作文层级提升, 社团活动和作文评比等。同时每个阶段、每一学年、每一学期甚至每月的作文目标和力求所达到的层级都要有明确的分解和界定。实践的路径和策略一定要具体、明确、易操作、易见成效。拒绝粗制滥造。这样才能给教师的作文指导提供有力的支撑和凭借, 指导教师写出高质量的作文教案。

专家、学者应深入一线, 搞好调研、指导和示范工作。教师们迫切希望专家、学者不再立足于云端“指点江山”, 而要“从高高的理论神坛”中走下来, 深入一线, 与广大的教师深入交流, 探讨实用的作文指导策略和实践路径;深入课堂, 接触师生, 倾听他们的愿望和呼声, 为他们排忧解难;现场上作文指导示范课, 给教师以明确的导向;搞好调研工作, 为决策部门提供真实的原始资料, 提出科学的前瞻性建议;指导教师以科研为突破口, 在研究中深化对作文规律的认识, 探究优化作文指导路径;引领教师大胆探索、勇于创新, 独辟蹊径, 建构实效的作文指导路径。

各级教育行政管理部门和学校对教师作文教案要加强引领和管理。教育行政管理部门和学校应在充分调研的基础上, 组织相关专家编写作文教案写作指导规范, 从目标、内容、体例、格式、编写质量和数量进行明确界定。这样, 为教师编写教案提供一个明确的指引和范式。同时, 还要进行有效的管理, 制定作文教案编写奖惩条例, 加强教案的检查力度, 将检查结果纳入绩效考核内容;每学期组织几次作文教案评比和优秀作文教案展览活动;鼓励教师多上作文指导课等等。

教师要克服懒惰情绪, 认真钻研作文理论和现代教育理论, 锐意创新, 积极探索作文指导新路径, 努力建构适合自身教学的作文指导策略。虽然作文能力的提升主要靠学生自身的修为, 但如果教师指导目标明确, 方法、策略得当, 一定会对学生写作能力的快速提升, 产生强有力的促进作用。基于此, 广大教师要克服懒惰情绪, 树立责任意识, 认真钻研作文理论和现代教育理论, 锐意创新, 加快专业成长。要与时俱进, 敢于探索, 勇于探究, 大胆实践, 直面困难, 正视挫折和失败。要利用课题研究、培训进修、理论研究、学术调研、学术研讨会等多种形式, 不断对自身的作文指导状况进行理性的审视和探讨, 抽象经验, 总结教训, 尽快提升作文指导的层次和品位;要善于借鉴学习和汲取各种作文研究成果和优秀经验;学会独立思考, 善于反思, 使每一个指导细节都能转化为宝贵的教育资源, 让每一堂作文指导课都成为学生成长和个人智慧的增长点;要巧妙制定作文教学方案, 科学设计教学思路, 艺术地开展课堂教学, 让每一堂课都既能充分展示自己的教学艺术个性和风格、显示出构思的别具匠心, 又能成为学生身心发展的“琼浆玉液”;要勇于自我解剖, 科学的自我评判;要虚怀若谷, 善于倾听吸纳他人的意见, 团结协作, 经常分享各种信息资源, 相互促进, 共同提高。

我们认为, 教师的每一个完整的作文教学方案应包含以下内容:学期作文目标和知识、能力分解, 教学重点和难点, 教学手段和策略, 教学过程和师生互动, 能力达成目标检测, 作文训练等。从教师的作文指导过程来看, 作文教案应包括作文前的知识、技能的指导, 评改记录和综述, 作文评讲等三部分组成。从学生整个作文系统能力的形成来看, 作文教案应该包括学生读书、看报指导案, 观察、思考生活指导案, 素材积累沉淀教学方案, 思维能力提升教学案, 写作知识、技能积累和运用教学案, 优秀作文赏析教学案, 作文评讲教学案, 文学社团活动指导案等等。总之, 教师应依据学段、学期的写作目标、作文活动的特点, 结合校情和学情, 综合各方面的因素, 为每一堂课编写出科学、实效的作文指导方案, 这样, 才能切实提高学生的写作能力。

