《图形的旋转》教学设计
《图形的平移》教后反思：学生在已有的平移图形的基础上已经知道了平移一个图形时要抓住一些关键的点，通过数的`方式先平移点，然后把平移的点连接。利用知识的迁移，学生马上学会了新知。与此同时，利用学生已学的八个方位的知识，我让学生联系说说左上、左下，右上，右下，并说说为什么不直接移，需要分两步来完成，加深学生头脑中的移动印象。我认为在操作练习中，要注重教会学生数格子的方法，培养学生孩子们仔细作业的好习惯。
《图形的旋转》这一课，今天我们在多媒体教室上了这一课，利用课件，把旋转的过程充分展示，在学生的头脑中留下深刻的印象。但是在方格纸上画出旋转后的图形，就需要孩子的空间想象了，三角形的旋转还好，但是我发现很多孩子在《补充练习》的第3题，把旋转后的梯形画下来，极大多数同学都是错的。同意汤小“一根木头”的话，相信给学生充分的时间后，学生会理解的。
(1)通过实例观察,了解用一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程。
(2)能在方格纸上画出将简单图形旋转90度后得到的图形。
(3)通过学习活动,进一步增强空间观念,发展抽象思维能力。
二、教学重难点
重点:了解用一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程。
难点:在方格纸上画简单图形旋转90度的图形。
三、教学准备
课件、教师准备作业纸,学生准备好学具袋。
四、教学过程
1. 创设情境,初步感受线的旋转
(1)观看下面的视频,你发现哪些物体在做什么运动?(播放小区门前栏杆打开和关闭的视频。)板书: 图形的旋转。
(2)播放第二遍请仔细观察栏杆的关门与开门有什么共同点和不同点。
随着学生的回答,板书:中心点, 方向(逆时针、顺时针),角度,这就是旋转的三要素。
中心点:固定不动,通常人们用字母O表示。
方向:逆时针、顺时针是怎么转的?有什么好的办法区分呢?(顺着时针方向转动的叫顺时针方向,与顺时针相反的方向叫逆时针方向,可用箭头表示。)左右手逆时针、顺时针旋转各转一圈。
角度:旋转90度你是怎么知道的? (角度:以中心点为顶点,旋转前后两条边的夹角。)
(3)栏杆的打开和关闭你能分别结合旋转的三要素完整的说一说它是怎样旋转的?线段OA绕( )点( ) 方向旋转( )度得到线段OB。
我们刚才学习了最基本的图形线的旋转,它需要哪三要素?大家学得真不错,老师奖励大家一幅美丽的图案。(课件出示:大风车图案。)
(设计意图:创设学生生活中常见的生活情景小区门前栏杆的打开和关闭,从最简单的线的旋转开始学习, 让孩子比较栏杆打开与关闭的区别,初步感知旋转的三要素,尤其是“旋转角度”这一难点的突破,对于空间观念较弱的孩子应该更容易理解和掌握。)
2. 自主探究,进一步探索图形的 旋转特征
(1)大风车图案是由哪个基本图形旋转得到的?
(2)今天我们就以图像A为基本图形,探索怎样利用图形A设计出美丽的大风车图案?让同学们利用学具, 完成表格。
(3)组织学生交流汇报。充分利用学具、展台的直观演示,展示学生不同旋转方法得到同样美丽的图案, 不断感受旋转的奥秘。教师有意识的突出理解:①为什么是以O点为中心点, 如果以其他为中心点会怎样?②旋转方向应用箭头表示。③旋转角度是如何知道的?(找一端在中心点上的线段, 旋转前后的夹角。)为什么找这两组边的夹角呢?(这两条边的一个端点在中心点上)④在旋转过程中你还有什么发现?引导学生说出顺时针方向旋转a度,其实也可以通过逆时针旋转360-a度得到。
小结:从线的旋转到图形的旋转, 它们有什么共同点呢?
(设计意图:在第一个环节里学生对图形中的基本图形线的旋转已经有了一定的认识,因此由简单图形通过旋转得到复杂图形的这一过程,我放手让孩子自主探究,让孩子在操作与交流中进一步理解图形旋转的三要素,以及发现图形旋转的更多奥秘。)
3. 动手操作,体验几何图形的旋 转过程
刚刚同学们说得真不错,接下来我们要当一次小小设计师,动手画一画:图形A◣以三角形任意一个顶点为中心点,逆时针方向旋转90度得到图形B,并给图形B涂上阴影。温馨提示: 先画出旋转后的图形,画好后可以借助学具袋里的三角形进行验证,然后涂上阴影。作品展示并全班交流:
(1)说说你是怎么画的?旋转角度是如何确定的?
(2)为什么同一个基本图形都逆时针旋转90度会出现不同图案?(中心点不同),还有什么不同也会出现不同的图案?(旋转方向、角度的不同)
课件出示:数学万花筒:欣赏因不同角度的旋转得到美丽的图案
(设计意图:拓展延伸,通过学生动手操作,进一步感受中心点、方向、角度对于旋转图形的重要性,从会说线的旋转、图形的旋转到会在方格纸上画简单几何图形旋转90度的图形。层层递进,突破教学重点和难点。)
4. 图片欣赏,体会旋转美的内涵
[关键词]数学教学 比比划划 图形 旋转 感知 体验
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-029
比比划划，指用较标准的手势语言来表示特定的含义。在数学课堂中，教师运用特定含义的比比划划进行教学，既符合学生的思维特点，又能提高课堂教学的效果。下面，我以“图形的旋转”一课的教学，谈谈自己在课堂中运用比比划划进行教学的一些做法和体会。
一、比划游戏，初次感知旋转
课始，通过小游戏——猜比划，让学生说说一些手势的比划分别表示什么意思。这样学生的注意力能快速地被吸引过来，使学生通过观察初步接触手势旋转。虽然这样感知的意义范围很广，但这里主要是比比划划的动作通过视觉感官在学生大脑中的直接反映。这样教学，完全遵循学生好玩、爱动的特点，引导学生于潜移默化中完成对旋转的初次直观感知，使学生不由自主地跟着一起比比划划，自然而然地感悟什么是旋转。
二、比划开关，初步体验旋转
小学生在学习抽象的概念时，需要借助形象直观的感知作为支撑。为此，在引入旋转这一概念时，我把学生的视野拓展到他们熟悉的自身体验，因为体验到的会使学生感到无比的真实，并在大脑中留下非常深刻的印象。课堂教学中，我让学生体验操纵转杆，即用右手肘代表旋转的中心点，右手前半臂代表可旋转的转杆，左手前半臂代表转杆最后停止的地方，这样转杆慢慢地打开，再慢慢地关闭。在这个过程中，使学生主动发现转杆打开和关闭有什么相同点与不同点，进而发现决定旋转的三要素，即中心、方向（顺时针和逆时针）、度数。
三、比划顺逆，感悟旋转方向
课堂教学中，通过对顺时针旋转和逆时针旋转（如下图）的比划，让学生感悟：和时针旋转方向相同的是顺时针旋转，和时针旋转方向相反的是逆时针旋转。这样的方向比划，融趣味性和知识性为一体，使学生在理解、掌握抽象的旋转方向概念时，有了更丰富的感性材料做支撑。
四、比划转杆，感悟顺逆方向
操纵转杆时可按顺时针旋转、逆时针旋转进行比划，节奏由慢到快，使学生在比比划划中感悟顺时针方向和逆时针方向。这样的感悟来源于学生的亲身体验，大部分学生能瞬间领悟，也有个别学生是渐渐领悟的。这里有少部分学生在比划顺时针旋转、逆时针旋转时出现相反的情况，较隐性的错误教师也许不易发觉，而很显性的错误学生能快速地自我发现、自我调整。
五、比划旋转，突出教学重点（如下图）
三角形绕A点旋转90°，突出这一教学重点的关键是两条直角边如何旋转以及绕A点旋转90°有两层含义。
第一层含义：三角形绕A点顺时针旋转90°（如上左图）。
操作步骤如下：
（1）用左手（掌心对外）食指和拇指的夹角对准A点；
（2）用食指和拇指分别紧贴三角形一长与一短两条边；
（3）食指和拇指匀速慢慢地绕A点顺时针旋转90°；
（4）画出旋转后的图形。
第二层含义：三角形绕A点逆时针旋转90°（如上右图）。
操作步骤如下：
（1）用左手（掌心对外）食指和拇指的夹角对准A点；
（2）用食指和拇指分别紧贴三角形一长与一短两条边；
（3）食指和拇指匀速慢慢地绕A点逆时针旋转90°；
（4）画出旋转后的图形。
这里手指比划的优势不言自明：既能绕A点灵活旋转，又能较为清晰地看清每条边旋转之后的大致位置。如果换成纸片或实物来旋转，学生会发现：只要中心A点的位置稍有移动，那么三角形整体旋转后位置将会发生变化，从而干扰学生对图形整体旋转的认识和掌握。
六、比划旋转，突破教学难点（如下图）
