复数知识点

复数知识点（精选9篇）

复数知识点 篇1

复数知 识 点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.复数是实数的充要条件：

① z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）；②z∈Rz=z；③Z∈RZZ2。

复数是纯虚数的充要条件：

① z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是纯虚数或0Z+z=0； ③z是纯虚数 z2＜0。

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.2⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，则z1z2(ac)(bd)i；

z1z2(acbd)(adbc)i；z1acbdbcad22i。22z2cdcd

加法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，以OZ1，OZ2为边的平行四边形的对角线OZ就与z1+z2对应。

减法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，则图中向量Z1Z2所对应的复数就是z2-z1。｜z1-z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。

3.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.4.共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则z=a-bi，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身

性质22zz、z1z2z1z2、zz2a，zz2bi（za + bi）、zz|z||z|

nnz1z2z1z2、z1z2z1z2、z1z1（z20）、z(z)z2z

2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

nzzz...z(nN)②对任何z，z1,z2C及m,nN有 5.⑴①复数的乘方：z

n

mnmnmnmnnnn③zzz,(z)z,(z1z2)z1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i1,i1若由i2421142(i)121就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不

能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i1,i24n1i,i4n21,i4n3i,i4n1ii

i，2nn1in2in320,(nZ)(1i)2i,1i1ii,i 1i1i若是1的立方虚数根，即

21nn则3  1 ,  2, 1  n  2(., ,1 0  0nZ)

6.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件： 12

①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.7.复数集中解一元二次方程：

2在复数集内解关于x的一元二次方程axbxc0(a0)时，应注意下述问题：

①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

b|i

2abb；若=0，则有二相等实数根x1,2；2a2a若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.【典型例题】

2m23m2例

1、当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i； 2m2

5（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

m23m100（1）z为实数，则虚部m+3m－10=0，即，2m250

2解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

m23m100（2）z为虚数，则虚部m+3m－10≠0，即，2m2502

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．

2m23m20（3）m23m100，2m250

11解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数． 22

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注意分母不为零这一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，m210|m|102,解得m0或m3,m3.∴m3m0

2m3或m1m4m30

当m＝3时，原不等式成立．

注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2xyilog2x8(1log2y)i，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

2xy80xy3∵ 2ilog2x8(1log2y)i，∴，∴，logx1logyxy22

2x2x1解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y1y2xy

注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。

例

3、若复数z满足z=1ti（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1ti

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

1ti(1ti)21t22t设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==i，221ti(1ti)(1ti)1t1t

1t

2x21t∴ ，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

y2t

1t2

∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．

诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

2、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(1)

3、2i

(1i)612i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知下列命题：

（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；

（2）任何两个复数不能比较大小；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）若 t＋si=3－4i，则 t=

3、s=－4．

其中真命题为．

8、若复数z满足z+12||=－1＋2i，则z.9、设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为.三、解答题（本大题共4题，共50分）

10、设z

z1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

11、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．）

试题答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

zzzz0, 是纯虚数，∴()0，即z11z1z1z

12zz∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），0，∴(1)(z1)∵

设z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即为复数z对应的点的轨迹方程． 2

4诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。

11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．

设 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是纯虚数，x4x43x4y0或∴ ，联立三个关系式解得，y3y34x3y0

复数知识点 篇2

级上册英语

可数名词变复数时，有规则变化和不规则变化两种。

1、规则变化：

(1)一般情况直接在词尾加-s，如：cake-cakes, bag-bags, day-days, face-faces, orange-oranges等;(2)以s, x, sh, ch结尾的词，要在词尾加-es，如：bus-buses, watch-watches, box-boxes等;(3)以辅音字母加y结尾的词，变y为i再加-es，如：baby-babies, country-countries, family-families等;(4)部分以f(e)结尾的词，变f(e)为ves，如：knife-knives, half-halves等;(5)以o结尾的词，加-s 或-es，如：zoo-zoos, photo-photos, tomato-tomatoes, potato-potatoes等。记忆口诀：除了英雄hero外，凡是能吃的，加-es，不能吃的加-s。

2、不规则变化：

(1)改变单数名词中的元音字母：man-men, woman-women, foot-feet, tooth-teeth等;(2)单、复同形：sheep-sheep, Chinese-Chinese, Japanese-Japanese等;(3)其他形式：mouse-mice, child-children等。

