微积分感想

微积分感想

微积分感想 篇1

这个学期学习了微积分，了解了很多关于微积分的知识，在课堂上的学习和在课下的学习，让我更深层次的了解了他，运用了他。我发现他可以被广泛使用在经济学当中，在我们学习经济的过程中，无时无刻不需要他来帮助我们的学习。

微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。在课堂上虽然没有学习的很深奥，但是还是掌握了基本的微积分知识。

在学习的路上也不一直是一帆风顺的，也会遇到很多的困难，在课堂上有时候会听不明白老师的讲解，就需要我们在课前预习，在课堂上听明白了，在课下也要学会复习，学会积极地运用和使用它。才能让我把微积分学习得更透彻。有时候也会有自己思考很久，还是做不出来的题目，这个是个，要告诉自己不能放弃，要坚持次下去，多思考就会得出答案，有时候需要向老师提问，像同学请教，才能够解答出来，不过也不能放弃，要相信自己，坚持不懈的去学习和解答。

这个学期学期微积分使我不仅仅懂得了许多专业上的知识，让我在数学的世界里遨游，也帮助了我学习了经济专业学科的知识，更让我明白了，遇到了自己不会的题目要坚持下去，找对方法，好好使用它，就能够战胜困难，取得成功，学会运用巧妙地方法，不靠死记硬背，蛮力学习微积分，要学会用智慧去学习，灵活的学习，使用巧妙地方法解题，自己就会轻松很多，也会取得很大的成效。

在今后的学习当中，不管是基础科目，还是专业科目，都要学会坚持不懈，灵活的解决问题，不死记硬背，不放弃，不急躁，认真的对待每一科目的学习

许惠之 131010415

微积分感想 篇2

一注重各类积分知识背景的引入, 增强学生的学习兴趣

高等数学的基本特征是其研究对象的高度抽象性。这一特性也恰恰决定了它的应用非常广泛。事实上, 这些抽象的概念往往来自于社会各个领域的实践, 具有非常强的实际应用背景。因此, 多元函数积分学中每一个积分定义的引入应当让学生感受到它就在身边。比如, 借助于密度函数, 我们通过求平面薄片的质量引入二重积分, 求空间立体的质量引入三重积分, 求曲线形构件的质量引入对弧长的曲线积分, 求曲面形构件的质量引入对面积的曲面积分。变力沿曲线做功可以通过对坐标的曲线积分来计算;电场、磁场在曲面上的通量就是对坐标的曲面积分。在教学过程中, 我们应当首先把要解决的实际问题描述清楚, 然后花较多的精力和时间带领学生学习如何用“微元法”的思想求解上述问题, 引导他们去逐步掌握这一思想的本质:“分割, 近似, 求和, 取极限”。这样细致的讲解是很有必要的, 一方面, 上述这些物理背景都是具体的, 看得见摸得着, 比较浅显易懂, 能够很好地阐释各种抽象的积分概念, 让学生抓住各类积分定义的要点。另一方面, 随着课程的逐步深入, 在多元函数积分学的物理应用方面, 像转动惯量、质心和引力等物理量将会陆续出现。学生可以通过对“微元法”思想的理解, 自己独立完成相关物理量计算公式的推导。当学生亲身感受到多元函数积分学的实用性后, 学习兴趣自然就会得到提高。

二教学过程中强调类比和化归的思想方法, 讲透各类积分的共性和区别

从各种积分计算过程来看, 可以把所有的多元函数积分计算过程统一为三步: (1) 画区域; (2) 刻画; (3) 计算。具体来说, 步骤 (1) 的主要目的是通过作图来确定积分区域, 它是积分计算的出发点。这需要学生具备较好的空间解析几何知识, 特别是各种常见的二次曲面的图形以及各种曲线、曲面和空间立体在坐标平面上的投影。课程的实验教学环节和现实生活中的建筑物 (比如发电厂的冷却塔以及广州电视塔等) 能够让学生对常见二次曲面图形的印象更加深刻, 拉近与曲面图形的距离。步骤 (2) 是指学生需要准确地刻画出积分区域, 比如, 用不等式来刻画出平面有界闭区域、空间有界闭区域以及空间曲面在坐标平面上的投影区域;用参数方程来刻画出分段光滑曲线弧段等。步骤 (3) 是指合理地选择计算公式, 并准确地执行。重积分的计算更多体现在坐标系的选择和积分区域的不等式刻画, 不同坐标系下的计算公式也不尽相同, 合理地选择坐标系往往能够简化计算量;曲线积分的计算主要体现在曲线参数方程的确定, 对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分都是化为定积分, 定积分的上限和下限要分清, 前者下限一定要小于上限, 后者下限和上限分别对应积分弧段的起点和终点, 并且两种曲线积分可以相互转化。曲面积分的计算多体现在曲面方程和投影坐标平面的确定, 对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分都是化为二重积分, 都是将曲面投影得到二重积分的积分区域, 相比前者, 后者需由有向曲面的侧定出二重积分前的符号, 并且两种曲面积分也可以相互转化。

三善于归纳总结, 活用各种定理, 提高解题效率

能够熟练地进行微积分的基本运算是高等数学课程的教学目标之一。因此, 学生多做一些习题是很有必要的。但是, 初学者不能盲目地做题, 而应当花更多的时间去思考各类积分的概念和基本定理, 弄清楚解题方法的理论支撑。要善于总结和发掘解题经验, 灵活运用各类积分的相关性质和相关定理, 提高解题效率。