1.长方形绕A点顺时针旋转90°（如上左图）
突破这一教学难点的关键是这个长方形的一条长和一条宽如何旋转。
（1）用左手（掌心对内）食指和拇指的夹角对准A点；
（2）用食指和拇指分别紧贴长方形的一条长与一条宽；
（3）食指和拇指匀速慢慢地绕A点顺时针旋转90°；
（4）画出旋转后的图形。
2.小旗绕B点按逆时针方向旋转90°（如上右图）
突破这一教学难点的关键是小旗的旗杆如何旋转，以及三角形旗面旋转后的位置如何。可以先想象一下小旗绕B点按逆时针方向旋转90°后的大致方位，然后操作验证。
（1）用左手（掌心对内）食指的根部对准B点；
（2）用食指的上端紧贴旗杆，右手（掌心对内）小指和无名指分别紧贴三角形的另一条直角边与一条斜边；
（3）用手指搭成的“棋面”匀速慢慢地绕B点逆时针旋转90°；
（4）画出旋转后的图形。
如此简单的操作，直观演示出长方形和小旗旋转后的大致位置，再通过半具体、半抽象地用手指比划，较便捷地画出旋转后整个图形所在的准确位置。
这堂课重要的教学价值在于让学生通过比比划划获得丰富的感性经验，培养学生的空间想象能力。比比划划是解决图形旋转问题的一种重要而具体的数学方法，它的魅力在于可以随时随地的运用，既稳当又可靠，不耗费能源。这节课的教学，虽然是我运用比比划划的初步尝试，但从中体会到：运用比比划划进行教学具有经济、省时、省力、便捷、环保、易于掌握等优点，是数学教学中重要的辅助手段之一。因此，课堂教学中，教师可充分利用比比划划帮助学生学好数学，促进学生的发展。
2、通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、观察能力，以及与人合作交流的能力。
3、经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
二、教学重点
掌握旋转的有关概念，探索和发现旋转后图形的形状和大小都没有发生变化；会准确找出对应点、对应线段、对应角，旋转中心、旋转角。
三、教学难点
对图形旋转过程中旋转角相等的理解，会准确找出旋转角。
旋转中心不在三角形顶点时旋转角的确定。
四、教学准备: 课件?
五、课时安排:一课时
六、教学过程
一、出示学习目标
1、板书课题
同学们，本节课我们一同来学习“图形的旋转”。
本节课的学习目标是（投影）
2、出示学习目标
（1）、通过实例观察，认识并描述图形的旋转。
（2）、了解一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程，知道图形旋转的三要素（点、方向、度数）。
（3）、欣赏图形的旋转变换所创造出的美，感受旋转在生活中的应用，体会数学的价值。
二、出示生活图片
（一）图形的旋转，旋转中心，旋转角，方向
1、[演示]：演示生活中常见的转动，观察转动时各点的运动情况得到图形在转动时，位置始终不变的那一点叫做旋转中心。图形转动的角度叫做旋转角。
区分顺时针旋转和逆时针旋转，以及旋转的三要素。
2、由钟表的旋转，得到线段转动的旋转角，学生描述钟表的旋转，加深旋转三要素的记忆，同时培养学生的语言表达能力。再由线段的旋转引申到几何图形的旋转，进一步得到：旋转前后的两个图形形状和大小不变，只是位置发生变化。
（二）感受生活中的旋转
在日常生活中,我们可以看到,一些图形绕着某一个点旋转一定角度时,能与自身重合。
你能举出这样的例子吗？
（三）、全课总结，巩固方法
今天我们学习了图形的一种运动----旋转。通过学习你有什么收获？
（四）、布置作业：
《图形的旋转》教学反思 县西小学 黄赤君平移和旋转是新课程标准增加的内容,在二年级学生已经对平移进行了系统地学习，并对旋转也有了初步的认识。旋转的概念让学生用语言表达是比较困难的事情，但是让学生构建准确的概念又是必要的。旋转是学生在日常生活中经常看到的现象。从数学的意义上讲，旋转是一种基本的图形变换。图形的旋转对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。
1、积极创设情境，激发学生学习的好奇心和求知欲。教学伊始，借助学生已有的知识和经验，从“俄罗斯方块”游戏开始让学生们说运动的方式，这一活动的设计，极大的吸引了学生的注意力，引发了学生的好奇心和求知欲，接着，呈现三幅图通过“观察这些旋转你发现有什么相同点和不同点？”此环节的设计又使学生认识了顺时针和逆时针的旋转，为之后的用语言描述打下基础。
2、动手实践、让学生亲身经历新知识的形成过程。整个数学课堂留给学生较多的空间，让学生有更多的独立思考、动手实践、合作交流的机会，体现学生在教学中的主体地位。拓宽学生的空间，引导学生开展观察、操作、比较、概括、交流等多种形式的活尊重教材的基础上，进行了二次处理，从生活实际入手，先完成表针由12到3的描述，再去描述书上的例题。由于学生们知道三整时十时针和分针所形成的角度是90度，这样为例题中指针旋转30度、60度„„的认识减少难度,更有助于学生的认知。动，从而使学生在轻松的氛围中学习旋转的三要素：旋转的中心点、旋转的方向（可分为顺时针、逆时针两种）和旋转的角度描述物体的旋转，我在
1、积极创设情境，激发学生学习的.好奇心和求知欲。
教学伊始，组织学生欣赏几组经过旋转的美丽图案，然后提问：“你知道这些图案是怎么设计出来的吗?”激发学生主动参与探索新知的兴趣。这一活动的设计，极大的吸引了学生的注意力，引发了学生的好奇心和求知欲。
2、动手实践、让学生亲身经历新知识的形成过程。
在还没有上《图形的旋转》这个单元时，我就对本单元的内容提前进行了了解，让学生提前把书上所涉及的学具准备好，并进行检查。在引入新课后，我在黑板上画了一个“十字架”，亲自给学生演示怎么样旋转90度，让学生明确以哪个点为旋转中心，旋转的方向(可分为顺时针、逆时针两种)。然后留给学生较多的活动空间，让他们把自己事先准备的学具拿出来同位之间相互操作，在操作中体会、交流旋转的角度。而且在后面的作业中，我都是让学生自己去实际操作，然后全班交流。充分体现学生在教学中的主体地位，改变教师从支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转变。使学生在轻松的氛围中学习旋转的三要素：旋转的中心点、旋转的方向(可分为顺时针、逆时针两种)和旋转的角度描述物体的旋转，借助学具的旋转画旋转图形。不仅如此，我还让学生在熟练中拓宽自己的思维空间。在处理57的第3题时，我提前把图规规矩矩地画在黑板上，让学生试着独立完成，全班交流时教师适当地进行点拨、指导。交流中我得到了意外地惊喜，学生们的答案各种各样，为了验证其正确性，我亲自让他们在黑板上展示自己的操作方法。同学们在交流中终于找到了成就感，更知道了解答一个问题可以有多种途径，那流淌在心底的高兴只有他们自己才能体会。
3、注意数学和其它学科的整合
教材中有些练习看起来微不足道，考试时一般都不会出现，但是这些边缘内容却能体现一个学生对知识的综合运用能力，比如教材58页的4题和5题。在教学第4题时我让学生同桌先进行交流，然后全班交流，真正让他们体会这些图形既可以通过旋转也可以通过平移得来。在教学第5题时，我让学生自己准备一个模型，然后确定旋转的中心点和旋转方向，以备在不明白时借用。结果，好多学生都综合利用我们学过的平移和旋转知识画出了一个个美丽的图案，让我从内心深处感到高兴。在这个过程中既培养了学生数学的应用意识及审美意识，真正领悟数学知识和图案之美就在我们的生活和学习之中的道理,又充分发挥了他们的想象力、动手操作能力、提高了他们的思维能力，也让他们探索到了这美丽图案的神秘性。让学生明白在学习中要做个善于观察、勤于思考的人，还要在生活中做个会观察、会思考、会学习、会创造的有心人。
4、充分运用远程教育资源。
新课的引入、生活中旋转现象的举例及新课中平面图形是怎么旋转的，都使用了多媒体的手段,把多媒体课件和学具有机结合，不仅帮助学生清楚地了解了图形旋转的三个要素(中心点、方向、角度)和基本图形旋转的过程，还扩展了学生的思维，极大地调动了学生参与学习的积极性，有效地突破了教学的重、难点，实现了本节课的学习目标。
一、教学目标
1. 知识与技能:
理解图形旋转的性质, 能按要求作出旋转后的图形.