摘要：教师不写作文教案的原因是:《语文教学大纲》和《语文课程标准》在作文方面都是一些政策和理念上的宣示, 缺乏具体的实践路径指向和策略的建构引导;各级教育行政部门没有推出权威的、有很高实践价值的作文教学实践指导用书;专家、学者脱离实际、高谈阔论, 引领缺乏明确的指向性;一线的名家、名师实践经验个性化的成分居多, 不能从本质上诠释作文指导的规律和路径;各级教育行政管理部门和学校对教师作文教案也疏于引领和管理。改进措施:国家或省级教育行政部门应编写权威的实用的作文教学用书, 给教师教提供有用的明确指向、参考和凭借;专家、学者应深入一线, 搞好调研、指导和示范工作;各级教育行政管理部门和学校对教师作文教案要加强引领和管理;教师要认真钻研作文理论和现代教育理论, 锐意创新, 积极探索作文指导新路径, 努力建构适合自身教学的作文指导策略。

关键词：作文教案,原因,因应措施

参考文献

数列教案文 篇3

1.复习回顾（意在进一步掌握等差数列的相关知识，为学习等比数列做铺垫）

教师：在等差数列的学习中，我们学习了哪些内容？哪些方法？请填在下表第二列，

2.新课引入（意在引导学生类比联想，通过探讨发现特殊数列除了等差数列外，还应有等和数列、等积数列、等比数列）

教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，

学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，

学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的积都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等积数列，这个常数称为公积，这种数列也很简单，比如首项为l，公积为3的等积数列为：1，3，1，3，1，3，…，它的通项公式及前n和公式也都比较简单，

学生3：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的商（或比）都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等商（比）数列，这个常数称为公商（比），这种数列有点类似等差数列，但又不同，比如由定义，在等比数列中任意一项都不为0且公比也不为0，

笔者肯定了学生的想法，并指出：由于等和数列和等积数列比较简单，我们很容易利用定义根据它的首项、公和（或公积）给出它的通项公式和前”项和公式，因此教材中没有涉及，但在一些考卷中出现过，主要考查考生们的阅读理解能力和数学能力，从刚才同学们的回答我们已经解决了这两类数列的基本问题，而等比数列和等差数列很类似，但又有区别，下面我们类比等差数列的研究方法来学习研究等比数列，

3.新课探究（意在放手学生，让他们大胆猜想、探索）

教师：请同学们独立思考，类比第2列填写上表的第3列，要求先填写自己能独立解决的问题，然后以小组为单位，交流、思考、补充，

临近下课时，经过学生的共同努力，完成了除前”项和公式外的所有内容（见表格），教师表扬了同学们，并要求学生课后试着推导等比数列前”项和公式（要求如果直接讨论有难度的话，可以先讨论：

这3个练习的目的是：（1）判断是否为等比数列；（2）如果是等比数列，公比是否为l；（3）满足等比数列求和公式时，一定要注意求多少项的和；（4）独立思考：一个数列有等比数列的背景时，求和是否可考虑错位相减法；（5）理解错位相减法：步骤：列式、错位、相减，“错位”的目的是对其同类项，是为了后面计算不错，

4.课后反思

数列的应用教案 篇4

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处

理“共项” 问题。

过程：

一、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设

在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则

Sa(12k1)0[12(nk)]

a[k(n1)kn2n

2]

当n为奇数时，取kn

1S达到最小值

当n为偶数时，取kn2或n

2S达到最大值

2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解：不妨设an3n,bm4m1(m,nN*)，则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p1)(pN*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712p1661112

∴p取84、85、„„、166共83项。

3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人

口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、„„2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、„„2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b9105001.015001.0937546.8

∴2000年底该城市人均住房面积为：

3270

.8

5.98m2546 4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1

kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3=(1)222×0.2 kg

由此可见：an=(12)n1×0.2 kg ,a5=(11

2)51×0.2=(2)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=

1Sa(1q6)0.2(11

616)1q

0.3937kg11

50.40.393750.00625

0.0062520.003125

二、作业：《教学与测试》P94练习3、4、5、6、7

等差数列复习教案 篇5

高考考点：

1.等差数列的通项公式与前n项和公式及应用；

2.等差数列的性质及应用.知识梳理:

1.等差数列的定义：

2.等差中项

3.通项公式

4.前n项和公式

5.等差数列的性质（基本的三条）

典型例题：

一.基本问题

例：在等差数列an中

（1）已知a1533，a45153，求a61

（2）已知S848，S12168，求a1和d

（3）已知a163，求S31

变式：（1）（2008陕西）已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列的前10项的和等于（）

A.64B.100C.110D.120

(2)(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1

A.16B.24C.36D.48 1，则S6（）S420，2

二.性质的应用

例：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146。，且所有项的和为390，则这个数列有_____项

（2）已知数列an的前m项和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是______

（3）设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对于任意的nN，都有*Sn7n1，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比为________ Tn4n27