第一, 重积分的计算要注重坐标系的选择和积分次序的交换。二重积分计算要注意在两种坐标系下面积元素的不同形式;在直角坐标系下化二重积分为二次积分时, 积分次序决定着计算的难易程度;选择极坐标系计算二重积分的特征是:积分区域是与圆相关的平面区域。三重积分的计算要注意在三种坐标系下体积元素的不同形式;直角坐标系和柱面坐标系是计算时优先选择的对象, 计算方法主要分为两类:先一后二 (投影法) 和先二后一 (截面法) ;球坐标系的选择要慎重 (积分区域稍复杂时, 球坐标系下的不等式刻画就比较困难) , 选择球坐标系进行计算的特征是:积分区域为球面和圆锥面等所围成的立体。

第二, 定积分、重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分都可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分也可同样操作, 但情况相对比较复杂 (除了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性外, 还要考虑积分曲线弧、积分曲面的方向) 。

第三, 格林公式和高斯公式分别是计算对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的优先选择。但是, 使用上述公式时需要验证它们的条件:曲线 (曲面) 的正向和封闭性;被积函数在积分区域上是否具有一阶连续偏导数。不满足封闭性时要求辅助线 (面) 的做法力求简单有效, 便于计算。比如, 格林公式中多选择平行坐标轴的直线段, 而高斯公式中多选取平行坐标平面的平面, 同时被积函数要求在添加辅助线 (面) 后的封闭区域内具有一阶连续偏导数。

第四, 计算对坐标的曲线积分时, 当发现对坐标的曲线积分与积分路径无关的条件成立时, 就可以选择比较简单的路径替代原路径, 但需注意被积函数在新路径与原路径所围积分区域上必须具有一阶连续偏导数。计算对坐标的曲面积分时, 当发现选择高斯公式比较麻烦时, 两类曲面积分之间的转换公式经常可以拿来尝试简化计算。

第五, 多元函数的各类积分在物理上的应用都非常广泛。非均匀物体的质量、转动惯量、质心和引力等问题, 不仅利用重积分可以求解, 而且对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分也能用来计算它们, 这就要求学生在计算时一定要弄清楚非均匀物体对应的积分区域是什么样的几何形体Ω。比如, Ω是平面上的闭区域和空间上的立体闭区域就分别对应二重积分和三重积分;Ω是曲线和曲面就分别对应对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分。遇到变力沿曲线做功问题时就对应对坐标的曲线积分, 遇到流量问题时就对应对坐标的曲面积分。

摘要：多元函数积分学是高等数学的核心内容, 同时也是课堂教学中的难点, 应当注重各类积分概念的引入和理论应用的讲解, 通过对各类积分计算的对比和联系, 形成统一的知识体系。

关键词：高等数学,多元函数,微积分

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第6版·下册) [M].北京:高等教育出版社, 2007:185~229

[2]李忠、周建莹.高等数学 (第2版·下册) [M].北京:北京大学出版社, 2009:72~120

高职微积分教案 篇3

函数

引入

1．引例

例

1圆的面积与它的半径之间存在着相依关系，这种关系由公式

AR2(0R)

给定，当半径R在区间0,内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。

例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动，则该物体走过的路程S和时间t有如下关系：

S10t(0t)

对变量t和S，当t在0,内每取一定值t0，S就有唯一确定的值S010t0与之对应。

抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的相依关系，这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质。

新授：

一、函数的概念

1.函数的定义

定义

1设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x，按照法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

yf(x)这里x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则，D叫做函数的定义域。

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)。当x取遍D中的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集

Wyyf(x),xD

称为函数的值域。

定义域D与对应法则f唯一确定函数yf(x)，故定义域与对应法则叫做函数的两要素。如果函数的两个要素相同，那么它们就是相同的函数，否则，就是不同的函数。

函数yf(x)的对应法则f也可以用,h,g,F等表示，相应的函数就记作x,hx,gx,Fx。

2．函数的定义域

通常求函数的定义域应注意以下几点：（1）当函数是多项式时，定义域为,（2）分式函数的分母不能为零

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零（4）对数函数的真数必须大于零

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集。例3 判断下列函数是否是相同的函数

x

（2）yx 与 yx2 xx解（1）函数y1的定义域为(,)，而函数y的定义域为(,0)(0,)，x（1）y1 与 y故不是同一函数。

（2）两个函数的定义域与对应法则都相同，故是同一函数。例

4求下列函数的定义域(1)f(x)1

(2)f(x)x3ln(x2)25x2x(3)ylg(4x3)arcsin(2x1)解

(1)在分式12中，分母不能为零，所以5x2x0，解得25x2x222x且x0。即定义域为,∪,0∪0,。

555（2）该函数的定义域应为满足不等式组

x30 x20的x值的全体，解此不等式组，得x>2，即定义域为2,。

（3）该函数的定义域应为满足不等式组

4x30 12x11的x值的全体，解此不等式组，得3.分段函数

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域内的不同范围内，用不同的解析式表示的情况，这样的函数称为分段函数。

例5 设符号函数 33x1，即定义域为,1。441,x0sgnxf(x)0,x0

1,x0求f(2),f(0),f(4)及函数的定义域、值域（如图1-1）。

解

因为20,,00,4,0，所以，f(2)1,f(0)0,f(4)1，f(x)的定义域为,，值域为1,0,1。

分段函数在整个定义域上是一个函数而不是几个函数。分段函数的图形在每个区间段

图1-1 上与相应解析式函数的图形相同；求分段函数的数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算。