2. 过程与方法:
让学生在动手操作中, 实现从直观到抽象, 从感性认识到理性认识的转变, 培养学生的观察能力、分析能力、空间想象能力、审美能力.
3. 情感态度与价值观:
让学生体验到数学与生活实际密切联系, 体会变“静”为“动”的过程, 让学生感悟图形的旋转美.
二、教学重难点
重点:利用平面图形旋转的性质, 能按要求作出旋转后的平面图形.
难点:按要求正确作出旋转后的平面图形.
三、教学流程
1. 引入课题
活动1学生动手操作: (1) 请学生拿出含30度角的直角三角板, 在练习本上先画出一个与这个直角三角板全等的直角三角形, 标上字母.然后绕着直角顶点按顺时针方向旋转90度, 用另一种颜色的笔画出旋转后的直角三角形, 标上字母. (2) 与小组的同学交流, 旋转前后的两个三角形是否全等?指出旋转方向、对应顶点, 找出旋转角. (3) 教师在黑板演示含30度的直角三角形及其旋转图形的作图方法, 并提问学生:你们能用旋转的性质把图形旋后的图形画出来吗?类比平移作图, 分几个步骤?引导学生归纳旋转作图的步骤.
设计意图:通过学生动手操作、观察、思考、交流, 回答问题, 加深其对图形旋转性质和旋转特点的理解, 体会变“静”为“动”的过程.为培养学生的想象能力作铺垫, 通过观察旋转前后的两个三角形的形状大小、位置关系, 交流分析、归纳出旋转作图的五个步骤: (1) 找到旋转中心; (2) 确定旋转方向; (3) 画出旋转角, 所有的旋转角相等 (始边是已知顶点与旋转中心的连线, 终边是对应顶点与旋转中心的连线, 用虚线表示) ; (4) 确定对应顶点, 每对对应顶点到旋转中心的距离相等; (5) 顺次连接各对应顶点 (用实线表示) .
2. 利用旋转的性质作图
活动2教师在黑板上画出△DEF, 以点O为旋转中心, 把△DEF逆时针旋转60度, 画出旋转后的图形, 让学生思考: (1) 旋转中心不在图形上, 旋转角怎样画? (2) 教师在黑板上边引导学生作图, 边演示作图步骤. (3) 60度的旋转角除了用60度的三角板画外, 还可以用什么作图工具画? (4) 如果把△DEF逆时针旋转40度, 你能作出旋转后的图形吗?180度呢?
设计意图:让学生利用图形旋转的性质, 结合所学的图形旋转作图步骤作图, 让学生经历从易到难, 从特殊到一般的思维过程, 加深其对旋转作图步骤的理解.
活动3如课本图23.1-4, E是正方形ABCD中CD边上任意一点, 以点A为中心, 把△ADE顺时针旋转90度.画出旋转后的图形.引发学生思考: (1) 旋转中心在哪?向哪个方向旋转几度? (2) 除了画出旋转角找对应点外, 还有其他确定△ADE顺时针旋转90度后的对应点的方法.请知道的同学举手说说自己的想法.
设计意图:通过以上活动, 使学生掌握旋转作图的方法, 培养其发散思维.
活动4让学生在方格中作出简单平面图形旋转后的图形.并让其思考: (1) 你能在方格中按要求作出旋转后的图形吗?请一位学生上黑板作图. (2) 学生先观察思考, 再小组讨论, 然后在准备好的方格中作图.教师讲评学生的作图, 并加以指点.
设计意图:本活动作图与中考题型一致, 目的是让学生活学活用, 灵活掌握旋转作图, 学会利用数学知识解决问题.
3. 课堂小结与作业布置 (略)
1. 创设情境感受美
师:同学们,老师给你们带来了一个美丽图案,你能想象出它像什么?
生1:像风车。
生2:像排气扇。
图1
生3:像螺旋桨。
生4:像雨伞。
……
师:有的同学说它像风车。老师真的有一个风车哦(出示),谁想上来玩一玩?其他同学观察风车是怎么运动的?(学生很带劲地玩,有的跑着玩,有的吹着玩,还有的用手转动)
师:风车是怎么运动?能用数学语言说说吗?
生:风车是绕着一个点旋转运动的。
根据学生的回答,教师引导总结得出:图形运动的形式———旋转;方向———顺、逆时针;位置———中心点等要素。
反思:学生通过对美丽图案的想象,将图形和实物有机地联系在了一起,仿佛把我们带进了丰富的生活中。玩风车,教师抓住学生的生活经验,抓住学生的年龄特点,让学生在玩中亲身感受图形,在玩中去发现,在不经意间建构新知。这样设计极大的吸引了学生的注意力,引发了学生的好奇心和求知欲
2.动手实践体验美
A.欣赏、对比,认识数学美
师:老师还有一些美丽的图案,请认真观察。这些图案和图1相比,有什么共同的特点?
生1:都是由简单的图形通过旋转得到的。
生2:我发现这些图形是围绕一个点旋转的。
生3:我发现基本图形是按顺时针或者逆时针旋转得来的。
师:很好!你发现了旋转的方向。他们又有什么不同呢?
生:我发现有些基本图形旋转的次数不一样,有4次,还有5次的。
反思:通過对不同图案的观察、对比和发现,进一步巩固了新知,并将前面的知识点进行了运用,不但形成了知识体系,还发现了美的来源。
B.动手、操作,研究数学美
师:刚才,有的同学发现上面每个图案的基本图形旋转的次数有的不一样,该怎么用数学语言来表述他们的不同呢?下面我们就通过对图2的探索来共同学习。
师:请同学们拿出课前老师发给你们图案,并描出它的基本图形。学生描出后,在展示台上展示。再请学生描出图案的中心点,告诉学生中心点一般用O表示。
师:请同学们拿出你在课前准备的基本图形(图2),在你手中演示一下这个美丽图案(图1)是怎么旋转而成的呢?学生操作结束后,请学生上台演示,并谈出操作中的困难。
图2
生:我是捏着中心点顺时针旋转的。但是在旋转时不方便,手老是挡着。
师:描述得非常好,我们大家有什么好的方法帮他解决吗?
生1:放在桌子上,一手摁着中心点,一手来旋转。
生2:用钉子穿过这个中心点,把它固定起来旋转更方便。
师:同学们的方法都很好,老师也想到了和这位同学(生2)一样的方法。
反思:这段教学,紧紧抓住形成“数学美”的关键要素“位置、方向和角度”做文章,通过演示怎么样旋转90度,让学生明确以哪个点为旋转中心,旋转的方向(可分为顺时针、逆时针两种)。然后留给学生较多的活动空间,让他们把自己事先准备的学具拿出来同位之间相互操作,在操作中体会、交流旋转的角度。而且在后面的作业中,我都是让学生自己去实际操作,然后全班交流。充分体现学生在教学中的主体地位,改变教师从支配者的权威地位,向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转变。使学生在轻松的氛围中学习旋转的三要素:旋转的中心点、旋转的方向(可分为顺时针、逆时针两种)和旋转的角度描述物体的旋转,借助学具的旋转画旋转图形。不仅如此,我还让学生在熟练中拓宽自己的思维空间。使学生在充满极度好奇心的状态操作,然后把操作中感受到的数学美用自己的语言表述出来,巧妙而不留痕迹地学习新知,无意中感受了图形运动之美。
3.练习设计应用美
师:通过我们的操作与探索,大家发现了美丽的图案形成的秘密。在生活中,有很多地方运用了图形旋转的知识。你们能想到哪些呢?