变式：（1）已知等差数列an中，a3，a15是方程x6x10的两根，则2

_a7a8a9a10a11_____

（2）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且An5n63，则Bnn3使得

an为整数的正整数n的个数是________ bn

三.等差数列的判定

例：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2Sn1Sn(n2)，a11

（1）求证：1是等差数列 Sn

（2）求an的表达式

变式：数列an中，a1

an1，an1，求其通项公式 2an1

四.综合应用

例：数列an中，a18，a42，且满足an22an1an，nN *

（1）求数列an的通项公式；

（2）当n为何值时，其前n项和Sn最大？求出最大值;

(3)设Sna1a2an，求Sn

变式：（08四川）设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值是_______

课后作业

1.（09年山东）在等差数列an中，a37，a5a26，则a6______

2.若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差数列，则

A.a2a1（）b2b12433B.C.D.3324

3.集合A1,2,3,4,5,6，从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（）

A.4个B.6个C.10个D.12个

4.(09安徽)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是___________

6.已知数列an中，a13,anan112an(n2,nN*)，数列bn满足5

bn1(nN*)an1

（1）.求证：数列bn是等差数列

数学竞赛教案讲义——数列 篇6

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和，求证：Sn<2。n2

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，32(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.n3(a1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx121<4对任一n均成立。（2）寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

数列教案文 篇7

一、根据题目提示, 构造新数列

【例1】 (2009年全国Ⅰ/20) 在数列{an}中, $a{}_1=1,a{}_{n+1}=(1+\frac{1}{n})a+\frac{n+1}{2{}^n}.$

设$b{}_n=\frac{a{}_n}{n}$, 求数列{bn}的通项公式;

分析:由$b{}_n=\frac{a{}_n}{n}$, 知$b{}_{n+1}=\frac{a{}_{n+1}}{n+1}$, 所以构造$\frac{a{}_{n+1}}{n+1}$, 递推公式两边同除以n+1.

解:由已知有$\frac{a{}_{n+1}}{n+1}=\frac{a{}_n}{n}+\frac{1}{2{}^n},\therefore b{}_{n+1}-b{}_n=\frac{1}{2{}^n}.$

利用累差迭加即可求出数列{an}的通项公式:$b{}_n=2-\frac{1}{2{}^{n-1}}.(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).$

【例2】 数列{xn}满足$x{}_1=\frac{1}{3}$且$x{}_n=\frac{x{}_{n-1}}{2-x{}_{n-1}},$

(1) 求证:$\{\frac{1}{x{}_n}-1\}$是等比数列;

(2) 求数列{xn}的通项公式.

分析:根据求证构造$\frac{1}{x{}_n}-1$, 因此对递推公式两边取倒数

解: (1) 由已知$x{}_n=\frac{x{}_{n-1}}{2-x{}_{n-1}}$得

$\begin{array}{l}\frac{1}{x{}_n}=\frac{2}{x{}_{n-1}}-1‚\\ \frac{1}{x{}_n}-1=\frac{2}{x{}_{n-1}}-2=2(\frac{1}{x{}_n-1}-1)\end{array}$

, 因此$\{\frac{1}{x{}_n}-1\}$是以2为首项, 2为公比的等比数列.

(2) 由 (I) 得$\frac{1}{x{}_n}-1=2{}^n$, 所以$x{}^n=\frac{1}{2{}^n+1}$

二、求由an=can-1+d, c, d为常数, 确定的数列通项公式

对于形如an=can-1+d, c, d为常数, 可以两边同加一个常数$\frac{d}{c-1}$, 构造一个以c为公比的等比数列.

【例3】 已知{an}满足a1=3, an+1=2an+1, n∈N*, 求数列{an}的通项公式.

分析:c=2, d=1 两边同时加1, 构造以2为公比的等比数列.

解.在an+1=2an+1的两边同时加1.

得an+1+1=2 (an+1) , 则数列{an+1}是首项为4, 公比为2的等比数列.

则an+1= (a1+1) ·2n-1, 得an=2n+1+1.

故数列{an}的通项公式为an=2n+1-1, n∈N*.

【例4】 在数列{an}中, $a{}_1=\frac{5}{6},a{}_{n+1}=\frac{1}{3}a{}_n+(\frac{1}{2}){}^{n+1}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})$, 求{an}的通项公式.