主谓一致和复数名词时谓语单复数 篇3

＊不定代词／疑问代词(something/anything/anywhere/somewhere/where/when)＋单数

语法一致原则：句子谓语动词的数取决于该句子主语的数。

1。“the＋姓氏名词的复数形式”(---的成员)＋复数

2。all/some/half/enough/two thirds ＋名词（单／复数）＋单／复数

3.复数形式的名词：clothes/trousers/shorts(短裤）/glasses/scissors/gloves/chopsticks等＋复数

＊

计量单位（pair)＋ 复数形式的名词＋谓语取决于 计量单位

意义一致原则：谓语动词的单、复数形式，取决于主语所表达的概念。

1.集体名词：people/public(公共)/police/crew(船员）＋复数

2。复数形式，单数意义。（news/physics/maths/politics)

3.集合名词：class/family/team/Chinese/Japanese强调总体－－单数；强调个体－－复数。The class has 45 students.The class are planting trees on the hill.4.时间、距离、价格、重量的复数名词／算式＋单数

Ten days is a long time.5.the +形容词“表一类人”＋复数;

The rich have much money.6.and/both---and + 复数

7。one of/each of/none of/either of/neither of ＋名词＋单数

8.a number(许多)+n +复数；the number(---的数量)+n +单数

9。名词＋and＋名词“表同一人／物用单数”“表不同人／物用复数”

The writer and the speaker are from the USA.The writer and speaker is from the USA.就近一致原则：谓语动词的数要与它紧邻的名词／代词的数保持一致。

1.or/not---but/either---or---/neither---nor---/not only---but also---＋就近原则

2.There be＋并列主语

（一）主谓一致的种类

1．语法形式上的一致

主语为单数形式，谓语动词用单数形式；主语为复数形式，谓语动词也用复数形式。如：

The number of the students present is 200.Jane and Mary look alike.2．意义上一致

1）主语形式虽为单数，但意义为复数，谓语动词用复数。如：The crowd were shouting.单数形式代表复数内容的词有：people, police, cattle等。

2）主语形式为复数，而意义上却是单数，谓语动词用单数。如：The news was so surprising.形复意单的单词有news和一些以ics结尾的学科名称，如physics，politics, economics等。

3．就近原则

即谓语动词的单、复数形式取决于最靠近它的词语。如用连词or，either…or, neither…not, not only…but also等连接的并列主语，如果一个是单数，一个是复数，谓语动词与靠近它的主语一致。如：

Either your students or Mr.Wang knows this.（二）主谓一致的应用

1．名词作主语

1）某些集体名词，如family, team等作主语时，如果作为一个整体看待，谓语动词用单数形式，如果就其中一个个成员而言，谓语动词用复数形式。如：

His family is a happy one.The whole family are watching TV.这类名词有：audience，class，club，company，crew，enemy，crowd，government，group，party，public，team等。

名词population一词的使用情况类似。“a group(crowd)of +复数名词”等短语之后的谓语动词也同样可用单数或复数，前者强调整体，后者强调各个部分。

2）某些集体名词，如people, police, cattle等，只当复数看待，谓语动词必须用复数。如：

The police are searching for the thief.3）单、复数同形的名词主语时，谓语动词应根据意义决定单、复数。如：

A sheep is over there.Some sheep are over there.4）名词所有格之后的名词被省略，这种情况一般只指商店、工厂、住宅等，作主语时，动词一般用单数。如：

The doctor’s is across the street.My uncle’s is not far from here.常见的省略名词有：the baker’s, the barber’s, the carpenter’s, the Zhang’s等。

表示店铺的名词，一般作集体名词看待，但用作主语时，谓语动词往往用复数。如：

Richardson’s have a lot of goods to sell.5）当名词词组中心词为表示度量、距离、金额、时间、书名等复数名词时，往往可以根据意义一致的原则，把这些复数名词看作一个整体，谓语用单数形式。如：

Three years has passed since then.6）不定代词each, every, no所修饰的名词即使以and或逗号连接成多主语时，谓语动词仍用单数形式。如：

Each boy and each girl wants to go to the cinema.7）如果主语有more than one…或many a…构成，尽管从意义上看是复数内容，但它的谓语动词仍用单数形式。如：

More than one student has read the book.Many a girl has been there.但是，“more +复数名词+than one”结构之后，谓语动词一般多用复数形式。如：

More members than one are against your plan.8）一些有两个部分构成的名词表示衣物或工具作主语时，谓语动词通常用复数形式，例如：glasses, clothes, trousers, shoes, compasses, chopsticks, scissors等。但如果主语用“a kind of, a pair of , a series of等加名词”构成时，谓语动词一般用单数形式。如：

A pair of shoes was on the desk.9）this kind of book =a book of this kind（这种书），其谓语动词用单数；短语this kind of men =men of this kind =these kind of men(口语)（这一类人），但this kind of men的谓语动词用单数，men of this kind和these kind of men的谓语动词用复数，all kinds of后跟复数名词，谓语动词用复数形式。如：