生1:车轮。
生2:公园的摩天轮。
生3:飞机的螺旋桨。
师:这些经典的标志都运用了我们今天学习的内容。你想成为一位设计大师吗?下面就请你把课前准备的方格纸拿出来,设计一幅图案。(学生在舒缓的轻音乐中开始了设计)。
一、教学目标
1.使学生掌握旋转的方向，明确旋转的含义和旋转的三要素，会用自己的语言简单地描述物体的旋转。
2.通过操作、观察、讨论等活动，提高学生的空间想象能力和综合运用知识的能力。
3.在观察、讨论中，发展空间观念，进一步培养学生对数学问题的思考。
二、教学重难点
教学重点：明确旋转的含义和旋转的三要素。教学难点：体会旋转的含义，理解旋转的三要素。
三、教学准备 多媒体课件、钟表。
四、教学过程
（一）复习引入
课件出示图片。预设：旋转。
教师：旋转现象在生活中非常常见，在二年级下册，我们已经初步学习过旋转现象，今天这节课我们进一步来认识旋转现象。（出示课题：旋转）
设计意图：生活中的有些旋转现象可能不够典型，容易淡化概念的本质，甚至产生歧义，对学生建立正确表象产生干扰，在教学时选取的实例特别要注意。在这里特意选用教科书上的典型实例，特别是旋转角度不是360°的道闸、秋千等，充分感知旋转现象。
（二）探究新知
1．通过纸条的不同旋转，初步感知旋转的三要素（1）感知旋转方向。
教师：下面进行眼力大考查，看谁观察最仔细，如果你发现了其中的奥秘，马上举手，好吗？第一组，开始。
老师用纸条绕同一点，旋转角度相同，但旋转方向相反，做两次动作。教师：你发现这两次有什么区别吗？
预设：旋转的方向不同。（学生回答之后，教师板书：方向）
教师：（老师再一次做顺时针方向旋转动作）像这种方向的旋转，和生活中谁的旋转方向是一样的？叫什么旋转？
预设：顺时针旋转。（如果学生说不出来，请学生观察屏幕；说得出来，说完后欣赏图片。板书：顺时针）
教师：（老师再一次做逆时针方向旋转动作）那像这样的又叫什么呢？你见过生活中哪些现象是逆时针旋转吗？（板书：逆时针）
如果学生说不出来，屏幕展示。（2）感知旋转角度。
教师：眼力大考查继续，下面进行第二组,请仔细观察。
老师用纸条绕同一点、同一方向，但角度不同进行旋转，请学生区别。预设：旋转角度不同。（板书：角度）（3）感知旋转中心。
教师：最后一组，这次有点难，看谁能发现？
老师再把纸条分别绕两头旋转一周，请学生说说这两种旋转哪里不同？（板书：中心）
教师：看来旋转时，绕哪个中心旋转很重要，同样是这根纸条，同样是绕一周，绕的中心不一样，旋转轨迹也完全不一样了。
设计意图：从简单的实例入手，在看似简单的变化中请学生比较不同之处，形象地感知、体会旋转的三要素。
看来同学们对旋转这一现象已经有了很深刻的理解，那么一个物体或图形在旋转这一过程中有什么变化吗？位置变了，形状不变，和我们之前学习的平移有一样的特点，但也有区别。
2．学习指针的旋转，进一步认识旋转（1）从“12”到“1”。
教师：请同学们仔细观察指针的变化。说一说这个指针是怎么变化的？ 如果一个学生讲不完整，请其他学生补充。边讲边分析，他讲清楚了什么？直到最后把选择三要素都请出来为止。需要注意的是，学生在讲时，不要求他们用精确的语言描述，只需要用自己的语言把旋转三要素说出来就可以了。
教师小结：从“12”到“1”，指针绕点O按顺时针方向旋转了30°。教师：从“1”到“3”，指针是怎么变化的呢？
（2）填一填，从“3”到“____”，指针绕点O按顺时针方向旋转了90°；从“6”到“12”，指针绕点O按顺时针方向旋转了____°。
（3）像这样，你出一题，请其他同学来填一填。然后同桌之间互相问一问，说一说。
设计意图：有了前面初步感知旋转的三要素，在这一环节中，充分给学生空间，让学生在讨论中，自己不断完善对指针旋转的描述，加深对旋转的理解。
（三）巩固练习1．课件出示练习题1。
（1）先出示左边的图，再出示右边的图。
教师：左侧有车通过，左侧车杆怎么变化呢？ 预设：左侧有车通过，车杆绕点O顺时针旋转90°。
教师：汽车已经通过，车杆又回归原位，车杆又是怎么变化的呢？
（2）请一个学生来当车闸，演示右侧有车通过，请大家说一说车杆是怎么变化的。
2．课件出示练习题2。
先独立填一填，再集体反馈。
设计意图：把所学的知识运用于生活实际，在实际应用中加深对概念的理解。
（四）回顾与反思
教师：这节课我们学习了什么？
教师：通过这节课的学习，你对“旋转”有了哪些了解？
教师：旋转中心、旋转方向、旋转角度，是旋转的三要素，在讲一个物体旋转时，如果讲清楚了这三点，也就明确了它是怎样旋转的了。（板书：旋转的三要素）设计意图：在总结回顾中，进一步理解提升所学知识。关于“旋转”，我们后面还要继续研究。
（五）布置作业
完成教材第85页练习二十一第3题。练习册第56页。
板书设计：
【教学设计基本思路】
一、教学内容分析
“图形的旋转”是人教版义务教育教科书《数学》八年级下册的内容，是继平移、轴对称之后的又一种图形变换.本节课介绍了图形旋转的概念及性质，并通过不同形式的旋转设计图案.教材从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材.“图形的旋转”是重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，不仅为后续学习“对称图形”“中心对称图形”做准备，而且为学习“圆”的知识做铺垫.二、教学对象分析
八年级学生具有一定的观察、抽象和分析能力，能从简单的物体运动中抽象出几何图形的变换.学生之前学习了平移、轴对称这两种基本变换形式，具备了一定的变换思想.学生喜欢生动活泼的学习内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，用自己的双手去操作，用自己的语言去交流、表达，用自己的心灵去感悟.学生在学习本课内容时，对图形旋转的性质的理解会有较大的困难，借助现代信息技术、利用多媒体课件可以帮助学生加深理解.三、教学目标确定
知识与技能：通过具体实例认识生活中的旋转；理解旋转的定义，掌握旋转的性质；能利用旋转的性质作图和设计图案.数学思考：在发现、探究的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展直观想象能力，分析、归纳、抽象、概括的思维能力.解决问题：在了解图形旋转的特征并进一步应用所掌握的这些特征进行旋转变化的过程中，从数学的角度认识现实生活中的现象，增强数学应用意识.情感与态度：学生通过对生活中旋转图形的观察，充分感知数学美，激发学习数学的兴趣和热爱生活的情感；通过小组合作交流活动增强合作学习的意识和研究探索的精神；通过图案设计活动，用数学的眼光观察、认识周围世界，增强集体主义感，培养传统美德.四、教学重点、难点
重点：掌握图形旋转的性质.难点：根据图形旋转的性质绘制旋转后的几何图形.五、教学策略与教学方法
1.选择多媒体教室进行教学.图形的旋转具有抽象性、逻辑性较强的特点，只用文字描述较难理解，而且学生动笔画图比较浪费时间.用多媒体的形式呈现数形结合的研究方法，可以巧妙地突破空间想象这一难点.2.利用多媒体课件播放旋转图片，把图形旋转的过程直观形象地演示出来，易于学生理解图形旋转的特征.3.恰当运用信息技术，发挥“整合”的作用，让师生、生生互动交流，使更多的学生通过自主合作探究的学习方式加深对图形旋转特征的理解，在动手操作的基础上，变“要我学”为“我要学”.六、教学流程（详见下页流程图）
【教学设计的实施】
一、创设情境，引入新知
问题：旋转的物体能使我们的生活更加多姿多彩，什么是旋转，旋转又有什么性质呢？
师生活动：教师播放意大利旋转大楼视频，同时进行讲解.学生欣赏旋转大楼，寻找动态的感觉，在心里与其产生共鸣.设计意图：感受数学与生活密切相关，了解生活中图形的设计离不开数学知识，形成探究新知识的渴望.二、探索新知，形成概念
问题1： 下图情景中的转动现象有什么共同特征？
师生活动：学生结合旋转实例先独立思考，再与同学交流，从旋转的图形中抽象出点的旋转、线段的旋转、图形的旋转.观察上面图形的运动后，教师引导学生进入本课第一个学习目标――图形旋转的概念.学生尝试用自己的语言来描述旋转，教师归纳总结，同时结合具体实例介绍旋转中心、旋转角、旋转方向的概念.设计意图： 根据具体实例发现转动物体的共同特点，有助于培养学生的发现能力.让学生在具体生活实例情境中感知概念，从而对这种变换产生进一步探究的强烈愿望，为探究问题作好铺垫.问题2：你能举出现实生活中的旋转实例吗？