4．反函数

定义

2设函数yf(x)的定义域为D，值域为M。对于任意数值yM，在D中都有唯一确定的值x，使x(y)，则得到一个以y为自变量，x为因变量的新的函数，这个新的函数叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，其定义域为M，值域为D。由于人们习惯用x表示自变量，而用y表示因变量，因此我们将函数yf(x)的反函数xf1(y)用yf1(x)表示。yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称。如图1-2。

求反函数的过程可以分为两步：第一步从yf(x)解出xf母x和y。反函数一定要指明其定义域。

二、函数的几种特性

1．有界性

若存在正数M，使得在区间I上恒有f(x)M，则称f(x)在I上有界，否则称f(x)在I上无界。

例如，函数y2．单调性

1(y)；第二步交换字1在区间0,1内无界，但在区间1,2内有界。x若对于区间I内任意两点x1,x2，当x1x2时有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。在单调增区间内，函数图像随着自变量x的增大而上升，在单调减区间内，函数的图像随着自变量x的增大而下降。

例如，yx2在区间0,内是单调增加的，在区间,0内是单调减少的，在区间,函数yx2不是单调函数。

3．奇偶性

设I为关于原点对称的区间，若对于任意的xI，都有f(x)f(x)，则f(x)叫做偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，如图1-3；偶函数的图像关于y轴对称，如图1-4。若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么f(x)叫做非奇非偶函数。

例如，yx在区间,内是奇函数，yx1在区间,内是偶函数。34ysinxcosx在区间,是非奇非偶函数。

4．周期性

若存在不为零的数T，使得对于定义域I内的任意的xI，都有xTI，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T叫做函数的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，ysinx,ycosx都是以2为周期的周期函数。

三、基本初等函数

幂函数

yx（为常数）

指数函数

yax（a0,a1,a为常数）对数函数

ylogax（a0,a1,a为常数）

三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx，ycscx

反三角函数

yarcsix,nyarccox,syarctax,nyarcoxt

以上五类函数统称为基本初等函数，常用的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质见附表2。

四、复合函数

初等函数

在函数ysin2x中，我们不难看出，这个函数值不是直接由自变量x来确定的，而是通过2x来确定的，如果用u表示2x，那么函数ysin2x就可以表示成ysinu，而u2x，这也就说明了y与x的函数关系是通过变量u来确定的。

定义3

如果y是u的函数，而u又是x的函数，yf(u),u(x)，通过u将y表示成x的函数，那么y叫做x的复合函数，即

yf[(x)]

其中u叫做中间变量。

注意

函数(x)的值域应该取在函数yf(u)的定义域内。

例6

试求由函数yu,usinx构成的复合函数

33解

将usinx代入yu中，即为所求的复合函数ysinx

2注意

并非任意两个函数都能构成复合函数。例如yarcsinu与ux2便不能3复合成一个函数，因为u的值域为2,，不包含在yarcsinu的定义域1,1内，因而不能复合。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。例如，由函数

2y2u,usinv,vx21可以复合成函数y2sinx1，其中u和v都是中间变量。

例7

指出下列复合函数的结构：（1）y(2x1)；（2）y解（1）yu9,u2x1

（2）yu,ulogav,vcosx4

u（3）y10usinv,v9loga(cosx4)；（3）y10xsin1x；

x1 x对复合函数进行分解时，每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式；当分解到基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。

定义4

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数。例如y1x,ysinx,y等都是初等函数。初等函数是最常见的函数，它是微积分学研究的主要对象。

23loga3x小结：

1． 函数定义

2．函数性质

3．初等函数

4．复合函数

作业：P9，5 板书设计：

（一）引例

函数

（二）定义 函数定义 函数性质

（三）初等函数

初等函数 复合函数

大学微积分思想论文 篇4

[摘要]

数学是一门根底性与工具性兼具的学科，它的根底性表现在其许多思想办法可以运用到其他学科中，特别是微积分思想和矢量思想，普遍运用到大学物理的教学中。因而，大学教员应充沛加大微积分思想在教学中的使用研讨。

[关键词]

微积分思想;矢量思想;大学物理;使用研讨

作爲理工类大先生必需学习的一门课程，大学物理的根底性和理论性很强，在大学课程中的位置无足轻重。大先生学习大学物理，不只可以学习到物理学的根底知识，更可以爲今后从事更深化的学习及任务奠定良好根底，同时还能无效地锤炼迷信思想及发明性思想才能，因而，无效地进步大学物理的课堂教学效果，无论是关于先生今后的学习和开展，还是关于物理方面的研讨，都有着积极的作用。