分析:可考虑把$(\frac{1}{2}){}^{n+1}$转化为常数, 在递推式的两边都乘以2n+1, 整理成如下的形式:$2{}^{n+1}a{}_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot 2{}^{n}a{}_n+1$, 只要令bn=2nan, 就可转化为熟悉的问题.

解:在递推式的两边都乘以2n+1,

整理成$2{}^{n+1}a{}_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot 2{}^{n}a{}_n+1$, 另bn=2nan, 则$b{}_{n+1}=\frac{2}{3}b{}_n+1$,

两边同加$\frac{d}{c-1}$, 即-3, 得$b{}_{n+1}-3=\frac{2}{3}(b{}_n-3).$

数列{bn-3}是等比数列, 首项为$-\frac{4}{3}$, 公比为

$\begin{array}{l}\frac{2}{3},\\ b{}_n-3=-\frac{4}{3}(\frac{2}{3}){}^{n-1},b{}_n=-\frac{4}{3}(\frac{2}{3}){}^{n-1}+3,a{}_n=\frac{b{}_n}{2{}^n}=-2(\frac{1}{3}){}^n+3(\frac{1}{2}){}^n.\end{array}$

【例5】 (2009年全国Ⅱ/19) 设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1=1, Sn+1=4an+2.

(1) 设bn=an+1-2an, 证明数列{bn}是等比数列;

(2) 求数列{an}的通项公式.

分析:显然bn与an有关, 因此利用Sn与an的关系消去Sn, 再构造bn=an+1-2an与bn-1=an-2an-1.

解: (1) 由Sn+1=4an+2, 有Sn=4an-1+2,

两式相减得an+1=4an-4an-1,

变形为an+1-2an=2 (an-2an-1) , 即bn=2bn-1, (n≥2) .

由S2=a1+a2=4a1+2得a2=5, 于是b1=a2-2a1=3,

所以数列{bn}是首项为3, 公比为2的等比数列.

(2) 由 (1) 得bn=3·2n-1, 即an+1-2an=3·2n-1, 所以$\frac{a{}_{n+1}}{2{}^{n+1}}-\frac{a{}_n}{2{}^n}=\frac{3}{4}$, 且$\frac{a{}_1}{2}=\frac{1}{2}$,

于是$\{\frac{a{}_n}{2{}^n}\}$是首项为$\frac{1}{2}$, 公差为$\frac{3}{4}$的等差数列.

三、求由an=pan-1+f (n) ·rn确定的数列的通项公式

求由an=pan-1+f (n) ·rn确定的数列的通项公式, 一般可以通过左右两边同除rn, 消除不和谐的指数rn, 确定的数列的通项公式.

【例6】 (2010年重庆理数21) 在数列{an}中, a1=1, an+1=can+cn+1 (2n+1) (n∈N*) , 其中实数c≠0.求{an}的通项公式.

因此an= (n2-1) cn+cn-1, n≥2.

又当n=1时上式成立.因此an= (n2-1) cn+cn-1, n∈N*.

四、求由确定的数列的通项公式

对于由分式递推关系确定的数列, 对左右两边进行倒数, 构造新数列, 最终把数列化归为等比或等差数列.

数列的应用举例教案说明 篇8

一、教材地位与作用

本节课是等差数列与等比数列在购物方式上的应用，此前学生已掌握等差数列，等比数列的通项公式及其前n项和公式，学生在知识和应用能力方面都有了一定基础，这节课对提高学生的应用意识具有很高的价值，帮助学生建立零存整取模型，自动转存模型，分期存款模型，提高学生在生活中应用知识的能力。

二、教学目标设计

1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；

2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识；

3、通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。

4、教学重点难点

重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。

三、教法分析

为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用自主探究教学方式，我通过创设实际问题情境，引导学生自主探索得到解决实际生活中的问题的方法。本节课在引导学生利用所学数列知识分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想，探索，鼓励学生大胆质疑，把

需要解决的问题弄清楚，做好建模工作。

四、教学过程

复习引入：等差、等比、求和问题的实际应用。设计意图：通过复习为学生较好的学习本节课打下坚实的基础。

教授新课例题一：引领学生认真读题，审清题意，培养学生审题能力与处理信息的能力，通过递推归纳转化为等差数列求和问题。教授新课例题二：让学生自己读题，通过提问把握学生审题程度。引导学生把问题转化为利用等比数列的知识解决问题的方法上来。

五、思考交流:作为课堂练习

①便于观察学情，及时从中获取反馈信息，对其中偶发性错误进行辨析，指正。②通过形式性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。

六、归纳小结