师生活动：学生自行举例，说出其中概念，更加明?_数学知识在实际生活中的重要性.教师进行实践操作，重点突出旋转的三个要素.设计意图：在此过程中培养学生的抽象概括能力，同时让学生体会到合作交流的必要性.三、实践操作，再探新知
问题1： 如下图，在硬纸板上挖一个三角形的洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，在硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板.（1）从我们看到的旋转现象以及你所完成的实验中，你认为旋转的主要因素是什么？
（2）在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？
（3）线段OA与线段O′A′有什么关系？
（4）∠AOA′与∠BOB′有什么关系？
（5）△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
师生活动：教师为学生提供动态的旋转图形，进行指导并参与讨论交流.学生在独立思考的基础上进行小组合作交流，利用度量等方法发现规律.归纳旋转的性质，体会旋转性质的三要素.设计意图：通过课件演示及动手操作培养学生的动手能力、观察能力和探究问题的能力以及与人合作交流的能力，充分体现了教师为主导、学生为主体的教学方法，同时以问题为导引，逐步对旋转的性质进行探究，既突出了重点，又突破了难点.问题2：你能总结出图形旋转的性质吗？
师生活动：教师用几何画板展示图形的旋转，引导学生小组交流后全班交流、归纳旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等.设计意图：通过小组交流及全班交流，让学生体验合作的重要性，锻炼克服困难的意志，培养团结合作的精神.四、应用新知，形成技能
问题1：如下图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°，请画出旋转后的图形.师生活动：教师引导学生通过旋转的性质进行分析.学生积极思考、合作交流，提出解决问题的办法，然后动手实践，画出了旋转后的三角形.设计意图：通过观察图形的特点，发现图形旋转前后的关系，明确旋转的性质.让学生在例题中总结，在例题中运用提高，在例题中得到不同的发展.问题2：你能根据本节课所学的知识设计美丽又有意义的图案吗？
师生活动：学生设计图案并用实物投影进行展示，增强学生的动手能力，逐步形成数学画图能力.设计意图：让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质.五、回顾反思
问题：通过这节课的学习，你有哪些知识和情感的体验，把你的想法跟同学们说一说.师生活动：学生说出本节课所学知识和所体现的数学思想.设计意图：学生自主小结，交流学习的收获、学习过程中的感受、对数学思想的感悟或提出疑问进行讨论.学生通过对所学知识进行归纳、总结，使知识系统化.六、分层作业
必做题：教材110页1、3、6.选做题：如下图，P是等边△ABC内的一点，把△ABP按不同的方向通过旋转得到△BQC和△ACR.（1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
（2）△ACR是否可以直接通过将△BQC旋转得到？
（3）若PA=5，PC=4，PB=3，则△PQC是什么三角形？
师生活动：学生完成作业，并根据实际情况选择选做题，提高能力.设计意图：结合学生的实际水平，将作业分为必做题和探究题，以便因材施教，巩固知识.（板书设计略）
【整合点解析及教学反思】
一、整合点诊断的思路和依据，解决办法的选择与思路
1.整合点诊断的思路和依据.本课教学确定三个整合点――探索新知、再探新知、应用新知.图形旋转的知识与现实生活有着密切的联系，以生动的生活事例为教学背景，把教学中的整合点放在了动态的生活事例的引入上，更好地调动了学生的生活经验积累.本节课学习的是“图形的旋转”，重点是掌握图形旋转的性质.八年级学生已经具有一定的观察、抽象和分析能力，有了一定的变换思想，直观形象思维能力强，抽象思维能力弱.利用现代信息技术演示图形旋转的动态过程可以变抽象为形象，变静为动，有效突破教学难点.2.解决办法的选择和思路.在“探究图形旋转的性质”环节，用几何画板直观演示图形旋转的全过程，学生根据观察来验证小组探究得出来的规律.这样既加深了学生对图形旋转性质的理解，又验证了学生的大胆猜测，使学生获得成就感的同时突出了教学重点.对于“运用图形旋转的性质绘制旋转后的几何图形”这部分内容，直接用语言描述学生难以理解，我便用几何画板来演示，为学生画旋转后的几何图形提供了方法，同时也突破了教学难点.由于准确地选择了整合点和有效的解决办法，营造了使创新的教学方法得以实施的教学环境，使教学目标有效达成.二、整合效果及教学反思
1.成功之处.本节课充分利用了信息技术的优势，发挥了“整合”的作用，使教学内容的呈现方式、方法，教师教学的方式、方法，学生探究的方式、方法有了很大的转变，充分体现了以教师为主导、以学生为主体的教学理念，使教学效果最优化，使教学目标顺利达成.（1）借助信息技术播放意大利旋转大楼的视频，营造了轻松愉悦的教学氛围，激发了学生的学习兴趣，学生在愉悦的状态中主动参与思考进行探究.（2）整合点诊断准确，恰当运用现代信息技术手段，通过结合几何画板展示图形旋转的过程，加深了学生对图形旋转性质的理解.（3）注重引导学生灵活运用探究的学习方法，给学生提供自主探究的机会，使学生积极主动学习，从而实现思维的创新.2.尚需提高之处.在教学中存在多媒体课件设计不当之处.如在让学生?^察旋转现象这一环节时，我出示了两张静态的图片.虽然这两种事物是学生比较熟悉的，但让学生通过观察图片立刻调动生活认知还是有些操之过急，所以课堂氛围不太理想.由此可见，恰当地选择多媒体课件的确对学生的学习兴趣、课堂反馈效果均起到不可低估的作用.【评析】
1． 平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小.
理解这个概念应注意以下两点：
（1）平移是指平面图形在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离．
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等．
“对应点所连的线段平行且相等”，这个性质可作为平移作图的依据．
2． 旋转
旋转是指由一个图形绕着一个定点沿某种方向旋转一定角度后形成另一个图形．旋转后，直线仍然变成直线，线段变成和原来线段相等的线段，平行直线仍为平行直线，并且旋转后的图形与原图形全等．
运用旋转变换的关键在于选好旋转中心和旋转角．
旋转变换在解题中的应用主要有以下两个方面：
（1）在题设条件与结论间联系不易建立或条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变换铺路架桥．
（2）图形错综复杂，图形中等量关系较多，可通过旋转变换，移动部分图形，让相等的部分有所联系，使题中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．
二、常见考点透视
1． 平移概念及其特征
例1 如图1，有一条小船，若把小船平移，使得点A平移到点B．
（1）请你在图中画出平移后的小船；
（2）若该小船先从点A航行到岸边L上的点P处，再航行到点B，如果要求航程最短，试在图中画出点P的位置．
解析：（1）平移后的小船如图2所示；
（2）如图2，作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，则点P即为所求．
评注：平移的最显著特征就是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．
2． 旋转的概念及其特征
例2 如图3所示，把一个直角三角板ABC绕着30°角的顶点B顺时针方向旋转，得到△EBD.点C、B、E在同一直线上．
（1）三角板旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状.