一、微积分创造的历史

假如说我看得比他人更远一些，那是由于我站在了巨人的肩膀上。这是微积分创造者之一牛顿曾说过的话。早在三国时，我国数学家刘徽就提出了割圆术的思想:把一个圆联系的越细致，那麼损失的就越少，不断切割到不能切割爲止，那麼和圆周合体时没什麼区别了。他的意思是，我们可以用一个正多边形与圆内接，近似描绘一个圆形，虽然在多边形的边数较少的状况下这种近似的误差比拟大，但这种误差随着边数的不时添加也会逐步增加最终消逝。它在联系的进程中运用到的是根底的几何与代数，优点在于直观且抽象的表达，并且提出了一种极限思想:可以经过趋近的手腕失掉一个恣意准确度的后果。极限的概念和物理中的质点运动关联亲密。总的来说，一个微观质点在空间中的运动工夫是有延续性的，质点的地位、速度和减速度都是随着工夫不时地停止延续性的过渡，在某个时辰，这些物理量并不存在跃进变化。用极限来解释就是:一个时辰与下一相邻时辰之间的距离可以被有限小，在这个工夫距离里，这些物理质变化近似爲零。牛顿把这两个有限小量的比值与运动学的定义相结合，从而定义了有限微分这个概念的原型。后来，牛顿莱布尼兹公式又处理了求变速运动、变力做功等成绩。至此，牛顿莱布尼兹公式可以说是爲微积分奠定了实际基石，并完善了经典力学构造。

二、关于如何构建微积分思想的考虑

2.1虽然大学重生提早在中学阶段学习了物理知识，并且曾经掌握了一定的物理学根底及技艺，也培育了本人的一套学习物理学的办法。但是大学物理无论是教学还是学习都与中学物理教学和学习存在很多不同，尤其在教学与学习思想办法及原理方面，大学物理与中学物理的区别之一在于难度的改动，中学时期学习的物理量以及概念都是复杂、根底的常量，遇到的成绩也是由这些复杂常量构成的，而在大学物理中，成绩的难度进步了，由以前复杂的常量物理成绩，变爲复杂的变量物理成绩，由于先生很难在短工夫内从中学时期固定的思想形式中跳出来，所以，虽然微积分思想在大学教学中普遍使用，但他们却不能灵敏地将微积分思想运用到物理中去，很多大先生都反映，大学物理是绝对较难学好的一科，即便在课堂上听懂了原理，但实践中还是不会做题。因此教员在大学物理的教学进程中应该充沛运用微积分思想，把它融入到教学中，结合例题协助先生构建微积分思想，让他们能在实践中灵敏运用，进步他们学习的效率。

2.2微积分在大学物理中占据重要局部，并且有普遍的运用，例多么多物理概念、定律都是以微积分的方式来定义的，因而指点先生尽快纯熟地掌握微积分原理及其在物理学中的使用，并学会灵敏运用是非常必要的。也就是让先生树立微积分思想，将思想、原理和办法与物理成绩结合起来，从而处理成绩。物理学科最大的特点是由简及难，从最根本、最复杂的景象着手，微积分思想具有很强的辩证性，在使用它来处理研讨物理成绩时，普通思绪就是化大爲小，把大成绩停止分解，变成几个复杂的小成绩，依照由重及轻，一个一个处理。这种思绪的优点在于把无限变爲有限，把近似变爲准确，把复杂的`变量成绩转化爲复杂的常量成绩，这样既可以进步处理物理成绩的效率，更可以进步物理教学与学习的效果。近似处置在物理学中的意思就是抓住成绩关键，疏忽主要方面，把难变爲复杂，然后经过处理复杂的成绩进而处理难题。

2.3在大学物理中采用微积分的思想处理成绩是爲了选取微分元后，可以在微元范围内把复杂的成绩近似成根本的成绩。例如在研讨变力做功时，假如采用普通处置办法会特别费事，但是采用微积分思想，处置起来就十分容易了。关于求一质点在变力作用下从A运动到B，做曲线运动时做的功这个题，就可以采用微积分的思想，把质点的曲线运动途径，联系爲有数个微元，视变力爲恒定，联系后的曲线途径可以看作有数个短直线，这样，将变力曲线做功成绩，转化成了复杂的直线恒力做功成绩，最初对这些直线途径做功求和，就失掉了变力曲线做的功。

三、关于如何构建矢量思想的考虑

3.1在物理学科中，矢量运算规律及矢量方程的运用相当普遍。现如今的大学重生在学习大学物理时经常不能正确的表示矢量，这是由于中学时期，教师对先生的要求并不严厉，这就招致了他们跳不出中学时的物理思想形式，他们对标量、矢量和矢量方程的了解不到位，还没无形成矢量思想。因而，他们到了大学之后，在学习大学物理时依然不能正确的书写矢量，至于对它的了解就只停留在复杂的字面意思了，所以，在大学物理教学中除了要引导先生构建微积分思想，还要引导他们构建矢量思想。

3.2在高中人教版课本中，标量只要大小，没无方向;矢量既有大小，又无方向。因而，有的先生就构成无方向的是矢量，没方向的是标量的惯性思想，这种惯性思想需求教师在教学中引导先生停止纠正。但由于中学时的惯性思想，很多先生对遵照四边形分解规律的物理量是矢量，否则是标量这个定义并不深入，因而在素日里做题会发生许多错误，例如电流及电动势等物理量，其既有大小，也无方向，但并不是矢量。矢量的定义中，要求矢量必需契合平行四边形分解规律。所以我们在处理物理成绩时，假如运用矢量思想办法处理，通常要将矢量转变爲标量来停止计算，同时把矢量向某一方向或许坐标系停止投影，因此首先要树立一个正确的坐标系。