This kind of men is dangerous.Men of this kind are dangerous.10）复数形式的单、复数同形名词作主语时，按意义一致原则，作用单数意义时，谓语用单数，反之，谓语用复数。这类名词有：means（方法），works（工厂），species（种类），Chinese，Japanese等。如：

The(This)glass works was set up in 1980.(这家玻璃厂建于1980年。)

The（These）glass works are near the railway station.（这些玻璃厂在火车站附近。）

当它们前面有a, such a , this, that修饰时，谓语用单数；有all, such, these, those修饰时，谓语用复数，但means, no means, the means等词前没有以上修饰词时，可用作单数，也可用作复数。

11）如果名词词组中心词是all，most, half, rest等词语，所指的复数意义，谓语动词用复数形式；反之，用单数。如：

All of my classmates like music.All of the water is gone.12)在主谓倒装的句子中，谓语动词的数应与其后的主语一致。如：

Between the two windows hangs a picture.2．由连接词连接的名词作主语

1）

用and或both…and连接并列主语，谓语动词通常用复数形式。如：

Plastics and rubber never rot.Walking and riding are good exercises.但是，并列主语如果指的是同一个人、同一事物或同一概念时，谓语动词用单数形式，这时and后面的名词没有冠词。如： Truth and honesty is the best policy.The girl’s teacher and friend is a young doctor.To love and to be loved is great happiness.Going to bed early and getting up early is a good habit.A knife and fork is on the table.2）当主语后面跟有as well as, as much as, no less than, along with, with, like, rather than, together with, but, except, besides, including, in addition to等引导的词组时，其谓语动词的单、复数而定。如：

The teacher as well as the students was reading in the library.3）以or, either…or, neither…nor, not only…but also等连接的名词（代词）作主语时，谓语动词的单复数应根据就近一致的原则。如：

Tom or his brothers are waiting in the room.Either you or he is to go.3．代词作主语

1）名词性物主代词作主语时，既可以用作单数，也可以用作复数，这取决于它所代替的是单数还是复数。如：

Ours(Our Party)is a great party.Your shoes are black, and mine(=my shoes)are brown.2）such, the same起指示代词作用时，应根据其所指的内容来决定单、复数。如：

Such is our plan.Such are his words.3）关系代词who, that, which等在定语从句中作主语时，其谓语动词的数应与句中先行词的数一致。如：

Those who want to go please put up your hands.Some of the energy that is used by man comes from the sun.4）疑问代词who, what, which作主语时，谓语动词可根据说话人所要表达的意思决定单、复数。如：

Who lives next door ? It is Xiao Liu.Who live next door ? It is Zhang and Liu.What produce(s)heat ?

5）不定代词any, either, neither, none, all some, more等作主语时，有以下两种情况：

单独作主语时，视其在文中的意义，动词用单数或复数形式，例如：

Now all has been changed.All are present.either, neither单独作主语时，谓语通常用单数。

但后接of时，若of的宾语为不可数名词，动词当然用单数形式，若of的宾语为复数名词或代词时，动词可以是单数，也可以是复数，在正式文体中，单数形式的动词更常用。如：

Do(es)any of you know his address ?

None of them has(have)seen the film.4．分数、量词作主语

1）“分数或百分数+名词”构成的短语以及由“a lot of, lots of plenty of, a large quantity of, a heap of, heaps of, half of +名词”构成的短语作主语时，其谓语动词要与短语中of后面的名词的数保持一致，这是因为短语中后面的名词是中心词，而短语中前面的量词是修饰语，例如：

Lots of damage was caused by fire.About three-fourths of the earth’s surface is covered with water.Three-fifths of the workers here are women.和这种情况类似的还有“a number of+名词复数”，但是，“the number of +名词”的中心词却是number, 试比较：

A number of students have gone home.The number of pages in this book is two hundred.注意：(large)quantities of修饰可数或不可数名词，其短语作主语时，谓语动词一般用复数，例如：

Quantities of food(nuts)were on the table.短语in quantity, in large quantities意为“大量”；in small quantities意为“少量”。

2）a great deal of , a large amount of修饰不可数名词，其短语作主语时，谓语动词通常用单数；large amounts of修饰不可数名词，其短语作主语时，谓语动词通常用复数，例如：

A large amount of(A great deal of)damage was done in a very short time.Large amounts of money were spent on the bridge.3）表示数量的one and a half后，名词要用复数形式，但是其短语作主语时，谓语动词用单数形式，例如：