（3）求∠BDC．
解析：（1）由∠ABC =∠DBE = 30°，则∠CBD=180°－30°=150°．
故三角板旋转了150°．
（2）根据旋转的性质， 则BC=BD．
所以，△CBD是等腰三角形．
（3）由（1）、（2）知，△CBD是等腰三角形，∠CBD=150°．
所以，∠BDC =（180°－150°）= 15°．
评注：要注意平移与旋转的区别和联系．
3． 简单的图案设计
例3 （1）如图4，在方格纸中（每个小方格都是边长为1个单位的正方形），如何通过平移或旋转两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C？（对于平移变换要求写出平移的方向和距离；对于旋转变换要求写出旋转中心、旋转方向和旋转角度）
（2）图5是某设计师设计的图案的一部分，请运用旋转变换的方法，在方格纸中将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形.将得到的图形涂上合适的阴影，你会得到一个美丽的图案.你来试一试吧！
解析：（1）由图形A得到图形B： 图形A向上平移4个单位后得到图形B.由图形B得到图形C： 先将图形B向右平移4个单位后，以点P2为旋转中心，顺时针旋转90°，即得图形C．
（2）运用旋转变换的方法，按照要求进行作图，如图6所示．
4． 平移与旋转性质的应用
例4 数学课上，老师先让同学们观察图7，然后问：“它绕着圆心旋转多少度后可与它自身重合？”甲同学说是45°；乙同学说是60°；丙同学说是90°；丁同学说是135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）.
Ａ． 甲Ｂ． 乙Ｃ． 丙Ｄ． 丁
解析：分析图7，一个圆被分成8个小部分，故最少旋转=45°就能与它自身重合.同时，旋转45°的倍数也能重合.于是可知，四位同学的回答中，只有乙同学的回答错误，故选B．
评注：此类问题，只要分析出图形被平均分成了几个部分，然后用部分数除周角，即可确定旋转的最小角度了．
例5 在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B+∠C=90° ，AB=4 cm，CD=3 cm．求BC-AD的值．
解析：如图8，将CD平移，到AE的位置， 由平移的性质可知：EC=AD，AE=CD=3 cm，∠AEB=∠C．
因为 ∠B+∠C=90°，所以∠B+∠AEB=90°．
所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°．
由勾股定理，得BE===5（cm）．
所以BC-AD=BE=5 cm．
评注：平移前后对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等，这些都是很重要的性质．
一、从“模糊”到“清晰”:唤醒经验, 直指本质
学生的学习是基于经验的, 数学本质的理解与把握, 也必须基于学生认知经验的基础。数学教学, 应唤醒学生心理上与数学本质相通的生活经验与认知经验, 关注学生已有经验, 直指数学本质。“图形的旋转”是苏教版小学数学四年级下册第66、67页的内容, 是在学生已经初步认识了旋转现象的基础上, 学习在方格纸上把一个简单图形按顺时针或逆时针旋转90°。本课的重点是能在方格纸上把一个简单图形按顺时针或逆时针旋转90°, 难点是体会图形旋转的基本要素, 探索图形旋转的画法。这对于四年级的学生而言, 有一定的难度和挑战性。为此本课的引入笔者做了如下设计———
【教学片段】
师:仔细观察这两个转盘 (课件动画演示:右边转盘指针顺时针旋转90°, 左边转盘指针逆时针旋转90°) , 你发现了什么?
生1:指针都在绕着中间那个点旋转。 (板书:定点)
生2:它们都旋转了90°。 (板书:角度)
生3:我发现它们旋转的方向是不一样的。 (板书:方向)
师:你能具体说说怎么不一样吗?
生:右边转盘指针旋转的方向和钟面上时针走的方向相同, 左边却是反的。
师:像右边这样和时针旋转方向相同的叫顺时针方向, 左边和时针旋转方向相反的叫逆时针方向。 (板书:顺时针、逆时针)
师:能用手臂演示一下顺时针旋转吗?逆时针呢? (学生感受)
学生要掌握图形的旋转方法, 首先要体会与认识图形旋转的三个基本要素:定点、方向和角度, 而方向 (顺时针方向和逆时针方向) 是学生认识的难点。为了清晰学生的认识, 上述环节通过对两只转盘上指针旋转现象的观察感知, 唤醒学生已经熟悉的钟面指针旋转现象的经验, 以及手臂动作的体验, 直指数学知识本质, 以弥补学生语言描述的不足, 使得概念的构建更为准确。
任何一个学生都不是以一张白纸的状态进入教学活动的, 教学活动应创设对接数学本质的生活情境, 以唤醒学生相关的已有经验, 并将这些经验转化为数学知识, 实现数学认知的系统发展。
二、化“抽象”为“直观”:形成经验, 初悟本质
《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》把“图形与几何”作为培养学生的创新精神和实践能力的一个重要学习领域。小学生的空间想象能力比较薄弱, 尤其是学困生, 教学中应把学生头脑中抽象的空间想象过程反映在直观操作中, 在不断的想象与直观验证过程中, 形成经验, 循序渐进地领悟数学知识的本质, 逐步提升抽象思维能力。
【教学片段】
师: (出示线段AB) 你能绕它的一个端点旋转90°吗? (学生思考片刻后) 老师把这条线段请到了黑板上, 你能给大家演示一下吗? (学生操作)
师:还有不同的想法吗? (请不同想法的学生操作)
师:能在方格纸上画出来吗?思考并填写:线段AB绕____点___方向旋转90°。
集体交流:先引导学生观察, 再用课件动画演示验证。
师:我们出现了四种不同的想法 (如图) , 它们之间有没有相同的地方呢?
生1:线段都绕一个定点旋转。
生2:线段要么按顺时针方向旋转, 要么按逆时针方向旋转。
生3:线段都旋转了90°。
师:同学们的意思是说, 线段的旋转需要一个定点, 还需要按一定的方向和角度, 而且其中的一个因素发生了变化, 线段旋转后的位置也会发生变化。
图形的旋转基于线段的旋转, 本环节在开放的情境中, 先让学生借助直观学具尝试将线段绕着它的一个端点旋转90°, 使抽象的旋转现象在学生头脑中初具表象。再引导学生画出线段旋转后的位置, 将头脑中抽象的思维过程呈现在方格纸上是一个难点, 需要学生在不断想象、不断直观验证的过程中纠正与完善, 以形成初步的活动经验。止步于经验的形成还不够, 教学中求同的过程, 是对数学知识本质属性的感悟与提炼。只有学生通过反思、比较、求同、概括, 形成理性认识, 才能使数学学习达到深度的感悟。
三、变“被动”为“主动”:积累经验, 清晰本质
杜威曾说:“虽然我们可以把马引到水边, 却不能迫使它饮水。”也就是说教师不仅要给学生创造思考的空间和感悟的条件, 更要充分发挥学生学习的主体作用, 变“被动”为“主动”, 积累丰富的活动经验, 清晰数学知识的本质, 促成有效学习。
【教学片段】
师:你会把三角形 (如图) 绕A点顺时针旋转90°吗?能试着画出三角形旋转后的图形吗?
(学生先大胆尝试, 再展示交流)
生1:我先旋转三角尺, 再把旋转后的轮廓画下来。
生2:我是想象之后画出来的。
生3:我是先分别旋转两条直角边, 再把另外两个端点连起来的。
(重点交流学生3的方法:请学生在展示台上边画边讲解。学生展示, 老师相机追问)
师:你怎么想到先旋转长的直角边?
生:这条线段的一个端点就在A点, 而线段的旋转刚才我已经会画了。
师:这条直角边绕A点顺时针旋转90°后为什么画两格?