3.3如在处理斜面运动成绩时，我们可以首先树立坐标体系，选择沿斜面方向和垂直斜面的两个方向停止构建，将复杂的矢量转变爲复杂的标量，这样可以很好地表现矢量办法的高效性。又如，在研讨曲线运动中，自然坐标系往往不易处理成绩，大学物理中的矢量和微元通常是互相关联的，关于矢量微积分的求解，首先应该将矢量转变爲标量，把矢量向某一方向投影，采用矢量点积的办法或许叉积转化爲标量停止运算，或许间接使用直角坐标系的正交分解办法，停止点积或许叉积后再停止积分运算。只要深入的了解矢量微积分，才干正确地运用，因而，教员在教学中应该精选例题，争取早日指点先生构建矢量思想、树立模型，学会运用物理办法和思想剖析和求解实践成绩。

四、结论

微积分思想和矢量思想在大学物理的教学和学习中，不只作爲一种教学工具，更是一种思想办法的使用。因而，在大学物理的教学中，教员应经过解说详细的实例，来引导和协助先生将微积分和矢量的思想与物理成绩相结合，让他们学会构建模型，纯熟地运用微积分和矢量办法剖析处理物理成绩。这样做既能进步教学效率，又能培育先生的迷信思想办法。而先生只要将微积分与详细物理成绩相结合，掌握微积分以及矢量的剖析办法和技巧，无机结合其他的物文科学办法，才干完成将微积分和矢量法从运算工具转变爲思想办法的综合运用，进而纯熟地处理一些复杂的物理变量成绩，如今的大先生需求做的是了解大学物理和中学物理的区别和联络，培育本人学习大学物理的兴味，进步本人剖析成绩和处理成绩的才能，爲未来从事工程技术和迷信研讨奠定扎实的物理根底。

参考文献:

[1]朱其明，李耀俊.大学物理微积分思想与矢量思想教学浅谈[J].中国西部科技，(17):82-83.

[2]黎定国，邓玲娜，刘义保，等.大学物理中微积分思想和办法教学浅谈[J].大学物理，(12):51-54.

[3]王晓明.关于大学物理中微积分思想与矢量思想教学的考虑[J].中国校外教育，(5):126.

微积分学习体会（共） 篇5

学号11120472 姓名 吴心怡 班级 七班 学号11120471 姓名 吴亚男 班级 七班 时间，如同轨道上疾驰的列车，匆匆行驶，不留一点痕迹的我们的寒假就这样over掉了了。恍惚之间，我们就要开始正式上课了。我们依稀还记得，放假前，老师们说让好好复习，来学校不久便是冬季学期的期末考试了，可是，嘿嘿~~自己却不得不承认有很大一部分的时间是被荒废了的。但早早来学校，我们好好静下心来思考了一下学习的经验和方法。突然有了要好好学习的冲动，可能以前真的是我们对学习不够上心的缘故吧。

对于学习方面，以前我总觉得数学一直处于主心骨的位置，它是我从小的梦想、我的骄傲。可是自从大学以来的第一个学期，微积分却着实让我们倍受打击。成绩的不再拔尖，沉痛的打击了我的自信心。但是，通过和老师交流，与同学讨论，让我明白强中自有强中手，而自己，并不是笨，只是有些方面自己做的不够，只要深切去思考自己的学习方法，自己依旧有很大的进步空间。首先我们觉得大学里的学习课后巩固很重要，光靠一周两次大课的学习，远远不够。并且，课上老师可能会因为进度问题而降得很快，很多时候我们会跟不上老师的速度，这时，如果课后不再看老师局的例题，课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。

然而课后的巩固应该从两方面着手，一方面是教学大纲上要求必须掌握的内容，这些是考试必考内容，或许看似很简单的内容，确实解题目的最基本的基础。秋季学期的期末考正是由于自己对基本知识忽略，在一些很简单的题目丢了分，惨痛的教训给了哦我们深刻的教训，夯实基础知识，才能维纳最重要的考试打下良好的基础。

另一方面。是自己认为在内容掌握上的盲点和误区，这些事最容易忘记的，也是应用熟练程度最差的。而考试不会因为这是自己认为的难点就会不考，所以认真钻研这些题目便可为自己在分数上的突破起决定性作用。同时，复习一定要有耐心，要持之以恒。学习上最大的忌讳便是三天打鱼两天晒网，这样的学习不会有任何收获。知识既然学习了，我们就要好好消化，不 能让它成为大脑中的脂肪。周期性的复习才不会使大脑一片空白，一周一次或两周一次，可以根据自己的记忆力而定，以适合自己的为基准便可以。复习的时候，第一，便是要克服浮躁的毛病，静心看课本。考试题目几乎都是从课本知识中发散来的，所以，复习中必须要看课本，反复看，细节很重要，特别是不被重视的基本概念和定理。力争课后复习参考题每题都过关。第二，是要制定好复习计划，针对自身情况分配好时间，各个击破。第三，要理清知识结构网络图，从上学期到现在，我们已经学了：极限、连续不连续、导数、定积分、不定积分等知识内容，然后根据知识结构网络图区发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把我书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握。对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能做到回答问题的严密性。第四，将课上老师所讲授的典型例题及做题过程中遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学中，我们很容易遇到同一个问题有不同方法的解决方法。第五，最好多看看往年真题，针对出现频率较高的题型，适当做些有针对性的模拟试题。对于自己认为薄弱的环节更要加强钻研，与同学和老师多交流，更要勇于舍弃那些偏题、怪题。