One and a half bananas is left on the table.4）half of,(a)part of修饰可数名词单数及不可数名词时，谓语动词用单数，修饰可数名词复数时，谓语动词用复数。

5．名词化的形容词作主语

如果主语由“the+形容词（或过去分词）”结构担任时，谓语通常用复数，这类词有：the brave, the poor, the rich, the blind, the young, the old, the sick, the dead, the deaf and dumb, the oppressed, the injured, the wounded, the unemployed等；但也有少数的过去分词与定冠词连用时指个别，则用单数。如：

The blind study in special schools.The departed was a well-known engineer.这类形容词或分词如果要表示个体时，就要与名词man, person或表示人的单数连和，如：an old man, a rich person, the(a)wounded soldier

6．从句作主语

1）由what引导的主语从句，谓语动词通常用单数，但所指的具体内容是复数意义时，谓语动词一般用复数形式，例如：

What we need is more time.What we need are doctors.2）在“one of+复数名词++who/that/which”引导的从句结构中，关系代词who/that/which的先行词是靠近它的复数名词而不是one，因此，从句中的动词应该是复数形式。如：

复数 概念 教案 篇4

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力． 教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．

②复数 用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当 时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数．但当 时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念

设，则，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．

教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时，与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

（二）教法建议

1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念 教学目标

1．了解复数的实部，虚部；

2．掌握复数相等的意义；

3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数． 教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件． 教学难点

用复平面内的点表示复数Ｍ． 教学用具：直尺 课时安排：1课时 教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2．复数相等

如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

相等的意义，得方程组：

例2：m是什么实数时，复数 ，(1)是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.解：

(1)∵ 时，z是实数, ∴ ,或.(2)∵ 时，z是虚数，∴，且

(3)∵ 且 时，z是纯虚数.∴

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．

4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用 表示．若，则： ；

（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称．

三、练习

四、小结：

1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

名词变复数练习 篇5

一、写出下列名词的复数形式

1.orange__________2.class ___________3.monkey__________ 4.piano___________ 5.child ___________ 6.shelf ____________ 7.bed____________ 8.country___________ 9.family___________ 10.toy____________ 11.foot __________ 12.radio____________ 13.photo__________ 14.tomato___________ 15.woman___________ 16.knife___________ 17.sheep____________18.ship____________ 19.dish___________ 20.mouse___________

二、用所给的单词的复数的正确形式填空： 1> These_____________(tomato)are red.2> My brother looks after two_____________(baby)3> My father likes to eat_____________(potato).4> Chinese_____________(people)like to eat noodles.5> My mother wash_____________(dish)in the kitchen.6> I have two_____________(pencil-box).7> There are some_____________(bus)in the street.8> Monster has eight_____________(foot).三、选择填空

()1．I can see three ________ in the zoo.A.monkeys B monkeys C monkey()2.The pig has four ________.A.foot B.feet C.foots()3.My two brothers are ________.A.policeman B.policemans C.policemen()4.I can see ten _____ in the picture.A.sheep B.dog C.pig()5.The _____ has three_____.A.boys, watches B.boy, watch C.boy, watches()6.Can you see _______on the plate? A.bread B.breads C.breades()7.The girl often brushes her_____ before she goes to bed.A.tooth B.tooths C.teeth()8.Mr Black often drink some _________.A.milk B.milks C.milkes()9.There are some _____on the floor.A.child B.man C.books()10.Lucy will has some _______.A.photo B.photos C.photoes()11.I am drinking two ________.A.cups of water B.cup of water C.cups of water

()12.The cat eats two _______ on Monday.A.mouses B.mice C.mouse()13.There are______ in the room.A.photos B.photos C.photo()14.There is some _____ in the river.A.fish B.fishes C.fishs()16.There___ two ___in the box.A.is watch B.are watches C.are watch()17.We have to clean ___ every day.A.our tooth B.our tooths C.our teeth()18.My _____ room is next to the reading room.A.teacher B.teacher’s C.teachers()19.Tom and Jim are ______.A.friends B.friend C.brother()20.How many_____do they have? A.picture B.pictures C.a picture

classmate复数 篇6

1、He made a profession of friendship to his classmate Mary.

他向他的同学玛丽表白了他的友情.

2、His classmate do not enjoy his company because he always backbite others.

他的.同学不喜欢和他在一起,因为他老是在背后诽谤别人.

3、Can you recommend a classmate who can take up the job?