生:因为这条边原来就是两格, 线段旋转后长度是不变的。同样的这条长的直角边旋转后要画三格, 最后只要连起来。
课件依次演示验证:
波利亚认为, 学生学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现, 因为这种发现理解最深, 也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。基于学生已经掌握了线段的旋转, 三角形的旋转留足了学生自由探究的空间, 充分将学习的自主权还给学生, 不同思维层次的学生出现了不同的画法。在肯定方法的同时, 教师有意识地引导学生进行方法的优化, 通过学生的自主展示活动, 让学生充分体会图形的旋转基于线段的旋转。同时, 通过电脑动画演示, 刺激学生感官及学习兴趣, 丰富图形旋转表象, 促进方法的掌握和教学重难点的突破, 积累学生数学基本活动经验, 并在追问反思中, 自主探究, 清晰数学知识的本质。
四、由“现象”到“本质”:提升经验, 固化本质
一个数学结论的获得、概念的揭示等不能仅靠一个或几个例子, 而应通过大量的例证加以研究与论证, 并在一系列的体验探究活动中, 提升经验, 促成学生对数学知识本质的理解与内化。因此, 课堂教学中, 教师应呈现丰富的数学表象, 在有效的引导和激活下, 促使学生将直观表象与已积累的活动经验进行改造与重组, 由“现象”到“本质”, 固化数学知识的本质。
【教学片段】
1. 旋转长方形。
师:把长方形绕A点顺时针旋转90°。 (如图)
(学生先画图, 再交流是怎样画的)
师:旋转长方形和三角形有什么相同的地方?
生:都是先确定定点、方向和角度, 然后画出由定点引出的关键边旋转后的位置, 最后画出完整的图形。
2. 旋转小旗图。
师: (出示小旗图) 瞧, 这是什么?将小旗图绕B点逆时针旋转90°, 你能想象小旗旋转后的位置吗?这里有四幅图 (如右图) , 你觉得哪一副是正确的?
(学生交流并说说想法)
师:同学们, 小旗图的旋转给我们一个启示, 那就是图形在旋转前后, 什么变了?什么没变?
生:位置变了, 形状不变, 大小也不变。
师:三角形是这样吗?长方形呢?其它图形呢?
本片段是练习环节的一部分, 由易入难, 通过长方形、小旗等图形的旋转, 提升学生的活动经验, 使学生进一步理解图形旋转的基本要素, 掌握图形旋转的画法, 以及感悟图形旋转的本质性质, 最终形成知识的综合运用。在教学活动中, 教师要善于把握知识间的内在联系, 抓住问题的本质核心, 透过“现象”, 促进学生对数学知识本质的理解与深化, 培养学生的创新思维能力, 让学生领略“万变不离其宗”的奥秘。
第一课时
教学内容
1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？
教学目标
了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．
通过复习近平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下面各题．
1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．
2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．
3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？
（口述）老师点评并总结：
（1）平移的有关概念及性质．
（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质．
（3）什么叫轴对称图形？
二、探索新知
我们前面已经复习近平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．
2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．
（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．
（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角．
（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？（老师点评）
（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．
最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角和对应点都是不唯一的．
三、巩固练习
教材P65 练习1、2、3．
四、应用拓展
例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为
1，现把其中一个正方形固定不动，•另一个正方形绕其4中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由．
分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′．
解：面积不变．
理由：设任转一角度，如图所示．
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
∠ODD′=∠OEE′=90°
∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD ∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD`=S△OEE`
∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=4
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用．
六、布置作业
1．教材P66 复习巩固1、2、3．
2．《同步练习》
一、选择题
1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）． A．20° B．26° C．30° D．36°
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）． A．70° B．80° C．60° D．50°
(1)(2)(3)
二、填空题．
1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．
2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________． 3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）•旋转角度是________；•（•3）•△ADP•是________三角形．
三、综合提高题． 1．阅读下面材料：
如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置． 如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．
(4)(5)(6)(7)如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，•其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
回答下列问题
如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=
1AB． 2（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE移到△ADF的位置？
（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．
2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，•现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？
答案:
一、1．B 2．C 3．B
二、1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边
三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．
在教学这部分内容时，第一步我让学生明确旋转的含义。让学生伸出手臂，自己感受两种不同的旋转方式，使学生弄清顺时针和逆时针旋转的含义，同时，让学生起立后做一个旋转90°方向的小游戏，使学生实际感受旋转的意义。第二步再来探索图形旋转的特征和性质。旋转后的三角形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。第三步通过小组合作完成画一画在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转90度。一开始学生有点束手无策，经过提示学生明白了，只要找到与中心相关的几个关键边，把它们一次进行旋转，找到对应点，再连线，最后画上小弧和箭头就可以了。让学生在想一想、猜一猜、说一说、画一画等充满童趣的情景中玩数学、学数学，亲身体验知识的形成过程。
课上完后，虽然学生在画图形的旋转图并没有想象中的那么糟糕，但自己觉得上得很“累”，特别是引导学生的过程有点“累”。
旋转机械在工业领域中的使用十分广泛, 振动故障是旋转机械各类故障中出现频次较高, 后果较为严重的类型之一。在旋转机械振动信号的各类参数图形中, 存在着大量反映设备运行状态的信息, 如二维幅频或相频特性曲线、小波图、趋势图、三维谱图、三维阶比图等。通过分析图形信息实现对旋转机械的状态监测是目前该领域的研究热点[1,2,3,4]。