当然，讲这么多，并不是要我们去死学，数学不是死学就可以学好的，即使短时间内有了成效，那也是持久不了的。所以，我们要灵活学习，多思考。看数学书要有侧重点，数学分析中的定理，有的要着重看他的证明方法，我们或许可以借鉴；有的着重看定理的内容，或许可以继续推广；有的可以当了解内容，或许此可以为以后的解题做铺垫呢。要学好数学，有天赋是一方面，自己的不断努力，和多年积累下来的做题经验和逻辑性思维也很重要。努力吧，成功是属于不断奋斗的人哦~~~~ 可是，还要提醒大家一点哦，复习的过程之中，劳逸结合也很重要哦。我们应该注意调整我们的状态。一般来说，我们的大脑集中于一门学科的时间不很长，时间久了，思维可能就会停滞了，大脑也不会工作，这样的时候强逼着自己学习，是没有任何效果的。所以我们可以采用这样的一个办法，将各科学习交叉进行，合理安排好时间这样既能保证其他功课的学习，有提高了学习效率。而且，我们还要注意休息，适当放松，也是很必要的，看书之余听听音乐，出去散散步，就是很不错的想法。让大脑呼吸新鲜空气，时刻处于活跃状态，我们的学习效率将会大大的提高，做事也就事半功倍了。以上便是我们对微积分学习的认识，一己之谈难登大雅之堂，可是却是我们辛苦讨论的结果。我们以自身的经验教训为基准，表达了我们自己的想法。或许，有些是很难做到的，但是，我们既然把它写出来了，这便是我们以后学习的激励石，我们心中的灯塔，无论如何，我们都会以身作则，好好学习。以更大的进步来表达我们的决心，同学们和老师们便是最好的监督者。

。篇二：学习微积分的感想

学习微积分的感想

这个学期学习了微积分，了解了很多关于微积分的知识，在课堂上的学习和在课下的学习，让我更深层次的了解了他，运用了他。我发现他可以被广泛使用在经济学当中，在我们学习经济的过程中，无时无刻不需要他来帮助我们的学习。

微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。在课堂上虽然没有学习的很深奥，但是还是掌握了基本的微积分知识。在学习的路上也不一直是一帆风顺的，也会遇到很多的困难，在课堂上有时候会听不明白老师的讲解，就需要我们在课前预习，在课堂上听明白了，在课下也要学会复习，学会积极地运用和使用它。才能让我把微积分学习得更透彻。有时候也会有自己思考很久，还是做不出来的题目，这个是个，要告诉自己不能放弃，要坚持次下去，多思考就会得出答案，有时候需要向老师提问，像同学请教，才能够解答出来，不过也不能放弃，要相信自己，坚持不懈的去学习和解答。这个学期学期微积分使我不仅仅懂得了许多专业上的知识，让我在数学的世界里遨游，也帮助了我学习了经济专业学科的知识，更让

我明白了，遇到了自己不会的题目要坚持下去，找对方法，好好使用它，就能够战胜困难，取得成功，学会运用巧妙地方法，不靠死记硬背，蛮力学习微积分，要学会用智慧去学习，灵活的学习，使用巧妙地方法解题，自己就会轻松很多，也会取得很大的成效。

在今后的学习当中，不管是基础科目，还是专业科目，都要学会坚持不懈，灵活的解决问题，不死记硬背，不放弃，不急躁，认真的对待每一科目的学习

许惠之 131010415 13级金融四班篇三：微积分复习心得

微积分复习心得

时间过的飞快，转眼期末考试就要来临了，对于很多大一同学比较头疼高等数学科目尤其微积分这门课应该怎样复习才能取得较好的成绩呢？

首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：

第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。

第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。

第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。

第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。

第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。

其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：

函数、极限与连续(一)基本概念

1．函数：常量与变量，函数的定义 2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系 5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限 6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求

1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。4.了解复合函数、初等函数的概念。5.会列简单应用问题的函数关系式。6.了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。8.掌握极限的四则运算法则.9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。10.了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。11.了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。12.记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

一元函数微分学(一)基本概念 1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性 3．中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述 4．导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值

及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用

重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题

难点：导数的应用(二)基本要求 1.理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。

2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。3.熟练掌握复合函数的求导法则。4.掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。

5.知道一阶微分形式的不变性。6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式

８.掌握洛比达法则求极限问题 9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念篇四：微积分教学中的几点体会 微积分教学中的几点体会

基础部

摘要：怎样使课堂教学取得良好的效果，如何启发学生提出问题，如何鼓励学生学好微积分等问题，有待于我们进一步探讨。

关键词：微积分教学；严谨的学科；理论；实践；作业；考试

唐朝韩愈说：“师者，传道授业解惑也”。这句话很贴切地说出了为师者的基本职责。但是，要想真正做到这一点，不仅要求教师有良好的教学态度、较丰富的知识，还要力求不断改进教学方法。现仅就微积分教学谈谈自己的几点体会。在大专班的数学课中，微积分是一门很重要的理论基础课。作为教师，备课不仅仅是写讲稿，而且要熟悉教学大纲，熟悉整个课程的内容，每学期前要自己亲自动手写教

学计划，在时间安排上要留有余地，以便期末有较多的时间复习。

不论教过多少遍微积分的人，在课前都要写讲稿，不要在上课的头一天晚上才写讲稿，应该早写，并且每次最好写一个单元的讲稿，课前再对讲稿进行必要的修改。数学是一门严谨的学科，但是人对数学内容的认识及数学本身的发展，都有一个由浅入深，由表及里，去粗取精，去伪存真的过程。微积分是大专生首先接触的基础课，在讲稿中一方面要正确地，系统地阐述微积分中的定义、定理，表现出数学的严谨性；另一方面也要考虑学生的实际情况（近几年我校招收的大专生基础就较差），不必过分要求逻辑上的严密性。在实际教学中，有些理论性太强的概念尽量用形象的概念来代