复数的向量表示 篇7

1掌握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．

2 通过数形结合研究复数．

3培养学生辩证唯物主义思想．

重点难点

复数向量的表示及复数模的概念．

教学学具

投影仪

教学过程

1复习提问：向量的概念；模；复平面．

2新课：

一、复数的向量表示：

在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定．

因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．

常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．

二、复数的模

向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1  求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．

解：∵|Z1|2=32+42=25     |Z2|2=（-1）2+22=5

∴|Z1|＞|Z2|

练习： 1已知z1=1+3i  z2=-2i  Z3=4   Z4=-1+2i

⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．

⑵计算它们的模．

三、复数模的几何意义

复数Z=a+bi，当b=0时z∈R |Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．

例2  设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

⑴ |Z|=4    ⑵  2≤|Z|＜4

解：（略）

练习：⑴ 模等于4的虚数在复平面内的点集             ．

⑵  比较复数z1=－5+12i    z2=―6―6i的模的大小．

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示复数x+yi的点的轨迹．

教学后记：

板书设计：

一、复数的向量表示：        三、复数模的几何意义

二、复数的模                   例2

例1

探究活动

已知 要使 ，还要增加什么条件？

解：要使 ，即 由此可知，点 到两个定点 和 的距离之和为6 ，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆 ．

因此，所要增加的条件是：点 应满足条件 ．

名词单复数变化 篇8

一、最常见的就是直接在名词后面+s Boy—boys（男孩）cat—cats（猫）room—rooms（房间）horse—horses（马）tree—trees（树）rose—roses（玫瑰）

二、如果名词是以x、s、sh、ch结尾的，在名词后面+es Branch—branches（树枝）match—matches（火柴）fox—foxes（狐狸）class—classes（班级）bus—buses（公交车）Box—boxes（箱子）watch—watches（手表）dish—dishes（盘子）coach—coaches（车厢）couch—couches（沙发）

三、如果名词是以辅音加y结尾的，要变y为i加es;如果不是以辅音结尾的，就直接在y后面加上s Family—families（家庭）study—studies（学习）party—parties(派对)baby—babies（宝贝）city—cities（城市）

Boy—boys（男孩）toy—toys（玩具）way—ways（方法、路）monkey—monkeys（猴子）key—keys（钥匙）

四、当名词是以fe或f结尾的，要变fe或f为v，再加es；有的直接加s Thief—thieves（小偷）shelf—shelves（书架）leaf—leaves（树叶）half—halves（一半）Wolf—wolves（狼）life—lives（生活、生命）wife—wives（妻子）knife—knives（刀）Roof—roofs（房顶）belief—beliefs（信念）proof—proofs（证据）

五、当名词是以o结尾有生命的加es，没有生命的加s Potato—potatoes（土豆）tomato—tomatoes（西红柿）

hero—heroes（英雄）Photo—photos（相片）zoo—zoos（动物园）radio—radios（广播）piano—pianos（钢琴）

六、名词复数不规则变化

Child—children（小孩）mouse—mice（老鼠）man—men（男人）woman—women（女人）German—Germans（德国人）

Englishman—Englishmen（英国人）Frenchman---frenchmen（法国人）foot—feet（足，脚）tooth—teeth（牙齿）1）单复数同形

推理证明、复数综合训练 篇9

高二B文科数学周测练习12014.03.21

姓名 学号成绩 一：填空题

1：若复数zx1x1i为纯虚数，则实数x2

2：复数zi2i的虚部为 32

3：若zC，且满足z2z62i，则z4：设x,y为实数，且xy5，则xy1i12i13i

5.设复数z满足z23i64i，则z

6：若复数zcosisin对应的点在第四象限，则为第7：将函数y2为增函数的判断写成三段论形式。

大前提

小前提

结论

8：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”猜测关于球的相应命题

9：由31,32,33,34，运用归纳推理可得出的结论为10：复数z满足：zz15i，则z

11：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论否定为

12.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b

平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为填写正确理由的序号

①大前提错误②.小前提错误③.推理形式错误④.非以上错误

13：若复数z满足z1i2，则z的取值范围为14.如图，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点

4aaaaP到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝k，则(ihi)1234i＝112223242x

2S＝k.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝

1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，4SSSS若＝K，则(iHi)＝

1234i＝1

二：解答题

1i34i的值 15：（本题满分14分）已知复数z满足z13iz，求2

16：（本题满分14分）求证：

2zz1z2z1z2

17：（本题满分15分）设存在复数z同时满足下列条件

（1）复数z对应的点在第二象限

（2）zz2iz8ai

求实数a的取值范围

11118：（本题满分15分）设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8.19：（本题满分16分）已知z1x2ix21,z2x2ai，z1z2恒成立，求实数a的范围

20：（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax＋x＋1(a＞1)．