在旋转机械故障诊断中, 振动信号参数图形的有用信息没有得到很好的利用, 这主要是由于施工环境较为复杂, 噪声干扰严重, 参数图形的边缘特征提取困难所致。数学形态学的主要研究对象是图像的形态特征, 此类特征可通过某种结构元素的形态与图像相应形态的对比方式来确定, 以此完成对图像的分析、滤波、识别、边缘检测、分割和重建等处理过程[5]。使用数学形态学相关方法分析处理旋转机械振动信号参数图形时, 可通过调节结构元素尺度来剔除环境噪声等干扰信息, 有效提取参数图形的边缘特征, 为进一步的故障诊断扫清障碍。
为此, 本文在文献[1]实验的基础上, 根据数学形态学Top-Hat变换和Bottom-Hat变换理论, 对旋转机械振动信号参数图形进行多尺度滤波增强处理;通过多结构元边缘检测方法对滤波处理后的旋转机械参数图形进行边缘检测。
1 数学形态学的基本原理
数学形态学的基本原理是通过一整套的变换来描述图像的基本特征和结构。数学形态学最基本的2种变换是腐蚀和膨胀, 其他变换都是由这2种变换的组合来定义的[6]。
1.1 形态学腐蚀运算、膨胀运算
设A为待处理的灰度图像, B为结构元素, 则结构元素B关于图像A的腐蚀与膨胀运算定义为
其中, DA和DB分别是A和B的定义域, 位移参数则必须包含在灰度图像A的定义域内。
腐蚀运算可以消除图形中的小成分, 可从内部对图形进行滤波;膨胀运算可以填充图形边缘处小的凹陷部分以及图形中比结构元素小的孔洞, 可从外部对图形进行滤波[7]。
1.2 形态学开运算、闭运算
形态学开运算、闭运算分别定义为
开运算在纤细处分离物体和平滑较大物体边界, 具有消除散点、毛刺和小桥等细小物体的作用;闭运算连接两个邻近的区域和平滑边界, 具有填充物体内细小孔洞的作用[8]。
1.3 形态学变换
形态学Top-Hat变换是对灰度图像做减去其开运算结果处理, 该变换可以提取亮度较高的背景中的较暗区域;形态学Bottom-Hat变换是对灰度图像的闭运算结果做减去原始图像处理, 该变换可提取亮度较低的背景中的较亮区域。形态学变换可用来提取目标图像中尺度小于结构元素的峰值和谷值[9]。
Top-Hat变换定义为
Bottom-Hat变换定义为
2 多尺度滤波增强处理
形态学腐蚀、膨胀、开、闭4种运算中的1种或2种串联或并联的组合就是形态学滤波运算。多尺度形态学滤波增强处理是通过不同尺寸的结构元素多次对图像进行滤波的, 其中多尺度开闭滤波在消除噪声、保持图像细节和提高信噪比等方面优于多尺度腐蚀膨胀滤波, 从而在一定程度上优化了灰度图像的有用信息, 令后续边缘检测结果更加真实可靠, 因此在形态学滤波中应用较多。
多尺度结构元素定义为
其中, B为十字形3×3结构元素, n为滤波尺度, 式 (7) 含义即为大尺度结构元素由小尺度结构元素多次膨胀得到。
为了得到足够平滑的图像, 本文采用最大尺度的结构元素Bn对图像进行多尺度开闭滤波增强处理, 其表达式为
其中, 权值ω对最后的滤波增强结果有较大影响, 一般取为0.5, 本文根据滤波增强处理结果的优劣, 取0.3。
图像经过多尺度开闭滤波增强处理后得到足够平滑的低频图像, 为获得更全面的有用信息, 还需提取图像的高频细节信息。在多尺度滤波增强处理方法中, 由于噪声在经小尺度结构元素处理的图像中出现几率较大, 并且随着尺度的增加其影响逐渐消失[10], 故本文选用带有修正系数的Top-Hat变换 (FT (i) ) 和Bottom-Hat变换 (FB (i) ) 来提取图像的高频细节信息。为减小噪声对图像的影响, 修正系数设定为公比为0.5的等比数列, 此过程完成了不同尺度间小尺度图像特征的平滑处理, 具体的表达式如下:
由多尺度开闭滤波增强处理的图像最终由三部分组成:第一部分是图像经最大尺度结构元素开闭滤波增强以后生成的低频平滑图像, 该部分包含图像中的大尺度图像信息;第二部分是提取比该滤波增强尺度还小的亮点图像高频特征;第三部分是提取比该滤波增强尺度还小的暗点图像高频特征。至此, 一幅灰度图像经多尺度滤波增强处理后生成的图像为[11]
3 多结构元边缘检测算子
在图像边缘检测处理中存在着多种梯度, 若在某一像素点处梯度值大, 则表示在该像素点处图像的灰度值变化迅速, 从而认定该点可能是图像的边缘点。数学形态学边缘检测方法主要是利用形态学梯度来完成图像的边缘检测。若将数学形态学的腐蚀、膨胀、开、闭等基本运算用于图像处理, 可构造出合适的形态学梯度算子 (经典边缘检测算子) 用于图像的边缘检测[12]。
腐蚀型边缘检测算子:
膨胀型边缘检测算子:
膨胀腐蚀型边缘检测算子:
上述3种形态学边缘检测算子是一种非线性的差分算子, 这些算子容易实现, 在实际中有一定的应用。但是, 这些算子对噪声都很敏感, 不能在保持较高检测精度的同时又不损失抗噪性能。由于旋转机械振动信号中普遍存在噪声, 虽然已经过多尺度滤波增强处理, 但仍有少量残留, 而且噪声信号和参数图形的边缘又均为频域中的高频分量, 因此, 为了更好地提取旋转机械振动信号参数图形的边缘特征, 应选择抗噪性能优于经典边缘检测算子的方法对参数图形进行边缘检测。根据腐蚀、膨胀、开、闭4种运算抑制噪声的相关特性, 本文对式 (12) ~式 (14) 做如下改进。
抗噪腐蚀型边缘检测算子:
抗噪膨胀型边缘检测算子:
抗噪膨胀腐蚀型边缘检测算子:
数学形态学边缘检测方法不仅与所使用的边缘检测算子有关, 还与结构元素自身特点密切相关, 如大小、方向、形状等。在边缘检测过程中, 不同结构元素对图像不同边缘细节信息的敏感性各不相同, 一种结构元素只能提取图像的一种边缘信息, 这不利于保持图像边缘的有用信息。因此, 应尽量选用具有不同特征的结构元素对图像进行边缘检测, 让每个结构元素都发挥作用, 提取出具有其自身特征的边缘信息, 这样可以充分保持图像的各种边缘信息, 达到既能检测出图像的各种边缘纹理, 又能抑制噪声的目的[13]。本文利用抗噪膨胀腐蚀型边缘检测算子 (式 (17) ) 构造多结构元边缘检测算子, 其表达式如下:
其中, B1、B2、B3为结构元素, 尺寸固定不变 (3×3正方形) , B1, B2可取为同一种结构元素, 也可取为不同的结构元素。
4 多尺度多结构元边缘检测仿真
为验证多尺度多结构元边缘检测方法的正确性与有效性, 本文选取结构元素B1=[1 2 1;2 62;1 2 1], B2=[0 1 0;1 1 1;0 1 0], B3=[1 0 1;0 1 0;1 0 1], 对含有5%椒盐噪声的Lenna灰度图像进行多尺度多结构元边缘检测, 其中多尺度滤波增强处理使用结构元素B1作为初始结构元素, 滤波尺度n取4, 多结构元边缘检测算子使用结构元素B1、B2、B3进行检测。图1a为原始灰度图像, 图1b为边缘检测结果。从图中可以看出:多尺度多结构元边缘检测方法滤除了Lenna图像中的椒盐噪声, 检测出的图像边缘轮廓清晰、纹理明确, 信噪比有所提高。该方法边缘检测效果优于经典边缘检测算子边缘检测效果, 更适用于含有噪声污染图像的边缘检测。
5 旋转机械参数图形边缘检测实例
5.1 实验
旋转机械故障模拟实验在600MW超临界汽轮发电机组轴系试验台上完成, 分别进行了转子正常、转子不对中和轴承松动故障的实验。试验台主要包括5个部分, 即发电机组轴系、润滑系统、动力系统、供气系统和信号采集分析系统。其中发电机组轴系由9个轴承5跨组成;润滑系统用独立的油路系统对各个轴承供油, 每个轴承座均安装BENTLY3000 XL8 mm电涡流传感器, 输出为7.87V/mm;动力装置采用55k W变频电机经过FRENIC变频器输出转速和功率, 并采用HG0G-C2型变速箱, 试验台详细结构布置如图2所示。在实验过程中, 采样时间为0.64s, 采样频率为转速的32倍, 实验时转子最高工作转速为3200r/min, 采集的信号经A/D卡传送到计算机, 为后续的数据分析做准备[7]。
实验中对转子正常、转子不对中及轴承松动故障, 每种采集40个启停机样本, 共计120个。首先将每个原始振动信号的采集样本进行处理, 生成各自的振动三维谱图, 如图3所示。
5.2 多尺度多结构元边缘检测
根据三维谱图倍频特征明显的特点, 将频率作为横轴, 转速作为纵轴, 像素点灰度值作为该转速下、该频率下幅值的大小, 将其转化为二维灰度图形, 结果如图4所示。灰度图中明显的竖线为倍频线, 与三维谱图中的倍频线相对应。
为了有效地提取旋转机械振动信号参数图形的边缘特征, 本文对图4各种状态下的参数图形进行量化、直方图均衡化等预处理, 选取结构元素B4=[1 3 1;3 5 3;1 3 1], B5=[0 1 0;1 1 1;0 10], B6=[1 0 1;0 1 0;1 0 1], 应用上述多尺度多结构元边缘检测方法对其进行边缘检测。其中多尺度滤波增强处理使用结构元素B4作为初始结构元素, 滤波尺度n取4;多结构元边缘检测算子使用结构元素B4、B5、B6进行检测, 最终的多尺度多结构元边缘检测结果如图5所示。从图5可以看出:旋转机械振动信号参数图形经多尺度多结构元边缘检测处理后, 噪点大幅降低, 环境污染噪声基本被滤除干净, 有用信息得到保持的同时信噪比大幅提高, 边缘鲜明, 轮廓清晰, 充分保持了图形的细节特征。至此已说明多尺度多结构元边缘检测方法能够有效地提取旋转机械振动信号参数图形的边缘特征, 具有较强的抗噪声干扰能力, 适合在环境比较复杂、噪声污染较为严重的情况下对旋转机械实施状态监测。
6 结论
(1) 依据数学形态学多尺度图形处理方法, 结合Top-Hat变换和Bottom-Hat变换处理方法, 选取合适的结构元素, 在对旋转机械振动信号参数图形进行有效滤波的同时, 可以保持图形的高频细节特征, 增强参数图形的有用信息, 提高参数图形的信噪比。
(2) 运用多结构元边缘检测算子检测旋转机械振动信号参数图形的边缘, 能够有效剔除多尺度滤波增强处理过程残留的噪点信息, 提取的参数图形边缘特征质量较高。
(3) 在实际应用中, 结合旋转机械振动信号参数图形及其噪声的特点, 多尺度多结构元边缘检测方法可以较好地解决边缘检测精度与抗噪声性能的协调问题, 为基于振动三维图形的旋转机械故障诊断奠定基础。
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