替，有些定理的证明可以不讲，只要讲清正

确的用法即可。

理论来自实践，又反过来为实践服务，数学是理论性强的学科，与实际有着广泛的联系。在讲理论时，一定要先讲它的实际背

景，从实践引出理论。但同时也要讲清楚，理论与实际存在着差别。例如函数的概念来自实际，它概括了大量的实际现象，但并不是数学中的每一个函数都有实际意义的。做作业及做大量的计算题，仍然是微积分教学中的一个重要环节。在这方面对学生要严格要求。首先，要求学生对基本运算。如求导、求不定积分要熟。导数计算不熟，不可能学好不定积分。不定积分不熟，在学

重积分与微分方程时就会发生困难。有的学生作计算题不愿求出最后结果，不愿对求得的答案作必要的整理，这是不能允许的。例如：求y?=(tanx?x)?只做到 y?=(tanx?x)?=sec2x—1不行，而应该

是y?=(tanx?x)?=sec2 x—1= tanx 教师应及时批改作业。如果学生数较

多，不能全看，也要看一部分，并且在一定时期内，每个学生的作业都要看到。看作业时，要注意发现教学中存在的问题而设法改正。在教学过程中，除了按照已规定好的要求（如教学大纲的要求），对教材内容作必要的删节外，讲课内容不宜离教材太远。但也不能照本宣科，而应该就所讲的内容，尽量与以前所讲的内容相联系，讲清它的基本limsinx?方法及其作用。例如：在讲求 x?0x1.时，先讲求y=sinx在x=0处的斜率，就是

求 lim sinx 然后点一下它在三角函x?0 x数的研究中起重要作用及角的单位是弧度 ?时才有这个结果。讲(sinx)?cosx时重提?这个公式，指出它在推导(sinx)?cosx中的作用。进一步讲三角函数与反三角函数的求导公式的推导都直接或间接的与 lim x?0 sinx 有关，而且在使用三角函数的导数或x 不定积分公式时，必须记住角的单位是弧度。

考试是教学的一个重要环节。考试的目的不仅仅是给学生一个分数，更重要的是要通过考试前的复习与考试。加深对内容的理解与巩固。复习、命题、判卷应由授课教师独立完成，当然要接受一定的监督与检查。试卷评完后最好找机会给学生讲一下试题的正确答案及阅卷时发现的问题，找出错误所以，使学生以后不再犯类似的错误。

教育家加里宁曾说：“教育不仅是科学事业，而且是艺术事业。”怎样使课堂教学取得良好的效果，如何启发学生提出问题，如何鼓励学生学好微积分等问题，有待于我们进一步探讨。

微积分基本定理新证 篇6

所以说, 无论是从数学思想性还是从数学实用性的角度来看, 微积分基本定理均可谓意义巨大、影响深远。

笔者将结合自身的教学实践系统地给出微积分基本定理的直观证明, 以便读者对该定理的理解更为清晰、透彻。

引理1若函数f4x4的导函数f′4x4≡0, x∈[a, b], 则必存在常数C, 使得fx4 4≡C, x∈[a, b]。

因为x1, x2是[a, b]上的任意两点, 所以上面的等式表明:

f4x4在[a, b]上函数值总是相等的, 也即是说, f4x4是闭区间[a, b]上的常值函数。

引理2若函数Fx4 4与Gx4 4均为函数fx4 4在闭区间[a, b]上的原函数, 则必存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]。

证明∵F′x4=4fx4 4, G′x4=4fx4 4, x∈[a, b]

从而由引理1可知, 存在常数C,

使得Fx4-4Gx4 4≡C, x∈[a, b]。

引理3若函数f4x4在闭区间[a, b]上存在原函数, 则函数f4x4的所有原函数在闭区间上的增量均相等。

证明:只需证明函数f4x4的任意两个原函数在闭区间[a, b]上的增量相等即可。

设函数F4x4与G4x4为函数在闭区间上的任意两个原函数, 即有:

由引理2可知, 存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]

由于f4x4在[a, b]上有界, 可设f4t4≤M, t∈[a, b]。

于是, 当△x>0时,

故Φ4x4在点x连续, 再由x的任意性, 可知Φ4x4在[a, b]上处处连续。

证明:对[a, b]上任一确定的x, 当△x≠0且x+△x∈[a, b]时, 由积分中值定理可知:

由于f4x4在点x连续, 故有:

注:本定理沟通了导数和定积分这两个从表面来看似乎不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论, 并以积分形式给出了连续函数f4x4的一个原函数。

注:积分上限函数Φ4x4与已知的F4x4作为闭区间[a, b]上连续函数f4x4的两个原函数, 那么它们在闭区间[a, b]上的增量就必然相等, 等式结论即为微积分基本公式, 也称牛顿—莱布尼兹公式。该思想简单而且直接, 从而简化了微积分基本定理的证法。微积分基本定理作为微积分中最重要的一个定理, 其特殊地位和实用价值不言而喻, 它使得一项比较繁琐的求定积分的问题 (按定义的话) 变得简洁, 尤为重要的是, 它清晰地构建了看似无关的积分与微分的密切关系, 从而使得二者统一为一个体系———微积分学。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学.上册 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

微积分B复习提纲（模版） 篇7

一、了解什么是基本初等函数？什么是初等函数？掌握初等函数求定义域及函数值、函数复合、函数表达式等；

二、了解极限的概念，掌握极限的求解方法；

1． 代入法例

2． 倒数法例

3． 约去零因式法

4． 无穷小量分出法

5． 重要极限法

6． 洛必达法则

三、理解等价无穷小量的概念，判定两个无穷小量是否为等价无穷小量；

四、掌握函数连续的概念，会判定分段函数在分段点的连续性；掌握在闭区间上连续函数的性质，会用零点存在定理证明方程根的存在；

五、理解导数的概念和几何意义，会求曲线的切线方程；牢记导数的基本公式，掌握各种求导数的法则和方法；

1．导数的四则运算、复合运算法则；

2．隐函数求导

3．对数求导法

xf(t)4．参数方程求导  yg(t)

5．含一般函数符号的函数求导

6．高阶导数

六、理解微分的概念，掌握微分的计算方法；

七、掌握分段函数极限、连续、导数的讨论方法

八、掌握三个微分中值定理，会判定函数在相应区间是否满足定理条件；会用中值定理证明等式、不等式

九、掌握利用导数判定函数单调性、求极值、判定曲线凹向、求拐点的方法，会求曲线的水平、垂直渐近线

十、理解原函数、不定积分、定积分的概念，牢记不定积分的基本公式，掌握求积分的各种方法；

1．直接积分法(分段函数求定积分)

2．换元积分法(第一类、第二类)

3．分部积分法

4．对称区间定积分的性质

5．积分上限函数

6．广义积分

十一、实际应用问题掌握成本函数、收益函数、利润函数概念及其关系，会求相应的最值

讨说书——对“微积分”之批判 篇8

“微积分”评比奖励比赛实行后，学生我极不赞成。虽然老师的初衷——让学生多做好事，助人为乐。是很好的想法。但是“微积分”的做法却是错误地令学生的虚荣心膨胀。这“助人为乐”，原指帮助他人，自己发自内心地快乐。若说目的，那即是：自己因做了件好事而“积善”了。但现在却是指：我帮助别人，我有证人证明我做好事而能积分，所以才感到快乐。其目的为：“积分”。两者的不同在于一是“真心”二是“有意”。“真”意为真正的。而“意”则意为“意图”。这样说来，这种比赛不是在爱人，而是在害人！

现在给了同学一个潜意识（犹如潜规则一样的意识），就是有偿必助，无偿就懒得理睬你。这“微积分”的实行倒是激发了学生潜在的“势利眼”。就这个星期，已经发生了几件令我极不顺眼的事情：①一个同学不想搞卫生（出于有事），其余的几个同学争着要帮他，但查问这种情况是不加分后，那几个同学就不管他了。②有个同学把门口的牛奶盒捡起后，又扔回原地。我看到后，把垃圾捡起扔了。随后我问他为何捡了又扔回原地的原因时，他阴阴笑着对我说：“没人证明我，加不了分。”③一些女同学争着帮老师改试卷，我好奇的问她们为何那么积极；她们说：“有得加分呀！”无疑引起我反感。

您说，这行善助人之事本该是义不容辞，看到了就发自内心而主动去帮的事情，本不讲什么目的，什么意图的，是不求回报的事。现在倒好，正在慢慢形成一种有偿才助的风气，还不是因为“微积分”这极不合理的的评比而激发的吗？把“做好事不留名”“做好事不求偿”的这些中华美好品德都改了性质，这“微积分“就是一个错误地决定。

再者，实行“微积分“，还要规定做哪些好事才能加分。这是什么规定？难道说其他的好事就不是好事？其他的好事就不用做了吗？像帮别人搬东西，教别人好的学习方法云云，都不算好事？所以说这又是一个错误地决定。

同学帮同学打水，打饭，处于交情，而现在是处于加分，同学把校园的垃圾捡起，是出于保持校园干净，现在却为了加分；同学帮助老师改卷，是为了让老师少做点事，让同学早知成绩，现在却出于加分。而原本不爱做好事的照旧不做，原本好助人的学生要么从“真心变成“意图”，要么就做了好事不留名。我每听到有人在公布谁谁因什么谁谁证明而加分时，耳朵就特疼，大概是听不惯吧！

曾国藩推崇之书《了凡四训》中云：“扩充德性，力行善事，多积阴德，次自己所作之福也，安得而不受享乎。”此中“力行善事”，即只有从心里面存善，从观念上从善，从行动上行善，才是断恶修善。“多积阴德”，“阴德”是自己多做好事，不要让人知道，这叫阴德。做了一点好事，就到处宣扬，受人赞叹，在别人夸奖你的同时，你就已经拿到了自己做好事的回报，人家夸你了嘛，这样一面做，一面就都回报了，德是积累不起来的。所以，善一定要累积，就是藏起来不让人知道，这才是真正的好事。若老师不懂此理，妄自促使学生多做好事，“微积分”把人行善的心理与观念都往坏的方面改了，真是怠人无数！！

不仅是我反对，还有许多同学都反对。

趁此观念未完全进入学生脑里时，我在此斗胆恳请老师们及早把这无理的害人的评比要么废，要么避我所述之弊端来改才是啊！

学生文笔不佳，承蒙朋友推介，多有得罪之处，望谅解。但请老师读此书后，即刻答复学生，且尽早定夺，好让学生心安。

书信人：霍英桥